1. Užduotis.
Apskaičiuokite: a) (A+2BT)C b) 3B+2C , kai
|A= | 5 2 |B= | |C= | |BT=|3 -2 || |-2 4 | |3 1 7 | |-1 -1 | |1 3 || |2 1 | |-2 3 5 | |2 | |7 5 || | | | | |-2 3 | | || | | | | |-2 | | |
a) ( A + 2BT ) C
| | 5 | 3 | 5 2 | 6 -4|5+6 |11 ||A + 2BT |2 |-2 |-2 4 |2 6 |2+(-4) |-2 ||= |-2 |+ 2 1 |+ |= |(-2)+2 4+6 |0 || |4 |3 = |2 1 |14 10 |= |10 || |2 |7 5 | | |2+14 1+10 |16 || |1 | | | | |11 |
| |11 | | |11*(-1)+(-2)*(-2) 11*(-1)+(-2)*3 ||( A + 2BT ) |-2 |-1 -1 |=|11*2+(-2)*(-2) ||C = |0 |2 | |0*(-1)+10*(-2) 0*(-1)+10*3 || |10 |-2 3 | |0*2+10*(-2) = || |16 |-2 | |16*(-1)+11*(-2) 16*(-1)+11*3 || |11 | | |16*2+11*(-2) |
| |(-11)+4 (-11)+(-6) | -7 -17 ||= |22+4 |26 || |0+(-20) 0+30 |-20 30 || |0+(-20) = |-20 || |(-16)+(-22) (-16)+33 |-38 17 || |32+(-22) |10 |
b) 3B + 2C
|3| 3 1 |+2| -1 -1|=| 9 3 |+|-2 -2|=| 7 1 25 || |7 | |2 | |21 | |4 | |-10 15 11 || |-2 3 | |-2 3 | |-6 9 | |-4 6| | || |5 | |-2 | |15 | |-4 | | |
2. Užduotis.
Apskaičiuokite determinantą:
| 2 4 | |=| 2 0 |=|1*(-1)4| ||2 4 | | |0 -2 | |+3 |2 0 -2 ||-2 1 | | |-2 1 0| | |-2 1 -1||0 -1 |*2+ | |-1 | | |= ||3 -6 -2|*(-2)+ | |3 -2 0 | | |3 -2 8 ||2 | | |8 | | | ||0 2 1| | |0 2 1 | | | ||3 | | |3 | | | |
=(-1) * (16+0-8+6-0-4)=(-1) * 10=-10
3. Užduotis.
Sudarykite atvirkštinę matricą , kai
4 0 1 A = -2 1 1 1 -2 2
det A = 8+0+4-1-0+8=19
|A11=(-1)1| 1 |=2+2=4 ||+1 |1 | || |-2 | || |2 | || | | ||A12=(-1)1|-2 |=-(-4-1)=5 ||+2 |1 | || |1 2| || | | ||A13=(-1)1|-2 |=4-1=3 ||+3 |1 | || |1 | || |-2 | || | | ||A21=(-1)2| 0 |=-(0+2)=-2 ||+1 |1 | || |-2 | || |2 | || | | ||A22=(-1)2|4 1|=8-1=7 ||+2 |1 2| || | | ||A23=(-1)2| 4 |=-(-8-0)=8 ||+3 |0 | || |1 | || |-2 | || | | ||A31=(-1)3|0 1|=0-1=-1 ||+1 |1 1| || | | ||A32=(-1)3| 4 |=-(4+2)=-6 ||+2 |1 | || |-2 | || |1 | || | | ||A33=(-1)3| 4 |=4+0=4 ||+3 |0 | || |-2 | || |1 | |
|A-1 * A=|4 -2 | 4 0 |4*4+(-2)*(-2)+(-1)*1 4*0+(-2)*1+(-1)*(-2) || |-1 |1 |4*1+(-2)*1+(-1)*2 || |5 7 |-2 1 |5*4+7*(-2)+(-6)*1 5*0+7*1+(-6)*(-2) || |-6 * |1 = |5*1+7*1+(-6)*2 = || |3 8 |1 -2 |3*4+8*(-2)+4*1 3*0+8*1+4*(-2) || |4 |2 |3*1+8*1+4*2 |
| 16+4-1 0-2+2 |19 0 0 ||4-2-2 |0 19 0 ||= 20-14-6 0+7+12 |0 0 19 ||5+7-12 = | ||12-16+4 0+8-8 3+8+8 | |
|A-1=1/19|4 -2 -1| 4 0 1 |1/19|19 0 0|| |5 7 -6|-2 1 1 | |0 19 0|| |* |= | |0 0 19|| |3 8 4|1 -2 2 | | |
4. Užduotis.
Išspręskite lygčių sistemą determinantų pagalba ir atvirkštinės matricosmetodu:
x + 2y + z = 4 3x – 5y + 3z = 1 2x + 7y – z = 8
a) Sprendimas atvirkštinės matricos metodu
A – pagrindinė matrica iš koeficientų prie nežinomųjų; X – nežinomųjų matrica; B – laisvųjų radikalų matrica.
|A= |1 2 1 |X= |x |B= |4 || |3 -5 3 | |y | |1 || |2 7 -1 | |z | |8 |
det A= 5+12+21+10+6-21=33
|A11=(-1)1|-5 |=5-21=-16 ||+1 |3 | || |7 | || |-1 | || | | ||A12=(-1)1| 3 |=-(-3-6)=9 ||+2 |3 | || |2 -1| || | | ||A13=(-1)1|3 |=21+10=31 ||+3 |-5 | || |2 | || |7 | || | | ||A21=(-1)2| 2 |=-(-2-7)=9 ||+1 |1 | || |7 | || |-1 | || | | ||A22=(-1)2|1 |=(-1)-2=-3 ||+2 |1 | || |2 | || |-1 | || | | ||A23=(-1)2| 1 |=-(7-4)=-3 ||+3 |2 | || |2 7| || | | ||A31=(-1)3| 2 |=6+5=11 ||+1 |1 | || |-5 | || |3 | || | | ||A32=(-1)3| 1 |=-(3-3)=0 |
|+2 |1 | || |3 3| || | | ||A33=(-1)3| 1 |=(-5)-6=-11 ||+3 |2 | || |3 | || |-5 | |x=A-1*B
| |-16 9 |4 |1/33 *|(-16)*4+9*1+11*8 |(-64)+9+88 ||x=1/3|11 |1 | |9*4+(-3)*1+0*8 |36+(-3)+0 ||3 |9 -3 |= | |= 1/33 * |= || |0 * |8 | |31*4+(-3)*1+(-11)*8 |124+(-3)+(-88)|| |31 -3 | | | | || |-11 | | | | |
|=1/33|33 |1 || |33 |1 || |= |1 || |33 | |
| x + 2y + z = 4 | 1 + 2*1 + 1 = 4 ||3x – 5y + 3z = 1 |3*1 – 5*1 + 3*1 = 1 ||2x + 7y – z = 8 |2*1 + 7*1 – 1 = 8 |
b) Sprendimas determinantų pagalba
x + 2y + z = 4 3x – 5y + 3z = 1 2x + 7y – z = 8
|∆= |1 2 |= 5+12+21+10+6-21=33 || |1 | || |3 -5 | || |3 | || |2 7 | || |-1 | || | | ||∆x= |4 2 |= 20+48+7+40+2-84=33 || |1 | || |1 -5 | || |3 | || |8 7 | || |-1 | || | | ||∆y= |1 4 |= (-1)+24+24-2+12-24=33 || |1 | || |3 1 | || |3 | || |2 8 | || |-1 | || | | ||∆z= |1 2 |= (-40)+4+84+40-48-7=33 || |4 | || |3 -5 | || |1 | || |2 7 | || |8 | |
|x=|∆x |=|33 |=1 || |∆ | |33 | ||y=|∆y |=|33 |=1 || |∆ | |33 | ||z=|∆z |=|33 |=1 || |∆ | |33 | |
| x + 2y + z = 4 | 1 + 2*1 + 1 = 4 ||3x – 5y + 3z = 1 |3*1 – 5*1 + 3*1 = 1 ||2x + 7y – z = 8 |2*1 + 7*1 – 1 = 8 |
5. Užduotis.
|Ekonominės sistemos technologinė | 0 |. Koks turi būti gamybos ||matrica A = |0,5 |planas || |0,6 | || |0,4 | |
X = ( x1x2 )T , kad būtų patenkinta paklausa C = ( 50 200 )T ?
| | 0 |X = ( x1x2|X = |x1 |C = ( 50 |C = | 50 ||A= |0,5 |)T | |x2 |200 )T | |200 || |0,6 | | | | | | || |0,4 | | | | | | |
( E – A ) * X = C
|0 |-| 0 |*|x1 |=| 50 ||0 1 | |0,5 | |x2 | |200 || | |0,6 | | | | || | |0,4 | | | | |
x1 – 0,5 x2 = 50 / *0,6 -0,6 x1 + 0,6 x2 = 200
x1 – 0,5 x2 = 50 0,3 x2 = 230
x1 – 0,5 x2 = 50 x2 = 230 / 0,3 = 766,7
x1 – 0,5 *766,7 = 50 x2 = 766,7
x1 – 383,4 = 50 x2 = 766,7
x1 = 50 + 383,4 x2 = 766,7
x1 = 433,4 x2 = 766,7
433,4 766,7
———————– 2 4 2 4-2 1 0 -1 3 -6 -2 2 0 2 1 3