Analizės egzas 3 sesija matematikams

c13, Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaiciavimas ir savybes
Sakykime, glodziosios kreives L lygtis plokstumoje xOy yra y=y(x), .x [a;b] ,f(x, y) – tolydi tos kreives taskuose funkcija. Tos funkcijos israiska kreives L taskuose bus f(x, y(x)). Apskaiciuodami kreives lanko ilgi , suzinojome, kad stygos, jungiancios du kreives,dalijimo taskus, ilgis lygus . Si dydi galime laikyti apytiksle kreives lanko dalies ∆st reiksme, taigi (noredami islaikyti sio skyriaus zymenis, tarpini taska ci pazymejome xi). Tuomet (2) suma , turedami galvoje, kad yi = y(xi), uzrasysime taip:
Gautoji suma yra taarn tikros vieno kintamojo funkcijos integraline suma. Todel, apskaiciave riiba kai 0, (tuomet ir max ∆x i— >0), pirmojo tipo kreivini integrala isreiskiame apibreztiniu integralu (4)Taigi is esmes ds yra apibreztas kreives lanko ilgio diferencialas: Kai glodi plokscioji kreive L apibrezta parametrinemis lygtimis x = x (t), y = y (t), t [t0;T], tai , todėl . (5)Kai parametrinemis lygtimis x = x(f),y=y(t),z = z(t), t [t0; T] apibrezta erdvine kreive L, Kai glodi plokscioji kreive L poliniu koordinaciu sistemoje apibrezta lygtimi , tai ir .Įsitikinome, jog pirmojo tiipo kreivinis integralas isreiskiamas apibreztiniu integralu. Zinome, kad apibreztinis integralas egzistuoja, kai pointegraline funkcija yra tolydi. Kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija,tai ir irgi yra tolydi funkcija, nes del kreives L glodumo tolydzios yra funkcijos y(x) ir

y'(x). Vadinasi, egzistuojant integralui , kartu egzistuoja ir integralas . Is ciaisplaukia, kad pirmojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija.

14.Ap.Jeigu egzistuoja baigtine (0) sumos riba, kai ->0, nepriklausanti nuo orientuotos kreives L suskaidymo i dalis ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama antrojo tipo kreiviniu integralu kreive(arba keliu)L.Zymima taip: (1) Vadinasi .Kai Q (x, y) = 0,is kreivinio integralo (1)bendrosios israiskos gauname kreivini integrala o kai P (x, y) = 0,-integra . Kadangi integralai ir , paimti skyrium, irgi turi
prasme, tai is antrojo tipo kreivinio integralo apibrezimo isplaukia, kad Kai kreive L uzdara, (1)integrala zymime taip: .Palyginsime pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu apibrezimus, kartu isryskindami viena. esmini ju skirtumu Sudarydami (2)suma funkcijos reiksme tarpiniame taske dauginome is kreives lanko illgio ∆si , o sudarydami (0) suma ,- is to lanko (kartu ir vektoriaus ∆s i) projekcijos asyje Ox (arba asyje Oy),bet ne is lanko ilgio ∆si.Kadangi lanko ∆s, ilgis nepriklauso nuo integravimo krypties, tai tos krypties pakeitimas neturi jtakos pirmojo tipo kreiviniam integralui. To negalima pasakyti apie antrojo tipo kreivini integrala nes lanko ∆si projekcijos zenklas priklauso nuo to lanko krypties. Pakeite integravimo lanku AB krypti, kartu pakeiciame ir lanko ∆si- projekciju ∆xi ir ∆yi zenklus.Taigi Dar paminesime, kad tokiu pat budu ka

aip (1) integrala galima apibrezti antrojo tipo kreivini integrala erdvine kreive L: .Irodysime, kad antrojo tipo kreivinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji apibreztiniu integralu. Nagrinekime integrala: . (3)Tarkime, kad kreives L lanko AB parametrines lygtys yra x = x(t), y = y(t),lanko pradzios taska_ A atitinka parametro t reiksme t0, o lanko galo taska B -reiksme T.Dar sakykime, kad x (t), y (t) ir ju isvestines x'(t), y'(t) yra tolydzios atkarpoje [ t0; T] funkcijos, P (x,y) – irgi tolydi kreives L taskuose funkcija. Įrodysime, kad Vadinasi, norint apskaiciuoti (3)integrala reikia kintamuosius x ir y pakeisti ju israiskomis x (t) iry (t), o vietoj dx jrasyti israiska. dx = x'(t) dt, kuri gaunama is sajygos x = x (t). Apibreztinio integralo reziai – parametro t reiksmes, paimtos taip, kad atitiktu pasirinkta integravimo krypti. Sudarykime integraline suma: ir tarkime, kad taska. Xi atitinka parametro reiksme ti, o taska xi-1 reiksme ti-1 . Vadinasi, xi =x(ti), xi-1= x(ti-1). Pritaike Lagranzo formule turime: Cia yra tarp ti-1 ir ti. Tarpini taska. ( ) parinkime taip, kad jis atitiktu parametro , reiksme, butent: Tuomet: Kadangi desiniojoje sios lygybes puseje yra vieno kintamojo funkcijos P(x(t),y(t)) x'(t) integraline suma, tai, pereje prie ribos, kai =max ∆si0 tuomet kartu ir max ∆xi ->0),gauname apibreztini integrala Taigi galutinai Kalbedami apie bendrosios is
sraiskos antrojo tipo kreivini integrala ,reikalausime, kad x(t), y(t) ir ju isvestines x'(t),y'(i) butu tolydzios atkarpoje [t0;T] funkcijos, o P(x,y), Q(x, y)- tolydzios kreives L taskuose funkcijos. Tuomet teisinga tokia lygybe: (4)Kadangi del minetu funkciju tolydumo desiniojoje (4) lygybes puseje esantis apibreztinis integralas egzistuoja, tai kartu egzistuoja ir kreivinis integralas . Taigi galutinai isitikiname,kad antrojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai kreive L yra glodzioji arba dalimis gloti, o funkcijos P(x,y) ir Q(x,y) – tolydzios kreives L taskuos
11. Trilypis integralas cilindrineje koordinaciu sistemoje
Cilindrines koordinates gaunamos, prie poliniu koordinaciu p ir  prijungus paprastq. Dekarto aplikate z. Taigi tasko M padetis cilindriniu koordinaciii sistemoje nusakoma trimis dydziais: p,  ir z (60 pav.); cia p > 0,

0 <  < 2n (arba- < < ),- < z < + .Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordi¬nates sieja formulas:xcos,ysin,zz.
Randame jakobijana:
Pritaike , formule gauname tokia trilypio integralo apskaiciavimo cilindrinių koordinaciu sistemoje formule: .
Reiskinys  d d dz turi paprasta geometrine prasme. Panasiai kaip reiskinys dx dy dz, jis isreiskia elementarios dalies turi. Ta dalis gaunama dalijant sriti V koordinatiniais pavirsiais  = const (cilindru, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz), = const (pusplokstume, einancia per asi Oz), z = const (plokstuma, lygiagrecia plokgtumai xOy)
Kai elementas ABCDABCD laikomasstaciakampiu gretasieniu, tai jo turis isreiskiamas matmenu d, d ir dz sandauga, taigi jo tu

uris lygus dydziui
dd dz.
Kadangi kuno turis V = dx dy dz , tai cilindriniu koordinaciu sistemoje jis isreiskiamas formule: .

12 Trilypis integralas sferinieje koordinaciu sistemoje

Tasko M (x; y, z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: r,  ir  ( pav.); cia r – spindulio vektoriaus OM , jungiancio su duotuoju tasku M, ilgis, 0 r < +; - asies Oz ir spindulio vektoriaus
OM sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Oz, 0 ;  – asies Ox ir spindulio vektoriaus OM’ sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Ox, 0 

Is paveikslo nesunku gauti tasko M Dekarto koordinaciu x, y,z ir sferininiu koordinaciu r, ,  sarysio formulas:xrsincos,yrsinsin,zrcos)Be to, x2 +y2 +z2 = r2 .Koordinatiniai sferiniu
koordinaciu pavirsiai yra tokie:sferos r =const, pusplokstume= const, kugiai  = const.Raskime jakobiana: .
Pritaike, formule, gauname trilypio integralo israiska. Sferiniu koordinaciu sistemoje:

Kuno turis V = dx dy dz isreiskiamas formule:
Dydis r sin  dr d d taip pat yra elementariosios dalies turis, apskaiciuotas sferiniu koordinaciu sistemoje.

15. Pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu sarysis
Isvesime formule siejancia, abieju tipu kreivinius integralus. Sakykime, L glodzioji orientuota kreive. Kampus, kuriuos liestine i einanti per taska sudaro su koordinaciu, asiu, teigiamomis kryptimis, pazymekime  ir . Tuomet liestines i. ortas bus

i° = (cos; cos).

Is brezinio matyti, kad dydzius ∆xi- ir ∆yi- su lanko ilgiu ∆si sieja apytiksles formulas:∆xicos∆si,∆ycos∆si
Taigi formule galime uzrasyti:
Prieje prie ribos, kai  = max ∆si0 gauname abieju tipu kreiviniu integralu sarysio formule .
Kai L – glodzioji erdvine kreive, kurios liestines  bet kuriame jos taske M (x; y; z) krypties kosinusai lygus cos, cos cos, tai .

16.Gryno formule
Tarkime, kad sritis D, apribota uzdara kreive L, tenkina salyga jog bet kuri lygiagreti koordinaciu asims tiese kreive L kerta ne daugiau kaip dviejuose taskuose.Isvesime labai svarbia formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D.T. Jei funkcijos P (x, y) ir Q (x, y)bei ju daline sisvestines yra tolydzios srityje D, apribotoje uzdaru konturu L,tai kai konturas L apeinamas teigiamaja kryptimi.Įr Tarkime, kad sritis D yra tokia, kokia pavaizduota 77 paveiksle. Jos kontura L sudaro dvi kreives: lankas ACB, kurio lygtis y = y1 (x) , ir lankas AEB, kurio lygtis y = y2(x),axb.Apskaiciuokime dvilypi integrala pakeisdami ji kartotiniu ,kadangi .pirmasis integfralas yra apibreztinis jis gaunamas is kreivinio integralo .kai integruojama kreive l,kurios lygtis yy2(x)yra lanko AEB lygtis,tai analogiskai ir gauname,kad bet todel lankai AEB ir BCA sudaro kreive L, todel kreiviniii integrala siais lankais suma lygi integralui visa uzdara kreive L. Si karta kreive L pradedame judeti is tasko A ir vel griztame i taska A lankais AEB ir BCA, taigi einame kryptimi pansia su laikrodzio rodykles judejimo kryptimi, t. y.neigiamaja kreives L apejimo kryptimi..Integravimo krypti pakeite teigiamaja konturo L apejimo kryptimi, turetume (13)Jeigu kurio nors lanko dalis butu atkarpa, lygiagreti asiai Oy, tai tos atkarpos taskuose butu dx=0 ir =0.Taigi(13)formule butu teisinga ir tuo atveju.Analogiskai irodytume, kad (14)Is(14)lygybes ateme(13)lygybe, gauname vadinamaja Gryno formulę :

22. Antrojo tipo pavirsiniai integralai
Sakykime, kad S – dvipusis glodusis pavirsius, o R(x,y,z) ~ lolydzioji to pavirsiaus taskuose funkcija. Padalykime pavirsiu S glodziomis kreivemis i dalis ∆I (i1,n) ir kiekvienoje ju pasirinkime po taska Mi (xi .yi , zi ) Apskaiciuokime funkcijos R(x, y , z) reiksme taske M i : R(Mi ) = R(xi , yi , zi) . Simboliu ∆Si pazymekime pavirsiaus dalies ∆i- projekcijos plokstumoje xOy plota su priskirtu jam pliuso zenklu, kai parinkta virsutine pavirsiaus puse (kampas tarp Oz asies ir pavirsiaus normales yra smailusis), ir su minuso zenklu, kai pasirinkta apatine pavirsiaus puse. Sudarykime integraline suma .(1) ir pazymekime  = max diam∆i .
Ap. Jei egzistuoja baigtine (1) sumos riba, kai 0 , nepriklausanti nuo pavirsiaus padalijimo I dalis∆i- ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama funkcijos R(x,y,z) antrojo tipo pavirsiniu integralu pasirinktaja pavirsiaus S puse. Taigi = .
Kai P(x,y,z) ir Q(x,y,z] – tolydziosios pavirsiaus S taskuose funkcijos, tai, projektuodami pavirsiaus dalis∆i. ( koordinaciu plokstumas yOz ir xOz , galime analogiskai apibrezti dar du antrojo tipo pavirsinius integralus:

P(x,y,z)dydz ir Q(x,y,z)dzdx.Sudejus visus tris antrojo tipo pavirsinius integralus, sudaromas bcndrasis antrojo tipo pavirsinis integralas . Is apibrezimo matyti, kad antrojo tipo pavirsinis integralas priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses; be to, pakeitus pavirsiaus S puse, integralas keicia zenkla.
Antrojo tipo pavirsiniai integralai apskaiciuojami taip. Jei glodusis pavirsius S, kurio projekcija plokstumoje xOy yra sritisD1 nusakomas isreikstine lygtimi z(x, y) ((x,y) € Dl), tai

R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, (3)
cia pries dvilypi integrala parasyti zenklai priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses.
Kai pavirsius S nusakomas lygtimis x = x(y,z) arba y = y(x,z) ir
projektuojamas I plokstumas yOz arba xOz sritimis D2 arba D3,tai

P(x,y,z)dydz = ± P(x(y,z)y,z)dydz, (4)

Q(x,y,z)dzdx = ± Q(x,y(x,z],z)dzdx. (5)
Bendrasis antrojo tipo pavirsinis integralas skaiciuojamas pagal (3) – (5) formules, jei pavirsius vienareiksmiskai projektuojamas ( visas 3 koordinaciu plokstumas.
Abiej u tipu pavirsiniai integralai siejami lygybe: .
cia cos, cos, cos – normales krypties kosinusai, atitinkantys pasirinktajq. pavirsiaus S puse.
Kartais (6) rysio formule naudojama antrojo tipo pavirsiniams integralams apskaiciuoti

21Pirmojo tipo pavirsiniai integralai
Tarkime, kad S – glodusis pavirsius erdveje R3. Jo taskuose apibrezta tolydzioji funkcija f(x,y,z). Pavirsiu, S glodziu kreiviu tinklu padalykime i dalis ∆i(simboliu∆i, zymesime ir jos plota.,(i1,n)

ir kiekvienoje ju bet kur parinkime po taska_ Mi.(xiyi,z,,)(99 pav.). Apskaiciuokime funkcijosreiksme tame taske
f{Mi)=f(xi,yi,zi) ir sudarykime integraline suma (1). Pazymekime diam∆i,
cia diam∆i laikome didziausia atstuma tarp dalies ∆I sienos tasku,. Apibrezimas. Jei egzistuoja (1) integralines sumos baigtine riba, kai 0, nepriklausanti nuo pavirsiaus padaljimo ( dalisi- ir tastu Mi parinkimo, tai si riba vadinama pirmojo tipo pavirsiniu integralu ir zymima: . (2)
Pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji dvilypiu integralu.
Jei glodusis pavirsius S nusakytas isreikstine lygtimi z = z(x, y), cia (x,y) D – pavirsiaus Sprojekcija plokstumoje xOy (99 pav.), tai pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pagal formule

. (3)
Pirmojo tipo pavirsinio integralo savybes analogiskos pirmojo tipo kreivinio integralo savybems. Jei glodusis pavirsius nusakytas parametrinemis lygtimis x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v) D1, tai pirmojo tipo pavirsinis integralas

,
cia .

17. Sajyga, kad kreivinio integralo reiksme nepriklausytq nuo integravimo kelio
Zinome,kad integralu reiksme gali priklausyti arba nepriklausyti nuo integravimo kelio.Dabar paaiskinsiu kokiomis sajygomis kreivinio integralo reiksme nepriklauso nuo integravimo kelio.Nagrinesiu vienajunge sriti, kuria paprasta apibudinti,kai ji yra baigtine.Sritis bus vienajunge, kai ja ribos viena glodzioji arba dalimis glodi uzdara kreive.Sakykime, vienajungeje srityje D apibreztos dvi tolydzios funkcijos P(x,y) irQ(x,y), turincios tolydzias dalines isvestines Nagrinekime kreivini integrala ir tarkime,kad jis priklauso nuo lanko pradzios ir pabaigos tasku M ir N bet nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.Taigi tarkime,kad Iš čia
Antrajame integrate pakeite integravimo krypti, turime: Kadangi lankai MAN ir NBM sudaro uzdaraji kontura L, apeinama ta pacia kryptimi, tai formule galima parasyti taip: Taigi is salygos ,,integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, jungiancio taskus M ir N” isplaukia sajyga ,,integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu, kuriam priklauso taskai M ir N, yra lygus nuliui”.teisingas ir atvirkscias teiginys, butent is salygos isplaukia salyga: Todel teiginiai,,Integralas nepriklauso nuo integravimo kelio” ir,,Integra¬las uzdaruoju konturu lygus nuliui”, yra ekvivalentus.Toliau suformuosime sajyga kuriai esant integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.
T.Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines , yra tolydzios vienajungeje srityje E. Integralas Bet kuriuo uzdaruoju konturu L, esanciu srityje E, lygus 0 tada ir tik tada, kai visuose srities E taskuose teisinga lygybe , taigi .Įr. Pakankamumas. Duota . Turime irodyti,kad .Tai tiesiogiai isplaukia is Gryno formules, kuria taikome bet kokiam uzdarajam konturui L, ribojanclam sritiDE: Kadangi tai dvilypis integralas, o kartu kreivinis integralas lygus nuliui. Pakankamumas irodytas.Butinumas. Tarkime, kad integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu L lygus nuliui. Tuomet, pagal Gryno formule, (1)Turime irodyti,kad .Tarkime priesingai, kad si lygybe negalioja, t.y. bent viename srities E taske M. Apibreztumo delei tarkime, kad siame taske > 0. Kadangi dalines isvestines yra tolydzios, tai si nelygybe teisinga ir pakankamai mazoje srityje , kuriai priklauso taskas M. Tuomet, remdamiesi dvilypiu_ integralu savybemis, galime teigti, kad is salygos >0 Si nelygybe priestarauja (1) sajygai. Vadinasi, prielaida, kad bent viename srities E taske, yra neteisinga. Todel visuose srities E taskuose . .Butinumas irodytas.

18. Salyga, kuriai esant reiskinys Pdx + Qdy yra pilnasis diferencialas

Reiskinys P (x, y) dx + Q (x, y) yra savo forma panasus i funkcijos u pilnaji Differenciala du = . Taciau savaime aisku, kad ne kiekvienas toks reiskinys yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas du. Isnagrinesime salygas, kuriomis reiskinys P (x, y)dx + Q (x, y) dy vis delto yra kokios nors funkcijos u pilnasis diferencialas. Pasirodo, vel susiduriame su salyga .Teorema. Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E. Reiskinys P (x, y) dx + Q (x,y) dy yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas tada ir tik tada, kai . irodymas. Butinumas. Kai P (x, y)dx+ Q(x, y)dy yra tam tikros limkcijos u pilnasis diferencialas, tai .Kandame: ir .Kadangi dalines isvestines yra tolydzios srityje E, tai toje srityje tolydzios ir misriosios isvestines ir . Tuomet misriosios isvestines, kaip zinome, yra lygios, todel ir
Butinumas irodytas
Pakankamumas. Tarkime, kad teorema, galime sakyti, kad kreivinis integralas
Kokia nors kreive nuo srities E tasko A(x0,yo) iki tos patcios srities tasko B{x1,y2) nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.
Taska A fiksuokime, o taska pakeiskime bet kokiu srities E tasku M(x;y)tuomet integralas Priklausys nuo tasko M (x; y) padeties, todel jis bus tarn tikra to tasko koordinaciu funkcija u (x, y): Toliau irodysime, kad kalbame butent apie sios funkcijos u (x, y) pilnaji diferencila todel ieskosime daliniu isvestiniu .Raskime . Tam tikslui pirmiausia sudarykime reiskini ,paskui apskaiciuokime jo riba kai ∆x 0, Argumentui x suteikime toki pokyti kad taskas Mi(x + ∆x; y) irgi priklausytu. sriciai E Kadangi tai .Kadangi integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, tai tuo keliu = čia y- fiksuotas dydis. Vadinasi, ir .Apibreztiniam integralui taikome vidurines reiksmes teorema: = Cia x yra tarp x ir x + x. Tuomet ir kadangi P(x,y)- tolydi funkcija, o tai
Vadinasi, analogiškai įrodysime kad Sios isestines tolydzios, todel funkcija u turi pilnaji differenciala pati funkcija u(x,y)= vadinama pointegralinio reiškinioP(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykste funkcija. Kai funkcijos P (x, y) ir Q (x, y) bei ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, tai, reziumuodami , galime sakyti, kad teiginiai yra ekvivalentus.
1. Kreivinis integralas Pdx+Qdy nepriklauso nuo integravimo kelioL srityje E.
2. Kreivinis integralas Pdx+Qdy bet kuriuo uzdaruoju konturu,L esanciu srityje E, yra. lygus nuliui.
3. Reiskinys P dx+Q dy yra tarn tikros funkcijos pilnasis diferencialas.
4. Visuose srities E” taskuose teisinga lygybe

19, Pilnųjų diferencialų integravimas
Sakykime, funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju_ dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, be to, . Tuomet reiskinys P(x,y)dx + Q(x,y)dy yra tarn tikros funkcijos u (x, y) pilnasis diferencialas du ir to reiskinio pirmykste funkcija u (x, y) isreiskiama formule u(x,y)= Tarkime, kad funkcija v(x,y) irgi yra reiskinio P(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykSte funkcija, tuomet tos funkcijos skiriasi konstanta: u (x, y)= v (x, y)+C.Kadangi tai, irase į (17) salyga x=x0, y = y0, gauname: 0 = v(x0,y0) + C; is cia C = -v(x0,y0).Taigi u(x,y) = v(x,y)-v(x0,y0),
Ši formule vadinama kreivinio integralo Niutono ir Leibnico formule. Ja remiantis, nustatoma reiskinio P(x, y) dx + Q(x, y) dy pirmykste funkcija, kai tas reiskinys yra pilnasis diferencialas. Suprastinkime Niutono ir Leibnico formule, integravimo keliu nuo tasko Mo(x0,y0), iki tasko M(x;y) pasirinkdami lauzte; M0 M1 M arba M0 M2 M. Taip galime daryti, nes zinome, kad integralas nepriklauso nuo
integravimo kelio. Kadangi atkarpos M0 M1 taskuose x = x0 = const, dx = 0, o atkarpos M1 M taskuose y = const, dy = 0,

tai
Integruodami lauzte M0 M2 M, analogiskai gautume: . Taigi galutinai

23. Gauso formule
Nagrinedami antrojo tipo kreivinius integralus, isvedeme Gryno formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D. Pavirsiniu integralu teorijoje panasus vaidmuo tenka Gauso formulei, kuri trilypi integrala erdvineje srityje V sieja su pavirsiniu integralu uzdaruoju pavirsiumi S, ribojanciu kuna. V.T. Jei funkcijos P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ir ju dalines istivestines yra tolydzios uzdaroje erdvineje srityje V, apribotoje uzdaro pavirsiaus S, tai kai pasirinkta išorinė pavirsiaus S puse.Įr. Tarkime, kad kuna V is apacios riboja glodusis pavirsius S1 , kurio lygtis z=z1(x,y), is virsaus – glodusis pavirsius S2 ,kurio lygtis z=Z2(x,y), o is soniu – cilindrinis pavirsius s3,, kurio sudaromiosios lygiagrecios asiai Oz. Sakykime, to cilindrinio pavirsiaus vedamoji yra glodzioji kreive L, ribojanti sriti D-kuno V projekcija plokstumoje xOy. Pasirinkime isorine pavirsiaus S puse ir jos normales pazymekime .Gauso formules isvedimas labai panasus i Gryno formules isvedima kurio buvo nagrinetas dvilypis integralas Panasiai elgsimes ir dabar. Nagrinesime trilypi integrala Isreiskiame ji kartotiniu integralu: (1)Toliau taikome R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, formule kuri pavirSini integrala. isreiSkia dvilypiu integralu. Is jos matyti, kad dvilypis integralas lygus pavirsiniam integralui R(x,y, z)dxdy, paimtam virsutine pavirsiaus S2 lygtis z = z2 (x,y) ir pries dvilypi integrala parinktas pliuso zenklas.Kadangi pries antraji (1) formules dvilypi integrala yra minuso zenklas, tai jis isreiSkia pavirsini integrala: R(x,y,z)dxdy pavirsiaus S1 apatine puse.Vadinasi, is (1) formules gauname (2)cia abu pavirginiai integralai imami isorine pavirsiu S1 ir S2 puse.Kadangi cilindrinio pavirsiaus S3 sudaromosios lygiagrecios asiai Oz,tai Prideje si integrala prie (2) formules, turime: Analogiskai irodytume, kad sudeje sias tris formules, gauname Gauso formule: kuri bendraji antrojo tipo pavirsini integrala isorine pavirsiaus S puse isreiskia trilypiu integralu srityje V, apribotoje pavirsiaus S. Panaudoje rysio tarp abieju tipu| pavirsiniu integralu formule Gauso formule parasome taip:
Kadangi Gauso formule pavirsini integrala isreiskia trilypiu, tai ja patogu naudoti apskaiciuojant antrojo tipo pavirsinius integralus uzdarais pavirsiais.

24. Stokso* formule

Sakykime, kad pavirsiu S riboja konturas — uzdara kreive L; vaizdziai tariant, pavirsius S yra tarytum ,,uztemptas” ant kreives L
Dabar isvesime formule, kuri pavirsini integrala pavirsiumi S sieja su kreiviniu integralu konturu L, ribojanciu ta pavirsiu. Ji yra zinomos Gryno
formules apibendrinimas. Teorema. Tarkime, kad S yra glodusis pavirsius, kurio konturas L – uzdara glodzioji erdveje R3 orientuota kreive. Jei funkcijos P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ir ju pirmosios eiles dalines isvestines yra tolydzios pavirsiaus S taskuose, tai teisinga Stokso formule: cia cos a, cos B ir cos y – pavirsiaus S virsutines puses normales krypties kosinusai, o konturas L apeinamas teigiamqja kryptimi.

Įrodymas. Kreivini integrala konturu L pertvarkysime i antrojo tipo pavirsini integrala. pavirsiumi S pagal tokia logine samprotavimiu schema: taigi kreivini integrala L pakeisime integralu ploksciaja kreive l, si, pritaike Gryno formule,- dvilypiu integralu srityje D ir pagaliau dvilypi integrala – pavirsiniu integralu pavirsiumi S. Nagrinekime kreivini integrala . Tarkime, kad pavirsius S nusakomas lygtimi z = z (x, y). Kadangi konturas L priklauso pavirsiui S, tai jo taskai tenkina pavirsiaus S lygti, todel funkcijos P (x, y, z) reiksmes konturo L taskuose lygios funkcijos P (x, y, z(x, y)) reiksmems atitinkamuose kreives l taskuose. Kadangi konturu_ L ir l skaidiniu atitinkamos projekcijos asyje Ox sutampa, tai sutampa ir funkcijos P integralines sumos, is kuriu gaunami antrojo tipo kreiviniai integralai kreivemis L ir l. Todel .(1)Toliau remsimes Gryno formule ir kreivini integrala kreive l, esanti desiniojoje (1) lygybes puseje, pakeisime dvilypiu integralu srityje D (kreive l apeinama teigiamaja kryptimi).Taigi, pritaike Gryno formule, gauname: .Daline isvestine rasime, diferencijuodami funkcija P kaip sudetine, priklausancia nuo y tiesiogiai ir netiesiogiai per tarpini argumenta z. Taigi

Tuomet (40)
Kai integruojama virsutine pavirsiaus S puse, tai normales koordinates yra Tokios: Kadangi

° = (cos a; cos B; cos y) ir II °, tai siu vektoriu koordinates yra proporcingos. Todel is cia
Irasia sia, reiksme I (40) formule, gauname . (41)
Prisimine, kaip pavirsinis integralas isreiskiamas dvilypiu , galime parasyti: .(41)
Pntaike abieju tipu pavirsiniu integralu sajySio formule , gauname : (43)
Sugretine (39), (41), (42) ir (43) formules, turime:
AnalogiSkai irodoma, kad teisingi ir sie du sarysiai:
Pastarasias tris formules sudeje. panariui, gauname Stokso formule. Teorema irodyta. .Atsizvelgdami i pirmojo ir antrojo tipo pavirsiniiu integralu sajySio formule , Stokso formule galime uzrasyti ir taip:
Is Stokso formules matyti, kad sajygos:
yra pakankamos, kad kreivinis integralas uzdara erdvine kreive L butiu lygus nuliui. Neirodinedami dar paminesime, kad sios sajygos kartu yra ir butinos.

9. Trilypio integralo apskaiciavimas
Trilypis integralas, panasiai kaip dvilypis, apskaiciuojamas pakeiciant ji kartotiniu. Tarkime, kad sritis V nusakoma nelygybemis (57 pav.);cia – ftmkcijos, tolydzios ir vienareiksmes atkarpoje [a; b], fiinkcijos tolydzios ir vienareiksmes srityje D; D-kuno V projekcija plokstumoje xOy. Ta kuna is apaCios riboja pavirsius z = 1(x,.y), is virsaus – pavirsius z = 2(x,y), is soniu – cilindrinis pavirsius, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz, o vedamoji yra srities D konturas.

Tuomet trilypis integralas taip isreiskiamas kartotiniu integralu:
Sia formule cia pateikiame be irodymo, uzrasydami ja analogiskai dvilypio integralo apskaiciavimo formulei.
Desiniojoje puseje esantis kartotinis integralas apskaiciuojamas taip: x ir y laikant konstantomis, pirmiausia apskaiciuojamas vidinis integralas z atzvilgiu, po to, kintamaji x laikant konstanta, gautas rezultatas integruojamas y atzvilgiu, ir galiausiai integruojama x atzvilgiu.

10. Trilypio integralo kintamuju keitimas(aleknos)
Tarkime, kad vienoje trimateje erdveje duota staciakampe Dekarto koordinaciu.sistema, kurios asys Ox, Oy, Oz, o kitoje erdveje – tokia pat sistema, kurios
asys O’u , O’v, O’w. Jeigu erdves Oxyz sritis V abipus vienareiksmiskai vaizduojamaerdves O’uvw sriti V, be to, si atitiktis nusakoma formulemis:

(1)
o funkcijos x = x(u,v,w), y = y(u,v, w) ir z = z(u,v,w) turi srityje
V tolydzias dalines pirmosios eiles isvestines ir jakobianas

tai galioja trilypio integralo kintamuji keitimo formule: (2)
Cilindro koordinates gaunamos prie poliniu koordinaciu. ir prijungus Dekarto aplikate. z . Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordinates sieja formules: ,z=z (3), cia Jakobijanas I= . Pritaike (2) formule., gauname trilypio integralo apskaiciavimo cilindriniu koordinaciu sistemoje formule:

.(4). Tasko M(x,y,z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: , ir . Su staciakampemis Dekarto koordinatemis sferines koordinates sieja formules: (5), cia
Apskaiciave jakobijana I= ir panaudoje. (2) formu¬le, gauname trilypio integralo israiska_ sferiniu koordinaciu sistemoje formule:

(6)
Kartais naudojamos apibendrintos sferines koordinates: (7). (7) atvaizdzio jakobianas: I=abc

.4Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra staciakampis
Tarkime, kad sritis D yra staciakampis, kurio krastines yra lygiagrecios koordinaciu asims. Jj. zymesime taip
D = [a,b;c,d] arba D = {(x,y): a x b, c y d}.
1 teorema. Jeigu funkcijai f(x,y), apibreztai staciakampyje D= [a , b ; c , d ], egzistuoja dvilypis integralas
ir kiekvienai fiksuotai x reiksmei is [a ,b] egzistuoja paprastasis
integralas I(x)= , (a x b) (2)tai egzistuoja taip pat kartotinis integralas

(3)ir galioja lygybe (4)
2 teorema. Jeigu funkcijai f(x,y) staciakampyje D = [a , b ; c , d ] . egzistuoja (I) dvilypis integralas ir kiekvienai pastoviai y reiksmei is [c, d] egzistuoja paprastasis integralasI(y)= (5)tai egzistuoja taip pat kartotinis integralas

(6)ir galioja lygybe
Pastabos:
1. .Jeigu kartu su (1) dvilypiu integralu egziltuoja abu paprastieji integralai (2) ir (5), tai vienu metu galioja (4) ir (7) formules, is kuriu, gauname
2. Jeigu funkcija f(x, y) = (x)* (y), tai sios funkcijos dvilypis integralas staciakampyje D[a,b.c,d ] yra lygus dvieju. paprastuju integralu sandaugai:

.5.Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivine trapecija
skiriami du integravimo sriciu. tipai: 1) pirmojo tipo
integravimo sritis AlA2B2Bl yra kreivine trapecija, apribota is virsaus ir is apacios dviem tolydziosiomis kreivemis y = 2(x)ir y = 1(x) [2(x)(x)] taip, kad bet kuri lygiagreti 0y asiai tiese kerta sias kreives tik viename taske, o is sonu_ – tiesemis x = a, x = b (a < b) (5 pav.). Atskiru atveju taskai A1 ir A2, Bl ir B2 gali sutapti (6 pav., a, b, c).

x =a
6 a pav. 6 b pav.

2) antrojo tipo integravimo sritis C1 C2 D2 Dl yra kreivine trapecija, apribota is virsaus ir is apacios tiesemis y = d ir y  c, is kaires kreive x = 1(y), is desines – kreive x = 2(y) (y)ykuriu kiekviena kertasi su bet kuria lygiagrecia Ox asiai tiese tik viename taske (7 pav., a)). Atskiru atveju taskai C1 ir C2, D1 ir D2 gali sutapti (7 pav., b),

c)).

d)
3)teorema . Jeigu funkcijai f(x,y) pirmojo tipo srityje D  dvilypis integralas f(x,y)dxdy ir kiekvienam pastoviam x is [a,b]  paprastasis integralas
I(x)=
Tai  taip pat kartotinis integralas

ir galioja lygybe

(9)
Jei integravimo sritis D yra antrojo tipo kreivine trapecija (7 pav.), tai vietoj (9) formules gauname (10)
jei  paprastasis integralas I(y)= imant pastovuy[c,d]. Pastabos:
1. Jeigu integravimo srities D kontura tieses, lygiagrecios ordinaciu asiai, ir tieses, lygiagrecios abscisiu. asiai, kerta tik dviejuose taskuose (7 pav., d)), tai sriciai D galima taikyti abi (9) ir (10) formules. Jas sugretinus, gaunama lygybe (11)
t.y. kartotmiame integrale galima sukeisti integravimo tvarkq..
2. Jeigu integravimo sritis D nera nei pirmojo, nei antrojo tipo, tai ja stengiamasi suskaidyti I dalis taip, kad kiek¬viena po suskaidymo gauta daline sritis butu pirmojo arba antrojo tipo integravimo sritis (8 pav., a), b), c)).

c13, Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaiciavimas ir savybes
Sakykime, glodziosios kreives L lygtis plokstumoje xOy yra y=y(x), .x [a;b] ,f(x, y) – tolydi tos kreives taskuose funkcija. Tos funkcijos israiska kreives L taskuose bus f(x, y(x)). Apskaiciuodami kreives lanko ilgi , suzinojome, kad stygos, jungiancios du kreives,dalijimo taskus, ilgis lygus . Si dydi galime laikyti apytiksle kreives lanko dalies ∆st reiksme, taigi (noredami islaikyti sio skyriaus zymenis, tarpini taska ci pazymejome xi). Tuomet (2) suma , turedami galvoje, kad yi = y(xi), uzrasysime taip:
Gautoji suma yra tarn tikros vieno kintamojo funkcijos integraline suma. Todel, apskaiciave riiba kai 0, (tuomet ir max ∆x i— >0), pirmojo tipo kreivini integrala isreiskiame apibreztiniu integralu (4)Taigi is esmes ds yra apibreztas kreives lanko ilgio diferencialas: Kai glodi plokscioji kreive L apibrezta parametrinemis lygtimis x = x (t), y = y (t), t [t0;T], tai , todėl . (5)Kai parametrinemis lygtimis x = x(f),y=y(t),z = z(t), t [t0; T] apibrezta erdvine kreive L, Kai glodi plokscioji kreive L poliniu koordinaciu sistemoje apibrezta lygtimi , tai ir .Įsitikinome, jog pirmojo tipo kreivinis integralas isreiskiamas apibreztiniu integralu. Zinome, kad apibreztinis integralas egzistuoja, kai pointegraline funkcija yra tolydi. Kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija,tai ir irgi yra tolydi funkcija, nes del kreives L glodumo tolydzios yra funkcijos y(x) ir y'(x). Vadinasi, egzistuojant integralui , kartu egzistuoja ir integralas . Is ciaisplaukia, kad pirmojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija.

14.Ap.Jeigu egzistuoja baigtine (0) sumos riba, kai ->0, nepriklausanti nuo orientuotos kreives L suskaidymo i dalis ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama antrojo tipo kreiviniu integralu kreive(arba keliu)L.Zymima taip: (1) Vadinasi .Kai Q (x, y) = 0,is kreivinio integralo (1)bendrosios israiskos gauname kreivini integrala o kai P (x, y) = 0,-integra . Kadangi integralai ir , paimti skyrium, irgi turi
prasme, tai is antrojo tipo kreivinio integralo apibrezimo isplaukia, kad Kai kreive L uzdara, (1)integrala zymime taip: .Palyginsime pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu apibrezimus, kartu isryskindami viena. esmini ju skirtumu Sudarydami (2)suma funkcijos reiksme tarpiniame taske dauginome is kreives lanko ilgio ∆si , o sudarydami (0) suma ,- is to lanko (kartu ir vektoriaus ∆s i) projekcijos asyje Ox (arba asyje Oy),bet ne is lanko ilgio ∆si.Kadangi lanko ∆s, ilgis nepriklauso nuo integravimo krypties, tai tos krypties pakeitimas neturi jtakos pirmojo tipo kreiviniam integralui. To negalima pasakyti apie antrojo tipo kreivini integrala nes lanko ∆si projekcijos zenklas priklauso nuo to lanko krypties. Pakeite integravimo lanku AB krypti, kartu pakeiciame ir lanko ∆si- projekciju ∆xi ir ∆yi zenklus.Taigi Dar paminesime, kad tokiu pat budu kaip (1) integrala galima apibrezti antrojo tipo kreivini integrala erdvine kreive L: .Irodysime, kad antrojo tipo kreivinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji apibreztiniu integralu. Nagrinekime integrala: . (3)Tarkime, kad kreives L lanko AB parametrines lygtys yra x = x(t), y = y(t),lanko pradzios taska_ A atitinka parametro t reiksme t0, o lanko galo taska B -reiksme T.Dar sakykime, kad x (t), y (t) ir ju isvestines x'(t), y'(t) yra tolydzios atkarpoje [ t0; T] funkcijos, P (x,y) – irgi tolydi kreives L taskuose funkcija. Įrodysime, kad Vadinasi, norint apskaiciuoti (3)integrala reikia kintamuosius x ir y pakeisti ju israiskomis x (t) iry (t), o vietoj dx jrasyti israiska. dx = x'(t) dt, kuri gaunama is sajygos x = x (t). Apibreztinio integralo reziai – parametro t reiksmes, paimtos taip, kad atitiktu pasirinkta integravimo krypti. Sudarykime integraline suma: ir tarkime, kad taska. Xi atitinka parametro reiksme ti, o taska xi-1 reiksme ti-1 . Vadinasi, xi =x(ti), xi-1= x(ti-1). Pritaike Lagranzo formule turime: Cia yra tarp ti-1 ir ti. Tarpini taska. ( ) parinkime taip, kad jis atitiktu parametro , reiksme, butent: Tuomet: Kadangi desiniojoje sios lygybes puseje yra vieno kintamojo funkcijos P(x(t),y(t)) x'(t) integraline suma, tai, pereje prie ribos, kai =max ∆si0 tuomet kartu ir max ∆xi ->0),gauname apibreztini integrala Taigi galutinai Kalbedami apie bendrosios israiskos antrojo tipo kreivini integrala ,reikalausime, kad x(t), y(t) ir ju isvestines x'(t),y'(i) butu tolydzios atkarpoje [t0;T] funkcijos, o P(x,y), Q(x, y)- tolydzios kreives L taskuose funkcijos. Tuomet teisinga tokia lygybe: (4)Kadangi del minetu funkciju tolydumo desiniojoje (4) lygybes puseje esantis apibreztinis integralas egzistuoja, tai kartu egzistuoja ir kreivinis integralas . Taigi galutinai isitikiname,kad antrojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai kreive L yra glodzioji arba dalimis gloti, o funkcijos P(x,y) ir Q(x,y) – tolydzios kreives L taskuos
11. Trilypis integralas cilindrineje koordinaciu sistemoje
Cilindrines koordinates gaunamos, prie poliniu koordinaciu p ir  prijungus paprastq. Dekarto aplikate z. Taigi tasko M padetis cilindriniu koordinaciii sistemoje nusakoma trimis dydziais: p,  ir z (60 pav.); cia p > 0,

0 <  < 2n (arba- < < ),- < z < + .Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordi¬nates sieja formulas:xcos,ysin,zz.
Randame jakobijana:
Pritaike , formule gauname tokia trilypio integralo apskaiciavimo cilindrinių koordinaciu sistemoje formule: .
Reiskinys  d d dz turi paprasta geometrine prasme. Panasiai kaip reiskinys dx dy dz, jis isreiskia elementarios dalies turi. Ta dalis gaunama dalijant sriti V koordinatiniais pavirsiais  = const (cilindru, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz), = const (pusplokstume, einancia per asi Oz), z = const (plokstuma, lygiagrecia plokgtumai xOy)
Kai elementas ABCDABCD laikomasstaciakampiu gretasieniu, tai jo turis isreiskiamas matmenu d, d ir dz sandauga, taigi jo turis lygus dydziui
dd dz.
Kadangi kuno turis V = dx dy dz , tai cilindriniu koordinaciu sistemoje jis isreiskiamas formule: .

12 Trilypis integralas sferinieje koordinaciu sistemoje

Tasko M (x; y, z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: r,  ir  ( pav.); cia r – spindulio vektoriaus OM , jungiancio su duotuoju tasku M, ilgis, 0 r < +; - asies Oz ir spindulio vektoriaus
OM sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Oz, 0 ;  – asies Ox ir spindulio vektoriaus OM’ sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Ox, 0 

Is paveikslo nesunku gauti tasko M Dekarto koordinaciu x, y,z ir sferininiu koordinaciu r, ,  sarysio formulas:xrsincos,yrsinsin,zrcos)Be to, x2 +y2 +z2 = r2 .Koordinatiniai sferiniu
koordinaciu pavirsiai yra tokie:sferos r =const, pusplokstume= const, kugiai  = const.Raskime jakobiana: .
Pritaike, formule, gauname trilypio integralo israiska. Sferiniu koordinaciu sistemoje:

Kuno turis V = dx dy dz isreiskiamas formule:
Dydis r sin  dr d d taip pat yra elementariosios dalies turis, apskaiciuotas sferiniu koordinaciu sistemoje.

15. Pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu sarysis
Isvesime formule siejancia, abieju tipu kreivinius integralus. Sakykime, L glodzioji orientuota kreive. Kampus, kuriuos liestine i einanti per taska sudaro su koordinaciu, asiu, teigiamomis kryptimis, pazymekime  ir . Tuomet liestines i. ortas bus

i° = (cos; cos).

Is brezinio matyti, kad dydzius ∆xi- ir ∆yi- su lanko ilgiu ∆si sieja apytiksles formulas:∆xicos∆si,∆ycos∆si
Taigi formule galime uzrasyti:
Prieje prie ribos, kai  = max ∆si0 gauname abieju tipu kreiviniu integralu sarysio formule .
Kai L – glodzioji erdvine kreive, kurios liestines  bet kuriame jos taske M (x; y; z) krypties kosinusai lygus cos, cos cos, tai .

16.Gryno formule
Tarkime, kad sritis D, apribota uzdara kreive L, tenkina salyga jog bet kuri lygiagreti koordinaciu asims tiese kreive L kerta ne daugiau kaip dviejuose taskuose.Isvesime labai svarbia formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D.T. Jei funkcijos P (x, y) ir Q (x, y)bei ju daline sisvestines yra tolydzios srityje D, apribotoje uzdaru konturu L,tai kai konturas L apeinamas teigiamaja kryptimi.Įr Tarkime, kad sritis D yra tokia, kokia pavaizduota 77 paveiksle. Jos kontura L sudaro dvi kreives: lankas ACB, kurio lygtis y = y1 (x) , ir lankas AEB, kurio lygtis y = y2(x),axb.Apskaiciuokime dvilypi integrala pakeisdami ji kartotiniu ,kadangi .pirmasis integfralas yra apibreztinis jis gaunamas is kreivinio integralo .kai integruojama kreive l,kurios lygtis yy2(x)yra lanko AEB lygtis,tai analogiskai ir gauname,kad bet todel lankai AEB ir BCA sudaro kreive L, todel kreiviniii integrala siais lankais suma lygi integralui visa uzdara kreive L. Si karta kreive L pradedame judeti is tasko A ir vel griztame i taska A lankais AEB ir BCA, taigi einame kryptimi pansia su laikrodzio rodykles judejimo kryptimi, t. y.neigiamaja kreives L apejimo kryptimi..Integravimo krypti pakeite teigiamaja konturo L apejimo kryptimi, turetume (13)Jeigu kurio nors lanko dalis butu atkarpa, lygiagreti asiai Oy, tai tos atkarpos taskuose butu dx=0 ir =0.Taigi(13)formule butu teisinga ir tuo atveju.Analogiskai irodytume, kad (14)Is(14)lygybes ateme(13)lygybe, gauname vadinamaja Gryno formulę :

22. Antrojo tipo pavirsiniai integralai
Sakykime, kad S – dvipusis glodusis pavirsius, o R(x,y,z) ~ lolydzioji to pavirsiaus taskuose funkcija. Padalykime pavirsiu S glodziomis kreivemis i dalis ∆I (i1,n) ir kiekvienoje ju pasirinkime po taska Mi (xi .yi , zi ) Apskaiciuokime funkcijos R(x, y , z) reiksme taske M i : R(Mi ) = R(xi , yi , zi) . Simboliu ∆Si pazymekime pavirsiaus dalies ∆i- projekcijos plokstumoje xOy plota su priskirtu jam pliuso zenklu, kai parinkta virsutine pavirsiaus puse (kampas tarp Oz asies ir pavirsiaus normales yra smailusis), ir su minuso zenklu, kai pasirinkta apatine pavirsiaus puse. Sudarykime integraline suma .(1) ir pazymekime  = max diam∆i .
Ap. Jei egzistuoja baigtine (1) sumos riba, kai 0 , nepriklausanti nuo pavirsiaus padalijimo I dalis∆i- ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama funkcijos R(x,y,z) antrojo tipo pavirsiniu integralu pasirinktaja pavirsiaus S puse. Taigi = .
Kai P(x,y,z) ir Q(x,y,z] – tolydziosios pavirsiaus S taskuose funkcijos, tai, projektuodami pavirsiaus dalis∆i. ( koordinaciu plokstumas yOz ir xOz , galime analogiskai apibrezti dar du antrojo tipo pavirsinius integralus:

P(x,y,z)dydz ir Q(x,y,z)dzdx.Sudejus visus tris antrojo tipo pavirsinius integralus, sudaromas bcndrasis antrojo tipo pavirsinis integralas . Is apibrezimo matyti, kad antrojo tipo pavirsinis integralas priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses; be to, pakeitus pavirsiaus S puse, integralas keicia zenkla.
Antrojo tipo pavirsiniai integralai apskaiciuojami taip. Jei glodusis pavirsius S, kurio projekcija plokstumoje xOy yra sritisD1 nusakomas isreikstine lygtimi z(x, y) ((x,y) € Dl), tai

R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, (3)
cia pries dvilypi integrala parasyti zenklai priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses.
Kai pavirsius S nusakomas lygtimis x = x(y,z) arba y = y(x,z) ir
projektuojamas I plokstumas yOz arba xOz sritimis D2 arba D3,tai

P(x,y,z)dydz = ± P(x(y,z)y,z)dydz, (4)

Q(x,y,z)dzdx = ± Q(x,y(x,z],z)dzdx. (5)
Bendrasis antrojo tipo pavirsinis integralas skaiciuojamas pagal (3) – (5) formules, jei pavirsius vienareiksmiskai projektuojamas ( visas 3 koordinaciu plokstumas.
Abiej u tipu pavirsiniai integralai siejami lygybe: .
cia cos, cos, cos – normales krypties kosinusai, atitinkantys pasirinktajq. pavirsiaus S puse.
Kartais (6) rysio formule naudojama antrojo tipo pavirsiniams integralams apskaiciuoti

21Pirmojo tipo pavirsiniai integralai
Tarkime, kad S – glodusis pavirsius erdveje R3. Jo taskuose apibrezta tolydzioji funkcija f(x,y,z). Pavirsiu, S glodziu kreiviu tinklu padalykime i dalis ∆i(simboliu∆i, zymesime ir jos plota.,(i1,n)

ir kiekvienoje ju bet kur parinkime po taska_ Mi.(xiyi,z,,)(99 pav.). Apskaiciuokime funkcijosreiksme tame taske
f{Mi)=f(xi,yi,zi) ir sudarykime integraline suma (1). Pazymekime diam∆i,
cia diam∆i laikome didziausia atstuma tarp dalies ∆I sienos tasku,. Apibrezimas. Jei egzistuoja (1) integralines sumos baigtine riba, kai 0, nepriklausanti nuo pavirsiaus padaljimo ( dalisi- ir tastu Mi parinkimo, tai si riba vadinama pirmojo tipo pavirsiniu integralu ir zymima: . (2)
Pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji dvilypiu integralu.
Jei glodusis pavirsius S nusakytas isreikstine lygtimi z = z(x, y), cia (x,y) D – pavirsiaus Sprojekcija plokstumoje xOy (99 pav.), tai pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pagal formule

. (3)
Pirmojo tipo pavirsinio integralo savybes analogiskos pirmojo tipo kreivinio integralo savybems. Jei glodusis pavirsius nusakytas parametrinemis lygtimis x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v) D1, tai pirmojo tipo pavirsinis integralas

,
cia .

17. Sajyga, kad kreivinio integralo reiksme nepriklausytq nuo integravimo kelio
Zinome,kad integralu reiksme gali priklausyti arba nepriklausyti nuo integravimo kelio.Dabar paaiskinsiu kokiomis sajygomis kreivinio integralo reiksme nepriklauso nuo integravimo kelio.Nagrinesiu vienajunge sriti, kuria paprasta apibudinti,kai ji yra baigtine.Sritis bus vienajunge, kai ja ribos viena glodzioji arba dalimis glodi uzdara kreive.Sakykime, vienajungeje srityje D apibreztos dvi tolydzios funkcijos P(x,y) irQ(x,y), turincios tolydzias dalines isvestines Nagrinekime kreivini integrala ir tarkime,kad jis priklauso nuo lanko pradzios ir pabaigos tasku M ir N bet nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.Taigi tarkime,kad Iš čia
Antrajame integrate pakeite integravimo krypti, turime: Kadangi lankai MAN ir NBM sudaro uzdaraji kontura L, apeinama ta pacia kryptimi, tai formule galima parasyti taip: Taigi is salygos ,,integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, jungiancio taskus M ir N” isplaukia sajyga ,,integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu, kuriam priklauso taskai M ir N, yra lygus nuliui”.teisingas ir atvirkscias teiginys, butent is salygos isplaukia salyga: Todel teiginiai,,Integralas nepriklauso nuo integravimo kelio” ir,,Integra¬las uzdaruoju konturu lygus nuliui”, yra ekvivalentus.Toliau suformuosime sajyga kuriai esant integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.
T.Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines , yra tolydzios vienajungeje srityje E. Integralas Bet kuriuo uzdaruoju konturu L, esanciu srityje E, lygus 0 tada ir tik tada, kai visuose srities E taskuose teisinga lygybe , taigi .Įr. Pakankamumas. Duota . Turime irodyti,kad .Tai tiesiogiai isplaukia is Gryno formules, kuria taikome bet kokiam uzdarajam konturui L, ribojanclam sritiDE: Kadangi tai dvilypis integralas, o kartu kreivinis integralas lygus nuliui. Pakankamumas irodytas.Butinumas. Tarkime, kad integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu L lygus nuliui. Tuomet, pagal Gryno formule, (1)Turime irodyti,kad .Tarkime priesingai, kad si lygybe negalioja, t.y. bent viename srities E taske M. Apibreztumo delei tarkime, kad siame taske > 0. Kadangi dalines isvestines yra tolydzios, tai si nelygybe teisinga ir pakankamai mazoje srityje , kuriai priklauso taskas M. Tuomet, remdamiesi dvilypiu_ integralu savybemis, galime teigti, kad is salygos >0 Si nelygybe priestarauja (1) sajygai. Vadinasi, prielaida, kad bent viename srities E taske, yra neteisinga. Todel visuose srities E taskuose . .Butinumas irodytas.

18. Salyga, kuriai esant reiskinys Pdx + Qdy yra pilnasis diferencialas

Reiskinys P (x, y) dx + Q (x, y) yra savo forma panasus i funkcijos u pilnaji Differenciala du = . Taciau savaime aisku, kad ne kiekvienas toks reiskinys yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas du. Isnagrinesime salygas, kuriomis reiskinys P (x, y)dx + Q (x, y) dy vis delto yra kokios nors funkcijos u pilnasis diferencialas. Pasirodo, vel susiduriame su salyga .Teorema. Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E. Reiskinys P (x, y) dx + Q (x,y) dy yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas tada ir tik tada, kai . irodymas. Butinumas. Kai P (x, y)dx+ Q(x, y)dy yra tam tikros limkcijos u pilnasis diferencialas, tai .Kandame: ir .Kadangi dalines isvestines yra tolydzios srityje E, tai toje srityje tolydzios ir misriosios isvestines ir . Tuomet misriosios isvestines, kaip zinome, yra lygios, todel ir
Butinumas irodytas
Pakankamumas. Tarkime, kad teorema, galime sakyti, kad kreivinis integralas
Kokia nors kreive nuo srities E tasko A(x0,yo) iki tos patcios srities tasko B{x1,y2) nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.
Taska A fiksuokime, o taska pakeiskime bet kokiu srities E tasku M(x;y)tuomet integralas Priklausys nuo tasko M (x; y) padeties, todel jis bus tarn tikra to tasko koordinaciu funkcija u (x, y): Toliau irodysime, kad kalbame butent apie sios funkcijos u (x, y) pilnaji diferencila todel ieskosime daliniu isvestiniu .Raskime . Tam tikslui pirmiausia sudarykime reiskini ,paskui apskaiciuokime jo riba kai ∆x 0, Argumentui x suteikime toki pokyti kad taskas Mi(x + ∆x; y) irgi priklausytu. sriciai E Kadangi tai .Kadangi integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, tai tuo keliu = čia y- fiksuotas dydis. Vadinasi, ir .Apibreztiniam integralui taikome vidurines reiksmes teorema: = Cia x yra tarp x ir x + x. Tuomet ir kadangi P(x,y)- tolydi funkcija, o tai
Vadinasi, analogiškai įrodysime kad Sios isestines tolydzios, todel funkcija u turi pilnaji differenciala pati funkcija u(x,y)= vadinama pointegralinio reiškinioP(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykste funkcija. Kai funkcijos P (x, y) ir Q (x, y) bei ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, tai, reziumuodami , galime sakyti, kad teiginiai yra ekvivalentus.
1. Kreivinis integralas Pdx+Qdy nepriklauso nuo integravimo kelioL srityje E.
2. Kreivinis integralas Pdx+Qdy bet kuriuo uzdaruoju konturu,L esanciu srityje E, yra. lygus nuliui.
3. Reiskinys P dx+Q dy yra tarn tikros funkcijos pilnasis diferencialas.
4. Visuose srities E” taskuose teisinga lygybe

19, Pilnųjų diferencialų integravimas
Sakykime, funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju_ dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, be to, . Tuomet reiskinys P(x,y)dx + Q(x,y)dy yra tarn tikros funkcijos u (x, y) pilnasis diferencialas du ir to reiskinio pirmykste funkcija u (x, y) isreiskiama formule u(x,y)= Tarkime, kad funkcija v(x,y) irgi yra reiskinio P(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykSte funkcija, tuomet tos funkcijos skiriasi konstanta: u (x, y)= v (x, y)+C.Kadangi tai, irase į (17) salyga x=x0, y = y0, gauname: 0 = v(x0,y0) + C; is cia C = -v(x0,y0).Taigi u(x,y) = v(x,y)-v(x0,y0),
Ši formule vadinama kreivinio integralo Niutono ir Leibnico formule. Ja remiantis, nustatoma reiskinio P(x, y) dx + Q(x, y) dy pirmykste funkcija, kai tas reiskinys yra pilnasis diferencialas. Suprastinkime Niutono ir Leibnico formule, integravimo keliu nuo tasko Mo(x0,y0), iki tasko M(x;y) pasirinkdami lauzte; M0 M1 M arba M0 M2 M. Taip galime daryti, nes zinome, kad integralas nepriklauso nuo
integravimo kelio. Kadangi atkarpos M0 M1 taskuose x = x0 = const, dx = 0, o atkarpos M1 M taskuose y = const, dy = 0,

tai
Integruodami lauzte M0 M2 M, analogiskai gautume: . Taigi galutinai

23. Gauso formule
Nagrinedami antrojo tipo kreivinius integralus, isvedeme Gryno formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D. Pavirsiniu integralu teorijoje panasus vaidmuo tenka Gauso formulei, kuri trilypi integrala erdvineje srityje V sieja su pavirsiniu integralu uzdaruoju pavirsiumi S, ribojanciu kuna. V.T. Jei funkcijos P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ir ju dalines istivestines yra tolydzios uzdaroje erdvineje srityje V, apribotoje uzdaro pavirsiaus S, tai kai pasirinkta išorinė pavirsiaus S puse.Įr. Tarkime, kad kuna V is apacios riboja glodusis pavirsius S1 , kurio lygtis z=z1(x,y), is virsaus – glodusis pavirsius S2 ,kurio lygtis z=Z2(x,y), o is soniu – cilindrinis pavirsius s3,, kurio sudaromiosios lygiagrecios asiai Oz. Sakykime, to cilindrinio pavirsiaus vedamoji yra glodzioji kreive L, ribojanti sriti D-kuno V projekcija plokstumoje xOy. Pasirinkime isorine pavirsiaus S puse ir jos normales pazymekime .Gauso formules isvedimas labai panasus i Gryno formules isvedima kurio buvo nagrinetas dvilypis integralas Panasiai elgsimes ir dabar. Nagrinesime trilypi integrala Isreiskiame ji kartotiniu integralu: (1)Toliau taikome R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, formule kuri pavirSini integrala. isreiSkia dvilypiu integralu. Is jos matyti, kad dvilypis integralas lygus pavirsiniam integralui R(x,y, z)dxdy, paimtam virsutine pavirsiaus S2 lygtis z = z2 (x,y) ir pries dvilypi integrala parinktas pliuso zenklas.Kadangi pries antraji (1) formules dvilypi integrala yra minuso zenklas, tai jis isreiSkia pavirsini integrala: R(x,y,z)dxdy pavirsiaus S1 apatine puse.Vadinasi, is (1) formules gauname (2)cia abu pavirginiai integralai imami isorine pavirsiu S1 ir S2 puse.Kadangi cilindrinio pavirsiaus S3 sudaromosios lygiagrecios asiai Oz,tai Prideje si integrala prie (2) formules, turime: Analogiskai irodytume, kad sudeje sias tris formules, gauname Gauso formule: kuri bendraji antrojo tipo pavirsini integrala isorine pavirsiaus S puse isreiskia trilypiu integralu srityje V, apribotoje pavirsiaus S. Panaudoje rysio tarp abieju tipu| pavirsiniu integralu formule Gauso formule parasome taip:
Kadangi Gauso formule pavirsini integrala isreiskia trilypiu, tai ja patogu naudoti apskaiciuojant antrojo tipo pavirsinius integralus uzdarais pavirsiais.

24. Stokso* formule

Sakykime, kad pavirsiu S riboja konturas — uzdara kreive L; vaizdziai tariant, pavirsius S yra tarytum ,,uztemptas” ant kreives L
Dabar isvesime formule, kuri pavirsini integrala pavirsiumi S sieja su kreiviniu integralu konturu L, ribojanciu ta pavirsiu. Ji yra zinomos Gryno
formules apibendrinimas. Teorema. Tarkime, kad S yra glodusis pavirsius, kurio konturas L – uzdara glodzioji erdveje R3 orientuota kreive. Jei funkcijos P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ir ju pirmosios eiles dalines isvestines yra tolydzios pavirsiaus S taskuose, tai teisinga Stokso formule: cia cos a, cos B ir cos y – pavirsiaus S virsutines puses normales krypties kosinusai, o konturas L apeinamas teigiamqja kryptimi.

Įrodymas. Kreivini integrala konturu L pertvarkysime i antrojo tipo pavirsini integrala. pavirsiumi S pagal tokia logine samprotavimiu schema: taigi kreivini integrala L pakeisime integralu ploksciaja kreive l, si, pritaike Gryno formule,- dvilypiu integralu srityje D ir pagaliau dvilypi integrala – pavirsiniu integralu pavirsiumi S. Nagrinekime kreivini integrala . Tarkime, kad pavirsius S nusakomas lygtimi z = z (x, y). Kadangi konturas L priklauso pavirsiui S, tai jo taskai tenkina pavirsiaus S lygti, todel funkcijos P (x, y, z) reiksmes konturo L taskuose lygios funkcijos P (x, y, z(x, y)) reiksmems atitinkamuose kreives l taskuose. Kadangi konturu_ L ir l skaidiniu atitinkamos projekcijos asyje Ox sutampa, tai sutampa ir funkcijos P integralines sumos, is kuriu gaunami antrojo tipo kreiviniai integralai kreivemis L ir l. Todel .(1)Toliau remsimes Gryno formule ir kreivini integrala kreive l, esanti desiniojoje (1) lygybes puseje, pakeisime dvilypiu integralu srityje D (kreive l apeinama teigiamaja kryptimi).Taigi, pritaike Gryno formule, gauname: .Daline isvestine rasime, diferencijuodami funkcija P kaip sudetine, priklausancia nuo y tiesiogiai ir netiesiogiai per tarpini argumenta z. Taigi

Tuomet (40)
Kai integruojama virsutine pavirsiaus S puse, tai normales koordinates yra Tokios: Kadangi

° = (cos a; cos B; cos y) ir II °, tai siu vektoriu koordinates yra proporcingos. Todel is cia
Irasia sia, reiksme I (40) formule, gauname . (41)
Prisimine, kaip pavirsinis integralas isreiskiamas dvilypiu , galime parasyti: .(41)
Pntaike abieju tipu pavirsiniu integralu sajySio formule , gauname : (43)
Sugretine (39), (41), (42) ir (43) formules, turime:
AnalogiSkai irodoma, kad teisingi ir sie du sarysiai:
Pastarasias tris formules sudeje. panariui, gauname Stokso formule. Teorema irodyta. .Atsizvelgdami i pirmojo ir antrojo tipo pavirsiniiu integralu sajySio formule , Stokso formule galime uzrasyti ir taip:
Is Stokso formules matyti, kad sajygos:
yra pakankamos, kad kreivinis integralas uzdara erdvine kreive L butiu lygus nuliui. Neirodinedami dar paminesime, kad sios sajygos kartu yra ir butinos.

9. Trilypio integralo apskaiciavimas
Trilypis integralas, panasiai kaip dvilypis, apskaiciuojamas pakeiciant ji kartotiniu. Tarkime, kad sritis V nusakoma nelygybemis (57 pav.);cia – ftmkcijos, tolydzios ir vienareiksmes atkarpoje [a; b], fiinkcijos tolydzios ir vienareiksmes srityje D; D-kuno V projekcija plokstumoje xOy. Ta kuna is apaCios riboja pavirsius z = 1(x,.y), is virsaus – pavirsius z = 2(x,y), is soniu – cilindrinis pavirsius, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz, o vedamoji yra srities D konturas.

Tuomet trilypis integralas taip isreiskiamas kartotiniu integralu:
Sia formule cia pateikiame be irodymo, uzrasydami ja analogiskai dvilypio integralo apskaiciavimo formulei.
Desiniojoje puseje esantis kartotinis integralas apskaiciuojamas taip: x ir y laikant konstantomis, pirmiausia apskaiciuojamas vidinis integralas z atzvilgiu, po to, kintamaji x laikant konstanta, gautas rezultatas integruojamas y atzvilgiu, ir galiausiai integruojama x atzvilgiu.

10. Trilypio integralo kintamuju keitimas(aleknos)
Tarkime, kad vienoje trimateje erdveje duota staciakampe Dekarto koordinaciu.sistema, kurios asys Ox, Oy, Oz, o kitoje erdveje – tokia pat sistema, kurios
asys O’u , O’v, O’w. Jeigu erdves Oxyz sritis V abipus vienareiksmiskai vaizduojamaerdves O’uvw sriti V, be to, si atitiktis nusakoma formulemis:

(1)
o funkcijos x = x(u,v,w), y = y(u,v, w) ir z = z(u,v,w) turi srityje
V tolydzias dalines pirmosios eiles isvestines ir jakobianas

tai galioja trilypio integralo kintamuji keitimo formule: (2)
Cilindro koordinates gaunamos prie poliniu koordinaciu. ir prijungus Dekarto aplikate. z . Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordinates sieja formules: ,z=z (3), cia Jakobijanas I= . Pritaike (2) formule., gauname trilypio integralo apskaiciavimo cilindriniu koordinaciu sistemoje formule:

.(4). Tasko M(x,y,z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: , ir . Su staciakampemis Dekarto koordinatemis sferines koordinates sieja formules: (5), cia
Apskaiciave jakobijana I= ir panaudoje. (2) formu¬le, gauname trilypio integralo israiska_ sferiniu koordinaciu sistemoje formule:

(6)
Kartais naudojamos apibendrintos sferines koordinates: (7). (7) atvaizdzio jakobianas: I=abc

.4Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra staciakampis
Tarkime, kad sritis D yra staciakampis, kurio krastines yra lygiagrecios koordinaciu asims. Jj. zymesime taip
D = [a,b;c,d] arba D = {(x,y): a x b, c y d}.
1 teorema. Jeigu funkcijai f(x,y), apibreztai staciakampyje D= [a , b ; c , d ], egzistuoja dvilypis integralas
ir kiekvienai fiksuotai x reiksmei is [a ,b] egzistuoja paprastasis
integralas I(x)= , (a x b) (2)tai egzistuoja taip pat kartotinis integralas

(3)ir galioja lygybe (4)
2 teorema. Jeigu funkcijai f(x,y) staciakampyje D = [a , b ; c , d ] . egzistuoja (I) dvilypis integralas ir kiekvienai pastoviai y reiksmei is [c, d] egzistuoja paprastasis integralasI(y)= (5)tai egzistuoja taip pat kartotinis integralas

(6)ir galioja lygybe
Pastabos:
1. .Jeigu kartu su (1) dvilypiu integralu egziltuoja abu paprastieji integralai (2) ir (5), tai vienu metu galioja (4) ir (7) formules, is kuriu, gauname
2. Jeigu funkcija f(x, y) = (x)* (y), tai sios funkcijos dvilypis integralas staciakampyje D[a,b.c,d ] yra lygus dvieju. paprastuju integralu sandaugai:

.5.Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivine trapecija
skiriami du integravimo sriciu. tipai: 1) pirmojo tipo
integravimo sritis AlA2B2Bl yra kreivine trapecija, apribota is virsaus ir is apacios dviem tolydziosiomis kreivemis y = 2(x)ir y = 1(x) [2(x)(x)] taip, kad bet kuri lygiagreti 0y asiai tiese kerta sias kreives tik viename taske, o is sonu_ – tiesemis x = a, x = b (a < b) (5 pav.). Atskiru atveju taskai A1 ir A2, Bl ir B2 gali sutapti (6 pav., a, b, c).

x =a
6 a pav. 6 b pav.

2) antrojo tipo integravimo sritis C1 C2 D2 Dl yra kreivine trapecija, apribota is virsaus ir is apacios tiesemis y = d ir y  c, is kaires kreive x = 1(y), is desines – kreive x = 2(y) (y)ykuriu kiekviena kertasi su bet kuria lygiagrecia Ox asiai tiese tik viename taske (7 pav., a)). Atskiru atveju taskai C1 ir C2, D1 ir D2 gali sutapti (7 pav., b),

c)).

d)
3)teorema . Jeigu funkcijai f(x,y) pirmojo tipo srityje D  dvilypis integralas f(x,y)dxdy ir kiekvienam pastoviam x is [a,b]  paprastasis integralas
I(x)=
Tai  taip pat kartotinis integralas

ir galioja lygybe

(9)
Jei integravimo sritis D yra antrojo tipo kreivine trapecija (7 pav.), tai vietoj (9) formules gauname (10)
jei  paprastasis integralas I(y)= imant pastovuy[c,d]. Pastabos:
1. Jeigu integravimo srities D kontura tieses, lygiagrecios ordinaciu asiai, ir tieses, lygiagrecios abscisiu. asiai, kerta tik dviejuose taskuose (7 pav., d)), tai sriciai D galima taikyti abi (9) ir (10) formules. Jas sugretinus, gaunama lygybe (11)
t.y. kartotmiame integrale galima sukeisti integravimo tvarkq..
2. Jeigu integravimo sritis D nera nei pirmojo, nei antrojo tipo, tai ja stengiamasi suskaidyti I dalis taip, kad kiek¬viena po suskaidymo gauta daline sritis butu pirmojo arba antrojo tipo integravimo sritis (8 pav., a), b), c)).

c13, Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaiciavimas ir savybes
Sakykime, glodziosios kreives L lygtis plokstumoje xOy yra y=y(x), .x [a;b] ,f(x, y) – tolydi tos kreives taskuose funkcija. Tos funkcijos israiska kreives L taskuose bus f(x, y(x)). Apskaiciuodami kreives lanko ilgi , suzinojome, kad stygos, jungiancios du kreives,dalijimo taskus, ilgis lygus . Si dydi galime laikyti apytiksle kreives lanko dalies ∆st reiksme, taigi (noredami islaikyti sio skyriaus zymenis, tarpini taska ci pazymejome xi). Tuomet (2) suma , turedami galvoje, kad yi = y(xi), uzrasysime taip:
Gautoji suma yra tarn tikros vieno kintamojo funkcijos integraline suma. Todel, apskaiciave riiba kai 0, (tuomet ir max ∆x i— >0), pirmojo tipo kreivini integrala isreiskiame apibreztiniu integralu (4)Taigi is esmes ds yra apibreztas kreives lanko ilgio diferencialas: Kai glodi plokscioji kreive L apibrezta parametrinemis lygtimis x = x (t), y = y (t), t [t0;T], tai , todėl . (5)Kai parametrinemis lygtimis x = x(f),y=y(t),z = z(t), t [t0; T] apibrezta erdvine kreive L, Kai glodi plokscioji kreive L poliniu koordinaciu sistemoje apibrezta lygtimi , tai ir .Įsitikinome, jog pirmojo tipo kreivinis integralas isreiskiamas apibreztiniu integralu. Zinome, kad apibreztinis integralas egzistuoja, kai pointegraline funkcija yra tolydi. Kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija,tai ir irgi yra tolydi funkcija, nes del kreives L glodumo tolydzios yra funkcijos y(x) ir y'(x). Vadinasi, egzistuojant integralui , kartu egzistuoja ir integralas . Is ciaisplaukia, kad pirmojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija.

14.Ap.Jeigu egzistuoja baigtine (0) sumos riba, kai ->0, nepriklausanti nuo orientuotos kreives L suskaidymo i dalis ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama antrojo tipo kreiviniu integralu kreive(arba keliu)L.Zymima taip: (1) Vadinasi .Kai Q (x, y) = 0,is kreivinio integralo (1)bendrosios israiskos gauname kreivini integrala o kai P (x, y) = 0,-integra . Kadangi integralai ir , paimti skyrium, irgi turi
prasme, tai is antrojo tipo kreivinio integralo apibrezimo isplaukia, kad Kai kreive L uzdara, (1)integrala zymime taip: .Palyginsime pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu apibrezimus, kartu isryskindami viena. esmini ju skirtumu Sudarydami (2)suma funkcijos reiksme tarpiniame taske dauginome is kreives lanko ilgio ∆si , o sudarydami (0) suma ,- is to lanko (kartu ir vektoriaus ∆s i) projekcijos asyje Ox (arba asyje Oy),bet ne is lanko ilgio ∆si.Kadangi lanko ∆s, ilgis nepriklauso nuo integravimo krypties, tai tos krypties pakeitimas neturi jtakos pirmojo tipo kreiviniam integralui. To negalima pasakyti apie antrojo tipo kreivini integrala nes lanko ∆si projekcijos zenklas priklauso nuo to lanko krypties. Pakeite integravimo lanku AB krypti, kartu pakeiciame ir lanko ∆si- projekciju ∆xi ir ∆yi zenklus.Taigi Dar paminesime, kad tokiu pat budu kaip (1) integrala galima apibrezti antrojo tipo kreivini integrala erdvine kreive L: .Irodysime, kad antrojo tipo kreivinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji apibreztiniu integralu. Nagrinekime integrala: . (3)Tarkime, kad kreives L lanko AB parametrines lygtys yra x = x(t), y = y(t),lanko pradzios taska_ A atitinka parametro t reiksme t0, o lanko galo taska B -reiksme T.Dar sakykime, kad x (t), y (t) ir ju isvestines x'(t), y'(t) yra tolydzios atkarpoje [ t0; T] funkcijos, P (x,y) – irgi tolydi kreives L taskuose funkcija. Įrodysime, kad Vadinasi, norint apskaiciuoti (3)integrala reikia kintamuosius x ir y pakeisti ju israiskomis x (t) iry (t), o vietoj dx jrasyti israiska. dx = x'(t) dt, kuri gaunama is sajygos x = x (t). Apibreztinio integralo reziai – parametro t reiksmes, paimtos taip, kad atitiktu pasirinkta integravimo krypti. Sudarykime integraline suma: ir tarkime, kad taska. Xi atitinka parametro reiksme ti, o taska xi-1 reiksme ti-1 . Vadinasi, xi =x(ti), xi-1= x(ti-1). Pritaike Lagranzo formule turime: Cia yra tarp ti-1 ir ti. Tarpini taska. ( ) parinkime taip, kad jis atitiktu parametro , reiksme, butent: Tuomet: Kadangi desiniojoje sios lygybes puseje yra vieno kintamojo funkcijos P(x(t),y(t)) x'(t) integraline suma, tai, pereje prie ribos, kai =max ∆si0 tuomet kartu ir max ∆xi ->0),gauname apibreztini integrala Taigi galutinai Kalbedami apie bendrosios israiskos antrojo tipo kreivini integrala ,reikalausime, kad x(t), y(t) ir ju isvestines x'(t),y'(i) butu tolydzios atkarpoje [t0;T] funkcijos, o P(x,y), Q(x, y)- tolydzios kreives L taskuose funkcijos. Tuomet teisinga tokia lygybe: (4)Kadangi del minetu funkciju tolydumo desiniojoje (4) lygybes puseje esantis apibreztinis integralas egzistuoja, tai kartu egzistuoja ir kreivinis integralas . Taigi galutinai isitikiname,kad antrojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai kreive L yra glodzioji arba dalimis gloti, o funkcijos P(x,y) ir Q(x,y) – tolydzios kreives L taskuos
11. Trilypis integralas cilindrineje koordinaciu sistemoje
Cilindrines koordinates gaunamos, prie poliniu koordinaciu p ir  prijungus paprastq. Dekarto aplikate z. Taigi tasko M padetis cilindriniu koordinaciii sistemoje nusakoma trimis dydziais: p,  ir z (60 pav.); cia p > 0,

0 <  < 2n (arba- < < ),- < z < + .Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordi¬nates sieja formulas:xcos,ysin,zz.
Randame jakobijana:
Pritaike , formule gauname tokia trilypio integralo apskaiciavimo cilindrinių koordinaciu sistemoje formule: .
Reiskinys  d d dz turi paprasta geometrine prasme. Panasiai kaip reiskinys dx dy dz, jis isreiskia elementarios dalies turi. Ta dalis gaunama dalijant sriti V koordinatiniais pavirsiais  = const (cilindru, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz), = const (pusplokstume, einancia per asi Oz), z = const (plokstuma, lygiagrecia plokgtumai xOy)
Kai elementas ABCDABCD laikomasstaciakampiu gretasieniu, tai jo turis isreiskiamas matmenu d, d ir dz sandauga, taigi jo turis lygus dydziui
dd dz.
Kadangi kuno turis V = dx dy dz , tai cilindriniu koordinaciu sistemoje jis isreiskiamas formule: .

12 Trilypis integralas sferinieje koordinaciu sistemoje

Tasko M (x; y, z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: r,  ir  ( pav.); cia r – spindulio vektoriaus OM , jungiancio su duotuoju tasku M, ilgis, 0 r < +; - asies Oz ir spindulio vektoriaus
OM sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Oz, 0 ;  – asies Ox ir spindulio vektoriaus OM’ sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Ox, 0 

Is paveikslo nesunku gauti tasko M Dekarto koordinaciu x, y,z ir sferininiu koordinaciu r, ,  sarysio formulas:xrsincos,yrsinsin,zrcos)Be to, x2 +y2 +z2 = r2 .Koordinatiniai sferiniu
koordinaciu pavirsiai yra tokie:sferos r =const, pusplokstume= const, kugiai  = const.Raskime jakobiana: .
Pritaike, formule, gauname trilypio integralo israiska. Sferiniu koordinaciu sistemoje:

Kuno turis V = dx dy dz isreiskiamas formule:
Dydis r sin  dr d d taip pat yra elementariosios dalies turis, apskaiciuotas sferiniu koordinaciu sistemoje.

15. Pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu sarysis
Isvesime formule siejancia, abieju tipu kreivinius integralus. Sakykime, L glodzioji orientuota kreive. Kampus, kuriuos liestine i einanti per taska sudaro su koordinaciu, asiu, teigiamomis kryptimis, pazymekime  ir . Tuomet liestines i. ortas bus

i° = (cos; cos).

Is brezinio matyti, kad dydzius ∆xi- ir ∆yi- su lanko ilgiu ∆si sieja apytiksles formulas:∆xicos∆si,∆ycos∆si
Taigi formule galime uzrasyti:
Prieje prie ribos, kai  = max ∆si0 gauname abieju tipu kreiviniu integralu sarysio formule .
Kai L – glodzioji erdvine kreive, kurios liestines  bet kuriame jos taske M (x; y; z) krypties kosinusai lygus cos, cos cos, tai .

16.Gryno formule
Tarkime, kad sritis D, apribota uzdara kreive L, tenkina salyga jog bet kuri lygiagreti koordinaciu asims tiese kreive L kerta ne daugiau kaip dviejuose taskuose.Isvesime labai svarbia formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D.T. Jei funkcijos P (x, y) ir Q (x, y)bei ju daline sisvestines yra tolydzios srityje D, apribotoje uzdaru konturu L,tai kai konturas L apeinamas teigiamaja kryptimi.Įr Tarkime, kad sritis D yra tokia, kokia pavaizduota 77 paveiksle. Jos kontura L sudaro dvi kreives: lankas ACB, kurio lygtis y = y1 (x) , ir lankas AEB, kurio lygtis y = y2(x),axb.Apskaiciuokime dvilypi integrala pakeisdami ji kartotiniu ,kadangi .pirmasis integfralas yra apibreztinis jis gaunamas is kreivinio integralo .kai integruojama kreive l,kurios lygtis yy2(x)yra lanko AEB lygtis,tai analogiskai ir gauname,kad bet todel lankai AEB ir BCA sudaro kreive L, todel kreiviniii integrala siais lankais suma lygi integralui visa uzdara kreive L. Si karta kreive L pradedame judeti is tasko A ir vel griztame i taska A lankais AEB ir BCA, taigi einame kryptimi pansia su laikrodzio rodykles judejimo kryptimi, t. y.neigiamaja kreives L apejimo kryptimi..Integravimo krypti pakeite teigiamaja konturo L apejimo kryptimi, turetume (13)Jeigu kurio nors lanko dalis butu atkarpa, lygiagreti asiai Oy, tai tos atkarpos taskuose butu dx=0 ir =0.Taigi(13)formule butu teisinga ir tuo atveju.Analogiskai irodytume, kad (14)Is(14)lygybes ateme(13)lygybe, gauname vadinamaja Gryno formulę :

22. Antrojo tipo pavirsiniai integralai
Sakykime, kad S – dvipusis glodusis pavirsius, o R(x,y,z) ~ lolydzioji to pavirsiaus taskuose funkcija. Padalykime pavirsiu S glodziomis kreivemis i dalis ∆I (i1,n) ir kiekvienoje ju pasirinkime po taska Mi (xi .yi , zi ) Apskaiciuokime funkcijos R(x, y , z) reiksme taske M i : R(Mi ) = R(xi , yi , zi) . Simboliu ∆Si pazymekime pavirsiaus dalies ∆i- projekcijos plokstumoje xOy plota su priskirtu jam pliuso zenklu, kai parinkta virsutine pavirsiaus puse (kampas tarp Oz asies ir pavirsiaus normales yra smailusis), ir su minuso zenklu, kai pasirinkta apatine pavirsiaus puse. Sudarykime integraline suma .(1) ir pazymekime  = max diam∆i .
Ap. Jei egzistuoja baigtine (1) sumos riba, kai 0 , nepriklausanti nuo pavirsiaus padalijimo I dalis∆i- ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama funkcijos R(x,y,z) antrojo tipo pavirsiniu integralu pasirinktaja pavirsiaus S puse. Taigi = .
Kai P(x,y,z) ir Q(x,y,z] – tolydziosios pavirsiaus S taskuose funkcijos, tai, projektuodami pavirsiaus dalis∆i. ( koordinaciu plokstumas yOz ir xOz , galime analogiskai apibrezti dar du antrojo tipo pavirsinius integralus:

P(x,y,z)dydz ir Q(x,y,z)dzdx.Sudejus visus tris antrojo tipo pavirsinius integralus, sudaromas bcndrasis antrojo tipo pavirsinis integralas . Is apibrezimo matyti, kad antrojo tipo pavirsinis integralas priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses; be to, pakeitus pavirsiaus S puse, integralas keicia zenkla.
Antrojo tipo pavirsiniai integralai apskaiciuojami taip. Jei glodusis pavirsius S, kurio projekcija plokstumoje xOy yra sritisD1 nusakomas isreikstine lygtimi z(x, y) ((x,y) € Dl), tai

R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, (3)
cia pries dvilypi integrala parasyti zenklai priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses.
Kai pavirsius S nusakomas lygtimis x = x(y,z) arba y = y(x,z) ir
projektuojamas I plokstumas yOz arba xOz sritimis D2 arba D3,tai

P(x,y,z)dydz = ± P(x(y,z)y,z)dydz, (4)

Q(x,y,z)dzdx = ± Q(x,y(x,z],z)dzdx. (5)
Bendrasis antrojo tipo pavirsinis integralas skaiciuojamas pagal (3) – (5) formules, jei pavirsius vienareiksmiskai projektuojamas ( visas 3 koordinaciu plokstumas.
Abiej u tipu pavirsiniai integralai siejami lygybe: .
cia cos, cos, cos – normales krypties kosinusai, atitinkantys pasirinktajq. pavirsiaus S puse.
Kartais (6) rysio formule naudojama antrojo tipo pavirsiniams integralams apskaiciuoti

21Pirmojo tipo pavirsiniai integralai
Tarkime, kad S – glodusis pavirsius erdveje R3. Jo taskuose apibrezta tolydzioji funkcija f(x,y,z). Pavirsiu, S glodziu kreiviu tinklu padalykime i dalis ∆i(simboliu∆i, zymesime ir jos plota.,(i1,n)

ir kiekvienoje ju bet kur parinkime po taska_ Mi.(xiyi,z,,)(99 pav.). Apskaiciuokime funkcijosreiksme tame taske
f{Mi)=f(xi,yi,zi) ir sudarykime integraline suma (1). Pazymekime diam∆i,
cia diam∆i laikome didziausia atstuma tarp dalies ∆I sienos tasku,. Apibrezimas. Jei egzistuoja (1) integralines sumos baigtine riba, kai 0, nepriklausanti nuo pavirsiaus padaljimo ( dalisi- ir tastu Mi parinkimo, tai si riba vadinama pirmojo tipo pavirsiniu integralu ir zymima: . (2)
Pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji dvilypiu integralu.
Jei glodusis pavirsius S nusakytas isreikstine lygtimi z = z(x, y), cia (x,y) D – pavirsiaus Sprojekcija plokstumoje xOy (99 pav.), tai pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pagal formule

. (3)
Pirmojo tipo pavirsinio integralo savybes analogiskos pirmojo tipo kreivinio integralo savybems. Jei glodusis pavirsius nusakytas parametrinemis lygtimis x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v) D1, tai pirmojo tipo pavirsinis integralas

,
cia .

17. Sajyga, kad kreivinio integralo reiksme nepriklausytq nuo integravimo kelio
Zinome,kad integralu reiksme gali priklausyti arba nepriklausyti nuo integravimo kelio.Dabar paaiskinsiu kokiomis sajygomis kreivinio integralo reiksme nepriklauso nuo integravimo kelio.Nagrinesiu vienajunge sriti, kuria paprasta apibudinti,kai ji yra baigtine.Sritis bus vienajunge, kai ja ribos viena glodzioji arba dalimis glodi uzdara kreive.Sakykime, vienajungeje srityje D apibreztos dvi tolydzios funkcijos P(x,y) irQ(x,y), turincios tolydzias dalines isvestines Nagrinekime kreivini integrala ir tarkime,kad jis priklauso nuo lanko pradzios ir pabaigos tasku M ir N bet nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.Taigi tarkime,kad Iš čia
Antrajame integrate pakeite integravimo krypti, turime: Kadangi lankai MAN ir NBM sudaro uzdaraji kontura L, apeinama ta pacia kryptimi, tai formule galima parasyti taip: Taigi is salygos ,,integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, jungiancio taskus M ir N” isplaukia sajyga ,,integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu, kuriam priklauso taskai M ir N, yra lygus nuliui”.teisingas ir atvirkscias teiginys, butent is salygos isplaukia salyga: Todel teiginiai,,Integralas nepriklauso nuo integravimo kelio” ir,,Integra¬las uzdaruoju konturu lygus nuliui”, yra ekvivalentus.Toliau suformuosime sajyga kuriai esant integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.
T.Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines , yra tolydzios vienajungeje srityje E. Integralas Bet kuriuo uzdaruoju konturu L, esanciu srityje E, lygus 0 tada ir tik tada, kai visuose srities E taskuose teisinga lygybe , taigi .Įr. Pakankamumas. Duota . Turime irodyti,kad .Tai tiesiogiai isplaukia is Gryno formules, kuria taikome bet kokiam uzdarajam konturui L, ribojanclam sritiDE: Kadangi tai dvilypis integralas, o kartu kreivinis integralas lygus nuliui. Pakankamumas irodytas.Butinumas. Tarkime, kad integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu L lygus nuliui. Tuomet, pagal Gryno formule, (1)Turime irodyti,kad .Tarkime priesingai, kad si lygybe negalioja, t.y. bent viename srities E taske M. Apibreztumo delei tarkime, kad siame taske > 0. Kadangi dalines isvestines yra tolydzios, tai si nelygybe teisinga ir pakankamai mazoje srityje , kuriai priklauso taskas M. Tuomet, remdamiesi dvilypiu_ integralu savybemis, galime teigti, kad is salygos >0 Si nelygybe priestarauja (1) sajygai. Vadinasi, prielaida, kad bent viename srities E taske, yra neteisinga. Todel visuose srities E taskuose . .Butinumas irodytas.

18. Salyga, kuriai esant reiskinys Pdx + Qdy yra pilnasis diferencialas

Reiskinys P (x, y) dx + Q (x, y) yra savo forma panasus i funkcijos u pilnaji Differenciala du = . Taciau savaime aisku, kad ne kiekvienas toks reiskinys yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas du. Isnagrinesime salygas, kuriomis reiskinys P (x, y)dx + Q (x, y) dy vis delto yra kokios nors funkcijos u pilnasis diferencialas. Pasirodo, vel susiduriame su salyga .Teorema. Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E. Reiskinys P (x, y) dx + Q (x,y) dy yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas tada ir tik tada, kai . irodymas. Butinumas. Kai P (x, y)dx+ Q(x, y)dy yra tam tikros limkcijos u pilnasis diferencialas, tai .Kandame: ir .Kadangi dalines isvestines yra tolydzios srityje E, tai toje srityje tolydzios ir misriosios isvestines ir . Tuomet misriosios isvestines, kaip zinome, yra lygios, todel ir
Butinumas irodytas
Pakankamumas. Tarkime, kad teorema, galime sakyti, kad kreivinis integralas
Kokia nors kreive nuo srities E tasko A(x0,yo) iki tos patcios srities tasko B{x1,y2) nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.
Taska A fiksuokime, o taska pakeiskime bet kokiu srities E tasku M(x;y)tuomet integralas Priklausys nuo tasko M (x; y) padeties, todel jis bus tarn tikra to tasko koordinaciu funkcija u (x, y): Toliau irodysime, kad kalbame butent apie sios funkcijos u (x, y) pilnaji diferencila todel ieskosime daliniu isvestiniu .Raskime . Tam tikslui pirmiausia sudarykime reiskini ,paskui apskaiciuokime jo riba kai ∆x 0, Argumentui x suteikime toki pokyti kad taskas Mi(x + ∆x; y) irgi priklausytu. sriciai E Kadangi tai .Kadangi integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, tai tuo keliu = čia y- fiksuotas dydis. Vadinasi, ir .Apibreztiniam integralui taikome vidurines reiksmes teorema: = Cia x yra tarp x ir x + x. Tuomet ir kadangi P(x,y)- tolydi funkcija, o tai
Vadinasi, analogiškai įrodysime kad Sios isestines tolydzios, todel funkcija u turi pilnaji differenciala pati funkcija u(x,y)= vadinama pointegralinio reiškinioP(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykste funkcija. Kai funkcijos P (x, y) ir Q (x, y) bei ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, tai, reziumuodami , galime sakyti, kad teiginiai yra ekvivalentus.
1. Kreivinis integralas Pdx+Qdy nepriklauso nuo integravimo kelioL srityje E.
2. Kreivinis integralas Pdx+Qdy bet kuriuo uzdaruoju konturu,L esanciu srityje E, yra. lygus nuliui.
3. Reiskinys P dx+Q dy yra tarn tikros funkcijos pilnasis diferencialas.
4. Visuose srities E” taskuose teisinga lygybe

19, Pilnųjų diferencialų integravimas
Sakykime, funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju_ dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, be to, . Tuomet reiskinys P(x,y)dx + Q(x,y)dy yra tarn tikros funkcijos u (x, y) pilnasis diferencialas du ir to reiskinio pirmykste funkcija u (x, y) isreiskiama formule u(x,y)= Tarkime, kad funkcija v(x,y) irgi yra reiskinio P(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykSte funkcija, tuomet tos funkcijos skiriasi konstanta: u (x, y)= v (x, y)+C.Kadangi tai, irase į (17) salyga x=x0, y = y0, gauname: 0 = v(x0,y0) + C; is cia C = -v(x0,y0).Taigi u(x,y) = v(x,y)-v(x0,y0),
Ši formule vadinama kreivinio integralo Niutono ir Leibnico formule. Ja remiantis, nustatoma reiskinio P(x, y) dx + Q(x, y) dy pirmykste funkcija, kai tas reiskinys yra pilnasis diferencialas. Suprastinkime Niutono ir Leibnico formule, integravimo keliu nuo tasko Mo(x0,y0), iki tasko M(x;y) pasirinkdami lauzte; M0 M1 M arba M0 M2 M. Taip galime daryti, nes zinome, kad integralas nepriklauso nuo
integravimo kelio. Kadangi atkarpos M0 M1 taskuose x = x0 = const, dx = 0, o atkarpos M1 M taskuose y = const, dy = 0,

tai
Integruodami lauzte M0 M2 M, analogiskai gautume: . Taigi galutinai

23. Gauso formule
Nagrinedami antrojo tipo kreivinius integralus, isvedeme Gryno formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D. Pavirsiniu integralu teorijoje panasus vaidmuo tenka Gauso formulei, kuri trilypi integrala erdvineje srityje V sieja su pavirsiniu integralu uzdaruoju pavirsiumi S, ribojanciu kuna. V.T. Jei funkcijos P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ir ju dalines istivestines yra tolydzios uzdaroje erdvineje srityje V, apribotoje uzdaro pavirsiaus S, tai kai pasirinkta išorinė pavirsiaus S puse.Įr. Tarkime, kad kuna V is apacios riboja glodusis pavirsius S1 , kurio lygtis z=z1(x,y), is virsaus – glodusis pavirsius S2 ,kurio lygtis z=Z2(x,y), o is soniu – cilindrinis pavirsius s3,, kurio sudaromiosios lygiagrecios asiai Oz. Sakykime, to cilindrinio pavirsiaus vedamoji yra glodzioji kreive L, ribojanti sriti D-kuno V projekcija plokstumoje xOy. Pasirinkime isorine pavirsiaus S puse ir jos normales pazymekime .Gauso formules isvedimas labai panasus i Gryno formules isvedima kurio buvo nagrinetas dvilypis integralas Panasiai elgsimes ir dabar. Nagrinesime trilypi integrala Isreiskiame ji kartotiniu integralu: (1)Toliau taikome R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, formule kuri pavirSini integrala. isreiSkia dvilypiu integralu. Is jos matyti, kad dvilypis integralas lygus pavirsiniam integralui R(x,y, z)dxdy, paimtam virsutine pavirsiaus S2 lygtis z = z2 (x,y) ir pries dvilypi integrala parinktas pliuso zenklas.Kadangi pries antraji (1) formules dvilypi integrala yra minuso zenklas, tai jis isreiSkia pavirsini integrala: R(x,y,z)dxdy pavirsiaus S1 apatine puse.Vadinasi, is (1) formules gauname (2)cia abu pavirginiai integralai imami isorine pavirsiu S1 ir S2 puse.Kadangi cilindrinio pavirsiaus S3 sudaromosios lygiagrecios asiai Oz,tai Prideje si integrala prie (2) formules, turime: Analogiskai irodytume, kad sudeje sias tris formules, gauname Gauso formule: kuri bendraji antrojo tipo pavirsini integrala isorine pavirsiaus S puse isreiskia trilypiu integralu srityje V, apribotoje pavirsiaus S. Panaudoje rysio tarp abieju tipu| pavirsiniu integralu formule Gauso formule parasome taip:
Kadangi Gauso formule pavirsini integrala isreiskia trilypiu, tai ja patogu naudoti apskaiciuojant antrojo tipo pavirsinius integralus uzdarais pavirsiais.

24. Stokso* formule

Sakykime, kad pavirsiu S riboja konturas — uzdara kreive L; vaizdziai tariant, pavirsius S yra tarytum ,,uztemptas” ant kreives L
Dabar isvesime formule, kuri pavirsini integrala pavirsiumi S sieja su kreiviniu integralu konturu L, ribojanciu ta pavirsiu. Ji yra zinomos Gryno
formules apibendrinimas. Teorema. Tarkime, kad S yra glodusis pavirsius, kurio konturas L – uzdara glodzioji erdveje R3 orientuota kreive. Jei funkcijos P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ir ju pirmosios eiles dalines isvestines yra tolydzios pavirsiaus S taskuose, tai teisinga Stokso formule: cia cos a, cos B ir cos y – pavirsiaus S virsutines puses normales krypties kosinusai, o konturas L apeinamas teigiamqja kryptimi.

Įrodymas. Kreivini integrala konturu L pertvarkysime i antrojo tipo pavirsini integrala. pavirsiumi S pagal tokia logine samprotavimiu schema: taigi kreivini integrala L pakeisime integralu ploksciaja kreive l, si, pritaike Gryno formule,- dvilypiu integralu srityje D ir pagaliau dvilypi integrala – pavirsiniu integralu pavirsiumi S. Nagrinekime kreivini integrala . Tarkime, kad pavirsius S nusakomas lygtimi z = z (x, y). Kadangi konturas L priklauso pavirsiui S, tai jo taskai tenkina pavirsiaus S lygti, todel funkcijos P (x, y, z) reiksmes konturo L taskuose lygios funkcijos P (x, y, z(x, y)) reiksmems atitinkamuose kreives l taskuose. Kadangi konturu_ L ir l skaidiniu atitinkamos projekcijos asyje Ox sutampa, tai sutampa ir funkcijos P integralines sumos, is kuriu gaunami antrojo tipo kreiviniai integralai kreivemis L ir l. Todel .(1)Toliau remsimes Gryno formule ir kreivini integrala kreive l, esanti desiniojoje (1) lygybes puseje, pakeisime dvilypiu integralu srityje D (kreive l apeinama teigiamaja kryptimi).Taigi, pritaike Gryno formule, gauname: .Daline isvestine rasime, diferencijuodami funkcija P kaip sudetine, priklausancia nuo y tiesiogiai ir netiesiogiai per tarpini argumenta z. Taigi

Tuomet (40)
Kai integruojama virsutine pavirsiaus S puse, tai normales koordinates yra Tokios: Kadangi

° = (cos a; cos B; cos y) ir II °, tai siu vektoriu koordinates yra proporcingos. Todel is cia
Irasia sia, reiksme I (40) formule, gauname . (41)
Prisimine, kaip pavirsinis integralas isreiskiamas dvilypiu , galime parasyti: .(41)
Pntaike abieju tipu pavirsiniu integralu sajySio formule , gauname : (43)
Sugretine (39), (41), (42) ir (43) formules, turime:
AnalogiSkai irodoma, kad teisingi ir sie du sarysiai:
Pastarasias tris formules sudeje. panariui, gauname Stokso formule. Teorema irodyta. .Atsizvelgdami i pirmojo ir antrojo tipo pavirsiniiu integralu sajySio formule , Stokso formule galime uzrasyti ir taip:
Is Stokso formules matyti, kad sajygos:
yra pakankamos, kad kreivinis integralas uzdara erdvine kreive L butiu lygus nuliui. Neirodinedami dar paminesime, kad sios sajygos kartu yra ir butinos.

9. Trilypio integralo apskaiciavimas
Trilypis integralas, panasiai kaip dvilypis, apskaiciuojamas pakeiciant ji kartotiniu. Tarkime, kad sritis V nusakoma nelygybemis (57 pav.);cia – ftmkcijos, tolydzios ir vienareiksmes atkarpoje [a; b], fiinkcijos tolydzios ir vienareiksmes srityje D; D-kuno V projekcija plokstumoje xOy. Ta kuna is apaCios riboja pavirsius z = 1(x,.y), is virsaus – pavirsius z = 2(x,y), is soniu – cilindrinis pavirsius, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz, o vedamoji yra srities D konturas.

Tuomet trilypis integralas taip isreiskiamas kartotiniu integralu:
Sia formule cia pateikiame be irodymo, uzrasydami ja analogiskai dvilypio integralo apskaiciavimo formulei.
Desiniojoje puseje esantis kartotinis integralas apskaiciuojamas taip: x ir y laikant konstantomis, pirmiausia apskaiciuojamas vidinis integralas z atzvilgiu, po to, kintamaji x laikant konstanta, gautas rezultatas integruojamas y atzvilgiu, ir galiausiai integruojama x atzvilgiu.

10. Trilypio integralo kintamuju keitimas(aleknos)
Tarkime, kad vienoje trimateje erdveje duota staciakampe Dekarto koordinaciu.sistema, kurios asys Ox, Oy, Oz, o kitoje erdveje – tokia pat sistema, kurios
asys O’u , O’v, O’w. Jeigu erdves Oxyz sritis V abipus vienareiksmiskai vaizduojamaerdves O’uvw sriti V, be to, si atitiktis nusakoma formulemis:

(1)
o funkcijos x = x(u,v,w), y = y(u,v, w) ir z = z(u,v,w) turi srityje
V tolydzias dalines pirmosios eiles isvestines ir jakobianas

tai galioja trilypio integralo kintamuji keitimo formule: (2)
Cilindro koordinates gaunamos prie poliniu koordinaciu. ir prijungus Dekarto aplikate. z . Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordinates sieja formules: ,z=z (3), cia Jakobijanas I= . Pritaike (2) formule., gauname trilypio integralo apskaiciavimo cilindriniu koordinaciu sistemoje formule:

.(4). Tasko M(x,y,z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: , ir . Su staciakampemis Dekarto koordinatemis sferines koordinates sieja formules: (5), cia
Apskaiciave jakobijana I= ir panaudoje. (2) formu¬le, gauname trilypio integralo israiska_ sferiniu koordinaciu sistemoje formule:

(6)
Kartais naudojamos apibendrintos sferines koordinates: (7). (7) atvaizdzio jakobianas: I=abc

.4Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra staciakampis
Tarkime, kad sritis D yra staciakampis, kurio krastines yra lygiagrecios koordinaciu asims. Jj. zymesime taip
D = [a,b;c,d] arba D = {(x,y): a x b, c y d}.
1 teorema. Jeigu funkcijai f(x,y), apibreztai staciakampyje D= [a , b ; c , d ], egzistuoja dvilypis integralas
ir kiekvienai fiksuotai x reiksmei is [a ,b] egzistuoja paprastasis
integralas I(x)= , (a x b) (2)tai egzistuoja taip pat kartotinis integralas

(3)ir galioja lygybe (4)
2 teorema. Jeigu funkcijai f(x,y) staciakampyje D = [a , b ; c , d ] . egzistuoja (I) dvilypis integralas ir kiekvienai pastoviai y reiksmei is [c, d] egzistuoja paprastasis integralasI(y)= (5)tai egzistuoja taip pat kartotinis integralas

(6)ir galioja lygybe
Pastabos:
1. .Jeigu kartu su (1) dvilypiu integralu egziltuoja abu paprastieji integralai (2) ir (5), tai vienu metu galioja (4) ir (7) formules, is kuriu, gauname
2. Jeigu funkcija f(x, y) = (x)* (y), tai sios funkcijos dvilypis integralas staciakampyje D[a,b.c,d ] yra lygus dvieju. paprastuju integralu sandaugai:

.5.Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivine trapecija
skiriami du integravimo sriciu. tipai: 1) pirmojo tipo
integravimo sritis AlA2B2Bl yra kreivine trapecija, apribota is virsaus ir is apacios dviem tolydziosiomis kreivemis y = 2(x)ir y = 1(x) [2(x)(x)] taip, kad bet kuri lygiagreti 0y asiai tiese kerta sias kreives tik viename taske, o is sonu_ – tiesemis x = a, x = b (a < b) (5 pav.). Atskiru atveju taskai A1 ir A2, Bl ir B2 gali sutapti (6 pav., a, b, c).

x =a
6 a pav. 6 b pav.

2) antrojo tipo integravimo sritis C1 C2 D2 Dl yra kreivine trapecija, apribota is virsaus ir is apacios tiesemis y = d ir y  c, is kaires kreive x = 1(y), is desines – kreive x = 2(y) (y)ykuriu kiekviena kertasi su bet kuria lygiagrecia Ox asiai tiese tik viename taske (7 pav., a)). Atskiru atveju taskai C1 ir C2, D1 ir D2 gali sutapti (7 pav., b),

c)).

d)
3)teorema . Jeigu funkcijai f(x,y) pirmojo tipo srityje D  dvilypis integralas f(x,y)dxdy ir kiekvienam pastoviam x is [a,b]  paprastasis integralas
I(x)=
Tai  taip pat kartotinis integralas

ir galioja lygybe

(9)
Jei integravimo sritis D yra antrojo tipo kreivine trapecija (7 pav.), tai vietoj (9) formules gauname (10)
jei  paprastasis integralas I(y)= imant pastovuy[c,d]. Pastabos:
1. Jeigu integravimo srities D kontura tieses, lygiagrecios ordinaciu asiai, ir tieses, lygiagrecios abscisiu. asiai, kerta tik dviejuose taskuose (7 pav., d)), tai sriciai D galima taikyti abi (9) ir (10) formules. Jas sugretinus, gaunama lygybe (11)
t.y. kartotmiame integrale galima sukeisti integravimo tvarkq..
2. Jeigu integravimo sritis D nera nei pirmojo, nei antrojo tipo, tai ja stengiamasi suskaidyti I dalis taip, kad kiek¬viena po suskaidymo gauta daline sritis butu pirmojo arba antrojo tipo integravimo sritis (8 pav., a), b), c)).

Leave a Comment