ARITMETINIAI ŽENKLAI

Skaitmenis, aritmetinių veiksmų žymėjimo ženklus ir kitus matematikos
simbolius žmonės kūrė pamažu per daugelį amžių, glaudžiai siedami juos su
aritmetika. Dauguma jų atsirado iš piešinių, brėžinių, raidžių ir žodžių
santraukų. Tai ilgai trukusios matematikos raidos rezultatas.

Kai kurie matematinių sąvokų ženklai atsirado dar senovėje. Tačiau
vieningų aritmetinių simbolių nebuvo net iki XV a. Iki šio amžiaus visi
dydžiai ir veiksmai, sąlygos bei atsakymai buvo reiškiami tik žodžiais.
Todėl tų laikų algebra vadinama retorine, t.y. žodine. Tik antrojoje XV a.
pusėje kai kuriose Europos šalyse atsirado pirmieji algebros simboliai iir
buvo pradėtos vartoti raidės.

XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Fransua Vietas, remdamasis
prieš jį susiformavusia simbolika, pradėjo raidėmis žymėti ne tik
nežinomuosius, bet ir prie jų esančius koeficientus, pradėjo vartoti bendrą
raidinę simboliką. Tačiau užrašydamas lygtis, F. Vietas vietoj simbolių dar
vartojo daug žodžių. Vietoj lygybės ženklo jis rašė žodį “lygu” ir t.t.

Dar XV – XVI a. sudėtis buvo žymima lotyniška raide p ( pirmoji žodžio
plus – “daugiau” raidė ), atimtis – raide m ( pirmoji žodžio minus –
“mažiau” raidė ). Sudėčiai žymėti buvo vartojamas ir lotyniškas žodis et (
reiškiantis “ir”), kuris, kkaip manoma, greitraštyje virto ženklu + .
Ženklai + ir – jau pasitaiko XV a. devintojo dešimtmečio rankraščiuose, bet
spausdinti pirmą kartą pasirodo Vidmano aritmetikoje. XVII a. minusas buvo
žymimas – . Ženklas – randamas ir L. Magnickio “Aritmetikoje”.

Dabartinėje matematikoje vyrauja vienodi aritmetiniai ženklai ir
žymenys. Jais naudojasi visame pasaulyje.

SUDĖTIS. Ta

ai prie skaičiaus a pridėti skaičių b – reiškia skaičių a
pakeisti b vienetų. Bet koks skaičius, prie jo pridėjus teigiamą skaičių,
padidėja, o pridėjus neigiamą skaičių, sumažėja. Sudėtis žymima simboliu
“+” ( plius ).
PVZ.: 26+12=38;

-14+2= – 12

Sudėties savybės:
Su bet kuriuo skaičiumi a yra teisinga lygybė:

0+a=a+0=a; a+(- a)=0
Su bet kuriais skaičiais a ir b teisinga lygybė:

a+b=b+a

Su bet kuriais skaičiais a,b ir c teisinga lygybė:

(a+b)+c=a+(b+c)

Taikant šias sudėties savybes, veiksmus galima atlikti bet kuria
tvarka ir paprasčiau apskaičiuoti kelių dėmenų sumą. Jeigu reikia sudėti
keletą teigiamų ir neigiamų skaičių, galima atskirai sudėti teigiamus ir
atskirai neigiamus skaičius, po to prie teigiamų skaičių sumos pridėti
neigiamų skaičių sumą.

Sudedant paprastąsias trupmenas su vienodais vardikliais, sudedami jų
skaitikliai, o vardiklis paliekamas tas pats.
PVZ.: (+(=(

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėti galima pakeisti trupmenų
su vienodais vardikliais sudėtimi. Norint sudėti trupmenas su nee vienodais
vardikliais, reikia rasti tų trupmenų bendrą vardiklį, paprastesnį negu
vardiklių sandauga, ir daugiklius, o skaitiklius sudėti.

ATIMTIS. Norint iš vieno skaičiaus atimti kitą, reikia prie turinio
pridėti skaičių, priešingą atėminiui.
PVZ.: 169 – 152= 17;

– 20 – 39= – 59 ; 41 – ( – 17 )= 58

Dviejų skaičių skirtumas yra teigiamas, kai turinys yra didesnis už
atėminį, ir neigiamas, kai turinys mažesnis už atėminį. Kai turinys ir
atėminys lygūs, skirtumas lygus nuliui. Atimtimi galima spręsti įvairius
dydžių kitimo uždavinius.

Norint iš vienos trupmenos atimti kitą trupmeną su tuo pačiu
vardikliu, reikia iš pirmos trupmenos skaitiklio atimti antrosios trupmenos
skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį. At

timinėjant trupmenas su skirtingais
vardikliais, pirmiausiai randame bendrąjį tų trupmenų vardiklį ir
dauginamuosius, o skaitiklius atimame vieną iš kito.
PVZ.: ( – (=(

DAUGYBA. Daugybos ženklą X 1631m. įvedė anglų matematikas Viljamas
Otredas. Tašku daugybos veiksmą visada žymėjo įžymus XVII a. vokiečių
matematikas G. Leibnicas ( iki tol tašku daugybos veiksmą žymėjo
Regiomontanas ( XV a.), vėliau, 1631m., Tomas Hariotas ).

Padauginti, reiškia, vieną skaičių padidinti kito skaičiaus kiekiu.
PVZ.: 5·6=30;

23,12·0,33=7,62

Dauginant du skaičius su skirtingais ženklais, reikia sudauginti tų
skaičių modulius, o prieš gautą atsakymą parašyti minuso ženklą.
PVZ.: −33·12= –396

Keičiantis bet kurio dauginamojo ženklui, keičiasi ir sandaugos
ženklas, o modulis lieka tas pats. Jeigu keičiasi abiejų dauginamųjų
ženklai, tai sandaugos ženklas keičiasi du kartus, todėl jis lieka
nepakitęs:

8 ·1,1= 8,8;

( –8 )·1,1= – 8,8;

( – 8 )·( –1,1)= 8,8

Dauginant du neigiamus skaičius, reikia dauginti jų modulius. Sandauga
gali būti lygi nuliui tik tada, kai nors vienas dauginamasis lygus nuliui.
PVZ.: 555,198 · 0 = 0

Norint sudauginti trupmeną iš trupmenos, reikia sudauginti jų
skaitiklius bei sudauginti vardiklius ir pirmąją sandaugą rašyti trupmenos
skaitiklyje, o antrąją – vardiklyje.
PVZ.: ( · ( = (

DALYBA. Pirmą kartą dvitaškiu dalybos veiksmą užrašė Džonsas 1633m.
Anglijoj ir JAV iki šiol dalyba kartais žymima ženklu ÷ , kurį įvedė Džonas
Pelis. G. Leibnicas dalybos veiksmą irgi žymėjo dvitaškiu.

Padalinti – tai pirmąjį skaičių sumažinti antrojo skaičiaus kiekiu.
PVZ.: 32 : 8 = 4

Dalinant iš neigiamo skaičiaus, kaip ir dauginant, atsakymo ženklas
virsta neigiamu:
PVZ.: ( – 22 ) : 3,66 = (– 6,01);

Padalinus du neigiamus skaičius, atsakymas bus teigiamas. Dalinant
nulį iš bet kokio skaičiaus, nelygaus nuliui, gaunamas nulis.

642 : 0 = 0

Norint padalinti vieną t

trupmeną iš kitos, reikia pirmąją trupmeną
padauginti iš trupmenos, atvirkštinės antrajai.
PVZ.: ( : ( = ( · ( = (

LYGYBĖ. Ji žymi veiksmo atsakymą.
PVZ.: 6 + 9 = 15

Lygybės ženklą “=” pradėjo vartoti anglų gydytojas Robertas Rekordas
1557m.

PROCENTAI. Procento ženklas % kildinamas iš italų kalbos žodžio cento
( šimtas ), kuris procentiniuose skaičiavimuose dažnai buvo rašomas
sutrumpintai cto. Vėliau, greitraštyje paprastinant rašybą, raidė t virto
pasviru brūkšneliu ir taip atsirado dabartinis procento ženklas – %.

SKLIAUSTAI. Kaip ir aritmetikoje, algebroje vartojami skliaustai,
kurie nurodo veiksmų eilę: pirmiausia atliekami skliaustuose nurodyti
veiksmai.
PVZ.: (0,6739+1,4261) · 557,55 : (16,7 · 2,9 – 42,13) =

=2,1 · 557,55 : ( 48,43 – 42,13 ) = 2,1 · 557,55 : 6,3 =

=1170,855 : 6,3 = 185,85

Jeigu skliaustų nėra, tai pirma dauginama arba dalinama, o po to
sudedama ir atimama. Skliaustai ir šiuolaikinis lygybės ženklas pirmą kartą
aptinkami XVI a. matematikų darbuose.

NELYGYBĖS ŽENKLAI. Pirmą kartą juos pavartojo anglų mokslininkas
Hariotas. Nelygybės ženklai yra du: > ( daugiau ) ir < ( mažiau ). Jie
pradėti vartoti pirmojoje XVII a. pusėje. Nelygybės ženklai naudojami
skaičiams palyginti.
PVZ.: 2<3<4;

68>44;

999<1001

LAIPSNIO RODIKLIS. Panašiai kaip Diofantas, XVI a. ir iš dalies XVII a.
Europos matematikai nežinomojo antrąjį laipsnį vadino “jėga” ( lotyniškai
cenzus ), arba “kvadratu” ( quadratus), trečiąjį laipsnį – “kubu” ( cubus
). Vietas vartojo šias santaupas: N ( numeris, skaičius ) – pirmajam
laipsniui žymėti, Q – antrajam, C – trečiajam, QQ – ketvirtajam ir t.t.
PVZ.: 1C–8Q=16N aequatur 40
Dabar rašoma taip:

x³ – 8x² +16x = 40

M. Štifelis rašė AAA vietoj A³; XVII a. pradžios anglų matematikas T.
Hariotas rašė aaaa vietoj a4 . Anglas Otredas 1631m. rašė Aq vietoj A², Ac
– vietoj A³, Aqq – vietoj A4, Aqc – vietoj A5 ir t.t.

Šiuolaikinį užrašą Y², Y³

³, Y4 ir t.t. pradėjo vartoti Dekartas ir
sistemingai jį vartojo savo “Geometrijoje”. Dekartinis laipsnių žymėjimas,
kurį XVII a. vartojo Volis, Niutonas ir kiti, išliko ir iki šių dienų.

Reiškinys aⁿ vadinamas laipsniu, raidė n – laipsnio rodikliu, o raidė
a – laipsnio pagrindu.
PVZ.: 5² = 5 · 5 = 25;

4³ = 4 · 4 · 4 = 64

Susitarta laipsnį, kurio rodiklis 1, laikyti lygiu laipsnio
pagrindui.
PVZ.: 8¹ = 8 ;

(– 4,5)¹= – 4,5;

a¹ = a

Kai reiškinys be skliaustų ir turi laipsnių, tai, norint rasti to
reiškinio reikšmę, pirmiausia reikia laipsnius pakeisti jų reikšmėmis, o
paskui atlikti kitus nurodytus veiksmus. Kai reiškinys su skliaustais,
pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose.
PVZ.: 2 + 5³ = 2 +125 = 127;

( 2 · 5 )³ = 10³ = 1000;

( 2 + 5)³ = 7³ = 343

ŠAKNIES ŽENKLAS. Nuo XIII a. italų ir kiti Europos matematikai šaknį
žymėjo lotynų kalbos žodžiu Radix ( šaknis ) arba sutrumpintai R, vėliau
Ŗ.XV a. N. Šiukė vietoj ( rašė R²12.

Dabar vartojamas šaknies ženklas yra kilęs iš XV – XVI a. vokiečių
matematikų vartoto ženklo. Jie algebrą vadino “kos”, o algebristus –
kosistais. Kai kurie XV a. vokiečių kosistai kvadratinę šaknį žymėjo tašku
prieš skaičių arba reiškinį, Greitraštyje šie taškai virto brūkšneliais, o
vėliau – simboliu ( . 1480m. lotynų kalba parašytame rankraštyje prieš
skaičių esantis vienas taškas ((( reiškė kvadratinę šaknį, du tokie ženklai
(((( – ketvirtojo laipsnio šaknį, o trys ((((( – kubinę šaknį.

Manoma, kad iš šių ženklų vėliau atsirado ženklas ٧, artimas
dabartiniam šaknies ženklui, tik be viršutinio brūkšnelio. Pirmą kartą šis
ženklas pasirodė 1525 m. Strasburge išspausdintoje vokiečių algebroje
“Greitas ir gražus skaičiavimas, kuris remiasi puikiomis algebros
taisyklėmis, vadinamomis Kos”. Knyga turėjo didelį pasisekimą ir buvo
perspausdinta daugelį kartų per visą XVI a., net iki 1615m. Šitą šaknies
ženklą XVI a. vartojo M. Štifelis, S. Stevinas. Pamažu šis žymuo išstūmė
ženklą R. Tik 1637 m. Renė Dekartas šaknies ženklą sujungė su horizontaliu
brūkšneliu ir savo “Geometrijoje” šaknies ženklą jau žymėjo √¯ .

Artimesnį šiuolaikinei šakniai simbolį vartojo Niutonas “Visuotinėje
aritmetikoje” ( 1685 m. ). Taip, kaip dabar, šaknį pirmą kartą užrašo
prancūzas Rolis 1690 m . savo knygoje “Algebros vadovėlis”. Dabartinis
šaknies ženklas visuotinai imtas vartoti tik XVIII a.

Būtinumas kelti laipsniu bei traukti šaknį, kaip ir kiti keturi
aritmetikos veiksmai, atsirado iš praktinės žmonių veiklos. Jau prieš 4000
m. Babilonijos mokslininkai, be daugybos ir atvirkštinių dydžių lentelių,
sudarinėjo skaičių kvadratų ir kvadratinių šaknų iš skaičių lenteles. Be
to, jie mokėjo apskaičiuoti kvadratinės šaknies iš bet kurio sveikojo
skaičiaus apytikslę reikšmę.

Aritmetine kvadratine šaknimi iš skaičiaus a vadinamas neneigiamas
skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Aritmetinė kvadratinė šaknis iš skaičiaus a žymima taip: √¯a .
Ženklas √¯ vadinamas aritmetinės kvadratinės šaknies ženklu; reiškinys,
esantis po šaknies ženklu, vadinamas pošaknio ženklu.
PVZ.: √¯9 = 3² = 3

Bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, todėl, kai a < 0,
reiškinys √¯a neturi prasmės.
PVZ.: Neturi prasmės: √¯–25;

√¯–3,7 ir t.t.

Aritmetinių kvadratinių šaknų daugybos ir dalybos taisyklės:

√¯a · √¯b =√¯ab, kai a ≥ 0, b ≥ 0;

√¯a : √¯b = √¯(, kai a ≥ 0, b > 0

Aritmetiniai ženklai ne iš karto buvo visuotinai pripažinti. Veiksmų
ir lygybių ženklai įsitvirtino tik XVII a. pabaigoje.

Matematinių ženklų ir simbolių atsiradimas palengvino matematikos
mokymąsi, skatino tolesnę jos raidą.

[pic]

Leave a Comment