(1) Dvilypiai integralai apibrėžimas. Geometrinė prasmė.
Turime tolydzia f-ja srityje D. Cilindriniu kreiviu
V≈∑ vi =∑ f(Pi) ∆qi =∑ f(ξi+ηi)∆qi (*) –integraline suma.
Jei egzistuoja integralinės sumos (*) riba, tai max plotelio ∆qi diametras artėja prie nulio arba n→∞ (n- padalijimų sk.) ir ta riba nepriklauso nuo to, kai mes kūną padalinsime į plotelius ir kur pasirinksime tašką qi, tai ta riba vad. dvilypiu integralu pagal sritį D.
∫∫f(x,y)dq= ∫∫f(x,y)dxdy= lim ∑(ξi,qi)∆qi
D D n→∞
∆qi =∆xi –∆yi dq=dxdy
Geometriškai reiškia tūrį cilindrinio kūno, kurį iš viršaus riboja duotas paviršius z=f(x,y), iš appačios sritis D ir sudaromosios lygiagretės Oz ašiai.
X=φ(y,z) ∫∫φ(y,z)dydz
D
(2) Dvilypio integralo skaičiavimas dekartinėje koord. sistemoje
∫∫f(x,y) dxdy z=f(x,y) x,y Є D
φ2(x)≥φ1(x) a≤x≤b, MNGH lygiagr. YOZ
φ2(x)
SMNGH=∫ f(x,y)dy
φ1(x)
SMNGH =S(x) nes priklauso nuo P padėties “x” atžvilgiu.
V= ∫∫f(x,y)dxdy
b D b φ2(x) b φ2(x)
V= ∫S(x)dx= ∫ ( ∫ f(x,y)dy)dx=∫ ∫ f(x,y)dxdy
a a φ1(x) a φ1(x)
(3) Dvilypių integralų savybės
Tokios pat, kaip apibrėžtinio integr. Visos savybės išplaukia iš dvilypio integralo geometrinės prasmės (tūris cilindrinio kūno).
1. ∫∫ f(x,y) ±φ(x,y)dxdy=∫∫ f(x,y)dxdy +∫∫φ(x,y)dxdy
D D D
2. Pastovų sk. galima iškelti priėš integralo ženklą.
1 ir 2 savybės tiesiškumo saavybės:
∫∫(αf(x,y)+ βφ(x,y)dxdy= α∫∫f(x,y)dxdy+ β∫∫φ(x,y)dxdy
D D D
3. jei f(x,y)≥φ(x,y) tai: ∫∫ f(x,y)dxdy ≥ ∫∫φ(x,y)dxdy
D D
4. Jei D=D1 U D2 U Dn tai:
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy+.∫∫ f(x,y)dxdy
D D D D
5. Dvilypių integralų įvedimo teorema:
Jei M=sup f(x,y) m=inf f(x,y)
m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / Qsr.D ≤M
D
Qsr.D=∫∫dxdy—srities “D” plotas
m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy ≤M
D D
∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy=fvid. (ξi,ηi)
D
Pi (ξi, ηi)
∫∫ f(x,y)dxdy=fvid.(ξi, ηi) Qsr. D=fvid. (ξi, ηi) ∫∫dxdy
(4) Trilypis integralas. Fizikinė presmė
∆v–tūris v–kūno tūris ∆m–masė σ–tankis
σ=∆m / ∆v σ=lim ∆m / ∆v
∆v→0
σ = σ(M) M(x,y,z) M Є v
Apibrėžimas: Jei egzistuoja integralinės sumos riba, kai n→∞ ir ta riba nepriklauso nuo to, kaip tūrį padalijome į tūrius ∆vi ir kur kiekviename tūryje ∆vi pasirinkome tašką, tai ta riba vad. trilypiu integralu, pagal tūrį v.
lim ∑ σ(xi,yi,zi)∆vi= ∫∫∫ σ(x,y,z)∆v= ∫∫∫f(x,y,z)dv=
i =1 V V
=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
V
V=∫∫∫dv=∫∫∫dxdydz V=∫∫f(x,y)dxdy
V V D
(5) Trilypio integ. egzistavimo teorema
σ (M)= σ(x,y,z)– tankis v–kūno tūris m–masė
n n n
M Є v m≈∑ ∆mi≈ ∑ σ(Mi)∆vi=∑ σ(x,y,z)∆vi
n i=1 i=1 i=1
lim ∑ σ(xi, yi, zi)∆v=m
n→∞ i=1
∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz= lim ∑f(xi,yi,zi)∆vi
V V n→∞
V= ∑∆vi Mi (x,y,z) Є ∆vi
Riba egzistuos tik tada, kai f—ja f(x,y,z) aprėžta.
m≤ f ≤M m=inf f(x,y,z) M=sup f(x,y,z)
Vi Vi
∆w=M–m —funkcijos svvyravimai
Drobu suma: S=M*Vi S=∑m*Vi lim ∑∆w*V=0
i=1 n→0 i=1
(6) Trilypio intgralo savybės
Tokios pat savybės, kaip dvilypio integralo.
1. Pastovų sk. galima iškelti prieš integ. ženklą:
∫∫∫ c f(x,y,z)dv=c∫∫∫f(x,y,z)dv c—const. c prik. R
2. Jeigu f—jos f(x,y,z) ir φ(x,y,z) yra tolydžios, aprėžtos tūrio V aplinkoje, tai trilypis integ. lygus tų f—jų trilypių integ. sumai: ∫∫∫ (f±φ)dv=∫∫∫fdv±∫∫∫φdv
V V V
3. Jei V=V1 U V2 U. U Vn ∫∫∫f(x,y,z)dv= ∫∫∫f(x,y,z)dv1+∫∫∫f(x,y,z)dv2+.+∫∫∫f(x,y,z)dvn
V V V
4. Jei f ir φ aprėžtos, tolydžios tūryje V ir išp. sąlyga f ≥ φ tai: ∫∫∫ fdv ≥ ∫∫∫dv
V V
5. Integralo įvertinimo teorema:
Jei M=sup f(x,y,z) m=mf f(x,y,z)
V
tai: m ≤ ∫∫∫ f(x,y,z)dv / V ≤ M
m ≤ fvid.(ξi,ηi,ζi) ≤ M
∫∫∫ f(x,y,z)dv / V=fvid. (ξi,ηi,ζi)
(7) Trilypio integ. apsk. dekartinėje koord. sistemoje
Tegul standartinį kūną iš viršaus gaubia f—ja:
z1=z1(x,y) z2=z1(x,y) z1,z2—tolydžios aprėžtos V.
z (x,y)
z ≤ z ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫ (∫f(x,y)dz)dxdy
V D z1(x,y)
V=∫∫∫ dxdydz V=∫∫ f(x,y)dxdy v f(x,y,z)=1
V D
Cilindrinė koord. sistema. Čia taško padėtis aprėžiama to taško pr—ja XOY pl—je polinėje koord. sistemoje ir aplikate.
M(x,y,z) x=φ cos φ 0 ≤ φ ≤ 2π
y=δ sin δ 0 ≤ δ ≤ +∞
z=z -∞ < z < +∞
∆V= δ ∆δ ∆φ δz
dV= δ dδ dφ dz
dV= dx dy dz cilindrinę koord. sistemą sudaro: δ—const. cilindras; φ—const. pl—ma OKMM1; z—const. pl—ma lygegriati XOY pl—mai;
(8) Sferinė koord. sistema ir jos ryšys su dekartine
Sferinio taško padėtis apibrėžiama: kampu Θ, kuris yra tarp spindulio vektoriaus δ ir teigiamos OZ ašies krypties ir taško M pr—ja XOY pl—ja polinėje koord. sistemoje. vektorius OM =δ
x=│OM1│cos φ OM1│=│KM│ │KM│=δ sin Θ
x= δ sin Θ cos φ
y= δ sin Θ sin φ
z= δ cos Θ
y=│OM1│ sin φ
z=│OK│= δ cos Θ
δ—const (sfera); Θ—const. (kūginis paviršius).
∆V=δ2 ∆δ sin Θ ∆Θ ∆φ 0 ≤ Θ ≤ π
dV= δ2 sin Θ dδ dΘ dφ 0 ≤ φ ≤ 2π
V=∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(δ sinΘ cosφ; δ sinΘ sinφ; δ cos Θ)* *δ2 sin Θ dδ dΘ dφ
V=∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(δ cosφ; φ sin φ)* δ dφ dφ dz
(9) Perėjimas iš dekartinės koordš sistemos į kreivinę koord. sistemą (cilindrinė sfferinė)
Jakobino determinantas .
u(x,y,z) v=(x,y,z) w=w(x,y,z) x,y,z Є v
Tegul atitinka: x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,z).
Tegul egzistuoja u,v,w Є v1
x’u ; x’v ; x’w
y’u ; y’v ; y’w —egzistuoja
z’u ; z’v ; z’w
∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz= ∫∫∫ f(u,v,w) │I│dudvdw
│ I│ –Jakobinas, tai determinantas kreivių eilės.
x’u ; x’v ; x’w
y’u ;
z’u ; z’v ; z’w
1. Perėjimas iš dekartinės sistemos į cilindrinę:
x=δ cos φ y=δ sin φ z=z
Tegul u=δ ; v=φ; w=z; tada
cos φ -δsin φ 0
I = sin φ δ cos φ 0 =δ cos2φ +δ sin2φ=
0 0 1
= δ(cos2 δ +sin2 φ)= δ
∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz ∫∫∫f(u,v,w)* │I│ dudvdw=
V V1
=∫∫∫ f(δ cos φ; δ sin φ; z)* δ dδ dφ dz.
2. Perėjimas iš dekartinės į sferinę koord. sistemą:
x= δ cos φ sinΘ y=δ sin φ sinΘ z=δ cos Θ .
Tegul u=δ; v=Θ; w=φ.
cos φ sin Θ δ cos φ cos Θ δ sin φ sin Θ
I = sin φ sin Θ δ sin φ cos Θ δ cos φ sin Θ =
cos Θ -δ sin Θ 0
=δ2cos2φ cos2ΘsinΘ+δ2sin3Θsin2φ+δ2sin2φ cos2Θsin Θ+
δ2 sin3Θ cos2φ=δ2 cos2Θ sinΘ (cos2φ+sin2φ)+ δ2sin3Θ(sin2φ+cos2φ)= δ2 sinΘ (cos2w+ sin2Θ)= δ2 sin Θ
∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫ f(δcosφ sinΘ; δsinφ sinΘ; δsinΘ)*
*δ2 sin Θ dδ dΘ dφ
dv= δ2 sinΘ dδ dΘ dφ dv=dxdydz
Integravimo sritis yra kreivė. Kreivinių integralų yra dviejų rūšių pirmos ir antros.
(10) Antros rūšies kreivinis integralas
Geometrinė prasmė
A= vekt. F* vekt. s vekt. F=(P;Q;R)
P=P(M)=P(x,y,z) Q=Q(M)=Q(x,y,z)
R=R(M)=R(x,y,z) —tolydi difer. sr.D
A-?
vekt. F=(P;Q;R)=P i + Q j + R k
AB dalijam į “n” ∆li=li–lin (tiesinė)
Mi (xi;yi;zi) vekt. Fi = P(Mi) i+ Q(Mi) j+ R(Mi) k
Laikykime, kad vekt. Fi=const.
A= Fi* ∆li ∆li=(∆xi; ∆yi; ∆zi)
A∆li=Fi*∆li= P(Mi) ∆xi+ Q(Mi) ∆yi+ R(Mi) ∆zi
∆l≈∑ Fi*∆li=∑ (P(Mi) ∆xi+ Q(Mi) ∆yi+ R(Mi) ∆zi ( integralinė suma)
Jei egzistuoja integralinės sumos (pirmos rūšies) riba, kai n→∞ ir ta riba nepriklauso nuo to kaip mes kreivę padalinsime į “n” lygių dalių ∆li ir kur kiekvienoje iš tų dalių pasirinksime tašką Mi, tai ta ri
(11) Antros rūšies kreivinio integralo skaičiavimas ir savybės
1. Sakykime, kad kreivė l duota parametrinėmis lygtimis: t1 ≤ t ≤ t2
L: x=x(t) y=y(t) z=z(t)
Kreivinio integ. skaičiavimas lygus 3 kreiv. integralų
skaičiavimui.
∫P(x,y,z)dx+ Q(x,y,z)dy+ R(x,y,z)=
=∫P(x,y,z)dx+ ∫Q(x,y,z)dy+ ∫R(x,y,z)dz=
=∫P(x(t);y(t);z(t)) x’tdt+∫Q(x(t);y(t);z(t))y’tdt+
+∫R(x(t);y(t);z(t)))z’tdt= ∫[P(x(t);y(t);z(t)x’t+
+ Q(x(t);y(t);z(t))y’t+ R(x(t);y(t);z(t))z’t]dt
Jei pl—je, tai z nebus.
2. L: y=y(x) a ≤ x ≤ b
∫P(x;y)dx+Q(x,y)dy=∫P(x;y)dx+∫Q(x;y)dy=
L=AB AB AB
=∫P(x;y(t))dx+∫Q(x;y(t))y’xdx
AB AB
Keičiant keivės padėtį: ∫ (F,dl)= -∫(F,dl)
AB BA
TURINYS
(1) Dvilypiai integralai apibrėžimas. Geometrinė prasmė
(2) Dvilypio integralo skaičiavimas dekartinėje koord. sistemoje
(3) Dvilypių integralų savybės
(4) Trilypis integralas. Fizikinė presmė
(5) Trilypio integ. egzistavimo teorema
(6) Trilypio intgralo savybės
(7) Trilypio integ. apsk. dekartinėje koord. sistemoje
(8) Sferinė koord. sistema ir jos ryšys su dekartine
(9) Perėjimas iš dekartinės koordš sistemos į kreivinę koord. sistemą (cilindrinė sfferinė)
Jakobino determinantas .
(10) Antros rūšies kreivinis integralas
Geometrinė prasmė
(11) Antros rūšies kreivinio integralo skaičiavimas ir savybės
(12) Pirmos rūšies integralai ir jo fizikinė prasmė
(13) Ostrograckio- Gryno formulė
(14) Srities D plotoradimas 2-os rūšies kreivinio integralo pagalba
(15) Atvejis , kai 2-os rūšies integralas nepriklauso nuo integravimo kelio
(16) Kartotinių panaudojimas mechanikoje