Matematikos gimimas

MATEMATIKOS GIMIMAS

Kiekvieno mokslo istorija yra savotiška jo biografija. Įvairiai dėstomos biografijos, tačiau tikriausiai visi sutiks, kad išsami biografija turi apimti aprašomąjį gyvenimą nuo pat pradžių. Taigi pirmiausia būtina nustatyti herojaus gimimo datą ir vietą. Tai išties keblu, kai aprašomasis herojus yra toks mokslas, kaip matematika. Todėl, norint parašyti šio mokslo “biografiją”, pirmiausia tenka atsakyti į klausimą: “kada atsirado matematika?”

Kada atsirado matematika

Šis klausimas nėra toks paprastas, koks atrodo iš pirmo žvilgsnio. Norėdami į jį atsakyti, galvas laužo ne tik matematikai bei mokslo istorikai, bet ir filosofai, archeologai, etnografai. Atsakymas niekuomet nebus išsamus, jei mes iš pat pradžių neišsiaiškinsime, kas gi yra toji matematika. Visi žino, kad matematika – tai aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija ir t. t. tačiau paklausus, kodėl aritmetika ar algebra yra matematika, dauguma sutriktų. Tad klausimas – kas yra matematika – anaiptol nėra aiškus. Per visą matematikos raidą buvo pateikta daugybė įvairių apibrėžimų, kurie vis kitaip nusakydavo jos esmę.Pasak vienos legendos, senovės graikų matematikas Pitagoras (V a. pr. m. e. ) į smalsuolio klausimą, kas yra matematika, taip atsakęs. “Kalbi graikiškai, o nežinai kas yra matematika. Mathematike – tai juk mathema, mathesis,- vadinasi, žinojimas, pažinimas. Be šios, tas žodis neturi kitų prasmių”. Kitam graikų išminčiui Platonui matematika tilpo geometrijos rėmuose. Gal todėl jis prie savo mokyklos – Akademijos – durų pakabino reikalavimą: “Tegu čia neįžiangia tas, kas nemoka geometrijos”. Ankstyvųjų viduramžių arabų mokslininkams matematika – tai al gabr (nario perkėlimas iš vienos lygybės pusės į kitą )ir al mukabala (panašių narių traukimas t. y. algebra. Žymus XVII a. prancūzų filosofas ir matematikas R. Dekartas, nusprendęs suvienyti visas matematikos šakas, taip nusakė jos esmę: “Kiekvienas, geriau pagalvojęs,supras, kad matematikai priskiriami tik tie mokslai, kurie nagrinėja arba tvarką, arba matą; ir visiškai nesvarbu, ar šis matas bus ieškomas skaičiams, figūroms, žvaigždėms, garsams ar kokiam nors kitam dalykui”. Matematinės analizės kūrėjui G. Leibnichui matematika buvo mokslas apie funkcijas. Mokslinio komunizmo kūrėjas F. Engelsas taip apibūdino šį mokslą: “Matematika yra mokslas apie realaus pasaulio erdvines formas ir kiekybinius santykius”. XX a. pradžioje kilusi matematikos pagrindų krizė, susijusi su begalybės problema, paskatino vokiečių matematiką H. Velį ( H. Weyl, 1885-1955 ) matematiką apibūdinti kaip mokslą apie begalybę. O prancūzų matematikų grupei, prisidengusiai N. Burbaki ( N. Bourbaki ) vardu, matematika – tai “mokslas apie matematines struktūras”. Matome, kad nebuvo ir nėra amžinio, galutinio matematikos apibrėžimo. Kiekvienas apibrėžimas atskleisdavo tą matematikos dalį, kuri tuomet būdavo labiausiai nagrinėjama, aktualiausia. Ilgainiui matematikos turinys keitėsi, tad ir jos apibrėžimas pasirodydavo esąs per siauras. Be to, matematikos apibrėžimas priklauso ir nuo konkrečiu laikotarpiu egzistuojančių filosofinių pažiūrų į mokslą bei jo šakas. Tačiau jei mes negalime pateikti tikslaus matematinio apibrėžimo, tai dar nereiškia, kad iš viso neįmanoma apibūdinti šio mokslo. Prisiminkime, kaip apibrėžė matematiką F. Engelsas. Jis ne tik nurodė matematikos šaknis – praktiką ( ko nėra idealistiniame N. Burbaki apibrėžime ), bet ir nusakė matematiką esant mokslą apie dydžius ( čia dydis suprantamas bendriausia prasme, kaip matematinis objektas, pavyzdžiui skaičius, figūra ir t. t. ).

Vadinasi, klausimą – kada atsirado matematika – mes galime pakeisti jam analogišku – kada žmogus pirmą kartą susidomėjo dydžiu, t. y., kada jis išmoko skaičiuoti, pradėjo suvokti geometrines figūras. Ir čia iškyla alternatyva. Pagal vieną prielaidą matematikos užuomazgos atsirado vos tik žmogus pradėjo mąstyti , t. y. tapo Homo sapiens ( žmogumi – protinga būtybe ). Kita prielaida – šių procesų ( mąstymo ir gebėjimo skaičiuoti, suvokti geometrines figūras ) pradžią skiria gana ilgas laiko tarpas. Pastaroji hipotezė neatrodo įtikinanti. Jau paprasčiausių darbo įrankių, kurių dėka ir atsirado Homo sapiens, gamyba vertė pirmykštį žmogų susidomėti geometrine forma. Šis dėmesys ypač padidėjo, įpratus naudotis ugnimi, stebint jos besikaitaliojančią formų liepsną. Ne veltui mitinis Prometėjas, žmonėms atnešė ugnį, juos moko ir skaičiuoti. Pačioje Homo sapiens istorijos pradžioje atsirado ne gebėjimas skaičiuoti, o figūros suvokimas. Tai ryškiai atspindi tuomet suklestėjęs ornamento menas. Žinoma, nereikia manyti, kad apie skaičiavimą anuo metu iš viso negalime kalbėti. Stebint įvairias panašias figūras, žmogui turėjo kilti mintis apie jų galimą kiekybinį palyginimą. Besiplečiant praktinė veikla reikalavo vis didesnių skaičiavimo įgūdžių. K. Marksas yra pabrėžęs, kad skaičiavimas – pirmoji teorinė veikla mintijimo, kuris dar svyruoja tarp jutiminio patyrimo ir mąstymo. Skaičius yra pirmasis idealizuotas objektas žmonijos kultūros istorijoje. Kai kurie etnografai, tyrinėję atsilikusias tautas, teigia, kad jos geba skaičiuoti tik iki 3 ar 4. Šis teiginys grindžiamas tuo, kad jų kalboje nėra kitokių skaitvardžių. Tai nereiškia, jog būtent tais skaičiais ir baigiamas praktinis skaičiavimas,- juk skaičiuoti galima ir pirštais ar įdrožomis. Tačiau žyminis skaičiavimas ( skaičiuojamiems objektams priskiriami etaloniniai vienetai, pvz., lazdelės ) kažin ar sietinas su skaičiaus sąvoka. Juk anas pirmykštis žmogus žinojo tik kiekį ( pavyzdžiui, lazdelių ), bet nesuvokė skaičiaus. Vis dėl to šiuo keliu ilgainiui ir buvo prieita prie skaičiaus sampratos. Priskyrus dvylika lazdelių ir dvylikai galvijų, ir dvylikai dienų, kyla mintis, kad pastaruosius objektus jungia tai, jog jų yra dvylika. Tad matematikos gimimą reikia sieti su paties žmogaus – Homo sapiens – atsiradimu. Ne veltui tarybinis filosofas A. Čanyševas rašo: “Mąstymo kalvė – matematika, kad ir kokia primityvi ar empirinė ji būtų”. Sužinojęs sąlygišką matematikos “gimimo datą”, bandysime išsiaiškinti, kaip gimė matematika.

SENOVĖS EGIPTO MATEMATIKA

Žmonių visuomenė bronzos amžiuje

Žmonių gyvenimas labai pasikeitė pradėjus vartoti metalus. Tiesa, istorijoje buvo aukštą lygį pasiekusių civilizacijų, kurios metalus ( ypač auksą ) naudojo tik papuošalams. Tai majų actekų tautos. Tačiau reikia nepamiršti, kad jiems metalus pakeitė kitos medžiagos, kaip antai obsidiano akmuo, kurio nuolaužos labai aštrios. Pats terminas “metalas” yra graikų kilmės žodis, kilęs iš žodžio “ieškoti”. Jis ir nurodo pradinę priežastį, paskatinusią žmogų susidomėti metalais. Iš pradžių akmens amžiaus gyventojai panaudodavo aptiktus grynuolius; vėliau, perpratę tokias naudingas jų savybes, kaip plastiškumą ir nesunkiai keičiamą formą, ėmė plačiau naudoti metalus ir jų lydinius įvairių įrankių gamybai. Taip žmogus įžengė į metalų erą, tiksliau, į bronzos amžių. Iš bronzos – lydinio, kurio lydymosi temperatūra palyginti žema,- jis galėjo pasigaminti daugiau tobulesnių ir geresnių darbo įrankių bei padargų. Tai ypač atsiliepė gyvenimui tautų, kurios įsikūrė derlinguose didelių upių – Nilo, Tigro, Eufrato, Gango, Chvangchės, Jangdzės – slėniuose. Ėmus dirbti Žemę metaliniais įrankiais, ne tik padidėjo darbo našumas,- ir derlingumas išaugo keleriopai. Gaunant didesnius derlius, ne visiems žmonėms reikėjo auginti ar gaminti maisto produktus. Atsirado pirklių, amatininkų, darbininkų, karių profesionalų luomai. Sparčiau ėmė kurtis miestai. Tam tikra žmonių grupė galėjo atsidėti tik protiniam darbui. Atsirado inteligentija: religinė – žyniai ir pasaulietinė – raštininkai. Jie fizinio darbo jau nedirbo, nebent simboliškai: žynys, sakykime, padėdavo pirmąją plytą, statant kokį nors naują statinį.

Dėl savo išskirtinės padėties žyniai visuomenėje turėjo tokią didelę valdžią, kad kartais net galėdavo diktuoti valią valdovams. Ne mažiau įtakinga buvo ir pasaulietiškoji inteligentija – raštininkai. Štai kas apie juos rašoma senovės Egipto eilėraštyje “Raštininkų pašlovinimas”: “Išmintingieji raštininkai nestatė sau piramidžių iš vario ir antkapių iš bronzos, jų piramidės – pamokymų knygos… raštas pastato namus ir piramides širdyse tų, kurie kartojo raštininkų vardus, idant jų lūpose visad būtų tiesa. Knyga reikalingesnė už pastatytą namą, geresnė už kapą Vakaruose, geresnė už prabangų rūmą ar paminklą šventykloje”. Kadangi inteligentija dažniausiai buvo žyniai (senovės Egipte net raštininkai vadinti “mirusiųjų reikalų žyniais”), tai religija ir valstybės valdžios aparatas toje visuomenėje buvo glaudžiai susiję. Todėl daugelis visuomenės įpročių buvo taip nusistovėję, kad paskelbti šventais. Kai žynių luomas suprofesionalėjo ir užsisklendė kaip uždara kasta, mokslas buvo įslaptintas. Dėl to iš pradžių paplito savotiškas intelektualinis žongliravimas ( “mokslas dėl mokslo” ), kuris sukėlė mokslo stagnaciją, tai ir buvo viena iš priežasčių, dėl kurių visiškai sustojo techninė pažanga ( ji truko tik keletą amžių nuo 3200 m. pr. m. e. iki 2700 m. pr. m. e. ), visuomenė pasidarė konservatyvi ir uždara. Senovės egiptiečių ir kiniečių uždarumas tiesiog virto patarle. Žinoma, absoliučiai užsisklęsti negali nė viena tauta, juo labiau tokia didelė, kaip senovės egiptiečių. Šį senovės egiptiečių sąlygišką uždarumą iš dalies lėmė gyvenimo sąlygos: susitelkimas prie įtekančio į Viduržiemio jūrą Nilo, nuo likusio pasaulio atskirtiems plytinčių dykumų. Gamta, atskyrusi senovės egiptiečius nuo kitų tautų, lėmė ir jų gyvenimo būdą. Štai ką apie tai rašo žymus senovės matematikas tyrinėtojas O. Noigebaueris: “Iš visų senovės civilizacijų egiptiečių yra man maloniausia. Puiki apsauga, kurią Nilo slėniui parūpino jūra ir dykumos, neleisdavo pernelyg augti heroizmo dvasiai, kuri dažnai gyvenimą Graikijoje paversdavo pragaru žemėje. Tikriausiai senovėje nebuvo kitos šalies, kurioje kultūrinis gyvenimas tęsėsi tiek amžių taikoje ir niekieno netrikdomas”. Visa tai pasitarnavo istorikams. Kažin ar yra bent viena senovės šalis, kurioje įvykiai būtų taip tiksliai išdėstyti, kaip Egipte. Tačiau apie senovės Egipto mokslą turima labai mažai žinių; apie jų mokslo laimėjimus tegalima spręsti iš kultūros liekanų. O gal kalta aplinkybė, kad tuomet buvo rašoma ant nepatvaraus papiruso? Šiaip ar taip, akivaizdžiausiai išlikę senovės Egipto mokslo laimėjimų liudininkai – tai garsiosios piramidės, iš kurių didžiausia yra Cheopso (Chufu), siekusi net 146 metrus ( dabar jos aukštis 137 m. ) ir pastatyta 2650 m. pr. m. e. Kaip senovės egiptiečiai statė šias piramides, dabar galime tik spėlioti,- tikslių žinių neišliko. Jau patys šie statiniai liudija, kad senovės egiptiečių mokslas buvo pritaikytas praktinėms reikšmėms,- piramidėms apskaičiuoti, kalendoriams sudaryti, sklypų pradinėms riboms atstatyti po Nilo potvynių ir pan. Tačiau ilgainiui moksle, kuriuo tuomet užsiiminėjo žyniai ir raštininkai, vis labiau buvo linkstama į abstrakčiąsias sąvokas. Taip atsirado teorinės geometrijos ir algebros užuomazgos. Apie senovės Egipto matematikos nueitą kelią mes galime tik spėlioti. Iš dalies todėl, kad ją reprezentuoja vos keletas išlikusių rankraščių, iš kurių svarbiausi yra du papiruso ryšulėliai: vadinamasis Londono ( arba Raindo, pagal jo savininko pavardę ) ir Maskvos ( V. Goleniščevo ) papirusai. Kaip tik iš jų ir galima susidaryti apytikslį vaizdą apie to laiko matematikos pasiekimus ir trūkumus. O trūkumų būta, ir gana nemažų. Dalį jų nulėmė, kaip jau minėta, senovės Egipto kultūros uždarumas. Dalis buvo sąlygota pačios civilizacijos lygio.

BABILONIJOS MATEMATIKA

Šis bei tas apie Babilonijos – rojaus krašto – istoriją

Beveik tuo pat metu, kaip senovės Egiptas, tarp dviejų upių, įtekančių į Persų įlanką, Tigro ir Eufrato, klestėjo kraštas, kurį vėliau graikai pavadino Tarpupiu – Mesopotamija. Ilgus amžius beveik nieko nebuvo žinoma apie šią nuostabią šalį, o ir tie patys žinių trupiniai buvo semiami iš Biblijos – senovės žydų legendų ir mitų židinio. Iš jos sužinojome, kad Mesopotamijoje buvo pirmiesiems žmonėms Adomui ir Ievai skirtas rojus, kad tai pirmoji senovės žydų tėvynė, kad čia buvo statomas žymusis Babelio bokštas. Dabar, atsidūrus šioje vietovėje, sunku patikėti, kad čia kada nors galėjo būti rojus. Iš giedro dangaus plieskia kaitri saulė, smarkus vėjas gainioja debesis smėlio; lyja čia labai retai, ir tik trumpą laiką pavasarį ši gelsvai ruda dykuma sužaliuoja ir sužysta. Vienu žodžiu, tai niūrus kraštas. Gal kada čia ir buvo kažkas panašaus į rojų, bet tik labai senais laikais – beveik 100 000m. pr. m. e., kai Mesopotamiją pasiekdavo Atlanto drėgmė. Tačiau jau po paskutinio apledėjimo šio krašto gamtinės sąlygos bemaž niekuo nesiskyrė nuo dabartinių. Tad belieka tik stebėtis, kodėl beveik prieš 6 tūkstančius metų čionai atėjo šumerai. Ligi šiol neaišku, kur buvo tikroji šumerų, arba kaip jie patys vadinosi, juodagalvių, tėvynė. Apie save jie taip rašė: “Juodagalviai atėjo iš rytų”. Šią lakonišką frazę ne taip lengva iššifruoti. Dabar labiausiai įsigalinti hipotezė skelbia, kad šumerų tėvynė yra Azijoje, kažkur tarp Tibeto ir Indijos…

Babilonijos skaičiavimo sistema ir metodai

Jau suradus pirmąsias molines senovės babiloniečių lenteles, pasirodė, kad dalis jų yarn “matematinės”, t. y. prirašytos matematinių tekstų. Ilgai jų nepavyko iššifruoti. Iš esmės tai buvo padaryta tiktai 1929 – 1930 m., ir čia labai daug triūso įdėjo vokiečių mokslo istorikas O. Noigebaueris. Iš šių lentelių ir galima spręsti apie tuomet Babilonijoje paplitusius skaičiavimo įpročius. Šumerai skaičiavo kapomis. Pasirodo, šis skaičiavimo būdas buvo oficialiai įteisintas,- Babilonijos skaičiavimo sistema buvo šešiasdešimtainė. Tai tikra mįslė tyrinėtojams,- iš kur imtas toks skaičiavimo sistemos pagrindas? Juk yra žinomas dešimtainės, dvidešimtainės, net dvdešimtpenktainės skaičiavimo sistemos, tačiau šešiasdešimtainę skaičiavimo sistemą turėjo tik babiloniečiai. Kai kas ją sieja dar su paleolito laikais kai kurių daugiausia, daugiausia Azijos tautų gyvenime priimtu “trijų ritmu” arba “vertikaliuoju dalijimu”. Priešingai negu Europoje ar Amerikoje gyvenusios tautos, kurios pamėgo “keturių ritmą” arba “horizontalųjį dalijimą”: šiaurė, rytai, pietūs, vakarai, čia buvo įsigalėjęs toks pasaulio bei jo stichijų skirstymas: dangus, žemė, vanduo. Kaip tik šie ritmai šalia kitų ir ugdė žmonių sąmonėje periodiškumo suvokimą. O tai labai padėjo kuriant skaičiavimo sistemas. Gal neveltui skaičiai 3 bei 4 arba jų kartotiniai yra sutinkami daugelio skaičiavimo sistemų, išskyrus tik dešimtainę, pagrinduose. “Keturių ritmas” buvo labai paplitęs tarp Amerikos indėnų. Nesvetimas jis buvo ir Senajame pasaulyje,- čia gyvenusių keltų skaičiavimo sistema buvo dvidešimtainė ( atsiradusi tikriausiai kaip savotiškas kompromisas tarp “keturių ritmo” bei skaičiavimo pirštais ). Tačiau, pasirodo, jis neaplenkė ir lietuvių protėvių,- tai liudija tautosaka bei archeologiniai radiniai.

Yra dar vienas bruožas, liudijantis babiloniečių skaičiavimo sistemą skyręs ir nuo senovės egiptiečių adityvinės, ir nuo mūsų vartojamos pozicinės skaičiavimo sistemos: ji buvo pozicinė-adityvinė. Visi skaičiai iki 60 būdavo užrašomi adityviai dešimtainiu pagrindu. Tuo ji mums primena senovės egiptiečių skaičiavimo sistemą. Skaičiai, didesni už 60, būdavo išdėstomi poziciniu būdu šešiasdešimtainiu pagrindu. Atidžiau įsižiūrėjus į šią sistemą, susidaro įspūdis, lyg ji būtų sudėta iš dviejų sistemų: vienos – adityvinės dešimtainių pagrindu, o kitos – pozicinės šešiasdešimtainiu pagrindu. Yra net hipotezė, aiškinanti tokios skaičiavimo sistemos atsiradimą. Pasak jos, tai buvo savotiškas kompromisas tarp adityvinės dešimtainės skaičiavimo sistemos, kurią vartojo senieji Mesopotamijos gyventojai, ir pozicinės šešiasdešimtainės skaičiavimo sistemos, kurią atsinešė ateiviai šumerai. Tačiau tikrų žinių patvirtinančių vieną ar kitą Babilonijos skaičiavimo sistemos kilmės hipotezę, nėra,- belieka tik spėlioti.

Babiloniečių matematikos įpatumai

Jeigu babiloniečiai mokėjo nustatyti priklausomybę tarp kvadrato kraštinių ir įstrižainės, tai jie turėjo žinoto Pitagoro teoremą, teigiančią, kad stačiojo trikampio įžambinės kvadratas lygus statinių kvadratų sumai. Šios teoremos atradimą antikos graikai siejo su VI a. pr. m. e. gyvenusio filosofo ir matematiko Pitagoro vardu. Babilonijoje priklausomybės, išreiškiamos šia teorema, yra sutinkamos Hamurapio epochos matematiniuose tekstuose. Tačiau kaip jos buvo nustatytos, ligi šiol nežinoma. Mat nė viename rastame matematiniame tekste nėra įrodymų. Belieka tik spėlioti, kaip buvo padarytas tas ar kuris kitas babiloniečių matematikos atradimas, ar jie nustatyti empiriškai, ar buvo naudojami kokie nors sugalvoti euristiniai metodai? Pastaroji galimybė yra labiau tikėtina. Jei Babilonijos matematika būtų kurta vien remiantis empiriniais stebėjimais, kažin ar būtų tiek pasiekta. O jie ne tik atrado artutinius kvadratinės šaknies traukimo metodus ar Pitagoro teoremą, bet ir sukūrė algebros užuomazgas.Ilgai ginčytasi dėl algebros amžiaus. Vieni, negalėdami algebros įsivaizduoti be nuolatinės jos palydovės – raidinės simbolikos, pradžią sieja su prancūzų matematiku F. Vietu (Francois Viete, 1540 – 1603), kuriam turime būti dėkingi už dabartinę matematinę simboliką. Kiti, žinodami, kad žodis “algebra” yra arabiškas ( kilęs iš “al gabr” ir kad arabai buvo labai šį mokslą pamėgę, jos pradžią nukelia dar 8 amžiais toliau. Tačiau vargu ar būsime teisūs, jei apsistosime tik ties šiomis datomis. Juk II – III a. Aleksandrijoje kūrė matematikas Diofantas, palikęs savo žymiausią veikalą “Aritmetika”, kuriame ne tik pirmą katrą matematikos istorijoje panaudojo raidinę simboliką algebrinėms lygtims spręsti, bet, svarbiausia, išvadavo algebrą nuo iki tol buvusios geometrijos globos. Tačiau pasirodo, kad ir II – III a. negalime laikyti algebros gimimo data. Išnagrinėjus babiloniečių molines matematines lenteles, pasirodė, kad kai kurios jų yra savotiški “uždavinynai” ir kad ten buvo sprendžiami ne tokie jau paprasti uždaviniai. Štai vienas jų: “Dauginamasis ir daugiklis yra 2.5”. Dauginamąjį pažymėjus x, o daugiklį – y, šį uždavinį galima taip iššifruoti ( babiloniečiai laikė, kad dauginamojo ir daugiklio sandauga lygi 1 ):

xy = 1 x + y = 2,5.

Kas yra nors kiek ragavęs algebros, tuoj pasakys, jog šis uždavinys susiveda į kvadratinės lygties sprendimą. O kaip jį sprendė babiloniečiai? Štai jų užrašytas šio uždavinio sprendimas:

1. “0,5 padaugink iš 2,5: 1,25”.2. “1,25 padaugink iš 1025: 1,5625”.3. “Iš jo atimk vienetą: 0,5625”.4. “Ką iš ko reikia padauginti, kad gautum 0,5625: 0,75”.5. “0,75 pridėk prie 1,25: 2 bus daugiklis”.6. “0,75 iš 1,25 atimk: 0,5 bus dauginamasis”

Patikrinę šiuos skaičiavimus pamatysime, kad babiloniečiai uždavinį išsprendė teisingai. Dar daugiau, jie atlikinėjo tokius pat veiksmus, kokius turėtume daryti mes, pasitelkę gerai žinomą formulę, nusakančią kvadratinės lygties sprendinius per jos koeficientus. O tai reiškia, kad babiloniečiai mokėjo spręsti kvadratines lygtis. Bet ankstyvosios algebros svarbiausias tikslas ir buvo išspręsti algebrines lygtis. Todėl turime pripažinti, kad algebros gimimą reikia sieti su Babilonija. Žinoma, galima ginčyti tokį teiginį samprotaujant šitaip: “Jei babiloniečiai kažkaip sugebėjo išspręsti keletą kvadratinių lygčių, tai dar nereiškia, kad jie sugebėtų išspręsti bet kokią kvadratinę lygtį”. Tačiau iš aukščiau pateikto sprendinio matyti, kad juo galima naudotis sprendžiant panašias lygtis, tik su kitais koeficientais. Čia pateiktas ne vienas kvadratinės lygties, o ištisos jų klasės sprendimo būdas. Kitaip sakant, minėtame sprendime yra nurodytas kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas. Algoritmu vadiname tam tikrą rinkinį taisyklių, kuriomis naudodamiesi, atlikę baigtinį skaičių veiksmų, randame ieškomą rezultatą . Tad Babilonijoje vietoj mums taip įprastų formulių buvo naudojami algoritmai. Gerai tai ar blogai? Reikia iš karto pripažinti, kad, nesant raidinės simbolikos, pakertama algebros, kaip mokslo, raida. Formulės ne tik, amerikiečių matematiko T. Dancingo žodžiais tariant, “išlaisvino algebrą nuo pavaldumo žodžiui” ir ne vien “atpalaiduoja mintį”, kaip manė vokiečių matematikas G. Leibnichas. Matematikai tai savotiškas ramstis, kuriuo pasiremiama silpnumo akimirkomis. Be formulių matematika negyva. Ir kaip tik jos sudaro galimybę įvairiems perdirbinėjimams, be kurių nebūtų galima įsivaizduoti matematinių įrodymų. O kad Babilonijoje raidinės simbolikos ( nors ten buvo vartojami specialūs terminai žodžiams “ilgis”, “plotis”, “daugiklis”, “dauginamasis” žymėti, ir jie buvo šumerų kilmės, tačiau jais nebuvo operuojama ), tai čia didelis jos matematikos trūkumas. Kaip tik šiam trūkumui kompensuoti ir buvo pasitelkti algoritmai. Algoritmų dėka Europoje prigijo naujieji indiški – arabiški skaitmenys; jais buvo naudojamasi norint išspręsti įvairias neapibrėžtąsias ( dar vadinamas Diofanto ) lygtis. Ypač pakilo algoritmų vertė mūsų dienomis, kai atsirado ESM, kurios “neįkanda” formulių, ir todėl norint, kad jos išspręstų uždavinį, reikia pateikti uždavinio sprendimo algoritmą. Tad babiloniečių matematikoje klestėjęs algoritminis uždavinių sprendimo būdas nėra toks jau blogas. Šiaip ar taip ir mes, spręsdami kvadratinę lygtį pagal formulę, turime atlikti tuos pačius veiksmus, kokius darydavo babiloniečiai. O tai, kad jie mokėjo spręsti kvadratines lygtis, rodo aukštą tų laikų matematikos lygį. Bet taip ir lieka neaišku, kaip babiloniečiai sugebėjo rasti kvadratinių lygčių sprendimo algoritmą. Yra pateikta keletas jo radimo rekonstrukcijų. Ir kiekvienoje reikia paaiškinti, kaip babiloniečiai susidorodavo su reiškinių (a + b)2 , (a – b)2 ir a2 – b2 skleidimu. Tarybinio tyrinėtojo A. Vaimano nuomone, tam jie pasitelkdavo geometriją. Su tuo nesutinka O. Noigebaueria, teigdamas, kad “matematinę uždavinio vertę sudarė jo aritmetinis sprendimas; “geometrija” yra tik vienas iš daugelio praktinio gyvenimo objektų, kuriam galima pritaikyti aritmetinius metodus”… “Palyginus su algebros ir skaičiavimo kryptimis, “geometrijos” vieta Babilonijos matematikoje gana nežymi”… “Visų pirma lengva pastebėti, kad geometrijos sąvokos Babilonijos algebroje turi antraeilį vaidmenį, kad ir kaip būtų naudojamasi geometrijos terminologija”. Visai kitu aspektu į šią problemą yra pažvelgęs tarybinis kultūros istorikas V. Rozinas. Pasak jo, tyrinėdami senovės istoriją, mes dažnai patys komplikuojame situaciją, tuometiniams matematikams priskirdami savo mąstymo būdą. V. Rozino nuomone, babiloniečiai matematinius uždavinius sprendė “brėžiniu – skaitiniu metodu”, sudėtingesnius uždavinius suvesdami į paprastesnius, kurių sprendiniai buvo žinomi. Reikia pastebėti, kad ir ši interpretacija ne viską įtikinamai paaiškina.

Gali kilti klausimas – kas Babilonijos matematikus paskatino susidomėti kvadratinėmis lygtimis? Ir senovės Egipte, ir Mesopotamijoje, lygiai kaip ir senovės Kinijoje ar Indijoje, jau nuo seno gyvenimas vertė spręsti tokius uždavinius: žinant lauko ilgį ir plotį, rasti jo plotą. Dažnai senovės matematikas, išsprendęs tokį uždavinį, nebūdavo tikras dėl savo sprendimo metodų ar skaičiavimų. Tada tikriausiai ir kilo mintis patikrinti uždavinio sprendimą, jį sprendžiant lyg ir nuo “galo”: turint lauko plotą ir perimetrą, rasti jo matmenis. Pradinis uždavinys būdavo tarsi “apverčiamas”. Tarybinis matematikos istorikas A. Juškevičius taip apibūdina “apvertimo” uždavinius: “Žymiai aukštesnėje išsivystymo pakopoje dalį uždavinių imta apversti – praktiškai žinomi dydžiai laikyta ieškomais, o ieškomi – duotais; tai buvo viena iš algebrinių metodų atsiradimo prielaidų”. Kaip tik šie “apvertimo” uždaviniai ir privesdavo prie kvadratinių lygčių sprendimo. Matyt, būtent todėl jau prieš 4 tūkstantmečius Mesopotamijoje buvo atrastas kvadratinių lygčių sprendimo būdas – algebros pradžių pradžia. Antikoje parašytuose Euklido “Pradmenyse” matematika grindžiama skriestuvo ir liniuotės braižiniais, kurie ekvivalentūs ne kam kitam kaip kvadratinių lygčių sprendimui.

ANKSTYVOJI SENOVĖS GRAIKIJOS MATEMATIKA

Matematikos mokslo atsiradimas

VI – V amžiai pr. m. e. Graikijos istorijoje įsidėmėtini šiais trimis svarbiausiais dalykais:1. Pirmą kartą žmonijos istorijoje susikūrė demokratinė valstybė.2. Atsirado tragedija bei komedija.3. Buvo sukurta matematika kaip abstraktus dedukcinis mokslas.

Šie įvykiai kurių kiekvienas atskirai buvo nepaprastai reikšmingas, sudaro fenomeną, vėliau pavadintą “graikų stebuklu”. Kaip žinome, Rytų valstybėse visa visuomeninė veikla, net amatai bei mokslas buvo griežtoje religijos globoje. Pavyzdžiui, amatininkas dirbdavo nenusižengdamas taisyklėms, kurių buvo laikomasi kaip normatyvinio įstatymo ir kurios buvo tarsi dieviškoji sankcija. Taip buvo ir suklestėjusiose rytietiškose senovės Graikijos valstybėse: Mikėnuose, Pile ir kt. Tačiau II tūkstantmečio pr. m. e.pabaigoje šios valstybės žlugo. Išnyko ir nusistovėjęs įprotis paveldėti profesijas. Tad Homero laikų žmogus jau buvo savotiškas “universalas”, įvaldęs net keletą profesijų. Štai Odisėjas – žemvaldys, karys, jūreivis. Žlugo ir nusistovėję gimininiai santykiai. Besikuriančiuose graikų miestuose – poliuose – žmogus visų pirma buvo pilietis. Šitokiomis sąlygomis ir kūrėsi Graikijoje demokratija. Tiesa, toji demokratija buvo savotiško pobūdžio – vergovinė, t. y. demokratija laisviems piliečiams ir vergovė vergams. Reikia pasakyti keletą žodžių apie “septynių išminčių” indėlį į antikos mokslą ir filosofiją. Žodžius “septyni išminčiai” reikia imti į kabutes, nes iš tikrųjų jų buvo daugiau. Tik nereikia suprasti, kad jų priskaičiuojama dvylika ar dvidešimt; paprasčiausiai dažnas antikos autorius, rašęs apie “septynis išminčius”, pateikdavo savą jų sąrašą. Bendra juose buvo tik tai, kad kiekviename šių sąrašų išminčių priskaičiuojama septyni. (Čia dar juntama tiems laikams būdinga skaičių magija.) “Septynis išminčius” labai vertino K. Marksas, pasakęs, kad “graikų filosofija prasidėjo nuo “septynių išminčių”. Jų išmintis jau ne mitologiniai apibendrinimai, bet dar ir ne mokslas. Tai daugiau gyvenimiškoji išmintis, išsiliejanti patarlėmis ir dažnai pakylanti iki gana plačių apibendrinimų. Šiuo atžvilgiu iš “septynių išminčių” ypač išsiskiria Talis Miletietis. Gal todėl jis ir įeidavo į kiekvieną ”septynių išminčių” sąrašą. Talio Miletiečio pažiūros pralenkė kitų išminčių gyvenimiškąją išmintį. Štai kaip apie jį atsiliepia graikų istorikas Plutarchas: “Tai vienintelis mokslininkas, kuris savo tyrinėjimais nuėjo toliau negu reikia praktiniams poreikiams, visi kiti mokslininkų vardą gavo už savo sugebėjimus valstybės reikaluose”. Kad Talis Milietis pasuko mokslinių ieškojimų keliu, jaučiama iš epigramos, kurią nežinomas autorius paskyrė “septyniems išminčiams”. Čia apie jį taip parašyta “O Milete taip kartodavo Talis: “Viskuo abejoki”. Bet juk abejonė ir sukelia poreikį įrodinėti!”

Apie Talio gyvenimą autentiškų žinių išliko labai mažai. Žinome, kad Talis buvo turtingas ir kilmingas Mileto gyventojas. Kai kurie šaltiniai teigia jį buvus finikiečiu ir į Miletą atvykus jau senatvėje. Kiti šaltiniai teigia, jog Talis Miletietis keliavo po Egiptą, kad susipažintų su egiptiečių atrastomis matematinėmis tiesomis. Matyt, keliauta netuščiai, nes 585 m. pr. m. e. jis išpranašavo Saulės užtemimą. Plutarchas apie Talį atsiliepia kaip apie “išmintingą patarėją valstybės ir karo reikaluose”, romėnas Plinijus jį charakterizuoja kaip “pirmąjį fiziką”, o graikas Eudemas Rodietis – kaip “pirmąjį astronomą”. Žymus senovės stilistas Apulėjus Kartaginietis taip rašė: “Talis Miletietis, vienas iš septynių išminčių ir, be abejo žymiausias tarp jų – juk jis Graikijoje buvo pirmas geometrijos išradėjas, labiausiai patyręs gamtos tyrinėtojas…” Kažin ar šie žodžiai būtų skirti net ir pačiam išmintingiausiam žmogui, kuris pirmtakų žinias būtų perėmęs automatiškai. Talis stengėsi pats įsitikinti Babilonijos ir Egipto mokslo teisingumu, pasitelkdamas įrodymus. Aristotelio mokinio Eudemo Rodiečio (IV a. pr. m. e. ), parašiusio geometrijos istoriją, liudijimu, Talis yra įrodęs šias teoremas:

1. kampas, įbrėžtas į pusapskritimį, yra status;2. vertikalieji kampai yra lygūs;3. lygiašoniame trikampyje kampai prie pagrindo yra lygūs ir atvirkščiai;4. skersmuo dalija skritulį į dvi lygias dalis.

Nors šios Taliui priskiriamos teoremos iš pažiūros ir labai paprastos, bet yra labai svarbios. O svarbiausia – idėja, kad matematines tiesas reikia įrodinėti, atiduoti jas logikos ir kitų matematikų teismui. Kaip tik tai ir davė stimulą matematikai tapti dedukciniu mokslu.

V. HELENIZMO IR ROMOS IMPERIJOS LAIKŲ MATEMATIKA

Euklido “Pradmenys”

“Pradmenis” galima laikyti pirmuoju pasaulyje bestseleriu: per visą spaudos istoriją Europoje Biblija ir Euklido “Pradmenys” turėjo daugiausia leidimų. Nejučia kiekvienam gali kilti klausimas: kodėl toks populiarus tapo prieš 20 amžių parašytas matematinis veikalas? Ir tai dar ne viskas. Jei pavartytume nesenus mokyklinius vadovėlius, tai pamatytume, kad tai – trumpa “Pradmenų” santrauka. Kuo žymus šis veikalas? “Pradmenys” buvo savotiškas lūžis antikos matematikoje. Jei iki Euklido matematikai veikalus rašė kaip kas norėjo, neprisilaikydami jokios griežtos struktūros, tai “Pradmenys” išdėstyti sekant Platono ir Aristotelio nurodymais. Kitaip sakant, šis veikalas įkūnijo matematikos, kaip mokslinės teorijos, triumfą. Ar ne todėl lenkų matematikas H. Šteinhauzas (1887 – 1972) taip ir apibūdino Euklidą: tai “buvo pirmas matematikas tikrąja to žodžio prasme”. Euklidas užbaigė tą procesą, kurį kadaise pradėjo Pitagoras ir iš dalies Talis,- sukurti matematiką, kaip dedukcinę sistemą. Todėl jau pirmojoje “Pradmenų” knygoje (o jų iš viso 13) pateikiami tie pagrindiniai matematikos teiginiai, kurie negali būti įrodyti, tačiau yra tas pamatas, ant kurio statytas tų laikų matematikos rūmas. Šiuos teiginius Euklidas suskirsto į tris grupes: apibrėžimai, postulatai ir aksiomos (“bendros sąvokos”). Pačiame autentiškiausiame mokslo istoriko J. Heibergo sudarytame “Pradmenų” leidime yra 23 apibrėžimai. Paimkime pirmuosius šešis iš jų, nes likusieji yra konkretūs ir niekuo nesiskiria nuo tų, kurie pateikiami daugelyje geometrijos vadovėlių:

1. Taškas yra tai, kas neturi dalių.2. Linija yra ilgis be pločio.3. Linijos galai yra taškai.4. Tiesioji linija yra ta, kuri vienodai guli visų jos taškų atžvilgiu.5. Paviršius yra ta, kas turi ilgį ir plotį.

6. Paviršiaus galai yra linijos.

Kaip matome, šie pagrindinių geometrijos sąvokų apibrėžimai neatitinka Aristotelio nusakytų principų. Dar daugiau, čia Euklidas dargi įveda Aristotelio uždraustą “nedalomąjį” (“Taškas yra tai, kas neturi dalių”). Todėl daugelis tyrinėtojų šiuos apibrėžimus laiko silpniausia “Pradmenų” vieta. M. Vygodskis rašo, kad “nuo seniausių laikų iki šių dienų šitie apibrėžimai buvo labiausiai kritikuojami dalykai”. O tarybinis geometras V. Kaganas dar griežtesnis: “Jie (apibrėžimai – A. B.) iš esmės neturiningi; jie nieko neapibrėžia, ir todėl Euklidas niekur negali jais pasinaudoti; jie taip ir nebuvo pritaikyti visame kūrinyje”. Atrodytų, taip darydamas, Euklidas elgiasi kaip amatininkas, priimantis į darbą naują mokinį,- jis supažindina pastarąjį su įrankiais, kuriais teks dirbti, išvardija ir paaiškina juos. Tad aišku, kodėl linijas ir paviršius jis apibrėžia vartodamas ilgio ir pločio sąvokas,- jos genetiniu požiūriu yra senesnės. Tačiau kyla klausimas – kodėl Euklidas taip daro; atsakymą pateikia neoplatonikas matematikas Proklas, apibrėžimus pavadindamas “hipotezėmis”. Kitaip tariant, čia Euklidas seka Platonu, pareiškusiu: “aš manau, tu žinai, kad tie, kurie užsiima geometrija, skaičiavimu ir kitais panašiais dalykais, kiekvienu atveju taria, kad jie žino, kas yra lyginis ir nelyginis skaičius, žino figūras, tris kampų rūšis ir kitus panašius dalykus. Štai jie laiko pradiniais teiginiais, kurių nereikia įrodinėti nei patiems sau, nei kitiems, nes visiems yra aišku”. Jau mūsų amžiuje panašiai pasielgė vokiečių matematikas D. Hilbertas, kai, pagrįsdamas geometriją, tašką, tiesę ir plokštumą laikė pirminėmis, neapibrėžtinėmis sąvokomis. Panašiai nieko apie savo nusakomo objekto egzistavimą nesako ir devynios Euklido aksiomos (bendros sąvokos):1. Lygūs vienam ir tam pačiam lygūs ir tarp savęs.2. Jeigu prie lygių pridėsime lygius, tai ir gautieji bus lygūs.3. Jeigu iš lygių atimsime lygius, tai ir liekanos bus lygios.4. Jeigu prie nelygių pridėsime lygius, tai ir gautieji bus nelygūs.5. Vieno ir to paties padvigubintieji yra lygūs tarp savęs.6. Vieno ir to paties pusės yra tarp savęs lygios.7. Sutapatinamieji vienas su kitu yra lygūs.8. Visuma daugiau už dalį.9. Dvi tiesės neapima erdvės.Kaip matome, visos aksiomos, išskyrus 7 ir 9, gali būti pritaikytos ir geometrijoje, ir aritmetikoje (todėl kai kurie mokslininkai, kaip amerikietis L. Hysas ar M. Vygodskis, mano, kad septinta bei devinta aksiomos yra vėlesnis intarpas). Tuo iš esmės aksiomos ir skiriasi nuo apibrėžimų,- aksiomos yra žymiai bendresnio pobūdžio, tuo tarpu apibrėžimai nusako geometrinius objektus, t. y. jie labiau specifiniai. Ar ne todėl Euklidas apibrėžimus formuluoja kiekvienos savo knygos pradžioje, o aksiomos išlieka tos pačios?…

NAUDOTA LITERATŪRA

A. Baltrūnas, Pirmieji matematikos žingsniai, 1986m.

B. Orė, Kvietimas į skaičių teoriją, 1984m.