Progresijos

Klaipėdos universitetas Pedagogikos fakultetas Neakivaizdinis skyrius

JURINDA LUKOŠIŪTĖ

Vaikystės pedagogikos ir etikos specializacijos studijų programos IIIkurso, 3 grupės studentė

PROGRESIJOS

Matematikos kontrolinis darbas

Darbo vadovas Prof. D. Švitra

Klaipėda. 2004

Kontrolinio darbo planas

Įvadas1. Skaičių seka

1.1. Sekos apibrėžimas; 1.2. Sekos apibrėžimo būdai; 1.3. Didėjančios ir mažėjančios sekos.

2. Progresijos

2.1 Aritmetinės progresijos apibrėžimas bei savybės; 2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimai bei savybės; 2.3. Nykstamoji geometrinė progresija

3. Uždaviniai

3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius; 3.2. Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai; 3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.

IšvadosLiteratūros sąrašas

ĮvadasProgresijos yra algebros kurso dalis, tačiau šiek tiek nutolusi nuo keturiųpagrindinių algebros kurso krypčių: skaičių sistemų, tapačiųjų pertvarkų,lygčių ir nelygybių, funkcijų. Nagrinėjant progresijas, būtina pirmiausiaišnagrinėti skaičių sekas, kadangi tiek aritmetinė, tiek geometrinėprogresijos visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingostam tikros savybės, kurias aptarsiu tolesnėje šio darbo eigoje.Knygos „Įdomioji matematika“ septintame skyriuje yra rašoma apieseniausiąją progresiją. Ten rašoma, kad seniausias progresijos uždavinys,buvo užrašytas garsiame egiptiškame Rindo papiruse, kuris buvo atrastasprieš pusę amžiaus, parašytas apie 2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yrarastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, galbūt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Keletas šių senųjų uždaviniųbus nagrinėjama ir šiame darbe.Darbo tikslas: išanalizuoti progresijų apibrėžimus, pateikti pagrindines jųformules bei uždavinių pavyzdžius, aiškinančius progresijų savybes.Darbo uždaviniai: 1) Susipažinti su skaičių sekos apibrėžimu bei jų rūšimis. Jas aiškinančių pavyzdžių pateikimas; 2) Progresijų bei jų savybių analizė, pateikiant jas aiškinančių

pavyzdžių; 3) Aptarti pagrindines uždavinių apie progresijas kategorijas; 4) Pateikti uždavinių sprendimo pavyzdžių: a) Senųjų; b) Šiuolaikinių.

1. Skaičių seka1.1 Sekos apibrėžimasSkaičių seka vadinama skaitinė funkcija [pic], apibrėžta natūraliųjųskaičių aibėje [pic].Sakykime, kiekvienam natūraliajam skaičiui priskirtas tam tikras realusisskaičius: skaičių 1 atitinka skaičius [pic], skaičių 2 – skaičius [pic],skaičių 3 – skaičius [pic],…, skaičių [pic] – skaičius [pic] ir t. t.Tuomet sakome, kad apibrėžta skaičių seka, ir rašome: [pic], [pic], …,[pic], …, arba [pic]. Skaičius [pic]-tasis sekos narys.Pavyzdys. [pic]. Ši seka sudaryta taip: kiekvieną natūralųjį skaičiųatitinka jo kvadratas. Čia [pic]= [pic]1.2 Sekos apibrėžimo būdai.Norint išreikšti seką, reikia nurodyti, kaip rasti bet kurį jos narį, kaižinomas nario numeris. Taigi dabar turime išnagrinėti sekų reiškimo būdus.Analizinis būdas.Šiuo būdu seka apibrėžiama jos [pic]tojo nario formule, pagal kurią galimaapskaičiuoti bet kurį sekos narį.Pavyzdžiui formulė [pic]= [pic] apibrėžia seką [pic]kurios[pic]=[pic] t. y. seką [pic].Rekurentinis būdas.Tai būdas, kai kiekvienas sekos narys, pradedant nuo tam tikro,išreiškiamas pirmesniaisiais nariais. Apibrėžiant seką šiuo būdu, nurodomasjos pirmasis narys arba keli jos pirmieji nariai ir formulė, pagal kuriągalima apskaičiuoti kiekvieną sekos narį žinant pirmesnius narius.Pavyzdys. [pic].Turime [pic]Ir taip toliau, gauname seką: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… .Kiekvienas jos narys, išskyrus du pirmuosius, lygus dviejų prieš jįeinančių narių sumai.Žodinis būdas.Tai būdas, kai seka apibrėžiama žodine taisykle.Taip, pavyzdžiui, galime sudaryti bet kurios begalinės periodinės trupmenosdešimtainių artinių su trūkumu seką. Antai trupmenos 0,(2) artinių sutrūkumu seka:

0,2; 0,22; 0,222; 0,2222;… .1.3 Didėjančios ir mažėjančios sekos.Seką [pic] kurios kiekvienas narys mažesnis už po jo einantį, t. y. kurios[pic] su kiekvienu [pic], vadiname didėjančia.Seką [pic] kurios kiekvienas narys didesnis už po jo einantį, t. y. kurios[pic] su kiekvienu [pic], vadiname mažėjančia.Pavyzdžiai: 1) 1, 4, 9, 16, 25, …, [pic], …- didėjanti seka. 2) 2, 5, 8, 11, 14, …, [pic] didėjanti seka. 3) -1, -2, -3, -4, …, -[pic], … – mažėjanti seka. 4) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, [pic]- ši seka nėra nei didėjanti, nei mažėjanti. 5) 3, 3, 3, 3, …, 3, …- čia turime pastoviąją, arba stacionarinę seką.

Skaičių seką, kaip ir skaitinę funkciją, galima pavaizduoti taškaiskoordinačių plokštumoje. Kadangi skaičių seka yra funkcija, kuriosapibrėžimo sritis – natūraliųjų skaičių aibė N , tai jos grafikas yra aibėkoordinačių plokštumos taškų, kurios abscisės – natūralieji skaičiai 1, 2,3, …, n, …, o ordinatės – atitinkami sekos nariai.

2. Progresijos2.1 Aritmetinės progresijos apibrėžimas ir savybės.Apibrėžimas.Seką [pic] kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jįesančiam nariui, sudėtam su tuo pačiu skaičiumi d, vadiname aritmetineprogresija. Skaičius d- progresijos skirtumas.Taigi aritmetinė progresija yra lygybe [pic] rekurentiškai apibrėžta seka.Pavyzdžiui, [pic] ir t. t.Kai d >0, tai aritmetinė progresija didėja, o kai d < 0- mažėja.1 pavyzdys. 3, 5, 7, 9, 11, 13, …- tai aritmetinė progresija,kurios [pic].2 pavyzdys. Sakykime, [pic] Šios sąlygos apibrėžia aritmetinęprogresiją, kurios [pic][pic]Gauname aritmetinę progresiją [pic].3 pavyzdys. Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, …, 2, … yra aritmetinėprogresija, kurios [pic].Kartais nagrinėjama yra ne visa seka – aritmetinė progresija, o tik kelipirmieji jos nariai, tada yra kalbama apie baigtinę aritmetinę progresiją.Nurodant, kad seka [pic] yra aritmetinė progresija, kartais yra rašomataip: [pic].Savybės.[pic]Aritmetinės progresijos n- ojo nario formulė:

[pic][pic][pic]Pavyzdžiui, kai [pic].[pic]baigtinės aritmetinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuopradžios ir pabaigos, suma yra lygi kraštinių narių sumai. Aritmetinėsprogresijos [pic] pirmųjų n narių randama pagal formulę: [pic]Čia [pic][pic]Charakteristinė savybė: seka yra aritmetinė progresija tada ir tiktada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį ( ir paskutinįjį, kaiaritmetinė progresija baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniamvidurkiui: [pic]Pavyzdys. Bėgikas per pirmą minutę nubėgo 400 m, o per kiekvieną sekančiąminutę bėgo 5 m mažiau negu per praėjusią. Kokį atstumą jis nubėgo per 1 h?Sprendimas. Per pirmą minutę bėgikas nubėgo 400 m, per antrą – 395 m, pertrečią – 390 m ir t. t. Skaičiai 400, 395, 390, … sudaro aritmetinęprogresiją, kurios [pic] Per 1 h, t. y. per 60 min, nubėgtas atstumas lyguspirmųjų 60 progresijos narių sumai. Taikant (2) formulę, turime: [pic]Taigi per 1 h bėgikas nubėgo 15 km 150 m.

2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimas ir savybės.Apibrėžimas.Seką [pic][pic], kurios pirmasis narys nelygus nuliui ir kurios kiekvienasnarys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančiam nariui, padauginant išto paties nelygaus nuliui skaičiaus q , vadiname geometrine progresija.Skaičius q – progresijos vardiklis. Taigi geometrinė progresija yra lygybe[pic] kai [pic] rekurentiškai apibrėžta seka. Pavyzdžiui, [pic].1 pavyzdys. 1, 2, 4, 8, 16, 32…- tai geometrinė progresija, kurios [pic]2 pavyzdys. [pic] geometrinė progresija, kurios [pic]3 pavyzdys. Sakykime, [pic] Šios sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją,kurios [pic]Gauname geometrinę progresiją [pic].4 pavyzdys. Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, …, 2, … yra geometrinėprogresija, kurios [pic]Kartais nagrinėjame ne visą seką – geometrinę progresiją, o tik jos kelispirmuosius narius. Tada kalbama apie baigtinę geometrinę progresiją.Nurodydami, kad seka [pic] yra geometrinė progresija, kartais yra rašomataip: [pic].Savybės.[pic]Geometrinės progresijos n – ojo nario formulė:

[pic][pic]Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulės:[pic]Čia [pic] kai q=1, tai [pic][pic] Charakteristinė savybė: seka yra geometrinė progresija tad air tiktada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, kaigeometrinė progresija baigtinė), susijęs su gretimais nariais formule: [pic]

Pavyzdys. Raskite geometrinės progresijos, kurios [pic] aštuntąjį narį.Sprendimas. Kadangi [pic] ([pic] savybė), tai 96= [pic] arba [pic].Remiantis [pic] savybe,[pic]iš čia[pic] arba [pic]Bet [pic] Įrašę šią išraišką, randame:[pic]Žinodami [pic] ir q, apskaičiuosime [pic][pic]

2.3 Nykstamoji geometrinė progresija.Apibrėžimas. Jeigu geometrinės progresijos [pic] vardiklis q moduliumažesnis už vienetą, t. y. [pic] tai geometrinę progresiją vadinamenykstamąja.Panagrinėkime seką [pic]. Tai geometrinė progresija, kurios [pic].Pastebime, kad kuo didesnis n , tuo mažiau sekos narys skiriasi nuo nulio;kuo didesnis n , tuo tikslesnė apytikslė lygybė [pic] čia [pic] Tokia pačiasavybe pasižymi kiekviena begalinė geometrinė progresija, kurios [pic]tokios progresijos [pic], ir ta lygybė tuo tikslesnė, kuo didesnis n .Nagrinėkime tokios progresijos n narių sumą [pic] Kuo didesnis n, tuomažiau [pic] skiriasi nuo skaičiaus [pic] Taigi iš to išeina, kad [pic] yrabegalinės geometrinės progresijos, kurios [pic], suma, ir rašome [pic]Minėta suma kartais dar žymima simboliu:

[pic] t. y. [pic]Pavyzdys. Begalinę periodinę dešimtainę trupmeną 0,2(54) paverskimepaprastąja trupmena.Sprendimas. [pic]. Suma[pic] yra begalinės progresijos [pic] kurios vardiklis q lygus 0,01, suma.Todėl [pic]Vadinasi, [pic]

3. Uždaviniai3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius.Progresijų uždaviniai glaudžiai susiję su tapačiaisiais pertvarkiais, ypačsu lygčių bei jų sistemų sprendimu. Baigtinės aritmetinės progresijosuždaviniuose operuojama 5 parametrais: [pic]( pirmasis narys, kitaip daržymimas a), d (skirtumas), n (narių skaičius), [pic] (n-asis narys, kitaip

dar žymimas u), [pic] (pirmųjų n narių suma, kitaip dar žymima S ).Pagrindiniai aritmetinės progresijos uždaviniai yra tokie, kuriuosenurodyti kurie nors trys iš tų 5 skaičių, o kitus du reikia rasti.Skirtingų uždavinių tipų yra [pic]. Jie pateikti šioje lentelėje:

Žinoma |a, d, n |a, d, u |a, d, S |a, n, u |a, n, S |a, u, S |d, n, u |d, n, S |d, u, S |n, u, S | |Nr. |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |Reikia rasti |u, S |n, S |n, u|d, S |d, u |d, n |a, S |a, u |a, n |a, d | |3.2 Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai.Pateiksiu kelis šių uždavinių pavyzdžius. J. Teišerskio knygoje Algebrosmokymo metodika pateiktas toks uždavinys:Sąlyga: Trys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją. Jei prie pirmojoskaičiaus pridėtume 8 , tai gautume geometrinę progresiją, kurios nariųsuma lygi 26. Raskite tuos skaičius.Sprendimas: Aritmetinės progresijos narius žymėkime [pic]Geometrinės progresijos nariai bus [pic]Sudarome lygčių sistemą [pic] [pic]

Atsakymai bus 10;6;2 arba -6,6,18.Knygos Matematikos repetitorius namuose 29 skyriuje pateikta taipogikeletas šių uždavinių. Norėčiau ir iš šios knygos pateikti vieną jų:Sąlyga: Punktai A, B, C ir D išsidėstę ant vienos tiesės nurodyta tvarka.Pėstysis eina iš A į D [pic]greičiu. Pasiekęs D, jis pasuka atgal ir ateinaį punktą B, visam keliui sugaišęs 5 valandas. Žinoma, kad atstumą AC jisnueina per 3 val., o atstumai taro A ir B, B ir C, C ir D (duotąja tvarka)sudaro geometrinę progresiją. Raskite atstumą tarp B ir C.Sprendimas. Sakykime, kad AB= x km, BC= y km, CD= z km.Pėstysis atstumą AB nueina 1 kartą, BC- 2 kartus, CD- du kartus.Visas įveiktas atstumas lygus [pic]val=25 km.Tada [pic]Antrąją lygtį gauname, žinodami, kad atstumą AC nueina per 3 val., t. y.

[pic]Trečiąją lygtį gauname pagal geometrinės progresijos apibrėžimą [pic]Belieka sudaryti lygčių sistemą ir ją išspręsti: [pic] [pic][pic]Ats.: 5 km.

3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.Kaip jau minėjau įvadinėje šio darbo dalyje, yra nuorašas matematiniokūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Šiodokumento aritmetinių, algebrinių ir geometrinių uždavinių tarpe yra toks:Uždavinys: Šimtą saikų grūdų reikia padalyti tarp penkių žmonių taip, kadantrasis gautų tiek daugiau už pirmąjį, kiek trečiasis gavo daugiau užantrąjį, ketvirtasis daugiau už trečiąjį ir penktasis daugiau užketvirtąjį. Be to, pirmieji du turi gauti 7 kartus mažiau už likusius tris.Kiek reikia duoti kiekvienam?Sprendimas: Yra aišku, kad grūdų kiekiai, kuriuos gauna dalybų dalyviai,sudaro didėjančią aritmetinę progresiją. Sakykime, kad pirmasis jos narysx, skirtumas y ,tadaPirmojo dalis xAntrojo dalis x + yTrečioja dalis x + 2yKetvirtojo dalis x + 3yPenktojo dalis x+4y

Remdamiesi uždavinio sąlygomis, sudaromos šios dvi lygtys: [pic]Suprastinus pirmoji lygtis įgauna pavidalą:x + 2y = 20,o antroji:11 x = 2yIšsprendę šią sistemą gauname:[pic]Vadinasi, grūdai turi būti padalyti į tokias dalis:[pic]

Nepaisant to, kad šis progresijos uždavinys yra penkiasdešimties amžiųsenumo, mūsų mokyklose progresijos pasirodė palyginti neseniai. Magnickiovadovėlyje, kuris buvo išleistas prieš du šimtus metų ir pusę amžiaus buvopagrindinis mokyklų vadovėlis, progresijos nors ir yra, bet bendrųjųformulių, kurios surištų į jas įeinančius dydžius tarp savęs, jame neduota.Pats vadovėlio autorius todėl gan sunkiai susidorojo su tokiaisuždaviniais. Štai vieno, gan komiško, uždavinio pavyzdys:Uždavinys: Kažkas pardavė arklį už 156 rub. Bet pirkėjas apsigalvojo jo

nepirkti ir grąžino pardavėjui ir pasakė, kad neapsimoka pirkti už šiąkainą arklio, kuris tokių pinigų nevertas. Tada pardavėjas pasiūlė kitassąlygas: – Jei arklio kaina tau atrodo per aukšta, tai pirk tiktai jo pasagų vinis, o arklį tada pridėsiu nemokamai. Vinių kiekvienoje pasagoje 6. už pirmą vinį man duosi ¼ kap., už antrąją – ½., už trečiąją – 1 kap. Ir t. t.Pirkėjas, žemos kainos suviliotas ir norėdamas nemokamai gauti arklį,priėmė pardavėjo sąlygas, tikėdamasis, kad už vinis teks užmokėti nedaugiau kaip 10 rublių.Kiek pirkėjas prakišo?Sprendimas: Už 24 pasagų vinis teko užmokėti [pic]Ši suma yra lygi [pic] kap.,t. y. apie 42 tūkstančius rublių. Tokiomis sąlygomis negaila ir arklįpriedo duoti.Taigi, tie patys pirmieji progresijų uždaviniai, buvo pateikiamo beformulių. Iš jų sąlygų turinio, galima daryti išvadą, kad jie atsirado,galbūt, per žmonių buitį. Knygoje „Įdomioji matematika“ pateikta daugiautokių uždavinių, kaip „Daržo laistymas“, „Vištų lesinimas“, „Žemkasiųartelė“, „Obuoliai“ ir kt. Išvados

• Tiek aritmetinė, tiek geometrinė progresijos, visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos tam tikros savybės; • Manau, kad pakankamai aiškiai išanalizavau progresijos apibrėžimą, savybes. Pateikti uždavinių pavyzdžiai pagerino protinį suvokimą. • Seniausias progresijos uždavinys, buvo užrašytas garsiame egiptiškame Rindo papiruse, kuris buvo atrastas prieš pusę amžiaus, parašytas apie 2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yra rastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. • Patys pirmieji progresijų uždaviniai, buvo pateikiama be formulių. Iš jų sąlygų turinio, galima daryti išvadą, kad jie atsirado, galbūt, per

žmonių buitį.

Literatūros sąrašas

1. Gusevas V., Mordkovičius A. Matematika. Informacinė medžiaga., K.,Šviesa,-1990; psl. 134-141. 2. Grebeničenkaitė P. Tumėnaitė E.Matematikos repetitorius namuose. Šiaurės Lietuva.-2002; psl. 75. 3. Kudžmienė A., Kudžma R. Sekos., V. Leidybos centras.-1995,psl. 102- 108; 4. Matematika 11 klasei (2 dalis)., V.-2002, psl. 69-94; 5. Matematika. K. Šviesa-1986, psl. 37; 6. Steponavičius A. Matematika 10-12 klasei, K., Šviesa- 1995, psl.31-53; 7. Teišerskis J. Algebros mokymo metodika, V., Mokslas-1988, psl. 64-68.