Materialiojo taško ir kietojo kūno slenkamojo judėjimo kinematika.
Mechanika. Mechaninis judėjimas – tai kūnų ar jų dalių tarpusavio padėties kitimas erdvėje ir laike.Mechanika – yra fizikos šaka, tirianti materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą ir jų tarpusavio sąveiką Ji nagrinėja tik tokias materialiųjų kūnų sąveikas, dėl kurių kinta kūnų taškų judėjimo greitis arba kūnai deformuojasi. Mechaninis judėjimas – tai paprasčiausia materijos judėjimo forma. Judant kūnui gali kisti gravitacinė, elektromagnetinė sąveika, masė, kūno matmenys ta kryptimi, kuria jis juda.
Mechanika nagrinėja sukamąjį, svyruojamąjį ir slenkamąjį judėjimą.
Klasikinė – tai Niutono dėsniais pagrysta mechanika. Kvantinė mechanika –
nagrinėja mikrodalelių ir jų sistemų vidines savybes, jų judėjimą ir su juo susijusius reiškinius. Reliatyvistinė mechanika- nagrinėja kūnų judėjimą greičiais, artimais šviesos greičiui vakuume. Klasikinė mechanika dar skirstoma į statiką, kinematiką, dinamiką. Statika- tiria jėgų veikiamų kūnų pusiausvyrą. Kinematika- nagrinėja kūnų judėjimą nesiedama jo su fizikinėmis priežastimis. Dinamika – tiria kūno judėjimo kinematinių charakteristikų priklausomybę nuo kūno ir jį veikiančių jėgų.
Erdvė ir laikas klasikinėje mechanikoje. Materialieji kūnai be paliovos juda, vystosi, kinta. Vienalytiškumas erdvės – visi erdvės taškai ekvivalentūs ta prasme, kad visuose juose kūnų judėjimo dėsniai ir geometriniai sąryšiai vienodi. Kita erdvės simetrijos savybė yra jos izotropiškumas: erdvėje nėra privilegijuotų krypčių, visomis kryptimis erdvės savybės vienodos. Klasikinė mechanika teigia, kad laikas visai
Visatai yra vienodas. Taigi laikas yra vienalytis arba pasižymi transliacine simetrija. Mokslinę erdvės ir laiko sampratą pateikia dialektinis materializmas. Objektyviai egzistuojantys erdvė ir laikas yra pagrindinės materijos būties formos: erdvė išreiškia materijos tįsumą ir struktūriškumą, o laikas pasireiškia materialiųjų objektų egzistavimo trukme, jų būsenų kaitos nuoseklumu.Erdvė ir laikas neatskiriami nuo materijos, taigi ir vienas nuo kito.
Materialusis taškas. Šią sąvoką fizikoje žymime materialųjį objektą, kurio matmenų ir formų nepaisome, laikome tašku. Jo padėtis nusakoma taip pat kaip ir geometrinio taško – arba trimis koordinatėmis, arba spinduliu vektoriumi.
Ataskaitos sistema. Bet kuris judėjimas yra reliatyvus ir todėl jį reikia nagrinėti pasirinktoje atskaitos sistemoje. Atskaitos sistemą – sudaro koordinačių sistema, susieta su kokiu nors kūnu, ir laikui atskaičiuoti –
laikrodis. Dešinine koordinačių sistema- vadiname jeigu, atlenkus statmenai dešinės rankos nykštį, smilių ir didįjį pirštą, jų kryptys sutampa su ašių
Ox, Oy ir Oz teigiamomis kryptimis. Kai vienos ašies kryptis pakeičiama priešinga, gaunama kairinė koordinačių sistema. Materialiojo taško padėtį atskaitos sistemoje laiko momentu t nusakome trimis koordinatėmis x,y,z arba iš koordinačių pradžios išvestu spinduliu r. [pic]
Kinematinėmis judėjimo lygtimis- vadinamos skaliarinės lygtys x=x(t);
y=y(t); z=z(t) arba vektorinė lygtis r=r(t).
Materialiojo taško padėčiai nusakyti skiriami 3 atvejai.1) Materialusis taškas juda išilgai tiesės. Vienmačiu judėjimu – vadiname, kai materialiojo taško padėtį nusako viena koordinate arba pastovios krypties spinduliu vektoriumi.2) Judančio materialiojo taško spindulys vektorius brėžia plokštumą. Jo padėčiai nusakyti reikia dviejų koordinačių, todėl tokį judėjimą vadiname – dvimačiu arba plokštuminiu. 3) Kai materialiojo taško padėčiai nusakyti reikalingos trys koordinatės, tai – trimatis arba erdvinis,judėjimas.
Materialiojo taško judėjimo greitis. Kinematika tiria vadinamąsias kinematines judėjimo charakteristikas: judančio kūno taškų padėtį, judėjimo trajektoriją,taškų judėjimo greitį,laiką. Trajektorija – vadiname judančio materialiojo taško spindulio vektoriaus r galinio taško brėžiama kreivė.
Trajektorijos judėjimą skirstome į tiesiaeigį ir kreivaeigį. Poslinkio vektorius – tai vektorius Δr=r-r1 išvestas iš materialiojo taško pradinės padėties į jo padėtį duotuoju momentu.
A
r1
(r
0 r B
Vidutiniuoju greičiu – vadiname materialiojo taško poslinkio vektoriaus Δr ir laiko tarpo Δt, per kurį jis pasislinko, santykis.ΰ=Δr/Δt. Materialiojo taško judėjimo greitis lygus jo spindulio vektoriaus pirmajai išvestiniai laiko atžvilgiu. Materialiojo taško greičio vektorius v yra lygiagretus liestinei, ir jo kryptis sutampa su taško judėjimo kryptimi. Taigi materialiojo taško greičio modulis yra lygus jo nueito kelio pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu.v=ds/dt; ds=vdt.
Materialiojo taško judėjimo pagreitis. Greičio pokytis Δv=v-v1. Santykis ã=Δv/Δt rodo vidutinę greičio kitimo spartą, ir vadiname vidutiniuoju pagreičiu. Šio santykio riba a=lim Δv/Δt=dv/dt nusako greičio kitimo spartą laiko momentu t ir vadinama pagreičiu. Ir pagreitį užrašome a=d/dt(dr/dt)=d2r/dt2. Taigi materialiojo taško pagreitis yra lygus jo greičio pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu Išreiškę greitį v ir spindulį vektorių r projekcijomis užrašome taip: [pic]
Kietojo kuno inercijos momentas.Tarkime, kad kietasis kunas susideda is mases m1, m2, m3,…, mN materialiuju tasku. Kiekvieno ju atstuma iki asies Oz pazymekime R1,R2,R3,…,RN .Tuomet ,sudeje ji sudaranciu materialiuju tasku inerciju momentus, apskaiciuojame kuno inercijos momenta
Iz asies Oz atzvilgiu: Iz =m1R21+ m2R22+m3R23+…+m N R 2 N =( mi Ri
.Jeigu nepasome kuno moleku8lines strukturos ir ji laikome vientisu ,tai inercijos momenta galime apskaiciuoti sitaip: visa kuna padalijame I
nykstamai mazo turio elementus Dv. Kiekvieno elemento mase dm=(dV ir atstumas iki sukimosi asies R; taigi jo inercijos momentas dIz= R2dm=(
R2Dv.Heigenso ir Steinerio teorema. Kietojo kuno inercijos momentas visada nusakomas konkrecios asies atzvilgiu. Keiciant asies padeti, bendruoju atveju keiciasi ir kuno inercijos momentas. Sakysime asis O/z/eina per mases m kuno masiu centra C, o kita, jai lygiagreti asis Oz eina atstumu l nuo pirmosios Asims statmenoje plokstumoje nubreziame i mases mi materialuji taska vektorius R/i, Ri ir jungianti asis vektoriu l. Sie vektoriai tenkina lygybe Ri= l+ R/i .Nagrinejamo materialiojo tasko atstumo iki asies O/z/ kvadratas yra R/2i , o iki asies Oz: R2i=(l+ R/I)2=l2+2l R/i
+ R/I2 Atsizvelge i sia lygybe , kuno inercijos momenta asies Oz atzvilgiu uzrasome taip:Iz=( mi R2i= l2( mi+2l( mi R/i+ ( mi R/2i Visu kuna sudaranciu materialiuju tasku suma ( mi=m yra kuno mase. Geometrine suma (
mi R/I lygi nuliui nes asis O/z/ eina per centra. Dydis ( mi R/2i yra kuno inercijos momentas asies O/z/ atzvilgiu; ji pazymekime Ic taigi: Iz= Ic+ml2
.Si formule tai Heigenso ir Steinerio teoremos matematine israiska.
Sukamojo judejimo dinamikos pagrindinis desnis
Judesio kiekio momentas nejudancio tasko atzvilgiu.
Mases mi marerialiojo tasko judancio greiciu vi spinduli vektoriu bet kokio nejudancio tasko O atzvilgiu pazymekime ri.Materialiojo tasko spindulio vektoriaus ri ir judesio kiekio Ki = mi * vi vektorine sandauga Li=ri*mivi vainame materialiojo tasko judesio kiekio momentu tasko O atzvilgiu. Sis apibrezimas tinka tik nerealitivistiniam, tiek ir releatyvistiniam judesio kiekiui. Vektorius Li yra statmenas plokstumai nubreztai per vektorius ri ir Ki . Vektoriai ri ir Ki ir Li orientuoti taip kaip desineje koordinaciu sistemoje oreintuotos asiu Ox Oy ir Oz teigiamos kryptys.
Judesio kiekio momentas nejudancios asies atzvilgiu.
Mases mi materialiojo tasko judesio kiekio momento Li tasko O atzvilgiu projekcija Lzi bet kokioje per ji ienancioje asyje Oz vadinama sio tasko judesio kiekio momento asies atzvilgiu: Lzi = (ri*mivi)z .Sudeje algebriskai visu kietojo kuno materialiuju tasku judesio kiekio momentus Lzi asies Oz atzvilgiu gauname kuno judesio kiekio momenta tos pacios asies atzvilgiu:Lz = (Lzi jeigu asis Oz yra kietojo kuno sukimosi asis tai kievieno materialiojo tasko greicio vi kryptis sutampa su jo judejimo trajektorijos liestines kryptimi; taigi vektorius vi statmenas vektoriui ri. Is vektoprines sandaugos apibrezimo isplaukia kad vektoriaus Li modulis lygus uzbruksnioto staciakampio plotui300.
Projekcijos Lzi skaitine verte lygi sio staciakampio projekcijos asiai Oz statmenoje plokstumoje plotui. Kaip matyti paveiskle, Lzi = Rimivi = Izi(.
Taigi kietojo kuno judesio keikio momenta pastovios sukimosi asies atzvilgiu galime isreiksti sitaip: Lz = ((Izi=(Iz. Iz=(Izi yra kuno inercijos momentas asies Oz atzvilgiu. Judesio kiekio momentas kitaip kinetinis momentas yra svarbus materialiojo tasko arba ju sistemos judejimo dinamine charakteristika , naudojama nagrinejant ne tik makroskopiniu objektu sukamaji judejima.
Sukamojo judejimo dinamikos pagrindinis desnis.pasinaudosami sandaugos diferencijavimo taisykle materialiojo tasko judesio kiekio momentui uzrasyta Li=ri*mivi lygybe diferancijuojame laiko atzvilgiu dLi/dt=d(ri*mivi )/dt=(dri/dt)*mivi+ri*(d(mivi)/dt).
Rementis antruoju Niutono desniu materialiojo tasko judesio kiekio isvestine laiko atzvilgiu lygi ji veikianciu jegu atstojamajai Fi .
Atsiszvelge I visa tai formule perrasome sitaip: dLi/dt=ri*Fi=Mi cia Mi yra materialuju taska veikianciu jegu tastojamosios momentas tasko O atzvilgiu.
Mi cia butu i-aji materialuji taska veikianciu vidiniu ir isoriniu jegu atstojamasis momentas sukimosi tasko atzvilgiu. Susumave viesiems taskams parasytas lygtis gauname: dL/dt=M cia L= (Li yra kuno judesio kiekio momentas sukimosi tasko O atzvilgiu. Dydis M = (Mi
Savojoje atskaitos sistemoje dalelė nejuda (v=0) ir jos reliatyvistinė masė [pic]. Pastarąjį dydį vadiname rimties mase. Naudojantis reliatyvistine judesio kiekio išraiška, reliatyvistinės dinamikos pagrindinis dėsnis užrašomas lygiai taip pat kaip ir Niutono dėsnis:
[pic]
Kai dalelę vienu metu veikia keletas jėgų, dydis F yra visų jėgų atstojamoji.
MASĖS IR ENERGIJOS SĄRYŠIS
Specialioji reliatyvumo teorija įrodė universalųjį laisvosios dalelės reliatyvistinės masės ir pilnutinės energijos W sąryšio dėsnį:
[pic]
Ši lygtis energiją W susieja su reliatyvistine mase mr arba atvikščiai.
Taigi masė ir energija viena be kitos neegzistuja ir visada proporcingos viena kitai. Iš šio masės ir energijos sąryšio išplaukia, jog, kintant vienam šių dydžių, proporcingai kinta ir antrasis. Jų pokyčius sieja lygybė:
[pic]
Ši formulė išreiškia dalelės ar kūno reliatyvistinės masės ir pilnutinės energijos vienalaikių pokyčių sąryšį. Kūno pilnutinę energiją sudaro jo vidinė ir reliatyvistinė energijos kartu. Į kūno pilnutinę ir rimties energiją neįeina jo potencinė energija, gaunama dėl išorinių jėgų laukų poveikio.
RELIATYVISTINĖ KINETINĖ ENERGIJA
Atėmę iš kūno pilnutinės energijos rimties energiją , gauname reliatyvistinę kinetinę energiją:
[pic]
Kai kūno judėjimo greitis v < c, tuomet [pic]
Panaikinę iš judesio kiekio skaliarinės išraiškos ir pilnutinės energijos formulės greitį v kūno pilnutinę energiją išreiškiame jo judesio kiekiu:
[pic]
RYŠIO ENERGIJA
Ryšio energija lygi darbui A, kurį reikia atlikti, kai norima suskaidyti sąveikaujančių dalelių sistemą nesuteikianti joms kinetinės energijos.
Dalelių sistemos potencinė energija padidėja tiek, kiek atlikta darbo.
Vadinasi, priešingai reliatyvistinei mase rimties masė nėra esminė kūno charakteristika, nes sąveikaujančių dalelių sistemos rimties masė yra mažesnė už ją sudarančių dalelių, esančių laisvoje būsenoje, rimties masių sumą. Šį masių skirumą vadinsime masės defektu. Kuo jis didesnis, tuo didesnė dalelių sistemos ryšio energija.
TVERMĖS DĖSNIAI RELIATYVISTINĖJE FIZIKOJE
Potencialinių jėgų veikiama dalelė turi potencinę energiją Wp. Remiantis reliatyvistinės dinamikos pagrindiniu dėsniu, galima įrodyti, kad šios dalelės pilnutinės ir potencinės energijų suma yra pastovi t.y.:
[pic]
Laisvai dalelei (Wp=0) šis dėsnis užrašomas šitaip:
[pic]
KLASIKINĖS MECHANIKOS TAIKYMO RIBOS
Mechanika kuriai tinka specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai ir iš
Lorenco transformacijų išplaukiančios išvados, vadinama reliatyvistine mechanika.
Mikrodalelių judėjimo dėsnius ir tų dalelių bei jų sistemų kai kurias vidines savybes tiria kvantinė mechanika.
Todėl klasikinė mechanika yra reliatyvistinės mechanikos atvejis, visiškai tinkantis praktiniams poreikiams, kai tenka nagrinėti makroskopinių kūnų, judančių mažais greičiais (lyginant su šviesos greičiu vakuume), judėjimą.
NEINERCINĖS ATSKAITOS SISTEMOS
Atskaitos sistemos, judančios su pagreičiu inercinių atskaitos sistemų atžvilgiu, vadinamos neinercinėmis. Tokiose atskaitos sistemos pirmasis
Niutono dėsnis negalioja. Paprasčiausios neinercinės atskaitos sistemos yra tokios, kurios žvaigždžių atžvilgiu juda su pagreičiu arba tik sukasi.
Laikas ir ervė neinercinėse atskaitos sistemose
Laikas ir ervė vienas su kitu susiję ir priklauso nuo judančios materijos, todėl tikėtina, kad galima ir tokia atskaitos sistema, kurios |Tolygiai kintamas judėjimas – jeigu greitis kinta vienoda sparta, tai pagreitis pastovus. Greičio pokytis per baigtinį laiko tarpą
Δt=t2-t1; [pic]
Tangentinis ir normalinis pagreitis. Einant plokščia trajektorija iš vieni taško į kitą, liestinės orto τ kryptis kinta.
[pic]
Kreiviui atvirkščią dydį R=1/δ vadiname – kreivumo spinduliu.
Materialiojo taško kreivaeigio judėjimo pagreitis. Kreivaeigį pagreitį patogu nagrinėti naudojant vadinamas natūraliąsias ašis, kurios siejamos su judančiu tašku. Tangentinis pagreitis. Δv=v1-v, materialiojo taško pagreitį išreiškiame dviem komponentėmis[pic] santykio riba apibūdinanti greičio modulio
Kitimo spartą, yra pagreičio a projekcija tangentės ašyje. Tangentinis pagreitis – atitinkamai lygus [pic] Kai judėjimas yra greitėjantis (dv/dt>0), tangentinis
pagreitis aτ yra lygiagretus greičio vektoriui v, o kai judėjimas lėtėjantis (dv/dt<0), dydis aτ yra antilygiagretus greičiui v.
Normalinis pagreitis. Greičio pokyčio komponentė Δvn susidaro dėl to, kad kinta kryptis. Normaliniu pagreičiu – vadiname santykio Δvn/ Δt ribą, nusakančią greičio krypties kitimo spartą. [pic] Pagreičio a projekcija normalės ašyje yra teigiama todėl [pic]Kadangi vektoriaus an kryptį rodo n, tai gauname: [pic].
Pilnutinis pagreitis. Netolygiai judančio kreiva plokščia trajektorija materialiojo taško pagreičio išraiška:
[pic]
Šis pagreitis vadinamas pilnutiniu pagreičiu.
Jis susideda iš tangentinio pagreičio ir normalinio pagreičio, todėl jo mudulis:
[pic]
Absoliučiai kieto kūno slenkamasis judėjimas. Kietuoju kūnu – vadiname medžiagos agregatinė būsena, kuri normaliomis sąlygomis pasižymi patvaria forma. Kūno judėjimas yra slinkimas. Tai judėjimas, kai kūne nubrėžta bet kuri tiesės atkarpa, kūnui judant vektoriaus AB kryptis nekinta.rB=rA+AB.
Slenkant absoliučiai kietam kūnui, nekinta nei vektorius, nei modulis, todėl:d/dt(AB)=0. Slenkant absoliučiai kietam kūnui, visų jo taškų trajektorijos, greičiai ir pagreičiai yra vienodi.
Materialiojo taško ir kietojo kūno slenkamojo judejimo dinamika.
Niutono dėsniai.
Mechanikos dėsnis vadinamas pirmuoju Niutono dėsniu: kiekvienas kunas išlaiko rimties arba tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsena tol kol kitų kūnų poveikis nepriverčia tą būseną pakeisti. Todėl išjudintas kūnas, jeigu jo neveiktu pasipriešinimo jėgos, judėtų amžinai, t.y. judėjimui palaikyti išorine jėga nereikalinga. Ši kūnų savybė vadinama inertiškumu, o pirmas
Niutono desnis-inercijos desniu.
MasĖ. Veikiant kūną kitais kūnais, jo greitis kinta ne per akimirką, bet palaipsniui. Taip pasireiškia kūno inertiškumas. Materialiųjų kūnų inertiškumui išreikšti Niutonas įvede fizik. dydi- masę. Masė susijusi su materialių objektų fundamentąlia savybe- gravitacija. Dabartinių matavimų tikslumu galima teigti, jog inercinė mase lygi gravitacinei masei.
yra kuna veikianciu isoriniu jegu atstojamasis momentas si formolu matematiskai isreiskia apie nejudanti taska besisukancio kietojo kuno dinamikos pagrindini desni: kuno judesio kiekio momento nejudancio tasko atzvilgiu kitimo greitis yra lygus ji veikianciu isoriniu jegu atstojamajam momentui to paties tasko atzvilgiui dL/dt=M formule uzrase projekcijos
Oz asyje gauname apie nejudama asi Oz besisukanciu kietojo kuno dinamikos pagrindinio desnio matematini israiska. dLz/dt=Mz. Taigi besisukancio kietojo kuno kaip ir materialiojo tasko inertiskuma apibudina inercijos momentas. Judesio kiekio momento tvermes desnis.
Jeigu apie nejudenti taska besisukanciam kunui parasytoje dL/dt=M dydis M (0 tai gaunamas judesio kiekio momento tvermes atvejis dL/dt=0 ir L=const.
Sis desnis formuluojamas sitaip: kai kuna veikianciu isoriniu jegu atstojamasis momentas sukimosi tasko tazvilgiu tapatingai lygus nuliui tuomet kuno judesio kiekio momentas to tasko atzvilgiu laikui begant nekinta. Sis desnis tinka ir uzdarajai kunu sistemai.Judesio kiekio momento asies atzvilgiu tvermes desniu naudojasi baleto sokejai ri dailiojo ciuozimo meistrai. Judesio kiekio momento tvermes desnis buvo gautas rementis klasikine mechanika, kurios taikymo srytis gana ribota. Taciau sis tvermes desnis yra universalus.Ji taiko reliatyvistine ir kvantine mechanika.
Besisukancio kuno kinetine energija. Cia nagrinejimas paprasciausias atvejis t.y. apie nejudama asi besisukanti absoliuciai kietaji kuna.
Atstumu Ri nutolusio nuo sukimosi asies mases mi materialiojo tasko linijinio greicio modulis vi = (Ri ir jo kinetine energija.
Wki=(mivi2 )/2=(miRi2(2)/2=(Izi(2)/2 apie nejudama asi besisukancio kietojo kuno kinetine energija lygi visu ji sudaranciu materialiuju tasku kinetiniu energiju sumai: Wk=(Wki=(2/2(Izi=Iz(2/2 cia dydis Iz =(Izi yra kuno inercijos momentas aies Oz atzvilgiu.
Taigi apie nejudama asi besisukanciojo kietojo kuno kinetine energija tiesiogiai proporcinga kuno inercijos momento tos asies atzvilgiu ir kampinio greicio kvadratu sandaugai. Besisukancio kuno kinetines energijos prilausomybe nuo jo inercijos momento pagrystas smagraciu naudojimas. Del smagraciu viekimo vidaus degimo varikliu bei garo masinu varomi laivai plauki tolygiai, tolygiau vaziuoja traukiniai , automobiliai ir kt. Inercinese masinose smagratis yra jas varancios energijos akumuliatorius.
6.2. Galilėjaus transformacijų invariantai
Pagreičio invariantiškumas. Pirmoji greičio išvestinė laiko atžvilgiu yra pagreitis. Diferencijuodami formulę, gauname: [pic], arba: a=a’, nes pastovaus pranešimo greičio v0 išvestinė laiko atžvilgiu lygi nuliu.Taigi pagreičiai abiejose atskaitos sistemose yra lygūs. Dydžiai, kurių skaitinės vertės nekinta, transformuojant koordinates, t.y. pereinant iš vienos koordinačių sistemos į kitą, vadinami tų transformacijų invariantas. Todėl pagreitis yra Galilėjaus transformacijų invariantas.
Mechanikos dėsnių invariantiškumas. Klasikinėje mechanikoje materialiojo taško masė m laikoma nepriklausoma nuo jo judėjimo greičio, t.y.
nepriklausoma nuo atskaitos sistemos. Iš masės ir pagreičio invariantiškumo darome išvadą, kad visose atskaitos sistemose nagrinėjamą materialųjį tašką veikia vienoda jėga F=ma. Kadangi daugelis mechanikos reiškinių yra veikiami jėgos, tai pereinant iš vienos inercinės sistemos į kitą, nesikeičia mechaniniai reiškiniai ir juos aprašančios dinamikos lygtys.
Lygtys, kurių pavidalas nepasikeičia, pakeitus jose vienos sistemos koordinates ir laiką kitos sistemos koordinatėmis ir laiku, vadinamos jų transformacijų invariantais. Klasikinės mechanikos dėsniai yra Galilėjaus transformacijų invariantai.
Erdvės intervalo invariantiškumas. Sakysime, judančioje atskaitos sistemoje (S’) yra jos atžvilgiu nejudantis labai plonas strypas, kurio galų koordinatės yra x’1, y’1, z’1 ir x’2, y’2, z’2.Šioje atskaitos sistemoje strypo ilgis [pic] Bet kokio kūno ilgis, nustatytas ataskaitos sistemoje, kurio atžvilgiu jis nejuda, vadinamas savuoju. Nejudančios atskaitos sistemos (S) atžvilgiu strypas juda greičiu v0. Šioje atskaitos sistemoje, nustatę tuo pačiu laiko momentu t=t0 jo galų koordinates x1, y1, z1, ir x2, y2, z2, apskaičiuojame strypo ilgį: [pic] Galima teigti, kad klasikinėje mechanikoje kūno ilgis, arba aplamai erdvės intervalas, yra
Galilėjaus transformacijų invariantas.
Laiko intervalo invariantiškumas.
Sakysime, kad nejudančioje atskaitos sistemoje laiko momentais t1 ir t2
vienas po kito įvyksta du įvykiai. Laiko tarpą ∆t=t2-t1 tarp įvykių dar vadiname laiko intervalu. Laiko intervalas visose atskaitos sistemose yra vienodas, kitaip sakant, jis yra Galilėjaus transformacijų invariantas.
6.3. Specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai
XIX a. viduryje Dž.Maksvelis sukūrė elektromagnetinio lauko ir šviesos elektromagnetinės prigimties teoriją.
skirtnguose taškuose tas pats fizikinis procesas vyktų skirtinga sparta.
Viena priežasčių, dėl kurios atskaitos sistemoje nėra vieningo laiko, gali būti jos neinertiškumas.
INERCIJOS JĖGOS
Neinercinėse atskaitos sistemose, be jėgų susijusių su materialiųjų kūnų ar laukų poveikiu, yra ir kitokios prigimties jėgų, egzistuojančių dėl to, kad atskaitos sistema neinercinė. Šios jėgos pasireiškia dėl materialiųjų kūnų inercijos, todėl vadinamos inercijos jėgomis. Kadangi jos atsiranda ne dėl kūnų tarpusavio sąveikos , tai inercijos jėgoms netinka trečiasis Niutono dėsnis.
Neinercinėse atskaitos sistemose materialiąjam objektui pagreitį suteikia tiek sąveikos, tiek ir inercijos jėgos. Todėl, pridėjus prie materialųjį tašką veikiančių sąveikos jėgų atstojamosios F inercijos jėgas Fin , galima ir šiose atskaito sistemose taikyti antrąjį Niutono dėsnį.:
[pic];
Materialiojo taško pagreitis a inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu vadinamas absoliutiniu: [pic].
TIESIAI JUDANTI NEINERCINĖ ATSKAITOS SISTEMA
Sakysime atskaitos sistema S yra sąlygiškai nejudanti, t.y. inercinė, tuo tarpu [pic]pastarosios atžvilgiu juda su pagreičiu a0:
Materialiojo taško padėties inercinėje sistemoje spindulio vektorių užrašome taip:
[pic];
Nagrinėdami judėjimą, kurio greitis palyginus su šviesos greičiu vakuume mažas, ir čia abiem atskai tos sistemoms laiką laikysime vieningu.
Diferencijuodami r laiko atžvilgiu gauname:
[pic]arba [pic], čia v, v0, ir v( – vadinamieji absoliutinis, pernešimo ir santykinis greičiai. Diferencijuodami greičių sąryšį gauname analogiškus pagreičius ir užrašome neinercinėje atskaitos sistemoje veikiančią inercijos jėgą: [pic]. Taigi materialiąjam taškui inercinės jėgos suteiktas pagreitis –a0 priklauso ne nuo jo masės, o nuo atskaitos sistemos neinertiškumo.
KORIOLIO JĖGA
Besisukančioje atskaitos sistemoje jos atžvilgiu judantį materialųjį objektą veikia ne tik išcentrinė inercijos jėga, bet ir dar viena, vadinamoji Koriolio jėga. Ji visada statmena plokštumai, nubrėžtai per sukimosi ašį:
[pic]
čia [pic]vektorius, statmenas plokštumai, v( santykinis greitis. Ši lygybė teisinga ir tada kai greitis v( nestatmenas sukimosi ašiai ir kai dydžiai v( ir[pic]kinta laiko atžvilgiu. Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje veikianti Koriolio jėga priklauso nuo atskaitos sistemos kampinio greičio, nuo materialiojo objekto masės, jo judėjimo santykinio greičio modulio ir krypties. Tik tada kai materialusis taškas slenka išilgai sukimosi ašies greitis v( yra kolinearus vektoriui[pic]ir Koriolio jėga lygi nuliui.
ŽEMĖS SUKIMASIS IR KORIOLIO JĖGA
Iš vektorinės sandaugos taisyklės išplaukia, kad judant kūnui link ašigalio, Šiaurės pusrutulyje Koriolio jėga judėjimo krypties atžvilgiu veikia į dešinę, o Pietų pusrutulyje – į kairę. Iš labai aukštai laisvai krintantį kūną Koriolio jėga visada atlenkia į rytus nuo vertikalės, einančios link žemės centro.
RELIATYVUMO TEORIJA,
EKVIVALENTIŠKUMO PRINCIPAS,
GRAVITACIJA:
Pakankamai mažoje erdvės srityje gravitacijos laukas yra ekvivalentiškas tam tikrai neinercinei atskaitos sistemai, t.y. kūno judėjimo dėsniai gravitacijos lauke ir atitinkamoje neinercinėje atskaitos sistemoje užrašomi vienodai.
Reliatyvumo teorija nagrinėja erdvės ir laiko sąryšį su materialiaisiais objektais, jų judėjimu ir gravitacija. Ji teigia, kad materijos gravitacinis poveikis iškreivina įvykių erdvę ir dėl to jos geometrinės savybės skiriasi nuo euklidinės erdvės savybių.
Šios iškreivintos erdvės trimačiame poerdvyje trikampio vidinių kampų suma nelygi (, apskritimo ilgio ir spindulio santykis nelygus 2( ir t.t. Šioje erdvėje kūnų judėjimą iš inercijos stebėtojas suvokia kaip judėjimą trimačiame poerdvyje kintamu greičiu kreiva traektorija.
Erdvės kreivį lemia ne tik ją iškreivinančio kūno masė, bet ir jo energija. Kitaip sakant, gravitacija priklauso nuo reliatyvistinės masės. |Materialiojo obj. mase – svarbiausias jam būdingas dydis, išreiškiantis materijos inercines ir gravitacines savybes. Sistemą sudarančių materialiųjų tasku masių suma laikoma lygia sistemos (kūnų)
masei.
Inercinė ir heliocentrine atskaitos sistemos.
Jėgos sąvoka.Poveikis, dėl kurio kinta greitis arba kūnas deformuojasi –
mechaniniu. Mech. yra 3 saveikos jegos: tamprumo, trinties, gravitacijos.
Judesio kiekis. Ji yra pirminė ir naudojama klasikinėje mechanikoje ir kvantineje mech. bei elektrodinamikoje. Mater. taško judesio kiekis yra vektorius, lygus jo masės ir greičio sandaugai. K=mv. Vektor kryptis sutampa su mater. taško judėjimo kryptimi. Kintantant m ar v, judesio kiekis kinta. Viso kūno judesio kiekis lygus jį sudarančių mater. taškų judesio kiekio geometrinei sumai. K=(Ni=1mivi.
Antras Niutono desnis. Materialiojo taško judesio kiekio kitimo Sparta tiesiogiai proporcinga jį veikiančių jėgų atstojamąjai, t.y. 2 Niutono desnis. dK/dt=(d/dt)(mv)=F. Jei nekinta masė: m(dv/dt)=ma=F. Arba a=F/m.
Įgytas pagreitis yra atvirkščiai proporcingas jį veikinčių jėgų atstojamąjai ir atvirkščiai prop. masei. Didesnė masė, mažesnis pagreitis d(mv)=F dt. d(mv)-vadiname judesio kiekio elementariuoju pokyčiu, F dt-
elementariuoju jėgos impulsu.
Trečias Niutono desnis. Du materialieji taškai veikia vienas kitą priešingų krypčių vienodo modulio jegomis. F21=-F12.
Mech. sistemos masių centras ir jo judėjimo dėsnis.
Kūnai, neieinantys i nagrinejamą sistemą, vadinami išoriniais kūnais.
Jėgos, kuriomis veikia kūnai vienas kitą, vadinamos vidinėmis jėgomis.
Mech. sist. Vidinių jegų geometrinė suma lygi 0. Mech. kunu sist., kurios neveikia išorinės jėgos, vadinama uždarąja sist. d2 /dt2 (miri)=Fi+fi. F-
išorines, F- vidiniu atstojamosios, r-spindulio vekt. d2/dt2 (I=1N miri
=(I=1NFi=F.
(.m d2/dt2 ) (I=1N (miri/m) =F. Masių centro padetis rodo, kaip pasiskirsčiusi masė kūne ar mech. sistemoje. (md2rc)/dt2=mac=F. Masių centro pagreitis ac=dvc/dt=d2rc/dt2 . Masių centro greitis vc=drc/dt Mater.
taškų masių centras juda taip, kaip judėtų išor. jėgų atstojamosios veikiamas mat. taškas, kurio mase =mat. taškų sist. masei. Uždaromosios sist. masių centras yra būsenoje arba jo judejimas yra tolygus ir tiesiaeigis.
Judesio kiekio tvermės desnis.kūnai susiduria – įvyksta smūgis. Vienas kitą veikia jegomis f12(pirmąjį) ir kita f21(antrą). (d/dt) *(mivi ) = Fi+fi2 ;
(d/dt) *(m2v2) = F2+f21 ;d/dt(mivi +m2v2) =Fi +F2. Kai kūną sudaro ne du, o
N kūnų: (d/dt) (I=1Nmivi=(I=1NFi=F. Jei sist. uždaroji: (d /dt )(I=1N
(mivi)=0 arba const. Tai judesio kiekio tvermės dėsnis: Uždarosios mech.
sist. judesio kiekis const, kai jos viduje vyksta kokie nors procesai.
Dėsnis tinka, kai išorinių jėgu geometrinė suma lygi nuliui. Judesio kiekio tvermės dėsnis reiškia erdvės savybiu nekintamuma, t.y. jos vienalytiškumą, poslinkio atžvilgiu.
Mech. energija ir jėgu laukai.
Mech. darbas.Energija yra bendras kiekybinis visu materijos judejimo ir saveikos formų matas. Fizikoje enrgijos buna: mech., vidinė, gravitacinė, elektromagnetinė, branduolinė ir kt. Mech. skirstoma i judančių kūnų kinetinę ir Susijusią su sąveikaujančių kunu padetimi, t.y. potencine en. Mech. darbas apibūdina veikiant jegai vykstantį energijos perdavimo procesą. A=
=(I=1NAi ; A=(Fdr= F(ds- integruodami apskaič. Baigtiniame kelyje atliktą darbą. Tai kreivinis integralas. Kintamosios jėgos darbas baigtiniame kelyje skaitine verte lygus materialųjį taška veikiančios jėgos projekcijos poslinkio vektoriaus kryptyje Kreiviniam integralui.
M-gos dalelių sąveika ir jėgų laukas. Lauko savoka. Kai smūgio metu kūnai liečiasi, turime paprasčiausią vieno kuno mech. poveikį kitam vadinamą kontaktine saveika. Taip pat sąveikauja ir vakuume esančios m-gos dalelės.
Toks mechanizmas aiškinamas dvejopai: Laikantis toliveikos ir artiveikos požiūrio. Toliveikos požiūriu sąveika tarp daleliu perduodama be tarpininko ir akimirka. Artiveikos teorija teigia,kad sav. tarp nutolusių m-gos dalelių perduodama per tarpininką baigtiniu grečiu. Šis tarpininkas-jegu laukas.Gravitac. lauko šaltinis – mater. objektas, elektrinio lauko –
elektringa dalelė, ielektrintas kūnas, mg. lauko- magnetas, kintantis el.
laukas. Remiantis artiveikos teorija, bet kokia m-gos dalelė pakeičia ją supančios erdvės fizikines savybes. Fizikinis laukas- tai fizik. sist., kuria apibudinantys dydžiai (lauko stip.,potencialas) nelokalizuoti jį sukuriančioje dalelėje ar kūne, bet pasiskirstę juos supančioje aplinkoje.
Centrinių jėgų laukas
Visuotinės gravitacijos dėsnis:masės m ir m1 kūnai traukia vienas kitą jėga tiesiogiai proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui.
Toje pačioje vietoje visų kunų laisvojo kritimo pagreitis yra vienodas, t.y. nepriklauso nuo krintančio kūno masės. Gravitacinis vieno kūno poveikis kitam perduodamas gravitacijos lauku. Grav. lauko šaltinis yra materialusis kūnas. Masės m materialiojo taško sukurtas gravitacijos laukas pasižymi šiom savybėm:bet kokiam lauko taške esančius materialius taškus laukas veikia atitinkamom jėgom F kurių tasos kertasi vienam taške, kurį vadiname jėgų centru. Gravitacijos lauko stipris E moduliu ir kryptim lygus jėgai kuria laukas veikia tame taške vieneto didumo masės kūną.
Žvaigždžių atžvilgiu orbitinis žemės greitis yra apie 30 km/s. Po daukartinių matavimų buvo nustatyta, kad šviesos greitis į abi pusias vienodas. Vadinasi, elektramagnetinėms bangoms netinka klasikinis
(Galilėjaus) greičių sudėties dėsnis. Be to pasirodė, kad elektromagnetinio lauko lygtis nėra Galilėjaus transformacijų invariantai. 1905 m. šį elektromagnetinį reiškinių neatitikimą paaiškino A.Einšteinas, sukūręs specialiąją reliatyvumo teoremą. Ši teorija tinka tik inercinėms atskaitos sistemoms.
Specialioji reliatyvumo teorija grindžiama dviem postulatais: 1) visi fizikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi; 2)
šviesos greitis vakuume visose inercinėse atskaitos sistemose nepriklauso nuo šviesos šaltinio ar stebėtojo reliatyvaus judėjimo: visomis kryptimis jis yra vienodas ir lygus universaliajai konstantai c. Nustatyta, kad c=299792456,2[pic]1,1 m/s. Ši konstanta yra šviesos greitis vakuume.
Pirmas postulatas yra mechaninio reliatyvumo principo taikymas visiems fizikiniams reiškiniams. Antrasis specialiosios reliatyvumo teorijos postulatas teigia, kad šviesos greitis vakuume visose inercinės atskaitos sistemose vienodas. Šis teiginys yra iš fundamentaliųjų gamtos dėsnių.
Šviesos greitis vakuume yra invariantas.
6.4. Lorenco transformacijos
Transformacijų formulės, kuriose atsižvelgiama į postulatus, taip pat į esmines erdvės ir laiko simetrijos savybes, vadinamos Lorenco transformacijomis.
Jeigu abiejuose atskaitos sistemose laiko atskaitos pradžią (t=0 ir t’=0) pasirenkame tuo momentu, kai abiejų koordinačių sistemų pradžios O or O’ sutampa, tai Lorenco transformacijos užrašomos šitaip: [pic] Atvirkštinės transformacijų lygtys užrašomos analogiškai, tik pernešimo greičio projekcijos ženklas pakeičiamas priešingu: [pic] Kaip matyti iš Lorenco transformacijų, pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą, transformuojamos ne tik nagrinėjamojo įvykio erdvinės koordinatės, bet ir jo vyksmo laikas.
Laikas yra reliatyvus ir neatskiriamas nuo erdvės. Specialioji reliatyvumo teorija daro tokią prielaidą: kiekvienai inercinei atskaitos sistemai yra savas vieningas laikas ta prasme, kad kiekviename jos taške koks nors konkretus procesas vyksta vienoda sparta.
Erdvės ir laiko vienovė, gauta remiantis šviesos greičio inercinėse atskaitos sistemose pastovumo dėsniu, rodo, kad erdvė ir laikas tarpusavyje susėję ir, formaliai žiūrint, tarytum sudaro keturmatę erdvės-laiko sistemą, dar vadinamą erdvės ir laiko kontinuumu, įvykių erdve arba Minkovskio erdve.
Galilėjaus transformacijos yra Lorenco transformacijų atvejis, tinkantis mažiems greičiams lyginant su šviesos greičiu vakuume. Inercinės atskaitos sistemos negali judėti viena kitos atžvilgiu greičiu, didesniu už šviesos greitį vakuume. Kadangi kiekviena atskaitos sistema siejama su materialiuoju kūnu arba dalele, tai ir jų greitis negali viršyti šviesos greičio c, t.y. dydis c yra ribinis greitis.
6.5. Vienalaikškumo reliatyvumas
Du įvykiai, vykstantys skirtingose pasirinktos koordinačių sistemos taškuose, vadinami vienalaikiais, jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos atskaitos sistemos laikrodį. Vienalaikiškumui nustatyti laikrodžiai turi būti idealiai vienodi.
Nejudančios atskaitos sistemos S taškuose, kurių koordinatės x1 ir x2, tuo pačiu metu (t1=t2=t0) įvyksta du tarp savęs nesusiję įvykiai. Šių įvykių laiką judančioje sistemoje (S() apskaičiuojame pagal laiko transformacijas: [pic] Iš t(2-t(1, gauname [pic]. Taigi įvykiai, kurie atskaitos sitemoje S vyksta tuo pačiu metu ir tame pačiame erdvės taške (x1=x2), atskaitos sistemoje S( yra taip pat vienalaikiai (t(2-t(1=0).
Tačiau įvykiai, vykstantys skirtinguose erdvės taškuose (x1(x2), sistemoje
S( yra jau nevienalaikiai (t(2-t(1(0).
Skirtumo t(2-t(1 didumas ir ženklas priklauso nuo įvykių vietos koordinačių x1 ir x2, taip pat nuo ataskaitos sistemų reliatyviojo judėjimo greičio. Įvykių vienalaikiškumo sąvoka nėra absoliuti. Nors įvykiai laiko atžvilgiu vyksta ir nuosekliai (yra praeitis, dabartis, ateitis), bet du įvykiai, kurie vienam stebėtojui (pavyzdžiui S), atrodo vykstantys vienu laiku, kitam (pavyzdžiui S(), judančiam jo atžvilgiu stebėtojui, gali atrodyti nevienalaikiai arba net vykti atvirkščia tvarka. Taip yra todėl, kad jokie materialūs poveikiai, per kuriuos susidaro fizikinis ryšys tarp įvykių, vykstančių skirtinguose erdvės taškuose, negali būti
|Jėgų lauką vadiname vienalyčiu jei lauko stiprumo vektorius E yra vienodas bet kokiam to lauko taške. Grav. laukas yra stacionarus kai kuriatis materialusis objektas nejuda atskaitos sistemoj. Gravitacijos jėgų darbas nepriklauso nuo to kokia trajektorija judėjo materialus taškas.
Potencialios jėgos tai jėgos kurių atliekamas darbas, perkeliant kūną bet kokia uždara trajektorija lygus 0.
Kinetinė energija
Atstojamosios jėgos darbas lygus materialiojo taško kinetinės energijos pokyčiui. Mechaninis darbas A yra energijos kiekio kurį vienas kūnas perduoda kitam, matas. Judančio kūno kinetinė energija lygi darbui kurį jis geba atlikti iki visai sustos.
Potencinė energija
Potencinė energ. yra materialių objektų potencialinės sąveikos kiekybinė charakteristika. Dalelės potenc. energ. lygi darbui atliktam potencialių jėgų, perkeliančių ją į būseną, kurioje dalelės potenc. energ. laikoma lygia 0. Huko dėsn.:tamprumo jėga F tiesiogiai proporcinga deformacijos didumui.
Mechaninės energijos tvermės dėsnis – vykstant bet kokiems procesams, konservatyviosios mechaninės sistemos pilnutinė mechaninė energija nekinta.
Dalelių ar kūnų sistemą vadiname konservatyviąja, kai visos joje veikiančios vidinės jėgos yra tik potencialinės, o visos išorinės jėgos –
stacionarios potencialinės. Šių sąlygų netenkinančias sistemas vadiname nekonservatyviosiomis.
Stacionarių potencialinių jėgų darbas yra lygus dalelės potencinių energijų skirtumui. Dalelės pilnutinės mechaninės energijos pokytis yra lygus ją veikiančių nepotencialinių jėgų atliktam darbui. Veikiant dalelę tik stacionarioms potencialinėms jėgoms, jos mechaninė energija nekinta.
Energijos tvermės ir virsmų dėsnis – vykstant bet kokiems procesams izoliuotoje materialioje sistemoje, pilnutinė sistemos energija nekinta.Dėsnis rodo, kad vienos materijos judėjimo formos gali virsti kitomis, bet pats materijos judėjimas yra amžinas, amžina ir pati materija.
Mechaninė sistema, kurioje vyksta mechaninės energijos sklaida ( veikiant trinties ar klampos jėgoms) vadinama disipatyviąja. Net izoliuotose disipatyviose sistemose mechaninė energija nepastovi – ji nuolat mažėja.Čia mechaninės energijos pokytis lygus vidinių nepotencialinių jėgų darbui.
Smūgiu vadiname dviejų ar daugiau materialiųjų kūnų, dalelių ir kt.
Trumpalaikę sąveiką, kuri įvyksta palyginti mažoje erdvės srityje.
Smūgio linija – susidūrusių kūnų paviršių bendra normalė, einanti per jų sąlyčio tašką. Centrinis smūgis būna, kai susidūrimo momentu abiejų kūnų masių centrai yra smūgio linijoje. Tiesusis – kai prieš susiduriant kūnų masių centrų greičiai buvo lygiagretūs smūgio linijai. Kitais atvejais smūgį vadiname įstrižainiu.
Smūgio rezultatas priklauso nuo susidūrusių kūnų savybių. Galimi du ribiniai atvejai: idealiai tamprus ir idealiai netamprus smūgiai.
Jeigu deformacija būna idealiai tampri, tai smūgio jėgos yra potencialinės ir susidūrusių kūnų sistemai galime taikyti mechaninės energijos tvermės dėsnį. Tai idealiai tamprus smūgis. Taip susidūrę vienodų masių kūnai apsikeičia greičiais.
Smūgį, visiškai nesukeliantį kūnų tampriosios deformacijos, vadiname idealiai plastišku. Įvykus tokiam smūgiui, abu kūnai susijungia ir juda tuo pačiu greičiu. Plastiškiesiems smūgiams mech. energijos tvermės dėsnis netinka, bet tinka judesio kiekio tvermės dėsnis. Plastiškai susidūrus dviem vienodos masės ir vienodu greičiu priešpriešais judantiems kūnams, bendras sistemos greitis pasidaro lygus nuliui: smūgio metu visa abiejų kūnų kinetinė energija virsta jų vidine energija.
Kūno sukamasis judėjimas
Suk. Judėjimas gali būti dvejopas:1 sukimasis apie ašį ir 2 sukimasis apie tašką.1 yratoks kieto kūno judėjimas , kai bent dviejų jo taškų A ir B
greičiai lygūs nuliui. Tiesė jungianti A ir B taškus – sukimosi ašis.Judėjimą , kai ašies padėtis nesikeičia vadiname sukimusi apie pastovią ašį.
Kūnas sukasi apie tašką kai nejuda tik vienas jo taškas , o visi kiti juda sferų , kurių centras yra tas taškas , paviršiumi (sferinis judėjimas).Sferiškai judantys kūnai iš dalies sukasi apie ašį , tačiau ji nuolat keičiasi , todėl vadinama momentine sukimosi ašimi.Charakteristikos:1 kinematinės-posūkio kampas, kampinis greitis , kamp. pagreitis;2 dinaminės-inercijos momentas , judesio kiekio mom.ir kinetinė energija.
Taikymas:suk. jud. dėsningumai taikomi atomo fizikoje , dangaus mechanikoje
, išorinėje balistikoje , taikoma sprendžiant daugelį technikos uždavinių.
Kampinis greitis
Bet koks k. kūno taškas M juda aplink aši spindulio R apskritimu.Taško M
kelią per laiko tarpą ∆t galima apibūdinti jam proporcingu spindulio R
posūkio kampu ∆φ.Posūkio kampo ∆φ ir laiko tarpo ∆t, per kurį spindulys R
pasisuko , santykis vadinamas vidiniu kampiniu greičiu ω.Šio santykio ribą vadiname kampiniu greičiu ω.Jis lygus posūkio kampo pirmąjai išvestinei laiko atžvilgiu.Tai vektorius, nukreiptas išilgai sukimosi ašies taip , kad, žiūrint iš jo galo, kūnas sukasi prieš laikrodžio rodyklę.
perduodami greičiu, didesniu už c.
6.6. Reliatyvistinis judančio kūno sutrumpėjimas
Judančios inercinės atskaitos sistemos (S() atžvilgiu nejudantis strypas orentuotas išilgai O(x( ašies. Šioje savoje atskaitos sistemoje strypo galų koordinatės x(1 ir x(2, laikui bėgant, nekinta ir savasis ilgis yra lygus l0=x(2-x(1. Nejudančios atskaitos sistemos (S) atžvilgiu strypas juda pernešimo greičiu v0.
Tuo pačiu metu (t1=t2=t0) išmatavę abiejų galų koordinates x1 ir x2, apskaičiuojame strypo ilgį l=x2-x1. Pagal Lorenco transformacijas, kuriose yra nejudančios atskaitos sitemos (S) laikas t, gauname [pic] arba[pic]. Daugiklis [pic] mažesnis už 1, todėl kūno savasis ilgis l0>l .
Kūno matmenys judėjimui statmena kryptimi nekinta ir visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi, todėl, kūnui judant išilgai Ox ašies, y2-y1=y(2-y(1 ir z2-z1=z(2-z(1. Aprašytą matmenų sutrumpėjimą vadiname reliatyvistiniu susitraukimu. Jis rodo, kad kūno erdviniai matmenys ta kryptimi, kuria jis juda, yra ne absoliutūs, o reliatyvūs ir nėra Lorenco transformacijų invariantai.
Reliatyvistinis susitraukimas yra specialiosios reliatyvumo teorijos kinematinis efektas. Jis nesusijęs su kokiomis nors jėgomis, veikiančiomis kūną išilgai tos krypties, kuria jis juda, ir jį gniuždančiomis. Tačiau reliatyvistinio kūno susitraukimas yra gana didelis tik tada, kai kūnas juda pakankamai dideliu greičiu.
6.7. Reliatyvistinis laiko tarpo pokytis
Nagrinėjamų įvykių vyksmo momentai nejudančioje atskaitos sistemoje užrašomi šitaip: [pic] Iš čia laiko tarpas tarp įvykių [pic] Taigi matome, kad priešingai klasikinės mechanikos išvadoms laiko tarpas tarp įvykių yra reliatyvus ir nėra Lorenco transformacijų invariantas. Laiko tarpas ∆t0
išmatuotas kartu su brūkšniuota atskaitos sistema (S’) judančiu laikrodžiu.
Tokiu laikrodžiu matuojamą laiką vadiname savuoju. Laiko tarpas tarp tų pačių įvykių ∆t, išmatuotas atskaitos sistemoje S rimties būsenoje esančiu laikrodžiu, vadinamas laboratoriniu. Kaip matyti [pic] formulėje, ∆t>∆t0, t.y. savasis laikas yra pats trumpiausias arba judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį.
1972 m. amerikiečių mokslininkai Kitingas ir Hafelis reliatyvistinį laiko sulėtėjimą užfiksavo tiesiogiai. Jie lygino skirtingais greičiais judėjusių vienodų atominių laikrodžių parodymus.
6.8. Įvykių intervalo invariantiškumas
Panagrinėkime keturmatėje įvykių erdvėje du elementariuosius įvykius.
Pirmasis įvykis nusakomas įvykių erdvės koordinatėmis x1, y1, z1, ict1, antrasis – atitinkamai koordinatėmis x2, y2, z2, ict2. Jeigu realioje trimatėje erdvėje galima sudaryti tokią koordinačių sistemą, kur atstumą tarp taškų, kurių koordinatės x1, y1, z1 ir x2, y2, z2, išreiškiame formule: [pic] tai tokia erdvė vadinama Euklido erdve. Įvykių erdvę, kurioje keturmatį įvykių intervalą, t.y. atstumą tarp dviejų elementariųjų įvykių, išreiškiame [pic] vadiname pseudoeuklidine.
Įrodysime, kad keturmatis intervalas yra Lorenco transformacijų invariantas. Judančioje atskaitos sistemoje (S’) intervalo tarp įvykių 1 ir
2 kvadratas užrašomas šitaip: [pic] Iš Lorenco transformacijų lygčių sistemos gauname [pic] Įrašę šias išraiškas į formulę ir ją pertvarkę, gauname [pic] Čia matome, kad keturmatis įvykių erdvės intervalas yra
Lorenco transformacijų invariantas, nors jį sudarantys dydžiai ∆l ir ∆t atskirai nėra Lorenco transformacijų invariantai.Formulėje [pic] matyti, kad, atsižvelgiant į tai, kuris dydis – ∆l ar c∆t – didesnis, įvykių erdvės intervalas gali būti realus, menamo ar nulinio ilgio. Šis intervalas būna realus, kai šios formulės pošaknis yra teigiamas, t.y. ∆l>c∆t. Toks intervalas dar vadinamas erdviškuoju. Menamą įvykių erdvės intervalą gauname, kai ∆lc∆t, negalima susieti priežastiniu ryšiu. Jeigu intervalas yra erdviškasis, tai galima pasirinkti tokią atskaitos sistemą, kurioje du įvykiai įvyktų vienu momentu
(∆t=0) skirtinguose erdvės taškuose. Tuomet būtų dydis ∆s2=∆l2>0. Taigi intervalas tarp šių įvykių ir toje koordinačių sistemoje yra erdviškasis.
Tačiau nėra tokios atskaitos sistemos, kurioje abu įvykiai vyktų viename taške (∆l=0), nes tuomet dydis ∆s2 būtų neigiamas. Tai prieštarauja intervalo erdviškumo sąvokai.
Laikiškasis intervalas. Jeigu intervalas yra laikiškasis, tai galima pasirinkti tokią atskaitos sistemą, kurioje sutaptų įvykių 1 ir 2 erdvinės koordinatės (∆l=0), nes tuomet ∆s2=-c2∆t2 pasidaro neigiamas, t.y.
tenkinama intervalo laikiškumo sąlyga. Tačiau nėra tokios atskaitos sistemos, kurioje šie įvykiai būtų vienalaikiai (∆t=0), nes tuomet dydis
∆s2=∆l2 pasidarytų teigiamas, kas prieštarauja intervalo laikiškumo sąlygai. Laikiškasis intervalas yra tarp įvykių, vykstančių su rimties masę turinčia dalele. Tokios dalelės judėjimo greitis v visada mažesni už c, todėl jos nueitas kelias ∆l