spiralinis augimas fibonacio skaiciai

Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija

2003-2004 m.m. žiemos sesijos

projektas

Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai

Projektinio darbo vadovė

matematikos mokytoja

J. Budzilaitė

Panevėžys, 2004 m.

Turinys

Turinys 1

Įvadas 2

Leonardo Fibonatis 3

Fibonačio skaičiai 4

Fibonačio skaičių savybės 5

Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0 5

Aukso pjūvis 6

Gnomonai 8

Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje 9

Išvados ir rezultatai 12

Literatūros sąrašas: 13

Interneto svetainės: 13

Įvadas

Turbūt daugeliui teko gėrėtis jūros kriauklėmis, nusiskynus saulutę ar
ramunę žaisti žaidimą “myli- nemyli”, spręsti galvosūkį, kiek triušių pora
gali atsivesti triušiukų per metus. Visas šias problemas nagrinėja ir
matematikai, o šiuos sąryšius tarp gamtos ir matematikos apibūdina tokios
sąvokos kkaip “Fibonačio skaičiai”, “aukso pjūvis”, “gnomonai”. Taigi
griežta tvarka yra ne tik matematikoje, bet ir gamtoje.

Šį projektinį darbą pasirinkau todėl, kad man patinka matematika, o
mokyklinės matematikos kursas yra gana glaustas ir nuobodus. Tad rašydama
projektą turėjau šiuos tikslus:

1. Susipažinti su Leonardo Fibonačio biografija.

2. Susipažinti su šiuolaikine matematika, būtent su spiraliniu

augimu ir Fibonačio skaičiais.

3. Panagrinėti jos praktinį pritaikymą biologijoje ir kt.

Leonardo Fibonatis

Leonardo Fibonatis gimė apie 1175 metus Italijoje, Pizos mieste. Jo
tėvas, Guilielmo Bonacci, buvo Pizos respublikos ministras, taip pat
Afrikos Bugia miesto muitinės tarnautojas. Guilielmo norėjo, kad sūnus
taptų pirkliu, toodėl be įprastų skaičiavimo sistemų, jį supažindino ir su
arabiškąja, kuri tuomet dar nebuvo paplitusi Europoje. Būdamas pirklio
sūnumi, Fibonatis galėjo laisvai keliauti po visą Bizantijos imperiją, nes
tuomet pirkliai turėjo imunitetą. Todėl Leonardo aplankė daugelį prekybos
centrų. Tai suteikė jam galimybę mokytis ne ti

ik klasikinės matematikos, bet
ir tuo metu populiarių skaičiavimo sistemų.

Apie 1200 Leonardo grįžo į Pizą. Viduramžiais jis buvo garsiausias
Europos matematikas. Fibonatis pirmasis supažindino Europą su arabiškąja
skaičiavimo sistema. 1202 jis baigė savo knygą, „Liber Abaci“, kurioje
aiškino, kaip skaičiuoti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje. Jis apibūdino
pagrindines sudėties, atimties, daugybos ir dalybos taisykles, kurias mes
dabar mokomės pradinėje mokykloje. Šioje knygoje Leonardo skaičius rašė
atvirkščia tvarka ir jo trupmena 4 ½ atrodė kaip ½ 4.

Fibonačio meistriškumą patvirtina knygoje aprašyta ne tik arabiškoji
skaičiavimo sistema, bet ir kvadratinių lygčių sprendimo teorija. Bet
Leonardo domėjosi ne tik arabiškąja algebra. Savo komercinės veiklos
srityje jam buvo reikalingas išsamus žinynas, aiškinantis, kaip spręsti
tuometines kasdien pasitaikančias problemas.

Klausimas, iškeltas trečiojoje knygos „Liber Abaci“ dalyje buvo įžanga
į Fibonačio skaičius:

Kažkoks žmogus į patalpą, iš visų pusių ribojamą sienų, įdeda triušių
porą. Kiek triušių porų atsiras po metų iš piirmosios, jei kiekvieną mėnesį
kiekviena pora atsiveda po naują porą triušių, kurie gali susilaukti
palikuonių jau po dviejų mėnesių?

[pic]

Skaičiuodamas triušių populiaciją, Fibonatis atrado ir skaičių seką, iš
kurios gali būti kildinamas aukso pjūvis:
|2 |= |1 |+ |1 |
|3 |= |2 |+ |1 |
|5 |= |3 |+ |2 |
|8 |= |5 |+ |3 |
|13|= |8 |+ |5 |
|21|= |13|+ |8 |
|34|= |21|+ |13|
|55|= |34|+ |21|
|..|..|..|..|..|
|..|..|..|..|..|
|. |..|. |. |. |

Prancūzų matematikas Edouard Lucas (1842-1891) šią skaičių seką
pavadino Fibonačio vardu ir atrado dar daug jos panaudojimo sričių. Tai
paskatino keletą žmonių, praėjus daugeliui metų po jo mirties, 1962,
suburti Fibonačio draugiją. O 1963 pradėtas leisti žurnalas „The Fibonacci
Quarterly“ (quarterly- žurnalas, išeinantis kartą per tris mėnesius), kurio
tikslas- atskleisti su Fibonačiu susijusias paslaptis.

1200, baigęs visas savo keliones, Fibonatis g

grįžo į Pizą. Čia jis
parašė keletą veikalų, kurie ypač prisidėjo prie senosios matematikos meno
atnaujinimo ir buvo didelė pagalba pačiam Leonardo. Fibonatis gyveno tais
laikais, kai dar nebuvo išrasta spauda, todėl visos jo knygos rašytos
ranka, o, norint turėti knygos kopiją, ją vėl tekdavo perrašinėti ranka.
Iki mūsų dienų išliko keletas tokių kopijų: „Liber Abaci“ (1202), „Practica
geometriae“ (1220), „Flos“ (1225) ir „Liber quadratorum“. Žinoma, kad
Fibonatis buvo parašęs ir daugiau veikalų, kurie, deja, neišliko iki šiol.

Nors Fibonatis skleidė arabiškąją skaičiavimo sistemą, sprendė triušių
problemą, jo įnašas į matematiką liko didžia dalimi nepastebėtas.
Pripažintos tik tos „Liber abaci“ ir „Practica“ dalys, kurios supažindino
su arabiškąja algebra ir kasdieninėmis problemomis. Čia Fibonatis yra
skaičiavimo meistrų mokytojas. Taip pat Leonardo vadinamas Cossist’ų
mokytoju, kurių vardas kildinamas nuo žodžio ‘causa’, pirmą kartą Vakaruose
Fibonačio pavartoto vietoj ‘radix’ (radix- šaknis). Leonardo skaitmenų ir
koeficientų eilės tvarką patobulino Vijetas. Viduramžiais Fibonačio darbai
buvo ignoruojami ir beveik nežinomi.

Fibonatis mirė Pizoje apie 1240 metus.

Fibonačio skaičiai

1, |1, |2, |3, |5, |8, |13, |21, |34, |55, | ... | | Aukščiau matome
labai žinomą skaičių eilę- Fibonačio skaičius. Pirmiausia Fibonačio skaičių

eilė yra begalinė. Ši eilė dar ir sutvarkyta. Tai reiškia, kad yra
pirmasis Fibonačio skaičius (1), antrasis (2), trečiasis (2),., septintasis
(13),., dešimtasis (55), vienuoliktasis (89) ir t.t. kadangi Fibonačio
skaičių yra be galo daug, tai jų visų tikrai nesurašysime. Tad iškart kyla
daug klausimų. Koks N-tasis Fibonačio sekos skaičius? Ar yra taisyklė,
pagal kurią galėtume apskaičiuoti N-tąjį Fibonačio skaičių?

Toliau, kad būtų galima atsakyti į šiuos kl

lausimus, pirmąjį Fibonačio
skaičių žymėsime F1, antrąjį- F2, o N-ąjį – FN.

Fibonačio skaičių savybės

Fibonačio skaičiai turi daug įdomių savybių. Toliau pateikiamos kelios
iš jų. Fibonačio skaičiams būdingos šios lygybės:

[pic]

Įrodykime pirmąją. Iš tikrųjų

[pic]

Sudėję panariui visas šias lygybes, gausime norimą lygybę

[pic]

Paskutinių Fibonačio skaičių skaitmenų seka kartojasi cikliškai kas 60
skaičių. Paskutiniai du vienodi skaitmenys pasikartoja kas 300 sekos narių,
paskutiniai trys– kas 1500, paskutiniai keturi– kas 15000 ir t.t. Nė
vienas nelyginis Fibonačio skaičius nėra dalus iš 17. Taip pat nė vieno
šios sekos skaičiaus, didesnio už aštuonis, negalime parašyti išraiška p-1
arba p+1, kur p– pirminis skaičius. 1964 įrodyta, kad vieninteliai
kvadratai Fibonačio sekoje yra 1 ir F12 = 144. O vieninteliai kubai– 1 ir
8. Paskalio trikampis taip pat susijęs su Fibonačio skaičiais:

[pic]

Kaip matome, įstrižai išbrauktų skaičių sumos vėlgi sudaro Fibonačio
skaičių seką.

Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0

Jau žinome, kad bet kuris Fibonačio skaičius yra lygus dviejų pirmesnių
sumai. Matematiškai galėtume užrašyti:

[pic]

Ši taisyklė netinka F1 ir F2, nes jie neturi dviejų pirmesnių skaičių,
todėl aukščiau pateiktą apibrėžimą reiktų papildyti:

[pic]

Deja, naudodamiesi tokiu apibrėžimu, norėdami surasti N-ąjį sekos narį,
turėtume surasti visus prieš tai einančius. Todėl galime rasti ir
paprastesnį problemos sprendimo būdą. N-ąjį Fibonačio sekos narį galime
rasti pagal Binė formulę:

[pic]

Binė formulė leidžia rasti bet kurį Fibonačio skaičių, neieškant jo
pirmtakų, todėl sakome, kad ji aprašo Fibonačio skaičius išreikštiniu
pavidalu.

Lygtis x2 = x+1, nors iš pirmo žvilgsnio taip neatrodytų, irgi y

yra
susijusi su Fibonačio skaičiais. Pirmiausia perkelkime visus lygties narius
į kairiąją pusę ir gautąją lygtį išspręskime:

[pic]

Matome, kad būtent [pic] ir [pic] yra skaičiai, Binė formulėje keliami
N-uoju laipsniu. Paprastai skaičiuojant N-ąjį Fibonačio sekos narį galime
laikyti, jog [pic], o [pic]

Toliau nagrinėkime tik teigiamą lygties šaknį [pic], o kad būtų
patogiau skaičiuoti, pasižymėkime ją graikiška raide Φ. Φ yra lygties [pic]
sprendinys, tad [pic]. Padauginkime šios lygybės abi puses iš Φ ir gausime:

[pic]

Vėl daugindami iš Φ gausime, kad:

[pic]

Taigi Fibonačio skaičiai pasirodo beskaičiuojant įvairius Φ laipsnius,
o taisyklė, Φ laipsniams skaičiuoti, yra tokia:

[pic]

Aukso pjūvis

Panagrinėkime, kaip kinta dviejų gretimų Fibonačio skaičių santykis:

[pic]

Matome, kad po kelių pradinių svyravimų skaičių santykis FN/FN-1
nusistovi ties 1,618. Šis santykis nėra tikslus, nes imdami, sakykim,
aštuonis skaičius po kablelio gausime

144/89≈1,6179775,

233/144≈1,6180556 ir t.t.

Vadinasi, santykis FN/FN-1 artėja prie kažkokio skaičiaus. Paskaičiavę
santykius F99/F98 ir F100/F99 gauname, jog:

[pic]

Jau anksčiau minėtasis Φ matematikoje dar žinomas aukso pjūvio vardu.
Šis skaičius turi ypatingą savybę– jis išreiškia tobulą pusiausvyrą tarp
didesniojo ir mažesniojo.

Sakykim, kad atkarpą AC, kurios ilgis lygus 1, padalijame į dvi dalis–
ilgesniąją AB ir trumpesniąją CB taip, kad visos atkarpos ir ilgesniosios
jos dalies santykis būtų lygus ilgesniosios ir trumpesniosios dalių ilgių
santykiui: [pic] (šią lygtį vadinkime tobulosios pusiausvyros lygtimi).

[pic]

Tegul AC=x, tada

[pic] arba [pic]

Šios lygties teigiama šaknis yra lygi [pic]. Pažymėkime santykį [pic]
raide [pic]. Tuomet

[pic]

Skaičius [pic] yra susijęs su Fibonačio skaičiais šia formule:

[pic]

Taip pat matome, kad tobuloji pusiausvyra tarp didesniosios tiesės
dalies AC ir mažesniosios BC pasiekiama, kai dalmuo [pic] yra lygus aukso
pjūviui Φ.

Gnomonai

Ryšį tarp spiralinio augimo ir Fibonačio skaičių bei aukso pjūvio
nusako dar vienas matematinis darinys– gnomonas. Geometrijoje figūros A
gnomonas yra tokia figūra, kuri, tinkamai prijungta prie A, sudaro su ja
naują figūrą A’, panašią į figūrą A.

Gamtoje yra du svarbiausi skirtingi organizmų augimo būdai. Pirmasis ir
labiausiai paplitęs- visuotinis augimas, kai visos gyvosios organizmo dalys
auga kartu. Vienas tokio augimo būdo ypatumų yra tas, kad negalime atskirti
naujesniosios organizmo dalies nuo senesniosios. Taip auga žmonės, gyvūnai,
daugelis augalų.

Nariuotakojam nautilui, avino ragui, sekvojai ar ramunės žiedynui
būdingas asimetrinis augimas. Taip augdamas organizmas įgyja vis naują
pridedamąją dalį, ir senasis organizmas kartu su pridedamąja dalimi sudaro
naują organizmą. Tad bet kurioje augimo pakopoje mes galime matyti visą to
organizmo praeitį.

Svarbu, kad dauguma šitaip augančių organizmų vystosi taip, kad jų
bendroji forma išlieka, t.y. jie lieka panašūs į save. Čia prisimename
minėtus gnomonus- kad ir kaip vyktų augimas, prisidedančioji dalis yra viso
organizmo gnomonas. Toks augimas ir vadinamas gnomoniniu augimu.

Geras gnomoninio augimo pavyzdys- jūrų kriauklės vystymasis. Nautilas
stato savo kriauklę etapais- kiekvieną kartą prie jau esančios kriauklės
priauginamas naujas narelis. Kiekvienoje augimo pakopoje nautilo kriauklės
pavidalas lieka toks pat. Taigi tokį augimą galime suprati kaip klasikinį
gnomoninio augimo pavyzdį. Gnomoninis kriauklės augimas iš esmės vyksta
taip: prie nariuotojo nautiliuko kriauklytės gyvis priaugina narelį
(išskirdamas ypatingą sekreciją, kuri kalkėja ir stingsta). Gaunama
truputėlį didesnė kriauklės spiralė, panaši į pradinę. Toliau procesas
rekursiškai kartojasi: vėl priauginamas naujas narelis (jis yra tos
panašios, bet jau truputį didesnės negu pradinė, kriauklės gnomonas), ir
gaunama nauja vėl padidėjusi spiralė. Šis procesas tęsiasi, kol gyvis
subręsta.

Šio nariuotojo nautilo kriauklės išoriniame kontūre atpažįstame
logaritminę spiralę, kuri būdinga gnomoniniam gamtiniam augimui ir
pastebima ne tik jūros kriauklėse, bet ir gyvūnų raguose:

[pic]

Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje

Augalai Fibonačio skaičius atkartoja lapų skaičiumi, jų išsidėstymu
apie stiebą, sėklų pasiskirstymu. Yra daug augalų, vaisių, kuriuose galime
įžiūrėti spiralę. Tai pušies kankorėžis, ananasas, saulėgrąža. Taip pat
dauguma augalų išleidžia šakų kiekį, atitinkantį tam tikrą Fibonačio sekos
skaičių.

Geras pavyzdys yra saulėgrąžos sėklų išsidėstymas. Raudonai pažymėtos
saulėgąžos pagal laikrodžio rodyklę sudaro 55 spirales. Žaliai pažymėtos
prieš laikrodžio rodyklę sudaro 89 spirales.

[pic] [pic]

Atrodo, jog galima tikėtis atrasti augaluose kokią nors simetriją, bet
perpjaukite bananą ar obuolį ir pamatysite, jog pirmąjį sudaro 3 dalys, o
antrąjį- penkios. Tai vėl Fibonačio skaičiai.

[pic] [pic]

Turbūt iki šiol nepastebėjote dar vieno akivaizdaus dalyko- dažniausiai
gėlės žiedlapių skaičius priklauso Fibonačio sekai. Vieno ar dviejų
žiedlapių gėlės yra retos, bet trilapių, ypač penkialapių yra žinoma
daugybė rūšių. Šiek tiek retesnės aštuonis ar trylika žiedlapių turinčios
gėlės, o įvairių rūšių saulučių žiedlapių skaičius ypač gerai atspindi
Fibonačio skaičių seką. Dažniausiai matome saulutes, turinčias 13, 21, 34,
55 ar 89 lapelius.

Įprastos laukinės saulutės žiedas turi 34 lapelius. Į tai reiktų
atkreipti dėmesį žaidžiant žaidimą “myli- nemyli”. Tiesa, sakydami kad
kiekviena saulutė turi 34 lapelius, turime omenyje, kad tos rūšies
saulutėms būdingas toks skaičius. Iš tikrųjų konkreti saulutė gali turėti
ir 33 ar 35 lapelius. O iš šių dviejų didesnė tikimybė, kad žiedas bus ne
visai išsivystęs ir turės 33 žiedlapius.

[pic][pic][pic][pic]
[pic][pic][pic][pic]

Augalų sąsaja su Fibonačio seka neapsiriboja vien žiedlapių skaičiumi.
Čia pateiktas schematiškas jonažolės vystymasis. Nauji ūgliai išauga iš tos
stiebo vietos, kur išauga ir lapelis.

[pic][pic][pic][pic]

Nubrėžę horizontalias linijas per ūglių išaugimo taškus galime
pastebėti aiškias augalo vystymosi fazes. Pagrindinis stiebas išleidžia
naujus ūglius kiekvienos fazės pradžioje. Nauji ūgliai dvi fazes ilsisi, o
po to patys pradeda leisti ūglius. Ir tokia tvarka augalas vis auga.

Kadangi šis augimas primena ir Fibonačio triušių problemą, nenuostabu,
kad šakų kiekis kiekvieną augimo fazę yra būtent Fibonačio skaičius.
Didėjantis lapelių skaičius taip pat atitinka Fibonačio seką. Tokiu pat
būdu ir medžiai, kai kurie kiti augalai leidžia savo šakas ir šakeles.

Kai ką naujo pastebime patyrinėję kankorėžių žvynelius, saulėgrąžos
sėklas, net ananaso gumbelius.

Kankorėžyje sėklas laikantys žvyneliai iš tikrųjų yra pakitę lapai.
Visi jie yra glaudžiai išsidėstę ir susijungę su plonu koteliu. Čia nėra
tokios klasifikacijos kaip jau minėtame atvejyje su jonažolės ūgliais. Vis
dėlto pastebėsime dvi spirales, išeinančias iš to taško, kuriame yra
kotelis.

Nupieštame kankorėžyje matome aštuonias spirales, kylančias kūgiu į
viršų pagal laikrodžio rodyklę, o smailiau prieš laikrodžio rodyklę kyla
trylika spiralių.

[pic][pic][pic]

Atidžiau panagrinėkime ir saulutės žiedą. Šios mažutės gėlės
supaprastintame žiedo piešinyje matome 21 arba 34 logaritmines spirales.
Paprastai saulutėje pastebimų spiralių, besisukančių prieš ir pagal
laikrodžio rodyklę, skaičiai sutampa su dviem iš eilės einančiais Fibonačio
skaičiais.

[pic][pic]

Netgi kiekvienas mūsų piršto narelis yra didesnis už šalia esantį
apytiksliai 1,618 karto. Kaip matome paveikslėlyje, laikydami jog mūsų nago
ilgis yra 1, vėl gausime Fibonačio seką. Narelių ilgiai atitinkamai bus 2,
3, 5, 8. O prisinminkime, kad turime dvi rankas, kiekvieną su penkiais
pirštais, kurių 8 sudaryti iš trijų kauliukų. Vėl Fibonačio skaičiai!

[pic]

Tokia tvarka gamtoje turbūt neturėtų mūsų stebinti. Aišku, keturlapės
gėlės nėra tokios retos kaip keturlapiai dobilai. Galime rasti ir nemažai
kitokių išimčių. Tad jeigu Fibonačio skaičiai gamtoje ir ne visada
pastebimi, jie vis tiek sudaro tam tikrą tendenciją, pagal kurią vystosi
daugelis augalų.

Išvados ir rezultatai

Ne tik mes mokykloje mokomės matematikos, ją taiko ir gamta, kurdama
sudėtingas ir nuostabias formas. Nagrinėdami saulutės žiedą, jūros
kriauklę, saulėgrąžą ar kankorėžį galime susipažinti su tokiomis
matematinėmis sąvokomis kaip Fibonačio skaičiai, gnomonai, aukso pjūvis,
logaritminė spiralė. Tad ryšys tarp gamtos ir matematikos yra labai
naudingas.
Rašydama šį projektinį darbą sužinojau daug naujo apie galimą matematikos
praktinį pritaikymą ir jos svarbą kitose mokslo srityse. Manau, kad šis
darbas būtų naudingas ir kitiems mokiniams, norintiems daugiau išmokti apie
matematiką ar biologiją. Šį projektą būtų galima panaudoti ne tik per
matematikos pamokas, bet ir supažindinant moksleivius su augalų augimo,
sandaros ypatumais. Tad kūrybiškai naudojant surinktą medžiagą, galima
pamokas padaryti įdomesnes moksleiviams.

Literatūros sąrašas:

Kelionė į šiuolaikinę matematiką. Peteris Tannenbaumas, Robertas Arnoldas.
1995.

Interneto svetainės:

www.mathworld.com
http://maths.dur.ac.uk
http://www.mcs.surrey.ac.uk

———————–
Fibonačio skaičius

Santykis

Leave a Comment