TIESINIO OPTIMIZACIJOS UŽDAVINIO SPRENDIMAS
1 Tiesinis optimizavimo uždavinys ir jo bendrasis matematinis modelis.
Inžineriniai uždaviniai konstrukcijų projektavime dažnai yra susiję su jų elementų skerspjūvių parinkimu ir gali turėti daug sprendinių. Kaip yra žinoma konstrukcijai parinkti skerspjūviai turi tenkinti tam tikras sąlygas. Jos gali būti stipruminės, standumo, stabilumo, pusiausvyros ir kt. Šios visos sąlygos yra aprašomos matematinėmis lygtimis arba nelygybėmis, bendru atveju: [pic] [pic]
[pic] [pic].
Skaičių [pic] rinkinys tenkinantis šią sąlygų sistemą yra vadinamas leistinuoju sprendiniu: [pic].
Konstrukcijų skaičiavimo uždavinyje apribojimų išreikštų lygybėmis skaičius dažniausiai yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, todėl leistinų sprendinių yra labai daug. Pasirinkus tam tikrą funkciją [pic] išreikštą per šiuos kintamuosius, galima leistinuosius sprendinius palyginti šios funkcijos atžvilgiu ir priklausomai nuo to koks ekstremumas keliamas funkcijai [pic] galima gauti geriausią sprendinį šios funkcijos atžvilgiu, todėl mūsų uždavinyje ši funkcija bus vadinama uždavinio optimalumo kriterijumi. Todėl leistinasis taškas x, kuriam esant optimalumo kriterijus [pic] įgyja ekstreminę reikšmę (max arba min) priklausomai nuo keliamo tikslo, optimalus taškas bus laikomas optimaliu sprendiniu. Toks uždavinys, kuriame tarp daugybės sprendinių reikia rasti geriausią ir vadinamas optimizavimo uždaviniu.
Tiesiniame optimizacijos uždavinyje visos funkcijos anksčiau aptartos [pic] ir [pic] yra tiesinės. Todėl toks optimizacijos uždavinys ir vadinamas tiesiniu optimizaciniu uždaviniu. Norint nustatyti optimalų sprendinį taikant matematinio programavimo metodus reikia tiesinį optimizavimo uždavinį aprašyti matematinėmis išraiškomis – matematiniu modeliu. Matematinis modelis – tai sistema matematinių priklausomybių aprašančių pagrindines modeliuojamo objekto savybes, rodiklius ir ryšius tarp jų. Į optimizacijos uždavinio matematinį modelį turi įeiti tiesinė funkcija, išreiškianti tiesinį optimalumo sąlygos, apribojimai, kuriuos turi tenkinti nagrinėjamo uždavinio sprendinys. Visa tai apibendrinant tiesinio optimizacijos uždavinio matematinį modelį galima pateikti taip:
[pic]; (1)
Čia [pic] – uždavinio nežinomųjų vektorius.
[pic]- tikslo funkcijos koeficientų esančių prie nežinomųjų x komponentai.
[pic] – tiesinio uždavinio apribojimų sąlygų, (lygybių ir nelygybių) koeficientų esančių prie nežinomųjų matrica. Šioje matricoje stulpelių skaičius n, o eilučių skaičius lygus visų apribojimų skaičiui.
[pic] – apribojimų sąlygų (lygybių ir nelygybių) laisvųjų narių vektorius.
2 Konstrukcijos minimalaus tūrio optimizacijos matematinis modelis.
Yra duota lenkiama konstrukcija – rėmas. Yra žinoma veikianti išorinė apkrova ir žinomi skerspjūvių atlaikomųjų lenkimo momentų- ribinių lenkimo momentų pasiskirstymo dėsnis (bet ne dydžiai).
Reikia rasti tokius ribinių momentų dydžius ir konstrukcijos elementų įrąžas, kad būtų atlaikyta išorinė apkrova ir nepažeistos konstrukcijos stiprumo sąlygos jos suirimo metu (plastiškos deformacijos galimos).
Ribiniai momentai turi tenkinti iš anksto užduotą jų optimalumo kriterijų, kuris šiuo atveju yra tapatingas konstrukcijos energijos disipacijos (energijos išsklaidymo) minimumui.
Tokio tipo uždavinių matematiniai modeliai sudaromi panaudojant ekstreminį energinį principą apie energijos disipacijos minimumą, kuris pateiktas knygoje ([1]).
Šis principas formuluojamas taip: iš visų statiškai leistinų lenkimo momentų vektorių tikrasis yra tas, prie kurio energijos disipacijos greitis yra minimalus.
Iš deformuojamo kūno mechanikos žinoma, kad energijos disipacijos minimumas yra ekvivalentiškas konstrukcijos minimalaus tūrio reikalavimui
([1]). Ši energija lenkiamam rėmui yra išreiškiama taip:
[pic]; (2)
Čia [pic] – rėmo optimizuojamų parametrų vektorius turintis komponentus [pic].
[pic]
1pav. Konstrukcinė schema (n0=3)
Čia [pic] – optimizuojamų parametrų skaičius. Šiame uždavinyje optimizuojamais parametrais pasirenkame rėmo strypų atlaikomus momentus.
[pic] -strypų turinčių tą patį ribinį momentą, suminių ilgių vektorius.
[pic].
Šiame nagrinėjamame uždavinyje:
[pic];
Statiškai leistinas momentų vektorius, kaip mes žinome iš konstrukcijų projektavimo turi tenkinti pusiausvyros sąlygas ir stiprumo sąlygos, kurios skaičiuojant konstrukcijas įvertinant plastiškumo deformacijos yra vadinamos takumo sąlygomis.
Pusiausvyros sąlygos yra užrašomos matricine išraiška:
[pic] (3)
[pic] (4)
Čia [pic] – pusiausvyros lygčių koeficientų prie nežinomųjų matrica.
m – pasirinkto konstrukcijos diskrecinio modelio laisvumo laipsnis.
[pic] – duotas išorinių jėgų vektorius.
[pic] – stiprumo sąlygų koeficientų matrica.
t – bendras stiprumo sąlygų skaičius.
[pic] – konfigūracijos matrica.
[pic] – nežinomų lenkimo momentų vektorius. [pic].
Tokiu būdu konstrukcijos minimalaus tūrio matematinis modelis panaudojant aprašytą energijos principą bus:
[pic] (5)
Palyginus (1) su (5) matome, kad jos yra ekvivalentiškos. Tuo atveju:
[pic]Turėsime 19 nežinomųjų x. Bendras nežinomųjų skaičius [pic].
[pic]
Dalis kintamųjų netinka [pic].
Šiuo atveju:
[pic], arba [pic]. Taigi [pic].
Įvertinus konstrukcinius apribojimus galutinai uždavinys turės 19
nežinomųjų ir 45 apribojimus.
1 Konstrukcijos diskretinis modelis.
[pic]
2pav. Konstrukcijos diskretinis modelis ir galimi mazgų poslinkiai
2 Optimizacijos uždavinio tikslo funkcija.
Pagal sudaryta matematinį modelį šio nagrinėjamo tiesinio optimizacijos uždavinio tikslo funkcija bus:
[pic]
Tikslo funkciją sudaro:
[pic];
[pic].
3 Optimizacijos uždavinio apribojimų sąlygos.
Sudarydami apribojimų sąlygas naudosime mazgų išpjovimo metodą.
Išpjautam mazgui surašę statikos pusiausvyros lygtis gausime apribojimų sąlygas. Apribojimų numeris nurodomas skliaustuose.
|Išpjaunu mazgą 2-3-4: |Išpjaunu mazgą 5-6: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Išpjaunu mazgą 7-8: |Išpjaunu mazgą 9-10: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Išpjaunu mazgą 11-12-13: |Išpjaunu mazgą 15-16: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
Išpjaunu mazgus 2-3, 12-13:
[pic]
[pic]
Išpjaunu mazgus 5,10:
[pic][pic]
Išpjaunu mazgą 7-8:
[pic]
[pic]
Išpjaunu mazgą 7-8:
[pic]
[pic]
Apribojimų sąlygose lygybėse esančių nežinomųjų koeficientai surašomi į apribojimų lygybių koeficientų matricą [pic].
[pic] Apribojimų sąlygose lygybėse esantys laisvieji nariai surašomi į apribojimų lygybių laisvųjų narių vektorių [pic]
[pic].
Nagrinėjamame optimizacijos uždavinyje sekančią grupę apribojimų, išreikštų nelygybėmis, sąlygas sudarys konstrukcijos stiprumo sąlygos.
Bet kuriame konstrukcijos pjūvyje stiprumo sąlygos:
[pic] ; [pic].
Užrašome stiprumo sąlygas kiekvienam konstrukcijos pjūviui:
M01+M1≥0, (11) M03+M9≥0, (27)
M01-M1≥0, (12) M03-M9≥0, (28)
M01+M2≥0, (13) M01+M10≥0, (29)
M01-M2≥0, (14) M01-M10≥0, (30)
M01+M3≥0, (15) M02+M11≥0, (31)
M01-M3≥0, (16) M02-M11≥0, (32)
M02+M4≥0, (17) M01+M12≥0, (33)
M02-M4≥0, (18) M01-M12≥0, (34)
M01+M5≥0, (19) M01+M13≥0, (35)
M01-M5≥0, (20) M01-M13≥0, (36)
M03+M6≥0, (21) M01+M14≥0, (37)
M03-M6≥0, (22) M01-M14≥0, (38)
M03+M7≥0, (23) M02+M15≥0, (39)
M03-M7≥0, (24) M02-M15≥0, (40)
M03+M8≥0, (25) M02+M16≥0, (41)
M03-M8≥0, (26) M02-M16≥0, (42)
Koeficientus, esančius prie nežinomųjų apribojimuose nelygybėse surašome į apribojimų nelygybių koeficientų matricas[pic] ir [pic].
Kaip papildomus apribojimus užrašome sąlygas, ieškomi ribiniai momentai turi būti neneigiami:
[pic]
3 Optimizacijos uždavinio Simpleksų lentelės sudarymas.
Nagrinėjamam uždaviniui iš viso turėsime 10 apribojimus išreikštus tiesinėmis lygtimis ir 35 apribojimus išreikštus nelygybėmis. Nežinomųjų turėsime 19. Šio uždavinio sprendimui naudosime SIMPLEKSO algoritmą. Tam tikslui sudaroma uždavinio simpleksų lentelė (1 lentelė). Simpleksų lentelėje, stulpelių yra tiek kiek nežinomųjų plius laisvasis narys, o eilučių tiek kiek apribojimų plius tikslo funkcija.
Optimizacijos uždavinio Simpleksų lentelė (1lent.):
Norint patikrinti ar gauti rezultatai tenkina visas uždavinio sąlygas, t.y. visas lygybes ir nelygybes, sudarome nagrinėjamos konstrukcijos lenkimo momentų diagramą.
[pic]
3pav. Konstrukciją veikiančių lenkimo momentų ir ribinių momentų diagrama
4 DUALUS OPTIMIZACIJOS UŽDAVINYS
1 Dualus optimizacijos uždavinio sudarymo taisyklės
Tiesinio matematinio programavimo teorijoje pasakyta, kad kiekvienam tiesinio optimizavimo uždaviniui galima sudaryti jam dualų uždavinį.
Jeigu turime pradinį optimizacijos uždavinį:
[pic]
Visada egzistuoja jam dualus uždavinys, kuriame tikslo funkcijoje turime taip pat tam tikrą tiesinę funkciją. Tik tokios funkcijos bus ieškomas maksimumas, o apribojimų sąlygos bus lygybės.
Duotajam tiesioginiam uždaviniui dualus uždavinys atrodys taip:
[pic]
Čia [pic]- dualaus uždavinio nežinomieji. Jame yra tiek nežinomųjų, kiek yra apribojimų tiesioginiame uždavinyje.
Dualaus uždavinio sudarymo taisyklės:
1. Tiesioginio uždavinio tikslo funkcijos minimumas dualiame uždavinyje keičiamas į naujos funkcijos maksimumą. Ir atvirkščiai.
2. Dualaus uždavinio tikslo funkcija [pic] – Lagranžo funkcija. Šios funkcijos kintamieji yra tiesioginio uždavinio kintamieji [pic]ir nauji kintamieji [pic], kurių skaičius yra lygūs tiesioginio uždavinio apribojimų lygybių ir apribojimų nelygybių sumai. Šie nauji kintamieji yra vadinami
Lagranžo daugikliais ir atstovauja atitinkamam apribojimui tiesioginiame uždavinyje. Lagranžo daugikliai, kurie atstovauja apribojimams lygybėms yra žymimi – [pic], o kurie atstovauja apribojimams nelygybėms – [pic].
3. Lagranžo funkcija yra lygi tiesioginio uždavinio tikslo funkcijai , prie kurios pridedamos sandaugos sudarytos iš Lagranžo daugiklio [pic] ir apribojimų lygybių, bei Lagranžo daugiklio [pic] ir apribojimų nelygybių.
4. Lagranžo daugikliai, kurie atstovauja apribojimams lygybėms yra laisvi, t.y. gali būti bet kokios skaitinės reikšmės. Lagranžo daugikliai, kurie atstovauja apribojimams nelygybėms yra nelaisvi, t.y. gali būti tik [pic].
5. Apribojimai sudaromi atliekant Lagranžo funkcijos variacijas bendru atveju, t.y. skaičiuojamos pirmosios išvestinės pagal tiesioginio uždavinio visus kintamuosius [pic]. Jei kintamasis yra nelaisvas, tai Lagranžo funkcijos variacija taip pat bus apribota pagal ženklą atitinkantį suvaržyto kintamojo ženklą ir jei kintamasis yra laisvas, tai Lagranžo funkcijos variacija pagal šį kintamąjį bus lygybė.
Mūsų nagrinėjamu atveju tiesioginiame uždavinyje turime 45 apribojimus, taigi dualiame uždavinyje bus 45 nežinomieji.
[pic]
2 Nagrinėjamo dualaus uždavinio matematinis modelis
Sudaromas tiesinio, dualaus uždavinio matematinis modelis:
RASTI:[pic]
kai: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] (6)
[pic] (7)
[pic] (8)
[pic] (9)
[pic] (10)
[pic] (11)
[pic] (12)
[pic] (13)
[pic] (14)
[pic] (15)
[pic] (16)
[pic] (17)
[pic] (18)
[pic] (19)
[pic](20) [pic](38)
[pic](21) [pic](39)
[pic](22) [pic](40)
[pic](23) [pic](41)
[pic](24) [pic](42)
[pic](25) [pic] (43)
[pic](26) [pic] (44)
[pic](27) [pic] (45)
[pic](28) [pic] (46)
[pic](29) [pic] (47)
[pic](30) [pic] (48)
[pic](31) [pic] (49)
[pic](32) [pic] (50)
[pic](33) [pic] (51)
[pic](34) [pic](52)
[pic](35) [pic](53)
[pic](36) [pic](54)
[pic](37)
3 Dualaus optimizacijos uždavinio Simpleksų lentelė
Gauta tiesinė funkcija ir apribojimų sąlygos surašomos į Simpleksų lentelę (2 lentelė).
5 Uždavinių sprendimo analizė
Turėdami tiesinio ir dualaus uždavinių rezultatus, atlikus sprendinių analizę, galime padaryti išvadą apie vienintelio sprendinio egzistavimą, jei:
1. Dualaus uždavinio daugikliai ([pic]) atstovaujami tiesioginio uždavinio apribojimams nelygybėms yra didesni už nulį ir neneigiami.
2. Gautas sprendinys bus tikrasis, jeigu uždavinio apribojimų lygybių
ME skaičius + y>0=[pic]:
[pic]
16+3=10+9; čia [pic]- momentų skaičius;
[pic]- analizuojami parametrai.
Matome, kad lygybė yra tenkinama, tai toliau pagal gautus momentus galime projektuoti konstrukciją.
2 lentele:
[pic] Duomenų failo paruošimas ir dualaus uždavinio sprendimo rezultatai pateikiami 2 priede.
6 Strypų skerspjūvių parinkimas panaudojant gautas ribines įrąžų reikšmes, ir konstrukcijos minimalaus tūrio radimas.
Mūsų nagrinėjama konstrukcija yra plieninė, tai [pic] yra žinomas dydis, o [pic] randamas su „Simplex“ programa. Taigi [pic] optimali skaitinė vertė yra:
[pic]
Parenku plina C255 ,[pic]
Pagal gautą [pic] reikšmę iš sortimento parenku dvitėjus profilius:
1) M0,1 = 10.5 kNm, [pic]
Parenku pagal euronormas dvitėjinę siją IPEA120, kurios Wpl = 49.87 cm3, skerspjūvio plotas A1 = 5.41 cm2;
2) M0,2 = 21.0 kNm.
[pic]
Parenku pagal euronormas dvitėjinę siją IPE140, kurios Wpl = 88.34 cm3, skerspjūvio plotas A2= 7.64 cm2;
3) M0,3 = 33.3 kNm.
[pic]
Parenku pagal euronormas dvitėjinę siją IPE180, kurios Wpl = 166.4 cm3, skerspjūvio plotas A2= 11.25 cm2.
Parinktų konstrukcijų minimalūs tūriai (skerspjūvio plotą A dauginu iš konstrukcijos ilgio l):
[pic];
[pic]
[pic]
KVADRATINIO PROGRAMAVIMO OPTIMIZACIJOS UŽDAVINYS
1 Bendrasis kvadratinio optimizacijos uždavinio matematinis modelis
Tai toks optimizacijos uždavinys, kuriame tikslo funkcija yra išreikšta kvadratine forma, o apribojimus sudaro tiesinės lygybės ir nelygybės. Tokio tipo uždavinį skaičiuosim su programa “KVADPR”.
Rasti: [pic]
[pic] – kvadratinė forma;
[pic] – tiesinė forma.
Esant apribojimams:
[pic]
[pic]
čia: [pic] – nežinomųjų vektorius;
[pic] – Hesės matrica, [pic] [pic]
[pic] – tiesinės formos koeficientų vektorius;
[pic] – apribojimų-lygybių koeficientų matrica, [pic] – apribojimų-
lygybių skaičius, [pic] – nežinomųjų skaičius;
[pic] – apribojimų-lygybių laisvųjų narių vektorius;
[pic] – apribojimų-nelygybių koeficientų matrica, [pic] –
apribojimų-nelygybių skaičius, [pic] – nežinomųjų skaičius;
[pic] – apribojimų-nelygybių laisvųjų narių vektorius.
2 Kvadratinio programavimo optimizacijos uždavinio sudarymas
Rasti[pic]
[pic] [pic]
[pic]
3 Optimizacijos uždavinio tikslo funkcijos tyrimas
Sudarykime nelygybių koeficientų matricą [pic]:
[pic] [pic]
Suveskime likusiąją lygybių koeficientų matricą [pic]:
[pic][pic]
Sudarykime tikslo funkcijos hesės matricą:
[pic]
[pic]
4 Programos “KVADPR” skaičiavimo duomenys ir rezultatai
Duomenų failo ruošimas :
KP12 Sergej Sokolov
9 7 20
01050106020102020207030303080408
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2.94
04090501050205030602060307040705
3.94 -.323 .286 .286 -.286 -.286 -.323 -.323
07060707
.278 .278
01010201030204020503060307040804
1. -1. 1. -1. 1. -1. 1. -1.
09080909100810091105120513061406
2.94 2.94 -2.94 -2.94 1. -1. 1. -1.
150716071708180819092009
1. -1. 1. -1. 1. -1.
01010202020303020303040404050504
24.8 35. -17.5 -17.5 35. 12.4 -6.2 -6.2
05050606060707060707080808090908
12.4 14.4 -7.2 -7.2 14.4 269.72 254.42 254.42
0909
269.72
. .65 . -32.5 .325 .65 5.2
5. 5. 4. 4. 4. 4. 10. 10.
-25.5 39.5 10. 10. 10. 10. 10. 10.
7. 7. 7. 7.
-74.9 -121.2 81.4 -17.3 -26.4 5.8 69.8 -2161.45
-2266.35 Kvadratinio optimizacijos uždavinio rezultatai pateikiami 3 priede.
5 Gautų skaičiavimo rezultatų analizė
Uždavinio apribojimų- lygybių sąlygos:
[pic]
Sąlygos tenkinamos.
Uždavinio apribojimų- nelygybių sąlygos:
[pic] [pic]
Su šiais, kvadratinio programavimo optimizacijos uždavinio nežinomaisiais, funkcijos reikšmė:
[pic]
Kvadratinės formos funkcijos reikšmė:
[pic]
Naudota literatūra:
1. R. Karkauskas. „Statybinės mechanikos uždavinių sprendimas kompiuteriais“. Vilnius : Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1995.
2. St. Kalanta. „Taikomosios optimizacijos pagrindai. Tiesinių uždavinių formulavimas ir sprendimo metodai“. Vilnius : Technika, 2003.
2 pav. Matria A