Lygtys

Turinys

Iš lygčių istorijos. Klaidingos prielaidos metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.

Lygčių sudarimo uždavinys iš Maskvos papiruso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.

Neapibrėžtos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.

Pirmojo laipsnio lygčių su dviem kintamaisiais sistema ir jos sprendimas senovėje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.

Lygčių mokslas ir skaičiaus sąvokos išplėtimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.

Kvadratines lygtys senovės Babilone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4,5.

Kvadratinės lygtys Indijoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.

Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,6.

Lygčių uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.

Uždavinių sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.

Išvada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.

Naudota literatūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.

Iš lygčių istorijos. Klaidingos prielaidos metodas

Maždaug prieš 4000 metų babiloniečiai ir egiptiečiai sprendė įvairius žemės matavi-

mo, statybos ir karo mokslo uždavinius, sudarydami lygtis. Pirmojo ir antrojo laipsnio

lygtis mokėjo spręsti irr senovės kinų bei indų mokslininkai.

Uždavinių, sprendžiamų sudarant lygtis, pasitaiko daugelyje labai senų tekstų. Pavyz-

džiui, Maskvos papiruse – iš augalo pagamintame ritinėlyje, – rašytame apie 1850 metų

prieš mūsų erą, ir Ahmeso papiruse yra uždavinių, kurių nežinomieji žymimi ypatingu

simboliu, vadinamu “chau” arba “acha”. Jie reiškia “kiekį” , “krūvelę”. Toks “krūvelės

skaičiavimas”arba“chau radimas” artimas mūsų uždavinių sprendimui sudarant lygtis.

Štai vienas Ahmeso papiruse esančio uždavinio ir jo sprendimo pavyzdys:

1 uždavinys. ”Kiekis ir jo ketvirtoji dalis kartu sudaro 15”.

Šiandien, spręsdami šį uždavinį, sudarytume lygtį:

x + ¼ x = 15

Išsprendę gautume: x = 12.

Ahmeso papiruse sprendžiama taip: “Skaičiuok nuo 4; nuo jų tu turi paimti ketvir-

tadalį, būtent 1; iš viso 5”.Toliau 15 dalijamas iš 5, gautasis dalmuo dauginamas iš 4 ir

gaunamas nežinomasis 12.

Egiptiečių sprendimo metodas iš esmės yra prielaidos metodas. Pradedama nuo to,

/p>

kad vietoj nežinamojo parenkamas bet koks skaičius, šiuo atveju 4, nes jo ketvirtadalis

lengvai apskaičiuojamas. Jis lygus 1. Toliau 4 + 1 = 5. Tačiau pagal uždavinio sąlygą

rezultatas turi būti ne 5, o 15. Vadinasi, kiek kartų skaičius 15 didesnis už 5, tiek kartų

nežinomasis turi būti didesnis už laisvai pasirinktą skaičių 4.

Šis metodas viduramžiais buvo plačiai taikomas Azijoje bei Europoje ir vadinamas

“klaidingos prielaidos metodu”. Vėliau buvo taikomas ir “dviejų klaidingų prielaidų

metodas”.

1.

Lygčių sudarymo uždavinys iš Maskvos papiruso

Pirmieji, patys seniausi lygčių sudarymo uždaviniai turbūt randami senovės egiptie-

čių Maskvos papiruse. (Šis papirusas saugomas Maskvos vaizduojamojo meno muzie-

juje. Jį išnagrinėjo ir iššifravo rusų mokslininkai.)

Štai vienas Maskvos papiruso uždavinio pavyzdys.

2 uždavinys. “Skaičius ir jo pusė sudaro 9”. Raskite skaičių.

Šiandien šiam uždaviniui spręsti parašytume lygtį:

x + ½ x = 9

Neapibrėžtosios lygtys

Lygtis su dviem nežinomaisiais išreiškia dvviejų dydžių priklausomybę ir dažniausiai

yra neapibrėžta, t.y. turi be galo daug sprendinių.

Neapibrėžtų lygčių sprendimą senovėje nagrinėjo kinai, graikai ir indai. Diofanto

“Aritmetikoje” gausu uždavinių, sprendžiamų sudarant įvairių laipsnių neapibrėžtąsias

lygtis. Neapibrėžtųjų lygčių sprendiniais jis laikė bet kuriuos teigiamus trupmeninius

arba sveikuosius skaičius.

Štai uždavinys, kurį sprendžiant sudaroma tiesinė neapibrėžtoji lygtis.

3 uždavinys. “Raskite du (neneigiamus) skaičius, kurių skirtumas 6 kartus didesnis

už jų kvadratų skirtumą”.

Uždavinys sprendžiamas sudarant lygtį:

x – y = 6( x2 – y 2 ).

Neapibrėžtųjų lygčių sprendimą sveikaisiais skaičiais (tokios lygtys vadinamos

diofantinėmis ) nagrinėjo daugelis indų mo

okslininkų. Jie sukūrė bendrą metodą spręs-

ti tiesinėms diofantinėms lygtims ir kai kurioms antrojo laipsnio lygtims, susijusioms

su įvairiais astronomijos uždaviniais. Neapibrėžtąsias lygtis, kurių teorija dabar vadi-

nama “neapibrėžtine analize”arba “Diofanto analize”, nagrinėjo įžymūs įvairių laiko-

tarpių matematikai, iš jų Ferma, Oileris, Lagranžas, Gausas, Čebyšovas, Zolotariovas

ir daugelis kitų.

2.

Pirmojo laipsnio lygčių su dviem kintamaisiais sistema ir jos sprendimas

senovėje

Uždaviniai, kurių sprendimas atitinka šiandieninį uždavinių sprendimą, sudarant

lygčių su keliais nežinomaisiais sistemas, randami II tūkstantmečio pr.m.e. babilonie-

čių ir egiptiečių tekstuose, taip pat senovės graikų, kinų bei indų mokslininkų darbuose.

Kinų taktato “Matematika devyniose knygose” VII – VIII knygoje nagrinėjamos

lygčių sistemos ir nurodomos trumpos jų sprendimo taisyklės, be to, viskas aiškinama

žodžiais. Iš lygčių koeficientų skaičiavimo lentoje būdavo sudaroma lentelė. Spren-

džiant įvairias lygčių sistemas, pastebėta, kad, ieškant sprendinio, veiksmai su koefi-

cientais visada atliekami pagal tą pačią taisyklę.

Štai pavyzdys iš minėto traktato VII knygos, pavadintos “Perteklius – trūkumas”.

4 uždavinys. ”Kelios šeimos perka buivolą. Jeigu kiekviena iš septynių šeimų duos po

190, tai trūkumas bus lygus (t.y. truks) 330. Jeigu kiekviena devynių šeimų duos po 270,

tai perteklius bus lygus (t.y. liks ) 30. Kiek šeimų pirko buivolą, ir kiek kainuoja buivo-

las?

Traktate trumpai išdėstomas uždavinio sprendimo būdas, kuris dabartine simbolika

užrašomas taip:

Turint sistemą

a 1 x – y = b 1

a 2 x – y = b 2

iš jos koeficientų re

eikia sudaryti lentelę

a1 a 2

b1 b 2

iš kurios randami nežinomieji dydžiai:

x = , y =

3.

Lygčių mokslas ir skaičiaus sąvokos išplėtimas

Algebra atsirado sprendžiant praktinius uždavinius ir sudarant jiems lygtis. Ir

šiandien lygčių sprendimas yra pagrindinis mokyklinio algebros kurso klausimas.

Norint spręsti lygtis, pirmiausia reikia mokėti atlikti veiksmus su vienanariais, dau-

gianariais ir algebrinėmis trupmenomis, reikia mokėti skaidyti dauginamaisiais,

atskliausti, bendravardiklinti ir pan. Todėl lygčių mokslas neįmanomas be veiksmų

dėsnių. Veiksmai, kuriuos reikia atlikti sprendžiant lygtis, yra iš esmės veiksmai su

skaičiais, nes elementariojoje algebroje raidės vartojamos skaičiams žymėti.

Sprendžiant lygtis, negalima apsiriboti vien tik teigiamų sveikųjų skaičių aibe.

Pavyzdžiui, pirmojo laipsnio bendro pavidalo lygties su vienu nežinomuoju

ax+b = c

kai a, b, c – natūriniai skaičiai, šaknis

x =

ne visada bus natūrinis skaičius; jis gali būti ir trupmeninis, jeigu a nėra skaitiklio c – b

daliklis, gali būti ir neigiamas, jeigu c0,

sprendimo taisyklė.

Lygties koeficientai, išskyrus a, gali būti ir neigiami. Bramaguptos taisyklė iš esmės

sutampa su mūsų taisykle.

Senovės Indijoje buvo populiarios viešos sunkių uždavinių sprendimo varžybos.

Vienoje senoje indų knygoje apie šias varžybas rašoma: “Kaip saulė savo spindesiu

nustelbia žvaigždes, taip mokytas žmogus nustelbs kito žmogaus šlovę liaudies

susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebros uždavinius”. Dažnai uždaviniai

būdavę eiliuoti.

Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a.

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal Chorezmio pavyzdį Europoje pi

irmą

kartą pateikiamos “Abako knygoje”,kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardas

Fibonačis. Šis didelės apimties veikalas, kuriame atsispindi tiek islamo šalių, tiek ir

senovės Graikijos matematikų įtaka, skiriasi ir apimtimi, ir dėstymo aiškumu.Autorius

savarankiškai išnagrinėjo kai kuriuos algebrinius uždavinių sprendimo pavyzdžius ir

5.

pirmasis Europoje priartėjo prie neigiamųjų skaičių.Jo knyga padėjo plisti algebros

žinioms ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse.

Daugumas “Abako knygos” uždavinių įtraukti beveik į visus XVI – XVII a. ir kai

kuriuos XVIIIa. Europoje išleistus vadovėlius.

Kvadratinių lygčių, išreikštų vieninga kanonine forma

x2 + bx = c

su visomis galimomis koeficientų b ir c ženklų kombinacijomis, bendrąją sprendimo

taisyklę Europoje suformavo M. Štifelis tik 1544 m.

Bendrosios kvadratinės lygties sprendimo formules išvedė Vietas, tačiau jis pripažino

tik teigiamąsias šaknis.Italų matematikai Tartalija, Kardanas, Bombelis vieni pirmųjų

XVIa., šalia teigiamųjų, pripažįsta ir neigiamąsias šaknis. Tik XVIIa. Žiraro, Dekarto,

Niutono ir kitų mokslininkų darbuose kvadratinės lygtys imamos spręsti panašiai kaip

dabar.

L y g č i ų u ž d a v i n i a i

1.

a) 768 – x = 155 b) 2x + 5 = 4x – 5

c) x + 698 = 1654 d) 3x + 14 = 5x – 28

2.

a) 4x – 20 = 2x + 60 b) 5 – (x + 4) = – 10 – (4x – 2)

c) 6x + 6 = 2x – 4 d) 32 + 4x = 21

e) 3x + 22 = 10 f) 42 – 2x = 8

6.

L y g č i ų s p r e n d i m a i

1.

a) 768 – x = 155 c) x + 698 = 1654

x = 768 – 155 x = 1654 – 689

x = 613 x = 956

Pat. 768 – 613 = 155 Pat. 956 + 698 = 1654

Ats .:x = 613 Ats .: x = 956

b) 2x + 5 = 4x – 5 d) 3x + 14 = 5x – 28

2x – 4x = – 5 – 5 3x – 5x = – 28 – 14

– 2x = – 10 – 2x = – 42

x = – 10 : ( -2) x = – 42: ( -2)

x = 5 x = 21

Pat. 2 5 + 5 =4 5 – 5 Pat. 3 21 + 14 = 5 21 – 28

15 = 15 77 = 77

Ats .: x = 5 Ats .: x = 21

2.

a) 4x – 20 = 2x + 60 c) 6x + 6 = 2x – 4

4x – 2x = 60 + 20 6x – 2x = – 4 – 6

2x = 80 4x = – 10

x = 80 : 2 x = – 10 : 4

x = 40 x = – 2.5

Pat. 4 40 – 20 = 2 40 + 60 Pat. 6(-2.5) + 6 = 2(-2.5) – 4

140 = 140 – 9 = – 9

Ats .:x = 40 Ats .: x = – 2.5

b) 5 – (x + 4) = – 10 – (4x – 2) d) 32 + 4x = 21

5 – x – 4 = – 10 – 4x + 2 4x = 21 – (3 3)

-x + 4 x = – 10 + 2 – 5 + 4 4x = 21 – 9

3x = -9 4x = 12

x = – 9 : 3 x = 12 : 4

x = – 3 x = 3

Pat. 5 – ( – 3 + 4) = -10 – (4 (-3) – 2) Pat. 32 + 4 3 = (3 3) + 12 =

5 – 1 = – 10 – (-14) = 9 + 12 = 21

4 = 4

Ats .: x = – 3 Ats .: x = 3

e) 3x + 22 = 10 f) 42 – 2x = 8

3x = 10 – (2 2) 2x = (4 4) – 8

3x = 10 – 4 2x = 16 – 8

3x = 6 2x = 8

x = 6 : 3 x = 8 : 2

x = 2 x = 4

Pat. 3 2 + 22 = 6 + 4 Pat. 42 – 2 4 = 16 – 8 = 8

Ats.: x = 2 Ats.: x = 4 7.

I š v a d a

Matematika yra labai svarbus, tačiau ir sunkus mokslas. Jis yra

privalomas stojant į universitetą, studijuojant aukštąją matematiką.

Be jo neįgįsi išsilavinimo. Matematikai priklauso ir lygtys, kurios taip pat

yra svarbios. Jeigu nebūtų lygčių, mes negalėtume rasti nežinomojo (x).

Lygtys gali būti pritaikomos praktikoje.

N a u d o t a l i t e r a t ū r a

1.G.Gleizeris “Matematikos istorija mokykloje IV–VI klasė” Kaunas “Šviesa”1985m.

2.G.Gleizeris “Matematikos istorija mokykloje VII–VIII klasė” Kaunas“Šviesa”1986m.

8.

Leave a Comment