1. Trijų pavadinimų A, B ir C produkcijai gaminti įmonė naudoja trijų rūšių žaliavas: R1, R2, R3. Jų atsargos atitinkamai 200 kg, 90 kg ir 140 kg, o sąnaudos (kg) vienam produkcijos vienetui tokios:
A B CR1 2 5 4R2 7 3 6R3 3 9 5
Pagamintą produkciją numatoma parduoti atitinkamai po 6 Lt, 6Lt ir 3 Lt už vienetą. Sudarykite didžiausias pajamas duosiantį gamybos planą. Sprendimas:
2×1 + 5×2 + 4×3 ≤ 200 7×1 + 3×2 + 6×3 ≤ 90 3×1 + 9×2 + 5×3 ≤ 140 x 1≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0F = 6×1 + 6×2 + 3×3 → max
max ( 6×1 + 6×2 + 3×3 ) kai,2×1 + 5×2 + 4×3 ≤ 2007×1 + 3×2 + 6×3 ≤ 903×1 + 9×2 + 5×3 ≤ 140x1≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
2×1 + 5×2 + 4×3 + x4 ≤ 2007×1 + 3×2 + 6×3 + x5 ≤ 903×1 + 9×2 + 5×3 + x6 ≤ 140xj ≥ 0 ; j = 1; 2; 3; 4; 5; 6;
Čia x4 x5 ir x6 yra atitinkamai pirmosios antrosios ir trečiosios žaliavų likučiai.Sistema turi be galo daug sprendinių, nes sistemos rangas r(A)=r=3, kadangi 1 0 0det (a4, a5, a6)= 0 1 0 = 1 ≠ 0 0 0 1
Taigi turime tris bazinius nežinomuosius ir tris laisvuosius. ( n – r = 6 – 3 = 3 )Pradiniam (baziniam) sprendiniui surasti pabandome surasti vieno, labiausiai apsimokančio, gaminio gamybos planą. „ Labiausiai apsimokančiu“ laikysime tą gaminį, kuris užtikrins didžiausias pajamas. Taigi jei gaminsime vien tik pirmąjį gaminį A, tai:pirmoji žaliava R1 jo leis pagaminti 200/2=100vnt. ,o antroji žaliava R2 jo leis pagaminti 90/7=12.8 vnt. ,ir trečioji žaliava R3 leis jo pagaminti 140/3=46.(6)vnt.Šiuo atveju gaminio A galėsime pagaminti tik 12.8 vnt., nes baigsis antroji žaliava, t.y. x6=0. Pardavus visą partiją gaminio A, pajamos bus 12.8*6 = 76.8 pinig. vnt.
Gaminant vien tik antrajį gaminį B, atitinkamai: pirmoji žaliava R1 leistų jo pagaminti 200/5 = 40 vnt. ,o antroji žaliava R2 leistų jo pagaminti 90/3 = 30vnt. , įr trečioji žaliava R3 leistų jo pagaminti 140/9 = 15.5 vnt.,Pagaminus gaminio B 15.5 ienetų. Baigtųsi trečiosios žalaivos R3 atsargos t.y. x6=0 Pajamos būtų 15.(5)*6 = 93.(3)vnt.
Gaminant vien tik trečiajį gaminį C, atitinkamai žaliavos leistų jo pagaminti :200/4 = 50 vnt.90/6 = 15 vnt.140/5 = 28 vnt.Gaminio C galėtume pagaminti tik 15 vnt. Nes jo gamyba lemia antrosios žaliavos atsargos, x5=0 Pajamos būtų 15*3 = 45 pinig.vnt.
Vadinasi didžiausias pajamas gausime gaminant antrą gaminį B todėl baziniu kintamuoju pasirenkame x2, o x1 ir x3 bus laisvieji. Žinome, kad pagaminus 15.5 vnt. antro gaminio B baigtusi (R2) antroji žaliava t.y. jos likutis x5=0, todėl x5 bus laisvų kintamuojų, o x4 ir x6 baziniais kintamaisiais.
Labiausiai apsimokančiu laikome gaminio B gamybą todėl baziniais kintamaisiais pasirenkame x2 x4 x6, laisvaisiais x1 x3 x5. Bazinius kintamuosius ir tikslo funkciją išreiskę laisvaisiais kintamaisiais, gauname pradinį (bazinį) sprendinį (gamybos planą)5×2 + x4 = 200 – 2×1 – 4×33×2 = 90 – 7×1 – 6×3 – x59×2 + x6 = 140 – 3×1 – 5×3x2 = 30 – 7/3×1 – 2×3 – 1/3×5
x4 = 5 ( 30 – 7/3×1 – 2×3 – 1/3×5 ) = 200 – 2×1 – 4×3x4 = 50 + 29/3×1 + 6×3 + 5/3×5
x6 = 140 – 3×1 – 5×3 – 9 ( 30 – 7/3×1 – 2×3 – 1/3×5 )x6 = – 130 + 18×1 + 13×3 + 3×5
F = 6×1 + 6×2 + 3×3F = 6×1 + 6 ( 30 – 7/3×1 – 2×3 – 1/3×5 ) + 3×3F = 180 – 8×1 – 9×3 – 2×5
Optimalus gamybos planas yra šis: max = F = 180 pinig. vnt. Kai x = ( 0; 30; 0; 50; 0; -130; ) t.y. gaminio B reikės gaminti 30 vnt. Gaminio A nereikės gaminti, nes x1 = 0 ir gaminio C nereikes gaminti nes x3=0, x4 žaliavų liko (x4 = 50), x5 žaliavu neliks, o x6 reikės papildomai 130. Pardavus pagamintą produkciją didziausios pajamos bus 180 pinig. vnt.
2.Žmogui per dieną reikia suvartoti ne mažiau kaip 70 g baltymų, 58 g riebalų ir 90 g anglevandenių. Dietai sudaryti naudojami trys produktai A, B, C. Šių produktų maistingųjų medžiagų kiekiai (g) sąlyginiame šio produkto vienete, bei produktų kainos nurodyti lentelėje:
A B CBaltymai 6 8 4Riebalai 4 5 5Anglevandeniai 3 2 10Produkto vieneto kaina 7 5 6
Sudarykite pigiausią dietą iš trijų produktų A, B, C, garantuojančią minimalias maistingųjų medžiagų normas.Sprendimas:
6×1 + 8×2 + 4×3 ≥ 704×1 + 5×2 + 6×3 ≥ 583×1 + 2×2 + 10×3 ≥ 90x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; F = 7×1 + 5×2 + 6×3 → min
Min F = min ( 7×1 + 5×2 + 6×3 ) kai6×1 + 8×2 + 4×3 – x4 = 704×1 + 5×2 + 6×3 – x5 = 583×1 + 2×2 + 10×3 – x6 = 90x1 ≥ 0 j = 1; 2; 3; 4; 5; 6;
Čia x4 reiškia baltymų perteklių, x5 – riebalų perteklių, x6 – anglevandenių perteklių, mūsų pasirinktoje dietoje.Sistema turi be galo daug sprendinių, nes jos rangas r < ( 3 < 6 ). Taigi trys kintamieji bus baziniai, o kiti laisvieji. Pirmasis bazinis sprendinys x0 = ( 0; 0; 0; -70; -58; -90 ), tačiau jis mums netinka, kadangi turi neigiamas komponentes. Pradiniam baziniam sprendiniui nustatyti imsime maitinimąsi tik vienu iš trijų produktų ir nuspresime kuriuo iš jų reikėtų maitintis, kad išlaidos maistui būtų mažiausios ir pasirinktoji dieta garantuotų minimaliasias maistingųjų medžiagų normas, kurios yra nurodytos lentelėje. Jei valgysime tik pirmąjį produktą A, tai jo reikės: 70/6=11,66vnt.,58/4=14,5 vnt., 90/3=30 vnt.Taigi šio produkto reikėtų pirkti ir suvartoti 30 vienetų. Tada būtų garantuota minimali anglevandenių norma, o baltymų ir riebalų šioks toks perteklius. Visa tai kainuotų 30*7=210 pinig. vnt.
Panašiai galvodami nustatome, kad maitinantis vien tik antruoju produktu B jo reikės 70/8=8.75 vnt.,58/5=11.6 vnt.,90/2=45 vnt.Matom, kad būtų garantuotos minimalios baltymų normos, antrojo produkto B reikėtų pirkti 45 vnt., o tai kainuotų 7 45*5=225 pinig.vnt.Jei valgysime tik trečiąjį produktą C tai jo reikės:70/4=17.5vnt.,58/6=9.(6)vnt.,90/10=9vnt.Matome kad būtų garantuota minimali riebalu norma, trečiojo produkto C reikėtų pirkti ir suvartoti 17.5 vnt. , tai kainuotų 17.5*6=105 pinig. vntTaigi pigiausia būtų maitintis trečiuoju produktu. Mūsų dieta būtų (0; 0; x3) Baziniu kintamuoju pasirinkus x3, laisvaisis kintamasis bus x5, nes suvalgius trečio produkto 17,.5 vnt., t.y. x3=17,5, riebalų gausime norma, t.y. jų perteklius x5=0Baziniai kintamieji yra x3, x4, x6, o laisvieji kintamieji x1, x2, x5. Dabar bazinius kintamuosius ir tikslo funkciją išreiškiame laisvaisiais kintamaisiais.4×3 – x4 = 70 – 6×1 – 8×26×3 = 58 – 4×1 – 5×2 + x510×3 – x6 = 90 – 3×1 – 2×2
Iš antros lygties išsireiškiame x3:x3=29/3 – 2/3×1 – 5/6×2 + 1/6×5
Iš pirmos lygties išsireiškiame x4:-x4 = 70 – 6×1 – 8×2 – 4×3 /(-1)x4 = – 70 + 6×1 + 8×2 + 4 ( 58/6 – 4/6×1 – 5/6×2 + 1/6×5 )x4 = – 94/3 + 20/6×1 + 28/6×3 + 4/6×5
Iš trečios lygties išsireiškiame x6:-x6 = 90 – 3×1 – 2×2 – 10 ( 29/3 – 2/3×1 – 5/6×2 + 1/6×5 )x6 = 20/3 – 11/3×1 – 19/3×2 + 5/3×5
Išreiškaime laisvaisiais kintaimaisiais tikslo funkciją F:F = 7×1 + 5×2 + 6 ( 29/3 – 2/3×1 – 5/6×2 + 1/6×5 )F = 58 + 3×1 + x5
Taigi x3 = ( 0; 0; 29/3; -94/3; 0; -90 ) ir F = 58 pinig. vnt., t.y. perkant ir valgant trečio produkto 29/3 vnt. O antrojo ir trečiojo neperkant (x2=x3=0) organizmas gaus minimalia, lenteleje nurodyta riebalų normą ( nes riebalų perteklius x5=0), o baltymu – 94/3 ir anglevandeniu – 90 vnt. stygių. , išlaidos maistui 58 pinig. vnt. Min F = 58 pinig. vnt., kai x = ( 0; 0; 29/3; -94/3; 0; -90 )
3. Rasti maxz = max ( -x1 + 2×2 + x4 – 3×5), kaix1 – 5×2 + x3 = 15x1 + 2×2 – x4 = 162×1 + 3×2 + x5 = 19xi ≥ 0; j = 1; 2; 3;Sprendimas:
1 -5 1 0 0 15 1 2 0 -1 0 16 /(-1)2 3 0 0 1 19
1 -5 1 0 0 15 -1 -2 0 -1 0 -16 2 3 0 0 1 19 r = 3
x3 = 15 + 5×2 – x1x4 = – 16 + 2×2 + x1x5 = 19 – 3×2 – 2×1
tada z = -x1 + 2×2 + ( – 16 + 2×2 + x1 ) – 3 ( 19 – 3×2 – 2×1 ) = 6×1 + 13×2 – 73, kai15 + 5×2 – x1 ≥ 0 – 16 + 2×2 + x1 ≥ 019 – 3×2 – 2×1 ≥ 0x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
1 tiesė15 + 5×2 – x1 = 0 kaix1 x20 -315 0
2 tiesė-16 + 2×2 + x1 = 0x1 x20 816 0
3 tiesė19 – 3×2 – 2×1 = 0x1 x22 55 3
19 – 3×2 – 2×1 = 0-2×1 = -19 + 3×2x1 = ( -19 + 3×2 ) /-2 = ( 19 – 3×2 ) /2
Kai x2 = 3, tai ( 19 – 9 ) /2 = 5Kai x2 = 5, tai ( 19 – 15 ) /2 = 2Tikslo funkcija:6×1 + 13×2 – 73 = 06×1 = 73 – 13×2x1 = ( 73 – 13×2 ) /6x1 x23.5 410 1
Rasti taško A koordinates ( 1 ir 2 tiesės )
15 + 5×2 – x1 = 0-16 + 2×2 + x1 = 0-1 + 7×2 = 0x2 = 1-7,tai x1 = 15 sveikų ir 5/7A (15 5/7; 1/7)Max z = 6×1 + 13×2 – 73 = 6*110/7 + 13/7 * 1/7 – 73 = 162/7Kai x1 = 15 5/7; x2 = 1/7, taix3 = 15/1 + 1/7 – 110/7 = 0x4 = -16/1 + 2*1/7 + 110/7 = 0x5 = 19-3 * 1/7 – 2 * 110/7 = -90/7Ats.: max z = 162/7, kai x = ( 15 5/7; 1/7; 0; 0; -90/7)
Inga Ževžikovaitė VV6/1
Individualus namų darbas Nr.2; II dalis3. Ištirti funkciją y=x3-Ax2 + B, A- studento pažymėjimo paskutinis skaitmuo, šiuo atveju A=7; B- vardo raidžių skaičius, šiuo atveju B=4.
1. D (-∞; +∞)2. f(-x) = -x3 – 7×2 + 4; nei lyginė nei nelyginė; neperiodinė3. Kai grafikas kerta Ox ašį, tai y=0 x3 – 7×2 + 4 = 0x3 – 7×2 = -4x2 ( x – 7 ) = -4x2 ≠ -4x – 7 = -4x = 3Kai grafikas kerta Oy ašį, tai x = 0; y = 4( 0; 4 ) ( 3; 0 )4. f ‘(x) = 3×2 – 14x 3×2 – 14x = 0 x ( 3x – 14 ) = 0 x = 0 3x – 14 = 0 3x = 14 x = 14/3
f (0) = 0f (14/3) = 588/9 – 196/3 = 05. f“ (x) = (3×2-14)‘ = 6x – 146x – 14 = 06x = 14x = 14/6=7/3
f (7/3) = (7/3)3 – 7 * (7/3)2 + 4 = ( 347 – 1041 + 108 )/27 = 586/276. Vertikalių asimptočių neturi, nes neturi trūkio taškų. Pasviroji asimptotė. lim ( x3 – 7×2 + 4 )/x = ∞ x→±∞ Ši funkcija asimptočių neturi. 7.
4. Nubraižyti funkcijų ir jų išvestinių grafikus:a. C(x)=x4+Bx+C; C-pavardės raidžių skaičius, šiuo atveju C=12b. C(x)=C log7xc. C(x)=Bxa. C(x)=x4+Bx+C; C-pavardės raidžių skaičius, šiuo atveju C=12
x C(x)= x4+4x+12 C‘(x)=4×3+41 17 82 36 363 105 1124 284 2605 657 5046 1332 8687 2441 13768 4140 20529 6609 292010 10053 4000411 14697 5856812 20796 8294813 28625 11424814 38484 15366815 50707 20250416 65622 26214817 83611 33408818 105070 41990819 130419 52128820 160092 640004
c. C(x)=Bx
x C (x) = 4x C‘ (x) = x4 x-11 4 1/42 16 83 64 484 256 2565 1026 12806 4096 61447 16384 286728 65536 1310729 262144 58982410 1048576 262144011 4194304 1153433612 1677216 5033164813 67108864 21810380814 268435456 93952409615 1073741824 402653184016 4294967296 1717986918417 17179869184 7301444403218 68719476736 30923764531219 274877906944 130567005798420 1099511627776 5497558138880