LOGIKA

LOGIKOS KONSPEKTAI

Ų Logikos apibrėžimas. Jos santykis su kitais mokslais. Logikos reikšmė.
Senovės graikų kalbos žodis logikos reiškia “atitinkantis protą”.Logika yra mokslas apie samprotavimo būdą.
1)Logika-mokslas apie taisyklingo mąstymo formas ir dėsnius.
2)Logika – tai mokslas tiriantis mąstymą išreiškiama kalba,jo forma ir taisyklingu.
3)Logika – tai mokslas apie visuotines įvairių rūšių intelektines operacijas,tiriamas jų formalaus korektiškumo ir praktinio rezultatyvumo aspektu.
Logika tiria minčių struktūrą,minčių ryšių dėsningumus. Kadangi mintys reiškiamos kalba,tai logika tiria kalbą kaip pažinimo priemonę.Yra labai paplitusi simbolinė logika.Ji dar vadinama matematine logika,dėl to,kad čia matematikos metodai perkelti į logiką.
Panagrinėkime teiginį “Gretimoje auditorijoje yra stalas”.Norint sužinoti,ar šis teiginys teisingas,reikia jį patikrinti patyrimu:užeiti į tą auditoriją ir patikrinti. Tos tiesos,kurias reikia patikrinti patyrimu, vadinamos empirinėmis.Bet yra ir kitokio pobūdžio tiesų – jos vadinamos loginėmis tiesomis.Norint įsitikinti jų teisingumu, nereikia jų patikrinti patyrimu.(Pvz.: Teiginio “gretimoje auditorijoje yra stalas arba joje nėra”nereikia tikrinti patyrimu. Šio teiginio teisingumą suprantame iš loginių konstantų “yra”,“arba”,“nėra” prasmės.).
Loginės tiesos – tai teiginiai,kurių patyrimu patikrinti nereikia,jų teisingumas priklauso tik nuo jų loginės struktūros.Loginės tiesos gaunamos,perdirbant pačioje žinių sistemoje esančią informaciją.Fakto tiiesos sudaromos,įgyjant informaciją,išeinančią už esamos žinių sistemos ribų.Logikos tikslas– nustatyti logines pažinimo teisingumo sąlygas,sukurti efektyvų loginio pažinimo metodą,nustatyti priemones,įgalinčias iš vienų teiginių išvesti kitus teiginius.

Šiuolaikiniuose moksluose esant aukštam teorinio mąstymo lygiui,iškyla daug loginių problemų:koks yra to ar kito mokslo naudojamas sa

amprotavimo būdas,kokios loginės priemonės gali sėkmingiausiai padėti spręsti tuos ar kitus klausimus ir pan. Tai svarbūs klausimai,nes mokslas,kaip ir kiekvienas atskiras žmogus tiria savo srities reiškinius,vadovaudamasis tam tikru samprotavimo būdu,tam tikra logika. Kuo samprotavimo būdas,tas tinklelis bus geresnis, tuo sėkmingiau bus galima spręsti problema
Logika čia ateina mokslams į pagalbą,turėdama tikslą nustatyti pačias efektyviausias logines tiesos pasiekimo priemones.Tad logika aptarnauja kitus mokslus.Šia prasme logika yra bendras metodas visiems mokslams,ji yra mokslinio mąstymo technika.Logika glaudžiai susijusi su matematika.Ryšys čia abipusis:matematika vartoja logikos sukurtas priemones,o logika ima iš matematikos kai kuriuos jos metodus ir pagal juos vysto savo teorijas.
Logika remiamasi teisės moksluose,ypač teisinių įrodymų teorijoje.
Logika glaudžiai susijusi su filosofija.Ryšys čia taip pat abipusis.Filosofija apibendrina logikos pasiekimus,remiasi jais.Iš kitos pusės,logikoje yra filosofinių problemų,kurias teisingai galima iššspręsti,tik remiantis dialektinių materializmu.Dialektinis materializmas nagrinėja bendriausius gamtos,visuomenės ir mąstymo vystymosi dėsningumus.Bendriausi gamtos ir visuomenės dėsniai – tai objektyvioji dialektika, o šių dėsnių atspindėjimas mąstyme – subjektyvioji dialektika,arba dialektinė logika.Dialektinė logika tiria,kaip mąstyme pasireiškia dialektikos dėsniai,principai.Ji tiria,kaip jame pasireiškia priešybių vienybė ir kovos dėsnis.
Simbolinė ir dialektinė logika yra du skirtingi mokslai,nes mąstymą jie tiria skirtingais požiūriais.Pati didžiausia logikos reikšmė yra ta,kad mūsų laikais ji pritaikoma technikoje,tapo priešakinės technikos metodu,tiesiogiai gausindama materialines ir dvasines gėrybes.Loginius mąstymo veiksmus galima palyginti su šachmatų žaidimo taisyklėmis,kurios nu
ustato,kaip leistina perkelti figuras iš vieno šachmatų laukelio į kita.Tačiau loginio mąstymo veiksmai negali nurodyti, kaip atrasti problemą,kaip ją išspręsti.
Logikos studijavimas pakelia intelektualinį žmogaus lygį,jo potencines intelektualines jėgas.Logika formuoja kritinį žmogaus pa – žiūrį į kitų žmonių ir į savo teiginius,pa – žiūras ,įsitikinimus.Pagal šį požiūrį, neužtenka pateikti vien tai,kas teiginį pat – virtina,bet reikia išnagrinėti ir tai,kas teiginiui prieštarauja.Kiekvieną teiginį galima laikyti teisingu,jei jis turi pakankamą teisingumo pagrindą.Norint samprotavimuose prieiti teisingų išvadų, reikia laikytis dviejų pagrindinių sąlygų :
1.Turi būti teisingi pradiniai samprotavimo teiginiai.
2.Samprotavimo eiga turi būti logiškai taisyklinga.
Logika nurodo,kaip reikia taisyklingai mąstyti.

Ų Minčių loginės struktūros.Formalizavimo metodas.
Logika nagrinėja žmogaus mąstymą.Mąstymas turi turinį ir formą. Mastymo turinys – tai objektų,apie kuriuos mąstome vaizdai,sąvokos sąmonėje.Kai sakome “Šiandien aš vyksiu į Kauną”,tai mąstymo turinį sudaro operavimas sąmonėje objektais “aš”, “ši diena”, “vykti” “Kaunas”.Logika atsižvelgia į mąstymo turinį,tačiau ji neturi tikslo jį tirti.Logika tiria kitą mąstymo proceso pusę – mąstymo formą.Norėdami išsiaiškinti, kas yra loginė mąstymo forma,panagrinėkime šį samprotavimą:
Jei šiandien pirmadienis,tai rytoj antradienis

Šiandien pirmadienis.

Vadinasi,rytoj antradienis.
Teiginį “Šiandien pirmadienis” pažymėkim raide p,teiginį “Rytoj antradienis” – raide q. Gauname:

Jei p,tai q. p yra. Vadinasi, q yra.
Ši išraiška ir yra loginė dviejų nagrinėtų samprotavimų forma.Samprotaujant pagal šią formą,pasakomas koks nors teiginys (p) ir iš jo išplaukiąs kitas teiginys (q).Paskui p patvirtinamas, ir tada išvadoje telieka patvirtinti q. Ta pačia logine forma galima iš

šreikšti įvairų turinį.
Minties loginė struktūra yra jos sudėtinių dalių sujungimo būdas,bendras skirtingo turinio mintyse.Minties loginė struktūra nustatoma formalizavimo metodu.Vartojant formalizavimo metodą,įprastinės natūralios kalbos žodžiai it teiginiai užrašomi loginiais simboliais,sukuriama dirbtinė kalba. Dirbtinė kalba pašalina įvairius dviprasmiškumus,lengvai galinčius atsirasti įprastinėje kalboje,ji įgalina ekonomiškiausiai ir tiksliausiai reikšti tyrimų rezultatus.Dirbtinės kalbos turi savo alfabetą,taisykles,pagal kurias iš alfabeto vienetų sudaromos formulės.Nežiūrint dirbtinių kalbų reikšmės,jos tėra pagalbinė priemonė įprastinei šnekamajai kalbai,nes pačias dirbtines kalbas reikia aiškinti įprastine natūralia kalba.
Kalbą sudaro dvejopo pobūdžio žodžiai. Vieni žodžiai turi siauresnę reikšmę,o kiti – labai plačią.Šių pastarųjų dėka iš siauresnės reikšmės žodžių galima sudaryti teiginius.
Pateikiame kai kuriuos žodžius,kuriuos tiria logika:tas,kuris,vienas,visi,kai kurie,yra, egzistuoja,nėra,galbūt,ne,taip,objektas,klasė
Požymis,samprotavimas,išvada,įrodymas, tiesa,klaidingumas,tikėtinumas.

Ų Teiginių logikos samprata.Teiginiai ir gramatiniai sakiniai.Paprasti ir sudėtiniai teiginiai.
Logikos mokslą sudaro visa eilė teorijų. Pagrindinė logikos teorija yra teiginių logika.Dėsningumai,nustatyti teiginių logikoje,galioja ir kitose loginėse teorijose.
Teiginių logika yra logikos teorija, nagrinėjanti teiginių ryšius,gaunamus loginių konstantų “ne”,“ir”,“arba”,“jei., tai”, “jei ir tik jei.” dėka.
Teiginiu vadinamas bet kuris sakinys,kuris yra teisingas arba klaidingas.Teiginys gali turėti ir kokią nors kitą reikšmę:gali būti neapibrėžtas,tikėtinas,galimas ir pan.Tačiau teiginių logikoje jie gali būti teisingi arba klaidingi.Teisingumas ir klaidingumas vadinami teiginio reikšmėmis.(Pvz.:Mūsų gatve važiuoja automobilis).Teiginiai skiriasi nuo gramatinių sakinių.Ne visi gramatiniai sakiniai gali būti laikomi teiginiais.Klausiamieji sakiniai nėra nei teisingi nei klaidingi.Galima kalbėti tik apie tai ar

r klausimas keliamas teisingai,ar neteisingai.Iš gramatinių sakinių teiginių logikoje teiginiais laikomi tiesioginiai sakiniai. Tiesioginiuose sakiniuose tvirtinama,kad yra tam tikri objektai arba jų nėra,kad tie objektai turi arba neturi tam tikrų požymių; tiesioginiuose sakiniuose nurodoma,kad yra tam tikri faktai arba jų nėra. Tokie sakiniai yra teisingi arba klaidingi.Teiginių logikoje teiginys nedalomas į jokias sudėtines dalis,jis nagrinėjamas kaip vieninga nedaloma visuma.Atskiri teiginiai yra žymimi mažosiomis raidėmis:p,q,r,s.Kiek- vieną teiginį reikia žymėti atskira raide.
Visi teiginiai skirstomi į paprastus ir sudėtinius.

Paprastu teiginiu vadinamas teiginys,kuris į jokius kitus teiginius neskaidomas.

Sudėtiniu teiginiu vadinamas teiginys,
Sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtu loginėmis jungtimis.
Loginių jungčių yra keturios: ir;arba;jei. tai;jei ir tik jei.,tai.

Paprasto teiginio teisingumas nustatomas ne loginiu būdu,o patyrimu,stebėjimu, eksperimentu.

Sudėtinio teiginio teisingumas nustatomas loginėmis priemonėmis.Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė priklauso:
1)nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių;
2)nuo jį sudarančių loginių jungčių pobūdžio.

Ų Loginis neigimas.Konjunkcija, disjunkcija.
Loginis neigimas reiškiamas žodžiais “ne”, “nėra”,“netiesa,kad.”,“klaidinga,kad.”. Teiginio “Kambaryje yra stalas” neigimas reiškiamas taip :
1)Kambaryje nėra stalo.
2)Netiesa,kad kambaryje yra stalas.
3)Klaidinga,kad kambaryje yra stalas.
Visi šie teiginiai lygiaverčiai.Logikoje neigimas žymimas tam tikru simboliu – brūkšniu,kuris dedamas virš teiginio.Teiginį pažymėjus raide p,jo neigimas žymimas `p ir skaitoma: ne p;netiesa,kad p;klaidinga, kad p.
Kyla klausimas,koks yra santykis tarp pradinio teiginio p ir jo neigimo `p teisingumo požiūriu.Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentelė.
Kambaryje yra stalas (p);
Kambaryje nėra stalo (`p)

P `p

Teisinga Klaidinga

Klaidinga Teisinga

Žymiai trumpiau loginio neigimo teisingumo lentelė sudaroma taip:

P `p

T k

K t
Raidės t ir k yra žodžių “teisinga” ir “klaidinga” santrumpos.Iš lentelės matome, jei pradinis teiginys p teisingas,tai jo neigimas `p klaidingas, ir atvirkščiai.
Teisingumo lentelė kitaip dar vadinama teisingumo matrica.Dvigubas neigimas lygiavertis teigimui.Šis teiginys vadinamas dvigubo neigimo dėsniu.Užrašomas taip:
`p ~ p.

Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys.Logikos dėsniai kitaip dar vadinami bendrareikšmėmis išraiškomis – tai visuomet teisinga išraiška.Patikrinti,ar iš – raiška yra loginis dėsnis,galima grymai loginėmis priemonėmis.Reikia išraiškai sudaryti teisingumo lentelę.Dvigubo neigimo dėsnio teisingumo lentelė tokia:

p `p `p `p~p

t K t t

k T k t
Iš matricos matome,kad išraiška `p~p visais atvejais teisinga.Trigubas neigimas lygiavertis neigimui.
Konjunkcija:konjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys,sudarytas iš kelių paprastų teiginių,sujungtų logine jungtimi “ir”.
Kojunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių.
Kambaryje yra stalas (p).
Prie lango stovi kėdė (q).
Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kėdė (p×q).
Konjunkcijos matrica bus :

P q p×q

T t t

T k k

K t k

K k k
Kojunkcija teisinga tik tada,kai teisingi visi jos nariai.
Ų Disjunkcija: Disjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys,sudarytas iš kelių paprastų teiginių,sujungtų logine jungtimi “arba”.Disjunkcijos formulė yra :
pVq .Šiai formulei atitinka teiginys “Nusikaltimą padarė asmuo A arba nusikaltimą padarė asmuo B”.
Jungtis “arba” turi dvi reikšmes – griežtąją ir silpnąją.Priklausomai nuo to skiriamos dvi disjunkcijos rūšys – grieštoji disjunkcija ir silpnoji disjunkcija.Griežtojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik vienas.Griežtoji disjunkcija žymima simboliu Ś (viešuje taškas).Griežtos disjunkcijos matrica yra tokia:

p q pŚq

t t k

t k t

k t t

k k k
matricos matome,kad griežtoji disjunkc. teisinga tada,kai teisingas tik vienas jos narys.Lengva įrodyti šį teiginį.(Paėmus monetą ir išmetus į viršų,jai nukritus monetos viršuje bus arba vytis arba skaičius).
Silpnojoje disjunkc. iš kelių galimų atvejų įvykdomų laikomas bent vienas,tačiau gali būti ir daugiau.ji žymima simboliu Ś (be taško).Silpnoji disjunkc.klaidinga tik tada, kai klaidingai visi jos nariai.Silpnoji disjunkcija yra bendrsnio,abstraktesnio pobūdžio,negu griežtoji.

Ų Implikacija, ekvivalentiškumas.
Implikacija yra sudėtinis teiginys,sudarytas iš dviejų paprastų teiginių,sujungtų logine jungtimi “jei .,tai”.
Teiginys “Jei šiandien pirmadienis,tai rytoj antradienis” yra implikacija,sudaryta iš dviejų paprastų teiginių(šiandien pirmadienis (p), rytoj antradienis (q)).
Turine jei p,tai q.Jungtį “jei.,tai”žymėsime ženklu ®.Implikacijos formulė ši:

p®q.
Pirmas implikacijos narys vadinamas antecedentu, o antrasis narys – konsekventu.Išraiška p®q skaitoma dvejopai:
1)jei p,tai q; 2)iš p seka q.Tad implikacijos prasmė ta,kad iš antecedento seka konsekventas . Jungtis “jei.,tai”- sudėtingiausia iš visų loginių jungčių,ji turi daug reikšmių, pagal kurias skiriamos implikacijos rūšys. Svarbiausios implikacijos rūšys:
a)Kauzalinė implikacija išreiškia priežastinį ryšį tarp reiškinių.
b)Griežtoji implikacija išreiškia būtiną ryšį tarp reiškinių.
c)Formalioji implikacija išreiškia ryšį tarp objekto ir jo požymio.
d)Materialioji implikacija yra pati bendriausia pagrindinė implikacijos rūšis.Materialiojoje implikacijoje neatsižvelgiama nei į priežastinius,nei į būtinus at kokius nors kitus ryšius.Formulė p®q ir yra materialiosios implikacijos simbolinis užrašymas. Implikacijos matrica yra tokia:

p q p®q

t t t

t k k

k t t

k k t
Implikacija klaidinga tik tada,kai iš teisingo antecendento seka klaidingas konsekventas.
Ekvivalentiškumas:Du teiginiai sujungti logine jungtimi “jei ir tik jei.,tai”, vadinami logiškai ekvivalentiškais,arba lygiaverčiais.Loginis lygiavertiškumas žymimas simboliu ~.Išraiška: p~q skaitoma dvejopai: 1)jei ir tik jei p,tai q; 2)p ekviva – lentiškas q.Loginio lygiavertiškumo matrica

p q p®q

t t t

t k k

k t k

k k t
Loginio lygiavertiškumo taisyklė tokia: du teiginiai logiškai lygiaverčiai,jei jų teisingumo reikšmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

Ų Indukcijos metodas.
Lotynų kalbos žodis inductio reiškia įvedimą.Dažnai samprotavimų prielaidos būna bendro pobūdžio teiginiai,t.y.teiginiai apie visus klasės objektus,pvz.,“Kiekvienos bibliotekai priklausančios knygos 17 psl.yra bibliotekos antspaudas”.Bendro pobūdžio teiginiai gaunami,ištyrus (stebėjimu,eksperimentu)atskirus atvejus, nustačius,kad atskiri klasės objektai turi tam tikrą savybę,ir padarius apibendrinančią išvadą – tą savybę turi visi tos klasės objektai.
Indukcija yra toks samprotavimo būdas,kai, ištyrus atskirus klasės objektus ir nustačius, kad jie turi tam tikrą savybę,daroma išvada, kad tą savybę turi visi tos klasės objektai.
Indukcija galima todėl,kad tikrovės reiškiniai dėsningai kartojasi.Indukcijos išvada gali būti teisinga, bet gali būti ir klaidinga.Todėl apskritai kalbant indukcijos išvada yra tikėtina.
Indukcijos rūšys:
Skiriamos pilnoji ir nepilnoji indukcija.
Pilnoji indukcija yra tada,kai išvada apie visus klasės objektus daroma,remiantis kiekvieno tos klasės objekto ištyrimu.
(Pvz.:Tarkime,kad šeimą sudaro keturi asmenys:tėvai,duktė ir sūnus.
Motina baigusi aukštąjį mokslą;
Tėvas baigęs aukštąjį mokslą;
Duktė baigusi aukštąjį mokslą;
Sūnus baigęs aukštąjį mokslą.
Vadinasi,visi šeimos nariai baigę aukštąjį mokslą.
Pilnosios indukcijos išvada visada teisinga, jei tiksliai ištiriami visi klasės objektai.
Eksperimentiniuose ir aprašomuosiuose moksluose tiriant klases,kurias sudaro pakankamai didelis arba neapibrėžtas objektų skaičius,vartojama nepilnoji indukcija.Ji yra tada,kai ištiriami tik kai kurie klasės objektai ir nustatoma,kad jie turi tam tikrą savybę,o paskui daroma išvada,kad ta savybę turi visi tos klasės objektai.
Nepilnosios indukcijos schema tokia:
Objektas x1 turi savybę F.

– ||– x2 – ||–

– ||– x3 – ||–
Objektai x1,x2,x3 . nesudaro visos klasės.
Išvada:Vadinasi,tikėtina,kad kiekvienas klasės A objektas turi savybę F.
Nepilnoji indukcija yra dvejopa – populiarioji ir mokslinė.
Populiariąja vadinama tokia indukcija,kai išvada,jog visi tam tikros klasės objektai turi tam tikrą savybę,daroma,remiantis tuo, kad ištirtų kai kurių tos klasės objektų tarpe nebuvo surastas toks objektas,kuris tos savybės neturėtų.Populiariosios indukcijos išvada tikėtina.Jei prieštaraujančio atvejo nebuvo surasta,tai dar nereiškia,kad jo iš viso nėra.
Indukcija,vartojama kartu su dedukcija, vadinama moksline indukcija.
Priklausomai nuo dedukcijos vaidmens skiriami keli mokslinės indukcijos variantai.
a) Indukcija,atrenkant atvejus,kuriuose negalimi atsitiktiniai apibendrinimai.
b) Indukcija,kurios išvada patikrinama dedukcija.
Deduktyviai pagrysta indukcijos išvada yra teisinga.

Ų Analogija.
Senosios graikų kalbos žodis analogija reiškia taisyklingą santykį tarp objektų,jų proporciją ir atitikimą.Analogija yra toks samprotavimas,kai iš dviejų objektų panašumo vienais požymiais daroma išvada, kad tie objektai panašūs ir kitais požymiais.
Analogijos schema yra tokia:
Objektas x turi požymius a,b,c,d.
Objektas y turi požymius a,b,c
Vadinasi,tikėtina,kad objektas y turi požy- mį d.
Pateiktoji analogijos samprata vadinama struktūrine analogija – ji nustato dviejų objektų struktūrė panašumą.Analogijos iš – vada tikėtina.
Analogijos išvados patikrinimas:
Kadangi analogijos išvada tikėtina,tai galima kalbėti apie jos tikėtinumo laipsnį.
Veiksniai nuo kurię priklauso analogijos išvados tikėtinumas:
1) Požymių,bendrų lyginamiems objektam, reikšmingumas.
2) Lyginamiems objektams bendrų esminių požymių skaičius.
3) Perkeliamas požymis turi būti to paties tipo,kaip ir bendri objektų požymiai.
Klaidos analogijoje:
Pirmoji analogijos klaida padaroma tada,kai lyginami objektai neturi bendrų esminių požymių.Ši analogijos klaida grubi,retai tepasitaikanti.
Kita analogijos klaida.Pvz.,nustatoma,kad objektai x ir y turi bendrus požymius a,b,c. Objektas x turi požymį d, o objektas y turi požymį n.Pasirodo,kad požymis n nesuderi- namas su požymiu d.Tuo tarbu daroma išvada,kad objektas y vis tik turi požymį d.Ši klaida atsiranda dėl to,kad nežinoma arba ignoruojama,jog požymis n nesuderi- namas su požymiu d,kad jei objektas turi požymį n,tai jam jau negalima priskirti požymio d.
Analogijų vaidmuo moksle:
Moksle analogijos plačiai taikomos,jos – viena iš mokslo pažangos sąlygų.Kibernetinės mašinos buvo sukurtos pagal analogiją su gyvaisiais organizmais. Kadangi organizmas yra pati save reguliuo- janti sistema,tai kilo mintis sukurti save reguliuojančias mašinas,kurioms betarpiš- kas žmogaus valdymas nereikalingas.Vis dėlto analogija tėra pradinė tyrimų stadija, tai dar ne įrodymas.Patikrinus analogijos išvada kartais būna ir klaidinga.

Ų Sudėtinių teiginių neigimas. Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas, žinant paprastų teiginių teisingumo reikšmes
Neigti galima ir sudėtinius teiginius. Sudėtinų teiginių neigimo procedūra ta pati, kaip ir paprastų teiginių. Konjunkcijos neigimas: `p`× `q; Disjunkcijos neigimas: `p`Ś`q; Implikacijos neigimas: `p`®`q; Lygiavertiškumo neigimas: `p`~`q.
Konjunkcijos neigimas: Tegul turime teiginį “Netiesa, kad liudytojo A ir liudytojo B parodymai teisingi.”. Tai nereiškia, kad abiejų liudytojų parodymai neteisingi. Manyti, kad jie abu meluoja reikštų sudaryti išraišką `p`×`q~ (`p ×`q), tačiau ši išraiška nė-ra logikos dėsnis. Tai rodo teisingumo lentelė:
p q `p `q p×q
T T K K T
T K K T K
K T T K K
K K T T K

`p`×`q `p×`q `p`×`q~(`p`×`q)
K K T
T K K
T K K
T T T
Turime 2 teiginius- p ir q. Parašome visus jų galimus teisingumo ir klaidingumo variantus. `p ir`q teisingumo reikšmes išvedame remdamiesi, loginiu neigimu. Teinio p×q teisingumą teisingumą pagal p ir q teisingumo reikšmes. Konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. `p`×`q yra p×q neigimas. Jei p×q teisingas, tai `p`×`q klaidingas, ir tt. Pas-kutiniame lentelės stulpelyje taikome lygiavertiškumo taisyklę: 2 teiginiai lygiaverčiai (abu teisingi ar klaidingi), kai jų reikšmės vienodos. Bet teiginiai `p`×`q ir `p×`q antroje ir trečioje eilutėse nevienodi savo reikšmėmis- nelygiaverčiai. Reiškia, išraiška `p`×`q~ (`p×`q)nėra visuomet teisingas teiginys, nėra logikos dėsnis. Jį reikia suprasti taip: liudytojas A sako netiesą arba liudytojas B sako netiesą (arba abu, jei disjukcija silpna). Visa tai užrašoma: `p`×`q~(`pŚ`q) “netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne-p arba Ne-q”. Duotoji išraiška yra visuomet teisingas teiginys , logikos dėsnis.
Disjunkcijos neigimas. Teiginys “ne-tiesa, kad liudytojo A arba liudytojo B parodymai teisingi” reiškia ne tai, kad A sako netiesą arba B sako netiesą, o kad A sako netiesą ir B sako netiesą.: `p`Ś`q~(`p×`q). Išraiškos 1)`p`×`q~(`pŚ`q), 2) `p`Ś`q~(`p×`q) vad de Morgano taisyklėmis: 1) konjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario neigimui, 2)disjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.
Implikacijos neigimas: `p`®`q~(p×`q)- “netiesa, kad iš p seka q” lygiavertė “p ir ne-q”.
Lygiavertiškumo neigimas: `p`~`q~[(p®q)®`q`®`p]. “netiesa, kad p lygiavertis q” lygiavertė išraiškai “jei iš p seka q, tai netiesa, kad iš q seka p”.
Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas, žinant paprastų teiginių teisingumo reikšmes:
Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teininių teisingumo reikšmių, tai žinant paprastų teiginių p, q, r. teisingumo reikšmes, lengvai galima nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Taikomos neigimo, konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, lygiavertiškumo taisyklės. Pvz.: Tarkime, kad teiginyje (p×q)®r teiginys p teisingas (t), q klaidingas (k), r klaidingas (k).Tai žinant , lengva nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Pirmiausia p,q,r pakeičiame jų teisingumo reikšmėmis. Gauname (t×k)®k. atliekame veiksmų, nurodytų skliaustuose- konjunkciją. Čia konjunkcija yra klaidinga. Tai ir įrodome:
k®k.

t,
nes kai iš klaidingo teiginio seka klaidingas, implikacija teisinga. Tad pagal turimas teisingumo reikšmes sudėtinis teiginys (p×q)®r teisingas.

Ų Daugiareikšmės teiginių logikos samprata. Trijų reikšmių logika
Logika, kurioje kiek vienas teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas, vad dvireikšme logika.
Yra teiginių, kurie nei teisingi, nei klaidingi. Daugelis ateities įvykius išreiškiančių teiginių nėra nei teisingi, nei klaidingi tuo metu, kada jie pasakomi. Tokie teiginiai tampa teisingais ar klaidingais, kai tai, kas juose pasakoma, įvyksta ar neįvyksta tikrovėje. Bet ne visi ateities įvykius numatantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi. Jei ateities įvykį numatantis teiginys tiesiog seks mokslo dėsnio, tai jis teisingas ir jo pasakymo metu. Daug teiginių, kurie nėra nei teisingi, nei klaidingi, būna nukreipti į praeitį.
Vadinasi, spėjimus išreiškiantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi, šie teiginiai pasakymo metu yra neapibrėžti, galimi, tikėtini.
Logika, kurioje teiginiai, be teisingumo ir klaidingumo reikšmių, įgauna ir kt reikšmes (tikėtini, neapibrėžti, galimi ir pan), vadinama daugiareikšme logika. Ji negriauna dvireikšmės logikos. Tie dėsningumai, kurie buvo numatyti dvireikšmėje logikoje, išlieka ir daugiareikšmėje, nors ir ne visi. Daugiareikšmėje logikoje, be teisingumo ir klaidingumo, teiginiams priskiriamos ir kt reikšmės. Taigi, negalimo trečiojo dėsnio daugiareikšmėje logikoje tenka atsisakyti. Daugiareikšmėje logikoje atsiranda kai kurie na-uji dėsningumai, kurių dvireikšmėje logikoje nebuvo. Yra įvairių daugiareikšmės logikos sistemų, kur naudojamos 3, 4, 5 ir daugiau reikšmių.
3-jų reikšmių logika- paprasčiausia daugiareikšmės logikos sistema. Joje teiginys gali įgauti 1 iš 3-jų reikšmių- būti teisingas, klaidingas, įgauti 3-čią reikšmė (tikėtinas, neapibrėžtas ir pan)
Trečiųjų reikšmė žymime skaičiumi 3.
Loginis neigimas 3-jų reikšmių logikoje:
p `p
T K
K T
3 3
Paskutinė lentelės eilutė nurodo, kad jei teiginys turi 3-ąją reikšmę, tai jo neigimas tai pat turi 3-ąją reikšmę.
Konjunkcija
p q p×q
T T T
T K K
T 3 3
K T K
K K K
K 3 K
3 T 3
3 K K
3 3 3

Loginių jungčių taisyklės, galiojusios 2-reikšmėje logikoje, galioja ir daugiareikšmėje. 3-čia eil.: p teisingas, q tikėtinas, konjunkcija p×q tikėtina. Ši konjunkcija negali būti klaidinga, nes ji būna klaidinga, jei nors vienas jos narys yra klaidingas, o čia nėra nei vieno klaidingo nario. 6-oje eil p klaidingas, q tikėtinas, konjunkcija p×q klaidinga, nes p klaidingas. Paskutinėje eil p tikėtinas, q tikėtinas, konjunkcija p×q tikėtina. Ji negali būti teisinga, nes jos abu nariai nėra teisingi ir ji negali būti klaidinga, nes jos nariai nėra klaidingi.
Disjunkcija:
p q pŚq
T T T
T K T
T 3 T
K T T
K K K
K 3 3
3 T T
3 K 3
3 3 3
3-jų reikšmių logikoje, kaip ir 2-jų, disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai. 3-oje eil p teisingas, q tikėtinas, disjunkcija pŚq teisinga, nes vienas jos narys teisingas. Analogiškai ir 7-oje eil. 6-oje eil p klaidingas, q tikėtinas, disjunkcija pŚq tikėtina. 8-oje eil- tas pats. 9-oje eil p tikėtinas, q tikėtinas, disjunkcija pŚq tikėtina. Kadangi nėra nei vieno teisingo nario, ji negali būti teisinga. Ji negali būti ir klaidinga, nes abu nariai tikėtini, bet ne klaidingi.
Implikacija:
p q p®q
T T T
T K K
T 3 3
K T T
K K T
K 3 T
3 T T
3 K 3
3 3 T
3-čia eil: p teisingas, q tikėtinas implikacija p®q tikėtina. Implikacija klaidinga tik tuo metu, kai iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Jei iš teisingo antecedento seka tikėtinas konsekventas, tai tai visa implikacija tikėtina. 6-a eil: p klaidingas, q tikėtinas, implikacija p®q teisinga, nes iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys. 7-a eil: p tikėtinas, q klaidingas, implikacija p®q tikėtina. Klaidingas konsekventas seka ne iš teisingo, bet iš tikėtino antecedento, o todėl implikacija tikėtina. 9-ta eil teigis, kad iš tikėtino p seka tikėtinas q, implikacija p®q reisinga.
Lygiavertiškumas:
p q p~q
T T T
T K K
T 3 3
K T K
K K T
K 3 3
3 T 3
3 K 3
3 3 T

Kaip ir 2-reikšmėje logikoje, teiginys p~q teisingas tik kai jį sudarantys teiginiai p irq vienodi savi reikšmėmis.
3-jų reikšmių logikoje galioja negalimo ketvirtojo taisyklė. Pgal ši dėsnį, teiginys “rytoj aš dainuosiu” yra teisingas ar klaidingas, arba nei teisingas, nei klaidingas, tad ketvirtos reikšmės nėra. 3-reikšmėje logikoje negalioja antecedento teigimas, reiškiamas išraiška [(p®q)×p]®q. dėsnis daugiareikšmėje logikoje, kaip ir 2-reikšmėje, yra visuomet teisingas teiginys (išraiška).

Ų Silogistika
Silogistika- pagr senosios logikos teorija, nustatanti priemones išvadoms iš prielaidų gauti. Silogizmą sudaro 3 dalys: prielaidos, išvada ir taisyklė, įgalinanti iš tam tikrų prielaidų padaryti tam tikras išvadą. Silogizmo prielaidos ir išvada yra a, e, I, o tipo sprendiniai. Silogizmo prielaidos vad premisomis. Silogizmą sudaro 2 premisos ir 1 išvada, pvz.: Kiekvienas nusikaltimas yra įstatymų pažeidimas. Apiplėšimas- nusikaltimas. Vadinasi, apiplėšimas yra įstatymų pažeidimas. Sąvokos, sudarančios silogizmo premisas, vad silogizmo terminais. Kiek-viename silogizme yra 3 terminai. Terminas, einąs išvados subjektu, vad mažuoju terminu iž žymimas S. terminas, einąs išvados predikatu, vad didžiuoju terminu ir žymimas P. maža-sis ir didysis terminai vad kraštutiniais terminais. Terminas, esąs abiejose premisose ir nesąs išvadoje vad viduriniu terminu ir žymimas M. Pavizdyje “apiplėšimas” yra S, “įstatymų pažeidimas”- P, “nusikaltimas”- M. Vidurinis terminas susieja susieja mažąjį ir didįjį terminus premisose. Atlikęs tai, vid terminas išvadoje išnyksta. Silogizmas yra dedukcinis samprotavimas, kuriame nustatomas ryšys tarp kraštutinių terminų išvadoje, remiantis jų santykiu su viduriniu terminu premisoje. Premisa, kurios udėtyje yrs didysis terminas- didžioji, kur mažasis- mažoji. Silogizme didžioji premisa gali sekti po mažoios, bet paprastai didžioji būna pirmoje vietoje. Pvz, turime premisas: Kai kurios gėlės nekvepia. & Visos gėlės- augalai. Darant išvadą, pirmiausia reikia nustatyti vidurinį terminą- tą kuris pasikartoja abiejose premisose- “gėlės”. Vadinasi, išvadoje šios sąvokos jau nebus. Išv sudarys sąvokos “augalai” ir “nekvepia”, o taip pat žodžiai, nurodantys sprendinio kiekybę ir kokybę. Gauname išv “kai kurie augalai nekvepia”.
Silogizmų taisyklės:
1 Kiekviename silogizme turi būti tik 3 terminai- mažasis, didysis, vidurinis. Kai terminų mažiau ar daugiau (terminų suketverinimas), išvados negalima gauti. Pvz, Kelmai raunami mašinomis. & Šis jaunuolis yra kelmas.- čia 4 terminai.
2 Vidurinis terminas turi būti suskirstytas bent vienoje premisoje. Pnz, Profesoriai moka kelias užsienio kalbas.& Kai kurie studentai moka kelias užsienio kalbas.
3 Terminas, nesuskirstytas premisoje, negali būti suskirstytas išvadoje. Pvz, iš teiginių “Visi studentai (M) laiko egzaminus (P).” Ir “Petraitis (P) – ne studentas (M)” neseka “Petraitis (S) nelaiko egzaminų (P)”, nes “laikyti egzaminus” premisoje nesuskirstytas, o išvadoje- suskirstytas.
Premisų taisyklės:
1 Iš 2-jų dalinių premisų negalima padaryti jokios išvados.
2 Jei viena premisa dalinė, tai ir išvada dalinė. (vidurinis terminas apima tik dalį kurio nors kraštutinio termino).
3 Iš 2-jų neigiamų premisų negalima padaryti išvados (čia vidurinis terminas ne susieja, o išskyria kraštutinius terminus).
4 Jei viena premisų neigiama, tai ir išvada neigiama.
5 Jei abi premisos teigiamos, tai ne-galima padaryti neigiamos išvados.
Silogizmo figūros:
Silogizmo figūros- silogizmo formos, skiriamos pagal vidurinio termino padėtį premisose. Yra 4 silogizmo figūros:
1 Vidurinis terminas yra didžiosios premisos subjektas ir mažosios predikatas.
2 Vidurinis terminas yra abiejų premisų predikatas.
3 Vidurinis terminas yra abiejų premisų subjektas.
4 Vidurinis terminas yra didžiosios premisos predikatas ir mažosios subjektas.
Figūrų schemos:

Išvados visur yra S-P formos.
Silogizmo figūrų modusai- tai silogizmo figūrų atvejai, besiskiriantys premisų ir išvados kiekybe ir kokybe. Priklausomai nuo to, kokie iš sprendinių (a,e,i,o) sudaro premisas, skiriami silogizmo modusai. Moduso pir-moji raidė žymi didžiąją premisą, antroji- mažąją, trečioji- išvadą. Modusų yra 64, bet 45 iš jų neatitinka silogizmo taisyklių, taigi lieka tik 19 taisyklingų modusų. Norint nustatyti, kuria silogizmo figūrai priklauso modusas, reikia žinoti kiekvienos figūros taisykles.

Pirmosios figūros:
1 Didžioji premisa bendras (teig ar neig) sprendinys.
2 Mažoji premisa teigiamas (bendras ar dalinis) sprendinys.
Pagal šias taisykles, 1-jai figūrai priklauso 4 modusai: aaa, eae, aii, eio.

Antrosios figūros:
1 Didžioji premisa bendra.
2 Viena iš premisų neigiama.
Pagal šias taisykles 2-jai figūrai priklauso šie 4 modusai: eae, aee, eio, aoo.

Trečiosios figūros:
1 Mažoji premisa teigiama.
2 Išvada- dalinis sprendinys.
Nustatoma, kad 3-ai figūrai priklauso šie madusai: aai, iai, aii, eao, oao, eio.

Ketvirtosios figūros:
1 Jei didžioji premisa teigiama, tai mažoji premisa bendra.
2 Jei viena premisų neigiama, tai didžioji bendra.
4-os figūros modusai: aai, aee, iai, eao, eio.
Kiek vienam modusui viduramžių schilastai davė pavadinimus:
aaa- barbara, eae- celarent,
eae- cesare, aee- camestres,
aai- darapti, iai- disamis,
aai- bramantip, aee- camenes,
aii- datisi, iai- damaris,
aii- darii, eio- festino,
eao- felapton, eao- fesapo,
eio- ferio, aoo- baroco,
oao- bocardo, eio- fresison,
eio- ferison.

Šiuolaikinės formaliosios logikos po-žiūriu, silogistika yra gana ribota samprotavimų teorija. Silogistikos schemos aprašo gana nedidelę samprotavimų dalį, be to netobula pati pati aprašymo technika. O šiuolaikinė formali logika neturi panašių trūkumų. Šiuolaikinės logikos požiūriu galima aiškinti dvejopai- klasių teorijos ir savybių teorijos požiūrių.

Ų Įrodymo struktūra. Įrodymų klasifikacijos
Įrodymas- tai kurio nors teiginio teisingumo nustatymas, remiantis kitais teiginiais, kurių teisingumas jau žinomas. Moksle įrodomi ne tik atskiri teiginiai, bet ir ištisos teorijos. Kiek-vieną įrodymą sudaro 3 dalys: a) įrodymo tezė (ar įrodymo išvada), b) įrodymo argumentai (ar įrodymo pa-grindas, prielaidos), c) įrodymo būdas (ar įrodymo demonstravimas).
Tėzė yra tas teiginys, kurį reikia įrodyti. Argumevtai – tie teiginiai, kuriais remiantis įrodoma tėzė. Įrodymo būdas- logonis tezės išvedimo iš argumentų procesas. Kiekvieno įrodymo loginė struktūra yra tokia, kad iš argumentų loginiu būdu samprotavimu išvedama tezė: argumentai ® tėzė.
Logika formuluoja tam tikrus reikalavimus tėzei ir argumentams, kurių reikia lakytis, kad įrodymas būtų logiškas. Bet daugiausia logika tiria įrodymo būdus.
Pvz.: Jonaitis nesveikas. Tai rodo pa-kilusi temperatūra. Jei jis būtų sveikas, jo temperatūra svyruotų apie 36,5°. Jo temperatūra yra 38,5°. Be to jis blogai jaučiasi. Jei jis būtų sveikas, jis negalėtų taip jaustis.
Šio įrodymo tezė- teiginys “Jonaitis nesveikas”. Argumentas- visa kiti teiginiai. Įrodymo būdas- tai loginė struktūra, pagal kurią samprotaujama, ją surandame, ją formalizuodami: Jei Jonaitis būtų sveikas(p), tai jo temperatūra svyruotų apie 36,5° (q). jei Jonaitis sveikas (p), jis negalėtų blogai jaustis (`r).
Jonaičio temperatūra 38,5° (`q). Jonaitis blogai jaučiasi (r).
Vadinasi, Jonaitis nesveikas (`p).
Šios tezės įrodymo būdo loginė struktūra:
(p®q)×(p®`r)
`q × r._______
Vadinasi, `p.
Šio įrodymo būdo struktūra yra logikos dėsnis [(p®q) ×`q]® `p. Įrodymo būdo sudėtingumą apsprendžia tezės pobūdis. Sudėtingose mokslo teorijose vartojami sudėtingi įrodomo būdai. Nesudėtingai tezei įrodyti pakanka nesudėtingo įrodymo būdo.
Įrodymas remiasi pakankamo pagrindo principu: teiginys laikomas teisingu tada, kai jis įrodytas ta prasme, kad pateiktas pakankamas to teiginio teisingumo pagrindas. Teiginio pakankamas pagrindas yra visuma teisingų teiginių, iš kurių grindžiamasis teiginys seka pagal logikos dėsnius. Pa-kankamą kurio nors teiginio pagrindą sudaro būtini argumentai ir pakankami argumentai. Kartais būna taip, kad teiginys grindžiamas būtinais, bet nepakankamais argumentais, tda jis nėra įrodytas. Kai teiginys grindžiamas būtinais ir pakankamais argumentais, tai jie yra pakankamas teiginio teisingumo pagrindas. Bet kartais teiginys gali būti grindžiamas nebūtinais, bet pakankamais argumentais, kurie yra pakankamas teiginio teisingumo pa-grindas. Pakankamo pagrindo principas tinka tik dedukciniams samprotavimams ir netinka nededukciniams- kai iš teisingų prielaidų seka tikėtina išvada. Šis principas reikalauja pa-grįsti teiginius, neleidžia daryti bet kokių išvadų, reikalauja aklai netikėti, protingai patvirtinti teiginius.
Įrodymai skirstomi į rūšis pagal įrodymo tikslą ir pagal įrodymo būdą.
Pagal įrodymo tikslą jie būna dvejopi. Jei nustatomas tezės teisingumas, tai toks įrodymas vad tiesiog įrodymu, o jei nustatomas jos klaidingumas, tai toks įrodymas vad paneigimu.
1 Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti reikšmingi argumentai. Argumentus paneigiant, įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turime teisę pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, jais galima bet ką įrodyti. Turime reikalauti, kad būtų pateikti teisingi argumentai, o jei įrodantis asmuo to negali padaryti, tai tu-rime teisę jo tezės nelaikyti teisinga. Gali būti ir taip, kad kas nors pasako teisingą tezę, bet nemoka jos įrodyti ir pateikia klaidingus argumentus. Argumentai ir tezė susieti imoplikacijios ryšiu. Jei antecedentas klaidingas, tai dar nereiškia, kad teisingoje implikacijoje konsekventas klaidingas. Teisingas teiginys kartais seka iš klaidingo teiginio.
2 Įrodymo būdo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būdą, nustatoma, kad iš pateiktų argumentų tezė logiškai neseka, o seka ne nagrinėjamoji, o kuri nors kita. Įrodymo būdo paneigimas yra pats silpniausias paneigimas.
3 Išvedamų iš tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės pa-neigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys, išvestas iš tezės klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. Iš teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. Šį pa-neigimą užrašome [(p®q) ×`q]® `p. paneigimu remiasi kritika ir savikritika. Tačiau kritika turi būti konstruktyvi- įrodžius kieno nors teiginių klaidingumą, dar reikia įrodyti jiems priešingų teiginių teisingumą.
Pagal įrodymo būdą įrodymai skirstomi į tiesioginius ir netiesioginius.
Tiesioginis įrodymas yra tada, kai tezė išvedama iš pateiktų argumentų. Jei argumentai teisingi, tai iš jų pagal logikos dėsnius išvesta tezė taip pat teisinga.
Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas , įrodant tezei prieštaraujančių teiginių klaidingumą. Netiesioginio įrodymo variantai:
1 Visų klaidingų atvejų paneigimas- pirmiausia nurodomi visi galimi atvejai- visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra žinoma, kad viena iš tezių teisinga, bet nežinoma, kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, išskyrus vieną. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(pŚq) ×`q]®p.
2 Įrodymas “nuo priešingojo”. Šis netiesioginio įrodymo variantas reiškiamas teiginių logikos dėsniu p®[(`p®q) × (`q®p)].

Ų Pagrindinių teiginių logikos dėsniai – ekvivalentiškumai.
1. Tapatybės dėsnis. Bet kuri mintis, samprotavimo procese, turi būti ta pati sau pačiai. A~A.
2. Prieštaravimo dėsnis. Neįmanoma, kad du prieštaraujantys teiginiai būtų teisingi.
Du nesuderinti teiginiai negali būti vienu metu teisingi a*a
3. negalimo trečio dėsnis. Kiekvienas teiginys yra arba teisingas arba klaidingas, trečios galimybės nėra.
a v a
4. Pakankamo pagrindo dėsnis. Kiekviena teisinga mintis turi būti pakankamai pagrįsta a*b→c.
5. Demorgano taisyklės:

a*b~(a V b) p V q~(p * q).
norint patikrinti demorgano taisykles, ar jos ištikrųjų ekvivalentiškos, reikia sudaryti teisingumo lenteles kiekvienai atskirai, jei galinis rezultatas bus ekvivalentiškas vienos teisingumo lentelės kitai, vadinasi šios funkcijos ekvivalentiškos

Ų Loginės klasės skirstymas ir klasifikacija. Klasių skirstymo (klasifikacijos) taisyklės.

Klasės skirstymas yra klasės padalijimas į poklasius, remiantis tam tikru pagrindu.
Kiekvieną skirstymą sudaro:
1. skirstomoji klasė
2. skirstymo nariai – tai poklasiai, gauti skirstant duotąją klasę.
3. Skirstymo pagrindas – tai požymis kuriuo remiantis skirstoma klasė.
Klasės skirstymas nėra visumos skaidymas į dalis. Norint išvengti šios supainiojimo reikia skirstomąją klasę ir gautus žodžius susieti su žodžiu “kiekvienas”. Yra dvi skirstymų rūšys:
1. skirstymas pagal požymio kitimą. Jis užrašomas taip: A≡( B1UB2UB3.). Pvz kėsinimas į piliečių asmeninę nuosavybę skirstomi į vagystę ir apiplėšimą, taip skirstoma pagal kėsinimosi būdo kitimą.
2. Skirstymas pagal požymio būvimą ar nebuvimą. Arba dichotominis skirstymas. Skirstant klasę šiuo skirstymu, ji skiriama į du poklasius. Vieno poklasio elementai turi tokį požymį, kurio neturi antro poklasio elementai Pvz sakinius galima skirstyti į tiesioginius ir netiesioginius, klausiamuosius ir neklausiamuosius. A≡(BUB).
Skirstant klases reikia laikytis šių taisyklių:
1. Skirstymas turi būti tolygus. Tarp skirstymo narių ir skirstomosios klasės turi būti lygiareikšmiškumo santykis, pažeidus šią taisyklę daromos dvi klaidos:
a. skirstymas su bereikalingais nariais. Pvz skirstant knygas į romanus, neromanus ir vadovėlius.
b. Nepilnas skirstymas. Pvz skirstant knygas į vadovėlius ir romanus.
2. Skirstyti reikia vienu pagrindu.
3. Skirstymo nariai turi vienas kitą šalinti. Tarp gautų poklasių turi būti nuošalės santykis, atskiras elementas gali priklausyti tik vienam poklasiui. Pvz skirstant knygas į įdomias ir neįdomias ir į brangias ir nebrangias, tada kiekviena knyga patenka į du poklasius, o to neturi būti.
4. Skirstymas turi būti nenutrūkstamas. Klase reikia skirstyti į artimiausius ją sudarančius poklasius.
Atskiras klasių skirstymo atvejis yra klasifikacija.
Klasifikacija yra toks skirstymas, kuriame objektai suskirstomi į klases taip, kad kiekviena klasė kitų klasių atžvilgiu užima pastovia apibrėžtą vietą, o jos tikslas susisteminti žinias.
Kiekviena klasifikacija yra skirstymas, bet ne kiekvienas skirstymas yra klasifikacija. Jai tinka visos klasių skirstymo taisyklės. Skiriamos kelios klasifikacijų rūšys:
1. Pagalbinė klasifikacija sudaroma, siekiant lengviausiai surasti objektus kitų objektų tarpe. Pavardžių suskirstymas pagal abėcėlę žiniaraštyje, bet tai nesako, kad pirmas numeris mokysis geriausiai, studento vieta žiniaraštyje – neesminis studento požymis.
2. Natūralioji klasifikacija – tai objektų suskirstymas į klases, remiantis jų esminiais požymiais. Pvz gyvūnų klasifikacija zoologijoje.
3. Informatikoje naudojamos abėcėlinė ( abėcėlinis knygų katalogas) ir
4. dešimtainė(objektai skirstomi į 10 klasių, kurių kiekviena skirstoma į ne daugiau kaip 10 poklasių) klasifikacija .
5. linijinė klasifikacija – klasifikuojamų objektų išdėstymas hierarchine tvarka.
6. Dalykinė klasifikacija – medžiagos išdėstymas pagal tiriamųjų objektų pobūdį.
Klasifikacija – svarbi mokslinio tyrimo priemonė padedanti susisteminti žinias, tokiu būdu tas žinias lengviau įsiminti.

Ų Išsprendžiamumo problema teiginių logikoje. Pagr teiginių logikos dėsniai – išvedimo taisyklės.
Visos loginės išraiškos skirstomos į tris grupes: 1. Visuomet teisingos išraiškos. 2. Visuomet klaidingos išraiškos. 3. Kartais teisingos (atitinkamai – kartais klaidingos) išraiškos. Išsprendžiamumo problemos esmė yra ta, kad, pavartojus apibrėžtą loginių veiksmų skaičių, galima nustatyti, ar nagrinėjamoji išraiška yra visuomet teisinga.
Išsprendžiamumo problemos sprendimas matricų metodu.
Išsprendžiamumo problemos sprendimas suteikiant loginėms išraiškoms normaliąją formą. Normaliąją formą išraiška turės tik tada, kai joje bus tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija.
Pagrindiniai teiginių logikos dėsniai:
1)Dvigubo neigimo dėsnis

p (dvig.paneigtas) ~ p
2)Prieštaravimo dėsnis:

p×`p
3)Negalimo trečiojo dėsnis:
pŚ`p
4)Iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys:
p®(`p®q)
5)De Morgano taisyklės:
p×q~(`pŚ`q)
pŚq~(`p×`q).

Ų Loginė klasė ir jos struktūra. Loginės klasės sąvokos. Sąvokų sudarymas.
Teiginiai gali būti nagrinėjami įvairiais požiūriais. Pvz “kiekviena silkė yra žuvis”, galima nagrinėti savybių teorijos požiūriu, galima tirti, kokie objektai sudaro silkių ir žuvų visumą, kiek tų objektų yra ir kokie jų tarpusavio santykiai. Taigi požymius galima nagrinėti kaip objektų klases, ir tai bus nagrinėjama loginių klasių teorijos požiūriu.
Loginė klasė – visuma objektų, turinčių bendrus požymius. Pvz studentai, dėstytojai, mokiniai ir t.t sudaro loginę klasę “žmonės”, nes jie visi turi bendrus požymius. Logikos požiūriu pasaulis atrodo kaip loginių klasių visuma.
Objektai, sudarantys loginę klasę, vadinami loginės klasės elementais, bet logines klases sudaro netik elementai, bet ir tų elementų deriniai, tie elementų deriniai vadinami poklasiais.
Ta pati klasė gali būti ir klase ir poklasiu, tai priklauso su kokia klase ją lyginame.
Jei parašyta x є A vadinasi elementas x priklauso klasei A, jei parašyta A ( B , tai vadinasi, kad klasė A įskiriama į klasę B.
Pagal elementų skaičių klasės būna trjopos:
1.Klasės, kurias sudaro daug elementų. Jeigu klasę sudaro daugiau nei du elementai, tai toji klasė priskiriama klasėms, kurias sudaro daug elementų, šiai kategorijai priskiriamos ir neapibrėžtos klasės.
2.Klasės, kurias sudaro vienas elementas, šios klasės gramatiškai gali būti formuluojamos ir daugiskaitoje.
Pvz “ asmenys, skridę pirmuoju lėktuvu.

3.Klasės kurios neturi nei vieno elemento, dar jos vadinamos nulinėmis arba tuščiosiomis klasėmis. Pvz “amžinasis variklis”, “stįebuklai”, “Dievas” ir t.t. Tokios klasė logikoje žymimos 0. Nulinę klasę galima būtų apibrėžti kaip klasę, kurios kiekvienas elementas įskiriams ir neįskiriamas į tą klasę A: V x (x є A · x є A). Visiška priešingybė nuliniai klasei yra universalioji klasė, ją sudaro visi objektai tos srities, kurią turime galvoje, spresdami vienokius ar kitokius klausimus. Kai operuojame kokia nors klase, ji visuomet mąstoma tam tikroje objektų srityje, arba universaliojoje klasėje. Ji žymima 1.
Loginę klasę galima nagrinėti ir kitu požiūriu, tai turinio požiūriu, aiškinant klasę sudarančių objektų požymius. Tokiu atveju vietoj termino klasė vartojamas terminas sąvoka.
Sąvoka yra mąstymo forma, išreiškianti esminius ir bendruosius objektų požymius.
Esminiais objekto požymiais vadinama tokia grupė požymių, kurių kiekvienas skyrium objektui būtinas, o visi kartu yra pakankami, kad jų dėka tam tikrą objektą būtų galima atskirti nuo jam gretimų objektų. Neesminiai objekto požymiais laikomi tokie požymiai, kuriuos objektas gali turėti arba neturėti, tačiau jų neturėdamas, objektas nenustoja būti tuo, kuo jis yra.
Tarp esminių ir neesminių objekto požymių nėra griežtos ribos, kadangi tiriant vienu požiūriu tie patys požymiai gali būti esminiai, o kitu neesminiai.
Bendrieji požymiai būdingi visiems tam tikros klasės objektams.
Esminiai ir bendrieji požymiai ir sudaro sąvokos turinį. Sąvokų struktūra išreškiama predikatų logikos priemonėmis.
F(x) – struktūra sąvokų, išreiškiančių savybes;
R(x,y) – struktūra sąvokų išreiškiančių santykius.
Kai sąvokos, išreiškiančios savybes ir santykius, priskiriamos objektams kaip predikatai, tada ir sudaromi teisingi arba klaidingi teiginiai. Sąvokos dalyvauja, sudarant teiginius, kuriuos nuolat tikriname, vertiname teisingumo požiūriu.
Sąvokos sudaromos abstrakcijos procese. Abstrakcijos procesas – tai atsyjimas mintyse nuo objektų kai kurių požymių ir kartu mus dominančių požymių išskyrimas.
Skiriamos kelios abstrakicijų rūšys:
1.Tapatybės abstrakcija yra atsijimas nuo objektų nepanašių, besiskiriančių požymių ir kartu vienodų, tapačių požymių išskyrimas. Pvz daug žmonių yra, kurie greitai nudirba darbus, o kiti lėtai. Išskyrus šį požymį, sudaroma sąvoka “greitadarbiai”.
2.Izoliuojanti abstrakcija – tai požymio atskyrimas nuo objekto ir kitų to objekto požymių. Matydami tekant upei, sudarome sąvoką tekėjimas.
3.Idealizacija – jos dėka mąstyme sukuriami objektai, kurių negalima sukurti patyrimu. Geometrija vaizduoja tobulas figuras, nors tokių nebūna tikrovėje.Šie objektai kuriami taip:
a. Ryšium su tuo tam tikros tiriamo objekto savybės taip pat tolydžiai krinta.
b. Tarę, kad sąlygų poveikis tiriamajam objektui lygus nuliui, sukuriame mąstyme tam tikrą idealizuotą objektą.
Mokslinis pažinimas be idealizacijos neįmanomas.

Ų Santykiai tarp loginių klasių(sąvokų).
Tarp loginių klasių gali būti šie santukiai:
1. Lygiareikšmiškumo santykis yra tada, kai dvi klasės turi tuos pačius elementus. Pvz tarp klasės garsiakalbai ir prietaisai garsą skleisti yra lygiareikšmiškumo santykis, nes abi klases sudaro tie patys elementai. Grafiškai šie santykiai atvaizduojami skritulinėmis schemomis. Lygiareikšmiškumo santykis užrašomas taip: A≡B, tai reiškia: A(B •B(A. Skaitome klasė A įskiriama į klasę B ir atvirkščiai.

2. Subordinacijos santykis – jis yra tada, kai viena klasė sudaro dalį kitos klasės. Brėžinys rodo, kad klasė A įskiriama į klasę B. Pvz studentai įskiriami į klasę žmonės ir t.t

3. Perkirtimo santykis yra tada, kai vienos klasės dalis sudaro kitos klasės dalį. Brėžinys rodo, kad dalis A klasės elementų yra ir B klasės elementai ir atvirkščiai. Užbrūkšniuota dalis yra tie elementai, kurie bendri abiejoms klasėms. Pvz studentų ir verslininkų, nes dalis studentų verslininkai, o dalis

verslininkų yra studentai.

4. Nuošalės santykis yra tada, kai dvi klasės neturi jokių bendrų elementų.

Tokios yra keturios santykių tarp klasių rušys, iš kurių susidaro įvairūs santykiai tarp trijų ir daugiau klasių.
Santykis tarp Inteligento, mokytojo ir verslininko galima būtų pavaizduoti taip:

Toks santykis vadinamas koordinacijos santykiu.
Tačiau skritulinėmis schemomis yra nepatogu atvaizduoti 4 ar daugiau
klasių santykius, tokius santykius galima atvaizduoti daugiakampių pagalba.

Ų Sąvokos apibrėžimo samprata. Apibrėžimo struktūra. Pagrindinės apibrėžimų rūšys.
Sąvokos turinį atskleidžia loginis veiksmas, vadinamas sąvokos apibrėžimu. Dar kitaip sąvokos apibrėžimas vadinamas definicija.
Apibrėžimas yra loginis veiksmas, kuriuo:
1. nustatomi kriterijai tiriamajam objektui atskirti nuo kitų objektų, nurodant jo specifiką.
2. Nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmė.
Kitaip apibrėžimą galima aiškinti kaip veiksmą, glaustai išreiškianti sąvokų turinį, bet dažniausiai apibrėžimas suprantamas taip:
Apibrėžimas yra veiksmas, taip atskleidžiantis esminius objekto požymius, kad apibrėžiamasis objektas atskiriamas nuo gretimų objektų. Tokia apibrėžimo samprata kelia du tikslus:
1. Atskleisti esminius apibrėžiamojo objekto požymius.
2. Apibrėžiamąjį objektą atskirti nuo visų gretimų objektų.
Esminius objekto požymius reikia nurodyti ne bet kaip, bet taip, kad juos nurodę, apibrėžiamąjį objektą išskirtume nuo visų gretimų objektų.
Apibrėžimą sudaro trys dalys;
1. Apibrėžiamoji išraiška – tai sąvoka, kuri apibrėžiama.
2. Apibrėžiančioji išraiška – sąvokos, kuriomis apibrėžiama.
3. Jungiančioji išraiška – ji sudaro ryšį tarp apibrėžiamosios ir apibrėžiančiosios sąvokų, ji reiškiama žodeliais “yra, reiškia, vadinama, tas pat, kas”
Pvz:
Apibrėžiamoji išraiška jungiančioji išraiška apibrėžiančioji išraiška

Loginė klasė yra visuma objektų, turinčių bendrus požymius

Mokiniu vadinamas vidurinės mokyklos moksleivis
Apibrėžimų rūšys:
1. Apibrėžimas gimine ir rūšiniu skirtumu. Giminė – klasė, o rūšis – poklasis. Pvz norime apibrėžti logika , logika yra mokslas, atrodytu, kad viskas gerai, nes logika – poklasis, o mokslas –klasė, bet mokslų yra daug, todėl šis apibrėžimas nepilnas, reikia logika išskirti iš kitų mokslų. Logika tiria samprotavimo būdą – tai yra jos poklasinis skirtumas. Vadinasi logika yra mokslas apie samprotavimo būdą.
2. Ostensinis apibrėžimas (ostendere – parodymas) yra žodžio reikšmės nustatymas, betarpiškai nurodant objektą, kurį žodis žymi. Šiuo apibrėžimu tenka naudotis mokantis svetimų kalbų, paprasčiausiai parodomas tas objektas apie kurį kalbama.
3. Operacinis apibrėžimas, nurodo veiksmus, kuriuos objektas atitinka, jį sudaro trys dalys:
Q1. Patikrinamoji operacija;
Q2. Patikrinamosios operacijos rezultatas.
Q3. Apibrėžiamoji sąvoka.

Sudaroma formulė Q1(x)→[Q3(x)~Q2(x)], ji skaitoma taip: jei objektui x įvykdoma patikrinamoji

operacija, tai objektas x yra tas ir tas, jei ri tik jei yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas

Pvz jei įdėjus į arbatą dedamas šaukštelis su milteliais, tai tie milteliai yra cukrus, jei ir tik jei arbata

pasidaro saldi. Kartais reikia naudoti silpnesnę operacinio apibrėžimo formulę:

Q1(x)→[Q3(x) →Q2(x)] skaitomas taip: jei objektui x įvykdoma patikrinamoji

operacija, tai jis yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas, objektas x yra tas ir tas.Pvz

jei daiktą priartinus prie geležinių daiktų, tai jei tas daiktas pritrauks tuos geležinius daiktus, tai tas

daiktas yra magnetas.
4. Genetinis apibrėžimas, jame objekto specifika nustatoma nurodant, kaip objektas atsiranda arba yra sukuriamas.
5. Indukcinis apibrėžimas – įgalina iš kai kurių pradinių teorijos objektų, pritaikius jiems tam tikras taisykles sudaryti naujus teorijos objektus, jie skirstomi į dvi dalis:
a. vadinamieji tiesioginiai punktai – jais nustatoma tam tikra objektų sritis, nurodant, pagal kokias taisykles iš pradinių objektų sudaromi nauji objektai.
b. Netiesioginiais punktais nurodoma, kad jokių kitų objektų, išskyrus apibrėžiamus tiesioginiais punktais nėra.
6. Deskripcinis apibrėžimas įgalina apibrėžti individualius daiktus, pavartojant jotą – operatorių (tas x). jo pavidalas. ΓxQ(x). Tas x, kuris turi predikatą Q. Vilnius yra tas miestas, kuris yra Lietuvos sostinė.
Visi apibrėžimai dar skirstomi į:
1. Nominalinius, šiuo apibrėžimu nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmė, jo struktūra tokia terminu...vadinama... arba žodis... reiškia... arba ženklas.. žymi.. Ir pan.
2. Realinius, šie apibrėžimai atskleidžia ne vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmę, bet paties apibrėžiamojo objekto specifinius požymius. Visus realinius apibrėžimus galima paversti nominaliniais. Realinį apibrėžimą Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys pavertę nominaliniu gausime Terminu logikos dėsnis vadinamas visuomet teisingas teiginys. Nominalinius apibrėžimus galime paversti į realinius lygiai taip pat.

Ų Sąvokų apibrėžimo taisyklės
Kad apibrėžimai būtų logiški ir teisingi reikia laikytis šių taisyklių:
1. Pakeičiamumo taisyklė: apibrėžiamąją ir apibrėžiančiąją išraiškas galima pakeisti viena kita. Nesilaikant šios taisyklės galima padaryti dvi klaidas.
a. Per platus apibrėžimas. Pvz studentai yra žmonės, besimokantis mokymo įstaigoje. Toks apibrėžimas per platus, nes ir moksleiviai mokosi mokslo įstaigoje.
b. Per siauras apibrėžimas. Pvz studentas yra žmogus besimokantis universitete, per siauras nes studentas gali mokytis akademijoj ar aukštesniojoj mokykloj.
2. Vienareikšmiškumo taisyklė: vienos teorijos ribose kiekvieną apibrėžiantįjį turi atitikti tik vienas apibrėžiamasis. Sudarytu apibrėžimu galime apibrėžti tik vieną objektą. Iš kelių teisingų apibrėžimų pasirenkamas vienas, kurį patogiausia vartoti.
3. Apibrėžime neturi būti rato. Ratas apibrėžime loginė klaida, ji pasireiškia dvejopai:
a. Apibrėžiamoji ir apibrėžiančioji sąvokos yra tos pačios. Pvz tinginys – žmogus, kuris tingi.
b. Kai objektas apibrėžiamas sąvoka, kuri pati tampa aiški tik apibrėžiamosios sąvokos dėka. A apibrėžiama B, o B apibrėžiama A.
4. Apibrėžimas turi būti griežtas, aiškus ir tikslus. Apibrėžime sąvokas reikia vartoti tikslia reikšme, neleisti palyginimai ir t.t. Pvz senatvė yra gyvenimo saulėlydis, tai yra neapibrėžimai, o tik vaizdingi palyginimai.

21. Veiksmai su loginėmis klasėmis: klasių atimtis, apibendrinimas, susiaurinimas.
Klasių atimtimi vadinamas veiksmas, kuriuo iš vienos klasės išskiriami elementai, sudarantys kitą klasę.
Pvz. Iš klasės studentai iš skyrę studentus baigusius daugiau nei du kursus, gauname klasę studentai baigę mažiau nei du kursus. Grafiškai atrodys taip: klasė studentai – A baigę daugiau nei du kursus- B. Tarp šių

Klasių yra perkirtimo santykis. Užbrūkšniuota brėžinio dalis yra dviejų

Klasių veiksmo rezultatas: klasė studentų nebaigusių dviejų kursų. Atimtis

Užrašoma A-B. Klasių atimties rezultatas yra klasė tokių elementų, kurių

Kiekvienas priklauso klasei A ir nė vienas nepriklauso klasei B.

Klasės apibendrinimas – tai veiksmas, kuriuo išplečiama klasės apimtis.

Pvz klasę logikos vadovėliai galima apibendrinti įskyrus į vadovėlių klasę, o vadovėlių klasę

apibendrinti įskiriant juos į knygų klasę. Apibendrinimas negali būti

beribis, jo riba plačiausios apimties klasė, jos vadinamos kategorijomis.

Kategorijos – abstrakčiausios sąvokos.

Klasės susiaurinimas – atvirkščias klasės apibendrinimui veiksmas, kuriuo

sumažinama klasės apimtis. Susiaurinimo riba – klasės elementas

Ų Veiksmai su loginėmis klasėmis: klasės neigimas, klasių sudėtis ir daugyba.
Klasės neigimu vadinamas veiksmas, kuriuo iš klasės A gaunama klasė ne-A. Ji žymima A. Pvz klasės studenrai neigimas yra klasė nestudentai. Grafiškai klasės neigimas vaizduojamas taip:

Skritulys žymi klasę A, o užbrukšniuotas paviršius klasę ne-A.
Visas stačiakampio plotas – tai universalioji klasė. Sudėję klasę ir jos
Neigimą gaunama universali klasė. A+ A=1, skaičius 1 žymi universalią klasę. Klasės neigimas kartais dar vadinamas klasės papildymu. Dvigubas klasės neigimas lygiavertis pradinei klasei.
Dviejų klasių sudėtimi vadinamas veiksmas, kuriuo gaunama nauja klasė, ir šią naują klasę sudaro visi abiejų pradinių klasių elementai. Sudėtis žymima simboliu U. Klasių sudėtis atitinka teiginių logikos jungtį “arba”. Galima užrašyti taip: (A U B) ~ Vx(xє A V xє B).
Klasių daugyba yra bendrų elementų suradimas dauginamose klasėse.
Pvz klasė geri studentai sudaroma sudauginus klases studentai ir geri žmonės.
Sudauginus nuošalės santykyje esančias klases, gaunama nulinė klasė, nes tos klasės neturi bendrų elementų. Dauginti galima ne tik dvi bet ir daugiau klasių. Klasių daugyba žymima ženklu ∩, klasių daugyba atitinka jungtį “ir”. Klasių daugyba užrašoma pagal formulę: (A∩B) ~ Vx(xє A * xє B). Grafiškai galime pavaizduoti taip:

Ų Bendra predikatų logikos samprata. Savybių ir santykių teorija. Kvantoriai.
Yra tokių samprotavimų, kurių išvadų negalime pagrįsti teiginių logikos priemonėmis. Pvz, Jonas myli Vanda. Vand myli Petrą. Vadinasi Jonas myli Petrą. Šio samprotavimo loginį korektiškumą galima pagrįsti, tiriant prielaidų ir išvadų struktūrą.
Teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma, o Predikatų logika yra logikos teorija, nagrinėjanti vidinę teiginio struktūrą.
Teiginį sudaro objektas ir požymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas. Teiginio objektas kartais vadinamas subjektu, o požymiai – predikatais.
Skiriami tokie požymiai: savybės, santykiai ir pavadinimai.
Savybė yra toks požymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui.
Santykis yra toks požymis, kurį galima priskirti mažiausiai dviem objektams.
Savybės – vienviečiai predikatai, nes jas galima priskirti vienam objektui.
Santykiai – daugiaviečiai predikatai, nes juos galima priskirti mažiausiai dviem objektams.
Predikatų logika nagrinėja savybes ir santykius. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi dalis – savybių teorija ir santykių teoriją.
Propozicinė funkcija – tai funkcija, nustatanti atitikimą tarp tam tikros srities objektų, kurie yra jos argumento reikšmės, ir teisingumo bei klaidingumo išvadose.
Išraiškose
X yr studentas
X yra mokslas
X yra aukštoji mokykla
Kintamasis x vadinamas šių funkcijų argumentu. Propozicinės funkcijos virtimas teisingu arba klaidingu teiginiu priklauso, nuo to, kokiam objektui požymis priskiriamas , priklauso nuo argumento x reikšmių.
Antras būdas propozicinei funkcijai paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais (quantum-kiek).
Kvantorius teiginį apibūdina kiekybiškai, jis nurodo kokiam objektų skaičiui požymis priskiriamas arba nepriskiriamas. Kvantoriniai žodžiai gali būti: “visi, kiekvienas, bet kuris, nė vienas, kai kurie, keli, keliolika, vienintelis, yra, egzistuoja, daug, be galo daug”., jiems priklauso ir visi kiekiniai skaitvardžiai. Yra du pagrindiniai kvantoriai:
1. egzistavimo kvantorius, jis žymimas Эx, jis skaitomas yra toks (tokie) x. Egzistavimo kvantorius prieš propozicinė funkciją, taip ji virsta teiginiu. Pvz yra toks x , kuris yra studentas, arba, yra toks x, kuris yra mokslas., galima šiuos teiginius skaityti ir daugiskaitoje. Egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus skaičius objektų turi tą požymį, jis tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turįs tokį požymį, bet jų gali būti ir daugiau
2. Bendrumo kvantorius, juo tvirtinama, kad požymį turi kiekvienas nagrinėjamos klasės objektas, jis žymimas simboliu Vx ir skaitomas kiekvienas x. Pvz kiekvienas x, jei x dėstytojas, tai x inteligentas. Propozicines funkcijas susiejus su egzistavimo ar bendrumo kvantoriais galima gauti klaidingus teiginius.
Yra ir daugiau kvantorių. Apribojantys kvantoriai jie užrašomi taip: VxP(x) F(x) arba ЭxP(x) F(x)ir skaitomi taip: kiekvienas x turi predikatą F, jei jis turi predikatą P; yra toks x, kad kai x turi predikatą F, jis turi ir predikatą P.
Skaitinis kvantorius, jis nurodo, kad yra tikslus skaičius n tokių x kurie turi predikatą F: Эxn F(x).
Begalybės kvantorius teigia, kad yra begalinis skaičius tokių x, kurie turi predikatą f: Эx∞F(x).
Kvantoriai atlieka loginį operatorių vaidmenį. Operatoriumi logikoje vadinamas simbolis arba kombinacija simbolių, kurie, pavartoti kokioje nors loginėje formoje, sukuria naują formą. Konjunkcija, disjunkcija ir kitos teiginių logikos jungtys, kvantoriai – tai visi loginiai operatoriai.

Ų Dedukcinis metodas.
Dedukcija yra išvadų gavimas iš prielaidų pagal logikos dėsnius. Dedukciniuose samprotavimuose iš teisingų prielaidų visuomet turime gauti teisingą išvadą.
Teorija, kurioje taikomas dedukcinis metodas, vadinama dedukcine teorija.
Dedukcinė teorija – tai sąvokų ir teiginių sistema, turinti šiuos požymius:
1. visi dedukcinės teorijos teiginiai teisingi.
2. dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo, o iš jų pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti dedukcinės teorijos teiginiai.
3. Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius sąvokų neapibrėžiama, ir šiomis neapibrėžiamomis sąvokomis apibrėžiamos visos kitos dedukcinės teorijos sąvokos.
Dedukcinis metodas kitaip dar vadinamas aksiominiu, dėl to, kad pradiniai teorijos teiginiai, kurie laikomi teisingais be įrodymo, vadinami aksiomomis. Teiginiai iš aksiomų išvedami pagal iš anksto nustatytas taisykles. Deduktyviai kuriant kokią nors mokslo teoriją, remiamasi:
1. Konkrečia tos mokslo teorijos medžiaga.
2. Logika, nes iš tos teorijos aksiomų teiginiai išvedami pagal logikos dėsnius.
Sudarant kokią nors mokslo discipliną dedukciniu metodu, kai kurie tos disciplinos teiginiai laikomi aksiomomis ir iš aksiomų, pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti jos teiginiai.
Kiekvieną dedukcinės sistemos teoremą galima išvesti iš bet kurios tos sistemos aksiomų grupės.
Dedukcinė teorija nagrinėjama dviem požiūriais:
1. Sintaksiniu, reiškia, kad kalba formalizuojama, ji nagrinėjama kaip sistema formalių teiginių susietų tarpusavyje pagal tam tikras formalias taisykles. Šiuo požiūriu dedukcinė teorija suprantama kaip visuma kurios nors kalbos ženklų ir išraiškų, kurie nagrinėjami tik kaip grafiniai ženklai, sutvarkyti pagal bendras kalbos sudarymo ir loginio išvedimo taisykles. Pvz teiginių logika, sudaryta deduktyviai.
2. Semantiniu, išaiškina, kokius objektus ji reiškia, kokiai objektų sričiai ji taikoma. Visos teoremos, įrodytos, remiantis kuria nors aksiomų sistema, yra teisingos kiekvienoje tos sistemos interpretacijoje.
Dedukcinei teorijai keliami trys pagrindiniai reikalavimai:
1. aksiomų nepriklausomumas
2. Neprieštaringumas. iš aksiomų turi būti negalima išvesti kokio nors teiginio ir to teiginio neigimo.
3. Pilnumas. Kiekvieną joje suformuluotą teiginį galima įrodyti arba paneigti.
Teorija deduktyviai sudaroma tada, kai ji jau pakankamai ištirta, išvystyta.

Ų Įrodymų klaidos (formalios neformalios). Pralogizmai. Sofizmai. Paralogizmas yra loginė klaidda, padaroma netyčia, neapgalvotai arba iš anksto apgalvotai, tačiau neturint tikslo ką nors apgauti. Kartais netyčia padaroma loginių klaidų. Priežastis- nepakankama loginė mąstymo kultūra. Sudėtinguose samprotavimuose kartais galima apsirikti. Kartais loginė klaida padaroma iš anksto apgalvotai ir siūloma tą klaidą surasti. Tai yra paralogizmas. Sofizmas yra sąmoningai sudarytas klaidingas samprotavimas, kuris pateikiamas kaip teisingas. Sofizmai būdavo sudaromi nevienareikšmiškai vartojant sąvokas, teiginius. Pvz.,: Tai ko jūs nepametėt, turite. Jūs nepametėt ragų. Vadinasi, turite ragus. Sąvoka “nepametėt vartojama netiksliai. Negalima pamesti tai, ko neturėjome. Sofizmų meistrai buvo jėzuitai. Sofizmai skirstomi į individualius ir socialinius. Individualūs- atskiras asmuo siekia apgauti, suklaidinti kitą asmenį. Socialiniai – siekiama suklaidinti grupę, klasę, visuomenę

Ų Įrodymo taisyklės(tezei, argumentams, įrodymo būdui). Įrodymo tezės taisyklė: tezė turi būti tiksliai apibrėžta ir išlikti ta pati įrodymo procese.Reikalavimas, kad tezė įrodymo procese turi išlikti ta pati, reiškia, kad įrodomos tezės negalima pakeisti kita teze. Tezės pakeitimo klaida pasireiškia įvairiai: 1. Įrodoma ne pasakytoji tezė, bet visai kita. Iš pateiktų argumentų seka kita tezė, o ne ta , kuri įrodinėjama. 2. Įrodymo “į žmogų” panaudojimas. Šiuo atveju apeliuojama į tezę pateikusio žmogaus savybes. nurodoma, kad pvz:, jis rimtas mokslininkas, jo darbai plačiai žinomi, vadinasi, reikia jo iškelta teze tikėti. Arba priešingai. Tokie įrodymai logikoje neleistini. Logika tepripažįsta vieną įrodymą – “į tiesą”, t.y. pačios tezės tyrimą nepriklausomai nuo ją pateikusio žmogaus savybių. Įrodymo “į žmogų’ klaida yra ir tada, kai įrodoma ne iš esmės, bet remiantis citatomis iš mokslo autoritetų veikalų. Šiuo atveju sakoma klaida “į autoritetą”.citatos, kad ir iš žymaus mokslininko veikalo, tezės neįrodo. Mokslininkais reikia remtis su saiku, protingai, logiškai. 3. Tezė gali būti pakeista vadinamuoju įrodymu “į publiką”. Šiuo atveju tezė įrodinėjama ne pagal logikos reikalavimus, bet, loginį argumentavimą pakeitus emociniu argumentavimu, daromas poveikis žmogaus jausmams, siekiant sukelti simpatiją, pritarimą vienam dalykui ir nepritarimą kitam. Apeliuojama ne į protą, bet į jausmus. Argumentų taisyklės. 1. Argum gali būti teisingi ir pakankamas pagrindas tezei. Reikalavimas kad argum būtų teisingi, yra visai aiškus.klaidingais argumentais galima įrodyti bet kurią tezę. Klaidingų argumentų pateikimas vad pagrindine klaida. Argum turi pakakti nustatant tezės teisingumą. 2. Argum teisingumas turi būti įrodytas nepriklausomai nuo tezės. Nesilaikant šios taisyklės, gaunama rato klaida: tezė įrodoma tam tikrais argumentais, o argumentų teisingumas įrodomas remiantis ta pačia teze. Įrodymo būdas turi būti logiškas, t.y. tezė iš argumentų turi būti išvedama, laikantis logikos reikalavimų.

Ų Netiesioginio įrodymo būdai. (Tezės) paneigimo būdai. Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas, įrodant tezei prieštaraujančių teiginių klaidingumą. Kai įrodoma, kad tezei prieštaraujantis teiginys klaidingas, tai iš to seka, kad įrodomoji tezė teisinga. Yra 2 netiesioginio įrodymo būdai: 1) Visų klaidingų atvejų paneigimas. Šiame netiesioginiame įrodyme pirmiausia nurodomi visi negalimi atvejai – visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra žinoma, kad viena iš tezių teisinga,, tačiau nežinoma kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, išskyrus tą vieną, ir ta likusi nepaneigta tezė turi būti teisinga. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(pŚq)·`q]ąp. Šis netiesioginis įrodymas teisingas tada, kai nurodomos visos galimos tezės ir paneigiamos visos klaidingos tezės. 2) Įrodymas“nuo priešingojo”. Šis netiesioginio įrodymo variantas reiškiamas teiginių logikos dėsniu: pą[(`pąq)·(`qąp)].Tezės teisingumas įrodomas taip. Tariama, kad ji klaidinga ir teisinga jai prieštaraujanti tezė `p. Paskui iš tezės `p išvedamas sekmuo q. Toliau įrodoma, kad q klaidingas. Tada turi būti klaidinga ir tezė `p, o pp teisinga. Tezės paneigimo būdai: 1) Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti pateikiami argumentai. Argumentus pateikiant, įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turim teisę pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, tai jais galima bet ką irodyti. Būtina, kad pateikti argumentai būtų teisingi, priešingu atveju galime tezės nepriimti ir nelaikyti jos teisinga. Tezė ir argumen- tas susieti implikacijos ryšiais. Teisingas teiginys kartais seka iš klaidingo teiginio. 2) Įrodymo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būdą, nustatoma, kad iš pateiktų argumentų tezė logiškai neseka. Nurodoma, kad iš pateiktų argumentų seka ne nagrinėja- moji, o kuri nors kita tezė. Įrodymo būdo paneigimas yra silpniausias paneigimas. Asmuo gali pasakyti teisingą tezę, tik nemokėti jos įrodyti, nesurasti argumentų arba nemokėti argumentų sutvarkyti taip, kad iš jų logiškai sektų tezė.3) Išvedamų iš tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės paneigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys (sekmuo), išvestas iš tezės, klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. Iš teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. Tezė – p, sekmuo – q. pąq. q – kllaidingas, vadinasi p klaidingas. Paneigimu remiasi kritika ir savikritika.

Leave a Comment