Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija
2003-2004 m.m. žiemos sesijos projektas
Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai
Projektinio darbo vadovė matematikos mokytoja
J. Budzilaitė
Panevėžys, 2004 m.
Įvadas
Turbūt daugeliui teko gėrėtis jūros kriauklėmis, nusiskynus saulutę ar ramunę žaisti žaidimą “myli- nemyli”, spręsti galvosūkį, kiek triušių pora gali atsivesti triušiukų per metus. Visas šias problemas nagrinėja ir matematikai, o šiuos sąryšius tarp gamtos ir matematikos apibūdina tokios sąvokos kaip “Fibonačio skaičiai”, “aukso pjūvis”, “gnomonai”. Taigi griežta tvarka yra ne tik matematikoje, bet ir gamtoje.
Šį projektinį darbą pasirinkau todėl, kad man patinka matematika, o mokyklinės matematikos kursas yra gana glaustas ir nuobodus. Tad rašydama projektą turėjau šiuos tikslus:
1. Susipažinti su Leonardo Fibonačio biografija.
2. Susipažinti su šiuolaikine matematika, būtent su spiraliniu augimu ir Fibonačio skaičiais.
3. Panagrinėti jos praktinį pritaikymą biologijoje ir kt.
Leonardo Fibonatis
Leonardo Fibonatis gimė apie 1175 metus Italijoje, Pizos mieste. Jo tėvas, Guilielmo Bonacci, buvo Pizos respublikos ministras, taip pat
Afrikos Bugia miesto muitinės tarnautojas. Guilielmo norėjo, kad sūnus taptų pirkliu, todėl be įprastų skaičiavimo sistemų, jį supažindino ir su arabiškąja, kuri tuomet dar nebuvo paplitusi Europoje. Būdamas pirklio sūnumi, Fibonatis galėjo laisvai keliauti po visą Bizantijos imperiją, nes tuomet pirkliai turėjo imunitetą. Todėl Leonardo aplankė daugelį prekybos centrų. Tai suteikė jam galimybę mokytis ne tik klasikinės matematikos, bet ir tuo metu populiarių skaičiavimo sistemų.
Apie 1200 Leonardo grįžo į Pizą. Viduramžiais jis buvo garsiausias
Europos matematikas. Fibonatis pirmasis supažindino Europą su arabiškąja skaičiavimo sistema. 1202 jis baigė savo knygą, „Liber Abaci“, kurioje aiškino, kaip skaičiuoti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje. Jis apibūdino pagrindines sudėties, atimties, daugybos ir dalybos taisykles, kurias mes dabar mokomės pradinėje mokykloje. Šioje knygoje Leonardo skaičius rašė atvirkščia tvarka ir jo trupmena 4 ½ atrodė kaip ½ 4.
Fibonačio meistriškumą patvirtina knygoje aprašyta ne tik arabiškoji skaičiavimo sistema, bet ir kvadratinių lygčių sprendimo teorija. Bet
Leonardo domėjosi ne tik arabiškąja algebra. Savo komercinės veiklos srityje jam buvo reikalingas išsamus žinynas, aiškinantis, kaip spręsti tuometines kasdien pasitaikančias problemas.
Klausimas, iškeltas trečiojoje knygos „Liber Abaci“ dalyje buvo įžanga į Fibonačio skaičius:
Kažkoks žmogus į patalpą, iš visų pusių ribojamą sienų, įdeda triušių porą. Kiek triušių porų atsiras po metų iš pirmosios, jei kiekvieną mėnesį kiekviena pora atsiveda po naują porą triušių, kurie gali susilaukti palikuonių jau po dviejų mėnesių?
[pic]
Skaičiuodamas triušių populiaciją, Fibonatis atrado ir skaičių seką, iš kurios gali būti kildinamas
Aukso pjūvis
|2 |= |1 |+ |1 |
|3 |= |2 |+ |1 |
|5 |= |3 |+ |2 |
|8 |= |5 |+ |3 |
|13|= |8 |+ |5 |
|21|= |13|+ |8 |
|34|= |21|+ |13|
|55|= |34|+ |21|
Prancūzų matematikas Edouard Lucas (1842-1891) šią skaičių seką pavadino Fibonačio vardu ir atrado dar daug jos panaudojimo sričių. Tai paskatino keletą žmonių, praėjus daugeliui metų po jo mirties, 1962, suburti Fibonačio draugiją. O 1963 pradėtas leisti žurnalas „The Fibonacci
Quarterly“ (quarterly- žurnalas, išeinantis kartą per tris mėnesius), kurio tikslas- atskleisti su Fibonačiu susijusias paslaptis.
1200, baigęs visas savo keliones, Fibonatis grįžo į Pizą. Čia jis parašė keletą veikalų, kurie ypač prisidėjo prie senosios matematikos meno atnaujinimo ir buvo didelė pagalba pačiam Leonardo. Fibonatis gyveno tais laikais, kai dar nebuvo išrasta spauda, todėl visos jo knygos rašytos ranka, o, norint turėti knygos kopiją, ją vėl tekdavo perrašinėti ranka.
Iki mūsų dienų išliko keletas tokių kopijų: „Liber Abaci“ (1202), „Practica geometriae“ (1220), „Flos“ (1225) ir „Liber quadratorum“. Žinoma, kad
Fibonatis buvo parašęs ir daugiau veikalų, kurie, deja, neišliko iki šiol.
Nors Fibonatis skleidė arabiškąją skaičiavimo sistemą, sprendė triušių problemą, jo įnašas į matematiką liko didžia dalimi nepastebėtas.
Pripažintos tik tos „Liber abaci“ ir „Practica“ dalys, kurios supažindino su arabiškąja algebra ir kasdieninėmis problemomis. Čia Fibonatis yra skaičiavimo meistrų mokytojas. Taip pat Leonardo vadinamas Cossist’ų mokytoju, kurių vardas kildinamas nuo žodžio ‘causa’, pirmą kartą Vakaruose
Fibonačio pavartoto vietoj ‘radix’ (radix- šaknis). Leonardo skaitmenų ir koeficientų eilės tvarką patobulino Vijetas. Viduramžiais Fibonačio darbai buvo ignoruojami ir beveik nežinomi.
Fibonatis mirė Pizoje apie 1240 metus.
Fibonačio skaičiai
1, |1, |2, |3, |5, |8, |13, |21, |34, |55, | ….. | | Aukščiau matome labai žinomą skaičių eilę- Fibonačio skaičius. Pirmiausia Fibonačio skaičių eilė yra begalinė. Ši eilė dar ir sutvarkyta. Tai reiškia, kad yra pirmasis Fibonačio skaičius (1), antrasis (2), trečiasis (2),…, septintasis
(13),…, dešimtasis (55), vienuoliktasis (89) ir t.t. kadangi Fibonačio skaičių yra be galo daug, tai jų visų tikrai nesurašysime. Tad iškart kyla daug klausimų. Koks N-tasis Fibonačio sekos skaičius? Ar yra taisyklė, pagal kurią galėtume apskaičiuoti N-tąjį Fibonačio skaičių?
Toliau, kad būtų galima atsakyti į šiuos klausimus, pirmąjį Fibonačio skaičių žymėsime F1, antrąjį- F2, o N-ąjį – FN.
Fibonačio skaičių savybės
Fibonačio skaičiai turi daug įdomių savybių. Toliau pateikiamos kelios iš jų. Fibonačio skaičiams būdingos šios lygybės:
[pic]
Įrodykime pirmąją. Iš tikrųjų [pic]
Sudėję panariui visas šias lygybes, gausime norimą lygybę [pic]
Paskutinių Fibonačio skaičių skaitmenų seka kartojasi cikliškai kas 60
skaičių. Paskutiniai du vienodi skaitmenys pasikartoja kas 300 sekos narių, paskutiniai trys– kas 1500, paskutiniai keturi– kas 15000 ir t.t. Nė vienas nelyginis Fibonačio skaičius nėra dalus iš 17. Taip pat nė vieno šios sekos skaičiaus, didesnio už aštuonis, negalime parašyti išraiška p-1
arba p+1, kur p– pirminis skaičius. 1964 įrodyta, kad vieninteliai kvadratai Fibonačio sekoje yra 1 ir F12 = 144. O vieninteliai kubai– 1 ir
8. Paskalio trikampis taip pat susijęs su Fibonačio skaičiais:
[pic]
Kaip matome, įstrižai išbrauktų skaičių sumos vėlgi sudaro Fibonačio skaičių seką.
Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0
Jau žinome, kad bet kuris Fibonačio skaičius yra lygus dviejų pirmesnių sumai. Matematiškai galėtume užrašyti:
[pic]
Ši taisyklė netinka F1 ir F2, nes jie neturi dviejų pirmesnių skaičių, todėl aukščiau pateiktą apibrėžimą reiktų papildyti:
[pic]
Deja, naudodamiesi tokiu apibrėžimu, norėdami surasti N-ąjį sekos narį, turėtume surasti visus prieš tai einančius. Todėl galime rasti ir paprastesnį problemos sprendimo būdą. N-ąjį Fibonačio sekos narį galime rasti pagal Binė formulę:
[pic]
Binė formulė leidžia rasti bet kurį Fibonačio skaičių, neieškant jo pirmtakų, todėl sakome, kad ji aprašo Fibonačio skaičius išreikštiniu pavidalu.
Lygtis x2 = x+1, nors iš pirmo žvilgsnio taip neatrodytų, irgi yra susijusi su Fibonačio skaičiais. Pirmiausia perkelkime visus lygties narius į kairiąją pusę ir gautąją lygtį išspręskime:
[pic]
Matome, kad būtent [pic] ir [pic] yra skaičiai, Binė formulėje keliami
N-uoju laipsniu. Paprastai skaičiuojant N-ąjį Fibonačio sekos narį galime laikyti, jog [pic], o [pic]
Toliau nagrinėkime tik teigiamą lygties šaknį [pic], o kad būtų patogiau skaičiuoti, pasižymėkime ją graikiška raide Φ. Φ yra lygties [pic]
sprendinys, tad [pic]. Padauginkime šios lygybės abi puses iš Φ ir gausime:
[pic]
Vėl daugindami iš Φ gausime, kad:
[pic]
Taigi Fibonačio skaičiai pasirodo beskaičiuojant įvairius Φ laipsnius, o taisyklė, Φ laipsniams skaičiuoti, yra tokia:
[pic]
Aukso pjūvis
Panagrinėkime, kaip kinta dviejų gretimų Fibonačio skaičių santykis:
[pic]
Matome, kad po kelių pradinių svyravimų skaičių santykis FN/FN-1
nusistovi ties 1,618. Šis santykis nėra tikslus, nes imdami, sakykim, aštuonis skaičius po kablelio gausime
144/89≈1,6179775,
233/144≈1,6180556 ir t.t.
Vadinasi, santykis FN/FN-1 artėja prie kažkokio skaičiaus. Paskaičiavę santykius F99/F98 ir F100/F99 gauname, jog:
[pic]
Jau anksčiau minėtasis Φ matematikoje dar žinomas aukso pjūvio vardu.
Šis skaičius turi ypatingą savybę– jis išreiškia tobulą pusiausvyrą tarp didesniojo ir mažesniojo.
Sakykim, kad atkarpą AC, kurios ilgis lygus 1, padalijame į dvi dalis–
ilgesniąją AB ir trumpesniąją CB taip, kad visos atkarpos ir ilgesniosios jos dalies santykis būtų lygus ilgesniosios ir trumpesniosios dalių ilgių santykiui: [pic] (šią lygtį vadinkime tobulosios pusiausvyros lygtimi).
[pic]
Tegul AC=x, tada [pic] arba [pic]
Šios lygties teigiama šaknis yra lygi [pic]. Pažymėkime santykį [pic]
raide [pic]. Tuomet [pic]
Skaičius [pic] yra susijęs su Fibonačio skaičiais šia formule:
[pic]
Taip pat matome, kad tobuloji pusiausvyra tarp didesniosios tiesės dalies AC ir mažesniosios BC pasiekiama, kai dalmuo [pic] yra lygus aukso pjūviui Φ.
Gnomonai
Ryšį tarp spiralinio augimo ir Fibonačio skaičių bei aukso pjūvio nusako dar vienas matematinis darinys– gnomonas. Geometrijoje figūros A
gnomonas yra tokia figūra, kuri, tinkamai prijungta prie A, sudaro su ja naują figūrą A’, panašią į figūrą A.
Gamtoje yra du svarbiausi skirtingi organizmų augimo būdai. Pirmasis ir labiausiai paplitęs- visuotinis augimas, kai visos gyvosios organizmo dalys auga kartu. Vienas tokio augimo būdo ypatumų yra tas, kad negalime atskirti naujesniosios organizmo dalies nuo senesniosios. Taip auga žmonės, gyvūnai, daugelis augalų.
Nariuotakojam nautilui, avino ragui, sekvojai ar ramunės žiedynui būdingas asimetrinis augimas. Taip augdamas organizmas įgyja vis naują pridedamąją dalį, ir senasis organizmas kartu su pridedamąja dalimi sudaro naują organizmą. Tad bet kurioje augimo pakopoje mes galime matyti visą to organizmo praeitį.
Svarbu, kad dauguma šitaip augančių organizmų vystosi taip, kad jų bendroji forma išlieka, t.y. jie lieka panašūs į save. Čia prisimename minėtus gnomonus- kad ir kaip vyktų augimas, prisidedančioji dalis yra viso organizmo gnomonas. Toks augimas ir vadinamas gnomoniniu augimu.
Geras gnomoninio augimo pavyzdys- jūrų kriauklės vystymasis. Nautilas stato savo kriauklę etapais- kiekvieną kartą prie jau esančios kriauklės priauginamas naujas narelis. Kiekvienoje augimo pakopoje nautilo kriauklės pavidalas lieka toks pat. Taigi tokį augimą galime suprati kaip klasikinį gnomoninio augimo pavyzdį.
Gnomoninis kriauklės augimas iš esmės vyksta taip: prie nariuotojo nautiliuko kriauklytės gyvis priaugina narelį (išskirdamas ypatingą sekreciją, kuri kalkėja ir stingsta). Gaunama truputėlį didesnė kriauklės spiralė, panaši į pradinę.
Toliau procesas rekursiškai kartojasi: vėl priauginamas naujas narelis (jis yra tos panašios, bet jau truputį didesnės negu pradinė, kriauklės gnomonas), ir gaunama nauja vėl padidėjusi spiralė. Šis procesas tęsiasi, kol gyvis subręsta.
Šio nariuotojo nautilo kriauklės išoriniame kontūre atpažįstame logaritminę spiralę, kuri būdinga gnomoniniam gamtiniam augimui ir pastebima ne tik jūros kriauklėse, bet ir gyvūnų raguose:
[pic]
Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje
Augalai Fibonačio skaičius atkartoja lapų skaičiumi, jų išsidėstymu apie stiebą, sėklų pasiskirstymu. Yra daug augalų, vaisių, kuriuose galime įžiūrėti spiralę. Tai pušies kankorėžis, ananasas, saulėgrąža. Taip pat dauguma augalų išleidžia šakų kiekį, atitinkantį tam tikrą Fibonačio sekos skaičių.
Geras pavyzdys yra saulėgrąžos sėklų išsidėstymas. Raudonai pažymėtos saulėgąžos pagal laikrodžio rodyklę sudaro 55 spirales. Žaliai pažymėtos prieš laikrodžio rodyklę sudaro 89 spirales.
[pic] [pic]
Atrodo, jog galima tikėtis atrasti augaluose kokią nors simetriją, bet perpjaukite bananą ar obuolį ir pamatysite, jog pirmąjį sudaro 3 dalys, o antrąjį- penkios. Tai vėl Fibonačio skaičiai.
[pic] [pic]
Turbūt iki šiol nepastebėjote dar vieno akivaizdaus dalyko- dažniausiai gėlės žiedlapių skaičius priklauso Fibonačio sekai. Vieno ar dviejų žiedlapių gėlės yra retos, bet trilapių, ypač penkialapių yra žinoma daugybė rūšių. Šiek tiek retesnės aštuonis ar trylika žiedlapių turinčios gėlės, o įvairių rūšių saulučių žiedlapių skaičius ypač gerai atspindi
Fibonačio skaičių seką. Dažniausiai matome saulutes, turinčias 13, 21, 34,
55 ar 89 lapelius.
Įprastos laukinės saulutės žiedas turi 34 lapelius. Į tai reiktų atkreipti dėmesį žaidžiant žaidimą “myli- nemyli”. Tiesa, sakydami kad kiekviena saulutė turi 34 lapelius, turime omenyje, kad tos rūšies saulutėms būdingas toks skaičius. Iš tikrųjų konkreti saulutė gali turėti ir 33 ar 35 lapelius. O iš šių dviejų didesnė tikimybė, kad žiedas bus ne visai išsivystęs ir turės 33 žiedlapius.
[pic][pic][pic][pic]
[pic][pic][pic][pic]
Augalų sąsaja su Fibonačio seka neapsiriboja vien žiedlapių skaičiumi.
Čia pateiktas schematiškas jonažolės vystymasis. Nauji ūgliai išauga iš tos stiebo vietos, kur išauga ir lapelis.
[pic][pic][pic][pic]
Nubrėžę horizontalias linijas per ūglių išaugimo taškus galime pastebėti aiškias augalo vystymosi fazes. Pagrindinis stiebas išleidžia naujus ūglius kiekvienos fazės pradžioje. Nauji ūgliai dvi fazes ilsisi, o po to patys pradeda leisti ūglius. Ir tokia tvarka augalas vis auga.
Kadangi šis augimas primena ir Fibonačio triušių problemą, nenuostabu, kad šakų kiekis kiekvieną augimo fazę yra būtent Fibonačio skaičius.
Didėjantis lapelių skaičius taip pat atitinka Fibonačio seką. Tokiu pat būdu ir medžiai, kai kurie kiti augalai leidžia savo šakas ir šakeles.
Kai ką naujo pastebime patyrinėję kankorėžių žvynelius, saulėgrąžos sėklas, net ananaso gumbelius.
Kankorėžyje sėklas laikantys žvyneliai iš tikrųjų yra pakitę lapai.
Visi jie yra glaudžiai išsidėstę ir susijungę su plonu koteliu. Čia nėra tokios klasifikacijos kaip jau minėtame atvejyje su jonažolės ūgliais. Vis dėlto pastebėsime dvi spirales, išeinančias iš to taško, kuriame yra kotelis.
Nupieštame kankorėžyje matome aštuonias spirales, kylančias kūgiu į viršų pagal laikrodžio rodyklę, o smailiau prieš laikrodžio rodyklę kyla trylika spiralių.
[pic][pic][pic]
Atidžiau panagrinėkime ir saulutės žiedą. Šios mažutės gėlės supaprastintame žiedo piešinyje matome 21 arba 34 logaritmines spirales.
Paprastai saulutėje pastebimų spiralių, besisukančių prieš ir pagal laikrodžio rodyklę, skaičiai sutampa su dviem iš eilės einančiais Fibonačio skaičiais.
[pic][pic]
Netgi kiekvienas mūsų piršto narelis yra didesnis už šalia esantį apytiksliai 1,618 karto. Kaip matome paveikslėlyje, laikydami jog mūsų nago ilgis yra 1, vėl gausime Fibonačio seką. Narelių ilgiai atitinkamai bus 2,
3, 5, 8. O prisinminkime, kad turime dvi rankas, kiekvieną su penkiais pirštais, kurių 8 sudaryti iš trijų kauliukų. Vėl Fibonačio skaičiai!
[pic]
Tokia tvarka gamtoje turbūt neturėtų mūsų stebinti. Aišku, keturlapės gėlės nėra tokios retos kaip keturlapiai dobilai. Galime rasti ir nemažai kitokių išimčių. Tad jeigu Fibonačio skaičiai gamtoje ir ne visada pastebimi, jie vis tiek sudaro tam tikrą tendenciją, pagal kurią vystosi daugelis augalų.
Išvados ir rezultatai
Ne tik mes mokykloje mokomės matematikos, ją taiko ir gamta, kurdama sudėtingas ir nuostabias formas. Nagrinėdami saulutės žiedą, jūros kriauklę, saulėgrąžą ar kankorėžį galime susipažinti su tokiomis matematinėmis sąvokomis kaip Fibonačio skaičiai, gnomonai, aukso pjūvis, logaritminė spiralė. Tad ryšys tarp gamtos ir matematikos yra labai naudingas.
Rašydama šį projektinį darbą sužinojau daug naujo apie galimą matematikos praktinį pritaikymą ir jos svarbą kitose mokslo srityse. Manau, kad šis darbas būtų naudingas ir kitiems mokiniams, norintiems daugiau išmokti apie matematiką ar biologiją. Šį projektą būtų galima panaudoti ne tik per matematikos pamokas, bet ir supažindinant moksleivius su augalų augimo, sandaros ypatumais. Tad kūrybiškai naudojant surinktą medžiagą, galima pamokas padaryti įdomesnes moksleiviams.
Literatūros sąrašas
Kelionė į šiuolaikinę matematiką. Peteris Tannenbaumas, Robertas Arnoldas.
1995.
Interneto svetainės
www.mathworld.com http://maths.dur.ac.uk http://www.mcs.surrey.ac.uk
Fibonačio skaičius
Santykis