matematika

TURINYS
13. FURJE EILUTĖS IR FURJE INTEGRALAS.
13.1. ORTONORMUOTOS SISTEMOS IR APIBENDRINTOJI FURJE EILUTĖ.
13.2. FURJE EILUTĖS.
13.3. UŽDAROSIOS IR PILNOSIOS ORTONORMUOTOSIOS SISTEMOS.
13.4. TRIGONOMETRINIŲ FURJE EILUČIŲ KONVERGAVIMAS.
13.5. TRIGONOMETRINĖS FURJE EILUTĖS KOMPLEKSINĖ FORMA.
14. FURJE INTEGRALAS IR FURJE TRANSFORMACIJA.
14.1. FURJE COS IR SIN TRANSFORMACIJOS.
14.2. KOMPLEKSINĖ DVILYPIO FURJE INTEGRALO FORMA.
15. SPEKTRO SĄVOKA.
16. MATEMATINĖS FIZIKOS LYGČIŲ SPRENDIMAS FURJE METODU.
IV KOMPLEKSINIO KINTAMOJO F-JOS.
17.1. KOMPLEKSINIO SKAIČIŲ ALGEBRINĖ FORMA.
17.2. KOMPLEKSINIO SK. TRIGONOMETRINĖ FORMA IR VAIZDAVIMAS PLOKŠTUMOJE.
17.3. KOMPLEKSINIŲ SKAIČIŲ AIBĖ.
18. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS.
18.1. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS SĄVOKOS.
18.2. RIBA. TOLYDUMAS. DIFERENCIJUOJAMUMAS.
18.3. HARMONINĖS FUNKCIJOS.
19. PAGRINDINĖS ELEMENTARIOSIOS FUNKCIJOS .
19.1. LAIPSNINĖ FUNKCIJA.
19.2. RODIKLINĖ (EKSPONENTINĖ) FUNKCIJA.
19.3. TRIGONOMETRINĖS IR HIPERBOLINĖS FUNKCIJOS.
19.4. LOGORITMINĖ IR BENDROJI LAIPSNINĖ FUNKCIJOS.
19. 5. ATVIRKŠTINĖS TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS.
20. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUUNKCIJOS INTEGRALAS.
20.1. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS KREIVINIS INTEGRALAS.
20.2. INTEGRALAS SU KINTAMAISIAIS VIRŠUTINIAIS RĖŽIAIS.
20.3. KOŠI INTEGRALINĖ FORMA.
21.EILUTĖS.
21.1 KOMPLEKSINIŲ SKAIČIŲ EILUTĖS.
21.2. FUNKCIJŲ EILUTĖS.
22. LORANO EILUTĖS.
22.1 LORANO EILUTĖS DALIS.
23. ANALIZINĖS FUNKCIJOS NULIAI IR YPATINGI TAŠKAI.
24. REZIDIUMAI IR JŲ TAIKYMAS.
24.1. PAGRINDINĖS REZIDIUMŲ TAISYKLĖS.
V. OPERACINIS SKAIČIAVIMAS.
25. LAPLASO TRANSFORMACIJA.
25.1. PIRMAVAIZDIS (ORIGINALAS) IR VAIZDAS.
25.2. SVARBIAUSIOS LAPLASO TRANSFORMACIJOS SAVYBĖS.
25.3. PIRMAVAIZDŽIŲ SĄSUKA. VAIZDŲ SANDAUGOS TEOREMA. DEONELIO FORMULĖ.
27. FURJE IR LAPLASO TRASFORMACIJŲ RYŠYS ATVIRKŠTINĖ LAPLASO TRANSFORMACIJA.
27.1. FURJE IR LAPLASO TRASFORMACIJŲ RYŠYS.
27.2. PAGRINDINĖ VAIZDŲ IR PIRMAVAIZDŽIŲ ATITIKTIES TEOREMA.
27.3. TAISYKLINGŲ RACIONALIŲJŲ TRUPMENŲ PIRMAVAIZDŽIAI.
28. LAPLASO TRANSFORMACIJŲ TAIKYMAS DIF. LYGT. SPRENDIMUI.
28.1. TIESINIŲ DIF. LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS SPRENDIMAS.
28.2. DUAMELIO FORMULĖS TAIKYMAS SPRENDŽIANT TIESINĖS DIF. LYGT. SU NUULINĖMIS PRADINĖMIS SĄLYGOMIS.
28.3. INTEGRALINIŲ SĄSUKOS TIPO LYGČIŲ SPRENDIMAS.
28.4. ELEKTROS GRANDINIŲ SKAIČIAVIMAS.
13. FURJE EILUTĖS IR FURJE INTEGRALAS.
13.1. ORTONORMUOTOS SISTEMOS IR APIBENDRINTOJI FURJE EILUTĖ.
Apibrėžimas: tiesinė erdvė L (aibė) vadinama begalinio matavimo jei joje visuomet gali rasti bet kokį norimą skaičių tiesiškai nepriklausomų elementų.
Apibrėžimas: tiesinė erdvė L

vadinama euklidine jeigu joje apibrėžta skaliarinė sandauga (f,g): f,gL, (f,g)R atvaizuoja taip kad
1. (f,f)0,  fL; (f,f)=0 f=0.
2. (f,g)=(g,f),  f,gL.
3. (f,g)=(f,g)  f,gL, =R.
4. (f+g,h)=(f,h)+(g,h)  f,g,hL.
Apibrėžimas: Tiesinė erdvė vad normuota erdve, jeigu kiekvienam jos elementui xL gali būti ||x|| priskirtas skaičius taip kad:
1. ||x||0  xL, ||x||=0x=0;
2. ||x||=||*||x||,  xL,  R
3. ||x+y||||x||+||y||.
Pastebėsime, kad kiekvienoje euklidinėje erdvėje normą galime įvesti lygybės pagalba: ||x||=(x,x)
Apibrežimas: euklidinės erdvės L elementai f ir g vadinami ortogonaliais, kai skaliarinė jų sandauga lygi 0, fg(f,g)=0.
Apibrėžimas: euklidinės erdvės E elementų sistema 1,2.n ortonormuota jei šios sistemos elementai yra tarpusavyje ortogonalūs, o jų normos lygios 1.
13.2. FURJE EILUTĖS.
Tarkime kad begalinio matavimo erdvėje turime ortonormuotą sistemą {k}.
Apibrėžimas: euklidinės erdvės E elemento f Furje eilute ortonormuotos sistemos {k} atžvilgiu vadinama eilute: k=1fk*k, cia fk=(f, k)- elementų f Furje eilutė k--tasis .
Įrodymas:
f(x)=fo/2l+k=1[(fk/l) cos(kx/l)+fk(1/l sin(kx/l)]=
=(-likil)∫f(x)dx/2l * 1/2l+k=1[(l-l∫f(t)/l) cos(kt/l)dt)*(cos(kx/l)/l)+
( l-l∫f(t)/l sin(kt/l)dt) *(sin(kx/l)/l)]=
=1/2(1/l l-l∫f(x)dx)+k=1((1/l
l-l∫f(t)cos(kt/l)dt) cos(kx/l)+(1/ll-l∫f(t)* sin(kt/l)dt)sin(kx/l)=
=a0/2+k=1(akcos(kx/l)+bksin(kx/l)
Pastebesime, kad f(x)=a0/2+k=1(akcos(kx/l)+ bksin(kx/l)—tai trigonometrine Furje eilute.(1)
ak=1/ll-l∫f(x)cos(kx/l)dx; k=0,1,2.
bk=1/ll-l∫f(x)sin(kx/l)dx; k=1,2,3.
a-a∫f(x)dx= 0; f(-x)=f(x)

2a0∫f(x)dx,

f(-x)=-f(x)
Išvada 1. Pastebėsime, kad jeigu f(-x)=f(x), tai bk=0;
ak=2/l l0∫f(x)cos(kx/l)dx, k=0,1.
f(x)=a0/2+k=1akcos(kx/l).
(1c)
Išvada 2. Jei f(-x)=-f(x), tai : ak=0; k=0,1.
bk=2/l l0∫f(x)sin(kx/l)dx; k=1,2.
f(x)=k=1bksin(kx/l).(1s)
Bendru atveju 1c ir 1s lygybėmis apibrėžtos eilutės vadinamos funkcijos f(x) trigonometrunėmis “kosinusų” arba “sinusų” eilutėmis intervale (0;l). Kartu su n-tąja daline Furje eilutės suma Sn=nk=1fk*k.(2) nagrinėsime elementų 1;2;.n tiesinius darinius: Rn(C)=c11+c22+.+cnn=
nk=1ckk.(3).
Apibrėžimas: dydis ||f-f*|| vadinamas elemento f nuokrypiu nuo elemento f* normos ||*|| prasme arba f* nu
uokrypiu nuo f.
Teorema: (apie Furje eilutės minimalų nuokrypį). Tarp visų (3) pavidalo tiesinių darinių Rn(C) minimalų nuokrypį nuo f-jos f turi šios funkcijos Furje eilutės n-oji dalinė suma: Sn=nk=1fk*k
Įrodymas: įrodinėdami remsimės sistemos k ortonormuotumu bei skaliarinės sandaugos savybėmis.
Norma ||Rn(c)-f||2=||nk=1ckfk-f||2=( nk=1ckk-f, nj=1cjj-f)= nk=1 nj=1ckcj(k,j)-

nk=1ck (k,f)- nj=1cj(f,j)
+(f,f)= =nk=1ck2(k,j)-2 nk=1ckfk+||f||2=
=nk=1(ck2-2ckfk+fk2-fk2)+||f||2=
=nk=1(ck-fk)2+||f||2- nk=1fk2 min

ck=fk
||f||2-nk=1fk2
Išvada1.  f E, bet kokiai ortonormuotai sistemai {k}, kN, n ir c=(c1,c2.cn) teisinga nelygybe ||f||2-nk=1fk2||nk=1ckk-f||2.(4).
Išvada 2. kiekvienam f  E,  sistemai {k} kN, teisinga BESELIO tapatybė:

n k
||f-fkk||2=||f||2-fk2.(5)

k=1 k=1
Išvada3. kiekvienam fE, {k} kN, teisinga BESELIO nelygybė: 
f2n||f||2.(6) k=1
Įrodymas: iš Beselio tapatybės turime:

n n
k=1fn2=||f||2-||f-fkk||2

n k=1 
fk2≤||f||2   fk2≤||f||2
k=1 k=1
Pastebėsime, kad tuo atveju kai turime trigonometrinę f-ją sistemą Beselio nelygybė gali būti užrašyta taip:

 l
a20/2+(ak2+kk2)≤1/l ∫ f2(x)dx;

k=1 -l
13.3. UŽDAROSIOS IR PILNOSIOS ORTONORMUOTOSIOS SISTEMOS.
Apibrėžimas: ortonormuota sistema {k} vad uždaraja, jeigu kiekvienam fE; kiekvienam >0  suma: nk=1ckk (n,c): tokie kad ||f-ckk||<;
Išvada. Jeigu sistema {k} yra uždara erdvėje E tai bet kurio šios erdvės elemento Furje eilutė duotosios sistemos atžvilgiu konverguoja pagal normą į funkciją f, t.y.: lim ||f-Sn||=0 n
Įrodymas: jei sistema pilna, tai kiekvienam >0 egzistuoja

n n
ckk, tokia kad norma ||ckk-
k=1 k=1
f||<, tačiau iš teoremos apie Furje eilutės minimalų nuokrypį turime:

n n
||fkk-f||≤||ckk-f||<

k=1 k=1
t.y.  >0  n():  n>n()||Sn-f||< <=> lim ||Sn-f||=0

n
Apibrėžimas: Ortonormuota sistema {k} vad pilnaja erdvėje E jeigu ši
ioje erdvėje neegzistuoja jox kitas nenulinis elementas θ * k. ortonogalus θ *k visiems sistemos {k} elementams
Savybė: bet kuri uždaroji ortonormuota sistema yra kartu ir pilna.
Teorema: bet kurioje pilnoje (tuo labiau uždaroje) ortonormuoitoje sistemoje {k}, kN skirtingų elementų f ir g Furje eilutės yra skirtingos fg.
Įrodymas: tarkime, kad fg, tačiau Sf=Sg, tuomet
Sf-g=k=10k(f-g,k)=0, k; (f-g)k, kN. Tačiau sistema pilna, o tokioje sistemoje yra tik vienintelis elementas ortogonalus visiems sistemos elementams. Taigi prielaida kad fg, o Sf=Sg yra neteisinga.
Išvada: Bet kurioje uždaroje ortonormuotoje sistemoje funkcija galima vieninteliu būdu išreikšti konverguojančia į ją Furje eilute.
Be įrodymo pastebėsime, kad trigonometrinė funkcijų sistema:
{1/2l ; (1/)*cos(nx/l) ; (1/l)*sin(nx/l)}nN yra uždara atkarpomis tolydžiu intervale (-l;l) funkcijų aibėje R0(-l;l), tai C[-l;l]
13.4. TRIGONOMETRINIŲ FURJE EILUČIŲ KONVERGAVIMAS.
Furje eilučių taikyme svarbų vaidmenį atlieka periodinės f-jos, kurios aciranda nagrinėjant įvairius svyravimus (mechaniniai, elektriniai).
Sąvokos: Funkcija f(x)vadinama periodine su periodu T
1) f(x) apibrėžta xR visoje tiesėje
2)xR f(x-T)=f(x)=f(x+T). Tarkime, kad funkcija f(x) yra apibrėžta ir atkarpomis tolydi intervale (-l;l).
Apibrėžimas: Funkcijos f(x) periodiniu tęsiniu erdvėje R vadiname tokią apibrėžtą erdvėje R funkciją f*:
1) f*(x)-f(x); x(-l;l);
2) f*(l)=f*9-l0=1/2 (f(-l+0)+f(l-0));
3) f*(x2l)=f*(x),  xR.
Teorema (DIRICHLĖ): jeigu intervale (-l;l) apibrėžta funkcija f(x), šiame intervale atkarpomis tolydi ir apibrėžta, tai jos trigonometrinė Furje eilutė konverguoja visuose uždaro [-l;l] taškuose ir:
1) visuose f*(x) tolydumo taškuose; Sf(x)=f*(x);
2) visuose f*(x) trukio taskuose xk;
br />
Sf(xk)=1/2 (f(xk-0)+f(xk+0))
3) Sf(-l)=Sf(l)=fk*(l)=1/2 (f(l+0)+f(l-0))
Išvada 1: Jeigu funkcija f(x) yra periodinė su periodu T=2l, tai visuose šios f-jos tolydumo taškuose trigonometrinės Furje eilutės ir f-jos reikšmės sutaps.
Išvada 2: jeigu f-ja periodinė T=2l ir apibrėžta, tai ją galima skleisti Furje eilute bet kuriame [a;a+2l];
an=1/ll-l∫f(x)cos(nx/l)dx=1/la+2la∫f(x)cos(nx/l)dx
bn=1/ll-l∫f(x)=(mnx/l)dx=1/la+2la∫f(x)sin(nx/l)dx
13.5. TRIGONOMETRINĖS FURJE EILUTĖS KOMPLEXINĖ FORMA.
Pasinaudoję Oilerio formule:
eit=cost+isint; cost=1/2 (eit+ e-it);
sint=1/2i (eit- e-it)=-i/t(eit-e-it); i:i2=-1
Tuomet f-jos trigonometrinę Furje eilutę galime pertvarkyti taip:
f(x)=a0/2+k=1(ancos(kx/l)+bksin(kx/l)=
=a0/2+k=1(ak(eikx/l+ e-ikx/l)-ibk/2(eikx/l- e-ikx/l))=
=a0/2+k=1[((an-ibk)/2)(eikx/l)+(an+ibk)/2 (e-ikx/l))]=
=c0+k=1(ckeikx/l+ckei(-k)x/l)=k=-ckeikx/l
c0=ao/2=1/2ll-l∫f(x)dx
ck=(an-ibk)/2=1/2(1/l)l-l∫f(x)cos(kx/l)dx-
-i/l l-l∫f(x)sin(kx/l)dx)= 1/2ll-l∫f(x)cos(kx/l)-
-isin(kx/l)dx=1/2ll-l∫f(x)ei(-k)x/ldx,
t.y. ck=1/2ll-l∫f(x)ei(-k)x/ldx; k=1,2,3.
Analogiškai: c-k=(ak+ibk)/2=viskas analogiskai=
=1/2ll-l∫f(x)e-ikx/ldx; k=1,2.
Taigi apjungę gautume trigonometrinės Furje eilutės komplexinę formą:
f(x)=k=-ckeikx/l, ck=1/2ll-l∫f(x)e-ikx/ldx
14. FURJE INTEGRALAS. FURJE TRANSFORMACIJA.
Tarkime, kad turime neperiodinę f)ją f(x) apibrėžtą visoje skaięių tiesėje, kuri yra dalimis ?glodi? kiekvienoje atkarpoje [-l;l] ir absoliučiai integruojama visoje realiųjų skaičių tiesėje, t.y. -+∫|f(x)|dx=M<. Tuomet kiekviename baigtiniame intervale gali išreikšti konverguojančia funkcija trigonometrine Furje eilute:
Sf(x)=a0/2+n=x(akcos(kx/l)+bksin(kx/l)=
=1/2ll-l∫f(t)dt+k=1(1/ll-l∫f(t)cos(kt/l)dtcos(kx/l)+
+1/ll-l∫f(t)sin(kt/l)dtsin(kx/l)=
=1/2ll-l∫f(t)dt+k=11/ll-l∫f(t)(cos(kt/l)dtcos(kx/l)+
+sin(kt/l)+sin(kx/l))dt=
=1/2ll-l∫f(t)dt+1/k=1/ll-l∫f(t)cos(k/l) (t-x)dt=
={wk=k/l, wk=wk+1wk=(k+1)/l-k/l=/l}=
=1/2ll-l∫f(t)dt+1/k=1(l-l∫f(t)coswk(t-x)dt)/l=
={n=1g(wk)wwk=/l0, l00∫y(w)dw}l
0M+1/+0∫(+-∫f(t)cosw(t-x)dt)dw=
=1/+0∫dw+-∫f(t)cosw(t-x)dt
Apibrėžimas: f(x)=1/ +0∫dw+-∫f(t)cos(w(t-x))dt, šios lygybės dešinioji pusė vadinama neperiodinės absoliučiai integruojamoz funkcijos dvilypiu Furje integralu.
Pastebėsime, kad šiuo atveju f-jos f(x) trūkio taškuose xk: 1/+-∫dw+-∫f(t)cosw(t-x)dt=1/2 (f(xk-0)+f(xk+0)).
Dvilypiam integralui suteixime kitą išraišką, pasinaudodami cos formule:
f(x)=1/+0∫dw+-∫f(t)cos(w(t-x))dt=
=1/+0∫dw+-∫f(t)coswt coswx+sinwt sinwx)dt=
=+0∫(a(w)coswx+b(w)sinwx)dw
Apibrėžimas: Lygybės:

f(x)= +0∫(a(w)coswx+b(w)sinwx)dw

a(w)=1/ +-∫f(t)coswtdt

b(w)=1/ +-∫f(t)sinwtdt
dešinioji pusė vad funkcijos Furje integralu.
14.1. FURJE COS & SIN TRANSFORMACIJOS.
1) tarkime, kad f-ja yra lyginė f(x)=f(-x), tuomet
b(w)=0; a(w)=2/ +0∫f(t)coswtdt.
Furje integralas atrodys taip:
f(x)=+∞0∫a(w)coswxdw=0+∞∫(2/ 0+∞∫f(t)coswtdt)coswxdw=
=(2/) 0+∞∫f(t)coswtdt) coswxdw=
=(2/)0+∞∫Fc(w)coswxdw;
Apibrėžimas: bendru atveju lygybė: F(w)=(2/)0+∞∫f(t)coswtdt apibrėžia tiesioginę Furje cosinuso transformaciją, o lygybė:
f(x)=(2/) 0+∞∫Fc(w)coswxdw atvirkštinė cosinus Furje transformacija.
Analogiškai lygybių: Fs(w)=(2/) 0+∞∫f(t)sinwtdt ir f(x)=(2/) 0+∞∫Fs(w)sinwxdw apibrėžiamos tiesioginė ir atvirkštinė Furje sinuso transformacija.
14.2. KOMPLEXINĖ DVILYPIO FURJE INTEGRALO FORMA.
Apibrėžimas: Dvilypis Furje integralas:
f(x)=1/ 0+∞∫dw0+∞∫f(t)cos(w(t-x))dt.
Pastebesime, kad funkcija:
1(w)=-∞+∞∫f(t)cos(w(t-x))dt yra lygine w atzvilgiu,
1(-w)=1(w); +∞-∞∫1(w)dw=2+∞0∫1(w)dw.(1); o funkcija: 2(w)= +∞-∞∫f(t)sinw(t-x)dt, 2(-w)=-2(w),
+∞-∞∫2(w)dw=0.(2).
Pasinaudoje (1) ir (2) lygybėmis dvilypį Furje integralą galima užrašyti taip:
f(x)=1/ 0+∞∫dw-∞+∞∫f(t)cos(w(t-x))dt=
=1/ 0+∞∫1(w)dw=1/2 -∞+∞∫(1(w)-i2(w))dw=
=1/2 -∞+∞ ∫(-∞+∞∫f(t)cosw(t-x)dt-i-∞+∞∫f(t)sinw(t-x)dt)dw=
=1/2-∞+∞∫f(t)(cos(w(t-x)-isin(w(t-x))dt)dw=
=1/2-∞+∞∫(-∞+∞∫f(t)(cosw(x-t)+isinw(x-t)dt)dw=
=1/2-∞+∞∫(-∞+∞∫f(t)eiw(x-t)dt)dw=
=1/2-∞+∞∫eiwx(-∞+∞∫f(t)e-iwtdt)dw;
Apibrėžimas: Lygybės dešinioji pusė vadinama dvilypio Furje integralo komplexine forma.
Jei pažymėtume: c(w)=1/2 -∞+∞∫f(t)e-iwtdt.(*), tai dvilypį Fucken(Furje) intervalą užrašysime:
f(x)= -∞+∞∫c(w)eiwxdw.(**), tai Furje integralo komplexinė forma.
Lygybėmis (*) ir (**) apibrėžti sąryšiai vadinami tiesiogine ir atvirkštine Furje transformacijomis ir žymimi:
F(w)=1/2-∞+∞∫f(t)e-iwtdt- Furje transformacija
f(t)= -∞+∞∫F(w)eiwxdw-atvirkstine F Tr.
Dažniausiai tiesioginė ir atvirkšt F transformacijos užrašomos geometriniu pavidalu:
F(w)=1/2 -∞+∞∫f(t)e-iwtdt; f(x)=1/2-∞+∞∫F(w)eiwxdw.
Pastebėsime, kad f-ja lyginė, tai F transformacija sutampa su jos cosinusų transforma. Jei f-ja nelyginė, tai jos Furje tr-a sutampa su sinusų tr-a.
15. SPEKTRO SĄVOKA.
Tarkime, kad turime periodinės funkcijos f(x) su periodu T=2L Furje eilute:
f(x)=a0/2 + ∞n=1(ancos(nx/l)+bnsin(nx/l), šios eilutės narys vadinamas n-tąja f-jos harmonija.
Pastebėsime, kad ją gali užrašyti pavidalu:
Ancos(nx/l+n); ancos(nx/l)+bnsin(nx/l)=
=(an2+bn2)*[cos(nx/l)(an/(an2+bn2))+
+sin(nx/l)(bn/(an2+bn2))]=Ancos(nx/l-n),
n: cosn=an/(an2+bn2)

sinn=bn/(an2+bn2)
čia An—n-tosios harmonikos amplitudė, n¬—n-tos harmonikos fazė, T=2l/n—periodas.
Taigi periodine su periodu T=2l funkciją gali užrašyti taip: f(x)=a0/2 + ∞n=1(ancos(nx/l)+bnsin(nx/l)=
=a0/2 + ∞n=1Ancos(nx/l-n)=+∞n=-∞cneinx/l
Savokos: F-jos f(x) (signalo) spektru vadinsime skaičių sekas:
{a0;an;bk}kN arba {Ck}nZ
{a);an;bk}kN—dažnuminis spektras;
{Ak}kN—amplitudinis spektras;
{n}min—dažnuminis spektras;
{Ck}kZ—komplexinis amplitudinis dažnuminis spektras
einx/l—n-oji komplexinė harmonija;
Pastebėsime, kad periodinės f-jos išskaidymo į harmonikas procesas vad harmonine analize.
Jeigu f-ja nėra periodinė, tai Furje eilutę gali pakeisti į Furje integralą:
f(x)=1/2-∞+∞∫eiwx(-∞+∞∫f(t)e-iwtdt)dw=1/2-∞+∞∫F(∞)eiwxdw
Funkcija F(w)=-∞+∞∫f(t)e-iwtdt—f-jos f(t) Furje transform-vadinama signalo f spektru arba spektriniu tankiu.
Dydis w-signalo dažnis arba spektr tankio dažnis; dydis S(w)=|F(w)|-amplitudinis spektro modulis;
(w)=-argF(w)—fazinio spektro.
Praktiniuose uždaviniuose svarbų vaidmenį atlieka signalo actatymo pagal žinomą spektrą uždavinys. Atkreipkime dėmesy kad dažnai nereikia žinoti spektro F(w) visiems dažniams. Be to prietaisai gali užfixuoti spektrą tik tam tikroje dažnio juostoje |w| X(0)=0
u(l,t)=X(l)T(t)=0–>X(l)=0;
Srendžiame Koši uždavinį:

X“(x)-cX(x)=0

X(0)=0;

X(l)=0
Sudarome charakteringąją lygtį: C=0–>X“(x)=c1–> X(x)=c1x+c2;
X(0)=0; X(l)=0–> c1=0, ty X(x)=0=U(x,t)=0-trivialus sprendinys;
Sudarome charakteringąją lygtį: C0, 2-C=0, 2=C
2) C=k2>0 X(x)=c1e-kx+c2ekx

2=k2 X(0)=0 c1+c2=0

1,2=k X(l)=0 c1e-kl+c2ekl=0 –>C2=-c1

1=k; 2=-k; c1e-kl+c2ekl=c1e-kl(1-e2kl)=0
c1=0–> c2=0–> X(x)=0.
u(x,l)=0-trivialus sprendinys.
3) c=-k2<0; 2=-k2; 1,2=ik;
X(x)=c1cos(kx)+c2sinkx

X(0)=0 c1+c20=0 c1=0

X(l)=0 c1cos(kl)+c2sinkl=0 c2sinkl=0
C20 (u(x,t)=0) –> sinkl=0–>kl=n, nZ;
k=n/l>0; n=1,2,3.
Xn(x)=c2sin(nx/l), n=1,2,3.; c=-(n/l)2
Sprendžiame lygtį: T“-ca2T=0; T“(t)+(na/l)2T=0; 2+(na/l)2=0; 1,2=ina/l; T(t)=C1,n*cos(nat/l)+C2,n*sin(nat/l); un(x,t)=Tn(t)Xn(x)=(C1,n*cos(nat/l)+C2,n*sin(nat/l))*C2nsin(nx/l); u(x,t)=∞n=-1Cnun(x,t)= =∞n=1(Ancos(nta/l)+Bnsin(nta/l))sinnx/l—stygos svyravimo lygties bendras sprendinys.(4)
IV. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS.
17.1. KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS ALGEBRINĖ FORMA.
z =x+iy , x,y € IR
i –menamas vienetas; x =Re z –realioji komp. sk. dalis.; y=Im z –menamoji komp. sk. dalis;
z =x-iy –komp. sk. jungtinis kompleksiniam skaičiui: z=x+iy
z1=z2 <=> x1=x2; y1=y2
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1*z2=(x1*x2–y1*y2)+i(x1*y2+y1*x2)
z1/z2=(z1*z2) / z22+y22
17.2. KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS TRIG. FORMA IR JO VAIZDAVIMAS PLOKŠTUMOJE.
(x,y) ~ M(x,y) € IR2
(x,y) ~ r(vek.)=(x,y)
(x,y) ~ z=x+iy

Apibrėžimas: │z│=│r(vek.)│=√x2+y2
Apibrėžimas: Kampas, kurį sudaro vektorius r su teigiama x ašies kryptimi, vad. kompleksinio skaičiaus z argumentu.
Argumento reikšmė iš intervalo (-π ; π) arba [0; 2π) vad. pagrindine kompleksinio skaičiaus z argumento reikšme arg z.
Visų kompl. sk. reikšmių argumento aibė vad. šio kompl. skaičiaus argumentu. Arg z={ arg z+2πk│k=4}= {(arg z)k ; k=4 }
Pastebėsime, kad tokiu atveju:
x=│z│ cos φ; φ=arg z
y=│z│ sin φ;
z=x+iy=│z│ cos φ +i│z│ sin φ=│z│(cos φ+i sin φ)
Tai kompl. sk. trigonometrinė forma.
z1*z2=│z1│*│z2│(cos (φ1+φ2) +i sin (φ1+φ2))
zn =│z│n (cos nφ+i sin nφ)
z1 / z2=│z1│/│z2│(cos (φ1-φ2) +i sin (φ1-φ2))
17.3. KOMPLEKSINIŲ SKAIČIŲ AIBĖ.
Apibrėžimas: Taško t0 aplinka Uε(z0) vad. skritulys │z-z0│< ε tai yra Uε(z0)={z: │z-z0│< ε , z € C}
Apibrėžimas: Tašką z0 , vad. aibės E vidiniu tašku, jeigu egzistuoja šio taško ε aplinka, visai priklausanti duotajai aibei.
Apibrėžimas: Aibė E, vad. atvirąja aibe, jeigu jos visi taškai yra vidiniai.
Apibrėžimas: Taškas z0 , vad. aibės Ekontūro tašku, jeigu bet kurioje jo aplinkoje yra taškų priklausančių aibei ir jai nepriklausančių. Visų aibės E kontūro taškų aibė vad. aibės E kontūras ir žymima ∂E.
Pvz.: E= (a;b] ∂E={a;b}
Apibrėžimas:Aibė su prie jos prijungtu kontūru, vad. uždara, t.y. E U ∂E –uždara aibė.
Kompl. plokštumoje realaus kintamojo t kompleksinė f-ja z (t): z (t)=x(t) +i y (t), kur x (t) ir y (t) –realios f-jos, nusakančios kreivę.

Savoka. Jeigu f-jos x(t) ir y(t) turi tolydžias išvestines, tai kreivė vad. glodžiąja: z(t)=x(t) +i y(t)
Apibrėžimas: Aibė E vad. jungiąja aibe, jei bet kuriuos jos du taškus galima sujungti tolydžiąja kreive, sudaryta tik iš šios aibės taškų.
Apibrėžimas: Atvira jungioji aibė vad. sritimi ir žymime D.
Apibrėžimas: Jeigu srities D kontūrą ∂D sudaro n nesikertančių uždarų tolydžiųjų kreivių (įskaitant ir tašką), tai sakome, kad sritis vad. –nejungiąja.
Apibrėžimas: Sakykime, kad kompl. sk. seka artėja prie be galo nutolusio skaičiaus t=∞, jeigu lim n→∞ │zn│=∞.
Apibrėžimas: Be galo nutolusio sk. begalybė, aplinka vad. bet kurio skritulio išore: │z-z0│>R t.y.: {z: │z-z0│>R} – taško ∞ aplinka.
Apibrėžimas: Kompl. plokštuma C su prie jos be galo prijungtu nutolusiu tašku ∞ vad. išplėstine kompl. pl.
C =C U {∞}
18. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS.
18.1. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO SAVOKOS.

Apibrėžimas: Jeigu kiekvienam z € D c Cz galima priskirti vieną ar kelis skaičius w, priklausančius sričiai G, tai sakome, kad aibėje D yra apibrėžta kompl. kintamojo f-ja w=f(z)=U(x,y) +i V(x,y) U;V € R
Apibrėžimas: Jeigu aibėje D apibrėžta f-ja w=f(z) yra vienareikšmė ir skirtinguose taškuose įgyja skirtingas reikšmes f(z1) ≠ f(z2), kai z1 ≠ z2, tai ši f-ja vad. vienalape.
Apibrėžimas: F-ja f(z) vad. daugialape, jeigu srityje D egzistuoja bent du taškai z1 ir z2 (z1 ≠ z2), kuriuose f-jos reikšmės lygios f(z1) = f(z2)
Apibrėžimas: Srityje D apibrėžtos daugialapės f-jos f(z) šakojimosi tašku vad. toks taškas t0, kad neegzistuoja daugiau taškų, kuriuose f-jos f(z) reikšmės sutaptų su šakojimosi reikšmėmis f(t0).
Apibrėžimas: Daugialapė f-ja vad. n lape, jeigu kiekvienam jos taškui t1 (išskyrus šakojimosi tašką) galima nurodyti ne daugiau, kaip n-1 skirtingą tašką z1;z2;z3, kuriuose f-jų reikšmės sutampa f(z1)= f(z2)=f(z3)=.=f(zn)
18.2. RIBA. TOLYDUMAS. DIFERENCIJUOJAMAS.
Apibrėžimas: lim (z→z0) f(z) =w0 <=> visi ε >0 egzistuoja ∂(ε)>0: visi z: 0<│z-z0│<∂(z) →│f(z)-w0|< ε

Išvada: Iš kompl. kintamojo f-jos ribos apibrėžimo matyti, kad ribų skaičiavimo taisyklės išlieka tos pačios.
Teorema. Skaičius w0=U0 +i V0 yra
f(z)= U(x,y) +i V(x,y) z riba t→t0=x0 +i y0 (f(z) →w0 ; z→z0) tada ir tik tada, kai:
lim (x→x0; y→y0) U(x,y)=U0 ir
lim (x→x0; y→y0) V(x,y)=V0 t.y.
lim (z→z0) f(z)=w0
Išvada. Kompl. kintamojo f-jos riba pasižymi tomis pačiomis savybėmis kaip ir kelių kintamųjų f-jos riba, t.y. turi nepriklausyti nuo kelio, kuriuo artėjama prie (x0;y0) t.y. z0.
Apibrėžimas: Kompl. kintamojo f-ja vad. tolydžia taške z0, jei riba lygi f-jos reikšmei: lim (z→∞) f(z)=f(z0) ir tolydi šios srities taške.
Pažymime ∆z=z-z0 –f-jos argumento pokytis.
∆f(t0)= f(z)-f(z0)= f(z0+∆z)-f(z0)= ∆U(x0;y0)+i ∆V(x0;y0)
f-jos pokytis atitinkantis argumento pokytį ∆z.
Apibrėžimas: Jeigu egzistuoja baigtinė riba: lim (∆z→0) ∆f/∆z tai ši riba vad. f-jos f(z) taške z0 išvestine f ‘(z0).
Ir f-ja vad. diferencijuojama taške t0.
F-ja difer. srityje D, jei ji difer. kiekviename šios srities taške.
Apibrėžimas: Vienareikšmė f-ja difer. kiekviename srities D taške, vad. analitine (reguliariąja, homogenine, monogenine) srityje D.
Teorema (Koši-Rymanso difer. sąlygos): kompl. kintamojo z=x+i y f(ja f(z)=U(x,y) +i V(x,y) apibrėžta srityje D yra difer. šios srities taške z0=x0 +i y0 , tada ir tik tada, kai f-jos U(x,y) ir V(x,y) yra difer. taške (x0,y0) ir jų dalinės išvestinės šiame taške tenkina Koši-Rymano sąlygas: { ∂U / ∂x= ∂V / ∂y ; ∂U / ∂y= ∂V / ∂x}
Įrodymas: (būtinumas). Tarkime, kad f-ja f(z) difer. taške z , t.y. egzistuoja f ‘(z). Tuomet:
1) lim (∆z→0) ∆f(z) / ∆z =lim (∆z→0) (∆U(x,y) +i ∆V(x,y)) / ∆x +i ∆y , tuomet ši riba nepriklauso nuo kelio: 1) lim (∆z→0) ∆f(z)/∆z =lim (∆x ir ∆y→0) (∆U(x,y) +i ∆V(x,y)) / ∆x=∂U(x,y) / ∂x +i (∂V(x,y)) /∂x
2) lim (∆z→0) ∆f(z) /∆z =–i (∂U(x,y)) /∂y + (∂V(x,y)) /∂y –i (∂U(x,y)) /∂y
iš 1) ir 2) turim: ∂U/∂x +i ∂V/∂x=∂V/∂y –i ∂U/∂y =>
=> { ∂U / ∂x= ∂V / ∂y ; ∂U / ∂y= ∂V / ∂x}.
Išvada: Jei išpildomos Koši-Rymanso sąlygos, tai egzistuoja f ‘(z)= ∂U/∂x +i ∂V/∂x –i ∂U/∂y=∂V/∂y –i ∂U/∂y = ∂V/∂y +i ∂V/∂x.
Iš kompl. kintamojo f-jos matyti, kad kompl. kintamojo f-ja difer. pagal tas pačias taisykles, kaip ir realaus kintamojo f-ja, t.y.: (C*f(z))’=C*f ‘(z);
(f(z)*g(z))’=f ‘ *g+f *g’
(f(g(w)))’=f ‘(g)–g’(w) –w
df (x)= f ‘(x) dx df(z)=f ‘(z) dz ir dz=dx+i dy
18.3. HARMONINĖS FUNKCIJOS.
Apibrėžimas: Realioji dviejų kintamųjų f-ja U(x,y) vad. harmonine srityje D, jei šioje srityje ji tenkina Laplaso lygtį: ∂2U/∂x2 + ∂2U/∂y2 =0
Teorema. Analizinės f-jos f(z)=U(x,y)+i V(x,y) srityje D, realioji ir menamoji dalys yra harmoninės f-jos šioje srityje.
Įrodymas. Jeigu f-ja analizinė srityje D, tai ji, remianris apibrėžimu, yra difer. todėl turi tenkinti Koši-Rymano sąlygas: {∂U/∂x=∂V/∂y ir ∂U/∂y=∂V/∂x}
1) ∂2y/∂x2=∂2V/∂y∂x ir ∂2U/∂y2=∂2V/∂x∂y =>
=> ∂2U/∂x2 + ∂2U/∂y2 =0
2) ∂2V/∂x2 + ∂2V/∂y2 =0
Apibrėžimas: Dvi harmoninės f-jos U(x,y) ir V(x,y) susijusios Koši-Rymano sąlygomis vad. jungtinėmis-harmoninėm f-mis.
Išvada 1: Analizinės f-jos f(z) realioji ir menamoji dalys yra jungtinės harmoninės f-jos.
Išvada 2 : Jei žinome analizinės f-jos f(z) realiąją ir menamąją dalį, tai konstantos tikslumu galime rasti ir pačią f-ją.

19. PAGRINDINĖS ELEMENTARIOSIOS FUNKCIJOS.
19.1. LAISPNINĖ FUNKCIJA.
Laipsninė f-ja f(z) =zn ,n € N yra vienareikšmiška ir tolydi visoje kompl. plokštumoje:

Jei n≠1 , spindulys Lα={z: arg z=α} spindulys pervedamas į: Lnα={w: (arg w)k= n α │w € C }.
Todėl taškai z1 ir z2 , kurių moduliai yra lygūs, o argumentai skiriasi dydžiu 2πk /n , k=0,n-1 atvaizduojami į tą patį tašką.
z1n =(r(cos φ +i sin φ))n= rn (cos sin φ +i sin φ)= w
z2n =(r(cos (φ ±2πk/n) +i sin (φ ±2πk/n))n
Taigi f-ja w= z n yra n-lapė.
Įrodymas. lim (∆z→0) ∆z/∆z=1
(z2)=(z*z)’=z’*z + z*z’=z+z=2z
(z3)=(z2*z)’=(z2)’*z+z2*z’=3z2
Hipotezė. (zk)’=k*zk-1
Laipsninių f-jų pagalba glima apibrėžti sveikąją racionaliają f-ją: Pn(z)=Ck zn +Cn-1 zn-1+.+C0
Bei trupmeninę racionalinę f-ją:
R(z)=Pm(z) /Pn(z)=(am zm +an-1zn-1+.+a0)/ (bn¬ zn +bn-1 tn-1+ .+b0 ai ir bi € C
19.2. RODIKLINĖ (EKSPONENTINĖ) FUNKCIJA.
ez =ex+i y =ex (cos y +i sin y) –Oilerio formulė.
Šio apibrėžimo pagristumą galima paaiškinti matematinės analizės pagalba, taip pat eilučių pagalba.
Pastebime, kad:
cos y +i sin y = ∞ n=0∑ y2n (-1)n/(2n)! +y n=0∞∑ y2n+1 (-1)n/ (2n+1)! = ∞ n=0∑ y2n (i)2n/(2n)! + n=0∞∑ y2n+1 i(i)n/ (2n+1)!= ∞ n=0∑ (iy)2n/(2n)! + n=0∞∑ (iy)2n-1/ (2n+1)!= =n=0∞∑ ( (iy)2n/(2n)! + (iy)2n+1/(2n+1)! )= n=0∞∑ (iy)k/k!= {│iy│< ∞ =>│y│<∞}= eiy => ex (cos y +i sin y)= e z
Savybės.
1) e z1 * ez2 =ez1+ z2
2) ez yra periodinė f-ja su menamu periodu T=2πi
Įrodymas: ez ± 2 π i=ez * e±2πi =ez (cos (±2π) +i sin (±2π)) =ez
3) (ez)’=ez
Įrodymas. f(z)=ez=ex(cos y +i sin y)=ex cos y +i ex sin y
Dalinės išvestinės. Tikriname ar išpildytos Koši-Rymano sąlygos:
{∂U/∂x =ex cos y =∂V/∂y ; ∂U/∂y= –ex sin y = –∂V/∂x }
Sąlygos išpildomos (visi x, y € R) todėl:
f ‘(z)= (ez)’=(∂U/∂x +i ∂V/∂x)= ex cos y +i ex sin y =ex (cos y +i sin y)= e z
19.3. TRIGONOMETRINĖS IR HIPERBOLINĖS FUNKCIJOS.
Iš Oilerio form., kaip žinome, turime:
Cos x= (eix + eix) /2 ir sin x= (eix – eix) /2i
Šiomis formulėmis ir pasinaudojama apibrėžiant kompl. kintamojo argumento trigonometrinės f-jas.
cos z = (eiz+e-iz) /2 ir sin z=(eiz – e-iz) /2i
tg z = sin z /cos z = – (e2 i z-1) / (e2 i z +1)
ctg z = cos z /sin z = i (e2 i z +1) /(e2 i z –1)
Kaip apibrėžtos kompl. kintamojo trigonometrinės f-jos pasižymi panašiomis savybėmis kaip ir realaus kintamojo f-jos, t.y.: cos (-z) =cos z
sin (-z) = – sin z sin2 z + cos2 z=1

sin 2z= 2 sin z * cos z
(sin z)’=cos z
(cos z)’= –sin z (tg z)’=1/cos2 z
(ctg z)’= – 1/ sin2 z
Panašiai kaip ir trig. f-jų atveju apibrėžiamos kompl. kintamojo hiperbolinės f-jos: (sh z= ez – e-z) /2
ch z = (ez + e-z) /2
th z = sh z/ch z = (e2z –1)/ (e2z+1)
cth z =ch z / sh z = (e2z+1) / (e2z –1)
Pastebėsime, kad: sh2z + ch2z =1
19.4. LOGORITMINĖ IR BENDROJI LAIPSNINĖS FUNKCIJOS.
Logoritminė f-ja w=Ln z yra apibrėžiama, kaip atvirkštinė rodiklinei f-jai z=ew
Tarkime, kad w=U +i V , o z=r(cos φ +i sinφ)=r* ei φ , tai iš logoritminės f-jos apibrėžimo:
r * ei φ= eU+i V= eU * ei V, tuomet =>{r = eU ; ei V=ei φ =>
U=ln r =ln│z│
{U=ln│z│; i V= i(φ+2πk)}=>{V=arg z +2πk =Arg z} =>w=Ln│z│=i Arg z=ln│z│+i arg z+i 2πk=ln z +i 2πk
ln z = ln │z│+i arg z ––pagrindinė ln reikšmė
Iš logoritmo apibrėžimo galima įsitikinti, kad:
Ln (z1 * z2)=Ln z1 + Ln z2
Ln z1/z2 =Ln z1 – Ln z2
Naudodamiesi logoritmo apibrėžimu ir savybe uv =ev ln u, galime apibrėžti apibendrintą laipsninę f-ją: zw= ew Ln z
19. 5. ATVIRKŠTINĖS TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS.
Panašiai, kaip ir apibrėžiant logoritminę f-ją, atvirkštinės trigonometrinės f-jos:
w = Arcsin z ; z =sin w ;
w = Arccos z ; z =cos w ;
Yra apibrėžiamos kaip atvirkštinės f-jos. Kadangi trigonometrinės f-jos išreiškiamos eksponente f-ja, tai ir atvirkštinės trigonom. f-jos išreiškiamos logoritminės f-jos pagalba.
20. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS INTEGRALAS.
20.1. KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS KREIVINIS INTEGRALAS.

Tarkime, kad kompl. plokšt. Cz srityje D apibrėžta dalimis glodi orientuota kreivė L jungianti taškus A ir B. o šios kreivės taškuose apibrėžta vienareikšmė tolydi f-ja f(z) =U(x,y) +i V(x,y)
Pradėję nuo taško A kreivę L tarpiniais taškais z0=A; z1;z2.zn=B dalijame kreivę į n dalių. Kiekvienoje kreivės dalyje pasirenkame atsitiktinį tašką:
ξk=ζk +i ηk ir sudarome integralinę sumą:
Sn = k=1n∑ f(ξk) *∆zk
Apibrėžimas: F-jos f(z) kreiviniu integralu kreivė l L∫ f(z) dz , vad. riba: lim (max│∆zk│→0) Sn , jeigu ji egzistuoja ir yra baigtinė.
Savybė (1). L∫ f(z) dz =L∫ (U +i V) (dx +i dy) =L∫U dx – V dy +i L∫ V dx + U dy
Taigi kaip matyti iš (1) savybės, kompl. kint. f-jos kreivinis integralas pakeičiamas dviems realių f-jų kreiviniais integralais. Taigi jo savybės sutampa su kreivinio integralo savybėmis.
Savybė (2). L AB∫ f(z) dz = – L AB∫ f(z) dz
Savybė (3). L AB∫ f(z) dz =L AC∫ f(z) dz + L CB∫ f(z) dz
Savybė (4). L AB∫ (α f(z) +β g(z)) dz = α L AB∫f(z) dz +β L AB ∫ g(z) dz
Savybė (5). Jei kreivė duota parametrinėmis lygtimis, t.y. L: z = z (t); t € [α ; β], tai:
L∫ f(z) dz = βα∫ f(z(t)) * z’ (t) dt
Teorema (Koši teorema vienjungėje srityje). Jeigu vienajungėje srityje D analizinė f-ja w=f(z) turinčią tolydžią išvestinę integruojame uždaru, dalimis glodžiu tos srities kontūru taip: ∂D∮ f(z) dz =0
Be įrodymo pastebime, kad Koši teorema yra teisinga ir tais atvejais, kai: 1) f(z) yra tik analizinė;
2) f(z) analizinė visur, išskyrus baigtinių taškų, kuriuose lim ( z→zk) (z – zk)
Išvada. Analizinės f-jos f(z) integralas vienjungėje srityje priklauso ne nuo integravimo kreivės pasirinkimo šioje srityje, o tiktai nuo jos galinių taškų.
Teorema (Koši teorema daugiajungei sričiai). Jeigu f(z) yra analizinė n+1 –jungėje srityje (n≥1) D turinčioje kontūrą ∂D =L U lk , taip L+∮ f(z) dz = nk=1∑ l k+∮ f(z) dz
Įrodymas.

Sujungiame L kreivę su kontūrais lk γk , tuomet sritis apribota kontūru:
L+ nk=1U l–k nk=1U γ+k nk=1U γ –k =L*
yra uždara. Šios srities viduje f-ja f(z) analizinė. Todėl:
L*∮ f(z) dz =0
20.2. INTEGRALAS SU KINTAMAIS VIRŠUTINIAIS RĖŽIAIS.
Kaip parodome analizinė vienjungėje srityje f-ja nepriklauso nuo pradinių ir galinių taškų z0 ir z jei viršutinį rėžį laikysime kintamu, tuomet ir:
zz0∫ f(ξ) d ξ ξ=ζ +i η ,bus kintamojo z f-ja, t.y.,
F(z) =zz0∫ f(ξ) d ξ
Pastebėsime, kad F(z+∆z) – F(z)= z+∆zz0∫ f(ξ) d ξ – zz0∫ f(ξ) d ξ = z+∆zz∫ f(ξ) d ξ = z+∆zz∫ (f(z) +f(ξ) – f(z)) d ξ = f(z) ∆z + z+∆zz∫ (f(ξ) – f(z)) d ξ
Kaip pastebėjome, kad kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.
Apibrėžimas: Analizinė f-ja F(z) vad. f-jos f(z) pirmykšte f-ja srityje D, jeigu šioje srityje : F’(z) =f(z).
Analizinės f-jos f(z) pirmykščių f-jų aibė vad. šių f-josneapibrėžtiniu integralu ∫ f(z) dz.
Analizinių f- jų neapibrėžtinių integralų savybės ir jų skaičiavimo metodai kompl. kint. f-jos yra tokie patys, kaip ir realaus kint. atveju t.y.:
∫ f(z) dz =F(z) +C
z2z1∫ f(z) dz =F(z) │z2z1 =F(z2) – F(z1)
z2z1∫ f(z) dφ(z) =f(z) g(z)│z2z1 – z2z1∫ g(z) d f(z)
20.3. KOŠI INTEGRALINĖ FORMA.
f’(z0) = 1/2i*D (f(z)/z-z0)dt, jei f(z) md.
Teorema (Integralinė koši formulė vienjungei sričiai) Jeigu f(z) analizinė vienjungeje srytyje or ibojamoji dalimis uždaru kontūru OD, tai šios f-jo reikšmę bet kuriame taške z0 apskaičiuojame pagal formulę:
f(z0)=(1/2i)D(f(z)/z-z0)dz.
Įrodymas (1/2i)D(f(z)/z-z0)dz=(1/2i)D(f(z0)+f(z)-f(z0)/z-z0)dz=(f(z0)/2i)D(dz/z-z0)+ =(1/2i)(f(z)-f(z0)/z-z0)= (f(z0)/2i)* 2i+0=f(z0).
Pasinaudojame tuo, kad f-ja srityje D. D=Duj +ujuj yra analizinė, todėl D(1/z-z0)dz=-l(1/z-z0)dz=(1/z-z0)dz=2i;  z0,  R, z-z0=R, o antrasis integralas D(f(z)-f(z0)/z-z0)dz=0, nes lim(zz0) g(t)=lim(z-z0)
( f(z)- f(z0)/z-z0)
Išvada 1: Jei f(z) analizinėje srytyje D tai D(f(z)/z-z0)dz=2i*f(z0)
Išvada 2: Iš koši integralinės teoremos analizinei f-jai daugiajungėje srityje bei Koši integralines formules, gauname, kad teisinga ir Koši integralinė formulė daugiajungei sričiai :
f(z0)= (1/2i)l(f(z)/z-z0)dz-(k=1 iki n) l(f(z)/z-z0)dz; Teorema (diferencialinė Koši forma) Jeigu f-ja f(z) analizinė srityje Dvienjungėje, tai ji šioje srityje yra be galo diferenc.Ir f(n)(z0)=(n!/2i)D(f(z)/(z-z0)n+1dz, t.y. analizinės f-jos išvestinė yra analizinė f-ja
Išvada: D(f(z)/(z-z0)n+1dz=(2i/ n!) f(n)(z0), kai f-ja analizinė.
21.EILUTĖS.
21.1. KOMPLEKSINIŲ SKAIČIŲ EILUTĖS.
Kompleksinio sk. Eilutė ir jos konvergavimas S=(n=0 iki)Cn, an= an+ibn, an, bn R yra apibrėžiami taip pat kaip ir realių skaičių eilučių atveju.
Savybė1: Kompleksinio sk. eilutė S=(n=1 iki)( an+ibn) konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja realių skaičių eilutės : Sa=(n=1 iki)an ir Sk=(n=1 iki)bn
Savybė2: Jeigu konverguoja Sc.=(n=1 iki)Cn bei konverguoja Sc=(n=1 iki)Cn. Analogiškai kaip ir realių skaičių eilučių atveju apibrėžiamos kompleksinių skaičių eilučių absoliutus ir relaityvus konvergavimai.
Savybė3: Kompleksinių sk. eilutė Sc=(n=1 iki)Cn konverguoja absoliučiai tada ir tik tada, kai konverguoja eilutės (n=1 iki)RnCn=(n=1 iki)ImCn=(n=1 iki)bn;
21.2. FUNKCIJŲ EILUTĖS.
Panašiai, kaip ir realaus kintamojo atveju apibrėžiamos ir kompleksinio kintamojo eilutės. Joms galima taikyti tuos pačius konvergavimo ir tolydaus konvergavimo apibrėžimus F-jų eilutė S(z) =(n=1 iki)
(z-z0)n; Cn, z0 L vadinama kompleksine laipsnine eilute. Kompleksinio kintamojo laipsninėms eilutėms galioja visos 3 Abelio teoremos. Pastebėsime, kad panašiai kaip ir realaus kintamojo atveju laipsninės eilutės suma konvergavimo srities viduje yra analizinė f-ja ir laipsninė eilutė konvergavimo srityje galima kiek norima sykių diferencijuoti arba integruoti panariui. Be to, jeigu f(z) yra analizinė srityje D, tai šią f-ją vieninteliu būdu galima išskleisti laipsnine Teiloro eilute :f(z)(k=0 iki)(f(k)(z0)/k!)(z-z0)k, Taške t0 ir jos konvergavimo spindulys yra lygus:
R=min (z0,D)
Pastebėsime, kad kompleksinio kintamojo elementariųjų f-jų Makloreno eilutės yra tokios pačios, kaip realaus kintamojo atveju. Be to Teiloro eilutės koeficientai kompleks. Kintamojo atveju tenkina Koši nelygybę. Teorema(Koši nelygybė. Teiloro eilutės koeficientas) Jeigu f-ja f(z) analizinė srityje
z |-zo|=R1
Kaip jau pastebėta aukščiau paskutinei du integralai nepriklauso nuo spindulio gauname teoremos lygtį.
23. ANALIZINĖS FUNKCIJOS NULIAI IR YPATINGI TAŠKAI.
Analizinė taško zo aplinkoje funkciją galima išreikšti konverguojančia Teiloro eilute f(z)=Co+C1(z-zo) +.+ Ck (z-zo)k +.
Apibrėžimas: Taškas zo, kuriame f-jos f(z) reikšmė lygi nuliui vadinamas funkcijos f(z) nuliu: f(zo)=0
Apibrėžimas: Taškas zo f-jos f(z), vadiname k-osios eilės nuliu, jeigu šio taško aplinkoje pirmieji k Teiloro eilutės koeficientai yra lygūs nuliui:
Co=C1=.=Ck-1=0, o Ck0.
Išvada 1: Jeigu taškas zo yra analizinės f-jos f(z) k-osios eilės nulis, tai f(z)=(z-zo)k*(z), (zo) nelygu 0;
Išvada 2: Jei f(zo)=f’(zo) =.=f(k-1)(zo)=0, o f(k)(zo) nelygu 0, tai taškas zo yra f-jos k-osios eilės nulis.
Apibrėžimas: Taškas zo vadinamas f-jos f(z) izoliuotu, ypatingu tašku, jeigu to taško aplinkoje, kai r>|z-z¬o¬|>0, f-ja yra analizinė, o pačiame taške z=zo. Jei yra arba neapibrėžta arba neanalizinė.
Apibrėžimas: F-jos f(z) izoliuotas ypatingas taškas zo f-jos f(z):
1. Pašalinama ypatingu tašku, jeigu to taško aplinkoje Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies.
Cn=0 nN
2. Pirmos eilės poliumi, kai
C-1¬=0, C-n=0
3. k-osios eilės poliumi, n2, jei Lorano eilutės pagrindinėje dalyje yra tik baigtinis narių sakaičius ir C-k0, o C-n=0, n>k
C-k0
4. Esminiu ypatingu tašku, kai Lorano eilutės pagrindinėje dalyje yra be galo daug narių.
Teorema1. Jei taškas zo yra f-jos pašalinamas ypatingas taškas, tai
Lema1. Jei taškas z=zo yra analizinės funkcijos f(z) k-tosios eilės polius, tai jis yra f-jos g(z)= 1/f(z) k-osios eilės nulis ir atvirkščiai.
Išvada. Jeigu taškas zo yra k-osios eilės polius tai
Apibrėžimas: Taškas zo= vadinamas analizinės f-jos f(z) izoliuotu ypatingu tašku, jeigu šio taško aplinkoje R<|z|< (R>>1) f-ja yra analizinė visur, išskyrus patį tašką z=. Pastebėsime, kad įvedus keitinį z=1/, taškas z= atvaizduojamas į tašką =0. Todėl f-jos f(z) tyrimas taško z= aplinkoje suvedamas į f-jos g()=f(1/z) tyrimą taško =0 aplinkoje.
24. REZIDIUMAI IR JŲ TAIKYMAS.
Jeigu taškas zo (zo0) yra analizinės f-jos ypatingas taškas, tai to taško aplinkoje f-ją galima išreikšti konverguojančia Lorano eilute.
Apibrėžimas: Lorano eilutės taško zo aplinkoje, koeficientas C-1 vadinamas funkcijos f(z) rezidiumu ir žymimas:
Resz=zof(z)=res f(z)=Resf(zo)= Res(f(z),zo) ir pan. Resz=zof(z)=C-1
Iš Lorano teoremos pastebėsima, kad
Resz=zof(z)=C-1=1/2if(z)dz; zo priklauso D/D;
Pagrindinė rezidiumų teorema: jeigu funkcija f(z) yra analizinė srities D, kontūro D taškuose ir tuo kontūru apribotoje srityje, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotų ypatingų vidinių taškų, tai
24.1 PAGRINDINĖS REZIDIUMŲ TAISYKLĖS.
1.1) Jeigu taškas zo yra f-jos f(z) pirmosios eil polius, tai
1.2) Tarkime, kad tšk zo yra f-jos f(z), kuri lygi
f(z)=(z)/(z) yra pirmosios eil. polius t.y. (zo)0 (zo)=0 (zo)0
2) z=zo k-osios eilės polius t.y.
C-k0;
Resz=zof(z)=C-1=1/(n-1)!*lim(zzo)((z-z0)k*f(z))k-1
Apibrėžimas: F-jos f(z) Lorano eilutės koef C-1 su priešingu ženklu vadiname f-jos f(z) rezidiumu , be galo nutolusiame taške t.y. Resz=f(z)=- C-1.
Teorema Rezidiumų suma visuose ypatinguose taškuose, įskaitant ir be galo nutolųsį tšk, yra lygi 0.
V. OPERACINIS SKAIČIAVIMAS.
25. LAPLASO TRANSFORMACIJA.
25.1.PIRMAVAIZDIS (ORGINALAS) IR VAIZDAS
Apibrėžimas: Jeigu f(t) realaus kintamojo t funkcija apibrėžta t > 0 ir egzistuoja netiesioginis integralas:E(p)=0∫ f(t)e-pt dt ; kur p=  + i ;   R,
tai šis integralas vadinamas funkcijos f(t) Laplaso transformacija.
Funkcija F(p) vadinama funkcijos f(t) vaizdu, o funkcija f(t) funkcijos F(p) pirmavaizdžiu, (originalu).
Ryšį tarp ir vaizdo (ir atvirkščiai) žymėsime:
Operaciniame skaičiavime nagrinėjami pirmavaizdžiai tenkinantys tokias sąlygas:
1. f (t) ir f 1(t) intervale 0<= t < begalybė yra atkarpomis tolydžios funkcijos, t.y. gali turėti tik 1 – osios rūšies trūkio taškus.
2. f(t) = 0 ;  t > 0
3. Egzistuoja M > 0;  > 0 ; | f(t)| <= M*et ; t >= 0 ;
Apibrėžimas: skaičius 0 = inf  vadinamas funkcijos f(t) didėjimo rodikliu, o pati funkcija vadinama baigtinio didėjimo funkcija, | f(t)| <= M*et ; t >= 0 ;jei  0 <  baigtinis; (1) ir (3) sąlygos tenkina daugelį praktikoj nagrinėjamų funkcijų,
(2) sąlyga fizikine prasme nieko neįpareigoja, nes fizikinį reiškinį mes pradedame tirti nuo pradinio momento t0 = 0 ir laikome kad iki tol jis buvo =0.
Norint, kad funkcija f(t) tenkintų (2) sąlygą pakanka ją padauginti iš Hevisaido vienalytinės funkcijos: operaciniame skaičiavime praktiškai rašome f(t), nors suprantame kaip f(t) * l(t);
Teorema(vaizdo egzistavimo): Kiekvienas pirmavaizdis f(t) turi vaizdą F(p) apibrėžtą ir analizinį pusplokštumėje, Re p > 0 čia (0 = inf )- funkcijos f(t) didėjimo rodiklis;
Įrodymas: Įrodysime, kad tokia funkcija F(p) egzistuoja, t.y. kad integralas konverguoja:
|F(p)| = | 0 ∫+ f(t) e-pt dt | <= 0∫+ |f(t)* e-t+it| dt <

0 ∫ + M*et * e-t *dt = M 0∫+ e-(-0)t dt = M/ -(-0) * e- (-0)t = M/ -(-0) * (0-1) = M/ (-0) taigi integralas konverguoja, o funkcija F(p) egzistuoja. Kadangi integralas konverguoja absoliučiai, tai iš integralų priklausomybių nuo parametrų teorijos, žinome, kad jį galima diferencijuoti parametro p atžvilgiu, taigi funkcija – analizinė.
Pastaba: | F(p)| <= M/ -0 –> (Rep =  -> ) 0
taigi lim ( Rep -> +) F(p) = 0 .
25.2. SARBIAUSIOS LAPLASO TRANSFORMACIJOS SAVYBĖS
Be įrodymo:
f1(t) ir f2(t) yra du pirmavaizdžiai ir f-jos, tai c*f1¬(t); f1(t) + – f2(t); f1(t) * f2(t); yar pirmavaizdžiai taip pat.
1) Tiesiškumo savybė. Jeigu f1(t) = F1(p) ir f1(t) = F2(p), tai c1 * f1(t) + c2 * f2(t) = c1 * F1(p) + c2 * F2(p) Sumos integralas = integralų sumai.
2) Panašumas. Jei f(t) = F(p)  > 0, tai f(t)= 1 F(p);
Įrodymas:

3) Postono savybė. Jei f(t) = F(p), tai eat *f(t)=F(p-a) Įrodymas:

=
4) Vėlavimo savybė. Jei f(t) = F(p) ir  > 0, tai f(t-)=e-p *F(p)
Įrodymas:

= epF(p);
5) Periodinio pirmavaizdžio vaizdas. Jei pirmavaizdis f(t) – periodinė f-ja su periodu T – f(t+T)=f(t), visiems t>0, tai

Irodymas:

6) Pirmavaizdžio diferencijavimo formulė.
Jeigu f(t) = F(p) ir f ’ (t) – pirmavaizdis tai f’(t)= pF(p) – f(0);
Išvada:

7) Pirmavaizdžio integravimo savybė (formulė). Jeigu f(t)=F(p)/p, tai ∫ (nuo 0 iki t1) f (u) du = F(p)/p;
Žinome, kad (∫ (nuo 0 iki t) f(U) du)t=ρ(t)
Tarkime, kad Laplaso transformatorius:
L{∫(nuo 0 iki l) f(u) du }=F*(p), tumet pagal (6) savybę: f(t)=(∫(nuo 0 iki t) f(u) du ) =
p * F*(p)* ∫(nuo 0 iki 0) f(u)du=p*F*(p)=F(p);
F*(p) = F(p)/p
8) Vaizdo diferencijavimo savybė (formulė). Jeigu f(t)=F(p), tai FI(p) =-t*f(t).
Įrodymas: Laplaso transformacija (vaizdas) yra analizinė funkcija todėl ją galima diferencijuotio argumento P atžvilgiu/
FI(p) =(∫(nuo 0 iki ∞) f(t) e –pt*(-t)dt=∫(nuo 0 iki ∞) (-t*f(t))e-pt dt=cos@= p/ p2+@2=-tf(t);
Išvada: F(n)(p) =(-t)nf(t) arba tn(t) = (-1)n F(n)(p).
9) Vaizdo integravimo savybė:
∫(nuo p iki +∞)F(s) ds, tai ∫(nuo p iki +∞)F(s) ds = f(t)/t , t.y. f(t)/t=∫(nuo p iki +∞)F(s) ds;
10) Jeigu f(t) =∫(nuo 0 iki +∞) (f(t)/t)dt= ∫(nuo 0 iki +∞) F(p) dp;-integravimo savybė;
11) ∫(nuo 0 iki +∞) f(t)dt=(-1)n+1∫(nuo 0 iki +∞) F(n+1)(p)dp.
12) Ribinės lygybės:
a) lim(Rep -> ∞) p * F(p) =lim(t-> +0)f(t) = f(+0);
b). lim(p -> 0) p * F(p) =lim(t-> ∞)f(t) ;
25.3. PIRMAVAIZDŽIŲ SĄSUKA. VAIZDŲ SANDAUGOS TEOREMA. DEONELIO FORMULĖ.
Apibrėžimas: F-ja f(t)= t 0∫f1(T)*f2(t-T) dT vad. f-jų f1(t) ir f2(t) sąsuka ir žymima: f1(t)*f2(t)=(f1*f2)(t) tai yra f1(t)*f2(t)= t0∫ f1(T) f2(t-T) dT
Pastebėsime, kad sąsukos operacija yra komutatyvi:
f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)
Įrodymas: f1(t)*f2(t)=t0∫f1(T)*f2(t-T) dT= {t-T=u t-u=T dT=-du}=0t∫f1(t–u)*f2(u)(–1) du=t0∫f1(t–u) f2(u)du= t0∫f2(u)*f1(t-u) du=f2(t)*f1(t)
Teorema (Borelio vaizdų sandaugos sąryšio f¬¬-lė):
Jeigu f1(t)=f2(t), o f2(t)=F2(p), tai f1(t)*f2(t)=F1(p)*F2(p)
Įrodymas: f1(t)*f2(t)=+∞0∫ (+∞0∫ f1(T)*f2(t-T) dT) e-pt dt=

=+∞0∫(+∞0∫f1(T) f2(t-T) dT) e-pt dt ={f2(t-T)=0, kai t-T<0}=
=+∞0∫ +∞T∫ f1(T) f2(t-T) e-pt dtdT={t-T=u t=u+T dT=du dt=du T-const}=+∞0∫ f1(T) (+∞0∫ f2(u) e-p(u+T) du) dT= =+∞0∫f1(T)*e-pT (+∞0∫ f2(u) e-pu du) dT=F2(p)* +∞0∫ f1(T) e-pT dT= F2(p)*F1(p)
PVZ.: rasti vaizdo pirmvaizdį:
F(p)=p/(p2+1)2 =1/p2+12 * p/p2+12 =F1(p)*F2(p)
F1(p)=1/p2+12 =sin t=f1(t)
F2(p)=p/p2+1=cos t=f2(t)
F(p)=F1(p)*F2(p)=f1(t)*f2(t)=t0∫ f1(u)*f2(t-u) du=t0∫sin u *
*cos (t-u) du= 1/2 t0∫ (sin (u+t-u) + sin (u-(t-u))) du=
=1/2 sin t * u│t0 +1/2 *1/2 10∫ sin (2u–t) d(2u–t)=
1/2 sin t * t + ¼ (-cos(2-t))│t0 =1/2 t*sin t – ¼(cos t*t))=
=1/2 t sin t
Teorema(Diuamelio integralinė f-lė): jei f1(t) tolydus, o f2 (t) tolydžiai difer. pirmavaizdžiai, tai:
p *F1(p)*F2(p)= d/dt (f1(t) *f2(t))=d/dt *( t0∫ f1(u) *f2(t-u) du)=f1(t) *f2(0) + t0∫ f1(u) * f `2 (t-u) *1 du
PVZ.: F(p)= p2/(p2+1)2 rasti pirmvaizdį
F(p)=p * p/p2+12 * 1/p2+12 =d/dt (cos t * sin t)=
=cos t*sin (o) + 10∫ cos u * sin` (t-u) du =0 + t0∫ cos u *
* cos (t-u) du= ½ t0∫ (cos t + cos (2u-t)) du=
=1/2 (cos (t-u)+1/2 sin(2u-t))│t0=1/2 (cos t*t +1/2 sin t)-
-1/2( 0+1/2 sinc (-t))= ½ t cos t +1/4 sin t + ¼ sin t=
=1/2 t cos t + ½ sin t
27. FURJE IR LAPLASO TRASFORMACIJŲ RYŠYS ATVIRKŠTINĖ LAPLASO TRANSFORMACIJA.
27.1. FURJE IR LAPLASO TRASFORMACIJŲ RYŠYS.
Kai žinome, jeigu f-ja f(t) absoliučiai integruojama visoje skaičių tiesėje +∞-∞∫│f(t)│dt<∞ ir atkarpomis tolydi trūkio taškuose tk:
f(tk)= ½ (f(tk-0)+f(tk-0)), tai f-jos tolydumo taškuose f(t)= 1/2π +∞-∞∫ F(w) e i w t dw F(w)= +∞-∞∫ f(t) e – i w t dt
f-jos f(t) Furje transformacija.
f(t) *e –δ t =1/2πi e –δ t δ+i ∞ δ-i ∞∫ F(p) ep t dp => jei f(t) –pirmvaizdis f(t)=F (p)=+∞-∞∫ f(t) e –p t dt, tai teisinga atvirkštinė Laplaso transformacija:
F(t) = 1/2πi δ+i ∞ δ-i ∞∫ F(p) e p t dp
Pastebėsime, kad paskutinė lygybė (Laplaso atvirkštinė transformacija) vad. Melino formule. Taigi kaip matosi Laplaso tansf. yra Furje trasf-jos, kurios netenkina absoliutaus konvergavimo sąlygos, tačiau yra baigtinio didėjimo. Iš Furje transformacijos sąvybių žinome, kad jeigu trūkio taškai yra pirmosios rūšies, tai šiuose taškuose turi būti tenkinama lygybė:
(f(tk–0) +f(tk+0)) /2=1/2πi δ+i ∞ δ-i ∞∫ F(p) e pt dp
Todėl jeigu turime du pirmvaizdžius, kurių vaizdai sutampa: f1(t): f1(t)=F(p) f2: f2(t)=F(p) tai ir šių pirmvaizdžių reikšmės tolydumo taškuose turi būti tos pačios.
Išvada: Pirmvaizdžio f(t) vaizdas tolydumo taškuose yra įbrėžiamas vienareikšmiškai.

f1(t)=1/p f2(t)=1/p f¬3(t)=1/p

27.2. PAGRINDINĖ VAIZDŲ IR PIRMAVAIZDŽIŲ ATITIKTIES TEOREMA.
Pirmoji atitikties teorema: Jeigu F(p) yra analizinė f-ja taško p=∞ aplinkoje ir f-ja, lim F(p)=0 ir f-ja žiede Re p→∞ R<│p│<∞ yra išreiškiama tokia Lorano eilute:
F(p)=∞n=1∑C-1/pn =C1/p +C-2/p2 +C-3/p3+.+C-n/pn +.
tai F(p) yra konverguojanti laipsninė eilutė f(t)=F(p)
f(t)=∞n=1∑ C-1/(n-1)! t n-1 0 1/pn=t n-1/(n-1)!
Antroji atitikties teorema: Jeigu vaizdas F(p) analizinė f-ja pusplokštumoje Re p>δ0≥0 f-ja, išskyrus ypatingus taškus pk, kurie yra visi poliai ir be to lim (p→∞) F(p)→0 tai f(t)= nk=1∑Res F(p) e pt ,Re pk >δp≥0
27.3. TAISYKL. RACIONALIŲJŲ TRUPMENŲ PIRMAVAIZDŽIAI.
Tarkime, kad F(p) –aisyklingoji racionalioji trupmena:
F(p)=(am pm +am-1 pm-1 +.ža1 p1 +a 0)/(bn pn + bn-1 pn-1 +
+.+b p + b0) m A(p-1)+Bp=1
{p=0 => -A=1 p=1 => B=1} A=-1 B=1
F(p)= -1/p + 1/p-1 =-1(t) + e –t = -1 +e 1
28. LAPLASO TRANSFORMACIJŲ TAIKYMAS DIF. LYGT. SPRENDIMUI.
28.1. TIESINIŲ DIF. LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS SPRENDIMAS.
Tarkime, kad turime [y]= y(n) +a1y(n-1)+a2y(n-1).+an-1y` + +an y =f(t)
Reikia rasti difer. sprendinį, kai y(t), kai t>0:
y(0)=y0 y`(0)=y1 y(n-1)(0)=yn-1
Tarkime, kad f-ja f(t) ir y(t) yra pirmvaizdžiai tuomet egzistuoja jų vaizdai. Tarkime, kad f(t)=F(p) ir f(t)=Y(p) ir
y`(t)=pY(p)–y0 y“(t)=p2Y(p)–p*y0–y1
y(n)(t)=pnY(p) –pn-1y0 .–pyn-2=yn-1
Iš Laplaso transformacijos tiesiškumo savybės pakeitę dif. lygtį Laplaso trasformacija, gautume:
(pn +a1 pn-1 +.+an) * Y(p)+Bn-1(p)=F(p)
A(p)*Y(p)+Bn-1(p)=F(p)
Y(p)=(F(p)–Bn-1(p))/A(p) ir belieka rasti f-jos pirmvaizdį.
Panašiai galima ieškoti tik bendrojo dif. lygties sprendinio tik tai šiuo atveju reikia įvesti fiktyvias pradines sąlygas, tai yra laikyti, kad: y(o)=C1 y`(o)=C2
y(n-1)(0)=Cn Cj € R j=1,n
Panašiai sprendžiamos ir tiesinės difer. lygčių su pastoviais koef. sistemos. Tik tai šiuo atveju paveikus Laplaso transformaciją sistemos lygtis gaunama tiesinių lygčių sistema nežinomų f-jų vaizdų atžvilgiu.
PVZ.: {x`=t y`=-x+y+z z`=-2x+y+2z
x(0)=0 y(o)=-1 z(0)=0
x(t)=X(p) y(t)=Y(p) z(t)=Z(p)
x`(0)=pX(p) y`(0)=p Y(p)+1 z`(0)=p Z(p)
{p X(p)=Z(p) p Y(p)+1=-X(p)+Y(p)+Z(p)

pZ(p)= –2x(p)+Y(p)+2Z(p)
{p X(p) -z(p)=0 X(p)+(p-1)Y(p)-Z(p)=-1

2X(p)-Y(p)+(p-2)Z(p)=0

p 0 -1
∆= 1 p-1 -1 = (p(p-1)(p-2)-1)-1(-1-2(p-1))=

2 -1 p-2
=p(p-1)(p-2)-p+2p-1=(p-1)(p(p-2)+1)=(p-1)3
∆=(p-1)3

0 0 -1
∆1= -1 p-1 -1 =(-1(1+0)=-1

0 -1 p-2

p 0 -1
∆2= 1 -1 -1 = –(p2-2p+2)

2 0 p-2

p 0 0
∆3= 1 p-1 -1 =p-2p2

2 -1 0
X(p)=∆/∆=-1/(p-1)3= –e1 t * t2/2!=x(t)
Y(p)=∆2/∆=(-((p-1)2+1))/(p-1)3= –et –et * t2/2!
Z(p)=∆3/∆=p-2p2 / (p-1)3= –2 et –3et t
28.2. DUAMELIO FORMULĖS TAIKYMAS SPRENDŽIANT TIESINĖS DIF. LYGT. SU
NULINĖMIS PRADINĖMIS SĄLYGOMIS.
Tarkime, kad reikia rasti Koši uždavinio sprendinį:

y(n)+a y(n-1)+.+an-1 y`+an y= f(t)

y(0)=y`(0)=.=y(n-1)(0)=0

Naudodamiesi operatoriniu metodu, gautume operatorinę lygtį:
Y(p)(pn+a1 pn-1+.+an)=F(p)
Y(p) L(p)=F(p)
Tarkime, kad turime kitą Koši uždavinį:

z(n) +a1 z(n-1)+.+an-1z` +anz =2

z(0)=z`(0)=.=z(n-1)(0)
Koef. tie patys, tuomet sprendžiant:

z(n) +a1 z(n-1)+.+an-1z` +anz =2

z(0)=z`(0)=.=z(n-1)(0)
uždavinį operatoriniu metodu gautume operatorinę lygtį: ak k=1,n
z(p) * L(p)=1/p
Spręskime operatorinę lygčių sistemą:

z(p) * L(p)=1/p

Y(p) L(p)=F(p)
Iš: Y(p) L(p)=F(p) gauname:

28.3. INTEGRALINIŲ SĄSUKOS TIPO LYGČIŲ SPRENDIMAS.

28.4. ELEKTROS GRANDINIŲ SKAIČIAVIMAS.

Dalinės išvestinės:

Sudėtinės funkcijos pilna išvestinė:
1)
2)

Neišreikštinių funkcijų išvestinės:

Apytikris skaičiavimas diferencialais:

Kryptinė išvestinė.Gradientas:

Liečiamoji plokštuma ir normalė:
1) – sąlyčio taškas.;
2)
3)

Teiloro formulė:

Diferencialai:

Sudėtinių funkcijų aukštesnių eilių diferencialai:

Neišreikštinių funkcijų aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai:

Ekstremumai:

Funkcijos ekstremumų nustatymo taisyklės:
1) nustatyti funkcijos sistemos, sudarytos iš ir , visus realius sprendinius, priklausančius funkcijos apibrėžimo sričiai;
2) apskaičiuoti funkcijos visų antrųjų išvestinių reikšmes, taškuose , kurie yra sistemos sprendiniai;
3) sudaryti šiuose taškuose: jei ir tai taške ,funkcija turi maksimumą; jei ir taške turi maksimumą;

jei , ekstremumo taške nėra;
4) ištirti kritinius taškus, kuriuose neegzistuoja bent viena, pirmos eilės dalinė išvestinė.

Funkcijos didžiausios ir mažiausios reikšmės:
Didžiausios ir mažiausios reikšmės nustatymo taisyklė:

1) apskaičiuojam funkcijos reikšmes kritiniuose srities D taškuose;

2)nustatome didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes ant srities D kontūro,

panaudodami kontūro lygtis;

3) iš visų apskaičiuotųjų reiškinių išrenkame didžiausią ir mažiausią reikšmes.

Duota: sąryšio lygtis
Sąlyginio ekstremumo radimo taisyklė:
Sudaroma funkcija:

ir iš sistemos, sudarytos iš:

randami ir sąlyginio ekstremumo taškas

Visas teises saugo įstatymas.Dauginti,platinti,nuomoti šias formules be leidėjo sutikimo draudžiama.Pažeidėjams numatytos griežtos sankcijos.

ŠU 1999 (1) Dvilypiai integralai apibrėžimas. Geometrinė prasmė.
Turime tolydzia f-ja srityje D. Cilindriniu kreiviu
V≈∑ vi =∑ f(Pi) ∆qi =∑ f(ξi+ηi)∆qi (*) –integraline suma.
Jei egzistuoja integralinės sumos (*) riba, tai max plotelio ∆qi diametras artėja prie nulio arba n→∞ (n- padalijimų sk.) ir ta riba nepriklauso nuo to, kai mes kūną padalinsime į plotelius ir kur pasirinksime tašką qi, tai ta riba vad. dvilypiu integralu pagal sritį D.
∫∫f(x,y)dq= ∫∫f(x,y)dxdy= lim ∑(ξi,qi)∆qi

D D n→∞
∆qi =∆xi –∆yi dq=dxdy
Geometriškai reiškia tūrį cilindrinio kūno, kurį iš viršaus riboja duotas paviršius z=f(x,y), iš apačios sritis D ir sudaromosios lygiagretės Oz ašiai.
X=φ(y,z) ∫∫φ(y,z)dydz

D

(2) Dvilypio integralo skaičiavimas dekartinėje koord. sistemoje
∫∫f(x,y) dxdy z=f(x,y) x,y Є D
φ2(x)≥φ1(x) a≤x≤b, MNGH lygiagr. YOZ

φ2(x)
SMNGH=∫ f(x,y)dy

φ1(x)
SMNGH =S(x) nes priklauso nuo P padėties “x” atžvilgiu.

V= ∫∫f(x,y)dxdy

b D b φ2(x) b φ2(x)

V= ∫S(x)dx= ∫ ( ∫ f(x,y)dy)dx=∫ ∫ f(x,y)dxdy

a a φ1(x) a φ1(x)

(3) Dvilypių integralų savybės
Tokios pat, kaip apibrėžtinio integr. Visos savybės išplaukia iš dvilypio integralo geometrinės prasmės (tūris cilindrinio kūno).
1. ∫∫ f(x,y) ±φ(x,y)dxdy=∫∫ f(x,y)dxdy +∫∫φ(x,y)dxdy
D D D
2. Pastovų sk. galima iškelti priėš integralo ženklą.
1 ir 2 savybės tiesiškumo savybės:
∫∫(αf(x,y)+ βφ(x,y)dxdy= α∫∫f(x,y)dxdy+ β∫∫φ(x,y)dxdy

D D D
3. jei f(x,y)≥φ(x,y) tai: ∫∫ f(x,y)dxdy ≥ ∫∫φ(x,y)dxdy

D D
4. Jei D=D1 U D2 U Dn tai:

∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy+.∫∫ f(x,y)dxdy

D D D D
5. Dvilypių integralų įvedimo teorema:

Jei M=sup f(x,y) m=inf f(x,y)

m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / Qsr.D ≤M

D
Qsr.D=∫∫dxdy—srities “D” plotas

m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy ≤M

D D

∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy=fvid. (ξi,ηi)

D D

Pi (ξi, ηi)

∫∫ f(x,y)dxdy=fvid.(ξi, ηi) Qsr. D=fvid. (ξi, ηi) ∫∫dxdy

(4) Trilypis integralas. Fizikinė presmė
∆v–tūris v–kūno tūris ∆m–masė σ–tankis
σ=∆m / ∆v σ=lim ∆m / ∆v

∆v→0
σ = σ(M) M(x,y,z) M Є v
Apibrėžimas: Jei egzistuoja integralinės sumos riba, kai n→∞ ir ta riba nepriklauso nuo to, kaip tūrį padalijome į tūrius ∆vi ir kur kiekviename tūryje ∆vi pasirinkome tašką, tai ta riba vad. trilypiu integralu, pagal tūrį v.

lim ∑ σ(xi,yi,zi)∆vi= ∫∫∫ σ(x,y,z)∆v= ∫∫∫f(x,y,z)dv=

i =1 V V
=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

V
V=∫∫∫dv=∫∫∫dxdydz V=∫∫f(x,y)dxdy

V V D
(5) Trilypio integ. egzistavimo teorema
σ (M)= σ(x,y,z)– tankis v–kūno tūris m–masė

n n n
M Є v m≈∑ ∆mi≈ ∑ σ(Mi)∆vi=∑ σ(x,y,z)∆vi

n i=1 i=1 i=1
lim ∑ σ(xi, yi, zi)∆v=m
n→∞ i=1
∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz= lim ∑f(xi,yi,zi)∆vi
V V n→∞
V= ∑∆vi Mi (x,y,z) Є ∆vi
Riba egzistuos tik tada, kai f—ja f(x,y,z) aprėžta.
m≤ f ≤M m=inf f(x,y,z) M=sup f(x,y,z)

Vi Vi
∆w=M–m —funkcijos svyravimai
Drobu suma: S=M*Vi S=∑m*Vi lim ∑∆w*V=0

i=1 n→0 i=1
(6) Trilypio intgralo savybės
Tokios pat savybės, kaip dvilypio integralo.
1. Pastovų sk. galima iškelti prieš integ. ženklą:

∫∫∫ c f(x,y,z)dv=c∫∫∫f(x,y,z)dv c—const. c prik. R
2. Jeigu f—jos f(x,y,z) ir φ(x,y,z) yra tolydžios, aprėžtos tūrio V aplinkoje, tai trilypis integ. lygus tų f—jų trilypių integ. sumai: ∫∫∫ (f±φ)dv=∫∫∫fdv±∫∫∫φdv

V V V
3. Jei V=V1 U V2 U. U Vn ∫∫∫f(x,y,z)dv= ∫∫∫f(x,y,z)dv1+∫∫∫f(x,y,z)dv2+.+∫∫∫f(x,y,z)dvn

V V V
4. Jei f ir φ aprėžtos, tolydžios tūryje V ir išp. sąlyga f ≥ φ tai: ∫∫∫ fdv ≥ ∫∫∫dv

V V
5. Integralo įvertinimo teorema:

Jei M=sup f(x,y,z) m=mf f(x,y,z)

V V

tai: m ≤ ∫∫∫ f(x,y,z)dv / V ≤ M

m ≤ fvid.(ξi,ηi,ζi) ≤ M

∫∫∫ f(x,y,z)dv / V=fvid. (ξi,ηi,ζi)

(7) Trilypio integ. apsk. dekartinėje koord. sistemoje

Tegul standartinį kūną iš viršaus gaubia f—ja:
z1=z1(x,y) z2=z1(x,y) z1,z2—tolydžios aprėžtos V.

z (x,y)
z ≤ z ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫ (∫f(x,y)dz)dxdy

V D z1(x,y)

V=∫∫∫ dxdydz V=∫∫ f(x,y)dxdy v f(x,y,z)=1

V D
Cilindrinė koord. sistema. Čia taško padėtis aprėžiama to taško pr—ja XOY pl—je polinėje koord. sistemoje ir aplikate.

M(x,y,z) x=φ cos φ 0 ≤ φ ≤ 2π

y=δ sin δ 0 ≤ δ ≤ +∞

z=z -∞ < z < +∞
∆V= δ ∆δ ∆φ δz
dV= δ dδ dφ dz
dV= dx dy dz cilindrinę koord. sistemą sudaro: δ—const. cilindras; φ—const. pl—ma OKMM1; z—const. pl—ma lygegriati XOY pl—mai;
(8) Sferinė koord. sistema ir jos ryšys su dekartine

Sferinio taško padėtis apibrėžiama: kampu Θ, kuris yra tarp spindulio vektoriaus δ ir teigiamos OZ ašies krypties ir taško M pr—ja XOY pl—ja polinėje koord. sistemoje. vektorius OM =δ
x=│OM1│cos φ OM1│=│KM│ │KM│=δ sin Θ

x= δ sin Θ cos φ

y= δ sin Θ sin φ

z= δ cos Θ

y=│OM1│ sin φ

z=│OK│= δ cos Θ
δ—const (sfera); Θ—const. (kūginis paviršius).
∆V=δ2 ∆δ sin Θ ∆Θ ∆φ 0 ≤ Θ ≤ π
dV= δ2 sin Θ dδ dΘ dφ 0 ≤ φ ≤ 2π
V=∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(δ sinΘ cosφ; δ sinΘ sinφ; δ cos Θ)* *δ2 sin Θ dδ dΘ dφ
V=∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(δ cosφ; φ sin φ)* δ dφ dφ dz
(9) Perėjimas iš dekartinės koordš sistemos į kreivinę koord. sistemą (cilindrinė sfferinė)
Jakobino determinantas .

u(x,y,z) v=(x,y,z) w=w(x,y,z) x,y,z Є v
Tegul atitinka: x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,z).
Tegul egzistuoja u,v,w Є v1

x’u ; x’v ; x’w

y’u ; y’v ; y’w —egzistuoja

z’u ; z’v ; z’w

∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz= ∫∫∫ f(u,v,w) │I│dudvdw

│ I│ –Jakobinas, tai determinantas kreivių eilės.

x’u ; x’v ; x’w

y’u ; y’v ; y’w Jakobino determinantas

z’u ; z’v ; z’w

1. Perėjimas iš dekartinės sistemos į cilindrinę:
x=δ cos φ y=δ sin φ z=z
Tegul u=δ ; v=φ; w=z; tada

cos φ -δsin φ 0
I = sin φ δ cos φ 0 =δ cos2φ +δ sin2φ=

0 0 1

= δ(cos2 δ +sin2 φ)= δ

∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz ∫∫∫f(u,v,w)* │I│ dudvdw=

V V1

=∫∫∫ f(δ cos φ; δ sin φ; z)* δ dδ dφ dz.
2. Perėjimas iš dekartinės į sferinę koord. sistemą:
x= δ cos φ sinΘ y=δ sin φ sinΘ z=δ cos Θ .
Tegul u=δ; v=Θ; w=φ.

cos φ sin Θ δ cos φ cos Θ δ sin φ sin Θ
I = sin φ sin Θ δ sin φ cos Θ δ cos φ sin Θ =

cos Θ -δ sin Θ 0

=δ2cos2φ cos2ΘsinΘ+δ2sin3Θsin2φ+δ2sin2φ cos2Θsin Θ+
δ2 sin3Θ cos2φ=δ2 cos2Θ sinΘ (cos2φ+sin2φ)+ δ2sin3Θ(sin2φ+cos2φ)= δ2 sinΘ (cos2w+ sin2Θ)= δ2 sin Θ
∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫ f(δcosφ sinΘ; δsinφ sinΘ; δsinΘ)*
*δ2 sin Θ dδ dΘ dφ
dv= δ2 sinΘ dδ dΘ dφ dv=dxdydz
Integravimo sritis yra kreivė. Kreivinių integralų yra dviejų rūšių pirmos ir antros.
(10) Antros rūšies kreivinis integralas
Geometrinė prasmė
A= vekt. F* vekt. s vekt. F=(P;Q;R)
P=P(M)=P(x,y,z) Q=Q(M)=Q(x,y,z)

R=R(M)=R(x,y,z) —tolydi difer. sr.D

A-?
vekt. F=(P;Q;R)=P i + Q j + R k
AB dalijam į “n” ∆li=li–lin (tiesinė)
Mi (xi;yi;zi) vekt. Fi = P(Mi) i+ Q(Mi) j+ R(Mi) k
Laikykime, kad vekt. Fi=const.
A= Fi* ∆li ∆li=(∆xi; ∆yi; ∆zi)
A∆li=Fi*∆li= P(Mi) ∆xi+ Q(Mi) ∆yi+ R(Mi) ∆zi
∆l≈∑ Fi*∆li=∑ (P(Mi) ∆xi+ Q(Mi) ∆yi+ R(Mi) ∆zi ( integralinė suma)
Jei egzistuoja integralinės sumos (pirmos rūšies) riba, kai n→∞ ir ta riba nepriklauso nuo to kaip mes kreivę padalinsime į “n” lygių dalių ∆li ir kur kiekvienoje iš tų dalių pasirinksime tašką Mi, tai ta riba vadinama antros rūšies kreiviniu integralu, pagal kreivę l.

(11) Antros rūšies kreivinio integralo skaičiavimas ir savybės
1. Sakykime, kad kreivė l duota parametrinėmis lygtimis: t1 ≤ t ≤ t2

L: x=x(t) y=y(t) z=z(t)
Kreivinio integ. skaičiavimas lygus 3 kreiv. integralų
skaičiavimui.
∫P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy+ R(x,y,z)=

=∫P(x,y,z)dx+ ∫Q(x,y,z)dy+ ∫R(x,y,z)dz=

=∫P(x(t);y(t);z(t)) x’tdt+∫Q(x(t);y(t);z(t))y’tdt+

+∫R(x(t);y(t);z(t)))z’tdt= ∫[P(x(t);y(t);z(t)x’t+
+ Q(x(t);y(t);z(t))y’t+ R(x(t);y(t);z(t))z’t]dt

Jei pl—je, tai z nebus.
2. L: y=y(x) a ≤ x ≤ b

∫P(x;y)dx+Q(x,y)dy=∫P(x;y)dx+∫Q(x;y)dy=

L=AB AB AB
=∫P(x;y(t))dx+∫Q(x;y(t))y’xdx

AB AB
Keičiant keivės padėtį: ∫ (F,dl)= -∫(F,dl)

AB BA

TURINYS
(1) Dvilypiai integralai apibrėžimas. Geometrinė prasmė
(2) Dvilypio integralo skaičiavimas dekartinėje koord. sistemoje
(3) Dvilypių integralų savybės
(4) Trilypis integralas. Fizikinė presmė
(5) Trilypio integ. egzistavimo teorema
(6) Trilypio intgralo savybės
(7) Trilypio integ. apsk. dekartinėje koord. sistemoje
(8) Sferinė koord. sistema ir jos ryšys su dekartine
(9) Perėjimas iš dekartinės koordš sistemos į kreivinę koord. sistemą (cilindrinė sfferinė)
Jakobino determinantas .
(10) Antros rūšies kreivinis integralas
Geometrinė prasmė
(11) Antros rūšies kreivinio integralo skaičiavimas ir savybės
(12) Pirmos rūšies integralai ir jo fizikinė prasmė
(13) Ostrograckio- Gryno formulė
(14) Srities D plotoradimas 2-os rūšies kreivinio integralo pagalba
(15) Atvejis , kai 2-os rūšies integralas nepriklauso nuo integravimo kelio
(16) Kartotinių panaudojimas mechanikoje

Leave a Comment