netiesiniai reiskiniai

Vilniaus Universitetas

Fizikos fakultetas

Kvantinės elektronikos katedra

TREČIOS EILĖS NETIESIŠKUMO ĮTAKA DIDELĖS GALIOS FEMTOSEKUNDINIŲ ŠVIESOS

PAKETŲ ANTROSIOS HARMONIKOS ŽADINIMUI

Fizikos programos pagrindinių studijų baigiamasis darbas

Katedros vedėjas: prof. habil. dr. Algis

Piskarskas

Studentė:

Vadovas:dr. Eugenijus Gaižauskas

Recenzentas: doc. Gintaras Valiulis

Vilnius, 2003

…………………………………………28

Įvadas

Koherentinės femtosekundinės UV spinduliuotės žadinimas yra svarbus netiesinės optikos uždavinys, sėkmingai sprendžiamas dažnių maišymo metodu

[1-7]. Tokio žadinimo efektyvumui didinti ir spinduliuotės laikinėms charakteristikoms valdyti būtina detaliai ištirti ne tik kristalo dispersijos sukeltus nestabilumo reiškinius, tokius kaip sąveikos nutrūkimas dėl grupinio nederinimo, dispersinis impulsų išplitimas, bet ir trečios eilės netiesiškumo sukeltus bangų paketo saviveikos reiškinius. Su minėtais reiškiniais neišvengiamai susiduriama, kai žadinimui naudojami femtosekundžių trukmės šviesos impulsai, kurių maksimalus galios tankis siekia šimtus teravatų kvadratiniam centimetrui. Pradinė dažnių maišymo pakopa yra antrosios harmonikos žadinimas. Todėl iškilo būtinybė įvertinti nestabilumo reiškinius būtent antrosios harmonikos žadinimo atveju.

Šiame darbe skaitmeniškai integruojant netiesinės optikos lygtis, buvo tiriama trečios eilės netiesiškumo įtaka antrosios harmonikos žadinimui.

1. Didelės galios femtosekundinių šviesos paketų sklidimas medžiaga

Nagrinėsime šviesos bangų – elektromagnetinio lauko – sklidimą dielektrikais. Jeigu šviesos laukas pakankamai stiprus, kiekvienoje medžiagoje vyksta netiesiniai optiniai reiškiniai.

1.1. Tiesinė ir netiesinė dielektriko poliarizacija

Veikiant išoriniam elektriniam laukui, dielektrikas poliarizuojamas.

Poliarizuojančiu lauku laikysime šviesos bangos, sklindančios per dielektriką, elektrinį lauką. Pagrindinį vaidmenį optiniame diapazone (

tiksliau UV, regimoje ir artimoje IR spektro dalyse) atlieka elektroninė poliarizacija, nes tik ji viena spėja nusistovėti drauge su elektrinio lauko virpesiais.

Kiekybiškai dielektriko poliarizaciją nusako poliarizuotumo vektorius

P, kuris yra medžiagos tūrio vieneto suminis dipolinis momentas, atsirandantis dėl išorinio lauko [2]. Pastarasis aprašomas išorinio lauko elektrinio stiprio vektoriumi E (šiuo atveju šviesos bangos lauku). Ryšis tarp P ir E priskiriamas prie vadinamųjų medžiagos lygčių. Tiesinėje optikoje nagrinėjama tiesinė medžiagos lygtis

|[pic] |(1.1.1) |

čia (ik – medžiagos elektrinio jautrio tenzoriaus komponentai. Šis tenzorius simetrinis – jį galima diagonalizuoti

|[pic] |(1.1.2) |

Izotropinėms medžiagoms ir kristalams, priskiriamiems kubinei singonijai,

(11 = (22 = (33 = (.

Tokiu atveju (1.1.1) tampa [pic]

Atvejis, kai

(11 = (22 ( (33, atitinka vienašius kristalus (optinė ašis išilgai z). Atvejis, kai

(11 ( (22 ( (33, atitinka dviašius kristalus.

Medžiagos elektrinis jautris priklauso nuo išorinio elektrinio lauko stiprio. Atsižvelgiant į elektrinio jautrio tenzoriaus prieklausą nuo lauko stiprio, tiesinė medžiagos lygtis virsta netiesine

|[pic]. |(1.1.3) |

Taip pereinama nuo tiesinės optikos prie netiesinės.

Skleidžiant [pic]eilute lauko stiprio E laipsniais

|[pic], |(1.1.4) |

čia ( – tiesinis elektrinis jautris, ( – kvadratiškai netiesinis elektrinis jautris, ( – kubiškai netiesinis elektrinis jautris.

1.2. Sutrumpintos kvazioptikos lygtys

Lygtis, aprašanti kompleksinių amplitudžių kitimą, esant jų parametrinei sąveikai netiesinėje anizotropinėje medžiagoje, gaunama iš

Maksvelo lygčių [4]:

|[pic] |(1.2.1) |

čia

|[pic], |(1.2.2) |

|Pnet = χEE + θEEE + … | |

|Sutrumpintos kvazioptikos lygtys yra: | |

|[pic] |(1.2.3) |

|[pic] | |

|[pic] | |

Lygties sprendinys tribangei sąveikai

|[pic] |(1.2.4) |

Čia e1, e2, e3 – vienetiniai poliarizacijos vektoriai; Aj(r, t) –

šviesos bangos kompleksinė amplitudė; k.j. – kompleksiškai jungtinis narys.

1.3. Fazinio sinchronizmo svarba ir jo realizavimas

Kaip žinoma, šviesos sklidimas optiškai anizotropinėje medžiagoje turi tam tikrų ypatumų. Pasirinkta kryptimi medžiaga sklinda skirtingais greičiais dvi tiesiškai poliarizuotos vienodo dažnio bangos; jų poliarizacijos vektoriai tarpusavyje statmeni [1]. Su dviejų šviesos bangų sklidimu kristale skirtingais greičiais susijęs dvejopo lūžimo reiškinys.

Kiekvieną iš bangų atitinka savas lūžio rodiklio verčių paviršius (lūžio rodiklio indikatrisė), vaizdžiai parodantis, kaip nuo bangos vektoriaus krypties priklauso lūžio rodiklis tam tikros poliarizacijos bangai.

Vienašiuose kristaluose viena iš lūžio rodiklio indikatrisių yra sfera, o kita – kristalo optinės ašies atžvilgiu sukimosi elipsoidas (1.3.1 pav).

Pirmoji indikatrisė atitinka paprastąją o-poliarizacijos šviesos bangą; jos lūžio rodiklis nepriklauso nuo bangos vektoriaus krypties. Antroji indikatrisė atitinka nepaprastąją e-poliarizacijos bangą; jos lūžio rodiklis priklauso nuo kampo ( tarp bangos vektoriaus ir optinės kristalo ašies. Paprastosios bangos vektorius E statmenas kampo ( plokštumai, nepaprastosios bangos vektorius E guli nurodytoje plokštumoje. Kristalas apibūdinamas dviem parametrais, priklausančiais nuo dažnio – lūžio rodiklio pagrindinėmis vertėmis no ir ne; šių parametrų prasmė aiški iš paveikslo.

Parametras no lemia paprastosios bangos greitį bet kuria kryptimi ([pic]), parametras ne – nepaprastosios bangos greitį optinei ašiai statmena kryptimi. Optinės ašies kryptimi abiejų bangų greičiai sutampa. Jei ne < no

– kristalas vadinamas neigiamuoju, jei ne > no – teigiamuoju. Netiesinėje optikoje dažniausiai naudojami neigiamieji vienašiai kristalai.

Neparastosios bangos lūžio rodiklio ne prieklausa nuo kampo ( išvedama iš elipsės lygties [pic]

Šiai lygčiai suteikiame tokį pavidalą (žiūr. pav. 1.3.1, a)

|[pic] |(1.3.1) |

Iš čia randame ieškomą prieklausą

|[pic] |(1.3.2) |

Iš (2.2.1.2) matyti, kad nepaprastosios bangos, sklindančios kampu ( su optine ašimi, greitis lygus

|[pic] |(1.3.3) |

Šviesos bangos, kurių dažniai skirtingi, dispersinėje medžiagoje sklinda skirtingais faziniais greičiais. Pateikime supaprastintą pagrindinio dažnio bangą

|[pic] |(1.3.4) |

ir antrosios harmonikos bangą

|[pic], |(1.3.5) |

(vienmatis atvejis; abi bangos sklinda z ašimi ir turi vienodą poliarizaciją). Čia [pic] ir [pic] – medžiagos lūžio rodikliai atitinkamiems dažniams. Faziniai pagrindinio dažnio ir antrosios harmonikos bangų greičiai atitinkamai lygūs

|[pic] |(1.3.6) |

Izotropinėse medžiagose dėl lūžio rodiklio dispersijos turime [pic].

Todėl v( ( v2( . Iš (1.3.6) matyti, jog dėl dispersijos nelygus nuliui ir skirtumas

|[pic] |(1.3.7) |

(k vadinamas banginiu nederinimu.

Anizotropinėse medžiagose galima rasti būdų, kai banginis nederinimas (k

= 0, t. y. galima tenkinti fazinio sinchronizmo sąlygą

|[pic]. |(1.3.8) |

Išpildžius fazinio sinchronizmo sąlygą, efektyviai realizuojamas netiesinės medžiagos gebėjimas perspinduliuoti tam tikru dažniu (pavyzdžiui, antrosios harmonikos).

2. Antrosios harmonikos žadinimas

Vienas iš svarbiausių netiesinės optikos taikomųjų klausimų – antrosios harmonikos žadinimas. Šiam netiesinės optikos reiškiniui, norint gauti didelį efektyvumą, būtina tenkinti fazinio sinchronizmo sąlygas [7]. Šių sąlygų fizikinei esmei, jų rūšims ir realizavimui aptarti skirta didžioji šio skyriaus dalis.

2.1. Fazinio sinchronizmo tipai

Dielektrikų skaidrumo srityje lūžio rodiklio dispersija yra normali:

didėjant dažniui, lūžio rodiklis didėja [1]. 2.1.1 paveiksle matyti, kad kryptimis OA, sudarančiomis kampą (s su optine ašimi, galioja lygybė tarp paprastosios bangos su pagrindiniu dažniu ir nepaprastosios bangos su antrosios harmonikos dažniu lūžio rodiklių:

|[pic] |(2.1.1) |

(2.1.1) sąryšis gali būti laikomas fazinio sinchronizmo sąlyga antrosios harmonikos žadinimui tam atvejui, kai sąveikaujančių bangų poliarizacijos vektoriai yra statmeni vienas kitam, ir be to pagrindinio dažnio banga yra paprastoji, o antrosios harmonikos – nepaprastoji. Norint patenkinti fazinio sinchronizmo sąlygą, bangos vektoriai turi būti OA krypties.

Kryptis OA vadinama sinchronizmo kryptimi, o kampas (c – sinchronizmo kampu. Erdvėje šios kryptys sudaro sinchronizmo kūgį.

Duotas pavyzdys atitinka vieną iš sinchronizmo rūšių.

Sinchronizmo rūšys skirstomos į dvi rūšis. Pirmos rūšies sinchronizmui pagrindinio dažnio fotonai yra vienodos tiesinės poliarizacijos, o antrosios harmonikos fotonas yra jiems statmenos poliarizacijos. Antros rūšies poliarizacijai pagrindinio dažnio fotonai yra tarpusavyje statmenos poliarizacijos. Jei vienaašis kristalas yra neigiamasis, tai pirmos rūšies sinchronizmas gali būti realizuotas tuo atveju, kai abu pagrindinio dažnio fotonai yra paprastieji, o antrosios harmonikos – nepaprastasis; tai yra ooe-sinchronizmas arba ooe-sąveika. Antrojo tipo sinchronizmas neigiamuosiuose vienašiuose kristaluose atitinka oee-sąveiką.

Be to reikia skirti skaliarinį ir vektorinį sinchronizmą. Skaliariniam sinchronizmui sąveikaujančių bangų vektoriai yra kolinearūs, o vektoriniam sinchronizmui – nekolinearūs.

Išsamiau panagrinėsime skaliarinį ooe ir oee sinchronizmus.

Skaliarinis ooe sinchronizmas.

ooe sąveikai sinchronizmo sąlygą perrašome

|[pic] |(2.1.2) |

čia k1 , k2 ir K – kaupinimo ir antros bangos vektoriai (žr. 2.1.2 a pav.)

Kadangi [pic], tai šiai sinchronizmo rūšiai sąryšį (2.1.2) galima suprastinti

|[pic]. |(2.1.3) |

Taigi skaliariniam sinchronizmui

|[pic]. |(2.1.4) |

Pereidami nuo bangos vektorių prie lūžio rodiklių, gauname

|[pic] |(2.1.5) |

Atsižvelgę į (1.3.2), ir pažymėję [pic] [pic] [pic] perrašome (2.1.1)

|[pic] |(2.1.6) |

Iš čia gauname

|[pic] |(2.1.7) |

Kampas [pic] vadinamas pirmojo sinchronizmo kampu.

Kai [pic], antrosios harmonikos elipsė ir pagrindinio dažnio apskritimas liečiasi taške, esančiame ašyje nx (2.1.2 b pav.). Šiuo atveju [pic]= 90(;

tokio tipo sinchronizmas paprastai vadinamas 90 laipsnių sinchronizmu. Jis turi tam tikrų pranašumų [2]: pirma, sutampa bangos fazinio fronto ir energijos sklidimo kryptys, antra, mažesnis jautrumas į suderinimą sinchronizmo kampą.

Skaliarinis oee sinchronizmas. oee sąveikai fazinio sinchronizmo sąlyga

|[pic] |(2.1.8) |

Skaliariniam sinchronizmui visi vektoriai kolinearūs, todėl nuo

(2.2.1.11) pereisim prie skaliarinės lygties

|[pic] |(2.1.9) |

Po to pereidami nuo bangos vektorių prie lūžio rodiklių, gauname

|[pic] |(2.1.10) |

Atsižvelgę į (1.3.2), ir pažymėję [pic] [pic] [pic] [pic], perrašome

(2.1.10)

|[pic]. |(2.1.11) |

Iš (2.1.11) galima rasti kampą [pic].

2.2. Fazinio nederinimo įtaka

Trečios eilės netiesiškumas visų pirma sukelia tam tikrą fazinį nederinimą. Netisinis lūžio rodiklio narys, priklausantis nuo kaupinimo bangos galios tankio, keičia fazinio sinchronizmo sąlygas nevienodai skersiniame Gauso pavidalo pluošto skirstinyje. Todėl labai svarbu išsiaiškinti kokia yra fazinio nederinimo įtaka energiniam efektyvumui ir žadinamojo impulso trukmei bei formai.

Esant bet kokiam bangų nederinimui [pic], sutrumpintas kvazioptikos lygtis antrosios harmonikos žadinimui realiems kintamiesiems [pic] ir apibendrintajai fazei [pic] galima užrašyti

|[pic] | |

|[pic] | |

| |( 2.2.1) |

|[pic] | |

čia [pic]- pagrindinio dažnio bangos, [pic]- antrosios harmonikos realiosios amplitudės.Po pertvarkymų gauname ([pic])

|[pic] |(2.2.2) |

čia pažymėti: redukuotas bangų nederinimas

|[pic] |(2.2.3) |

ir santykinė amplitudė [pic]

|[pic] |(2.2.4) |

Kadangi [pic], tai c=0 , ir ryšys tarp apibendrintosios fazės [pic] ir santykinės antrosios harmonikos amplitudės [pic] išreiškiamas

|[pic] |(2.2.5) |

Antrą (2.1) sistemos lygtį įrašius į (2.5) turime

|[pic] |(2.2.6) |

Šios lygties sprendinys gali būti gautas Jakobio elipsinėmis funkcijomis

|[pic] |(2.2.7) |

čia [pic] [pic]

Skiriami du atvejai:

1. Bangoms sklindančioms, tiksliai fazinio sinchronizmo kryptimi, nederinimo nėra [pic], tai

|[pic] |(2.2.8) |

2. Kai [pic], bangų nederinimas [pic] , tai atitinka bangų sklidimo toli nuo fazinio sinchronizmo krypties atvejį. Tada

|[pic] |(2.2.9) |

Tarpiniais atvejais būtina naudotis bendra (2.2.7) formule. Grafiškai ji pavaizduota įvairiems [pic] (2.2.1) pav. Kai [pic], dėl laisvųjų (sustiprinto [pic] dažnio triukšmo) ir priverstinių (kvadratinės poliarizacijos) antrosios harmonikos dažnio bangų interferencijos susidaro mūša erdvėje. Mūšos amplitudė, didėjant nederinimui, mažėja, o jos erdvinis dažnis didėja. Aišku, kad bet kurio atveju kristalo ilgį z = l reikia parinkti tokį, kad antrosios harmonikos amplitudė būtų maksimali. Šis optimalus kristalo ilgis vadinamas koherentiniu sąveikos ilgiu, pabrėžiant tą faktą, kad tokiame ilgyje laisvos ir priverstinės bangos fazės dar nesuspėjo išsiskirti, ir antrosios harmonikos amplitudė didėja.

Dideliems nederinimams [pic]optimalus kristalo ilgis [pic]

Praktinėse harmonikų žadinimo schemose kristalas nebūna orientuotas tiksliai sinchronizmo kryptimi, statmuo į kristalo įėjimo plokštumą ir sinchronizmo kryptis šiek tiek nesutampa. Šiuo atveju, jeigu lazerio spinduliuotės skėstis maža, būtina pasukti kristalą taip, kad banga juo sklistų tiksliai sinchronizmo kryptimi.Todėl svarbu išnagrinėti antrosios harmonikos amplitudės kitimą, kintant kampui tarp pagrindinio dažnio plokščiosios bangos sklidimo krypties ir sinchronizmo krypties. Šis kampas yra [pic] bangos sklidimo krypties vektorius, [pic]- optinės kristalo ašies orientacijos vektorius), [pic]- sinchronizmo kampas. Kai [pic], yra tikslus skaliarinis sinchronizmas, kai [pic] nelygus nuliui bangų nederinimas.

Panagrinėsime pagrindinio dažno ir antrosios harmonikos bangų sąveiką kryptimi, besiskiriančia mažu kampu [pic] nuo sinchronizmo krypties;

nagrinėsime ooe tipo sąveiką. Kadangi [pic] tai

|[pic] | |

| |(2.2.10) |

Kai [pic]. Skleidžiama [pic] Teiloro eilute mažo kampo [pic] laipsniais arti taško [pic] ir apsiribojama dviem pirmaisiais nariais:

|[pic] | |

| |(2.2.11) |

Tada nederinimas

|[pic]v |(2.2.12) |

čia

|[pic] |(2.2.13) |

yra vadinamas dispersiniu koeficientu, lygus

|[pic] |(2.2.14) |

Iš pastarosios lygties matyti, kad [pic] sinchronizmui [pic] dispersinis koeficientas [pic]. Vadinasi, šiam sinchronizmui bangų nederinimas [pic]didėjant [pic] didėja lėčiau.

Pirmuoju artiniu bangų nederinimas monotoniškai ir tiesiškai didėja, didėjant kampui tarp bangų sklidimo ir sinchronizmo krypties. Bet monotoniškai didėjant kampui tarp bangų sklidimo ir sinchronizmo krypties, antrosios harmonikos amplitudė kinta ne monotoniškai .Panagrinėsime tai antrosios harmonikos žadinimui pagrindinio dažnio spinduliuotės duotojo lauko artiniu [pic] bet kokiam bangų derinimui. Tuomet sistemos (2.2.1)

antroji ir trečioji lygtys

|[pic] | |

|[pic] |(2.2.15) |

kai [pic] artiniui [pic]

|[pic] |(2.2.16) |

Tada po pertvarkymų lygtis atrodys taip

|[pic] | |

| |(2.2.17) |

Pastaroji formulė atitinka (2.8)gautą su sąlyga [pic], o (2.2.17) gauta, kai [pic]. Šios dvi sąlygos yra tapatingos, nes mažas intensyvumo mainų koeficientas gaunamas mažoms netiesino ryšio koeficiento [pic] vertėms, arba mažoms pagrindinio dažnio bangos amplitudėms prieš kristalą[pic] .

Didinant [pic] (pasukant kristalą sinchronizmo plokštumoje, einančioje per optinę kristalo ašį ir sinchronizmo kryptį), antrosios harmonikos amplitudė kinta dėsniu [pic]pav (2.2.2)

Ši priklausomybė turi ryškų centrinį maksimumą ir šalutinius maksimumus su greitai mažėjančia amplitude. Apytiksliai galima laikyti, kad centrinio maksimumo plotis 0,7 amplitudės (0,5 intensyvumo) aukštyje sudaro [pic].

Sritis kampu [pic], kuri tenkina

|[pic] |(2.2.18) |

dažnai vadinama koherentiškumo sritimi, pažymint tą faktą, kad šioje srityje antrosios harmonikos amplitudė didėja per visą kristalo ilgį.

Daugeliu atvejų leistina, kad kristalo orientacija atitiktų sinchronizmo kryptį [pic] tikslumu. Dydis [pic] priklauso nuo kristalo ilgio ir dispersijos koeficiento [pic] :

|[pic]. |(2.2.19) |

Labai ilgiems (l>>1cm)arba stipriai disperguojantiems (tokiems, kuriuose, tolstant nuo sinchronizmo krypties, bangų nederinimas greitai didėja)

kristalams reikalavimai sinchronizmo tikslumui yra labai griežti.

Esant dideliam nukrypimui nuo duotojo lauko artinio koherentiškumo srities sąvoka netenka prasmės, nes tuomet šalutinių maksimumų intensyvumas didėja.

2.3. Trečios eilės netiesiškumo įtaka

Esminę trečios eilės netiesiškumo įtaką lazerio spinduliuotės antros harmonikos žadinimui pradėsime nagrinėti nuo skaliarinių lygčių, sąlygojančių pagrindinio dažnio ir antrosios harmonikos bangų sklidimą netiesiniu kristalu

|[pic] |(2.3.1) |

čia i lygus 1 arba 2 ir reiškia atitinkamai pagrindinio dažnio ir antrosios harmonikos lauką, [pic]-dielektrinė skvarba kiekvienam iš dviejų laukų [pic], [pic]- netiesinės poliarizacijos narys.

Poliarizuotumo skleidinio nariai iki trečios eilės yra

|[pic] |(2.3.2a) |

|[pic] |(2.3.2b) |

Sąryšis tarp efektinio netiesinio jautrio [pic] ir antros eilės tenzoriaus [pic] yra nusakomas antrosios harmonikos kristalo taškinės simetrijos grupės ir antrosios harmonikos žadinimo sinchronizmo tipo.

Pirmojo (oo-e) tipo antrosios harmonikos žadinimui KDP kristale, pavyzdžiui jis yra [pic] čia [pic] yra fazinio sinchronizmo kampas.

Jei tarsime, kad elektriniai abiejų dažnių laukai yra begalinės plokščios bangos statmenomis sklidimui kryptimis ir jei ignoruosime impulso išplitimą dėl grupinių greičių dispersijos, lėtai kintančios amplitudės metodu gausime lygtis, aprašančias antrosios harmonikos žadinimą

|[pic] |(2.3.3a) |

|[pic] |(2.3.3b) |

čia [pic]lėtai kintančios atitinkamai pagrindinio dažnio ir antrosios harmonikos amplitudės, o [pic] yra fazių nederinimas. [pic] yra pagrindinio dažnio ir antrosios harmonikos išbėgimo sparta dėl grupinių greičių skirtumo. Narys su [pic] gali būti reikšmingas, kai antroji harmonika žadinama 100-fs trukmės impulsais kristale, kurio ilgis apie keli milimetrai. Išbėgimo spartą apibūdina koeficientas [pic], kuris yra

77 fs/mm; 800nm bangos ilgio pagrindinio dažnio impulsui KDP kristale, [pic] yra netiesinio ryšio koeficientas, ir jo reikšmė yra [pic] .

paskutiniai (2.3.3 a ) ir (2.3.3. b ) lygčių nariai, esantys dešinėje pusėje, reiškia priklausantį nuo intensyvumo fazės postūmį. Šie nariai įneša fazinį nederinimą net kai [pic] . Koeficientai yra

|[pic] |(2.3.4.) |

Fizikiniam poveikiui į antrosios harmonikos žadinimą įvertinti, patogu perrašyti (2.3.3 a) ir (2.3.3 b) lygtis bedimensiniu pavidalu.

Apibrėžiam normuotą sklidimo ilgį, z = s/[pic] ir fazės nederinimą, [pic]užrašome lygis naujiems kintamiesiems [pic] ir [pic] taip pat apibrėžiame [pic] kaip [pic]:

|[pic] |(2.3.5 a ) |

|[pic] |(2.3.5b ) |

čia netiesiniai fazės moduliavimosi koeficientai yra [pic]; [pic] ir [pic] Lygtys (2.3.5 a ) ir (2.3.5 b ) apibrėžia Hamiltoniano lygčių sistemą:

|[pic] ; [pic] |(2.3.6) |

Tada Hamiltonianas

|[pic] |(2.3.7) |

Pasinaudojus tam tikru sąryšiu [pic] ir lygties pradinėmis sąlygomis [pic]; [pic]; H vertei rasti:

|[pic] |(2.3.8.) |

|[pic] |(2.3.9.) |

Dabar patogu išskirti laukų amplitudes ir fazes:

|[pic]; [pic] |(2.3.10.) |

Apibendrintoji fazė [pic]. Lygtis [pic] kitimui yra

|[pic] | |

| |(2.3.11.) |

Panaudojus (2.3.8) ir (2.3.9) lygtis bei atsižvelgus į ( 2.3.7)

invariantą galime užrašyti (2.3.5a) ir (2.3.5b) lygčių integralą

|[pic] | |

| |(2.3.12 ) |

iš kuro galima įvertinti maksimalų energijos keitimą. Iš (2.3.11)

galime tikėtis, kad [pic] yra maksimalus kai [pic], arba, kai [pic] ir [pic] . Iš čia [pic]

Didelių energijos keitimų atveju, galime traktuoti netiesiškumus kaip trikdžius, ir [pic] įvertinti pagal trikdžių teoriją.

Jei tariame, kad nulinės eilės sprendinys yra [pic] turėsime

|[pic] |(2.3.13.) |

Neesant fazės nederinimui [pic] ir neesant netiesinio lūžio rodiklio dispersijai, [pic] vyksta 100% energijos keitimas: [pic]. Bendru atveju netiesinis lūžio rodiklis pasižymi dispersija ir todėl energinis efektyvumas negali pasiekti 100%.

2.4. Bangos pluoštų susifokusavimas ir išsifokusavimas

Susifokusavimas- šviesos bangos energijos koncentracija netiesinėje medžiagoje, kurios lūžio rodiklis n didėja, didėjant šviesos lauko galios tankiui: [pic] Veikiant šviesos pluoštui ( erdvėja ribotai šviesos bangai), netiesinė medžiaga tampa optiškai nevienalytė ir dėl to spinduliai nukrypsta ( įvyksta netiesinė refrakcija). Jeigu n didėja, didėjant elektrinio lauko stipriui, tai spinduliai iškrypdami koncentruojasi didesnio galios tankio srityje- medžiaga tampa tūriniu glaudžiamuoju netiesiniu lęšiu. Jo židinio nuotolis [pic], skaičiuojant nuo įėjimo į medžiagą (žr. Pav)

Jeigu pluošto skersinis radiusas d, tai netiesinio lęšio židinio nuotolis

|[pic] |(2.5.1) |

Medžiagos lūžio rodiklis n gali padidėti, didėjant lauko stipriui E, dėl netiesinės poliarizacijos pokyčio, aukšto Kero efekto, įšilimo ir kt.

Susifokusavimas įvyksta, jeigu netiesinė refrakcija didesnė už difrakcinę sklaidą

|[pic] |(2.5.2) |

čia [pic]- difrakcinės sklaidos kampas. Tai įvyksta, jeigu židinio nuotolis mažesnis už Frenelio difrakcijos zonos ilgį. Kad būtų patenkinta

(2.5.2) sąlyga būtina tokia pluošto galia, kuri būtų didesnė už kritinę.

Artėjant prie židinio, spinduliai vis smarkiau kreipiami ir netiesiniame židinyje lauko koncentracija daug stipresnė negu šiaip fokusuojant lęšiu.

Susifokusavimas gali sukelti pramušimą ir sužadinti priverstines sklaidos bei kitus netiesinės optikos reiškinius.

Už pirmojo židinio, kai vyksta galingo pluošto susifokusavimas, gali susidaryti daug kitų- formuojasi struktūra su daug židinių. Didinant pluošto galią, židinių skaičius didėja, ir jie artėja link įėjimo į netiesinę medžiagą. Jeigu šviesos impulsai trumpi, židiniai gali judėti greičiais, artimais šviesos greičiui ([pic]tampa laiko funkcija).

Jeigu pluošto galia kritinė, pluošto forma nesikeičia, o netiesinė medžiaga tampa pastoviu dielektriniu bangolaidžiu.

Medžiagoje, kurioje stebimas susifokusavimas, gali pasireikšti specifinis nestabilumas, kuris suformuoja vadinamąjį smulkųjį susifokusavimą. Didelės galios šviesos pluošte erdvinės fliuktuacijos eksponentiškai didėja ir dėl to dar prieš židinį pluoštas suskyla į atskirus siūlus.

Jeigu didėjant šviesos galios tankiui medžiagos lūžio rodiklis mažėja, stebimas atvirkščias reiškinys- išsifokusavimas (netiesinis pluošto storėjimas). Dažniausiai pasitaiko šiluminis išsifokusavimas, kurio priežastis- lūžio rodiklio sumažėjimas dėl medžiagos šiluminio plėtimosi, kai medžiagą sušildo šviesa.

Kompiuterinio modeliavimo eksperimentas

Šiame darbe, skaitmeniškai integruojant netiesinės optikos lygtis (2.3.3.), buvo tiriama trečios eilės netiesiškumo įtaka antrosios harmonikos žadinimui.

Skaičiavimai buvo atliekami naudojant programą, skirtą tribangės sąveikos modeliavimui. (3.1.1) lygčių sistema buvo spręsta skirtuminiu metodu, trimis besikartojančiais žingsniais, kurių pirmajame buvo atsižvelgiama į grupinių greičių nederinimąir erdvines antrasiais išvestines, antrajame – į trečios eilės netiesiškumo narius, o trečiajame – į sąveikos narius 3.11

lygčių dešinėje pusėje.

3.1. Teorinis modelis

Antrosios harmonikos žadinimo netiesiniame kristale, kai nepaisome energijos nunešimo dėl dvejopo lūžimo ir difrakcinių efektų, aprašysim lygčių sistema

|[pic] | |

|[pic] |(3.1.1) |

čia [pic] – impulso kompleksinė amplitudė (j = 1, 2, 3), z ir t yra atitinkamai išilginė erdvinė ir laiko koordinatės, uj – grupinis greitis, gj – grupinio greičio dispersijos koeficientas, (j – ryšio koeficientas ((1

+ (2 = (3) ir (k – bangų nederinimas. Lygtys buvo sprendžiamos skirtuminiu metodu, esant pradinėms sąlygoms

[pic]

1.3.1 pav. Lūžio rodiklio indikatrisės plokštumoje einančioje per optinę ašį: a) neigiamam vienaašiam kristalui, b) teigiamam vienaašiam kristalui

[pic]

2.1.1 pav. Neigiamo vienašio kristalo lūžio rodiklio indikatrisės pagrindiniam dažniui (ištisinės linijos) ir antrajai harmonikai (trūkios linijos)

[pic]

2.1.2 pav. a) ooe-sinchronizmo, b) 90(laipsnių ooe-sinchronizmo atvejo iliustracijos

[pic]

Pav. 2.5. Skaliarinio oee sinchronizmo iliustracija

[pic]

Pav. 2.2.1 Santykinės antrosios harmonikos amplitudės modulio prieklausa nuo atstumo z įvairiems bangų nederinimams

[pic]

Pav. 2.2.2 Antrosios harmonikos amplitudės kitimas kintant fazių skirtumui tarp pagrindinio dažnio ir antrosios harmonikos bangų