Klaipėdos universitetas
Pedagogikos fakultetas
Neakivaizdinis skyrius
JURINDA LUKOŠIŪTĖ
Vaikystės pedagogikos ir etikos specializacijos studijų programos III
kurso, 3 grupės studentė
PROGRESIJOS
Matematikos kontrolinis darbas
Darbo vadovas
Prof. D. Švitra
Klaipėda.
2004
Kontrolinio darbo planas
Įvadas
1. Skaičių seka
1.1. Sekos apibrėžimas;
1.2. Sekos apibrėžimo būdai;
1.3. Didėjančios ir mažėjančios sekos.
2. Progresijos
2.1 Aritmetinės progresijos apibrėžimas bei savybės;
2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimai bei savybės;
2.3. Nykstamoji geometrinė progresija
3. Uždaviniai
3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius;
3.2. Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai;
3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.
Išvados
Literatūros sąrašas
Įvadas
Progresijos yra algebros kurso dalis, tačiau šiek tiek nutolusi nuo keturių pagrindinių algebros kurso krypčių: skaičių sistemų, tapačiųjų pertvarkų, lygčių ir nelygybių, funkcijų. Nagrinėjant progresijas, būtina pirmiausia išnagrinėti skaičių sekas, kadangi tiek aritmetinė, tiek geometrinė progresijos visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos tam tikros savybės, kurias aptarsiu tolesnėje šio darbo eigoje.
Knygos „Įdomioji matematika“ septintame skyriuje yra rašoma apie seniausiąją progresiją. Ten rašoma, kad seniausias progresijos uždavinys, buvo užrašytas garsiame egiptiškame Rindo papiruse, kuris buvo atrastas prieš pusę amžiaus, parašytas apie 2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yra rastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Keletas šių senųjų uždavinių bus nagrinėjama ir šiame darbe.
Darbo tikslas: išanalizuoti progresijų apibrėžimus, pateikti pagrindines jų formules bei uždavinių pavyzdžius, aiškinančius progresijų savybes.
Darbo uždaviniai:
1) Susipažinti su skaičių sekos apibrėžimu bei jų rūšimis. Jas aiškinančių pavyzdžių pateikimas;
2) Progresijų bei jų savybių analizė, pateikiant jas aiškinančių pavyzdžių;
3) Aptarti pagrindines uždavinių apie progresijas kategorijas;
4) Pateikti uždavinių sprendimo pavyzdžių:
a) Senųjų;
b) Šiuolaikinių.
1. Skaičių seka
1.1 Sekos apibrėžimas
Skaičių seka vadinama skaitinė funkcija [pic], apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje [pic].
Sakykime, kiekvienam natūraliajam skaičiui priskirtas tam tikras realusis skaičius: skaičių 1 atitinka skaičius [pic], skaičių 2 – skaičius [pic], skaičių 3 – skaičius [pic],…, skaičių [pic] – skaičius [pic] ir t. t.
Tuomet sakome, kad apibrėžta skaičių seka, ir rašome: [pic], [pic], …, [pic], …, arba [pic]. Skaičius [pic]-tasis sekos narys.
Pavyzdys. [pic]. Ši seka sudaryta taip: kiekvieną natūralųjį skaičių atitinka jo kvadratas. Čia [pic]= [pic]
1.2 Sekos apibrėžimo būdai.
Norint išreikšti seką, reikia nurodyti, kaip rasti bet kurį jos narį, kai žinomas nario numeris. Taigi dabar turime išnagrinėti sekų reiškimo būdus.
Analizinis būdas.
Šiuo būdu seka apibrėžiama jos [pic]tojo nario formule, pagal kurią galima apskaičiuoti bet kurį sekos narį.
Pavyzdžiui formulė [pic]= [pic] apibrėžia seką [pic]kurios [pic]=[pic] t. y. seką [pic].
Rekurentinis būdas.
Tai būdas, kai kiekvienas sekos narys, pradedant nuo tam tikro, išreiškiamas pirmesniaisiais nariais. Apibrėžiant seką šiuo būdu, nurodomas jos pirmasis narys arba keli jos pirmieji nariai ir formulė, pagal kurią galima apskaičiuoti kiekvieną sekos narį žinant pirmesnius narius.
Pavyzdys. [pic].
Turime [pic]
Ir taip toliau, gauname seką:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… .
Kiekvienas jos narys, išskyrus du pirmuosius, lygus dviejų prieš jį einančių narių sumai.
Žodinis būdas.
Tai būdas, kai seka apibrėžiama žodine taisykle.
Taip, pavyzdžiui, galime sudaryti bet kurios begalinės periodinės trupmenos dešimtainių artinių su trūkumu seką. Antai trupmenos 0,(2) artinių su trūkumu seka:
0,2; 0,22; 0,222; 0,2222;… .
1.3 Didėjančios ir mažėjančios sekos.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys mažesnis už po jo einantį, t. y. kurios [pic] su kiekvienu [pic], vadiname didėjančia.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys didesnis už po jo einantį, t. y. kurios [pic] su kiekvienu [pic], vadiname mažėjančia.
Pavyzdžiai:
1) 1, 4, 9, 16, 25, …, [pic], …- didėjanti seka.
2) 2, 5, 8, 11, 14, …, [pic] didėjanti seka.
3) -1, -2, -3, -4, …, -[pic], … – mažėjanti seka.
4) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, [pic]- ši seka nėra nei didėjanti, nei mažėjanti.
5) 3, 3, 3, 3, …, 3, …- čia turime pastoviąją, arba stacionarinę seką.
Skaičių seką, kaip ir skaitinę funkciją, galima pavaizduoti taškais koordinačių plokštumoje. Kadangi skaičių seka yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis – natūraliųjų skaičių aibė N , tai jos grafikas yra aibė koordinačių plokštumos taškų, kurios abscisės – natūralieji skaičiai 1, 2,
3, …, n, …, o ordinatės – atitinkami sekos nariai.
2. Progresijos
2.1 Aritmetinės progresijos apibrėžimas ir savybės.
Apibrėžimas.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį esančiam nariui, sudėtam su tuo pačiu skaičiumi d, vadiname aritmetine progresija. Skaičius d- progresijos skirtumas.
Taigi aritmetinė progresija yra lygybe [pic] rekurentiškai apibrėžta seka.
Pavyzdžiui, [pic] ir t. t.
Kai d >0, tai aritmetinė progresija didėja, o kai d < 0- mažėja.
1 pavyzdys. 3, 5, 7, 9, 11, 13, …- tai aritmetinė progresija, kurios [pic].
2 pavyzdys. Sakykime, [pic] Šios sąlygos apibrėžia aritmetinę progresiją, kurios [pic][pic]
Gauname aritmetinę progresiją [pic].
3 pavyzdys. Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, …, 2, … yra aritmetinė progresija, kurios [pic].
Kartais nagrinėjama yra ne visa seka – aritmetinė progresija, o tik keli pirmieji jos nariai, tada yra kalbama apie baigtinę aritmetinę progresiją.
Nurodant, kad seka [pic] yra aritmetinė progresija, kartais yra rašoma taip:
[pic].
Savybės.
[pic]Aritmetinės progresijos n- ojo nario formulė:
[pic][pic][pic]
Pavyzdžiui, kai [pic].
[pic]baigtinės aritmetinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuo pradžios ir pabaigos, suma yra lygi kraštinių narių sumai. Aritmetinės progresijos [pic] pirmųjų n narių randama pagal formulę:
[pic]
Čia [pic]
[pic]Charakteristinė savybė: seka yra aritmetinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį ( ir paskutinįjį, kai aritmetinė progresija baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui:
[pic]
Pavyzdys. Bėgikas per pirmą minutę nubėgo 400 m, o per kiekvieną sekančią minutę bėgo 5 m mažiau negu per praėjusią. Kokį atstumą jis nubėgo per 1 h?
Sprendimas. Per pirmą minutę bėgikas nubėgo 400 m, per antrą – 395 m, per trečią – 390 m ir t. t. Skaičiai 400, 395, 390, … sudaro aritmetinę progresiją, kurios [pic] Per 1 h, t. y. per 60 min, nubėgtas atstumas lygus pirmųjų 60 progresijos narių sumai. Taikant (2) formulę, turime:
[pic]
Taigi per 1 h bėgikas nubėgo 15 km 150 m.
2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimas ir savybės.
Apibrėžimas.
Seką [pic][pic], kurios pirmasis narys nelygus nuliui ir kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančiam nariui, padauginant iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus q , vadiname geometrine progresija.
Skaičius q – progresijos vardiklis. Taigi geometrinė progresija yra lygybe [pic] kai [pic] rekurentiškai apibrėžta seka. Pavyzdžiui, [pic].
1 pavyzdys. 1, 2, 4, 8, 16, 32…- tai geometrinė progresija, kurios [pic]
2 pavyzdys. [pic] geometrinė progresija, kurios [pic]
3 pavyzdys. Sakykime, [pic] Šios sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją, kurios [pic]
Gauname geometrinę progresiją [pic].
4 pavyzdys. Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, …, 2, … yra geometrinė progresija, kurios [pic]
Kartais nagrinėjame ne visą seką – geometrinę progresiją, o tik jos kelis pirmuosius narius. Tada kalbama apie baigtinę geometrinę progresiją.
Nurodydami, kad seka [pic] yra geometrinė progresija, kartais yra rašoma taip:
[pic].
Savybės.
[pic]Geometrinės progresijos n – ojo nario formulė:
[pic]
[pic]Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulės:
[pic]
Čia [pic] kai q=1, tai [pic]
[pic] Charakteristinė savybė: seka yra geometrinė progresija tad air tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, kai geometrinė progresija baigtinė), susijęs su gretimais nariais formule:
[pic]
Pavyzdys. Raskite geometrinės progresijos, kurios [pic] aštuntąjį narį.
Sprendimas. Kadangi [pic] ([pic] savybė), tai 96= [pic] arba [pic].
Remiantis [pic] savybe, [pic]
iš čia [pic] arba [pic]
Bet [pic] Įrašę šią išraišką, randame:
[pic]
Žinodami [pic] ir q, apskaičiuosime [pic]
[pic]
2.3 Nykstamoji geometrinė progresija.
Apibrėžimas. Jeigu geometrinės progresijos [pic] vardiklis q moduliu mažesnis už vienetą, t. y. [pic] tai geometrinę progresiją vadiname nykstamąja.
Panagrinėkime seką [pic]. Tai geometrinė progresija, kurios [pic].
Pastebime, kad kuo didesnis n , tuo mažiau sekos narys skiriasi nuo nulio;
kuo didesnis n , tuo tikslesnė apytikslė lygybė [pic] čia [pic] Tokia pačia savybe pasižymi kiekviena begalinė geometrinė progresija, kurios [pic]
tokios progresijos [pic], ir ta lygybė tuo tikslesnė, kuo didesnis n .
Nagrinėkime tokios progresijos n narių sumą [pic] Kuo didesnis n, tuo mažiau [pic] skiriasi nuo skaičiaus [pic] Taigi iš to išeina, kad [pic] yra begalinės geometrinės progresijos, kurios [pic], suma, ir rašome [pic]
Minėta suma kartais dar žymima simboliu:
[pic] t. y. [pic]
Pavyzdys. Begalinę periodinę dešimtainę trupmeną 0,2(54) paverskime paprastąja trupmena.
Sprendimas. [pic]. Suma [pic] yra begalinės progresijos [pic] kurios vardiklis q lygus 0,01, suma.
Todėl [pic]
Vadinasi, [pic]
3. Uždaviniai
3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius.
Progresijų uždaviniai glaudžiai susiję su tapačiaisiais pertvarkiais, ypač su lygčių bei jų sistemų sprendimu. Baigtinės aritmetinės progresijos uždaviniuose operuojama 5 parametrais: [pic]( pirmasis narys, kitaip dar žymimas a), d (skirtumas), n (narių skaičius), [pic] (n-asis narys, kitaip dar žymimas u), [pic] (pirmųjų n narių suma, kitaip dar žymima S ).
Pagrindiniai aritmetinės progresijos uždaviniai yra tokie, kuriuose nurodyti kurie nors trys iš tų 5 skaičių, o kitus du reikia rasti.
Skirtingų uždavinių tipų yra [pic]. Jie pateikti šioje lentelėje:
Žinoma |a, d, n |a, d, u |a, d,
S |a, n, u |a, n,
S |a, u,
S |d, n, u |d, n,
S |d, u,
S |n, u,
S | |Nr. |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |Reikia rasti |u, S |n, S |n, u
|d, S |d, u |d, n |a, S |a, u |a, n |a, d | |
3.2 Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai.
Pateiksiu kelis šių uždavinių pavyzdžius. J. Teišerskio knygoje Algebros mokymo metodika pateiktas toks uždavinys:
Sąlyga: Trys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją. Jei prie pirmojo skaičiaus pridėtume 8 , tai gautume geometrinę progresiją, kurios narių suma lygi 26. Raskite tuos skaičius.
Sprendimas: Aritmetinės progresijos narius žymėkime [pic]
Geometrinės progresijos nariai bus [pic]
Sudarome lygčių sistemą [pic]
[pic]
Atsakymai bus 10;6;2 arba -6,6,18.
Knygos Matematikos repetitorius namuose 29 skyriuje pateikta taipogi keletas šių uždavinių. Norėčiau ir iš šios knygos pateikti vieną jų:
Sąlyga: Punktai A, B, C ir D išsidėstę ant vienos tiesės nurodyta tvarka.
Pėstysis eina iš A į D [pic]greičiu. Pasiekęs D, jis pasuka atgal ir ateina į punktą B, visam keliui sugaišęs 5 valandas. Žinoma, kad atstumą AC jis nueina per 3 val., o atstumai taro A ir B, B ir C, C ir D (duotąja tvarka)
sudaro geometrinę progresiją. Raskite atstumą tarp B ir C.
Sprendimas. Sakykime, kad AB= x km, BC= y km, CD= z km.
Pėstysis atstumą AB nueina 1 kartą, BC- 2 kartus, CD- du kartus.
Visas įveiktas atstumas lygus [pic]val=25 km.
Tada [pic]
Antrąją lygtį gauname, žinodami, kad atstumą AC nueina per 3 val., t. y.
[pic]
Trečiąją lygtį gauname pagal geometrinės progresijos apibrėžimą [pic]
Belieka sudaryti lygčių sistemą ir ją išspręsti:
[pic] [pic]
[pic]
Ats.: 5 km.
3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.
Kaip jau minėjau įvadinėje šio darbo dalyje, yra nuorašas matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Šio dokumento aritmetinių, algebrinių ir geometrinių uždavinių tarpe yra toks:
Uždavinys: Šimtą saikų grūdų reikia padalyti tarp penkių žmonių taip, kad antrasis gautų tiek daugiau už pirmąjį, kiek trečiasis gavo daugiau už antrąjį, ketvirtasis daugiau už trečiąjį ir penktasis daugiau už ketvirtąjį. Be to, pirmieji du turi gauti 7 kartus mažiau už likusius tris.
Kiek reikia duoti kiekvienam?
Sprendimas: Yra aišku, kad grūdų kiekiai, kuriuos gauna dalybų dalyviai, sudaro didėjančią aritmetinę progresiją. Sakykime, kad pirmasis jos narys x, skirtumas y ,tada
Pirmojo dalis x
Antrojo dalis x + y
Trečioja dalis x + 2y
Ketvirtojo dalis x + 3y
Penktojo dalis x+4y
Remdamiesi uždavinio sąlygomis, sudaromos šios dvi lygtys:
[pic]
Suprastinus pirmoji lygtis įgauna pavidalą:
x + 2y = 20, o antroji:
11 x = 2y
Išsprendę šią sistemą gauname:
[pic]
Vadinasi, grūdai turi būti padalyti į tokias dalis:
[pic]
Nepaisant to, kad šis progresijos uždavinys yra penkiasdešimties amžių senumo, mūsų mokyklose progresijos pasirodė palyginti neseniai. Magnickio vadovėlyje, kuris buvo išleistas prieš du šimtus metų ir pusę amžiaus buvo pagrindinis mokyklų vadovėlis, progresijos nors ir yra, bet bendrųjų formulių, kurios surištų į jas įeinančius dydžius tarp savęs, jame neduota.
Pats vadovėlio autorius todėl gan sunkiai susidorojo su tokiais uždaviniais. Štai vieno, gan komiško, uždavinio pavyzdys:
Uždavinys: Kažkas pardavė arklį už 156 rub. Bet pirkėjas apsigalvojo jo nepirkti ir grąžino pardavėjui ir pasakė, kad neapsimoka pirkti už šią kainą arklio, kuris tokių pinigų nevertas. Tada pardavėjas pasiūlė kitas sąlygas:
– Jei arklio kaina tau atrodo per aukšta, tai pirk tiktai jo pasagų vinis, o arklį tada pridėsiu nemokamai. Vinių kiekvienoje pasagoje 6. už pirmą vinį man duosi ¼ kap., už antrąją – ½., už trečiąją – 1 kap. Ir t. t.
Pirkėjas, žemos kainos suviliotas ir norėdamas nemokamai gauti arklį, priėmė pardavėjo sąlygas, tikėdamasis, kad už vinis teks užmokėti ne daugiau kaip 10 rublių.
Kiek pirkėjas prakišo?
Sprendimas: Už 24 pasagų vinis teko užmokėti [pic]
Ši suma yra lygi [pic] kap., t. y. apie 42 tūkstančius rublių. Tokiomis sąlygomis negaila ir arklį priedo duoti.
Taigi, tie patys pirmieji progresijų uždaviniai, buvo pateikiamo be formulių. Iš jų sąlygų turinio, galima daryti išvadą, kad jie atsirado, galbūt, per žmonių buitį. Knygoje „Įdomioji matematika“ pateikta daugiau tokių uždavinių, kaip „Daržo laistymas“, „Vištų lesinimas“, „Žemkasių artelė“, „Obuoliai“ ir kt.
Išvados
• Tiek aritmetinė, tiek geometrinė progresijos, visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos tam tikros savybės;
• Manau, kad pakankamai aiškiai išanalizavau progresijos apibrėžimą, savybes. Pateikti uždavinių pavyzdžiai pagerino protinį suvokimą.
• Seniausias progresijos uždavinys, buvo užrašytas garsiame egiptiškame
Rindo papiruse, kuris buvo atrastas prieš pusę amžiaus, parašytas apie
2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yra rastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą.
• Patys pirmieji progresijų uždaviniai, buvo pateikiama be formulių. Iš jų sąlygų turinio, galima daryti išvadą, kad jie atsirado, galbūt, per žmonių buitį.
Literatūros sąrašas
1. Gusevas V., Mordkovičius A. Matematika. Informacinė medžiaga.,
K.,Šviesa,-1990; psl. 134-141.
2. Grebeničenkaitė P. Tumėnaitė E.Matematikos repetitorius namuose.
Šiaurės Lietuva.-2002; psl. 75.
3. Kudžmienė A., Kudžma R. Sekos., V. Leidybos centras.-1995,psl. 102-
108;
4. Matematika 11 klasei (2 dalis)., V.-2002, psl. 69-94;
5. Matematika. K. Šviesa-1986, psl. 37;
6. Steponavičius A. Matematika 10-12 klasei, K., Šviesa- 1995, psl.31-53;
7. Teišerskis J. Algebros mokymo metodika, V., Mokslas-1988, psl. 64-68.