Vijeto teorema

Fransua Vijetas

(1540-1603)

Geriausias Prancūzijos matematikas XVI amžiuje buvo Fransua Vijetas,
dažnai vadinamas pusiau lotynišku vardu Vietu. Jis gimė Fontenay Le Comte
mietselyje, Prancūzijos šiaurėje apie 50 kilometrų į rytus nuo La Roše
miestelio. Jis buvo teisininkas ir parlamento narys, žmogus kuris paskyrė
diždiąją savo laisvalaikio dalį matematikai. Mūsų visai nestebina faktas,
kad F.Vijetas studijavo teisę, kadangi šio matematiko tėvas, Etanielis
Vijetas taip pat buvo tesininkas. E.Vijetas buvo advokatas ir prokuroras
Fontenalyje bei notaras Le Busseau. F.Vijeto mama buvo Margarita Dupont,
Paryžiaus parlamento prezidento Barnabe Brisson pusseserė. Iš pradžių
F.Vijetas mokėsi Fontenay-le-Comte mokykloje iir tuomet 1555 metais
persikraustė į Poitierio meistelį, apie 80 km į šiaurę nuo Fontenay-le-
Comte, kur jis studijavo teisę Poitierio universitete. 1560 metais jis
įgijo bakalauro laispnį ir licenziją mokyti. Po ketverių metų praktikos jis
atsisakė savo darbo ir ėmė privačiai mokyti Antuanetės d’Aubeterre
vienuolikametę dukrą Kateriną. Vijetas labia susidraugavo su Katerina ir
pasišventė jos mokymui visam gyvenimui. Jis supažindino ją su sfera,
gegografijos bei atrologijso elementais. Vijeto pagalba Katerinos kilmingai
šeimai atvėrė jam kelius į La Rošele ir pagaliau į Paryžių.1573 jį
pastebėjo karalius Karlas IX, kuris paskyrė jį kancleriu. Vijetas pasiliko
šiame poste iki 15580. Nuo1584 jis pratesė savo matematikos studijas ir
išplėtojo savo algebros idėjas. 1591 metais F.Vijetas išleido „In artem
analyticem isagoge“ knygą ir 1593 metais „Supplementum geomeriae“. Šie
darbai pirmeiji įvedė simboline algebrą. Svarbiausias Fransua Vijeto
veikalas yra „Opera matematica“.

1589 Henrikas III pakvietė Vijetą sugrįžti į kanclerio pareigas, kadangi
Henrikas III t

turėjo priverstinai išsikelti. Šiek tiek vėliau per
Prancūzijos karą su Ispanija Henrikas IV taip pat pakvietė Vijetą pas save,
tčiau ne kaip biurokratą bet kaip matematiką, Vijetas iššifravo žinutes
vyriausiąjai valdžiai. Po karo Vijetas grįžo į Paryžių nuo 1594-1597 ir
tada vėl nuo 1599-1602. Vėliau,1602 jis buvo atleistas Henriko IV. Vijetas
mirė Paryžiuje Gegužės 23 dieną 1603m.

Šis matematikas padėjo lemiamą žingsnį, pereinant nuo retorinės prie
naujos, simbolinės

algebros. Jis pirmasis pradėjo žymėti raidėmis ne tik nežinomuosius, bet
ir visus skaičius.Terminą koeficientas iš lotyniškojo coefficiens –
„padedantis“(aišku, daugiklį) įvedė taip pat Vijetas. XV a. Pasirodė
paprastieji skliaustai. To paties amžiaus pabaigoje Vijeto knygose pasirodo
ir riestiniai skliaustai. Beto šis matematikas dešimtainės trupmenos
skaitiklį savo trigonometrijos lentelėse kartais rašydavo be vardiklio,
pvz:5/73652 vietoj 5,73652.

Vienas iš didžiausių Fransua Vijeto pasiekimų buvo skaičiaus „(“
atrasta tiksliausia reikšmė.Vijetas 16 kartų padvigubinęs daugiakampių
kraštinių skaičių rado sskaičių „(“ tik su 9 teisingais dešimtainiais
ženklais. Jis pirmasis pastebėjo, kad skaičių „(“ galima surasti
panaudojant kai kurių sekų ribas.Tik praėjus 250 metų po al Kašijaus
atsiradimo buvo gautas dar tikslesnis rezultatas. Vienas iš idomesnių faktų
apie Vijetą yra tai, XVII Europos matematikai nežinomąjį antrąjį laipsnį
vadino „jėga“(Lot. census) arba kvadratu (lot. quadratur). O Vijetas
naudojo šias santraupas : N(numeris, skaičius)- pirmajam laipsniui žymėti,
Q-antrajam laipsniui, C- trečiajam laipsniui, QQ-ketvirtajam.Pvz: 1C-8Q=16N
aequatur 40, dabar ra6ytume taip : x3 – 8×2 =16x=40. Tačiau didžiausias jo
atradimas yra 2-ojo, 3-ojo ir 4-ojo lapsnio lygčių bendri sprendimo metodai
bei priklausomybė tarp ly
ygties koeficientų ir jos šaknų.

Taigi galime drąsiai teigti, kad prancūzų matematikas, Fransua Vijetas,
gyvenęs XVI amžiuje įnešė diždiulį indelį į matematikos vystymąsi.

1.Fontaney Le Compte- Fransua Vijeto gimimo vieta.

2.Poiteris – F. Vijeto išsimokslinimo vieta( Poiterio universitetas).

3.Paryžius- čia Vijetas dirbo būdamas kancleriu.

VIJETO TEOREMOS ĮRODYMAS

Teorema: Kvadratinės lygties ax2+bx+c=0 šaknų suma lygi –[pic], o šaknų
sandauga lygi [pic].
Įrodymas:

Yra žinoma, kad kvadratinė lygtis ax2 + bx = 0 turi dvi šaknis, kai D>0.
Jas pažymėkime x1 ir x2.

x1 + x2 = [pic]

Raskime šaknų sumą ir sandaugą:

x1 + x2 =[pic] + [pic]= [pic]= – [pic];

x1 * x2 = [pic] * [pic] = [pic]= [pic].

Taigi

x1 + x2 = – [pic],

x1 x2 = [pic] .

Kai D=0, kvadratinė lygtis ax2 + bx + c =0 turi vienintelę šaknį, kurią
galima rasti pagal formulę:

x=[pic].

Susitarkime laikyti, kad kvadratinė lygtis turi ne vieną šaknį, o dvi
lygias šaknis, kai D=0. Tuomet išvada tinka bet kuriai kvadratinei lygčiai
turinčiai šaknis.

Vadinasi, yra teisinga teorema:

Kvadratinės lygties ax2+bx+c=0 šaknų suma lygi –[pic], o šaknų sandauga
lygi [pic].

Suprastintos kvadratinės lygties atveju priklausomybė tarp lygties šaknų
ir koeficientų yra paprastesnio pavidalo. Iš tikrųjų, jei turinčios šaknis
lygties ax2+bx+c=0 koeficientas lygus 1, tai šaknų suma lygi –b, o šaknų
sandauga c, t.y. suprastintos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam
koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Pavyzdžiui, išnagrinėkime lygtį

x2+7x+10 = 0

Kadangi diskriminantas teigiamas (D= (-7)2 – 4 . 10 = 9), tai lygtis
turi dvi šaknis. Sakykime, x1 ir x2 – lygties šaknys. Pagal Vijeto teoremą
x1+x2=7, o x1x2=10.

Tais atvejais, kai re

eikia sudaryti kvadratinę lygtį pagal jos šaknis,
taikoma Vijto teoremai atvirkštinė teorema:

Atvirkštinė Vijeto teorema: Jei skaičiai m ir n tokie, kad jų suma
lygi –p, o sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties

x2+px+q=0

(1)

šaknys.

Įrodykime.

Pagal sąlygą m + n= -p ir mn=q.
1) lygtyje koeficientus p ir q pakaitę atitinkamai –(m+n) bei mn, gauname

x2-(m+n)x+mn=0.

(2)

Pertvarkome kairiąją lygties pusę:

x2-(m+n)x+mn=x2-mx-nx+mn=x(x-m)-n(x-m)=x(-m)(x-n).

Aišku, kad lygtis (x-m)(x-n)=0, ekivalenti (2) lygčiai, turi šaknis m
ir n ir jokių kitų. Vadinasi, skaičiai m ir n, ir tiktai jie, yra lygties

x2+px+q=0 šaknys.

Sakykime, pavyzdžiui, reikia sudaryti kvadratinę lygtį, kurios šaknys
yra -15 ir 22.

Suprastintos kvadrtainės lygties x2+px+q=0, turinčios nurodytąsias
šaknis, koeficientus p ir q galime rasti iš lygybių:

p= -(-15+22), q=-15. 22.

Gauname: p = -7, q= -330.

Vadinasi, suprastinta lygtis, turinti nurodytąsias šaknis, yra tokia:

x2-7x-330=0

(3)

Aišku, kad galima sudaryti kiek norima kvadratinių lygčių, turinčių
duotas šaknis -15 ir 22. Tuo tikslu pakanka padauginti visus (3) lygties
narius iš bet kokio, nelygaus nuliui, skaičiaus. Pavyzdžiui padauginę (3)
lygtį panariui iš 2, gauname:

2×2-14x-660=0.

UŽDAVINIAI

______________________________

1. Nesprendę lygties, raskite lygčių sprendinų sumą ir sandaugą.

Pavyzdys:
x2-6x+8=0
Taigi, pagal Vijeto teoremą
x1+x2= – p, p=6
x1. x2= q, q=8

Ats:. 6 ir 8.

a)x2-37x+27= 0 d) x2-30x-52=0 g)y2-

19=0

b)x2 -5x+6=0 e) z2-26+3=0

h)x2-210=0

c) y2+41y+-371=0 f) x2+1x-1[pic]=0

i)y2+3x-40
2.Lygtis pakeiskite redukuotosiomis ir raskite sprendinių sumą ir sandaugą.

a) 2×2-9x-10=0 c) 5×2+12x+7=0 e)5×2+12+7=0

b) 8×2+2x-3=0 d) 3×2-7x+2=0 f)-z2+z+[pic]
3. Išspręskite kvadratines lygtis ir pagal Vijeto teoremą pasitikrinkite,
ar tesingai apskaičiavote.

a) x2+-8x+7=0 b) x2-3x-1=0

b) 3×2+5x-2=0 d) 9×2-6x+1=0

e) x2+2x-2=0 f) 5×2-11x+2=0

4. Suraskite kitą lygties sprendinį ir ko

oefocientą, kai žinoma, kad :

Pavyzdys: Lygties x2+px-35=0 viena šaknis yra 7. Rasti kitą šaknį ir
koeficientą p.

Pagal Vijeto teoremą :

x1+x2= – p, x1= 7

x1. x2= q, q=-35

Viską įsistatome ir gauname sistemą, kurią išsprendžiame.

7(-p-7)=-35

-7p-49=-35

-7p=14 / : (-7)

p=-2

Kai žinome p galime susirasti ir antrąją šaknį.

x2= -(-2)-7= -3

Ats:. x2= -3, p=-2.

a)Lygties x2-13x+q=0 viena šaknis yra 12,5.Raskite kitą šaknį ir
koeficientą q.

b)Lygties 5×2+bx+24=0 viena šaknis lygi 8. Raskite kitą šaknį ir
koeficientą b.

c)Kvadratinės lygties x2-12+c=0 šaknų skirtumas lygus 6. Raskite
koeficientą c.

5.Taikydami Vijeto teoremą raskite lygčių sprendinius:

a) x2+5x-14=0 b) x2-3x-12=0

c) x2+3x-12=0 d) x2-7x+12=0

e) x2+x+6=0 f) -x2+8x-25=0

6.Raskite lygties šaknis ir patikrinkite pagal teoremą, atvirkštinę Vijeto
teoremai.

a) x2-15x-16=0 d) x2-6=0

b) x2-6x-11=0 e) 5×2-18x=0

c) 12×2-4x-1=0 f) 2×2-41=0

7.Išspręskite lygtį ir patikrinkite pagal teoremą, atvirkštinę Vijeto
teoremai.

a) x2-2x-9=0 d) 2×2+7x-6=0

b) 3×2-4x-4=0 e) 2×2+9x+8=0

c) x2-15x-16=0 f) x2-3x-88=0

8. Duota funkcija y=x2+px+q. Raskite p ir q reikšmes, jeigu žinoma, kad

funkcijos grafikui priklauso taškai M(-3;0) ir N(1;8).

9. Kvadratinės lygties šaknys x1 ir x2. Parašykite redukuotąją kvadratinę

lygtį.

a)x1= 5 , x2= -4 e)x1= 3- [pic] ,

x2= 3+ [pic]

b)x1= 1+[pic] , x2= 1- [pic] f) x1= [pic] , x2= –

[pic]

c)x1= [pic] , x2=[pic] g) x1= -[pic] , x2= 3[pic]

d)x1= [pic] , x2= [pic] h) x1= [pic] , x2= [pic]
10.Pagal duotąsias šaknis sudarykite kvadratinę lygtį ir, norėdami

patikrinti, ją išspręskite.

a) 3; 10; e)2-[pic]; 2+[pic]

b) -7; -4; f) -[pic] ; [pic]

c) -[pic]; 3; g) 5-3[pic]; 5+3[pic]

d) 1,5; 3,5; h) -7-4[pic] ; -7+4[pic]

11.Išspręskite lygtis ir pagal Vijeto teoremą pasitikrinkite, ar teisingai

apskaičiavote:

a) x2-8x+7=0 d) x2-3x-1=0

b) 3×2+5x-2=0 e) 9×2-6x+1=0

c) x2+2x-2=0 f) 5×2-11x+2=0

12.Užpildykite lentelę:

|Kvadratinės |Redukuotoji |Diskri-|Spendini|Sprendiniai |
|lygtys |kvadratinė |minanta|ų | |
| |lygtis |s |skaičius| |
| | | | |x1 |x2 |
|7×2-14x+7=0 |x2-2x+1=0 |0 |1 |1 |1 |
|5×2-5x+10=0 | | | | | |
|x2-15x-16=0 | | | | | |
|[pic]x2+[pic]| | | | | |
|x-[pic]=0 | | | | | |
|4×2+3x-9=0 | | | | | |
|2×2+5x+7=0 | | | | | |

Lygties sprendinius galime rasti ir netaikant Vijeto teoremos formulių.

Pavyzdžiui: Netaikydami kvadratinės lygties sprendinių fomrulės raskime

lygties x2-3x-4=0 sprendinius.

Jei mums pavyktų astpėti du skaičius x1 ir x2, kurių suma būtų lygi 3, o

sandauga lygi -4, tai pagal atvirkštinę Vijeto teoremą jie ir būtų

lygties sprendiniai. Taigi galima užrašyti sistemą:

[pic]

Kadangi 4=1. 4=2. 2, tai nesunkiai galima atspėti tokias x1 ir x2
reikšmes, kad abi sistemos lygtys virstų teisingomis lygybėmis. Kadangi

[pic]

tai lygties sprendiniai yra x1=-16 x2=4.

13.Nustatykite sprendinius spėliodami:

a) x2-6x-7=0 d) x2+x-12=0

b) v2-5v-6=0 e) x2-11x+10=0

c) z2-7z+12=0 f) y2-5y-6=0

Nesprendę lygties mes galime nustatyti sprendinių ženklus.

Pavyzdys Neieškodami lygties x2+7x-1=0 sprendinių nustatykime jų
ženklus.
Kadangi D>0, tai pagal Vijeto teoremą sprendinių sandauga lygi -1.(1.(-1)=-
1).Vadinasi, dauginamieji yra skirtingų ženklų. Taigi sprendiniai yra
skirtingų ženklų.

14.Nespręsdami lygčių, nustatykite jų šaknų ženklus(jei šaknys egzistuoja).

a) x2+7x-1=0 d) 19×2-23x+5=0

b) x2-7x+1=0 e) 2×2+5[pic]x+11=0

c) 5×2+17x+16=0 f) 11×2-9x+7-5[pic]=0

15.Nespręsdmi lygčių, nustatykite jų šaknų ženklus(jei šaknys egzistuoja).

a) x2-18x+17=0 d) 5×2-x-108=0

b) x2-2x-1=0 e) x2-[pic]x+1=0

c) x2-15x+56=0 f) [pic]x2-12x-7[pic]=0

16.Kodėl šios lygtys negali turėti šaknų su vienodais ženklais?

a)3×2+113x-7=0 c) 4×2+bx-100=0

b)5×2-291x-16=0 d) x2+bx-d2=0
17. Sudarykite kvadratinę lygtį, turinčią:

a)dvi teigiamas šaknis;

b)dvi neigiamas šaknis;

c)šaknis su skirtingais ženklais;

d)vieną šaknį teigiamą, o kitą lygią nuliui.

18.Nustatykite kvadratinės lygties šaknų ženklus ir užpildykite lentelę .
Kai ženklai skirtingi, parašykite, katros- teigiamos ar neigiamos – šaknies
modulis didenis.
|Lygtis |Atsakymas |
|1.4×2-7x-11=0| |
|2.2×2+6x+1=0 | |
|3.6×2+8x-13=0| |
|4.3×2-11x+5=0| |
|5.-7×2-4x+8=0| |
|6.-3×2+6x+5=0| |
|7.-z2+10z-2=0| |
|8.-x2-20x-6=0| |

1. Reikia rasti lygties [pic]=| x+1 | mažiausią šaknį.

Sprendimas: Pažymėję [pic][pic]=y(y[pic]), gauname lygtį

[pic]= y arba y2-2y-3=0.
Pritaikę kvadratinės lygties šaknų formulę arba Vijeto teoremai atvirkštinę

teoremą(mat 2=(-1)+3,-3=(-1).3) , randame: y1=-1, y2=3. Šiam uždaviniui

tinka tik y=3. Tada |x+1|=3, x+1=[pic]3; x1=-4, x2=2.

Atsakymas:. -4

2. Kokia turi būti m reikšmė, kad lygties (m-1)x2+2(m+1)x+(m+2)=0 šaknys

būtų lygios?

Sprendimas: Jei būtų m-1=0, tai lygtis būtų pirmojo laipsnio ir turėtų

tik vieną šaknį.

Kai m[pic]1, turime kvadratinę lygtį. Jos šaknys lygios, kai

diskriminantas D=0( šiuo atveju geriau [pic]=0 ). Taigi turi būti

(m+1)2-(m-1)(m+2)=0, arba m+3=0.
Iš čia randame: m= -.3.

Atsakymas:.-3

3.Reikia rasti didžiausią a reikšmę, sukuria lygties (a+3)x-x2-2a=0 viena

šaknis 4 kartus didesnė už kitą.

Sprendimas: Tai kvadratinė lygtis x2-(a+3)x+2a=0.
Sakykime, lygtis turi dvi šaknis, jos yra x1, x2 ir

x1=4×2.

(1)
Remdamiesi Vijeto teorema, gauname:
x1+x2=a+3,

(2)
x1x2=2a.

(3)
Iš (1) ir (2) lygčių randame:
x1=[pic](a+3), x2=[pic](a+3).
Įrašę x1 ir x2 į (3) lygtį ir pertvarkę, gauname lygtį 2a2-13a+18=0.

Kadangi jos diskriminantas D=132-4.2.18=25, tai a=[pic], taigi a1=2,

a2=4,5.

Ar su šiomis a reikšmėmis pradinė lygtis turi šaknų?Turi. Tai matyti iš

ankščiau gautų x1 ir x2 šaknų.

Atsakymas:. 4,5.

4. Su kuriomis p reikšmėmis viena lygties x2+px+147=0 šaknis yra 3 kartus

didesnė už kitą?

5.Su kuriomis m reikšmėmis viena lygties 2×2-(2m+1)x+m2-9m+39=0 šaknis 2

kartus didesnė už kitą?

6. Su kuriomis parametro b reikšmėmis lygtis x2-6x+b=0 turi dvi šaknis.

Kurių viena dvigubai didesnė už kitą?

Sprendimas: Sakykime, x1ir x2- lygties šaknys. Pagal Vijeto teoremą

x1x2=b, x1+x2=6. Kai x1=2×2, tai 2×2=6, x2=2, x1=4, b=4.2=8.

Atsakymas:. b=8.

7. Kokia turi būti m reikšmė, kad lygties x2+3x+m=0 šaknų skirtumo modulis
būtų lygus 6?

Sprendimas: Kai kvadratinė lygtis ax2bx+c=0 turi šaknis, jos yra

x1=[pic], x2=[pic] (D=b2-4ac).

Todėl |x1-x2|= [pic].

Šiame uždavinyje turi būti [pic]=6, arba D=36, t.y. 32-4m=36.

Iš čia randame, kad m= -6,75. Aišku, kad su šia reikšme pradinė lygtis
turi šaknis (D=36>0).

Atsakymas:. -6.75.

8. Raskite mažiausią a reikšmę, su kuria lygties x2-3ax+a2=0 šaknys

tenkintų sąlygą x12+x22=1,75.

Sprendimas: Kadangi lygties diskriminantas D=(-3)2-4a2=5a2[pic]0, tai

lygtis turi dvi šaknis. Remdamiesi Vijeto teorema, gauname:

x1+x2=3a, x1x2=a2.

Kadangi x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, tai 1,75=(3a)2-2a2.

Iš čia randame: a= [pic]0,5.

Atsakymas:. -0,5.
9.Su kuriomis q reikšmėmis lygties x2-6x+q=0 šaknys(x10.

Atsakymas:. p(3q-p2).

2.Nespręsdami kvadratinės lygties x2+px+q=0, raskite, jos šaknų sumą.

Sprendimas: Sakykime x1ir x2 – kvadratinės lygties šaknys, tuomet:

x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2=(-p)2-2q=p2-2q.

Atsakymas:. p2-2q.

3.Raskite tokį p, kad lygties x2+(p-2)x+p-3=0 šaknų kvadratų suma būtų

mažiausia.

Sprendimas: Laikykime, kad p reikšmė yra tokia, jog lygtis turi dvi

realiąsias šaknis x1 ir x2. Lygties šaknų kvadratų sumą pažymėkime y. Tada

x1+x2= 2-p, x1x2 =p-3, todėl y = (x1+x2)2-2x1x2=(2-p)2-2(p-3)=p2+6p+10=(p-

3)2+1. Todėl y mažiausias, kai p=3. Dar reikia patikrinti, ar lygtis, kai

p=3, turi šaknų. Gauname lygtį x2+x=0, kuri tikrai turi dvi skirtingas

realiąsias šaknis : 0 ir -1.

Atsakymas:. y mažiausias, kai p=3.

4. Su kuria a reikšme lygties x2-ax+ax-1=0 šaknų kvadratų suma yra

mažiausia?

5.Raskite tokią m reikšmę, kad lygties x2-(m-1)x+(2m-5)=0 šaknų kvadratų

suma būtų mažiausia.

Sprendimas:. Viskas būtų paprasta, jeigu žinotume, kad lygtis tikrai turi

dvi nelygias realiąsias šaknis.Bet reikia neužmiršti, kad lygtis gali iš

viso neturėti šaknų( kokia tada šaknų kvadratų suma?), turėti dvi

sutampančias(t.y. vieną šaknį, Kas tada yra šaknų kvadratų suma?).

Galima, pagaliau, nagrinėti ir kompleksines šaknis. Tokiais atvejais

vertėtų nagrinėti kelis galimus požiūrius. Natūraliausias būtų toks:

reikia rasti tokią m reikšmę, kad lygtis turėtų dvi realiąsias (lygias

arba nelygias) šaknis, o jų kvadratų suma būtų mažiausia.

Apskaičiuokime diskriminantą: D=(m-1)2-4(2m-5)=m2-10m+21=(m+3)(m+7).

Vadinasi, šak –

nys realios kai m[pic]7 arba m [pic]3. Tada x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(m-1)2-

2(2m-5)=m2-6m+11=(m- 3)2+2. Šis reiškinys mažiausią reikšmę įgija, kai

m=3. Bet tada D=0, ir lygtis turi dvi sutampančias šaknis (x2-2x+1=0,

x1=x2=1).

Beje atsakymas nesikeistų, jeigu dvi sutampančias šaknis laikytume viena,

arba nagrinėtume ir kompleksines šaknis.

Atsakymas:. Šis

reiškinys mažiausią reikšmę įgija, kai m=3.
6.Nespręsdami lygties 3×2+17x-14=0 raskite reikšmę reiškinio [pic], kuriame

x1 ir x2 yra lygties šaknys.

Sprendimas: Kadangi diskriminantas 172+4.3.14>0, tai šaknys egzistuoja.

Tada pagal Vijeto teoremą x1+x2=-[pic], x1x2= -[pic], todėl

3×12+5x1x2+3×22 = 3(x1+x2)2-x1x2 = 3. [pic]+[pic]= [pic]=[pic]=101, o

4x1x22+4x12x2=4x1x2(x1+x2)=4 . [pic] . [pic]=[pic] Todėl reiškinio

reikšmė

lygi 101: [pic]= [pic]

Atsakymas:. reiškinio reikšmė [pic]

7.Nespręsdami kvadratinės lygties x2+px+q=0, sudarykite naują kvadratinę

lygtį, kurios šaknys yra priešingos duotosios lygties šaknims.

Sprendimas: Sakykime, duotosios lygties šaknys lygio x1 ir x2, o

ieškomosios – y1 ir y2, tuomet y1=-x1, y2= – x2.

y1+y2=-(x1+x2)=-(-p)=p.

y1y2=x1x2=q.

Gauname : y2-py+q=0 – ieškomoji lygtis.

Atsakymas:. y2-py+q=0

Nesprendę kvadratinės lygties x2+px+q=0, sudarykite naują kvadratinę lygtį,

kurios šaknys atvirkštinės duotoios lygties šaknims.

Sprendimas: Kai x1ir x2 – duotosios lygties šaknys, o y1 ir y2 –

ieškomosios lygties šaknys, tai y1=[pic], y2=[pic].

y1+y2=[pic]

y1.y2=[pic]
Gauname: y2+[pic]y+[pic]=0, arba qy2+py+1=0 – ieškomoji lygtis.

Atsakymas:. y2+[pic]y+[pic]=0, arba qy2+py+1=0.
8.Įrodykite, kad lygčių x2px+q=0 ir qx2+px+1=0 šaknys yra vienas kitam

atvirkštiniai skaičiai.

9. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios viena šaknis būtų lygi lygties

ax2+bx+c=0 šaknų sumai, o antra šaknis – tos lygties šaknų sandaugai.

10. Su kuria sveikąjq p reikšme lygtys 3×2-4x+p-2=0 ir x2-2px+5=0 turi

bendrą šaknį? Raskite tą šaknį.

11. Su kuria p reikšme lygtie x2+px-16=0 šaknų santykis lgus -4?

12.Su kuria p reikšme lygtis 3×2-4x+p-2=0 ir x2-2px+5=0 turi bendrą šaknį?
Raskite tą šaknį.

13.Lygties x2+px+q=0 šaknų skirtumas lygus 5, o jų kubų skirtumas lygus 35.
Raskite lygties koeficientus.

14.Įrodykite, kad reiškinys x14x2+x13x22+x12x23+x1x42 yra racionalus, jei
x1 ir x2 yra kvadratinės lygties x2+px+q=0 su racionaliais koeficientais
šaknys.

Sprendimas: lygtis= x1x2(x13+x12x2+x1x22+x23)=x1x2(x1+x2)(x12+x22)=
-pq(p2-2q).

15. Jei x1 ir x2 yra lygties x2-3x+1=0 šaknys, o n- natūralusis skaičius,
tai x1n+x2n yra sveikasis skaičius. Įrodykite.

Kontrolinės užduotys

I grupė

1.Raskite lygčių sprendinių sumą ir sandaugą.

a) 3×2+bx+255=0 с) -x2+bx+c=0

b) -5×2+25x-[pic]=0 d) x2-210x=0
2.Taikydami Vijeto teoremą raskite lygčių sprendinius:

a) x2-5x=0 c) x2+12x+36=0

b) x2-5x+6=0 d)x2+6-5x=0

3.Išspręskite lygtį 5×2-11x+2=0 ir patikrinkite ar gerai išsprendėte pagal

atvirkštinę Vijeto teoremą.

4. Sudarykite redukuotąją kvadratinę lygtį, jei jos sprendiniai yra:

a) x1= 1, x2= -3 ir a= 3

b) x1= -1, x2= -5 ir a= 10

c) x1= 3- [pic], x2= 3+[pic]

d) x1= [pic], x2= [pic]

e) x1= 6 , x2= -2

f) x1= -5, x2= -3

5.Užpildykite lentelę.
|Kvadartinė |Redukuotoji |Diskri-|Sprendin|Sprendinia|
|lygtis |kvadratinė |minanta|ių |i |
| |lygtis |s |skaičius| |
| | | | |x1 |x2 |
|2×2-11x+16=0| | | | |
|3×2-5x+8=0 | | | | |
|1-18x+81×2=0| | | | |
|x2=-2x-1 | | | | |

6. Nustatykite kvadratinės lygties šaknų ženklus ir užpildykite lentelę
|Lygtis |Atsakymas |
|1.4×2-7x-11=0| |
|2.x2+3x+0.5=0| |
|3.2×2+4x-6=0 | |
|4. | |
|5×2-x-108=0 | |
|5.-7×2-4x+8=0| |
|6.-y2+10y-2=0| |

7.a)Kvadratinės lygties 10×2-33x+c=0 viena šaknis yra 5,3. Raskite kitą

šaknį ir koeficientą c.

b)Kvadratinės lygties x2+x+c=0 šaknu skirtumas lygus 6. Raskite

koeficientą c.
8. Su kuriomis q reikšmėmis lygties x2-10x+q=0 šaknų kvadratų suma lygi 69?
9. Nespręsdami lygties sudarykite naują kvadratinę lygtį, kurios

sprendiniai būtų du kartus didesni už lygties x2-5x+6=0 sprendinius.
10. Su kuriomis p reikšmėmis viena lygties x2+px+147=0 šaknis yra 3 kartus

didenė už kitą?

II grupė

1. Raskite lygčių sprendinių sumą ir sandaugą.

a) x2-9x-10=0 c) -x2-[pic] +6=0

b)5×2+12x+7=0 d) 4y2-19=0

2. Taikydami Vijeto teoremą raskite lygčių spredinius.

a) x2+10x+28=0 c)x2+125x-124=0

b) x2-14x-24=0 d)x29x2-6x+1=0

3. Išspręskite lygtį x2 +19x+88=0 ir pasitikrinkite ar teisingai gavote

pagal atvirkštinę Vijeto teoremą.

4. Sudarykite redukuotąją kvadratinę lygtį:

a) x1= 5, x2= -4 ir a= -5

b) x1= [pic], x2=- [pic] ir a=4

c) x1= -4, x2= -6

d) x1= [pic], x2= – [pic]

e) x1= 2[pic], x2= 1[pic]

f) x1= -[pic], x2= [pic]
5.Užpildykite lentelę.
|Kvadartinė |Redukuotoji |Diskri-|Sprendin|Sprendinia|
|lygtis |kvadratinė |minanta|ių |i |
| |lygtis |s |skaičius| |
| | | | |x1 |x2 |
|4×2+2x-5=0 | | | | |
|-4×2+4x+3=0| | | | |
|10x+9+ x2=0| | | | |
|-12x=-36×2-| | | | |
|1 | | | | |

6. Nustatykite kvadratinės lygties šaknų ženklus ir užpildykite lentelę.
|Lygtis |Atsakymas |
|1.4×2-px-11=0| |
|2.x2+4x+1=0 | |
|3.6×2+8x-13=0| |
|4.-x2-40x-12=| |
|0 | |
|5.-7×2-28x+49| |
|=0 | |
|6.-z2+z-1=0 | |

7.a)Kvadratinės lygties x2+px-35=0 vienas sprendinys lygus 7. Raskite kitą

sprendinį ir koeficientą p.

b)Kvadratinės lygties x2-12x+q=0 šaknų skirtumas lugus 2. Raskite q.
8.Nesprendę lygties 3×2-5x-2=0, raskite jos šaknų kubų sumą.
9. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys būtų būtų atvirktiniai

skaičiai lygties 3×2-8x+4=0 šaknims.
10.Nespręsdami lygties x2-(2a+1)x+a2+0=0, raskite a reikšmę, su kuria viena

lygties šaknis dvigubai didesnė už kitą.

Literatūra

1.A.Grinevičius, J.Mačys „Lietuvos Jaunųjų matematikų olimpiadų uždaviniai“

1990m.
2.V.Jegeriovas, V.Zaicevas, B.Kordemskis , T.Maslova, I.Orlovskaja,

R.Pozoiskis, G.Riachovskaja, N.Fiodorova „Matematikos uždavinynas“ 1992m.

3.Aurelija Biutvydienė „Algebra“ 1998m.
4.B. Ivlevas, A.Zemliakovas, F.Tomaševičius „Algebros ir analizės pradmenų

uždavinynas“ 1983m.
5.J.Koliaginas, M.Leontjeva, J.Makaryčevas „Algebros uždavinynas 6-9

klasei“. 1982m.
6.J.Makaryčevas, N.Mindiuk, K.Neškovas, S.Suvorova „Algebra 7-8 klasei“

1986m.
7.G.Gleizeris „Matematikos istorija mokykloje IV-VI klasėje“.
8.G.Gleizeris „Matematikos istorija mokykloje X-XII klasėje“.
10.Bronislovas Burgis, Vygandas Čirica, Antanas Kulikauskas „Universalus

žinynas“
11.“Lietuvių enciklopedija“ 34 tomas.
12.A.Kiseliovas „Matematika“.
13.”Matematika I dalis” 9 klasė.

———————–
[pic]

[pic]

[pic]

Leave a Comment