Skaitmenis, aritmetinių veiksmų žymėjimo ženklus ir kitus matematikossimbolius žmonės kūrė pamažu per daugelį amžių, glaudžiai siedami juos suaritmetika. Dauguma jų atsirado iš piešinių, brėžinių, raidžių ir žodžiųsantraukų. Tai ilgai trukusios matematikos raidos rezultatas. Kai kurie matematinių sąvokų ženklai atsirado dar senovėje. Tačiauvieningų aritmetinių simbolių nebuvo net iki XV a. Iki šio amžiaus visidydžiai ir veiksmai, sąlygos bei atsakymai buvo reiškiami tik žodžiais.Todėl tų laikų algebra vadinama retorine, t.y. žodine. Tik antrojoje XV a.pusėje kai kuriose Europos šalyse atsirado pirmieji algebros simboliai irbuvo pradėtos vartoti raidės. XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Fransua Vietas, remdamasisprieš jį susiformavusia simbolika, pradėjo raidėmis žymėti ne tiknežinomuosius, bet ir prie jų esančius koeficientus, pradėjo vartoti bendrąraidinę simboliką. Tačiau užrašydamas lygtis, F. Vietas vietoj simbolių darvartojo daug žodžių. Vietoj lygybės ženklo jis rašė žodį “lygu” ir t.t. Dar XV – XVI a. sudėtis buvo žymima lotyniška raide p ( pirmoji žodžioplus – “daugiau” raidė ), atimtis – raide m ( pirmoji žodžio minus –“mažiau” raidė ). Sudėčiai žymėti buvo vartojamas ir lotyniškas žodis et (reiškiantis “ir”), kuris, kaip manoma, greitraštyje virto ženklu + .Ženklai + ir – jau pasitaiko XV a. devintojo dešimtmečio rankraščiuose, betspausdinti pirmą kartą pasirodo Vidmano aritmetikoje. XVII a. minusas buvožymimas – . Ženklas – randamas ir L. Magnickio “Aritmetikoje”. Dabartinėje matematikoje vyrauja vienodi aritmetiniai ženklai iržymenys. Jais naudojasi visame pasaulyje.
SUDĖTIS. Tai prie skaičiaus a pridėti skaičių b – reiškia skaičių apakeisti b vienetų. Bet koks skaičius, prie jo pridėjus teigiamą skaičių,
padidėja, o pridėjus neigiamą skaičių, sumažėja. Sudėtis žymima simboliu“+” ( plius ).PVZ.: 26+12=38; -14+2= – 12Sudėties savybės:Su bet kuriuo skaičiumi a yra teisinga lygybė: 0+a=a+0=a; a+(- a)=0Su bet kuriais skaičiais a ir b teisinga lygybė: a+b=b+a
Su bet kuriais skaičiais a,b ir c teisinga lygybė: (a+b)+c=a+(b+c) Taikant šias sudėties savybes, veiksmus galima atlikti bet kuriatvarka ir paprasčiau apskaičiuoti kelių dėmenų sumą. Jeigu reikia sudėtikeletą teigiamų ir neigiamų skaičių, galima atskirai sudėti teigiamus iratskirai neigiamus skaičius, po to prie teigiamų skaičių sumos pridėtineigiamų skaičių sumą. Sudedant paprastąsias trupmenas su vienodais vardikliais, sudedami jųskaitikliai, o vardiklis paliekamas tas pats.PVZ.: (+(=( Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėti galima pakeisti trupmenųsu vienodais vardikliais sudėtimi. Norint sudėti trupmenas su ne vienodaisvardikliais, reikia rasti tų trupmenų bendrą vardiklį, paprastesnį neguvardiklių sandauga, ir daugiklius, o skaitiklius sudėti.
ATIMTIS. Norint iš vieno skaičiaus atimti kitą, reikia prie turiniopridėti skaičių, priešingą atėminiui.PVZ.: 169 – 152= 17; – 20 – 39= – 59 ; 41 – ( – 17 )= 58 Dviejų skaičių skirtumas yra teigiamas, kai turinys yra didesnis užatėminį, ir neigiamas, kai turinys mažesnis už atėminį. Kai turinys iratėminys lygūs, skirtumas lygus nuliui. Atimtimi galima spręsti įvairiusdydžių kitimo uždavinius. Norint iš vienos trupmenos atimti kitą trupmeną su tuo pačiuvardikliu, reikia iš pirmos trupmenos skaitiklio atimti antrosios trupmenosskaitiklį, o vardiklį palikti tą patį. Atiminėjant trupmenas su skirtingaisvardikliais, pirmiausiai randame bendrąjį tų trupmenų vardiklį irdauginamuosius, o skaitiklius atimame vieną iš kito.PVZ.: ( – (=(
DAUGYBA. Daugybos ženklą X 1631m. įvedė anglų matematikas ViljamasOtredas. Tašku daugybos veiksmą visada žymėjo įžymus XVII a. vokiečių
matematikas G. Leibnicas ( iki tol tašku daugybos veiksmą žymėjoRegiomontanas ( XV a.), vėliau, 1631m., Tomas Hariotas ). Padauginti, reiškia, vieną skaičių padidinti kito skaičiaus kiekiu.PVZ.: 5·6=30; 23,12·0,33=7,62 Dauginant du skaičius su skirtingais ženklais, reikia sudauginti tųskaičių modulius, o prieš gautą atsakymą parašyti minuso ženklą.PVZ.: −33·12= –396 Keičiantis bet kurio dauginamojo ženklui, keičiasi ir sandaugosženklas, o modulis lieka tas pats. Jeigu keičiasi abiejų dauginamųjųženklai, tai sandaugos ženklas keičiasi du kartus, todėl jis liekanepakitęs: 8 ·1,1= 8,8; ( –8 )·1,1= – 8,8; ( – 8 )·( –1,1)= 8,8 Dauginant du neigiamus skaičius, reikia dauginti jų modulius. Sandaugagali būti lygi nuliui tik tada, kai nors vienas dauginamasis lygus nuliui.PVZ.: 555,198 · 0 = 0 Norint sudauginti trupmeną iš trupmenos, reikia sudauginti jųskaitiklius bei sudauginti vardiklius ir pirmąją sandaugą rašyti trupmenosskaitiklyje, o antrąją – vardiklyje.PVZ.: ( · ( = (DALYBA. Pirmą kartą dvitaškiu dalybos veiksmą užrašė Džonsas 1633m.Anglijoj ir JAV iki šiol dalyba kartais žymima ženklu ÷ , kurį įvedė DžonasPelis. G. Leibnicas dalybos veiksmą irgi žymėjo dvitaškiu. Padalinti – tai pirmąjį skaičių sumažinti antrojo skaičiaus kiekiu.PVZ.: 32 : 8 = 4 Dalinant iš neigiamo skaičiaus, kaip ir dauginant, atsakymo ženklasvirsta neigiamu:PVZ.: ( – 22 ) : 3,66 = (– 6,01); Padalinus du neigiamus skaičius, atsakymas bus teigiamas. Dalinantnulį iš bet kokio skaičiaus, nelygaus nuliui, gaunamas nulis. 642 : 0 = 0 Norint padalinti vieną trupmeną iš kitos, reikia pirmąją trupmenąpadauginti iš trupmenos, atvirkštinės antrajai.PVZ.: ( : ( = ( · ( = (
LYGYBĖ. Ji žymi veiksmo atsakymą.PVZ.: 6 + 9 = 15 Lygybės ženklą “=” pradėjo vartoti anglų gydytojas Robertas Rekordas1557m.
PROCENTAI. Procento ženklas % kildinamas iš italų kalbos žodžio cento( šimtas ), kuris procentiniuose skaičiavimuose dažnai buvo rašomassutrumpintai cto. Vėliau, greitraštyje paprastinant rašybą, raidė t virtopasviru brūkšneliu ir taip atsirado dabartinis procento ženklas – %.
SKLIAUSTAI. Kaip ir aritmetikoje, algebroje vartojami skliaustai,
kurie nurodo veiksmų eilę: pirmiausia atliekami skliaustuose nurodytiveiksmai.PVZ.: (0,6739+1,4261) · 557,55 : (16,7 · 2,9 – 42,13) = =2,1 · 557,55 : ( 48,43 – 42,13 ) = 2,1 · 557,55 : 6,3 = =1170,855 : 6,3 = 185,85 Jeigu skliaustų nėra, tai pirma dauginama arba dalinama, o po tosudedama ir atimama. Skliaustai ir šiuolaikinis lygybės ženklas pirmą kartąaptinkami XVI a. matematikų darbuose.NELYGYBĖS ŽENKLAI. Pirmą kartą juos pavartojo anglų mokslininkasHariotas. Nelygybės ženklai yra du: > ( daugiau ) ir < ( mažiau ). Jiepradėti vartoti pirmojoje XVII a. pusėje. Nelygybės ženklai naudojamiskaičiams palyginti.PVZ.: 2<3<4; 68>44; 999<1001
LAIPSNIO RODIKLIS. Panašiai kaip Diofantas, XVI a. ir iš dalies XVII a.Europos matematikai nežinomojo antrąjį laipsnį vadino “jėga” ( lotyniškaicenzus ), arba “kvadratu” ( quadratus), trečiąjį laipsnį – “kubu” ( cubus). Vietas vartojo šias santaupas: N ( numeris, skaičius ) – pirmajamlaipsniui žymėti, Q – antrajam, C – trečiajam, QQ – ketvirtajam ir t.t.PVZ.: 1C–8Q=16N aequatur 40Dabar rašoma taip: x³ – 8x² +16x = 40 M. Štifelis rašė AAA vietoj A³; XVII a. pradžios anglų matematikas T.Hariotas rašė aaaa vietoj a4 . Anglas Otredas 1631m. rašė Aq vietoj A², Ac– vietoj A³, Aqq – vietoj A4, Aqc – vietoj A5 ir t.t. Šiuolaikinį užrašą Y², Y³, Y4 ir t.t. pradėjo vartoti Dekartas irsistemingai jį vartojo savo “Geometrijoje”. Dekartinis laipsnių žymėjimas,kurį XVII a. vartojo Volis, Niutonas ir kiti, išliko ir iki šių dienų. Reiškinys aⁿ vadinamas laipsniu, raidė n – laipsnio rodikliu, o raidėa – laipsnio pagrindu.PVZ.: 5² = 5 · 5 = 25; 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 Susitarta laipsnį, kurio rodiklis 1, laikyti lygiu laipsniopagrindui.PVZ.: 8¹ = 8 ; (– 4,5)¹= – 4,5; a¹ = a Kai reiškinys be skliaustų ir turi laipsnių, tai, norint rasti toreiškinio reikšmę, pirmiausia reikia laipsnius pakeisti jų reikšmėmis, opaskui atlikti kitus nurodytus veiksmus. Kai reiškinys su skliaustais,pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose.PVZ.: 2 + 5³ = 2 +125 = 127; ( 2 · 5 )³ = 10³ = 1000; ( 2 + 5)³ = 7³ = 343
ŠAKNIES ŽENKLAS. Nuo XIII a. italų ir kiti Europos matematikai šaknįžymėjo lotynų kalbos žodžiu Radix ( šaknis ) arba sutrumpintai R, vėliau
Ŗ.XV a. N. Šiukė vietoj ( rašė R²12. Dabar vartojamas šaknies ženklas yra kilęs iš XV – XVI a. vokiečiųmatematikų vartoto ženklo. Jie algebrą vadino “kos”, o algebristus –kosistais. Kai kurie XV a. vokiečių kosistai kvadratinę šaknį žymėjo taškuprieš skaičių arba reiškinį, Greitraštyje šie taškai virto brūkšneliais, ovėliau – simboliu ( . 1480m. lotynų kalba parašytame rankraštyje priešskaičių esantis vienas taškas ((( reiškė kvadratinę šaknį, du tokie ženklai(((( – ketvirtojo laipsnio šaknį, o trys ((((( – kubinę šaknį. Manoma, kad iš šių ženklų vėliau atsirado ženklas ٧, artimasdabartiniam šaknies ženklui, tik be viršutinio brūkšnelio. Pirmą kartą šisženklas pasirodė 1525 m. Strasburge išspausdintoje vokiečių algebroje“Greitas ir gražus skaičiavimas, kuris remiasi puikiomis algebrostaisyklėmis, vadinamomis Kos”. Knyga turėjo didelį pasisekimą ir buvoperspausdinta daugelį kartų per visą XVI a., net iki 1615m. Šitą šakniesženklą XVI a. vartojo M. Štifelis, S. Stevinas. Pamažu šis žymuo išstūmėženklą R. Tik 1637 m. Renė Dekartas šaknies ženklą sujungė su horizontaliubrūkšneliu ir savo “Geometrijoje” šaknies ženklą jau žymėjo √¯ . Artimesnį šiuolaikinei šakniai simbolį vartojo Niutonas “Visuotinėjearitmetikoje” ( 1685 m. ). Taip, kaip dabar, šaknį pirmą kartą užrašoprancūzas Rolis 1690 m . savo knygoje “Algebros vadovėlis”. Dabartinisšaknies ženklas visuotinai imtas vartoti tik XVIII a. Būtinumas kelti laipsniu bei traukti šaknį, kaip ir kiti keturiaritmetikos veiksmai, atsirado iš praktinės žmonių veiklos. Jau prieš 4000m. Babilonijos mokslininkai, be daugybos ir atvirkštinių dydžių lentelių,sudarinėjo skaičių kvadratų ir kvadratinių šaknų iš skaičių lenteles. Beto, jie mokėjo apskaičiuoti kvadratinės šaknies iš bet kurio sveikojoskaičiaus apytikslę reikšmę. Aritmetine kvadratine šaknimi iš skaičiaus a vadinamas neneigiamasskaičius, kurio kvadratas lygus a. Aritmetinė kvadratinė šaknis iš skaičiaus a žymima taip: √¯a .Ženklas √¯ vadinamas aritmetinės kvadratinės šaknies ženklu; reiškinys,esantis po šaknies ženklu, vadinamas pošaknio ženklu.PVZ.: √¯9 = 3² = 3 Bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, todėl, kai a < 0,reiškinys √¯a neturi prasmės.PVZ.: Neturi prasmės: √¯–25; √¯–3,7 ir t.t. Aritmetinių kvadratinių šaknų daugybos ir dalybos taisyklės: √¯a · √¯b =√¯ab, kai a ≥ 0, b ≥ 0; √¯a : √¯b = √¯(, kai a ≥ 0, b > 0Aritmetiniai ženklai ne iš karto buvo visuotinai pripažinti. Veiksmųir lygybių ženklai įsitvirtino tik XVII a. pabaigoje. Matematinių ženklų ir simbolių atsiradimas palengvino matematikosmokymąsi, skatino tolesnę jos raidą.
[pic]