FIZIKA
VALSTYBINIO EGZAMINO TEORIJA
Rankraščio teisėmis Puslapį lankantiems, fizikos nepeikiantiems.
PRATARMĖ
Ši knygelė – ir ne žinynas, ir ne egzaminui parengtų atsakymų rinkinys. Medžiaga išdėstyta taip, kad jaunuoliui, surikiavus perskaitytą, daugelis primirštų ar anuomet nepermąstytų fizikos sąvokų, dėsnių įstrigtų tarsi savaime. Visos fizikos dar niekas neišmoko, o abitūros egzaminui reikalingus pagrindus čia rasite.
Kai kurie dėsniai, kad būtų lengviau juos suvokti, iliustruoti pavyzdžiais. Tačiau ne visi: vis to laiko ir kantrybės pritrūksta. Be to, jie ne iš egzamino klausimų sąrašo. Besidomintiems egzamino testais ir uždaviniais rekomenduoju Adomo Petro Neimonto knygelę “Netradicinis fizikos uždavinynas”.
Autorius nemano, kad sausas, griežtas, perdėm teisingas dėsnių ir reiškinių formulavimas yra būtina fizikos supratimo sąlyga. Todėl, jei ir papeiksite mane už nesantūrumą, bent visiems laikams nepasmerkite. Nes net didysis poetas sakė, kad jis nepakenčia absoliučiai teisingos kalbos. Tad ko norėti iš fizikų?
MECHANIKA
Mechanika yra mokslas apie kūnų judėjimą – jų padėties kitimą keičiantis laikui. Yra trys mechanikos padaliniai. Kinematika nagrinėja judėjimą, nesigilindama į priežastis. Pagrindinės kinematikos sąvokos: materialiuoju tašku praminto kūno padėtis, poslinkis, greitis, pagreitis, trajektorija. Statika moko sudėti arba skaidyti jėgas, skaičiuoti jėgų momentus, tirti pusiausvyros sąlygas ir jos rūšis. Dinamika tartum susieja statiką su kinematika – nagrinėja judėjimą, atsižvelgdama į jo priežastis, jėgas, energijas. Pagrindinės dinamikos sąvokos: jėgos, masė, Niutono dėsniai, darbas, potencinė ir kinetinė energija, galia.
KINEMATIKA
POSLINKIS, KELIAS
Poslinkis yra vektorius, jungiantis dvi materialiojo taško padėtis. Poslinkių sudėties taisyklė: antrojo poslinkio vektoriaus pradžią dedame ant pirmojo smaigalio, trečiojo pradžią – ant antrojo smaigalio ir t.t. Pirmojo pradžią jungiame su paskutinio smaigaliu. Taip randamas bendras poslinkis – atstumo nuo pradinės iki galutinės padėties vektorius.
S2 S2 – S1
S1 S1 S2
S3
S
SUDĖTIS ATIMTIS
1. POSLINKIŲ
Atimties taisyklė: sutapatiname abiejų vektorių pradžias ir sujungiame smaigalius, nukreipdami į tą, iš kurio atimta (… rodo į nusiaubtą). Pastaba: poslinkių sudėties ir atimties taisyklei paklusnūs ir visi kiti vektoriai.
Kelias yra atstumas, nueitas trajektorija (“keliu”); be to, bendras kelias, net jeigu eini atgal, sumuojamas. Pvz., nors mokinys per dieną sukaria 10 km kelio, jo poslinkis (grįžus į tą pačią lovą) – nulis.
1 pavyzdys. Sraigė nušliaužė 2 m į pietus, 2 m į rytus, po to 1 m stulpu aukštyn. Raskime jos kelio ilgį S ir poslinkį s.
<:=> s1=2m; s2=2m; s3=1m. <?> S, s .
Kelią gausime sudėję poslinkių didumus kiekviena kryptimi (tiek prisuks sraigės “spidometras”): S=2+2+1=5m. Poslinkis yra vektorius, jungiantis pradinę sraigės vietą su galutine (medyje).
Jo didumą rastume iš Pitagoro teoremos: žeme poslinkio kvadratas yra s12+s22. Prie jo pridedame trečią statmeną s32. Bendras poslinkio kvadratas s2=9. Poslinkio didumas s=3m. Tačiau apie poslinkio vektorių ne viską pasakėme: nenurodyta jo kryptis.
Z
S S3
Y
S1
S2
X
2. SRAIGĖS ODISĖJA
Gandas: krypties kampai su pietų kryptimi α=SOX, rytais β=SOY, zenitu γ=SOZ iš formulių: cosα=2/3, cosβ=2/3, cosγ=1/3, nes to vektoriaus projekcijos sx=2, sy=2, sz=1.
VEKTORIAI ir SKALIARAI
Kelias yra skaliarinis dydis (žargonybė – tiesiog skaliaras), apibūdinamas tik didumu (ilgas, trumpas, dulkėtas), o poslinkis – vektorius, nusakomas ne tik didumu, bet ir kryptimi (“Kur tas kelelis pilkas mane nuves?”). Kiti pavyzdžiai: temperatūra, tankis, slėgis, potencialas, galia, srovės stipris – skaliarai; bet jėga, greitis, pagreitis, elektros ar magnetinio lauko stipris – vektoriai. Skaliaras gali būti ir teigiamas, ir neigiamas (karšta, kai t>370C, šalta, kai t<400C.), o su vektoriais painiau: priklauso tai, kaip pasirenkame teigiamą kryptį (Amerikon? Azijon?).
VEKTORIŲ PROJEKCIJOS. SUDĖTIES FORMULĖS
Tarkime, kad s ilgumo poslinkio vektorius sudaro kampą α su pasirinktąja (praminkime ją OX) kryptimi. Tada projekcija į šią ašį sx=s cosα. Kai poslinkio ir OX kryptys sutampa (α=0, cosα=1), sx=s, kai priešingos (cos1800=-1), projekcija sx=-s, kai statmenos (α=900, cosα=0), sx=o – “pusiaujo stulpas – be šešėlio”. Žodžiu, vektoriaus teigiamumas ar neigiamumas – kur link pažiūrėsi…
Y
S
Sy β α
O Sū X
3. VEKTORIAUS S PROJEKCIJOS
Jeigu plokštumos XOY vektorius (ar bet koks kitas) turėtų su Dekarto koordinatėmis ΟΧ, OY, α=SOX, β=SOY kampus, tai jo projekcijos į tas ašis būtų: sx=scosα, sy=scosβ. Taigi vektorių galima nusakyti dvejopai – arba jo didumu ir kryptimi, arba jo projekcijomis į koordinačių ašis.
Vektorių sudėtis projekcijomis. Jeigu vektoriaus projekcijos yra ax ir ay, o vektoriaus – cx ir cy, tai tų vektorių suma + yra vektorius, kurio projekcijos yra ax+cx, ay+cy. Analogiškai ir skirtumo vektoriui: – =(ax-cx, ay-cy).
Trigonometrinė vektorių sudėtis. Kai žinomi vektorių didumai a, c ir kampas tarp jų β, pagelbės kosinusų teorema: + 2=a2+2absosβ+b2; – 2=a2-2absosβ+b2. Tai būtų, jei ne kosinusas, dvinario kvadrato formulė. Kai sudedamieji vektoriai statmeni, cosβ=0 ir vektorių sumos ar skirtumo didumas skaičiuojamas pagal Pitagoro teoremą.
Provokacija: sudėkite horizontalų v=4m/s greitį su vertikaliu a=3m/s2 pagreičiu. Nedėkite, nes tai – skirtingų matavimų vienetų vektoriai! Tai netgi skaliarams – tabu.
TIESIAEIGIS TOLYGIAI KINTAMAS JUDĖJIMAS
Linija, kuria juda materialusis taškas, vadinama trajektorija. Jei trajektorija – tiesė, judėjimas vadinamas tiesiaeigiu. Jis vaizduojamas vienoje koordinačių ašyje, pvz., OX. Pradinę vietą vadiname pradine koordinate x0, o bet kurią kitą – tiesiog koordinate x. Jei nusakyta, kaip priklauso taško padėtis nuo laiko t, sakome, kad tai yra judėjimo dėsnis.
Kai koordinatė nuo laiko priklauso tiesiškai (x=x0+v t), judėjimas yra tolygusis, o jo greitis yra poslinkis s, padalytas iš to poslinkio laiko t: v=s/t. Čia poslinkis yra atstumas nuo pradinės padėties x0 iki taško padėties x: s=x-x0. Tolygiojo judėjimo greitis nepriklauso nuo laiko: per vienodus laikus nueinamas vienodas kelias.
2 pavyzdys. Duotas judėjimo X ašimi dėsnis: x=2+3t. Raskime poslinkį tarp 1 ir 7 sekundės ir greitį po 5s.
<:=> t1=1s; t2=7s; t3=5s. <?> s=x2-x1; v3.
Poslinkis: x1=2+3=5m; x2=2+21=23. s=23-5=18m (arba s=3*7-3*1=18m). Greitis visada vienodas, kol judėjimas tolygus (sąlygos lygtis – tiesinė), tad, sulyginę sąlygos lygtį x=2+3t su bendrąja, teorine x=x0+vt, matome: x0=2m; v=3m/s. Šitoks (3m/s) yra ir vidutinis greitis.
3 pavyzdys. Užrašykime priešais Y ašį 2 m/s greičiu judančio taško lygtį, jei pradžioje jis buvo per 13 m nuo centro.
Atsakymas: y=13-2t.
Tolygiai kintamas judėjimas nusakomas koordinatės lygtimi x=x0+v0t+at2/2 arba poslinkio lygtimi s=v0t+at2/2. Čia v0 yra pradinis greitis (greitis, kai t=0); a – pagreitis. Greičio formulė: v=v0+at.
Kadangi greitis su laiku kinta, skiriamos dvi greičio rūšys: vidutinis ir momentinis. Vidutinis greitis yra visas kelias, padalytas iš viso laiko. Momentinis greitis – poslinkio ir laiko santykis per nykstamai mažą laiko tarpą – akimirksnį. Būtent momentinį greitį rodo automobilio spidometras, tačiau ne SI sistemos vienetais (m/s), o km/h. Beje, 10m/s=36km/h.
Greičio kitimo spartą nusako pagreitis: pagreitis a yra greičio v kitimo greitis (sparta). : pagreitis a yra greičio pokytis, padalytas iš to pokyčio laiko t. SI vienetų sistemoje pagreitis matuojamas metrais per sekundės kvadratą: [a]=m/s2.
4 pavyzdys. Iš duotos judėjimo lygties x=-2+2t+3t2 raskime pradinę koordinatę, greičio lygtį, pagreitį ir greitį po 2 sekundžių, taip pat vidutinį greitį tarp 1 ir 3 sekundės
<:=> t1=2s; t2=1s; t3=3s. <?> v(t), v1, a1, v23.
Sulyginę teorinę x= x0+v0t+at2/2 su (paskutinis narys – “kitaip”!) sąlygine x=-2+2t+6t2/2, matome: x0=-2m; v0=2 m/s; a=6m/s2. Įrašome tai į greičio lygtį: v=2+6t. Iš čia greitis, kai t1=2s: v1=2+12; v1=14 m/s. Vidutinis greitis yra poslinkis, padalytas iš poslinkio laiko: v23=(x3-x2)/(t3-t2)=28/2; v23=14 m/s. Rezultatas matytas: taip – vidutinis tolygiai kintamo judėjimo greitis lygus momentiniam laiko vidurio (t2+t3)/2=2s greičiui.
5 pavyzdys. Turėdami greičio lygtį v=-3+2t, užrašykite poslinkio ir judėjimo koordinate X lygtį.
<:=> v=-3+2t. <?> s(t), x(t).
Bendroji poslinkio lygtis: s=v0t+at2/2, o iš sąlygos v0=-3 m/s; a=2 m/s2, tad s=-3t+2t2/2; s=-3t+t2. Antrosios užduoties galima ir nespręsti – nenurodyta pradinė koordinatė. Pasirinkime ją patys. Paprasčiausias variantas: x0=0 (pajudėta iš centro) ir x=s=-3t+t2.
Patarimas: kai koordinačių ar kita atskaitos sistema nenurodyta, pasirenkame ją patys taip, kad būtų lengviausia matematiškai aprašyti judėjimą. Paprasčiausias variantas: pradinė padėtis – koordinačių pradžia.
Ir jums pasivaideno, kad jau turite universalų visų uždavinių sprendimus palengvinantį būdą?
Vis dėlto iliustracija. Valtis, irdamasi Nemunu aukštyn, pametė plūdurą ir po 5 minučių apsisuko jį vyti. Kiek nuplaukė plūduras, kol jį pavijo? Atsakymas: 2 kart 300s, padaugintų iš Nemuno tekėjimo greičio.
6 pavyzdys. Duota poslinkio lygtis s=8t-2t2. Koks tai judėjimas: tolygusis, tolygiai greitėjantis, ar lėtėjantis?
Aišku: tolygiai kintantis, nes poslinkis priklauso nuo laiko paraboliškai, o greitis – tiesiškai: v=8-4t. Pradinis greitis v0=8 m/s, o pagreitis – priešingo ženklo: a=-4 m/s2. Išvada: judėjimas – tolygiai lėtėjantis? Pradžioje – taip. Tačiau ne visada: po kiek laiko, būtent po 2 sekundžių, jau ir greitis bus priešingas poslinkio ašiai s, tad greičio ir pagreičio kryptys susivienodins, o judėjimas nuo tada bus tolygiai greitėjantis. Palygink: aukštyn mestas kamuoliukas kildamas lėtėja, viršuje stabteli, kad jau greitėdamas kristų.
v (m/s)
5
3
. greit. lėt. tolygiai
1 t (s)
0 2 4 8 10
4. GREIČIO GRAFIKAI
POSLINKIO, GREIČIO, PAGREIČIO GRAFIKAI (tiesusis judėjimas)
s__, v…, a._._ SI sistemos vienetais
t
4a.
Poslinkio, kai greitis vienodas (tolygusis judėjimas), grafikas (funkcija s, argumentas t) yra tiesė, nusakoma lygtimi s=vt. Tai per koordinačių centrą einanti tiesė, kurios kampą α su t ašimi lemia greitis. Būtent v=tgα.
Kai judėjimas yra tolygiai kintamasis, pagreitis nelygus nuliui, judėjimo lygtį s=v0t+at2/2 grafikai vaizduoja parabolė, einanti per koordinačių pradžią.
Greičio grafikas ir tolygiajam, ir tolygiai kintamam judėjimui yra tiesė, nusakoma greičio priklausomybės nuo laiko dėsniu: v=v0+at. Kai pagreičio nėra (a=0), grafikas – lygiagreti t ašiai tiesė; kai a#0, grafikas – pasviroji, kurios pradinis aukštis – pradinis greitis v0, galinis aukštis – galinis greitis. Pagreitis apibrėžiamas kaip iš laiko padalytas greičių skirtumas a= . Geometriškai tai yra grafiko pasvirimo kampo tangentas: a=tgα.
Nubrėžę greičio grafiko trapeciją, patiriame, kad jos plotas S – poslinkio didumas: s=S. Trapecijos plotas S, poslinkis yra vidutinis greitis vv=(v0+v)/2, padaugintas iš laiko: s=vvt= (v0+v)t/2. Kadangi bet kokio grafiko plotą apskaičiuosime, “sulipdydami” jį iš be galo daug trumpučių trapecijų, tas teiginys, kad greičio grafiku apribotas plotas yra lygus visam poslinkiui, galioja bet kokiam judėjimui – net ir netolygiai kintamam.
Tolygiai kintamo judėjimo pagreičio grafikas yra horizontali tiesė; grafiko plotas – greitis.
7 pavyzdys. Iš 4 grafiko “išspauskime” kinematinę informaciją.
Pradinis ir galinis greitis 3m/s. Pagreičiai: 1m/s2; -2m/s2; 0; 1m/s2. Poslinkis – trijų trapecijų + vieno stačiakampio plotas: s=(3+5).2/2+(5+1).2/2+1.4+(1+3).2/2=22m.
LAISVASIS KRITIMAS
Dar Galilėjus teoriškai ir eksperimentu parodė: kai oro pasipriešinimas menkas, visi kūnai krinta vienodu pagreičiu g. Ši idealizacija pavadinta laisvuoju kritimu. Jo žemyn nukreiptas pagreitis Lietuvos paviršiuje (aukščiau ir giliau jis mažesnis) yra g=9,81m/s2; pusiaujyje g mažesnis (9,79 m/s2), ašigaly didesnis (9,83m/s2).
Jei kūnas juda tik su laisvojo kritimo pagreičiu g vertikaliai, verta jo koordinatę (šįkart OY) nukreipti aukštyn, kad užrašytume koordinatės y ir greičio v priklausomybę nuo laiko: y=y0+v0t-gt2/2; v=v0-gt. Čia y0=h – pradinis aukštis, v0 – pradinis greitis (jei teigiamas – aukštyn!).
8 pavyzdys. “Laisvąjį” akmenį sviedė aukštyn 20m/s greičiu iš 25 m aukščio. Kiek laiko jis kils, kiek pakils, kada nukris? <:=> v0=20 m/s; y0=25m; g=10m/s2. <?> H; t1; t2.
Akmuo būna aukščiausiai tada, kai netekęs greičio stabteli (v1=0): v0-gt1=0; t1=2s. H=y1=y0+v0t1-gt12/2; H=45m. Nukritimo momentu t2 aukštis y2=0: y0+v0t-gt2/2=0. Kvadratinės lygties šaknis t=-1 netinka, nes ji tik prognozuoja, kur akmuo buvo prieš metimą. Lieka t2=5s.
GALILĖJAUS RELIATYVUMO TEORIJA
Aprašydamas mokinio poslinkį iš traukinio, Mėnulio, Saulės ar kitos judančios atskaitos sistemos, nepasakysi, kad jo paros poslinkis lygus nuliui: traukinys nutolo, žemė pasisuko, paskriejo. Svarbu, iš kur pažiūrėsi, nes viskas, net ir vieta, greitis, pagreitis, sąžinė, yra reliatyvūs. Pvz., važiuojančiam atrodo, kad nuo vagono ventiliatoriaus lašas krinta tiesiai žemyn, tačiau iš pylimo linelių žiūrint lašo trajektorija – apverstos parabolės šaka. Taigi Galileo Galilėjus dar prieš 400 metų nustatė jo vardu pavadintą reliatyvumo teoriją, kuri dabartiniais terminais formuluojama dviem postulatais:
– laikas ir atstumai nepriklauso nuo inercinės atskaitos greičio;
– mechanikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi.
Beje, neinercine vadiname tokią atskaitos sistemą (koordinačių sistemą), kurios judėjimas nesuteikia papildomo pagreičio. Kai yra toks neapibrėžtumas, nepamirškime, nusakydami vietą, poslinkį, greitį, nurodyti, kieno tai atžvilgiu pateikėme. Paprastai, kai nurodymų nebūna, tariama, kad atskaitos kūnas yra kuri nors žemės vieta, pvz., klasė, lova…
9 pavyzdys. Dviračio horizontalus greitis 8m/s; vertikaliai krintančio lašo 6m/s. Koks lašo greitis (didumas ir kryptis) dviračio atžvilgiu?
-vd vd α
vl v
5. RELIATYVUSIS LAŠAS
<:=> vd=8m/s; vl=6m/s; vdvl. <?> v; tgα.
Dviračio atžvilgiu visa, kas žemėje, įgyja jam priešais greitį vd. Ne išimtis ir lašas, kuriam prie kritimo prisideda ir priešinis horizontalusis greitis. Kadangi tiedu greičiai statmeni, jų “atstojamoji” – sumos kvadratas v2=(-vd)2+vl2; v=10m/s. tgα=vl/vd=0,75.
NUOŽULNIAI MESTO KŪNO JUDĖJIMO LYGTYS
Lineliui krintančio lašo lygtys: y=h-gt2/2, x=vxt; vx yra vagono greitis pylimo atžvilgiu. O jeigu metame akmenį, kurio pradinio greičio didumas v0, kampas su horizontaliąja ašimi OX yra α, o su OY β=900-α. Tada pradinio greičio projekcija v0x=v0cosα, v0y=v0cosβ=v0sinα ir koordinačių lygtys: x=x0+v0tcosα, y=y0+v0tsinα-gt2/2. Greičio projekcijų lygtys: vx=v0cosα, vy=v0sinα-gt.
Išreiškę t per x ir įrašę į y lygtį, gauname trajektorijos – per koordinačių centrą (metimo tašką) brėžiamos apverstos parabolės lygtį. Pvz., kai, x0=0, y0=0, bus y=xtgα-gx2/2cos2α.
v r
a=g
6. NUOŽULNIAI MESTO KŪNO TRAJEKTORIJA …, POSLINKIS r, GREITIS v, PAGREITIS a=g
Metus kūną iš taško x0=0 ir aukščio y0= h horizontaliai pradiniu greičiu v0, jo tolimesnė vieta nusakoma koordinatėmis x=v0t, y=h-gt2/2, o horizontalioji ir vertikalioji greičio projekcija vx=v0, vy=-gt. Įrašę konkrečią laiko vertę, iš čia sužinosime kur yra mestasis kūnas, kokios greičio projekcijos. Būtent, poslinkis , o greičio didumas . Nukris, kaip ir laisvai krintantis kūnas, po t= laiko. Per tą laiką jis horizontaliai nulėks atstumą x=v0 .
Kai kūnas metamas iš koordinačių pradžios (ją visuomet galime tenai nukelti), kilimo laiką T gausime prilyginę kilimo greitį vy nuliui: v0sinα-gT=0; T=v0sinα/g. Įrašius į y=v0tsinα-gt2/2, pakilimo aukštis H=v02 sin2α/2g. Kiek kyla, tiek ir krinta, tad horizontaliai lėks 2T laiko. Įrašę tai į x lygtį, rasime: nukris nulėkęs L=2v02sinαcosα/g; L=v02sin2α/g. Kadangi stataus kampo sinusas didžiausias, toliausiai nulėktų metant 450 kampu. Nulėktų, jei oras pasipriešinimu – su vėju ar tykiai – lėkimo nepakoreguotų.
KREIVAEIGIS JUDĖJIMAS. SUKIMASIS
Galbūt Izaokas Niutonas nebūtų sukūręs mechanikos, jei nebūtų suvokęs, jog greitis yra vektorius, nukreiptas pagal trajektorijos liestinę, o pagreitis atsiranda ne tik dėl greičio didumo kitimo: jį lemia ir greičio krypties kitimas. Mėnulio neprisitraukia Žemė, nes jis skrieja beveik statmenai jos linkmei, o pagreitį, paklusdamas II Niutono dėsniui, užtikrina judėjimas beveik apskritimu su vis kita greičio vektoriaus kryptimi.
v1
v2 v2-v1
v2
7. GREIČIŲ ATIMTIS
Bendroji pagreičio formulė skiriasi nuo tiesiojo judėjimo pagreičio tik vektoriškumu: . Greičio krypties pagreičio dedamąją, gautą dėl greičio didumo kitimo, vadina liestiniu (tangentiniu) at pagreičiu; pagreitį, nukreiptą į apskritimo su r spinduliu (kreivumo) centrą an=v2/r, – įcentriniu (normaliniu). Kuo mažesnis orbitos spindulys, tuo didesnis įcentrinis pagreitis (atvirkščioji proporcija), o nuo greičio jis priklauso tiesiogiai ir dar kvadratiškai.
v at r
an r1
s=φr φ
O
r2
8. SUKAMASIS JUDĖJIMAS
Esant sukimuisi, visi kūno taškai juda apskritimais, pasisukdami vienodu radianais matuojamu kampu =s/r (s – lanko ilgis, r – spindulys). Posūkio kampo santykį su laiku vadina kampiniu greičiu : =/t . Kadangi s=r, padaliję iš t gauname: – paprastas (linijinis) sukamojo judesio greitis lygus kampinio greičio ir spindulio sandaugai. Įrašę v į an formulę, turėsime kitas įcentrinio pagreičio išraiškas: an=2r; an=ωv. Laikas, per kurį taškas tolygiai apeina apskritimu, yra periodas T. T=T=2π/ω. Apsisukimų dažnis ν=1/Τ; [ν]=Hz=1/s. Hz – hercas.
10 pavyzdys. 20 cm spindulio ratas per 2 min. apsisuka 30 kartų. Raskite apsisukimo periodą, dažnį, kampinį greitį, spindulio galo greitį, pagreitį; greičio pokyčių per pusę ir ketvirtį periodo didumus.
<:=> r=0.2cm, t=120s, n=30, t1=T/2, t2=T/4.
<?> T,, , v, a, v1, v2.
Periodas T=t/n=4s; dažnis =n/t=0,251/s; =2, =1,57rad/s; v=r=0,314m/s; a=0,493m/s2. Per pusę periodo greitis pakeis kryptį į priešingą, tad v1=2v=0,628m/s; per ketvirtį periodo greičio kryptis pakis statmenai, tad statmenus vektorius jungianti įžambinė (iš Pitagoro teoremos) v2= =v =0,444m/s.
Atėmę du vienodo didumo greičio vektorius nulio negavome! Tokios vektorių (skirtingai nuo skaliarų) įmantrybės.
DINAMIKA
PIRMASIS, ANTRASIS, TREČIASIS NIUTONO DĖSNIS
Pirmasis Niutono dėsnis: inercinėje (tai yra judančioje be pagreičio ir nesisukančioje) atskaitos sistemoje nieko neveikiami kūnai juda tiesiai ir tolygiai – be pagreičio. Šis dėsnis kviečiasi antrąjį, kuris išaiškintų, ko reikia, kad judėjimas kistų. Tam reikalingos dvi sąvokos – jėga ir masė.
Jėga F pasireiškia dvejopai: 1) tai deformacijos priežastis – net jei kūnas nejuda, priešingų krypčių jėgos jį deformuoja (nebūtinai pastebimai); 2) judėjimo pakitimo, nusakomo pagreičiu, priežastis. Jėga – vektorius: jos pasekmė priklauso ir nuo veikimo krypties.
Masė m taip pat dvejopa: 1) kuo didesnė masė, tuo didesnis svoris – masyvesnius kūnus stipriau traukia žemė ir kiti kūnai; 2) kuo didesnė masė, tuo sunkiau pakeisti jos judėjimą, nusakomą pagreičiu. Pirmoji savybė vadinama gravitacine, antroji – inercine.
Masės vienetas – kilogramas. Tai pagrindinis, etaloninis SI sistemos vienetas. Mases galima palyginti sveriant pvz., lyginant sveriamo kūno ir etaloninių svarelių svorius, vadinasi, ir mases.
Jėgą, masę ir pagreitį sieja Antrasis Niutono dėsnis: kūno pagreitis yra lygus jį veikiančių jėgų atstojamajai, padalytai iš masės: . (Galima rašyti ir taip: .) Pagreitis tuo didesnis, kuo stipresnė jėga (tiesioginis proporcingumas), ir tuo mažesnis, kuo didesnė masė (atvirkščiasis proporcingumas).
II Niutono dėsniu apibrėžiamas SI sistemos jėgos vienetas niutonas N: tai tokia jėga, kuri vienam masės kilogramui suteikia vieno m/s2 pagreitį: [F]=N=kgm/s2.
Paprasčiausia jėgą išmatuoti dinamometru, kurio veikimas grįstas Huko dėsniu: spyruoklės pailgėjimas proporcingas jėgos didumui. Dinamometro skalė tai (neypatingu tikslumu, deja) ir parodo.
II Niutono dėsnis praverčia ir teoriškam kūno masės santykio su etalonine mase (pvz., kilogramu) nustatymui: veikiant tai pačiai jėgai pagreitis bus tiek kartų didesnis, kiek kartų masė mažesnė. Tačiau tai nėra gudrus ar tikslus metodas. Kosminiuose laivuose masė nustatoma netiesiogiai – pagal tampriųjų svyravimų periodą.
Trečiasis Niutono dėsnis: dviejų kūnų sąveikos jėgos yra vienodo didumo, tačiau priešingų krypčių. Iš dalių suburtą kūną veikia vidinės ir išorinės jėgos. Antrojo Niutono dėsnio, užrašyto sudėtiniam kūnui, lygtyje jo dalių tarpusavio jėgos pasinaikina, todėl II Niutono dėsniu rašytina tik išorinių jėgų atstojamoji.
Jėgų atstojamoji. Kadangi jėgos – vektoriai, tai ir sudedamos jos pagal vektorines taisykles. Gautąją (vektorinę!) sumą vadina jėgų atstojamąja. Tai labai populiarus vektorius, kadangi kūną veikianti tik viena jėga, kaip ir bėda, retenybė (pvz., kol laisvai krinti).
11 pavyzdys. 2 kilogramų svarelis tempiamas virvute aukštyn 2m/s2 pagreičiu. Raskime virvutės tempimo jėgą.
<:=> m, a, g. <?> T.
T
mg
9.
Svarelį veikiančių jėgų atstojamąją randame iš aukštyn nukreiptos tempimo jėgos T atėmę žemyn nukreiptą sunkio jėgą mg: F=T-mg. II Niutono dėsnis:
T-mg= ma T=m(g+a) =24N.
JĖGŲ RŪŠYS
Paminėsime svarbiausias. Į Žemę nukreipta sunkio jėga F=mg (g9.81 m/s2 – laisvojo kritimo pagreitis; uždaviniams tiks ir g=10m/s2). Tai Žemės traukos ir Žemės sukimosi sąlygotos išcentrinės inercijos jėgos atstojamoji.Tamprumo jėga F=-kx (k – standumas, x – pailgėjimas) nusakoma Huko dėsniu. Neapsirikime: kiekvienam kūnui – tik savoji tamprumo zona, stiklui mažesnė, spyruoklei didesnė, už kurios “Hukui” nepaklūstama.
Priešinga greičiui slydimo trinties jėga šiurkštokai išreiškiama formule F= N ( – slydimo trinties koeficientas. N – statmena slydimo paviršiui atramos jėga). Jos didumą lemia praslystančių medžiagų šiurkštumas ir suspaudimo jėga N. Antrasis šiurkštumas – jau formulėje: joje neįvardyta smarkių vairuotojų nekart patirta trinties priklausomybė nuo greičio.
Rimties trinties jėgos didumas F<μN arba F=μN (μ – rimties trinties koeficientas, šiaip kiek didesnis nei slydimo). Ženklas “<” perspėja: būna, kad veikia ne visa rimties trintis, o tik tiek, kiek reikia pusiausvyrai palaikyti. Pavyzdžiui, stumiant 150 N svorio stalą 2 N horizontalia jėga, kai μ=0,3, stalą prilaikys ne 45N, o tik 2N jėga. Tačiau jei stumtume 60 N jėga, rimties trintis “išstenėtų” tik 45 N.
Pasipriešinimo skystyje ar dujose jėga F1=cv, kol greičiai maži, ir F2=bv2, kai greičiai dideli (c, b – judančiųjų “geometrija” diktuojami pasipriešinimo koeficientai).
Dažnos jėgos gana sudėtingos, o čia pateiktos yra užrašytos supaprastintai, kad lengviau būtų jomis naudotis.
Kadangi II Niutono dėsnis formuluojamas visų kūną veikiančių atstojamajai, svarbu mokėti vektoriškai tas jėgas sudėti. Tačiau ne visada to reikia. Jeigu, tarkime tiesaus judėjimo kryptis žinoma, pakanka rašyti F=ma būtent ta linkme, nes kitomis jėgos kompensuotos. Būtent tada suprojektuojame jėgas nurodyta kryptimi ir toms projekcijoms rašome antrojo Niutono dėsnio lygtį. Tai iliustruoja 12 pavyzdys (10 br.), kuriame horizontalioji jėgos projekcija Fx tempia rogutes, o vertikalioji Fy mažina trintį.
N
Fy F
Fx
Ft
N
10. SLYDIMO TRINTIS
12 pavyzdys. m kg masės rogutes, kurių trinties su sniegu koeficientas , horizontaliu keliu traukia kampu T didumo nepakeliančia rogučių jėga. Raskite atramos, trinties jėgas ir pagreitį.
Y
N
Τ
Px
Ft
X
P Py
11. NUOŽULNIOJI PLOKŠTUMA
<:=> m, T, , . <?> N, Ft, a.Tempiančią jėgą išdėstome (suprojektuojame) į traukiančią (horizontalią) Tx=Tcos ir keliančią Ty=Tsin. Atramos jėga N atsveria sunkio ir tempiančios jėgos vertikalią dedamąją: N=mg-Tsinα, tad trinties jėga Ft=μ(mg-Tsinα). Pagreitį horizontaliąja kryptimi rasime iš II Niutono dėsnio, vektoriškai sudėdami, tai yra, skaliariškai atimdami horizontaliąsias jėgų projekcijas: a=(Tcosα-μmg+μTsinα)/m.
JUDĖJIMAS NUOŽULNIĄJA PLOKŠTUMA
Suprojektuojame svorio jėgą P į OX ir OY ašis lygiagrečiai ir statmenai nuožulniajai plokštumai: Px=mgsinβ, Py=mgcosβ. Čia β – plokštumos pasvirimo kampas, m – slystančio tašelio masė. Kadangi Y kryptimi nejudama, tai abi tos krypties jėgos pasinaikina: N=Py=mgcosβ. Trinties jėga Ft=μN; Ft=μmgcosβ.
Rašome II Niutono dėsnį ašies OX kryptimi: ma=Px+Ft-T; a=gsinβ+μgcosβ-T/m. Jeigu tašelis ne kiltų, o leistųsi, trinties jėga Ft pakeistų kryptį ir pagreičio formulėje būtų a=gsinβ-μgcosβ-T/m. Kai nei tempiančios jėgos T, nei pagreičio nėra, t.y. tašelis leidžiasi tolygiai, 0=gsinβ-μgcosβ. Taip bus, kai trinties koeficientas μ=sinβ/cosβ. Šia tolygaus nusileidimo sąlyga (μ=tgβ) grįstas trinties koeficiento nustatymo laboratorinis darbas.
VISUOTINIS TRAUKOS DĖSNIS
Izaokas Niutonas atrado: du taškiniai kūnai traukia vienas kitą jėga F, tiesiog proporcinga jų masėms m1 , m2 ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų r kvadratui – . Galiotų jis ir idealiai sferiškai simetriškiems rutuliams, jeigu tokie būtų. Praktiškas reikalavimas nesimetriškiems – kad kūno matmenys būtų ryškiai mažesni už atstumus tarp jų.
Visuotiniu vadinamas todėl, kad visi be išimčių kūnai dėl savo masių traukia visus kitus. Tačiau ši formulė visai teisinga tik simetriškiems rutuliams ar tiems kūnams, kurių matmenys gerokai mažesni negu atstumas tarp jų centrų.
Formulės G yra gravitacinė konstanta, nusakanti gravitacijos jėgos didumą tarp kilograminių masių, kai atstumas tarp jų centrų – metras. Pirmasis ganėtinai tiksliai G išmatavo anglų mokslininkas Kevendišas: G=6,672 10-11 N m2/kg2. Dėl visuotinio traukos dėsnio kiekvienas m masės kūnas, esantis žemės paviršiuje, traukiamas jos centro link gravitacijos jėga . M – Žemės masė, R – jos spindulys. Ji lemia laisvojo kritimo pagreitį ašigalyje g=P/m =GM/R2=9,83m/s2.
INERCIJOS JĖGOS
Niutono dėsniai parašyti be pagreičio judančioms (inercinėms) atskaitos sistemoms. Tačiau vargu ar tokios būna: mes sukamės ir skriejame apie Saulę su Žeme, keisdami judėjimo kryptį, t.y. su pagreičiu. Staigiai stabdant autobusą mus tarsi pastumia pirmyn (autobuso atžvilgiu): autobusas jau sulėtino greitį, o mus verčia toliau judėti inercijos dėsnis vadinamąja inercijos jėga (ae – pagreitis, atsiradęs dėl atskaitos sistemos judėjimo). Kadangi dėl sukimosi keičiasi greičio kryptis, lemianti įcentrinį pagreitį an=2r, besisukančioje atskaitos sistemoje atsiranda nuo centro nukreipta išcentrinė inercijos jėga =m2r. Išcentriniai siurbliai, separatoriai, skalbiamųjų mašinų gręžtuvai, viesulai, kosmonautai – visiems praverčia išcentrinė jėga.
KŪNO SVORIS. NESVARUMAS
Žemė ne tik traukia pagal visuotinį traukos dėsnį, bet ir visur, išskyrus ašigalius, stumia sukimosi išcentrine jėga. Pusiaujyje ji didžiausia (didžiausias atstumas nuo Žemės sukimosi ašies) ir priešinga traukos jėgai; kitur ji mažesnė ir nepriešinga traukai. Tų jėgų atstojamoji sudaro sunkio jėgą F=mg.
Laisvojo kritimo pagreitis g mažėja tolstant iš ašigalio pusiaujo link nuo 9,83 m/s2 iki 9,79 m/s2. Gerai, kad Žemė neskuba suktis, o tai mus nutėkštų. Vis dėlto ryšių palydovų, pakabintų 36000 km virš ekvatoriaus, išcentrinę jėgą atsveria jau apsilpusi gravitacijos jėga.
Nesvarūs kosminės stoties atžvilgiu ir kosmonautai – jų dėl orbitos kreivumo inercijos jėga (kaip ir viskam laive) atima žemės traukos jėgą. Būsena, kai gravitacijos jėgą atsveria inercijos jėga, vadinama nesvarumu. Jai pakaktų ir paprasto kritimo, pvz., su liftu. Tik ar ilgam?
Kūnų svoris yra reliatyvus: tai gravitacijos ir inercijos (dėl pagreičio ae, kurį suteikia atskaitos sistema) jėgų atstojamosios didumas P. Jei ae rodo aukštyn (ima kilti raketa, liftas, sūpuoklės pereina pusiausvyrą), svoris P=m(g+a); kai pagreitis ae nukreiptas žemyn, P=m(g-a); kai ae horizontalus (ledo karuselės įcentrinis pagreitis, išcentrinė jėga), svoriui pasitelksime “Pitagorą” . Vaidenasi: dėl šoninės inercijos jėgos mae pasviro Žemė arctg(ae/g) kampu.
13 pavyzdys. Per kiek laiko turėtų apsisukti apie savo ašį 4m spindulio kosminis laivas, kad jo gyventojas pajustų dešimtadalį “žemiško” svorio?
<:=> R=3m, g*=0,1g=1m/s2. <?> T
Išcentrinė jėga čia atstoja svorį, tad įcentrinis pagreitis a=g*. a=ω2R; ω=0,5rad/s. Periodas T=2π/ω. Τ=12,6s. Apsisuks galva!
Žemės ašis
Fi
β
Fg
P ašis
12. SUKASI PLANETA
14 pavyzdys. Koks būtų laisvojo kritimo pagreičio g* didumas 600 Šiaurės platumoje, jeigu Žemė, likdama rutuliu, suktųsi 10 kartų greičiau ir dėl to vieną masės kilogramą veiktų 1,7 N išcentrinė jėga?
<:=>α=600, m=1kg, Fg=9.83N, Fi=1.7N; <?> g*.
Svorio jėga – gravitacijos Fg ir inercijos Fi jėgų, tarp kurių kampas β=1800-600=1200, suma (vektorinė!). Sudedame pagal kosinusų teoremą: P= . Kadangi cos1200=-cos600=-1/2, P=9.10N. Tad laisvojo kritimo pagreitis g*=P/m ten būtų 9.10m/s2.
F1
F2
13.ARCHIMEDO JĖGA F2 –F1
SKYSČIO (DUJŲ) SLĖGIS. ARCHIMEDO JĖGA Skystyje ar dujose S ploto paviršių spaudžia viršutinio sluoksnio masė. Ji lygi tūrio V=Sh (h – sluoksnio aukštis) ir tankio sandaugai: m=Sh. Masės ir laisvojo kritimo pagreičio sandauga yra svorio jėga F=mg=Shg. Slėgis yra iš ploto padalyta jėga: p=F/S.
Gauname skysčio ar dujų sluoksnio slėgio formulę: p=gh. Slėgis matuojamas paskaliais: Pa=N/m2. Mūsų atmosfera ties Žemės paviršium slegia apie 100000 paskalių – maždaug kiek 10 metrų vandens sluoksnis ar 76 cm gyvsidabrio.
Nors slėgį gauname dalydami jėgą iš ploto, jis nėra vektorius: dar Paskalis nustatė, kad duotajame taške slegiama visomis kryptimis vienodai.Archimedo jėga gaunama todėl, kad kūno apačią aukštyn slegia stipriau (ji – giliau) negu viršų. Ta jėga lygi slėgių skirtumui, padaugintam iš ploto. O tai – pagramzdintu kūnu išstumto skysčio (oro) slėgis.
Tad Archimedo dėsnis: panardintą kūną kelia jėga F=ρVg, lygi juo išstumto skysčio (ar dujų) svoriui (ρ – tankis to, kas panardinta, V – tūris to, kas išstumta). Kai išstumtas skystis sveria mažiau už panardintą kūną, jis grimzta, kai daugiau – kyla, o kai išstumi tiek, kiek sveri, plūduriuoji!
IMPULSO TVERMĖS DĖSNIS
Trečiuoju Niutono dėsniu paaiškinamas impulso tvermės dėsnis: jeigu išorinių jėgų nėra, vidinės jėgos gali pakeisti tik kiekvienos savo sistemos dalies judėjimą, tačiau bendra masių ir greičių sandaugų suma – visas impulsas išsilaiko.
Tarkime, kad yra tik du nuo kito pasaulio izoliuoti kūnai, o sąveika – tik tarp jų. Pirmąjį veikia antrasis jėga , antrąjį pirmasis jėga ; pagal III Niutono dėsnį , nes jos vienodo dydžio, bet priešingų krypčių. Rašome kiekvienam II Niutono dėsnio lygtis: , . Sudedame šias lygtis, įrašę vietoj pagreičių jų apibrėžimus: . Kairioji pusė pasinaikina, t suprastinamas; neigiamus narius (su pradiniais greičiais) perkeliame kairėn: . Tai ir yra impulso (judesio kiekio) tvermės dėsnis, reikalaujantis, kad kai nėra pašalinių jėgų, nekistų nei impulso didumas, nei jo kryptis.
Pastaba: Niutonas savo II dėsnį suformulavo ne taip, kaip mes jį pateikiame. Štai “niutoniškasis” tiesiajam judėjimui: jėgos impulsas FΔt yra lygus judesio kiekio pokyčiui mΔv. Matematiškai FΔt=mΔv dalydami iš Δt “atnaujiname”: F=mΔv/Δt; kadangi Δv/Δt=a (iš laiko padalytas greičio pokytis), vėl gauname įprastą F=ma. Šiuo metu įteisintas teoretikų žargonas: judesio kiekis mv pramintas impulsu.
15 pavyzdys. Kiek greičio į priekį reikia 80 kg masės vartininkui, kad jis, sugavęs horizontaliai 30 m/s greičiu skriejusį 0.8 kg masės sviedinį, nusileistų su juo tiesiai žemyn (o ne į vartus)?
<:=> m1=80kg; m2=0,8kg; v20=30m/s; v1=v2=0.
<?> v10.
Sulyginkime pradinį ir galinį horizontalųjį impulsą:
m1v10-m2v20=0 v10= m2v20/m1=0,3m/s.
REAKTYVUSIS JUDĖJIMAS
Impulso tvermės dėsniu paaiškinama atatrankos arba reaktyvioji jėga. Iš pertvarkyto impulso tvermės dėsnio matyti: m2 masės kūno (tarkime, raketos) greitis padidėja, kuo greičiau (t.y. kuo didesniu išmetamųjų dalelių greičiu v1-v10) ir kuo didesnė masė m1 (lyginant su pagrindine m2) išmetama atgal (minusas dešinėje). Tuo ir grindžiami reaktyviniai bei raketiniai varikliai. Reaktyviniai varikliai siurbia į save orą, o paskui jį išmeta. Tik raketiniai betinka ten, kur nėra nei ką siurbti, nei į ką “atsispirti”.
MECHANINIS DARBAS
F
v FL
14. ”DIRBANTI”
JĖGA FL=Fcos
Iš II Niutono dėsnio matematiškai išvedama: A=Ek: visų jėgų, veikiančių kūną, atstojamosios darbas A yra lygus to kūno kinetinės energijos pokyčiui. Darbą atlieka tik judėjimo kryptimi veikianti (lygiagrečioji) jėgų dedamoji FL, nes tik ji, o ne statmena greičiui jėga Fs, gali pakeisti greičio didumą, per kurį išreiškiama kinetinė energija Ek=mv2/2.
Darbo formulė: A=FL s. Čia FL=Fcos – nekintanti jėgos dedamoji judėjimo kryptimi, išreiškiama visos jėgos sandauga su kampo tarp jėgos ir greičio kosinusu. Kai kampas tarp jėgos ir greičio smailusis, greitis didinamas ir darbas yra teigiamas. Kai kampas bukasis, jėga yra stabdanti ir jos darbas – neigiamas. Darbas, kaip ir energija, yra matuojamas džauliais. [A]=N m=J: džaulis yra lygus niutonui, padaugintam iš metro.
16 pavyzdys. 4 tonų masės automobilio greitis sumažėjo nuo 72km/h iki 54km/h. Kokį bendrą darbą atliko visos automobilį veikusios jėgos ( jėgų atstojamoji)?
<:=> m=4000kg; v1=20m/s; v2=15m/s. <?> A
Visas darbas A lygus kinetinės energijos pokyčiui mv22/2-mv12/2. A=-350kJ. Darbas neigiamas – jėgos greitį pamažino.
Klastos pavyzdys. Kad pagirdytų karves, šeimininkas iš 4,7 metrų gylio pasėmė 9 kibirus vandens ir supylė jį į girdyklą. Apskaičiuokime visą vandenį veikusių jėgų darbą.
Neskaičiuosime. Ir ne todėl, kad nepasakyta, kiek vandens tilpo kibire, o todėl, kad tas darbas lygus nuliui, nes vandens kinetinė energija ir šulinyje, ir girdykloje – nulis.
GALIA Vidutinė galia yra viso darbo santykis su to darbo trukme: N=A/t. Matuojama vatais – =J/s – džauliu per sekundę. Kilovatas – 1000 kartų didesnis. Nepainiokime: kilovatvalandė kWh yra ne galios, o darbo ar energijos matas. Tai 3600000 džaulių – 3600 valandos sekundžių, padauginta iš 1000 vatų. Momentinė galia – tai vidutinė nykstamai trumpo laiko galia. Jos išraiška per greitį ir jėgos projekciją į jį: N=FL v. Dar vartojamas galios vienetas arklio jėga (AJ) sudaro maždaug 0,735 kilovato.
POTENCINĖ ENERGIJA
Potencialinėmis vadiname tas jėgas, kurių darbas priklauso tik nuo pradinės ir galinės perkelto kūno padėties ir nepriklauso nuo trajektorijos. Tokios yra svorio, tamprumo, gravitacijos, elektrostatinės jėgos. Nepotencialinių jėgų darbą lemia ir trajektorija. Tai trinties, oro ar skysčių pasipriešinimo, biologinės jėgos. Jeigu kažką keliame į h aukštį, svorio jėga mg priešindamasi atliks darbą A=-mgh.
Potencinės energijos išraiškos: svorio Ep=mgh; tamprumo Ep=kx2/2; gravitacijos jėgai Ep=-Gm1m2/r. Svarbi savybė: jėgos veikia taip, kad potencinė energija mažėtų. Štai kodėl gravitacijos potencinė energija, bandanti išlaikyti kūną savo veikimo zonoje, yra neigiama. Kad ištrūktum iš Žemės traukos sferos, reikia, kad kinetinės ir potencinės energijos suma, t.y. visa mechaninė energija būtų teigiama.
MECHANINĖS ENERGIJOS TVERMĖS DĖSNIS
Krintantį atgal kūną Žemė paskatins papildomu darbu, išreiškiamu potencinės energijos pokyčiu Ep=mgh=-A. Sujungiame šią formulę su A=Ek: (Ep+Ek)=0. Išvada: potencialinių jėgų veikiamo kūno potencinės ir kinetinės energijos suma, vadinama pilnutine mechanine energija (E= Ep+Ek), nekinta, o tik pereina iš vienos rūšies į kitą. Taip būtų, pvz., su aukštyn mestu kūnu, jei oras nesipriešintų – kylant kinetinė energija mažėtų, tiek pat paaugant potencinei, o krintant, atvirkščiai, potencinė pereitų į kinetinę.
Kadangi Žemės traukos potencinė energija neigiama, o kinetinė – tik teigiama, tai iš Žemės traukos zonos ištrūkti įmanoma tik tada, kai visa mechaninė energija E=Ek+Ep>0: teigiama kinetinė atsveria neigiamą potencinę.
17 pavyzdys. 3cm suspausta 2000N/m standumo ideali spyruoklė išmetą aukštyn 50 gramų rutuliuką. Į kokį aukštį h jis pakiltų?
<:=> x=0,03m, k=2000N/m, m=0,050kg <?> h
Kadangi išmetimo greitis nerūpi, tardami, kad mechaninės energijos nedingo, lyginame pradinę ir galinę energiją: kx2/2=mgh; h=kx2/2mg; h=1,8m.
18 pavyzdys. Pasyvaus (išjungti varikliai) kosminio laivo greitis 600km atstumu nuo Žemės yra 10 km/s. Kaip aukštai jo greitis bus 6 km/s?
<:=> R=6,4.106 m; g=10 m/s2; h1=6.105 m; v1=10000 m/s; v2=6000m/s. <?> h2.
Sprendimas. Iš mechaninės energijos tvermės dėsnio , laisvojo pagreičio išraiškos g=GM/R2 ir r1=R+h1 išvedame =1/15,4.106m; r2=15400km. Kadangi r2=R+h2, h2=(15400-6400)km=9000 km.
“Ir tarė margieji: “Negrįšim į Žemę”” (Vincas Mykolaitis Putinas). 18 pratimo sprendinys tai laimina: toli toli nuo jos 1/r2=0, v2=0. Tarus, kad “mestelėjo” beveik nuo paviršiaus (r1=R), iš ano atsakymo formulės teliks . Iš čia – antrojo kosminio greičio formulė . v2=11,2km/s.
Kad palydovas skrietų apskritimu, jam gana kartų mažesnio pirmojo kosminio greičio . v1=7,9km/s. v2=0,7v1.
Trečiasis kosminis greitis v3=16,7km/s. Tiek greičio reikia suteikti (kaip ir anais atvejais – už atmosferos ribų) kosminiam objektui, kad jis, ištrūkęs iš Žemės traukos sferos jos judėjimo kryptimi, visai išlėktų iš Saulės sistemos.
Mechaninės energijos tvermės dėsnis taikytinas ir smūgiui aprašyti, nes paprastai jo metu garsas, šiluma, liekamoji deformacija pasiima tik mažą smūgio energijos dalelę. Jeigu, pvz., standžiai susiduria du m1 ir m2 masės rutuliukai, turėję vienos krypties v10 ir v20 greičius, tai jiems rašome ir energijos, ir impulso tvermės dėsnį, žinodami, kad smūgio trukmė per maža sistemos impulsui ar kinetinei energijai pakeisti: m1v102/2+m1v202/2=m1v12/2+m1v22/2; m1v10+m1v20=m1v1+ m1v2 (v1, v2 – greičiai po smūgio).
19 pavyzdys. Standžiai susidūrė priešais 2m/s ir 4m/s greičiais judėję vienodų masių rutuliukai. Kokie jų greičiai po smūgio?
<:=> v10=-2m/s, v20=4m/s, m1=m=m2. <?> v1, v2.
Iš smūgio lygčių m1v102/2+m1v202/2=m1v12/2+m1v22/2; m1v10+m1v20=m1v1+ m1v2, įrašę sąlygos duomenis, gauname: v1=4m/s, v2=-2m/s. Rutuliukai “pasikeitė greičiais”. Tik nepamanykite, kad taip visi standūs rutuliukai elgiasi!
Nepotencialinėms jėgoms mechaninės energijos tvermės dėsnis negalioja, nes jos verčia mechaninę energiją į kitas rūšis. Arba atvirkščiai. Biologinė, cheminė, elektrinė, branduolinė verčiama į mechaninę; mechaninė – į šiluminę, elektrinę, garso ir t.t.
Kai “dirba” ir potencialinės, ir nepotencialinės jėgos, mechaninės energijos tvermės dėsnis negalioja. Tada nepotencialinių jėgų darbas An nusako, kiek mechaninės energijos virsta kitomis energijos rūšimis ir atvirkščiai: An=E.
20 pavyzdys. Stabdydamos 2 kg grumstą, pasipriešinimo jėgos atliko neigiamą 16J darbą. Kokį greitį turės grumstas, nukritęs 8 metrus?
<:=> m=4kg; v0=0; An=-16J; h=8m. <?> v.
Nepotencinių (pasipriešinimo) jėgų darbas lygus visos mechaninės energijos pokyčiui E-E0. E0= mgh+mv02/2; apačioje E= mv2/2. An=mv2/2- (mgh+mv02/2). v= =12m/s.
Beje, “laisvai” nukristų 0,65m/s didesniu greičiu.
O kiek mechaninės energijos virsta šilumine, kol vandens lašas nukrinta iš 5 km aukščio?
STATIKA
PUSIAUSVYROS SĄLYGOS IR RŪŠYS
Materialusis taškas judėjimo ar rimties būsenos nekeis, jei jį veikiančių jėgų atstojamoji bus lygi nuliui. Tai ir yra pusiausvyros sąlyga. Tačiau būna – pūstelėja vėjas. Pastumia nedaug, o griūna garsiai. Jeigu po nedidelio nukrypimo nuo pusiausvyros vietos jėgų atstojamoji nukreipta jos link, atgal, pusiausvyrą vadiname pastoviąja (stabilia), jeigu priešingai – nepastoviąja (nestabilia). Pusiausvyros rūšis atpažįstama ir pagal potencinę energiją: materialieji kūnai gyvai siekia prasigyventi kinetinės energijos, atimdami ją iš potencinės. Tad pastovioji pusiausvyra būna ten, kur potencinės energijos minimumas, o nepastovioji, kur maksimumas.
Tačiau realūs kūnai – ne taškai. Jie, jei padėsi, ims suktis. Todėl jiems dar viena – jėgų momentų pusiausvyros – sąlyga.
FA B
A
C O
FB
D
FC FD
15. JĖGOS SU JŲ PEČIAIS
Jėgos momentas yra jėgos ir peties sandauga. Jėgos petys duotojo taško (pvz., sukimosi ašies) atžvilgiu yra atstumas (statmuo) nuo to taško iki jėgos linijos – tiesės, nubrėžtos išilgai jėgos vektoriaus. Momentas, sukantis prieš laikrodžio rodyklę, yra teigiamas, o prieš – neigiamas. Bendras 15 br. pavaizduotų jėgų momentas: M=OA.FA-OB.FB+OC.FC-OD.FD. Būtina pusiausvyros sąlyga: kūną veikiančių jėgų momentų suma yra lygi nuliui. Pusiausvyros vis tiek nebus, jeigu tą kūną veikiančių jėgų (ne tik momentų) atstojamoji nelygi nuliui.
21 pavyzdys (kampinės svarstyklės). Prie stataus lygiašonio trikampio, pakabinto stačiajame kampe C, smailųjų viršūnių užkabinus etaloninį 2kg ir nežinomos masės M svarelį, jo statinis SB’ pasviro nuo vertikalės 300 kampu. Raskime to svarelio masę M.
<:=> m=2kg, α=300. <?> M
Pusiausvyros sąlyga: CA.mg-CB.Mg=0. Iš stačiųjų trikampių CA=dcosα, BC=dsinα. M=mctgα; Kai α=300, M=2 =3,5 kg. Nenubrėžėme CB’ spindulio lanku netolyginės (pagal tgα) skalės, tad “pasvėrėme” neypatingu tikslumu.
A C B
α d d α
mg B’
Mg
16. SVERIAME
SVORIO CENTRAS. MASĖS CENTRAS
Visų kūno molekulių svorio jėgos yra lygiagrečios, tad jas, nesusikertančias viename taške, nėra kaip sudėti. Tačiau ir čia veikia jėgos momentų taisyklė: yra tokia vertikali ašis, kurios atžvilgiu svorio jėga nesuka, nes bendras momentas lygus nuliui. Kaip kūną bepasuktum, visos tos ašys susikerta viename taške – to kūno svorio centre. Kūnas, pakabintas už bet kurio svorio ašies taško, bus pusiausviras. Tačiau pusiausvyra stabili tik tada, kai svorio centras yra žemiau pakabinimo taško.
Žinodami kūno dalių svorius P1, P2, P3 ir jų centrų koordinates x1, x2, x3, iš momentų taisyklės randame viso kūno svorio centro koordinatę .
Kadangi svoris proporcingas masėms, skaitiklyje ir vardiklyje suprastinę g gauname masės centro koordinatės formulę . Analogiškos formulės – y ir z koordinatėms. Būtent kūno masės centrui rašomas II Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji yra lygi to kūno masės ir masės centro pagreičio sandaugai. Jeigu ta atstojamoji eina per masės centrą, ji kūno nesuka; jeigu masės centro atžvilgiu išorinių jėgų momentas nelygus nuliui, tos jėgos dar ir suka.
PAPRASTIEJI MECHANIZMAI. NAUDINGUMO KOEFICIENTAS
Visiems paprastiesiems mechanizmams: svertui, sraigtui, skridinių sistemai, nuožulniajai plokštumai, hidrauliniam presui, – ta pati auksinė taisyklė: kiek laimi jėgos, tiek pralaimi kelio. Ji būtų teisinga tik idealiems mechanizmams, kurių darbams galiotų mechaninės energijos tvermės dėsniu grįsta formulė F1s1=F2s2. Tačiau dėl trinties, žlugdančios dalį mechaninės energijos, ir kitų priežasčių ne visas mechanizmo darbas naudingas. Naudingo darbo An santykį su visa sunaudota energija (visu darbu) A vadina naudingo veikimo koeficientu η. Jo formulė η=An/A. Paprastai jis skaičiuojamas procentais.
MOLEKULINĖ FIZIKA
PAGRINDINIAI MOLEKULINĖS TEORIJOS TEIGINIAI
Medžiagą sudaro judančios ir sąveikaujančios molekulės. Jų spindulys r10-10 m, masė m0 10-26 kg, greitis v 102m/s. Medžiagos kiekiu (moliais) vadiname to kūno molekulių skaičiaus N santykį su Avogadro skaičiumi NA: v =N/NA. Avogadro skaičius (vieno molio molekulių skaičius) nustatytas bandymais: NA 6.1023mol-1.
Vieno molio masė M yra vienos molekulės masė m0, padauginta iš molekulių skaičiaus NA molyje: M=m0NA. Medžiagos masė m=Nm0=M. Tai, kad molekulės juda chaotiškai ir gana greitai, liudija difuzijos reiškinys – medžiagos molekulės greit pasklinda, ypač tada, kai tarpai tarp molekulių dideli (pvz., dujose). Dar XIX amžiaus pradžioje pastebėtas Brauno reiškinys – smulkios negyvosios gamtos medžiagos dalelės skystyje “šokinėja” – mat jas chaotiškai tranko skysčio molekulės.
Beveik visi kūnai kaitinami plečiasi. Vadinasi, šildant jų chaotiškas judėjimas intensyvėja, ir tam prireikia daugiau vietos. Bolcmanas apskaičiavo, kad dujų slėgis – chaotiško sienelių daužymo molekulėmis padarinys – išreiškiamas formule p=v2/3 (=m/V – tankis; v2 – greičio kvadrato vidurkis). Jeigu medžiagos tūrio V vienete yra n molekulių (n=N/V dar vadina molekulių tankiu ar koncentracija), tai, pasinaudoję vienos molekulės kinetinės energijos formule E0=m0v2/2, gauname pagrindinę kinetinės teorijos lygtį: p=2nE0/3 – dujų slėgis tiesiog proporcingas molekulių koncentracijai ir vidutinei vienos molekulės kinetinei energijai.
TEMPERATŪRA. ABSOLIUTINĖ TEMPERATŪRA
Temperatūra apibūdina bendrą visos sistemos, sudarytos iš daugybės molekulių, būseną. Jei yra šiluminė pusiausvyra – šilumos perdavimo nėra, visų sistemos dalių temperatūra vienoda. Jei pusiausvyros nėra, temperatūra aukštesnė ten, iš kur šiluma ateina.
Temperatūros matavimas grindžiamas medžiagų tūrio didėjimu proporcingai temperatūrai. Tuo grįstas gyvsidabrinis ar spiritinis termometras tariant, kad normali tirpstančio ledo temperatūra yra 00C, o verdančio – 1000C. Taip praktiškai nustatoma Celsijaus temperatūros skalė.
Svarbi Bolcmano gauta molekulinės – kinetinės teorijos išvada: temperatūra tuo aukštesnė, kuo didesnė vienos molekulės vidutinė kinetinė energija E0. Būtent, jei medžiagos molekulė vienatomė, tai E0=3RT/2NA. Čia R8.31 J/K mol – universalioji dujų konstanta, T – kelvinais (K) matuojama absoliutinė (Kelvino) temperatūra, parinkta taip, kad absoliučios rimties, kai nė viena molekulė jau nejuda (E0=0), absoliutinė temperatūra taip pat būtų nulinė. Bandymais patvirtinta, kad absoliutinė temperatūra T skiriasi nuo Celsijaus temperatūros t maždaug 273 K: T=t+273 K.
IZOLIUOTŲ SISTEMŲ PUSIAUSVYRINIAI IR STACIONARIEJI PROCESAI
Jeigu dujos, sudarytos iš labai daug (milijardų milijardai) molekulių, paliekamos vienos sau, jose ilgainiui temperatūra ir kiti visas dujas apibūdinantys parametrai (tankis, slėgis) suvienodėja, nustoja kisti. Tokias sistemas vadina uždaromis (izoliuotomis), o nusistovėjusią būseną – pusiausvyrine. Jai būdinga ir tai, kad nustoja persiskirstyti šiluma; tos būsenos vardas – šiluminė pusiausvyra.
Tai, žinoma, idealizacija, įgalinanti paprasčiausiai matematiškai tą būseną aprašyti. Šis pusiausvyrinis aprašymas tinka ir nenusistovėjusiems procesams, jeigu jie pakankamai lėti ir dar turi prasmę tokie visas dujas apibūdinantys dydžiai, kaip temperatūra, slėgis, tankis ir t.t. Šitokius procesus vadina stacionariaisiais.
Pastaruoju metu ypač populiarėja mokslas apie nepusiausvyrinius, neuždarų sistemų procesus. Vadinamas jis sinergetika, ir jį ypač pamėgo dalis politologų, pranašaujančių, kad tai – universalus, netgi politinius procesus aiškinantis mokslas. Dar viena fizikų išperėta mada…
IDEALIŲJŲ DUJŲ BŪSENOS (KLAPEIRONO) LYGTIS
Ji gauta apibendrinant eksperimentu gautus dėsnius – Boilio ir Marijoto, Gei Liusako, Daltono. Tačiau išvedama ji ir teoriškai. Iš formulių , Ν=νNA ir p=2nE0/3 gauname Klapeirono lygtį: . Šiam dėsniui pavaldžias dujas vadiname idealiosiomis – ne dėl jų tobulumo, o dėl to, kad jų būsena užrašoma nesudėtingai. Kita Klapeirono lygties forma: ; joje vietoje ν parašyta m/M. Unikalus dviejų sandaugų – slėgio iš tūrio pV ir medžiagos kiekio iš temperatūros νΤ – santykis: jis visada išlieka vienodas!
Galima užrašyti ir taip: . Tai – universalioji dujų lygtis.
Iš idealiųjų dujų universaliosios lygties gauname konkrečių procesų dėsnius. Kai dujų medžiagos kiekis nekinta (v=v0), izoterminiam procesui (T=T0) T ir ν susiprastina, ir gauname Boilio ir Marijoto dėsnį pV=p0V0 , arba p/V=V0/p0 – kai temperatūra nekinta, slėgis atvirkščiai proporcingas tūriui;
izobariniam procesui (p=p0) susiprastina p ir ν ir gauname Gei Liusako dėsnį V/T=V0/T0 – kai slėgis pastovus, tūris proporcingas absoliutinei temperatūrai;
17. IZOBARŲ PROCESO (GEI LIUSAKO DĖSNIO) GRAFIKAI
izochoriniam procesui (V=V0) V ir ν susiprastina ir gauname Šarlio dėsnį p/T=p0/T0 – kai tūris nekinta, slėgis tiesiog proporcingas absoliutinei temperatūrai.
Kai nekinta nei slėgis, nei temperatūra (p=p0, T=T0), gauname V/ν=V0/ν0 – izotermiškai izobarinio proceso tūris tiesiog proporcingas dujų molių kiekiui.
p ir V ašių sistemoje izoterminį procesą grafiškai vaizduoja hiperbolė.
18. IZOTERMŲ (BOILIO IR MARIJOTO DĖSNIO) GRAFIKAI
V ir T ašių sistemoje izobarinį procesą vaizduoja tiesės atkarpa; ji eitų per koordinačių pradžią, jeigu pavyktų pasiekti absoliutų nulį (teorija teigia, jog tai neįmanoma; be to, negali net ir sustingusios molekulės likti be tūrio).
p ir T sistemoje izochorinį procesą, nusakomą Šarlio dėsniu, vaizduoja per koordinačių pradžią einanti tiesė.
19. IZOCHORŲ (ŠARLIO DĖSNIO) GRAFIKAI
Užrašykime Gei Liusako (ar Šarlio) dėsnį per Celsijaus temperatūrą t, parinkę pradiniam taškui t0=00C – Celsijaus nulį (T0=273K): V=V0(1+t/T0). Šio dėsnio grafiko tiesė jau kerta t ašį -2730C temperatūros taške. Panašiai ir Šarlio dėsniui: p=p0(1+t/T0).
SOTIEJI GARAI. ORO DRĖGMĖ
V (arba p)
t
-273
19. GEI LIUSAKO (ARBA ŠARLIO) DĖSNIS “CELSIJUI”
Garavimas vyksta tol, kol iš skysčio į orą patenka daugiau molekulių negu iš oro į skystį. Tačiau, gausėjant garų ore, pasiekiama dinaminė pusiausvyra – abu molekulių srautai susilygina. Tokią būseną vadina sočiaisiais garais. Sočiuosius garus apibūdina jų tankis (garų masė tūrio vienete) s. Jis priklauso nuo temperatūros: kuo aukštesnė temperatūra, tuo lengviau skysčio molekulės ištrūksta, ir jų tankis s ore didėja.
Garų tankis (gali būti ir slėgis p) ore vadinamas absoliučiąja drėgme. Kai oras garų prisotintas, absoliučioji drėgmė prilygsta sočiųjų garų drėgmei s, kuri su temperatūra didėja.
Santykine drėgme vadina absoliučiosios drėgmės santykį su tos pačios temperatūros sočiųjų garų absoliučiąja drėgme: =100%/s. Jeigu kylant temperatūrai absoliučioji drėgmė nekinta (pvz., nėra iš ko garuoti arba nespėjama), santykinė drėgmė mažėja dėl s didėjimo. Atvirkščiai, krintant temperatūrai, s gali sumažėti tiek, kad ji susilygins su absoliučiąja drėgme.
Toliau atšąlant drėgmės perteklius kondensuojasi – pasirodo rasa. Ta temperatūra, iki kurios atšaldžius orą, santykinė drėgmė pasiekia 100%, vadinama rasos tašku. Tuo ir pagrįstas vienas santykinės drėgmės matavimo būdų: oras šaldomas, kol pasirodo rasa, ir tada pagal sauso ir drėgno termometro parodymus iš lentelių nustatoma santykinė drėgmė.
VIRIMAS
Kol skystis neverda, molekulės, įveikusios skystį ribojančios plėvelės įtempimą, tik iš jo paviršiaus pavienės peršoka į orą. Giliau esančios neišsiveržia, kol nesusigrupuoja į burbuliukus. Kai pasiekiama tokia temperatūra, kuriai burbuliukų slėgis atsispiria skysčio slėgiui, tie garų kamuoliukai ima kilti aukštyn. Tai ir yra virimas – garavimas skysčio viduje. Temperatūra, kurioje prasideda virimas, vadinama virimo temperatūra.
Kiekvienam skysčiui ji sava, individuali. Vandeniui tai 1000C, spiritui žemesnė, riebalams – aukštesnė. Tačiau konkretaus skysčio virimo temperatūra nėra konstanta – ji priklauso nuo slėgio. 1000C vanduo užverda, kai slėgis – viena atmosfera.
Kalnuose užverda vėsesnis, o geizerių gelmėse, iki ištrykšdamas fontanu, būna gerokai virš 1000C. Paaiškinimas: kuo didesnis slėgis ten, kur gimsta burbulai, tuo daugiau vidinės energijos, vadinasi, ir temperatūros, jiems reikia, kad išsiveržtų. Labai giliai, kur vanduo slegia šimtais atmosferų, vandens užvirinti nepajėgia net karštuolė magma.
Jei stipriai suslėgtume aukštesnės nei 1000C temperatūros garus, jie virstų vandeniu. Ne tik garai, bet ir kitos stipriai suspaustos dujos. Tačiau tik su sąlyga – jei jos ne per karštos. Kiekvienos turi kritinę ribą, vadinamą krizine temperatūra tk, kurią viršijus jau jokiu slėgimu dujų nesuskystinsi. Tą slėgį, kuris dar skystina prieš pat krizinę temperatūrą, vadina kriziniu slėgiu pk. Vandens garams tk=3740C, pk=225 atmosferos, azotui – tk=-1470C, pk=34 atmosferos.
VIDINĖ ENERGIJA
Kūno vidinė energija U susideda iš jo molekulių sąveikos potencinės energijos ir jų chaotiško judėjimo kinetinės energijos. Vienatomių idealiųjų dujų U=3RT/2. Dviatomės molekulės ne tik skrieja, bet ir sukasi, tad joms prisideda dar du sukimosi apie ašis, statmenas molekulių jungimo linijai, judėjimai. Tokių molekulių vidinė energija U=5RT/2. Kol kulka skrieja (kryptingas judėjimas), jos skriejimo energija į vidinę U neįrašoma, tačiau, kai ji susidurs su akmeniu, jos įkaitusios molekulės padidins vidinę energiją. Jeigu vidinė energija didinama kaitinant (ar mažinama šaldant), sakoma, kad vyksta šilumos perdavimo procesas.
ŠILUMINIS JUDĖJIMAS. SAVITOJI ŠILUMA. ŠILUMOS KIEKIS
Energijos kiekį, perduodamą šilumos apykaitos būdu, vadina šilumos kiekiu Q (arba tiesiog šiluma). Šiluma, kaip ir energija, matuojama džauliais – [Q]=J.
Vartojamos ir kalorijos: viena kalorija – šilumos kiekis, pašildantis vieną kilogramą vandens vienu laipsniu.Yra keli šilumos perdavimo būdai: kontaktinis, arba šilumos laidumo, kai šiluma pereina iš vieno kontaktuojančio kūno į kitą (iš kambario per sieną – žiemos lauko orui), spindulinis (nuo karšto laužo ugnies), konvekcinis, kai kylantis oras (skystis) atsineša ir šilumą.Šilumos kiekis, reikalingas m masės kūnui pašildyti t kelvinų, užrašomas formule: Q=cmt.
Čia c – savitoji šiluma. Kiekvienai medžiagai ji sava ir randama specialiose lentelėse. Jos matavimo vienetai – [c]=J/kgK.
Savitoji šiluma nurodo, kiek šiluminės energijos reikia tos medžiagos masės kilogramo temperatūrą pakelti vienu laipsniu.Kietasis kristalinis kūnas, nekeldamas savo temperatūros, ima šilumos pavidalu energiją, kad jo molekulės ištrūktų iš tvarkingų gardelių – kūnas išsilydytų.
Lydymosi šiluma apskaičiuojama formule: Q=λm. Čia λ – savitoji lydymosi šiluma. Tai šilumos kiekis vienam kilogramui medžiagos išlydyti be temperatūros pakitimo. Analogiškai skaičiuojama garavimo šiluma: Q=rm. Čia r – savitoji garavimo šiluma. Tiek jos reikia vienam kilogramui virimo temperatūros skysčio išgarinti; randama ji lentelėse.
PIRMASIS TERMODINAMIKOS DĖSNIS
P
V
Izoterma___ ir adiabatė……..
Dujų darbas. Jeigu dujos plečiasi, stumdamos sienelę, jos savo vidinės energijos sąskaita atlieka darbą. Judėjimo kryptimi mechaninis darbas A=Fs. Įrašome slėgio jėgą F=pS: A=pSs. Atstumas s, padaugintas iš ploto S, yra dujų tūrio pokytis V.
Tad dujų plėtimosi darbas A =pV yra lygus jų slėgio ir tūrio pokyčio sandaugai. Kai slėgis nėra pastovus, darbas skaičiuojamas sudėtingiau, pvz., grafiškai – tai p – V plokštumoje plotas tarp proceso grafiko kreivės ir V ašies. Darbas nusako, kiek vienos rūšies energijos virsta kita.
Tačiau galioja universalus energijos tvermės dėsnis: energija pati savaime nedingsta ir neatsiranda, o tik pereina iš vienos rūšies į kitą. Tai ir yra nusakoma pirmuoju termodinamikos dėsniu: Q=U+A. Pagal jį – kūno vidinės energijos pokyčio ir jo darbo suma yra lygi tam kūnui suteiktai šiluminei energijai Q. Pirmajam termodinamikos dėsniui yra lygiavertis tvirtinimas: neįmanomas amžinasis variklis.
Konkretūs atvejai dujoms: kai šiluma kūnui neperduodama (pvz., nespėja dėl proceso spartumo), Q=0, ir pV= -U – adiabatinio proceso darbas atliekamas vidinės energijos sąskaita. Tokio proceso grafikas panašus į izoterminio, tik statesnis;
dujų izoterminio proceso vidinė energija U=3RT/2 nekinta T=0), ir darbas A lygus gautos šilumos kiekiui: pV=Q;
p 1
T1 (izoterma)
2
4 adiabatė
3
izoterma T2
V
21. KARNO CIKLAS
jei darbas neatliekamas – dujos nei plečiasi, nei traukiasi – visa šiluma eina vidinei energijai didinti: Q=U. Taip, pavyzdžiui, sunaudojama šiluma tik kūnams kaitinti.
ŠILUMINIAI VARIKLIAI
Šiluminiai varikliai veikia periodiškai. Per vieną periodą (ciklą) varikliui iš šalies suteikiamos šilumos (paduodamas garas; uždegtas viduje degusis mišinys) kiekio Q1 dalis atlieka naudingą darbą A, kita, “nedirbusi” dalis Q2<Q1, išmetama (aušintuvas) kartu su dirbusiomis dujomis; A=Q1-Q2. Naudingumo koeficientas η yra darbo ir paduotos (šildytuvo) šilumos santykis: η=A/Q1; η=1-Q2/Q1.
Prancūzų mokslininkas Karno apskaičiavo idealaus variklio našumo koeficientą η*. Būtent, jeigu nebūtų šilumos nuostolių (dėl laidumo ir t.t.), o periodiškai pasikartojantį dujų proceso ciklą sudarytų dvi adiabatės, susikertančios su dviem izotermomis (šios lėkštesnės), idealusis naudingumas būtų η*=1-T2/T1. Čia T1 – šildytuvo (priimamoji), o T2 – šaldytuvo (grąžinamoji) temperatūra. Netgi tokiam idealizuotam naudingumui nepasiekiamas 100%, nes variklio išmetamų dujų temperatūra – ne absoliutus nulis. O kur dar kiti realūs šilumos ir darbo praradimai?
NEGRĮŽTAMIEJI PROCESAI. II TERMODINAMIKOS DĖSNIS
Jeigu po termodinaminio proceso, medžiaga grįžo į pradinę būklę su tais pačiais parametrais (slėgiu, temperatūra, tūriu ir t.t.), sakoma, kad įvyko uždaras ciklas. Jeigu šis vyksmas nieko nepakeitė ir medžiagos aplinkoje, sakoma, kad būta grįžtamojo proceso. Deja, tokie patogiai matematiškai aprašomi procesai – tik idealizacija, o realūs procesai – negrįžtamieji. Tiesa, Pelenei pasisekė: pelės jai surinko visas pabertas aguonėles. O man ne: plaukai gimtinėn negrįžta…
Dujas ir kitas medžiagas sudarančios dalelės linkę į chaosą, moksliškai apibūdinamą entropija, kuri izoliuotoje sistemoje nekinta arba tik didėja. Fizikas Klauzijus tai įformino entropijos didėjimo dėsniu: izoliuotos sistemos entropija nemažėja. Ši formuluotė praktiškai pasireiškia tuo, kad neįmanomas antrojo tipo amžinasis variklis. I tipo – tas, kuris atliktų darbą, nenaudodamas šilumos ar vidinės energijos. II tipo variklio svajonės pavyzdys: priversti dalį vandens perduoti šilumą kitai tos pačios temperatūros daliai – darbui atlikti. Deja, draudžia II termodinamikos dėsnis savaime pereiti šilumai į tą, kas nešaltesnis.
MEDŽIAGOS AGREGATINĖS BŪSENOS IR JŲ VIRSMAI
Kietasis kūnas (kristalinis arba amorfinis). Mažiausiose kristalų ląstelėse (monokristaluose) molekulės išsidėsčiusios tvarkinga rikiuote – kiekviename kristale savaip, tačiau nenustovi ramiai – virpa apie pusiausvyros padėtį. Dėl to, kad įvairiomis kryptimis monokristale rikiuojamasi savaip, tai ir tokių kūnų savybės (laidumas, trapumas ir kt.) priklauso nuo krypties. Tai – anizotropija. Monokristalai jungiasi į kristalus ir tampa polikristalais. Kristalai – tai deimantas, kvarcas, druska, snaigė ir t.t. Monokristalai turi taisyklingas briaunas, tačiau iš smulkių monokristalų sukurptame polikristale (pvz., metale) be gero mikroskopo to neįžiūrėsi.
t (temperatūra)
(šiluma)
Q
22. SKYSTĖJA
LEDAS __ IR DERVA …
Amorfiniuose kūnuose mažiau griežtumo, tvarka ten tik artimoji, o savybės visomis kryptimis vienodos (izotropija). Ištirpdyto kvarco kristalo molekulės, stingdomos klampioje aplinkoje, nespėja tvarkingai išsirikiuoti, – taip gaunamas amorfinis stiklas. Amorfiniai kūnai (pvz., derva) palaipsniui lydosi kylant jų temperatūrai, ir tuo metu nebūna esminio skirtumo tarp jų skystosios ir kietosios būsenos; kristalai, pasiekę lydymosi temperatūrą, tol nešyla, kol neišsilydo.
Polimerai – organiniai amorfiniai kūnai, kurių molekulės – cheminėmis jungtimis susieti ilgi vienos medžiagos siūlai, pajėgūs nenutrūkdami net kelis kartus pailgėti (guma, polietileninės plėvelės).
Skystuosiuose kūnuose molekulės juda be tvarkos, neturėdamos savo nuolatinės vietos. Būtent tvarkai išardyti prireikia papildomos energijos – savitosios lydymosi šilumos. Tarpai tarp molekulių kiek didesni nei kietuose kūnuose (išimtis – vanduo). Skysčiai jau neišlaiko savo formos – užsipildo pagal indo geometriją, nesvarumo būsenos tampa rutuliu. Difuzija – skirtingų molekulių išsimaišymas – daug spartesnis nei kietuose kūnuose.
Dujose tarp molekulių tarpai dešimteriopai didesni nei skysčiuose; sankabos potencinė energija daug mažesnė už chaotiško judėjimo kinetinę energiją. Dujų būseną aprašo Klapeirono lygtis.
Plazma – tai būsena, kai medžiagos molekulės tiek įkaitintos, kad besidaužydamos praranda dalį elektronų, kurie zuja tarp jonais tapusių molekulių ar atomų. Šiuo metu išmokta magnetiniais laukais sutūrėti (dalį sekundės) iki šimto milijonų laipsnių įkaitintą plazmą.
Perėjimas iš vienos būsenos į kitą vadinamas agregatinės būsenos virsmu. Tam reikia gauti (arba atiduoti) papildomų savitųjų energijų.
SKYSČIŲ PAVIRŠIŲ SAVYBĖS
A P A
B B
V
23. TRAUKIA MOLEKULĖS
Paviršiaus įtempimas. Skysčio vidinės molekulės V traukos laukas yra maždaug 10-27m3 tūrio rutulyje. Ją traukiančios visomis kryptimis jėgos beveik pasinaikina. Paviršiaus molekulę P traukiančių jėgų atstojamoji nukreipta žemyn (kompensavimui stinga aukštyn traukiančių). Taip atsiranda paviršinio sluoksnio AA-BB vidinis molekulinis slėgis, o dėl jo – praretinta skysčio paviršiaus plėvelė. Tuo įsitikinsime, atsargiai ant vandens nuleidę vaškuotą adatą (vandens paviršius įlinko, bet adata nenuskendo) arba pasigrožėję kūdros vandens čiuožikais.
Išilgai paviršiaus, statmenai jo d ilgumo ribai, veikia plėvelės įtempimo jėga F=σd. Čia σ =F/d yra paviršiaus įtempimo koeficientas. Jo didumą lemia medžiagos prigimtis ir jos temperatūra. Tarp didžiausių – gyvsidabrio σ=0,470N/m, vandens σ=0,073N/m.
Lašeliai ant stiklo.
Hg nedrėkina. Drėkina H2O.
α β
24. NEDRĖKINANTIS IR DRĖKINANTIS LAŠAS
Drėkinimas. Kadangi vidinės sąveikos jėgos tarp gyvsidabrio molekulių yra stipresnės negu tarp Hg ir stiklo, tai kraštinis kampas α yra bukasis. Vandens kraštinis kampas su stiklu β – smailusis. Sakoma, kad vanduo švarų (neriebaluotą) stiklą drėkina, o gyvsidabris – ne.
Kapiliarumas.
Drėkinantis skystis glaudžiasi prie sienelių. Tardami, kad jo kraštinis kampas artimas nuliui (visiškas drėkinimas), apskaičiuojame, jog jį kelia per visą kapiliaro apskritimo ilgį 2πr (čia r – kapiliaro spindulys) jėga F=σ*2πr. Į h aukščio kapiliarą telpa ρ*πr2h=m skysčio masė, kurią atlaikys F=σ*2πr=mg=ρ*πr2hg paviršiaus įtempimo jėga. Iš čia: kapiliaru skystis gali pakilti į aukštį. Pušis gena gyvąjį vandenį iš šaknų į 29 m aukštyje bręstantį kankorėžį milijonais r<0,5μm spindulio (mikrono skersmens) kapiliarų.
KIETŲJŲ KŪNŲ DEFORMACIJOS. HUKO DĖSNIS
Deformacijos. Po plastinės, sutrikdančios būtąsias tarpmolekulines sąveikas, deformacijos pirmykštė forma neatsistato (pvz., pertempta spyruoklė). Po tampriosios deformacijos, nustojus veikti “švelnesnėms” jėgoms, kūno deformacijos nelieka.
Tempimo deformaciją, kol ji dar tik tampri, kol įtempimas “saikingas”, aprašo Huko dėsnis: σ=Eε. Ε – medžiagą apibūdinantis Jungo (tamprumo) modulis; σ=F/S – jėgos ir skerspjūvio ploto santykis – medžiagos įtempimas; ε=x/L – santykinis pailgėjimas – pailgėjimo x ir buvusio ilgio L santykis. Pvz., plieno Jungo modulis E=210GPa – 210 gigapaskalių (210 milijardų paskalių). Įrašę į σ=Eε įtempimo σ ir santykinio pailgėjimo ε formules, gautume kitą Huko dėsnio formą: F=-kx, kurioje minusas – priminimui, kad deformacijos x ir atstatomosios (vidinės, iš deformuoto kūno “išeinančios”) jėgos kryptys yra priešingos. Be to, standumo koeficientas k=SE/L.
ELEKTRODINAMIKA
ELEKTROS KRŪVIŲ TVERMĖS DĖSNIS
Visi elektrinės sąveikos “kaltininkai” – dviejų rūšių elektros krūviai.Teigiamais pavadinti tie elektros krūviai, kuriuos turi atomų branduoliai, neigiamais – kuriuos turi elektronai. Šiaip atomai būna neutralūs: teigiamų krūvių q=e savininkų protonų (žymimi p simboliu) yra tiek, kiek neigiamų krūvių q= -e nešėjų elektronų.
Stebėtina, kad visi protonai turi vienodą krūvį – kiekvienas po e1,6*10-19 C (C – elektros krūvio vienetas – kulonas). Tas pat ir su elektronais, tik jų krūviai priešingi. Jeigu atomas netenka dalies elektronų arba priima papildomus, jis tampa elektringu jonu, traukiančiu priešingo krūvio savininkus ir stumiančiu nuo savęs to paties ženklo krūvininkus.
Vienos medžiagos dalelės virsta kitomis, suskyla, persijungia į kitas sandaras, tačiau nepastebėta, kad bendra elektros krūvių suma (nepametant krūvių ženklų) pakistų. Tai ir yra fundamentalus fizikos teiginys – elektros krūvio tvermės dėsnis, kuriam lig šiol nė vienas eksperimentas neprieštarauja.
Elektros krūvio vienetas yra kulonas C6,25*1018e. Tai bendras maždaug 6,25*1018 protonų krūvis.
Kulonas nustatė, kad taškinių elektros krūvių sąveikos dėsnis yra analogiškas visuotiniam traukos dėsniui: krūvis q1 stumia nuo savęs krūvį q2 jėga, tiesiog proporcinga tų krūvių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo r tarp tų krūvių kvadratui: . Proporcingumo koeficientas nustatytas eksperimentais: k9*109Nm2/C2.
Vietoje koeficiento k dar rarašoma k=1/40; čia 0 yra vakuumo dielektrinė konstanta 08,8*10-12 F/m (F – talpos vienetas faradas). Kita Kulono dėsnio išraiška: . Vakuumui =1, o medžiagoje sąveikos jėga sumažėja kartų. Šį koeficientą , vadinamą dielektrine skvarba, sąlygoja medžiagos elektrinė poliarizacija; randame lentelėse.
Kai krūvių ženklai skirtingi, Kulono dėsnio formulėje gaunamas minusas – požymis, kad šįkart krūviai vienas kitą traukia. Kulono, kaip ir gravitacijos, dėsnis tinka arba taškiniams krūviams, arba simetriškiems nelaidiems rutuliams. Kitais krūvio išsidėstymo kūnuose atvejais elektros sąveikos jėgą apskaičiuoti keblu.
Tarp dviejų laidžių priešingais krūviais apkrautų rutuliukų Kulono jėga didesnė negu tarp vienodus krūvius turinčių: priešingi krūviai rutuliuke pasislenka antipodo link ir, bendram sąveikos atstumui sutrumpėjus, jėga padidėja.
ELEKTROS LAUKAS. ELEKTROS LAUKO STIPRIS
Krūvių yra labai daug. Kiekvienas traukia ar stumia, tad bendrą poveikį kažkuriame taške apskaičiuoti neįmanoma. Verčiau duotajame taške išmatuoti standartinį krūvį qs veikiančią jėgą FS, žinant, kad kitą krūvį q čia veiks jėga F=qFS/qs. Šį jėgos santykį su jos veikiamu krūviu vadiname elektros lauko stipriu: . apibūdina visus erdvės taškus vektoriškai. Jis sudaro elektros lauką, paprastai vaizduojamą linijomis taip, kad linijų liestinė rodytų E lauko kryptį, o apie E didumą sprendžiama pagal linijų tankį – kur jų tankiau, ten laukas stipresnis. Taškinio krūvio elektros lauko stiprį gauname iš Kulono dėsnio: .
Bendras kelių krūvių elektros lauko stipris yra lygus vektorinei stiprių sumai.
E=0 E=/ε0ε Ε=0
25. PRIEŠINGAI PAKRAUTOS PLOKŠTUMOS
Kai tų krūvių daug ir jie plačiai paplitę, stiprį apskaičiuoti keblu. Tačiau jei krūviai išsidėsto tolygiai plokštumoje, arti jos laukas vienodas (homogeninis) ir statmenas plokštumai. Būtent, q krūvio ir S ploto plokštuma elektros lauko stiprį pakeičia dydžiu ΔE=q/0S arba, pavadinus krūvio q ir ploto S santykį paviršiniu krūvio tankiu (=q/S), ΔE=/0. Dviejų priešingai pakrautų plokštumų išorėje laukai pasinaikina, o viduje E=/0.
LAIDININKŲ IR DIELEKTRIKŲ LAUKAS
Stacionariaisiais vadinami laikui nepavaldūs (nekintantys) laukai. Laidininko viduje E=0. Jeigu būtų kitaip, E lauko varomi krūviai judėtų, o tai jau būtų pasikeitimas. Dar daugiau: laidininko vidus yra neutralus (antraip – vėl atsirastų laukas), o jį gaubia tik σ tankio paviršiniai krūviai – tam, kad jie laidininko viduje atsvertų išorinį lauką. Kadangi paviršiniai krūviai generuoja paviršiui statmeną lauką, tai elektros lauko stipris į laidininką ateina (ir išeina) statmenai.
Išorinis laukas poliarizuoja dielektriko molekules, kurių pasistūmėję krūviai sudaro aibę išoriniam laukui statmenų plokštumų porų. Jų vidinis lauko stipris yra priešingas (bet vis dėlto mažesnis) nei išorinis. Tačiau tų priešingų laukų atstojamoji – elektros laukas dielektrike Ed<E. E/Ed=ε. Tai ir yra medžiagos santykinė dielektrinė skvarba.
1 d
E
2
26. ELEKTROS LAUKO DARBAS qEd
ELEKTROS JĖGŲ DARBAS. POTENCIALAS. ĮTAMPA
Elektros, kaip ir svorio jėgos, yra potencialinės: jų darbas nepriklauso nuo krūvio judėjimo trajektorijos. Jeigu elektros laukas yra vienalytis (pastovus didumas, nekintanti kryptis), tai mechaninis darbas, perkeliant lauko kryptimi d atstumu, yra A=Fd; A=qEd.
Potencialas. Elektrinių jėgų darbas siejamas su potencine energija EP. Elektros lauko potencinės energijos EP ir su lauku sąveikaujančio krūvio q santykis yra vadinamas elektriniu potencialu: =Ep/q.
Potencialas, kaip ir elektros lauko stipris, įgalina žinant standartinio krūvio potencinę energiją (proporcingą potencialui) duotajame taške apskaičiuoti ir bet kurio kito krūvio potencinę energiją. Potencialas matuojamas voltais: []=V=J/C. Iš Kulono dėsnio randamas potencialas atstumu r nuo taškinio krūvio: =kq/r. Potencialą, kaip ir potencinę energiją, reikia inventorizuoti – nurodyti, kur jis lygus nuliui. Sutarta, pvz., nuliniu laikyti įžeminto laidininko potencialą; taškiniam krūviui nulinis potencialas parinktas taip, kad labai toli, kur jau jėga sunykusi, ir potencialo neliktų.
Įtampa. Mechaninis grįžtamasis darbas išreiškiamas potencinių energijų skirtumu. Analogija: potencialų tarp dviejų erdvės taškų skirtumas 1-2=U vadinamas įtampa. Ją padauginę iš krūvio q, rastume to krūvio perkėlimo iš 1 į 2 tašką darbo didumą – nesvarbu, kokiu keliu būtų pernešta! Įtampa, kaip ir potencialų skirtumas, matuojama voltais. Vienalyčio lauko įtampą gauname iš darbo formulės A=qEd U=Ed.
Arba: E=U/d – vienalyčio elektros lauko stipris yra lygus įtampos ir kelio lauko kryptimi santykiui. Įtampa tarp dviejų S ploto plokštumų, esančių d atstumu, kai d2<