TURINYS
ĮVADAS………………………………………………………………….……………………………………3 1. KORELIACINĖS ANALIZĖS SU KIEKVIENU X1, …, Xn ATLIKIMAS ……..4 2. PORINĖ REGRESINĖ ANALIZĖ …………………………………………………………….. .6 3. DAUGIANARĖ REGRESIJA …………………………………………………………….. ……10 4. GAUTŲ REZULTATŲ APRAŠYMAS ……………………………………………………..13 5. TYRIMO REZULTATŲ PRAKTINIS TAIKYMAS ……………………………………13 6. PROGNOZAVIMAS …………………………………………………………….. …………………16 7. GAMYBOS PLANAVIMO UŽDAVINYS …………………………………………………19 7.1. Gamybos planavimo uždavinio sudarymas ir išsprendimas ………………………….19 7.2. Dualus uždavinys ……………………………………………………………….. ………………….21 7.3. Išteklių „šešėlinės“ kainos ir gautų rezultatų aprašymas ………………………………23 8. TRANSPORTO UŽDAVINYS …………………………………………………………….. …..23 LITERATŪRA ……………………………………………………………….. ……………………………28
ĮVADAS
Vienas svarbiausių statistikos uždavinių yra ryšių tarp reiškiniųtyrimas. Šiame kursiniame darbe susidursime su išlaidomis, pabandysimenuspręsti, kokią įtaką išlaidoms statybinėms medžiagoms turi išlaidosstatybinių medžiagų transportavimui, įrengimų nuomai, statybininkų darboužmokestis, išlaidos projektavimo darbams, komunaliniam ūkiui. Mano darbo tikslai: 1. Nustatyti, ar egzistuoja stochastinis ryšys tarp nagrinėjamų veiksnių: išlaidų statybinėms medžiagoms (Y), išlaidų statybinių medžiagų transportavimui (X1), išlaidų įrengimų nuomai (X2), statybininkų darbo užmokesčio (X3), išlaidų projektavimui (X4) ir išlaidų komunaliniam ūkiui (X5); 2. Nustatyti ryšių stiprumus, formas, bei analitines išraiškas; 3. Nustatyti ryšių stiprumą tarp išlaidų statybinėms medžiagoms per pusmetį ir reikšmingiausių veiksnių, bei rasti tų ryšių formas ir analitines išraiškas. Šio darbo uždaviniai: 1. Atlikti koreliacinę analizę y su kiekvienu X1, X2, X3,X4 ir X5; 2. Atrinkti X1, X2, X3, X4, X5 regresinei analizei atlikti; 3. Atlikti porinę regresinę analizę Y su kiekvienu reikšmingu X1, …, Xm; 4. Atlikti daugianarę koreliacinę regresinę analizę Y su X1,…, Xm naudojant LINEST, LOGEST, TREND, GROWTH funkcijas; 5. Aprašyti gautus rezultatus; 6. Pateikti tyrimo rezultatų taikymo pavyzdžius. 7. Atlikti prognozę slenkančio vidurkio ir eksponentinio išlyginimo metodais, apskaičiuoti vidutines kvadratines paklaidas. 8. Sudaryti ir ištirti gamybos planavimo uždavinį: a. sudaryti ir išspręsti grafiškai bei EXCEL pagalba gamybos planavimo uždavinį (m ≥ 3, n = 2); b. atrinkti du apribojimus ir sudaryti bei išspręsti dualų
uždavinį; c. nustatyti išteklių „šešėlines“ kainas ir aprašyti gautus rezultatus. 9. Sudaryti ir išspręsti transporto uždavinį (m = 3, n = 4).1. KORELIACINĖS ANALIZĖS SU KIEKVIENU X1, …, Xn ATLIKIMAS
Ekonominių procesų tyrimuose dažnai tenka nustatyti dviejų kintamųjų –Y, vadinamo priklausomu kintamuoju (pasekme), ir X, vadinamo nepriklausomukintamuoju (priežastimi) – tarpusavio sąveiką – ryšį. Esant koreliaciniamryšiui, nepriklausomojo kintamojo kitimas veikia tik priklausomo kintamojovidutines reikšmes. Norėdama atlikti koreliacinę analizę, pasirenku X ir Y:
Y – išlaidos statybinėms medžiagoms,X1 – išlaidos statybinių medžiagų transportavimui;X2 – išlaidos įrengimų nuomai;X3 – statybininkų darbo užmokestis;X4 – išlaidos projektavimo darbams;X5 – išlaidos komunaliniam ūkiui. Atlikdama koreliacinę analizę, skaičiavimams naudosiu vidurkį,dispersiją bei kvadratinį nuokrypį: Vidurkis – tai visų stebėtų skaitinių duomenų suma, padalinta išduomenų skaičiaus. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:[pic]= ΣXi /nn – stebėtų duomenų sumaarba naudojantis MS EXCEL funkcija AVERAGE. Dispersija – tai išsibarstymo apie vidurkį matas.S2 = (xi –X)2 / nDispersija gali būti apskaičiuota ir supaprastintu būdu:[pic]arba naudojantis MS EXCEL funkcija VAR. Vidutinis kvadratinis nuokrypis – tai kvadratinė šaknis išdispersijos. Jis parodo, kiek vidutiniškai požymio reikšmės yra nutolusiosnuo vidurkio. Vidutinis kvadratinis nuokrypis apskaičiuojamas:[pic]arba naudojantis MS EXCEL funkcija STDEV.Lentelėje pateikiau duomenis su kuriais atliksiu analizę:
|Eil. Nr. |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 || |(Išlai|(išlai|(išlai|(staty|(išlai|(išlai|| |dos |dos |dos |binink|dos |dos || |statyb|statyb|įrengi|ų |projek|komuna|| |inėms |inių |mų |darbo |tavimo|liniam|| |medžia|medžia|nuomai|užmoke|darbam|ūkiui,|| |goms, |gų |, |stis, |s, |tūkst.|| |tūkst.|transp|tūkst.|tūkst.|tūkst.|Lt) || |Lt) |ortavi|Lt) |Lt) |Lt) | || | |mui, | | | | || | |tūkst.| | | | || | |Lt) | | | | ||1 |500 |250 |100 |350 |150 |300 ||2 |360 |315 |200 |150 |200 |150 ||3 |470 |215 |150 |360 |260 |450 ||4 |250 |70 |80 |190 |80 |180 ||5 |150 |150 |90 |50 |90 |90 ||6 |330 |200 |100 |100 |200 |200 ||7 |620 |360 |180 |350 |400 |220 ||8 |440 |270 |150 |300 |200 |370 ||9 |510 |250 |350 |250 |300 |110 ||10 |280 |255 |160 |90 |100 |200 ||Suma |3910 |2335 |1560 |2190 |1980 |2270 |
|Vidurkis |391 |233,5 |156 |219 |198 |227 ||Kvadratinis |142,24|81,753|79,330|118,64|101,41|114,31||nuokrypis | |36 |53 |51 |22 |44 ||Dispersija |20232,|6683,6|6293,3|14076,|10284,|13067,|| |22 |11 |33 |67 |44 |78 |Iš apskaičiuotų duomenų pastebime, kad didžiausia vidutinė išlaidųdalis tenka statybininkų darbo užmokesčiui, o mažiausia – įrengimų nuomai. Norint atrinkti reikšmingus x regresinei analizei atlikti, reikiaatlikti koreliacinę analizę. Koreliacija atsako į klausimą, ar yra ryšystarp požymių, kokia jo kryptis ir stiprumas. Pirma apskaičiuojukoreliacijos koeficientą r pagal fomulę: [pic] Koreliacijos koeficientą galima apskaičiuoti ir MS EXCEL funkcijaCORREL. Koreliacijos koeficientas r gali įgyti reikšmes nuo –1 iki +1. Jeirx,y>0, tai egzistuoja teigiamas koreliacinis ryšys ir reiškia, kaddidėjant X, didėja ir Y. Kai rx,y<0, egzistuoja neigiamas koreliacinisryšys ir X didėjant, Y mažėja. Kai │rx,y │= 1, egzistuoja tiesinė funkcinėpriklausomybė ir visų stebėjimų reikšmės sutampa su tiesės linija. Pagal atliktus skaičiavimus, pateiktus žemiau, matome, kad ryšys tarpX ir Y yra tiesioginis ir varijuoja nuo vidutiniško iki stipraus, nes r >0.|CORREL |0,7010|0,4917|0,8665|0,8590|0,4354|| |02 |49 |12 |1 |91 ||Koreliacija |0,7010|0,4917|0,8665|0,8590|0,4354|| |02 |49 |12 |1 |91 |
Koreliacijos koeficiento r reikšmingumui įvertinti naudojamasStjudento kriterijus tkr (lentelinis arba MS EXCEL funkcijos TINV pagalba,pasirenkant reikšmingumo lygmenį α = 0,05 ir k – laisvės laipsnį, k = n –2.), kuris lyginamas su stebimąja kriterijaus reikšme. Stebimąjąkriterijaus reikšmę apskaičiuoju pagal formulę: [pic] Jei tst ≥ tkr, tai darome išvadą, kad koreliacijos koeficientasreikšmingas ir stochastinis ryšys (stochastinis ryšys pasireiškia kaippriklausomybė tarp atsitiktinių dydžių taip, jog vieno dydžio pokytisveikia kito dydžio pasiskirstymą) egzistuoja. Jei tstFkr. Tuo remiantis, darau išvadą, kad šių kintamųjų regresijoskreivės atitinka adekvačią realią padėtį, o tai reiškia, jog toliau galiujas taikyti planavime ir prognozavime. Nubraižau Y ir X1, Y ir X3, Y ir X4 priklausomybes. Naudodamasi MSEXCEL komanda „add tredline“, nubraižau regresijos kreives, kurios yra
naudojamos prognozėms.[pic][pic][pic]3. DAUGIANARĖ REGRESIJA
Nagrinėjant realius ekonominius procesus, dažnai neužtenka vienmatėsregresijos modelio ir reikia nustatyti Y priklausomybę nuo keliųnepriklausomųjų kintamųjų. Tokia regresija vadinama daugianare. Šiosregresinės analizės metu nustatomas bendro ryšio tarp išlaidų statybinėmsmedžiagoms (Y) ir visų pasirinktų veiksnių X1 (išlaidų statybinių medžiagųtransportavimui), X3 (statybininkų darbo užmokesčio), X4 (išlaidųprojektavimo darbams) kartu egzistavimas ir jo analitinė išraiška.Tiesinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:Yi = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + …+amxmEksponentinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:[pic]Mano darbe tiesinė regresijos lygtis yra tokia: Yi = a0 + a1x1 + a2x3 +a3x4, o eksponentinė regresijos lygtis atrodo taip: [pic]Norėdama rasti a0, a1, a2, a3 ir b0, b1, b2, b3 kreivių koeficientus,naudoju MS EXCEL funkcijas LINEST (tiesinei regresijai) ir LOGEST(eksponentinei regresijai). Gaunamos šios lentelės:|LINEST| | | ||0,4938|0,6688|0,41702|49,371||28 |38 |39 |55 ||0,1986|0,1330|0,21179|39,350||38 |18 |28 |39 ||0,9538|37,411|#N/A |#N/A ||82 |29 | | ||41,367|6 |#N/A |#N/A ||02 | | | ||173692|8397,6|#N/A |#N/A ||,4 |27 | | |
|LOGEST| | | ||1,0010|1,0020|1,00148|133,64||31 |67 |09 |17 ||0,0009|0,0006|0,00100|0,1858||38 |28 |04 |73 ||0,8832|0,1767|#N/A |#N/A ||66 |13 | | ||19,814|6 |#N/A |#N/A ||623 | | | ||1,4176|0,1873|#N/A |#N/A ||9 |65 | | |
Šių lentelių pirmose eilutėse (iš dešinės į kairę) yra a0, a1, a2, a3 irb0, b1, b2, b3.Tiesinė regresijos lygtis: ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828X4Eksponentinė regresijos lygtis:ŷ=133,6417*1,0014809X1*1,002067X3*1,001031X4 Iš pirmos lentelės eilutės randu regresijos lygties koeficientus.Antroje lentelės eilutėje yra šių koeficientų vidutiniai standartiniainuokrypiai. Pirmo lentelės stulpelio trečioje eilutėje yra determinacijoskoeficientas D. Pirmo lentelės stulpelio ketvirtoje eilutėje – dispersijossantykis F. Paskutinėje lentelės eilutėje pateikiamos kvadratų sumos, kuriųreikia skaičiuojant regresijos bei likutines dispersijas (pirmamestulpelyje yra regresijos dispersijos kvadratų suma, o antrame likutinėsdispersijos kvadratų suma). Virš likutinės dispersijos kvadratų sumos (
2st, 4eil.) yra šios dispersijos laisvės laipsnis. Kritinę statistikos Freikšmę randu funkcijos FINV pagalba, kurios reikia lyginant dispersijossantykį. Norėdama įvertinti gautos analitinės išraiškos adekvatumą realiaipadėčiai, turiu palyginti lentelinį Fišerio santykį su statistiniu. Jeistatistinis santykis didesnis už lentelinį, tai regresijos lygtis yraadekvati realiai padėčiai. Fišerio santykis: [pic]Norėdama jį apskaičiuoti, turiu rasti regresijos ir likutinędispersijas tiesinei regersijai ir eksponentinei regresijai). Apskaičiuojudispersijas šių formulių pagalba: [pic] = [pic](k=3, k – reikšmingų veiksnių skaičius) [pic]|TIESINI| | ||S | | ||Ŷ |S²ŷ |Slikut ||461,794|5011,924|1459,625||9 |9 |9 ||379,825|124,8743|393,0417||3 |3 |8 ||508,208|13737,83|1459,891||5 |8 |2 ||245,148|21272,61|23,53568||6 |9 |1 ||189,811|40476,80|1584,956||5 |9 |3 ||298,425|8570,013|996,9406||6 |4 |3 ||631,124|57659,75|123,7536||5 |8 |7 ||461,384|4954,034|457,3141||9 |8 |5 ||468,985|6081,704|1682,207||3 | |2 ||265,290|15802,79|216,3601||8 |9 |4 ||Suma |173692,3|8397,626|| |7 |6 || |57897,45|1399,604|| |8 |4 |
|EKSPONENTINIS| | ||Ŷ |S²ŷ |Slikut ||465,2069605 |5506,673|1210,555601||356,8149069 |1168,620|10,14481818|| |6 | ||505,0856256 |13015,53|1231,001122||238,3071679 |23315,10|136,7223236|| |1 | ||202,9903527 |35347,62|2807,977481|| |7 | ||271,4528148 |14291,52|3427,772893|| |9 | ||708,3706673 |100724,1|7809,374844|| |4 | ||455,0335034 |4100,289|226,0062254|| |6 | ||441,689631 |2569,438|4666,30651 || |7 | ||260,1991902 |17108,85|392,0720684|| |2 | ||Suma |217147,8|21917,93389|| |72382,60|3652,988981|| |1 | |
Apskaičiavusi gavau, kad tiesinės regresijos dispersijų santykis lygus:|F= |41,3670|| |2 |
Eksponentinės :|F= |19,81462|| |3 |
Surandu kritinę reikšmę [pic]= 5,4094471, kai α = 0.05, ν1 = 3, ν2 =5. Tiek Fst tiesinis, tiek Fst eksponentinis yra didesnis už kritinęreikšmę Fkr ir galiu teigti, kad abi regresijos lygtys yra adekvačiosrealiai padėčiai. Apskaičiuoju koreliacijos koeficientus R šios formulės pagalba:[pic]Gaunu, kad:Tiesinės regresijos R = 0,9766Eksponentinės regresijos R = 0,9398Taigi, šis koreliacijos koeficientas parodo ryšio stiprumą tarp y veiksnioir visų x veiksnių kartu. Kaip jau minėjau aukščiau, pirmo LINEST ir LOGEST lentelės stulpeliotrečioje eilutėje yra determinacijos koeficientas D = R2. Determinacijoskoeficientas D parodo, kokią priklausomojo kintamojo kitimo dalį nulemianepriklausomų kintamųjų kitimas, o (100 – D) – kiti neįvertinti veiksniai.Determinacijos koeficientas gali priimti tokias reikšmes: 0 ≤ R² ≤ 1. KuoR² yra arčiau 1, tuo mano pasirinktas modelis geriau aprašo duomenis.Dtiesinis = 0,9539Deksponentinis = 0,8833 Tai reiškia, kad tiesinė daugianarės regresijos lygtis paaiškina95,39% Y išsibarstymą apie vidurkį, o eksponentinė regresijos lygtis –88,33%. Taigi tiesinė daugianarės regresijos lygtis geriau paaiškina Yišsibarstymą apie vidurkį. Determinacijos koeficientas parodė, kad išlaidosstatybinėms medžiagoms priklauso nuo paimtų regresinei analizei veiksnių,kai regresija tiesinė – 95,39% nuo išlaidų statybinių medžiagų
transportavimui, statybininkų darbo užmokesčio ir išlaidų projektavimodarbams, kai regresija eksponentinė – 88,33%.4. GAUTŲ REZULTATŲ APRAŠYMAS
Koreliacinė regresinė analizė parodė, kad iš pateiktų visų penkiųveiksnių, išlaidos statybinėms medžiagoms labiausiai priklauso nuo išlaidųstatybinių medžiagų transportavimui, statybininkų darbo užmokesčio irišlaidų projektavimo darbams. Skaičiuojant porinę regresinę analizę, nustačiau tokias šių kintamųjųtiesines regresines lygtis, adekvačias realiai padėčiai, kurias galimataikyti planavime ir prognozavime:|yi=106,2117+1,21965||x ||yi=163,4951+1,03883||5x ||yi=152,4417+1,20484||x |
Atlikus daugianarę regresinę analizę, nustačiau, kad tiesinėdaugianarės regresijos lygtis paaiškina 95,39% Y išsibarstymą apie vidurkį,o eksponentinė regresijos lygtis – 88,33%. Taigi eksponentinė daugianarėsregresijos lygtis geriau paaiškina Y išsibarstymą apie vidurkį. Skaičiuojant daugianarę regresinę analizę, gavau, kad eksponentinėsregresijos koreliacijos santykis (0,99) geriau atspindi ryšio stiprumą tarpy veiksnio ir visų x veiksnių kartu, nes jis yra didesnis už tiesinėsregresijos koreliacijos santykį (0,975).
5. TYRIMO REZULTATŲ PRAKTINIS TAIKYMAS
MS EXCEL funkcijų TREND (tiesinė) ir GROWTH (eksponentinė) pagalbagaliu prognozuoti, kaip pasikeis išlaidos statybinėms medžiagoms, pakitus 3jas labiausiai įtakojantiems veiksniams: išlaidoms statybinių medžiagųtransportavimui, statybininkų darbo užmokesčiui bei išlaidoms projektavimodarbams.|Y |X1 |X3 |X4 ||(Išlai|(išlaid|(statyb|(išlai||dos |os |ininkų |dos ||statyb|statybi|darbo |projek||inėms |nių |užmokes|tavimo||medžia|medžiag|tis, |darbam||goms, |ų |tūkst. |s, ||tūkst.|transpo|Lt) |tūkst.||Lt) |rtavimu| |Lt) || |i, | | || |tūkst. | | || |Lt) | | ||500 |250 |350 |150 ||360 |315 |150 |200 ||470 |215 |360 |260 ||250 |70 |190 |80 ||150 |150 |50 |90 ||330 |200 |100 |200 ||620 |360 |350 |400 ||440 |270 |300 |200 ||510 |250 |250 |300 ||280 |255 |90 |100 |
|Nauji |Nauji |Nauji ||X1 |X3 |X4 ||215 |315 |115 ||280 |115 |165 ||180 |325 |225 ||35 |155 |45 ||115 |15 |55 ||165 |65 |165 ||325 |315 |365 ||235 |265 |165 ||215 |215 |265 ||220 |55 |65 |
Pagal naujuosius x atlieku skaičiavimus TREND ir GROWTH funkcijųpagalba. Naujus x pasirinkau 35000 Ltmažesnius. Gaunu tokius duomenis:|TREND |GROWTH ||406,5058195|396,3651||324,5361515|304,0130|| |3 ||452,919392 |430,3424|| |8 ||189,8595113|203,0422||134,5223798|172,9516|| |1 ||243,1365034|231,2829|| |2 ||575,8353327|603,5451|| |6 ||406,0957748|387,6971|| |2 ||413,6961509|376,3278|| |9 ||210,0016843|221,6946|| |2 |
Matome, kad nauji Y tiesinio trendo skaičiavimo parodymais yra taippat mažesni, eksponentinio growth‘o skaičiavimo parodymais – Y kinta labaiįvairiai. Kadangi tiesinė regresijos lygtis:
ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828X4 geriau aprašo manoanalizuojamąjį modelį, tai atliksiu prognozes tik pagal ją. 1. Jei metinės išlaidos statybinių medžiagų transportavimui sumažės 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų: ŷ=49,37155+0,4170239(X1-35)+0,668838X3+0,493828X4 2. Jei metinės statybininkų darbo užmokestis (visiems darbininkams bendrai) sumažėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų: ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838(X3-35)+0,493828X4 3. Jei metinės išlaidos projektavimo darbams sumažėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų: ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828(X4-35)|Nauji |Nauji |Nauji ||X1 |X3 |X4 ||285 |385 |185 ||350 |185 |235 ||250 |395 |295 ||105 |225 |115 ||185 |85 |125 ||235 |135 |235 ||395 |385 |435 ||305 |335 |235 ||285 |285 |335 ||290 |125 |135 |Tą pačią veiksmų seką atlieku, jei reikšmingi X padidėja 35000 Lt. Gaunutokias TREND ir GROWTH reikšmes:|TREND |GROWTH ||517,0840795|546,0054|| |8 ||435,1144114|418,7875|| |7 ||563,497652 |592,8103|| |9 ||300,4377713|279,6970|| |6 ||245,1006398|238,2463|| |2 ||353,7147634|318,5995|| |4 ||686,4135927|831,4025|| |7 ||516,6740347|534,0650|| |6 ||524,2744108|518,4035|| |9 ||320,5799443|305,3913|| |5 |
Išvada: išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat išauga, išaugus visiemstrims reikšmingiems veiksniams: 1. Jei metinės išlaidos statybinių medžiagų transportavimui padidėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat išaugtų: ŷ=49,37155+0,4170239(X1+35)+0,668838X3+0,493828X4 2. Jei metinės statybininkų darbo užmokestis (visiems darbininkams bendrai) sumažėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų: ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838(X3+35)+0,493828X4 3. Jei metinės išlaidos projektavimo darbams sumažėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų: ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828(X4+35)
6. PROGNOZAVIMAS
Prognozė gali būti atliekama dviem metodais: slenkančio vidurkio ireksponentinio išlyginimo metodu. Slenkančio vidurkio metodas. Jo esmė yra ta, kad prognozė yraskaičiuojama pagal paskutiniąsias reikšmes. Pirmąją prognozę atlieku pagaltrijų paskutinių reikšmių sumą, antrąją – pagal dviejų paskutinių reikšmiųsumą. Šis vidurkis naudojamas kaip prognozė naujam eiliniam laikotarpiui.Paklaida – tai skirtumas tarp realaus fakto ir prognozės. Vidutinėkvadratinė paklaida atspindi prognozės tikslumą.Uždavinys: turime stambios statybos bendrovės 16 savaičių statybos užsakymų
statistinius duomenis:|Molis (g) |250 |500 |6000 ||Vanduo (ml) |600 |300 |9000 ||Darbo valandos (h)|2 |4 |68 ||Pelnas (Lt) |0,5 |0,4 | |
Tikslo funkcija: max f(x) = 0,5 x1+0,4 x2Apribojimai: 250 x1 + 500 x2 ≤ 15000 600 x1 + 300 x2 ≤ 9000 2 x1 + 4 x2 ≤ 68 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
SPRENDIMAS|250 x1 + 500 x2 = 15000 ||Kai x1 = 0, tai x2 = 30 ||Kai x2 = 0, tai x1 = 60 |
|600 x1 + 300 x2 = 9000 || ||Kai x1 = 0, tai x2 = 30 ||Kai x2 = 0, tai x1 = 15 |
|2 x1 + 4 x2 = 68 ||Kai x1 = 0, tai x2 = 17 ||Kai x2 = 0, tai x1 = 34 |
Tikslo funkciją taip pat parašau kaip lygtį, kad galėčiau nubrėžti tiesę(grafike raudona punktyrinė linija).0,5 x1+0,4 x2 = 20Kai x1 = 0, tai x2 = 50Kai x2 = 0, tai x1 = 40Kadangi uždavinys yra maksimumo, šią tiesę lygiagrečiai keliant i viršų,surandu tolimiausią leistinų sprendinių tašką (B). Šiame taške kertasiantra ir trečia tiesės, todėl:[pic]Taigi:[pic][pic]x1 = 8,66x2 =12,67Imame sveiką plytų skaičių ir tada suskaičiuojame maksimalų pelną: 0,5×8 +0,4×12 = 8,8 LtAts.: Norint gauti maksimalų pelną (8,8 Lt), reikia gaminti 8 vienetusraudonų plytų ir 12 vienetų – geltonų plytų. Viršuje į langelius vienas po kito įrašau x1 ir x2. Žemiau įrašautikslo funkciją be dešiniosios nelygybės dalies. Toliau parašau tristurimas nelygybes. Iškviečiu Tools → Solver komandą. „Set Target Cell“langelyje pažymiu tikslo funkcijos langelio koordinates, o „Equal to“laukelyje pažymiu – „max“. „Subject to the constraints“ laukelyje įveduvisas nelygybes, o „Options“ laukelyje pasirenku „Assume Linear Model“ →„Solve“ komandą. Ten, kur turėjau x1 ir x2, gavau optimalaus sprendinio koordinates;kur buvo nelygybės, ten parodyta, kiek atsargų bus sunaudota, o tikslofunkcijos vietoje – koks bus pelnas.|8,66 |12,67 ||9,3 | |
7.2. Dualus uždavinys
Pradinis uždavinys:|0,5*X1 + 0,4*X2 → max ||250 x1 + 500 x2 ≤ 15000 ||600 x1 + 300 x2 ≤ 9000 ||2 x1 + 4 x2 ≤ 68 ||x1 ≥ 0 ||x2 ≥ 0 |
Atrenku du apribojimus iš pradinio gamybos planavimo uždavinio ( 7.1.skyrius) ir sprendžiu dualų uždavinį:|600 x1 + 300 x2 ≤ 9000 |y1 ||2 x1 + 4 x2 ≤ 68 |y2 |
Iš čia: 9000y1 + 68y2 → min600y1 + 2y2 ≥ 0,5300y1 + 4y2 ≥ 0,4y1 ≥ 0, y2 ≥ 0Šį dualų uždavinį išspręsiu grafiniu būdu:
(1) 600y1 + 2y2 = 0,5y1 = 0, y2 = 0,25y2 = 0, y1 = 0,000833333(2) 300y1 + 4y2 = 0,4y1 = 0, y2 = 0,1y2 = 0, y1 = 0,001333333Tikslo funkciją taip pat parašau kaip lygtį, kad galėčiau nubrėžti tiesę(grafike punktyrinė linija).9000y1 + 68y2 = 6,12y1 = 0, y2 = 0,09y2 = 0, y1 = 0,0068 Kadangi uždavinys yra minimizavimo, šią tiesę lygiagrečiai keliant iviršų, surandu artimiausią leistinų sprendinių tašką (B).[pic]B – optimalus taškas.Apskaičiuoju optimalaus taško koordinates:600y1 + 2y2 = 0,5300y1 + 4y2 = 0,4y1 = 0,000666666y2 = 0,05B(0,000666666; 0,05)Apskaičiuoju Zmin(opt) = 9000*0,000666666 + 68*0,05 = 9,399994 (Lt) Pagal dualumo teoriją, jei vienas planavimo uždavinys turi optimalųsprendinį, tai jį turi ir dualus uždavinys, ir optimalios funkcijų reikšmėsyra lygios. Kadangi mano suformuluotame uždavinyje įmonė gamina plytas, planavimouždavinyje skaičiuodama Z(opt) apvalinau x1 ir x2 iki sveikojo plytųskaičiaus (į mažesnę pusę) ir gavau tokią reikšmę: 0,5 × 8 + 0,4 × 12 = 8,8Lt. Tačiau imant nesuapvalintas reikšmes, gaunu didesnį rezultatą: 0,5 ×8,66 + 0,4 × 12,67 = 9,398, pagal šį skaičiavimą 1-ojo ir 2-ojo uždavinioreikšmės yra labai artimos viena kitai. 7.3. Išteklių ,,šešėlinės’’ kainos ir gautų rezultatų aprašymasDualaus uždavinio sprendinys yra išteklių šešėlinės kainos. Šešėliniųkainų tiesiogiai nematome, tačiau tai yra viršutinė riba, kurią sutinkamokėti verslininkas. Taško B koordinatės A (0,000666666; 0,05) ir yra šešėlinės kainos. Taireiškia, kad raudonos plytos šešėlinė kaina lygi 0,000666666. Geltonosplytos šešėlinė kaina lygi 0,05.
Pelnas bus:
|Zmin(opt) = 9000*0,000666666 + 68*0,05 = 9,399994 (Lt) |
Išsprendusi gamybos planavimo uždavinį sužinojau, kiek reikia gamintiraudonų ir kiek geltonų plytų, kad užtektų visų išteklių ir gautumemaksimalų pelną. Išsprendusi dualų uždavinį sužinojau išteklių „šešėlines“kainas, kurios parodo kaip pasikeistų tikslo funkcija, padidinus vienuvienetu turimus išteklius.
8. TRANSPORTO UŽDAVINYS 3 statybinių medžiagų gamintojai (siuntimo punktai) tiekia staybinesmedžiagas (vienetais) į 4 statybinių medžiagų parduotuves (gavimo punktus):
Prekės turi būti išvežiotos į parduotuves. Kiekvienas gamintojas galivežti prekes į kiekvieną parduotuvę.
TIKSLAS – sudaryti tokią pervežimų programą, kad: ➢ Bendros transportavimo išlaidos būtų mažiausios; ➢ Visų staybinių medžiagų parduotuvių (gavimo punktų) statybinių medžiagų poreikiai būtų visiškai patenkinti; ➢ Visų statybinių medžiagų gamintojų (siuntimo punktų) atsargos būtų išvežtos.
Žymėjimų reikšmė:Xij – kiek statybinių medžiagų vienetų vežti iš siuntimo punkto i į gavimopunktą j.Cij – vieno statybinių medžiagų vieneto pervežimo kaina ( Lt ).ai – atsargos siuntimo punktuose ( vienetais ).bj – atsargos gavimo punktuose ( vienetais ).
Tikslo funkcija išreiškia bendras transportavimo išlaidas:
Transporto uždavinio sprendimui naudosiu pervežimo lenteles, kurių kampuosepažymėtos pervežimo kainos:| |B1 |B2 |B3 |B4 |ai ||A1 | | | | |400 || |2 |2 |3 |2 | ||A2 | | | | |300 || |4 |1 |3 |4 | ||A3 | | | | |200 || |3 |3 |3 |1 | ||bj |100 |400 |250 |150 |900 |
Mano tikslo fukcija atrodys taip: 2X11 + 2X12 + 3X13 + 2X14 + 4X21+ X22 +3X23 + 4X24 + 3X31 + 3X32 + 3X33 + X34 → min
Tarp visų apribojimų sistemos sprendinių reikia rasti tokį, kur tikslo f-jaįgytų mažiausią reikšmę. X11+X12+X13+X14(a1 = 400 X11+X21+X31(b1 = 100 X21+X22+X23+X24(a2 = 300 X12+X22+X32(b2 = 400 X31+X32+X33+X34(a3 = 200 X13+X23+X33(b3 = 250 X14+X24+X34(b4 = 150
Pirmiausia ieškosiu leistino sprendinio šiaurės vakarų kampo metodu.Šio metodo esmė yra ta, kad lentelė pradedama pildyti nuo viršutiniokairiojo kampo. Jei parduotuvės poreikiai jau patenkinti, tai tas stulpelisyra jau užpildytas ir tada slenkamasi dešinėn. Jei sandėlio atsargospaskirstytos, tai eilutė yra užpildyta ir slenkamasi į apačioje esantįlangelį, taip kartojama tol, kol paskirstomi visi ištekliai. Žingsniai,kuriuos atlieku: A1B1: X11 = 100; A1B2: X12 =300; A2B2: X22 = 100; A2B3: X23 = 200; A3B3: X33 = 50; A3B4: X34 = 150. Gaunu tokią pervežimų lentelę:| |B1 |B2 |B3 |B4 |ai ||A1 | | | | |400 || |2 |2 |3 |2 | || |100 |300 | | | ||A2 | | | | |300 || |4 |1 |3 |4 | || | |100 |200 | | ||A3 | | | | |200 || |3 |3 |3 |1 | || | | |50 |150 | ||bj |100 |400 |250 |150 |900 |
Z(1) = 100*2 + 300*2 +100*1 + 200*3 + 50*3 + 150*1 = 1800 (Lt). Šis sprendimo būdas užtikrina prekių paskirstymą, bet pervežimo kaštaiyra dideli. Todėl, ieškodama optimalaus pervežimų varianto, uždavinįišspręsiu potencialų metodu. Kad tai atlikčiau, turiu prieš tai rastailentelei apskaičiuoti gamintojų (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:
|u1 + v1 = 2 |u1 = 0 |v1 = 2 ||u1 + v2 = 2 |u2 = -1 |v2 = 2 ||u2 + v2 = 1 |u3 = -1 |v3 = 4 ||u2 + v3 = 3 | |v4 = 2 ||u3 + v3 = 3 | | ||u3 + v4 = 1 | | |
L1| |Vj |2 |2 |4 |2 | ||Ui | |B1 |B2 |B3 |B4 |ai ||0 |A1 |100 |300 | | |400 || | |2 |2 |3 |2 | ||-1 |A2 | |100 |200 | |300 || | |4 |1 |3 |4 | ||-1 |A3 | | |50 |150 |200 || | |3 |3 |3 |1 | || |bj |100 |400 |250 |150 |900 |
Optimalus sprendinys bus tada, kai pervežimų lentelės visuoselaisvuose langeliuose galios ši nelygybė: γij = Cij – (Ui + Vj) ≥ 0 Jei γij < 0, sudarome ciklą ir skaičiuojame poslinkį, t.y. braižomelaužtinę liniją nuo tuščio langelio per kitus užpildytus langelius. Cikloviršūnėms pakaitomis priskiriame „+“ ir „–“ ženklus, pradedant nuo viršūnėstuščiame langelyje su „+“ ženklu. Iš gautų neigiamų viršūnių išrenkammažiausią skaičių ir teigiamose viršūnėse jį pridedame, o neigiamose –atimame. Apskaičiavusi, gavau tokias γij reikšmes:γ13 = 3 – (0 + 4) = – 1γ14 = 2 – (0 + 2) = 0γ21 = 4 – (-1 + 2) = 3γ24 = 4 – (-1 + 2) = 3γ31 = 3 – (-1 + 2) = 2γ32 = 3 – (-1 + 2) = 2 Kadangi: γ13 = -1, taigi L1 lentelėje pradedu skaičiuoti poslinkį.Šiuo atveju ciklo poslinkis yra lygus 200. Iš naujo perskaičiuojupotencialus. Gaunu naują lentelę: L2| |Vj |2 |2 |3 |1 | ||Ui | |B1 |B2 |B3 |B4 |ai || 0 |A1 |100 |100 |200 | |400 || | |2 |2 |3 |2 | ||-1 |A2 | |300 | | |300 || | |4 |1 |3 |4 | || 0 |A3 | | |50 |150 |200 || | | | |3 |1 | || |bj |100 |400 |250 |150 |900 |
|u1 + v1 = 2 |u1 = 0 |v1 = 2 ||u1 + v2 = 2 |u2 = -1 |v2 = 2 ||u1 + v3 = 3 |u3 = 0 |v3 = 3 ||u2 + v2 = 1 | |v4 = 1 ||u3 + v3 = 3 | | ||u3 + v4 = 1 | | |
Atlikus ciklo poslinkį, radau, kad šioje lentelėje visi γij yra teigiami:γ14 = 2 – (0 + 1) = 1γ21 = 4 – (-1 + 2) = 3γ23 = 3 – (-1 + 3) = 1γ24 = 4 – (-1 + 1) = 4γ31 = 3 – (0 + 2) = 1γ32 = 3 – (0 + 2) = 2Apskaičiuojų optimalų sprendinį:Z(opt) = 100*2 + 100*2 +200*3 + 300*1 + 50*3 + 150*1 = 1600 (Lt).
IŠVADA: 1 statybinių medžiagų gamintojas turi vežti: • Į 1 parduotuvę – 100 statybinių medžiagų vienetų; • Į 2 parduotuvę – 100 statybinių medžiagų vienetų; Pervežimo išlaidos bus: • Į 3 parduotuvę – 200 statybinių medžiagų vienetų. 100*2+100*2+200*3 = 1000 Lt
2 statybinių medžiagų gamintojas turi vežti: • Į 2 parduotuvę – 300 statybinių medžiagų vienetų. Pervežimo
išlaidos bus: 300*2 = 600 Lt3 statybinių medžiagų gamintojas turi vežti: • Į 3 parduotuvę – 50 statybinių medžiagų vienetų; • Į 4 parduotuvę – 150 statybinių medžiagų vienetų; Pervežimo išlaidos bus: 50*3 + 150*1 = 300 LtTai optimalus pervežimo planas, nes: • Bendros transportavimo išlaidos yra mažiausios ( 1600 Lt ); • 4 parduotuvių poreikiai patenkinti; • 3 statybinių medžiagų gamintojų visa produkcija išvežta.LITERATŪRA
1. Kiekybinių sprendimų metodų disciplinos paskaitų medžiaga.
———————–
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Statybinių medžiagų parduotuvės
100
400
250
150
200
300
400
Statybinių medžiagų gamintojai (siuntimo punktai)