Statistikos pagrindai

I UždavinysŽinoma n= 50 tiriamo požymio reikšmių. Sudaryti intervalinę statistinęlentelę, kai intervalų skaičius k= 5 ir nubrėžti santykinių dažniųhistogramą. Apskaičiuoti imties vidurkį [pic], dispersiją S2 , patikslintądispersiją [pic]ir vidutinius kvadratinius nuokrypius S, S1.

n= 50|1 |[0.2; 1.0) |4 |0.08 |0.1 ||2 |[1.0; 1.8) |13 |0.26 |0.325 ||3 |[1.8; 2.6) |23 |0.46 |0.575 ||4 |[2.6; 3.4) |6 |0.12 |0.15 ||5 |[3.4; 4.2] |4 |0.08 |0.1 ||∑ | |50 |1 | |

Santykinių dažnių histograma[pic]

II uždavinysa)

Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Pasirinkę pasikliovimolygmenįγ=0.99 rasime parametro α pasikliautinąjį intervalą, kai vidutiniskvadratinis nuokrypis σ žinomas ir lygus S1, imant su vienu ženklu pokablelio neapvalinant.Parametras a surandamas :[pic] ;[pic]Standartinio normaliojo skirstinio kritinė reikšmė

[pic]imties didumas n=50, vidurkis [pic]=2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypisS1=0.8733. Todėl σ =0.8. Tuomet:

[pic]= 2.576*0.8/√50δ=0.2914Taigi α pasikliautinasis intervalas 0.01 tikslumu yra (1.749;2.33)

b) Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Pasirinkępasikliovimo lygmenį γ=0.95 rasime normaliojo skirstinio parametro apasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas,taikydami išraiškas:

[pic]; [pic]Čia imties didumas n=50, imties vidurkis [pic]=2.04, vidutinis kvadratinisnuokrypis S1=0.8733, Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė :

[pic] = [pic]= t0,025;49 = 2.010

[pic]δ=2.010*0.8733/√50δ=0.248

α pasikliautinasis intervalas 0.01 tikslumu yra: (1.792; 2.288)[pic]=2.04-0.248 = 1.792[pic]=2.04+0.248 = 2.288

Dabar rasime pasikliautinąjį intervalą [pic]), kai a nežinomas. Šiointervalo išraiška: [pic],čia [pic]= X20.025;49 = 70.222 [pic] = X20.975;49 = 31.555yra X2 skirstinio kritinės reikšmės.Vidutinis kvadratinis nuokrypis S1 = 0.8733.Taigi σ pasikliautinasis intervalas :[pic]= (0.736;1.089)

c) Žinoma nedidelė normaliojo atsitiktinio dydžio imtis (I uždavinio 2pvz.) ir kontrolinė sumaK∑5 = [pic]+ α + σ = 6.815I uždavinio 2 pavyzdys:Žinoma nedidelė imtis:0.3; 1.7; 2.0; 2.3; 2.5; 2.7; 3.7; 3.8; 3.8; 3.9;4.1; 4.2; 4.3; 4.5; 4.5; 5.4; 5.6; 5.7; 5.9; 7.1; 8.8ir kontrolinė suma[pic]=11.34998

Šios imties didumas n=21Imties vidurkis [pic][pic]= 1/21*86.8[pic]= 4.133

Skaičiuosime dispersiją[pic]S2=[pic] [pic]= 73.92667S2=1/21* 73.92667S2=3.52

Patikslinta dispersijaS21=[pic]S21=1/20*73.92667S21=3.6963

Vidutiniai kvadratiniai nuokrypiaiS=[pic]; S1=[pic]S=√3.52S=1.876

S1=[pic]S1=1.922

[pic]= 4.133+3.52+3.6963= 11.3493

Pasirinkę pasikliovimo lygmenį γ=0.95, rasime: • parametro α pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas, • parametro σ pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis α nežinomas,Taikykime α pasikliautinąjį intervalą kai σ nežinomas, išraiškas:

[pic] [pic];čia imties didumas n= 21, imties vidurkis [pic]= 4.133, vidutiniskvadratinis nuokrypis S1=1.922, Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė [pic]=[pic]= t0,025;20 = 2.086Apskaičiuojame:[pic]δ=2.086*1.922/√20δ=0.8965Taigi α pasikliautinasis intervalas: 0.001 tikslumu-(3.237; 5.029) 0.01 tikslumu-(3.24; 5.02)

Raskime σ pasikliautinąjį intervalą, kai α nežinomas.Šio intervalo išraiška:

[pic]čia X2 skirstinio reikšmės yra:[pic]= X20.025;20 = 34.170;[pic] = X20.975;20 = 9.591.

Tuomet σ pasikliautinasis intervalas:[pic]

0.001 tikslumu-(1.470; 2.775) 0.01 tikslumu-(1.47; 2.77)

Skaičiavimo rezultatų patikra:

K∑5 = [pic]+ α + σ = 2.086+3.24+1.470= 6.796

III uždavinys

Žinoma 50 požymio reikšmių. Atsižvelgę į santykinių dažnių histogramospavidalą, formuluojame neparametrinę hipotezę H1: X~N(α٫σ) ir jąpatikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir pritaikę χ2suderinamumo kriterijų.Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinsime pagal kontrolines sumas:K∑3= p1+p2+p3=0.738K∑4= [pic]+[pic]+[pic]=2.1745Esame sudarę intervalinę eilutę:

|Numeris i |Intervalai |Dažniai ni ||1 |[0.2; 1.0) |4 ||2 |[1.0; 1.8) |13 ||3 |[1.8; 2.6) |23 ||4 |[2.6; 3.4) |6 ||5 |[3.4; 4.2] |4 ||∑ | |50 |

Imties vidurkis [pic]=2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypis S=0.864Apskaičiuojame ui=[pic]; 0.01 tikslumu:

U1=[pic]= [pic]≈ – 1.203U2=[pic]=[pic]≈ – 0.277U3=[pic]=[pic]≈ 0.648U4=[pic]=[pic]≈ 1.574

Randame Laplaso funkcijos reikšmes:[pic]- 0.3849[pic]- 0.1064[pic]0.2389[pic]0.4418Apskaičiuojame tikimybes pi. Jos lygios Laplaso funkcijos reikšmiųskirtumui:[pic]= – 0.3849+0.5= 0.1151[pic]= – 0.1064-(- 0.3849) = 0.2785[pic]= 0.2389-(- 0.1064) = 0.3453[pic]= 0.4418- ( 0.2389) = 0.2029[pic]= 0.5 – 0.4418 = 0.0582

Kontrolinė suma:K∑3= p1+p2+p3= 0.1151+0.2785+0.3453= 0.738

Apskaičiuojame sandaugas n*pi, reiškiančias reikšmių patekimo į i-tąjįintervalą teorinius dažnius, χ2 kriterijaus narius [pic] ir χ2sk|Numeris i |Intervalai|Dažniai ni|pi |npi |χ2i ||1 |[0.2; 1.0)|4 |0.1151 |5.755 |0.535 ||2 |[1.0; 1.8)|13 |0.2785 |13.925 |0.061 ||3 |[1.8; 2.6)|23 |0.3453 |17.265 |1.905 ||4 |[2.6; 3.4)|6 |0.2029 |10.145 |1.693 ||5 |[3.4; 4.2]|4 |0.0582 |2.91 |0.408 ||∑ | |50 |1 |50 |4.602 |

Kontrolinė suma:K∑4= [pic]+[pic]+[pic]=2.501Parikę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir normaliojo skirstinio atvejuapskaičiavę laisvės laipsnių skaičių v= k-r-1= 5-2-1= 2, χ2 skirstinioreikšmių lentelėje randame χ2kr = 5.991 Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezėH1: X~N(2.04; 0.864)

b)Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos:|1 |[0; 1.0) |18 |0.36 |0.36 ||2 |[1.0; 2.0)|14 |0.28 |0.28 ||3 |[2.0; 3.0)|9 |0.18 |0.18 ||4 |[3.0; 4.0)|5 |0.1 |0.1 ||5 |[4.0; 5.0]|4 |0.08 |0.08 ||∑ | |50 |1 | |

Pasitikriname dažnius pagal kontrolinę sumą: K∑1=41Apskaičiuojame imties vidurkį [pic];[pic][pic]= 1/50*85.7[pic]= 1.714Tuomet λ*= 1/[pic]= 0.5834

[pic]Atsižvelgę į dažnius arba į histogramos pavidalą, suformuluokimeneparametrinę hipotezę H2 :X~ε(0.5834) ir ją patikrinkime, pasirinkę

reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.Ieškome tikimybių:[pic]= 1-0.557= 0.442[pic]= 0.557-0.311= 0.2456[pic]= 0.311-0.1737= 0.1373[pic]= 0.1737-0.096= 0.0777[pic]= 0.096-0= 0.096Tikriname tikimybes:K∑2= p1+p2+p3= 0.824

Radę tikimybes pi apskaičiuojame npi ir χ2:|Numeris i |Intervalai|Dažniai ni|pi |npi |χ2i ||1 |[0; 1.0) |18 |0.442 |22.1 |0.760633 ||2 |[1.0; 2.0)|14 |0.2456 |12.28 |0.240912 ||3 |[2.0; 3.0)|9 |0.1373 |6.865 |0.66398 ||4 |[3.0; 4.0)|5 |0.0777 |3.885 |0.320006 ||5 |[4.0; 5.0]|4 |0.096 |4.8 |0.133333 ||∑ | |50 |1 |50 |2.118866 |

Patikriname χ2sk pagal kontroline suma:K∑3=[pic]+[pic]+[pic]= 1.65Taigi χ2s= 2.118

Pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir apskaičiavę rodiklinio skirstinioatveju laisvės laipsnių skaičių v= k-r-1= 5-1-1= 3, χ2 skirstinio reikšmiųlentelėje randame χ2kr= 7.815Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H2: X~ ε(0.5834) priimama.

c)Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos:|1 |[0.7; 3.3)|14 |0.28 |0.107692 ||2 |[3.3; 5.9)|7 |0.14 |0.053846 ||3 |[5.9; 8.5)|12 |0.24 |0.092308 ||4 |[8.5; |8 |0.16 |0.061538 || |11.1) | | | ||5 |[11.1; |9 |0.18 |0.069231 || |13.7] | | | ||∑ | |50 |1 | |

Patikriname dažnius K∑3= n1+n2+n3=33

Brėžiame histograma:[pic]

Atsižvelgę i dažnius arba i histogramą suformuluokime neparametrinęhipotezęH3: X~ υ([0.7; 13.7]) ir ją patikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį α=0.05 pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.Tikimybės pi, reiškiančios kad X įgis reikšmę i-tajame intervale, šiuoatveju yra lygios, t.y. pi=0.2 ir npi= 10Todėl:Apskaičiuojame statistikos X2 narius ir gauname χ2sk|Numeris i |Intervalai|Dažniai ni|pi |npi |χ2i ||1 |[0.7; 3.3)|14 |0.2 |10 |1.6 ||2 |[3.3; 5.9)|7 |0.2 |10 |0.9 ||3 |[5.9; 8.5)|12 |0.2 |10 |0.4 ||4 |[8.5; |8 |0.2 |10 |0.4 || |11.1) | | | | ||5 |[11.1; |9 |0.2 |10 |0.1 || |13.7] | | | | ||∑ | |50 |1 |50 |3.4 |

Patikriname X2 narius pagal kontrolinę sumąK∑4= [pic]+[pic]+[pic]=2.9

Pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir apskaičiavę laisvės laipsniųskaičiųv=k-r-1 = 5-2-1= 2 nustatome χ2kr = 5.991. Kadangi χ2sk< χ2kr, taihipotezė H3: X~ υ([0.7; 13.7]) yra priimama.

d)Tarkime, kad diskrečiojo a. d. X reikšmės ir jų dažniai yra:|0 |5 |0.0246 |4.1328 |0.181968 ||1 |14 |0.091 |15.288 |0.108513 ||2 |30 |0.168 |28.224 |0.111755 ||3 |31 |0.208 |34.944 |0.445145 ||4 |33 |0.192 |32.256 |0.017161 ||5 |25 |0.142 |23.856 |0.05486 ||6 |12 |0.0879 |14.7672 |0.518541 ||7 |18 |0.0865 |14.532 |0.827623 ||∑ | | |168 |2.265565 |

Patikriname X2 narius pagal kontrolinę sumąK∑4= [pic]+[pic]+[pic]=0,391Gauname χ2sk 2.265Kai α= 0.05, ir apskaičiavę laisvės laipsnių skaičiųv=k-r-1 = 8-1-1= 6 nustatome χ2kr = 12.592Toliau tikriname, ar χ2sk 2.265 patenka į kritinę sritį [12,592;+∞).Matome, kad patenka. Todėl hipotezę, kad atsitiktinis dydis X pasiskirstęspagal Puansono skirstinį.

IV Uždavinys

a)Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių, α0 ir σ. Reikšmė α0 yraimties vidurkio sveikoji dalis; σ lygus S1 su vienu ženklu po kablelio

neapvalinant. Patikrinkime parametrinę hipotezę H0 : α= α0, parinkęreikšmingumo lygmenį α= 0.01 ir dvi alternatyviąsias hipotezes. Hipotezė H0: α= α0 tikrinama taikant standartinį normalųjį reikšmingumo kriterijų[pic];Esame gavę imties vidurkį [pic]=2.04, vidutinį kvadratinį nuokrypįS1=0.8733Todėl α0=2, σ=0.8.Apskaičiuojame kriterijaus U reikšmę Usk = 0.353Iš pradžių parenkama bendroji alternatyva Ha= α≠ α0.Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:[pic]= (-∞;-2.576]U[2.576; +∞)Matome, kad paskaičiuota Usk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α=α0 priimama.Kadangi galioja nelygybė [pic]> α0, dar parenkama alternatyvioji hipotezėH0 : α> α0.Šiuo atveju taikoma vienpusė kairioji dešinioji sritis:[Ua; +∞)= [2.327; +∞)Matome, kad paskaičiuota Usk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α=α0 priimama.

b)Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X ~N(α٫σ). Joparametrai α ir σ nežinomi. Turime 50 normaliojo atsitiktinio dydžioreikšmių. Esame gavę imties vidurkį [pic]=2.04, vidutinį kvadratinįnuokrypį S1=0.8733. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis, todėlα0=2 σ0 lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant, ir plius 0.2todėl σ0 lygus 1.0.Patikrinkime dvi nulines hipotezes:H0 : α= α0 H0 : σ= σ0,Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir dvi alternatyviąsias hipotezes.Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant Stjūdento reikšmingumo kriterijų[pic]Tsk=0.324

Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha:α≠ α0.Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:[pic]= (-∞;-2.010]U[2.010; +∞).

Matome, kad paskaičiuota Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS.Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.Kadangi galioja nelygybė [pic]> α0, dar parenkama alternatyvioji hipotezėH0 : α> α0. Šiuo atveju taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis:[ta; +∞)= [1.677; +∞)Matome, kad paskaičiuota Tsk nepatenka į KS. Todėl H0 : α= α0 priimama.Hipotezė H0 : σ= σ0, tikrinama taikant χ2 kriterijų[pic]C(n-1).Apskaičiuojame χ2sk = 37.369Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0 : σ≠σ0Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:[pic]=(0; 31.555]U[70.222; +∞).Matome, kad paskaičiuota χ2sk nepatenka į KS, nors yra netoli nuo 31.555.Todėl nulinė hipotezė H0 priimama, bet eksperimentą geriau pakartoti.

Esame gavę S1=0.8733 ir pastebime kad galioja nelygybė S1< σ0 ir taikomavienpusė kairioji kritinė sritis:[pic]= (0; 33.930]šiuo atveju χ2sk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.

c)Žinoma nedidelė imtis n=18 α0 ir σ. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikojidalis; σ lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant plius 0.2.Patikrinkime dvi nulines parametrines hipotezes:H0 : α= α0 H0 : σ= σ0,Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir dvi alternatyviąsias hipotezes.Esame gavę kad [pic]= 4.133 ir S1=1.922Todėl :α0 =4, σ =2.1Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant Stjūdento reikšmingumo kriterijų.[pic]Apskaičiuojame Tsk= 0.489Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha:α≠ α0.Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:[pic]= (-∞;-2.010]U[2.010; +∞).

Matome, kad paskaičiuota Stjūdento statistikos reikšmė Tsk= 0.489 nepatenkaį KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.Kadangi galioja nelygybė [pic]> α0, parenkama alternatyvioji hipotezė Ha :α> α0. Šiuo atveju taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis:[ta; +∞)= [1.740; +∞)Matome, kad paskaičiuota Tsk= 0.489 nepatenka į KS. Todėl H0 : α= α0priimama.

Hipotezė H0 : σ= σ0, tikrinama, taikant χ2 reikšmingumo kriterijų[pic]C(n-1).Žinome, kad S21=3.6963.Todėl χ2sk = 14.247Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0 : σ≠σ0Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:KS=[pic]=(0; 7.564]U[30.191; +∞).Matome, kad paskaičiuota χ2sk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0priimama.Kadangi galioja nelygybė S1< σ0, tai parenkama alternatyvioji hipotezė Ha :σ< σ0, ir taikoma vienpusė kairioji kritinė sritis:[pic]= (0; 8.672]matome, kad ir šiuo atveju χ2sk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0priimama.

V Uždavinys

Žinomos dviejų normaliųjų atsitiktinių dydžių X~N(ax, σx), Y~N(ay, σy)imtys:|45 |6 |5 | | ||56 |5 |7 |4 | ||65 | |10 |10 |1 ||76 | |2 |7 |4 ||85 | | |3 |6 |

Ir kontrolinės sumosK∑1=[pic]+ Sx= 76.861K∑2=[pic]+ Sy+r = 90.294K∑3= V0sk+ V0.8sk+z1+z2= 8.864

Iš pradžių apskaičiuokime koreliacijos koeficientą r ir raskime regresijostiesės lygtį [pic]x= a0+ a1x.Todėl papildykime turimą koreliacinę lentelę eilute ny ir stulpeliu nx:|xy |65 |76 |85 |95 |nx ||45 |6 |5 | | |11 ||56 |5 |7 |4 | |16 ||65 | |10 |10 |1 |21 ||76 | |2 |7 |4 |13 ||85 | | |3 |6 |9 ||ny |11 |24 |24 |11 |70 |

Apskaičiuokime vidurkius:[pic]= 45*11+56*16+65*21+76*13+85*9/70= 64.41[pic]= 452*11+562*16+652*21+762*13+852*9/70= 4304.12[pic]= 65*11+76*24+85*24+95*11/70= 80.34[pic]= 652*11+762*24+852*24+952*11/70=6539.628[pic][pic]=5261.214Sx=12.47Sy=9.22Kontrolinė suma:K∑1=[pic]+ Sx= 76.88Imties koreliacijos koeficientasr = [pic]r = 0.752Kontrolinė suma:K∑2=[pic]+ Sy+r = 90.3

Regresijos koeficientas a1= [pic]= 0.556,o regresijos tiesės lygties [pic]x= a0+a1*x laisvasis narys a0=[pic]-a1*[pic]a0= 44.528

Pasirinkę pasikliovimo lygmenį γ= 0.95, raskime koreliacijos koeficiento ρpasikliautinąjį intervalą taikydami jo išraišką: thz1