1. Klasikinės tikimybės apibrėžimas.
Tarkim, kad elementarių įvykių aibė susideda iš baigtinio elementų skaičiaus N ir kiekvieno elemento tikimybė lygi 1/N. Tuomet, jei įvykis A susideda iš m elementarių įvykių, tai įvykio A tikimybė:
kur N – bendras vienodai galimų įvykių, sudarančių pilną įvykių grupę, skaičius;
m – skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A.
2. Bendrasis tikimybės apibrėžimas.
Tikimybe vadiname funkciją P: [0, 1], kuri kiekvienam atsitiktiniam įvykiui A priskiria skaičių P(A) ir
1. 0 P(A) 1;
2. P() =1;
3. P(A1A2…) P(A1 )+P(A2 )+…, jeigu AiAj, ij
Iš bendro tikimybės apibrėžimo išplaukiančios savybės:
1. P()0.
2. P(A \ B)P(A) – P(A B).
3. P(A B) P(A) + P(B) – P(A B).
4. Jeigu A B, tai P(A) P(B).
5. P(A) P(A B) + P(A B).
6. Bet kokiam įvykiui A teisinga lygybė
3. Sąlyginė tikimybė
Dažnai galimybė įvykti vienam įvykiui priklauso nuo to, ar įvyksta kitas įvykis. Tarkime, norime rasti įvykio A tikimybę, žinodami, kad įvyko įvykis B.
Tokia tikimybė vadinama sąlygine tikimybe ir žymima P(A B).
Jeigu B nėra negalimas įvykis, P(B) > 0, tai sąlyginę tikimybę galima apibrėžti besąlyginėmis tikimybėmis:
Sąlyginės tikimybės formulę galima užrašyti ir taip: P(AB) = P(A)P(B|A)
Ši formulė dar vadinama tikimybių daugybos teorema. Ja remiantis, tikimybę, kad įvyks du įvykiai, galima išskaidyti į tikimybę, kad įvyks vienas įvykis ir įvyks antrasis, jei pirmasis jau įvyko.
4. Nepriklausomi įvykiai.
Bet kokie įvykiai A ir B vadinami priklausomaisiais, jeigu P(AB) P(A).
Įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei
P(AB) P(A).
P(A B) P(A) · P(B).
(Pastaba: Nepriklausomi įvykiai nebūtinai yra nesutaikomi!)
5. Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos.
Įvykių A ir B sumos tikimybė:
Jeigu įvykiai nesutaikomi:
Priešingų įvykių suma:
Tapatybės:
Sąlyginė tikimybė įvykti įvykiui A, esant sąlygai, kad įvyko įvykis B, žymima P(A|B):
Įvykių sandaugos tikimybė:
Kai įvykiai nepriklausomi:
6. Pilnosios tikimybės formulė.
Pilnosios tikimybės formulė teigia, kad užtenka žinoti įvykio A tikimybę, esant sąlygoms H1 , H2 , … , ir tų sąlygų susidarymo tikimybes. Sąlygos H1 , H2 ,… turi apimti visas įmanomas situacijas, be to, jos turi būti poromis nesutaikomos.
Tegul:
H1H2… ,
HiHj , i j.
Tuomet įvykio A tikimybė:
P(A) P(AH1 )P(H1 ) + P(AH2 )P(H2 ) +… .
Pastaba: Įvykių Hk skaičius nebūtinai yra baigtinis.
Įvykiai Hk , k 1, 2, … vadinami hipotezėmis.
7. Bajeso formulė
Tarkime kad apriorinės tikimybės P(Hk ), k=1, 2, … yra žinomos.
Tegul:
H1 H2… ,
Hi Hj , i j.
Tuomet
Tikimybės P(Hk |A), k =1, 2, … vadinamos aposteriorinėmis tikimybėmis.
Bajeso formulės įrodymas išplaukia iš tikimybių daugybos teoremos ir pilnosios tikimybės formulės.
8. Bernulio schema.
Bernulio eksperimentų schema nusakoma taip: eksperimentą atlikus vieną kartą, jo sėkmės tikimybė lygi p.
Atliekame n nepriklausomų eksperimentų. Kokia tikimybė, kad eksperimentas pavyks k kartų?
Tarkime, kad kiekvieno eksperimento metu gali pasirodyti įvykiai A1 , A2 , …, Am , kurių tikimybės p1 , p2 , …, pm nekinta kiekviename eksperimente, be to, p1 + p2 + … + pm = 1.
Atlikus n tokių eksperimentų, tikimybę, kad įvykis A1 pasirodys k1 kartų, įvykis A2 – k2 kartų, …, Am – km kartų (k1 + k2 + … + km = n), analogiškai Bernulio formulei, gaunama apibendrinta Bernulio formulė
9. Geometrinė tikimybė.
Tarkim, turime geometrinę figūrą Ω. Geometrinė figūra A yra Ω poaibis. Galimybės pasirinkti bet kurį Ω tašką yra vienodos. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas taškas priklausys figūrai A? Ši tikimybė nusakoma figūrų plotų santykiu:
Pastaba. Iš formulės matyti, kad svarbus tik figūrų plotas, bet ne jų forma.
10. Atsitiktiniai dydžiai.
Tai skaitinis dydis, atsitiktinai įgyjantis tam tikras reikšmes
lošiamojo kauliuko metimo metu iškritęs taškų skaičius,
studento pažymys būsimame egzamine,
mergaičių skaičius atsitiktinai išrinktoje tiriamųjų grupėje,
studentų ūgis II kurse.
Atsitiktinis dydis, tai vienareikšmė realioji funkcija X, kuri Ω→R.
Atsitiktinis dydis nusako taisyklę, pagal kurią kiekvienam atsitiktiniam įvykiui priskiriama skaitinė reikšmė.
Pavyzdžiai.
Diskretusis atsitiktinis dydis gali įgyti diskrečias (atskirtas) reikšmes iš tam tikros reikšmių aibės
kauliuko metimo metu iškritęs taškų skaičius,
atsitiktinai parinkto studento kursas.
Absoliučiai tolydusis atsitiktinis dydis gali įgyti visas reikšmes iš tam tikro intervalo
atsitiktinai atrinkto studento svoris.
A.dydžio pasiskirstymo funkcija.
Atsitiktinio dydžio skirstinys – tai atsitiktinio dydžio įgyjamos reikšmės ir jų įgijimo tikimybės.
Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija apibrėžiama kaip: F(x) = P(X ≤ x), xR
Pasiskirstymo f-jos savybės.
Pasiskirstymo funkcija yra apibrėžta visoje skaičių tiesėje. Iš tikimybių savybių išplaukia, kad:
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1;
2)
3) F(x) nemažėjanti, t.y. F(x1 ) ≤ F(x2 ), kai x1 ≤ x2 .
4) F(x) tolydi iš kairės.
5) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).
11. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai.
Atsitiktinis dydis X, įgyjantis baigtinę arba suskaičiuojamą reikšmių aibę, vadinamas diskrečiuoju.
Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja reikšmes x1 , x2 ,…, xk su tikimybėmis p1 , p2 ,…, pk . Jo skirstinį patogiausia aprašyti lentele:
p1 + p2 + … + pk = 1, p1 ≥ 0, p2 ≥ 0, …, pk ≥ 0.
X gali įgyti ir neigiamas reikšmes, tačiau reikšmių įgijimotikimybės visuomet neneigiamos.
Pavyzdys.
Duotas diskretaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis. Apskaičiuokite tikimybes
P(– 3 ≤ X < 4 ),
P(– 5 < X ≤ 5 ).
12. Absoliučiai tolydūs a.dydžiai.
Atsitiktinis dydis X, kurio patekimo į intervalą [a,b] tikimybė skaičiuojama pagal formulę
vadinamas absoliučiai tolydžiuoju atsitiktiniu dydžiu.
p(x) – atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis.
Tikimybės interpretacija.
Jei X pasiskirstymo tankis yra p(x), tai tikimybė, kad X paklius į intervalą [a, b], yra lygi plotui, kurį apriboja intervalas ir p(x) grafikas.
Pasiskirstymo f-jos ir tankio f-jos savybės.
Pasiskirstymo tankio p(x) savybės:
1) p(x) ≥ 0,
Absoliučiai tolydžiojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo
funkcija F(x) ir tankis p(x) yra susiję:
Pavyzdys.
13. Atsitiktinio dydžio vidurkis.
Diskrečiu atveju.
Tarkime, kad turime skirstinį:
Tuomet diskrečiojo atsitiktini dydžio X vidurkis EX yra atsitiktinio dydžio X reikšmių ir jų įgijimo tikimybių sandaugų suma:
Tolydžiu atveju.
Tarkime p(x) yra absoliučiai tolydžiojo atsitiktinio dydžio X tankio funkcija. Tada absoliučiai tolydžiojo a.d. X vidurkis EX apibrėžiamas kaip integralas:
Iš vidurkio apibrėžimo matyti, kad vidurkis yra skaičius, kuris pažymi vidutinę atsitiktinio dydžio reikšmę.
Pagrindinės savybės:
Konstantos vidurkis lygus pačiai konstantai: EC = C.
Konstantą galima iškelti prieš vidurkio ženklą: E(CX) = C·EX.
Sumos vidurkis lygus vidurkių sumai: E(X + Y) = EX + EY.
Jeigu X ir Y nepriklausomi, tai EXY = EX · EY.
Jeigu a ≤ X ≤ b, tai a ≤ EX ≤ b. |EX| ≤ E|X|.
14. Atsitiktinio dydžio dispersija.
Atsitiktinio dydžio X dispersija aprašo jo sklaidą apie vidurkį:
Kvadratinė šaknis iš dispersijos vadinama standartiniu nuokrypiu:
Standartinis nuokrypis statistikoje naudojamas dažniau už dispersiją.
Taip yra todėl, kad jį lengviau interpretuoti.
Pavyzdžiui, jeigu atsitiktinis dydis yra ūgis, matuotas centimetrais, tai
standartinio nuokrypio reikšmes irgi galima interpretuoti centimetrais.
Diskrečiojo atsitiktinio dydžio X dispersija apskaičiuojama pagal formulę:
Absoliučiai tolydžiojo atsitiktinio dydžio X dispersija apskaičiuojama :
(Pastaba. Dispersija yra skaičius. Yra atsitiktinių dydžių, kurie dispersijų neturi.)
Pagrindinės savybės:
Dispersija visada neneigiama: DX ≥ 0.
Konstantos dispersija lygi nuliui: DC = 0.
Konstantą pakėlus kvadratu galima iškelti prieš dispersijos ženklą: D(CX) = C2 (DX).
D(X + Y) = DX + DY + 2E(X – EX)(Y – EY).
Jeigu X ir Y nepriklausomi, tai D(X + Y) = DX + DY
15. Diskretieji skirstiniai.
Binominis skirstinys.
Tarkime, atliekant eksperimentą galimos dvi baigtys – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Eksperimento sėkmės tikimybė – p. Atliekame n nepriklausomų eksperimentų (Bernulio schema). Sėkmių skaičius yra atsitiktinis dydis, kuris vadinamas binominiu atsitiktiniu dydžiu ir žymimas X ~ B(n, p),
čia 0 < p < 1, n – natūralusis skaičius.
Binominio dydžio tikimybės nusakomos formule:
Atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos:
Vidurkis EX = np
Dispersija DX = np(1–p)
Geometrinis skirstinys.
Vieną kartą daromo bandymo sėkmės tikimybė 0 < p < 1. Nepriklausomus bandymus darome tol, kol sulaukiame pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis X yra bandymų skaičius iki pirmos sėkmės. Sakysime, kad X turi geometrinį skirstinį. Geometrinio skirstinio tikimybės nusakomos formule:
Atsitiktinio dydžio charakteristikos:
Vidurkis EX = 1/p
Dispersija DX = (1–p)/p 2
Puasono skirstinys.
Puasono skirstinys dar vadinamas retų įvykių skirstiniu. Jis priklauso nuo vieno parametro λ > 0 ir žymimas X ~ P(λ). Puasono skirstinio tikimybės nusakomos formule:
Atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos:
Vidurkis EX = λ
Dispersija DX = λ.
—————————————————————————————————————————————————————-
16. Tikimybių teorijos elementai.
A.dydžių skaitinės charakteristikos.
Kvantiliai. Diskrečiu atveju.
Atsitiktinio dydžio (0 < < 1) lygmens kvantiliu vadinsime skaičių y , tenkinantį nelygybes
Tolydžiu atveju.
Absoliučiai tolydaus atsitiktinio dydžio, kurio tankis p(x), (0 < < 1) lygmens kvantiliu vadinsime skaičių y , su kuriuo
Entropija.
Skaitinis matas parodantis atsitiktinio dydžio atsitiktinumo lygį, vadinamas entropija.
Jei a.dydis įgyja reikšmes x1 , x2 , …, xn su tikimybėmis p1 , p2 , …, pn , tai X entropija yra didžiausia, kai p1 = p2 = … = pn = 1/n, o mažiausia, kai viena tikimybė lygi 1, o kitos lygios 0.
Asimetrijos koeficientas.
Asimetrijos koeficientas
Asimetrijos koeficientas yra tankio funkcijos simetrijos matas.
Jeigu g1 0, tai tankio funkcijos asimetrija teigiama (dešinioji) (tankio grafikas kairėje).
Jeigu g1 0, tai asimetrija neigiama (kairioji) (tankio grafikas dešinėje).
Tankio funkcijos simetriška, kai g1 = 0.