RAŠYTINĖS NUMERACIJOS ATSIRADIMAS|Dar tolimoje praeityje žmonėms reikėdavo skaičiuoti įvairius daiktus, su ||kuriais jie susidurdavo kasdieniniame gyvenime. Iš pradžių žmonės mokėjo ||skaičiuoti tik iki dviejų. Skaičius “du” asocijavosi su regėjimo ir klausos ||organais. Indų kalba “akys”, tibetiečių kalba “sparnai” taip pat reiškė “du”. ||Jei ko nors buvo daugiau negu du, tai pirmykštis žmogus sakė “daug”. Tik ||pamažu žmogus išmoko skaičiuoti iki trijų, po to iki penkių, dešimt ir t.t. ||Juk negalima buvo išsiversti nematavus atstumo, žemės sklypų ploto, indų ||talpos. Poreikis matuoti padėjo atsirasti ir plėtotis matavimo būdams, ||skaičiavimo technikai, veiksmų atlikimo taisyklėms. ||Skaitmenų, kaip ir aritmetikos taisyklių niekas neišgalvojo, niekas iš karto ||neišrado. Praėjo daug amžių, kol atsirado dabartiniai skaitmenys. Jų rašyba ||tobulėjo kartu su rašto raida. Juk raidžių iš pradžių taip pat nebuvo. Mintys ||ir žodžiai buvo reiškiami piešiniais ant uolų, ant urvo sienų, ant akmenų. Dar||prieš atsirandant raštui, žmonės, norėdami prisiminti skaičius, medžiuose ar ||lazdose įpjaudavo žymes arba rišdavo virvės mazgus. |
|Vėliau skaičius “vienas” pradėtas žymėti vienu brūkšneliu, “du” – dviem, “trys”||- trimis brūkšneliais ir t.t. Tokio žymėjimo liekanų randama romėnų sistemoje: ||I, II, III. Tačiau naudoti brūkšnelius buvo nepatogu. Tuomet skaičius pradėta ||žymėti specialiais ženklais. Kiekvienas skaičius, kaip kiekvienas žodis, buvo ||žymimas skirtingu ženklu – hieroglifu. |
APIE SKAIČIAVIMO SISTEMAS
Dabartinėje rašytinėje numeracijoje skaitmens reikšmė priklauso nuo jo užimamos vietos, nuo jo pozicijos. Pavyzdžiui, skaitmuo 7 skaičiuje 17 reiškia 7 vienetus, o tas pats skaitmuo 7 skaičiuje 79 reiškia
septynes dešimtis, t.y. septyniasdešimt vienetų. Dėl to mūsų naudojama skaičių rašymo sistema vadinama pozicine. Ji, kaip ir dabartiniai skaitmenys, atsirado maždaug prieš 1500 metų Indijoje. Tai reiškia, kad indų skaitmenys iš pradžių buvo tokie kaip dabar. Per daugelį šimtmečių, keliaudami iš tautos į tautą, senieji indų skaitmenys daug kartų keitėsi, kol įgavo šiuolaikinį pavidalą. Iš indų skaitmenis ir pazicinę dešimtainę skaičiavimo sistemą perėmė arabai, o iš arabų – europiečiai. Todėl mūsų naudojami skaitmenys dažnai vadinami arabiškais. Teisingiau būtų juos vadinti indiškais. [pic]Kai kurios gentys ir tautelės, pavyzdžiui Afrikoje, skaičiavo tik vienos rankos pirštais, t.y. penketais: ten įsigalėjo penketainė skaičiavimo sistema, kurios pagrindas – skaičius 5. Joje turi pavadinimus tik penki pirmieji skaičiai. Pavyzdžiui, skaičius “šeši”, buvo vadinamas “penki – vienas” ir t.t. Penketainės sistemos pėdsakai išliko skandinavų kalbose. [pic]
Seniausia yra dvejetainė skaičiavimo sistema, kurią kaip manoma, naudojo senovės egiptiečiai. Tai rodo, pavyzdžiui, faktas, kad egiptiečiai daugybą keisdavo dvigubinimu.Dabar dvejetainė numeracija plačiai taikoma moksle ir technikoje.
Dvejetainė sistema turi tik du skaičių ženklus, du skaitmenis: 1 ir 0.
Šioje sistemoje irgi laikomasi pozicinio principo: skaitmuo 1, parašytas pirmoje vietoje (iš dešinės), reiškia vieną vienetą, parašytas antroje vietoje – 21 = 2, trečioje – 22 = 4, ketvirtoje – 23 = 8 ir t.t. Tai parodyta šioje lentelėje: [pic]
Sakykime, skaičių tris reikia parašyti dvejetaine skaičiavimo sistema. Šiam tikslui jis išreiškiamas suma “du plius vienas” ir užrašomas taip: 11. Štai dar keli dešimtainės sistemos skaičiai, parašyti dvejetaine sistema: [pic]
Apskritai, norint dešimtainės skaičiavimo sistemos skaičių išreikšti dvejetaine skaičiavimo sistema, reikia jį nuosekliai dalinti iš 2, po
to eilute iš dešinės į kairę surašyti liekanas, gautas dalinant. Pavyzdžiui, [97]10 = [1100001]2. Atvirkštinį perėjimą galima atlikti tuo pačiu būdu, bet paprasčiau – sudauginti ir sudėti skaičius dešimtaine sistema. Pavyzdžiui: [101101]2 = [1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1]10 = [32+8+4+1]10 = [45]10.Sudedant dvejetainius skaičius, pakanka žinoti (išskyrus 1+0 = 1) tik vieną taisyklę: 1+1 = 10. Dvejetainės aritmetikos daugybos lentelę sudaro (išskyrus 1*0 = 0) tik vienas veiksmas: 1*1 = 1. [pic]
Mašinų matematikoje didelę reikšmę įgyja aštuonetainė skaičiavimo sistema. Šioje sistemoje, pavyzdžiui, skaičius 24, užrašomas taip: 30.
Iš tiesų: [24]10 = 3*81+0 = [30]8. Analogiškai [623]10 = 1*83+1*82+5*81+7*80 = [1157]8. Čia taip pat perėjimui taikoma nuoseklios dalybos iš 8 taisyklė.
Aštuntainę sistemą su dvejetaine sieja paprastas sąryšis. (Sąryšis paprastas todėl, kad 8 yra sveikasis skaičiaus 2 laipsnis: 8 = 23.) Sakykime, duotas skaičius [110 101 011]2. Suskirstykime jį iš dešinės į kairę grupėmis po tris skaitmenis (paskutinėje grupėje galli likti vienas ar du skaitmenys): 110 101 011. Aštuonetaine sistema šios grupės reiškia tokius skaitmenis: 6 5 3. Todėl [110101011]2 = [653]8. [pic]
Iki šių dienų išliko ir dvidešimtainės sistemos pėdsakai. Dar dabar gruzinai ir prancūzai skaičių 80 vadina žodžiais, kurie lietuviškai reiškia “keturis kart dvidešimt”. Dvidešimtainė sistema atsirado tose tautose, kurios skaičiavimui pasitelkdavo ne tik rankų, bet ir kojų pirštus. [pic]
Šešiasdešimtainė, pirmoji pasaulyje senovės babiloniečių pozicinė skaičiavimo sistema ilgą laiką buvo taikoma moksle, o jos pėdsakai išliko ir iki šiol.
APIE SKAIČIAVIMO SISTEMAS
1. Kurių skaičiavimo sistemų pagrindus galima įžvelgti laiko matavimo vienetuose? 2. Kurią skaičiavimo sistemą primena iš senovės atkeliavęs žodžių derinys “trejos devynerios”? 3. Užrašykite šios dienos datą dvejetainiais skaičiais. 4. Užrašykite dešimtainiais skaičiais šiuos dvejetainės sistemos skaičius: o 11111
Pasitikrinkite: Formos viršus|[pic|[pic|[pic|[pic||]29 |]30 |]32 |]31 | o
[pic] Formos apačia
o [pic]10110Pasitikrinkite: Formos viršus|[pic|[pic|[pic|[pic||]20 |]21 |]22 |]23 | o
[pic] Formos apačia o [pic]100000 o 111111
1. Užrašykite dvejetainiais skaičiais šių dešimtainių reiškinių reikšmes:
o 23 o 23-1 o 24 o 24-1 o 26 o 26-1
BABILONIEČIŲ NUMERACIJA
|Senovės Babilonija aukštą kultūros lygį |[pic] ||pasiekė jau trečiame tūkstantmetyje pr. Kr.| ||Šumerai ir akadai, gyvenę senovės | ||Babilonijoje rašė ne ant papiruso, kuris jų| ||šalyje neaugo, bet ant molio. Minkštoje | ||molinėje plytelėje aštria lazdele jie | ||įspaudinėjo brūkšnelius, panašius į | ||dantukus. Todėl toks raštas vadinamas | ||dantiraščiu. Išnagrinėję lenteles, | ||mokslininkai nustatė, kad 2000 pr. Kr. | ||babiloniečių matematika buvo toli | ||pažengusi. | |
Babiloniečių rašytinę šešiasdešimtainę numeraciją sudaro du ženklai: [pic]- kuris reiškė vienetą, [pic]- žymintis dešimtį.
Babiloniečių dantiraščių tekstuose pirmą kartą aptinkama pozicinė skaičiavimo sistema. Vertikaliu pleištiniu brūkšneliu buvo žymimas ne tik 1, bet ir 60, 602, 603 ir t.t. Norėdami, pavyzdžiui, parašyti skaičių 63, ženklo[pic](60) dešinėje, palikdami didesnį tarpelį, prirašydavo ženklelius[pic](3). Ženklo nuliui žymėti iš pradžių nebuvo. Ar vertikalus pleištinis brūkšnelis reiškia 1, ar 60, o gal 60n, buvo galima nustatyti tik žinant uždavinio turinį. Taigi babiloniečių numeracija nebuvo griežtai pozicinė, nebuvo absoliuti. Vėliau buvo įvestas ženklas[pic], kuris reiškė dabartinį nulį. Jis skyrius atskirdavo vieną nuo kito. Štai kaip buvo užrašomas skaičius 3605: [pic]. Tačiau ženklas[pic]niekada nebuvo rašomas skaičiaus gale.
BABILONIEČIŲ NUMERACIJA
Šešiasdešimtosios dalys buvo prigijusios babiloniečių gyvenime. Jie naudojošešiasdešimtaines trupmenas, kurių vardiklyje visada buvo skaičius 60 arbajo laipsnis 602 = 3600, 603 = 216000 ir t.t. Šiuo požiūriušešiasdešimtaines trupmenas galima palyginti su mūsų dešimtainėmis
trupmenomis.1. Išreikškite šešiasdešimtainėmis šias paprastąsias trupmenas:
[pic], [pic], [pic]. 2. Išreikškite paprastosiomis šias šešiasdešimtaines trupmenas:
[pic], [pic], [pic]. 3. Išreikškite minutėmis [pic]valandos. 4. Paverskite valandomis 15min ir 12s.
KAS SIEJA TŪKSTANTĮ IR LOTOSĄ?
|Jei šią mįslę galėtume užminti senovės |[pic] ||egiptiečiui, jis visai nenustebtų – juk| ||lotosas ir tūkstantis žymimi tuo pačiu | ||hieroglifu. | ||Senovės Egiptas asocijuojasi ne tik su | ||piramidėmis, sfinksais, bet ir su | ||hieroglifais, ilgą laiką vadintais | ||šventaisiais rašmenimis. | ||[pic] |Senovės Egipte maždaug prieš 4000|| |metų vienetas buvo žymimas || |brūkšniu, dešimtis panašiai kaip || |sunertos rankos, šimtas – susuktu|| |palmės lapu, tūkstantis – lotoso || |žiedu (turto simboliu), kadangi || |pavasarį sužysta gausybė lotoso || |žiedų, šimtas tūkstančių – varle,|| |nes Nilo potvynio metu varlių || |buvo labai daug. |
NUMERACIJA SENOVĖS GRAIKIJOJE
Senovės Graikijoje, kuri garsėjo aukšta pasaulinės reikšmės kultūra, egzistavo dvi rašytinės numeracijos sistemos: atikinė ir joninė, arba abėcėlinė. Šie pavadinimai kilo iš senovės graikų valstybių vardų – Atikos (vidurinės Graikijos pietryčių valstybė) ir Jonijos (Mažosios Azijos pajūrio dalis).
|Dauguma atikinės sistemos, kuri |[pic] ||dar buvo vadinama herodianine, | ||skaičių ženklų sutampa su | ||atitinkamų graikiškų skaitvardžių | ||pirmosiomis raidėmis. Pavyzdžiui, | ||gente arba pente – penki, deka – | ||dešimt ir t.t. | ||[pic] |Ši sistema Atikoje buvo taikoma || |iki pirmojo mūsų eros amžiaus. || |Tačiau kitose senovės Graikijos || |srityse ji gerokai anksčiau buvo || |pakeista patogesne abėcėline || |numeracija, greitai paplitusia || |visoje Graikijoje. |
NUMERACIJA SENOVĖS RUSIOJE
Kaip matome iš senųjų rusų istorijos paminklų, slavai, palaikę kultūrinius ryšius su Bizantija, naudojo dešimtainę abėcėlinę slavų numeraciją, panašią į joninę.
[pic]
[pic]
[pic]
Jie virš raidžių, reiškiančių skaičių, rašė specialų ženklą, vadinamą titlo.|Rusų rankraštinėse aritmetikose XVII a. |[pic] ||vartojami tokie skaičių pavadinimai: | ||10000 – tamsa, 100000 – legionas, | ||1000000 – leodras. Ši pavadinimų sistema| ||buvo vadinama “mažuoju skaičiumi”. Tuose| ||pačiuose rankraščiuose yra ir kita | ||sistema “didysis skaičius”, kurioje | ||dideli skaičiai žymimi ir vadinami taip,| ||kaip parodyta paveiksle. | |