Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija
2003-2004 m.m. žiemos sesijos projektas
Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai
Projektinio darbo vadovė matematikos mokytoja J. Budzilaitė
Panevėžys, 2004 m.
Turinys
Turinys 1
Įvadas 2
Leonardo Fibonatis 3
Fibonačio skaičiai 4
Fibonačio skaičių savybės 5
Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0 5
Aukso pjūvis 6
Gnomonai 8
Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje 9
Išvados ir rezultatai 12
Literatūros sąrašas: 13
Interneto svetainės: 13
Įvadas
Turbūt daugeliui teko gėrėtis jūros kriauklėmis, nusiskynus saulutę arramunę žaisti žaidimą “myli- nemyli”, spręsti galvosūkį, kiek triušių poragali atsivesti triušiukų per metus. Visas šias problemas nagrinėja irmatematikai, o šiuos sąryšius tarp gamtos ir matematikos apibūdina tokiossąvokos kaip “Fibonačio skaičiai”, “aukso pjūvis”, “gnomonai”. Taigigriežta tvarka yra ne tik matematikoje, bet ir gamtoje. Šį projektinį darbą pasirinkau todėl, kad man patinka matematika, omokyklinės matematikos kursas yra gana glaustas ir nuobodus. Tad rašydamaprojektą turėjau šiuos tikslus: 1. Susipažinti su Leonardo Fibonačio biografija. 2. Susipažinti su šiuolaikine matematika, būtent su spiraliniu augimu ir Fibonačio skaičiais. 3. Panagrinėti jos praktinį pritaikymą biologijoje ir kt.
Leonardo Fibonatis
Leonardo Fibonatis gimė apie 1175 metus Italijoje, Pizos mieste. Jotėvas, Guilielmo Bonacci, buvo Pizos respublikos ministras, taip patAfrikos Bugia miesto muitinės tarnautojas. Guilielmo norėjo, kad sūnustaptų pirkliu, todėl be įprastų skaičiavimo sistemų, jį supažindino ir suarabiškąja, kuri tuomet dar nebuvo paplitusi Europoje. Būdamas pirkliosūnumi, Fibonatis galėjo laisvai keliauti po visą Bizantijos imperiją, nestuomet pirkliai turėjo imunitetą. Todėl Leonardo aplankė daugelį prekyboscentrų. Tai suteikė jam galimybę mokytis ne tik klasikinės matematikos, betir tuo metu populiarių skaičiavimo sistemų.
Apie 1200 Leonardo grįžo į Pizą. Viduramžiais jis buvo garsiausiasEuropos matematikas. Fibonatis pirmasis supažindino Europą su arabiškąjaskaičiavimo sistema. 1202 jis baigė savo knygą, „Liber Abaci“, kuriojeaiškino, kaip skaičiuoti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje. Jis apibūdinopagrindines sudėties, atimties, daugybos ir dalybos taisykles, kurias mesdabar mokomės pradinėje mokykloje. Šioje knygoje Leonardo skaičius rašėatvirkščia tvarka ir jo trupmena 4 ½ atrodė kaip ½ 4. Fibonačio meistriškumą patvirtina knygoje aprašyta ne tik arabiškojiskaičiavimo sistema, bet ir kvadratinių lygčių sprendimo teorija. BetLeonardo domėjosi ne tik arabiškąja algebra. Savo komercinės veiklossrityje jam buvo reikalingas išsamus žinynas, aiškinantis, kaip spręstituometines kasdien pasitaikančias problemas. Klausimas, iškeltas trečiojoje knygos „Liber Abaci“ dalyje buvo įžangaį Fibonačio skaičius: Kažkoks žmogus į patalpą, iš visų pusių ribojamą sienų, įdeda triušiųporą. Kiek triušių porų atsiras po metų iš pirmosios, jei kiekvieną mėnesįkiekviena pora atsiveda po naują porą triušių, kurie gali susilauktipalikuonių jau po dviejų mėnesių? [pic] Skaičiuodamas triušių populiaciją, Fibonatis atrado ir skaičių seką, iškurios gali būti kildinamas aukso pjūvis:|2 |= |1 |+ |1 ||3 |= |2 |+ |1 ||5 |= |3 |+ |2 ||8 |= |5 |+ |3 ||13|= |8 |+ |5 ||21|= |13|+ |8 ||34|= |21|+ |13||55|= |34|+ |21||..|..|..|..|..||..|..|..|..|..||. |..|. |. |. |Prancūzų matematikas Edouard Lucas (1842-1891) šią skaičių sekąpavadino Fibonačio vardu ir atrado dar daug jos panaudojimo sričių. Taipaskatino keletą žmonių, praėjus daugeliui metų po jo mirties, 1962,suburti Fibonačio draugiją. O 1963 pradėtas leisti žurnalas „The FibonacciQuarterly“ (quarterly- žurnalas, išeinantis kartą per tris mėnesius), kuriotikslas- atskleisti su Fibonačiu susijusias paslaptis. 1200, baigęs visas savo keliones, Fibonatis grįžo į Pizą. Čia jisparašė keletą veikalų, kurie ypač prisidėjo prie senosios matematikos menoatnaujinimo ir buvo didelė pagalba pačiam Leonardo. Fibonatis gyveno tais
laikais, kai dar nebuvo išrasta spauda, todėl visos jo knygos rašytosranka, o, norint turėti knygos kopiją, ją vėl tekdavo perrašinėti ranka.Iki mūsų dienų išliko keletas tokių kopijų: „Liber Abaci“ (1202), „Practicageometriae“ (1220), „Flos“ (1225) ir „Liber quadratorum“. Žinoma, kadFibonatis buvo parašęs ir daugiau veikalų, kurie, deja, neišliko iki šiol. Nors Fibonatis skleidė arabiškąją skaičiavimo sistemą, sprendė triušiųproblemą, jo įnašas į matematiką liko didžia dalimi nepastebėtas.Pripažintos tik tos „Liber abaci“ ir „Practica“ dalys, kurios supažindinosu arabiškąja algebra ir kasdieninėmis problemomis. Čia Fibonatis yraskaičiavimo meistrų mokytojas. Taip pat Leonardo vadinamas Cossist’ųmokytoju, kurių vardas kildinamas nuo žodžio ‘causa’, pirmą kartą VakaruoseFibonačio pavartoto vietoj ‘radix’ (radix- šaknis). Leonardo skaitmenų irkoeficientų eilės tvarką patobulino Vijetas. Viduramžiais Fibonačio darbaibuvo ignoruojami ir beveik nežinomi. Fibonatis mirė Pizoje apie 1240 metus.Fibonačio skaičiai
1, |1, |2, |3, |5, |8, |13, |21, |34, |55, | ….. | | Aukščiau matomelabai žinomą skaičių eilę- Fibonačio skaičius. Pirmiausia Fibonačio skaičių eilė yra begalinė. Ši eilė dar ir sutvarkyta. Tai reiškia, kad yrapirmasis Fibonačio skaičius (1), antrasis (2), trečiasis (2),…, septintasis(13),…, dešimtasis (55), vienuoliktasis (89) ir t.t. kadangi Fibonačioskaičių yra be galo daug, tai jų visų tikrai nesurašysime. Tad iškart kyladaug klausimų. Koks N-tasis Fibonačio sekos skaičius? Ar yra taisyklė,pagal kurią galėtume apskaičiuoti N-tąjį Fibonačio skaičių? Toliau, kad būtų galima atsakyti į šiuos klausimus, pirmąjį Fibonačioskaičių žymėsime F1, antrąjį- F2, o N-ąjį – FN.
Fibonačio skaičių savybės
Fibonačio skaičiai turi daug įdomių savybių. Toliau pateikiamos keliosiš jų. Fibonačio skaičiams būdingos šios lygybės:
[pic] Įrodykime pirmąją. Iš tikrųjų [pic] Sudėję panariui visas šias lygybes, gausime norimą lygybę [pic]Paskutinių Fibonačio skaičių skaitmenų seka kartojasi cikliškai kas 60skaičių. Paskutiniai du vienodi skaitmenys pasikartoja kas 300 sekos narių,paskutiniai trys– kas 1500, paskutiniai keturi– kas 15000 ir t.t. Nėvienas nelyginis Fibonačio skaičius nėra dalus iš 17. Taip pat nė vienošios sekos skaičiaus, didesnio už aštuonis, negalime parašyti išraiška p-1arba p+1, kur p– pirminis skaičius. 1964 įrodyta, kad vieninteliaikvadratai Fibonačio sekoje yra 1 ir F12 = 144. O vieninteliai kubai– 1 ir8. Paskalio trikampis taip pat susijęs su Fibonačio skaičiais: [pic]
Kaip matome, įstrižai išbrauktų skaičių sumos vėlgi sudaro Fibonačioskaičių seką.
Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0
Jau žinome, kad bet kuris Fibonačio skaičius yra lygus dviejų pirmesniųsumai. Matematiškai galėtume užrašyti: [pic] Ši taisyklė netinka F1 ir F2, nes jie neturi dviejų pirmesnių skaičių,todėl aukščiau pateiktą apibrėžimą reiktų papildyti: [pic] Deja, naudodamiesi tokiu apibrėžimu, norėdami surasti N-ąjį sekos narį,turėtume surasti visus prieš tai einančius. Todėl galime rasti irpaprastesnį problemos sprendimo būdą. N-ąjį Fibonačio sekos narį galimerasti pagal Binė formulę: [pic] Binė formulė leidžia rasti bet kurį Fibonačio skaičių, neieškant jopirmtakų, todėl sakome, kad ji aprašo Fibonačio skaičius išreikštiniupavidalu. Lygtis x2 = x+1, nors iš pirmo žvilgsnio taip neatrodytų, irgi yrasusijusi su Fibonačio skaičiais. Pirmiausia perkelkime visus lygties nariusį kairiąją pusę ir gautąją lygtį išspręskime: [pic] Matome, kad būtent [pic] ir [pic] yra skaičiai, Binė formulėje keliamiN-uoju laipsniu. Paprastai skaičiuojant N-ąjį Fibonačio sekos narį galime
laikyti, jog [pic], o [pic] Toliau nagrinėkime tik teigiamą lygties šaknį [pic], o kad būtųpatogiau skaičiuoti, pasižymėkime ją graikiška raide Φ. Φ yra lygties [pic]sprendinys, tad [pic]. Padauginkime šios lygybės abi puses iš Φ ir gausime: [pic] Vėl daugindami iš Φ gausime, kad: [pic] Taigi Fibonačio skaičiai pasirodo beskaičiuojant įvairius Φ laipsnius,o taisyklė, Φ laipsniams skaičiuoti, yra tokia: [pic]Aukso pjūvis
Panagrinėkime, kaip kinta dviejų gretimų Fibonačio skaičių santykis:
[pic]
Matome, kad po kelių pradinių svyravimų skaičių santykis FN/FN-1nusistovi ties 1,618. Šis santykis nėra tikslus, nes imdami, sakykim,aštuonis skaičius po kablelio gausime 144/89≈1,6179775, 233/144≈1,6180556 ir t.t. Vadinasi, santykis FN/FN-1 artėja prie kažkokio skaičiaus. Paskaičiavęsantykius F99/F98 ir F100/F99 gauname, jog: [pic] Jau anksčiau minėtasis Φ matematikoje dar žinomas aukso pjūvio vardu.Šis skaičius turi ypatingą savybę– jis išreiškia tobulą pusiausvyrą tarpdidesniojo ir mažesniojo. Sakykim, kad atkarpą AC, kurios ilgis lygus 1, padalijame į dvi dalis–ilgesniąją AB ir trumpesniąją CB taip, kad visos atkarpos ir ilgesniosiosjos dalies santykis būtų lygus ilgesniosios ir trumpesniosios dalių ilgiųsantykiui: [pic] (šią lygtį vadinkime tobulosios pusiausvyros lygtimi).
[pic]
Tegul AC=x, tada [pic] arba [pic] Šios lygties teigiama šaknis yra lygi [pic]. Pažymėkime santykį [pic]raide [pic]. Tuomet [pic]
Skaičius [pic] yra susijęs su Fibonačio skaičiais šia formule:
[pic]
Taip pat matome, kad tobuloji pusiausvyra tarp didesniosios tiesėsdalies AC ir mažesniosios BC pasiekiama, kai dalmuo [pic] yra lygus auksopjūviui Φ.
Gnomonai
Ryšį tarp spiralinio augimo ir Fibonačio skaičių bei aukso pjūvionusako dar vienas matematinis darinys– gnomonas. Geometrijoje figūros Agnomonas yra tokia figūra, kuri, tinkamai prijungta prie A, sudaro su ja
naują figūrą A’, panašią į figūrą A. Gamtoje yra du svarbiausi skirtingi organizmų augimo būdai. Pirmasis irlabiausiai paplitęs- visuotinis augimas, kai visos gyvosios organizmo dalysauga kartu. Vienas tokio augimo būdo ypatumų yra tas, kad negalime atskirtinaujesniosios organizmo dalies nuo senesniosios. Taip auga žmonės, gyvūnai,daugelis augalų. Nariuotakojam nautilui, avino ragui, sekvojai ar ramunės žiedynuibūdingas asimetrinis augimas. Taip augdamas organizmas įgyja vis naująpridedamąją dalį, ir senasis organizmas kartu su pridedamąja dalimi sudaronaują organizmą. Tad bet kurioje augimo pakopoje mes galime matyti visą toorganizmo praeitį. Svarbu, kad dauguma šitaip augančių organizmų vystosi taip, kad jųbendroji forma išlieka, t.y. jie lieka panašūs į save. Čia prisimenameminėtus gnomonus- kad ir kaip vyktų augimas, prisidedančioji dalis yra visoorganizmo gnomonas. Toks augimas ir vadinamas gnomoniniu augimu. Geras gnomoninio augimo pavyzdys- jūrų kriauklės vystymasis. Nautilasstato savo kriauklę etapais- kiekvieną kartą prie jau esančios kriauklėspriauginamas naujas narelis. Kiekvienoje augimo pakopoje nautilo kriauklėspavidalas lieka toks pat. Taigi tokį augimą galime suprati kaip klasikinįgnomoninio augimo pavyzdį. Gnomoninis kriauklės augimas iš esmės vykstataip: prie nariuotojo nautiliuko kriauklytės gyvis priaugina narelį(išskirdamas ypatingą sekreciją, kuri kalkėja ir stingsta). Gaunamatruputėlį didesnė kriauklės spiralė, panaši į pradinę. Toliau procesasrekursiškai kartojasi: vėl priauginamas naujas narelis (jis yra tospanašios, bet jau truputį didesnės negu pradinė, kriauklės gnomonas), irgaunama nauja vėl padidėjusi spiralė. Šis procesas tęsiasi, kol gyvissubręsta. Šio nariuotojo nautilo kriauklės išoriniame kontūre atpažįstamelogaritminę spiralę, kuri būdinga gnomoniniam gamtiniam augimui irpastebima ne tik jūros kriauklėse, bet ir gyvūnų raguose: [pic]Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje
Augalai Fibonačio skaičius atkartoja lapų skaičiumi, jų išsidėstymuapie stiebą, sėklų pasiskirstymu. Yra daug augalų, vaisių, kuriuose galimeįžiūrėti spiralę. Tai pušies kankorėžis, ananasas, saulėgrąža. Taip patdauguma augalų išleidžia šakų kiekį, atitinkantį tam tikrą Fibonačio sekosskaičių. Geras pavyzdys yra saulėgrąžos sėklų išsidėstymas. Raudonai pažymėtossaulėgąžos pagal laikrodžio rodyklę sudaro 55 spirales. Žaliai pažymėtosprieš laikrodžio rodyklę sudaro 89 spirales. [pic] [pic]
Atrodo, jog galima tikėtis atrasti augaluose kokią nors simetriją, betperpjaukite bananą ar obuolį ir pamatysite, jog pirmąjį sudaro 3 dalys, oantrąjį- penkios. Tai vėl Fibonačio skaičiai. [pic] [pic] Turbūt iki šiol nepastebėjote dar vieno akivaizdaus dalyko- dažniausiaigėlės žiedlapių skaičius priklauso Fibonačio sekai. Vieno ar dviejųžiedlapių gėlės yra retos, bet trilapių, ypač penkialapių yra žinomadaugybė rūšių. Šiek tiek retesnės aštuonis ar trylika žiedlapių turinčiosgėlės, o įvairių rūšių saulučių žiedlapių skaičius ypač gerai atspindiFibonačio skaičių seką. Dažniausiai matome saulutes, turinčias 13, 21, 34,55 ar 89 lapelius. Įprastos laukinės saulutės žiedas turi 34 lapelius. Į tai reiktųatkreipti dėmesį žaidžiant žaidimą “myli- nemyli”. Tiesa, sakydami kadkiekviena saulutė turi 34 lapelius, turime omenyje, kad tos rūšiessaulutėms būdingas toks skaičius. Iš tikrųjų konkreti saulutė gali turėtiir 33 ar 35 lapelius. O iš šių dviejų didesnė tikimybė, kad žiedas bus nevisai išsivystęs ir turės 33 žiedlapius.
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
Augalų sąsaja su Fibonačio seka neapsiriboja vien žiedlapių skaičiumi.Čia pateiktas schematiškas jonažolės vystymasis. Nauji ūgliai išauga iš tos
stiebo vietos, kur išauga ir lapelis.[pic][pic][pic][pic]
Nubrėžę horizontalias linijas per ūglių išaugimo taškus galimepastebėti aiškias augalo vystymosi fazes. Pagrindinis stiebas išleidžianaujus ūglius kiekvienos fazės pradžioje. Nauji ūgliai dvi fazes ilsisi, opo to patys pradeda leisti ūglius. Ir tokia tvarka augalas vis auga. Kadangi šis augimas primena ir Fibonačio triušių problemą, nenuostabu,kad šakų kiekis kiekvieną augimo fazę yra būtent Fibonačio skaičius.Didėjantis lapelių skaičius taip pat atitinka Fibonačio seką. Tokiu patbūdu ir medžiai, kai kurie kiti augalai leidžia savo šakas ir šakeles. Kai ką naujo pastebime patyrinėję kankorėžių žvynelius, saulėgrąžossėklas, net ananaso gumbelius. Kankorėžyje sėklas laikantys žvyneliai iš tikrųjų yra pakitę lapai.Visi jie yra glaudžiai išsidėstę ir susijungę su plonu koteliu. Čia nėratokios klasifikacijos kaip jau minėtame atvejyje su jonažolės ūgliais. Visdėlto pastebėsime dvi spirales, išeinančias iš to taško, kuriame yrakotelis. Nupieštame kankorėžyje matome aštuonias spirales, kylančias kūgiu įviršų pagal laikrodžio rodyklę, o smailiau prieš laikrodžio rodyklę kylatrylika spiralių.
[pic][pic][pic]
Atidžiau panagrinėkime ir saulutės žiedą. Šios mažutės gėlėssupaprastintame žiedo piešinyje matome 21 arba 34 logaritmines spirales.Paprastai saulutėje pastebimų spiralių, besisukančių prieš ir pagallaikrodžio rodyklę, skaičiai sutampa su dviem iš eilės einančiais Fibonačioskaičiais.
[pic][pic]
Netgi kiekvienas mūsų piršto narelis yra didesnis už šalia esantįapytiksliai 1,618 karto. Kaip matome paveikslėlyje, laikydami jog mūsų nagoilgis yra 1, vėl gausime Fibonačio seką. Narelių ilgiai atitinkamai bus 2,3, 5, 8. O prisinminkime, kad turime dvi rankas, kiekvieną su penkiais
pirštais, kurių 8 sudaryti iš trijų kauliukų. Vėl Fibonačio skaičiai![pic]
Tokia tvarka gamtoje turbūt neturėtų mūsų stebinti. Aišku, keturlapėsgėlės nėra tokios retos kaip keturlapiai dobilai. Galime rasti ir nemažaikitokių išimčių. Tad jeigu Fibonačio skaičiai gamtoje ir ne visadapastebimi, jie vis tiek sudaro tam tikrą tendenciją, pagal kurią vystosidaugelis augalų.
Išvados ir rezultatai
Ne tik mes mokykloje mokomės matematikos, ją taiko ir gamta, kurdamasudėtingas ir nuostabias formas. Nagrinėdami saulutės žiedą, jūroskriauklę, saulėgrąžą ar kankorėžį galime susipažinti su tokiomismatematinėmis sąvokomis kaip Fibonačio skaičiai, gnomonai, aukso pjūvis,logaritminė spiralė. Tad ryšys tarp gamtos ir matematikos yra labainaudingas.Rašydama šį projektinį darbą sužinojau daug naujo apie galimą matematikospraktinį pritaikymą ir jos svarbą kitose mokslo srityse. Manau, kad šisdarbas būtų naudingas ir kitiems mokiniams, norintiems daugiau išmokti apiematematiką ar biologiją. Šį projektą būtų galima panaudoti ne tik permatematikos pamokas, bet ir supažindinant moksleivius su augalų augimo,sandaros ypatumais. Tad kūrybiškai naudojant surinktą medžiagą, galimapamokas padaryti įdomesnes moksleiviams.
Literatūros sąrašas:
Kelionė į šiuolaikinę matematiką. Peteris Tannenbaumas, Robertas Arnoldas.1995.
Interneto svetainės:
www.mathworld.comhttp://maths.dur.ac.ukhttp://www.mcs.surrey.ac.uk
———————–Fibonačio skaičius
Santykis