Optimizacijos teorijos kursinis darbas

TIESINIO OPTIMIZACIJOS UŽDAVINIO SPRENDIMAS

1 Tiesinis optimizavimo uždavinys ir jo bendrasis matematinis modelis.

Inžineriniai uždaviniai konstrukcijų projektavime dažnai yra susiję su
jų elementų skerspjūvių parinkimu ir gali turėti daug sprendinių. Kaip yra
žinoma konstrukcijai parinkti skerspjūviai turi tenkinti tam tikras
sąlygas. Jos gali būti stipruminės, standumo, stabilumo, pusiausvyros ir
kt. Šios visos sąlygos yra aprašomos matematinėmis lygtimis arba
nelygybėmis, bendru atveju: [pic] [pic]

[pic] [pic].

Skaičių [pic] rinkinys tenkinantis šią sąlygų sistemą yra vadinamas
leistinuoju sprendiniu: [pic].

Konstrukcijų skaičiavimo uždavinyje apribojimų išreikštų lygybėmis
skaičius dažniausiai yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, todėl leistinų
sprendinių yra laabai daug. Pasirinkus tam tikrą funkciją [pic] išreikštą
per šiuos kintamuosius, galima leistinuosius sprendinius palyginti šios
funkcijos atžvilgiu ir priklausomai nuo to koks ekstremumas keliamas
funkcijai [pic] galima gauti geriausią sprendinį šios funkcijos atžvilgiu,
todėl mūsų uždavinyje ši funkcija bus vadinama uždavinio optimalumo
kriterijumi. Todėl leistinasis taškas x, kuriam esant optimalumo kriterijus
[pic] įgyja ekstreminę reikšmę (max arba min) priklausomai nuo keliamo
tikslo, optimalus taškas bus laikomas optimaliu sprendiniu. Toks uždavinys,
kuriame tarp daugybės sprendinių reikia rasti geriausią ir vadinamas
optimizavimo uždaviniu.

Tiesiniame optimizacijos uždavinyje visos funkcijos anksčiau aptartos
[pic] ir [[pic] yra tiesinės. Todėl toks optimizacijos uždavinys ir
vadinamas tiesiniu optimizaciniu uždaviniu. Norint nustatyti optimalų
sprendinį taikant matematinio programavimo metodus reikia tiesinį
optimizavimo uždavinį aprašyti matematinėmis išraiškomis – matematiniu
modeliu. Matematinis modelis – tai sistema matematinių priklausomybių
aprašančių pagrindines modeliuojamo objekto savybes, rodiklius ir ryšius
tarp jų. Į optimizacijos už

ždavinio matematinį modelį turi įeiti tiesinė
funkcija, išreiškianti tiesinį optimalumo sąlygos, apribojimai, kuriuos
turi tenkinti nagrinėjamo uždavinio sprendinys. Visa tai apibendrinant
tiesinio optimizacijos uždavinio matematinį modelį galima pateikti taip:

[pic]; (1)

Čia [pic] – uždavinio nežinomųjų vektorius.

[pic]- tikslo funkcijos koeficientų esančių prie nežinomųjų x
komponentai.

[pic] – tiesinio uždavinio apribojimų sąlygų, (lygybių ir
nelygybių) koeficientų esančių prie nežinomųjų matrica. Šioje matricoje
stulpelių skaičius n, o eilučių skaičius lygus visų apribojimų skaičiui.

[pic] – apribojimų sąlygų (lygybių ir nelygybių) laisvųjų narių
vektorius.

2 Konstrukcijos minimalaus tūrio optimizacijos matematinis modelis.

Yra duota lenkiama konstrukcija – rėmas. Yra žinoma veikianti išorinė
apkrova ir žinomi skerspjūvių atlaikomųjų lenkimo momentų- ribinių lenkimo
momentų pasiskirstymo dėsnis (bet ne dydžiai).

Reikia rasti tokius ribinių momentų dydžius ir konstrukcijos elementų
įrąžas, kad būtų atlaikyta išorinė apkrova ir nepažeistos konstrukcijos
stiprumo sąlygos jos suirimo metu (plastiškos deformacijos galimos).

Ribiniai momentai turi tenkinti iš aanksto užduotą jų optimalumo
kriterijų, kuris šiuo atveju yra tapatingas konstrukcijos energijos
disipacijos (energijos išsklaidymo) minimumui.

Tokio tipo uždavinių matematiniai modeliai sudaromi panaudojant
ekstreminį energinį principą apie energijos disipacijos minimumą, kuris
pateiktas knygoje ([1]).

Šis principas formuluojamas taip: iš visų statiškai leistinų lenkimo
momentų vektorių tikrasis yra tas, prie kurio energijos disipacijos greitis
yra minimalus.

Iš deformuojamo kūno mechanikos žinoma, kad energijos disipacijos
minimumas yra ekvivalentiškas konstrukcijos minimalaus tūrio reikalavimui
([1]). Ši energija lenkiamam rėmui yra išreiškiama taip:
[pic]; (2)

Čia [pic] – rėmo optimizuojamų parametrų vektorius turintis
komponentus [pic].

[pic]

1pav. Konstrukcinė schema (n0=3)

Čia [pic] – optimizuojamų p

parametrų skaičius. Šiame uždavinyje
optimizuojamais parametrais pasirenkame rėmo strypų atlaikomus momentus.

[pic] -strypų turinčių tą patį ribinį momentą, suminių ilgių
vektorius.

[pic].

Šiame nagrinėjamame uždavinyje:

[pic];

Statiškai leistinas momentų vektorius, kaip mes žinome iš konstrukcijų
projektavimo turi tenkinti pusiausvyros sąlygas ir stiprumo sąlygos, kurios
skaičiuojant konstrukcijas įvertinant plastiškumo deformacijos yra
vadinamos takumo sąlygomis.

Pusiausvyros sąlygos yra užrašomos matricine išraiška:

[pic] (3)

[pic] (4)

Čia [pic] – pusiausvyros lygčių koeficientų prie nežinomųjų matrica.

m – pasirinkto konstrukcijos diskrecinio modelio laisvumo
laipsnis.

[pic] – duotas išorinių jėgų vektorius.

[pic] – stiprumo sąlygų koeficientų matrica.

t – bendras stiprumo sąlygų skaičius.

[pic] – konfigūracijos matrica.

[pic] – nežinomų lenkimo momentų vektorius. [pic].

Tokiu būdu konstrukcijos minimalaus tūrio matematinis modelis
panaudojant aprašytą energijos principą bus:

[pic] (5)

Palyginus (1) su (5) matome, kad jos yra ekvivalentiškos. Tuo atveju:

[pic]Turėsime 19 nežinomųjų x. Bendras nežinomųjų skaičius [pic].

[pic]

Dalis kintamųjų netinka [pic].

Šiuo atveju:

[pic],

arba [pic]. Taigi [pic].

Įvertinus konstrukcinius apribojimus galutinai uždavinys turės 19
nežinomųjų ir 45 apribojimus.

1 Konstrukcijos diskretinis modelis.

[pic]

2pav. Konstrukcijos diskretinis modelis ir galimi mazgų poslinkiai

2 Optimizacijos uždavinio tikslo funkcija.

Pagal sudaryta matematinį modelį šio nagrinėjamo tiesinio optimizacijos
uždavinio tikslo funkcija bus:

[pic]

Tikslo funkciją sudaro:

[pic];

[pic].

3 Optimizacijos uždavinio apribojimų sąlygos.

Sudarydami apribojimų sąlygas naudosime mazgų išpjovimo metodą.
Išpjautam mazgui surašę statikos pusiausvyros lygtis gausime apribojimų
sąlygas. Apribojimų numeris nurodomas skliaustuose.

|Išpjaunu mazgą 2-3-4: |Išpjaunu mazgą 5-6: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Išpjaunu mazgą 7-8: |Išpjaunu mazgą 9-10: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Išpjaunu mazgą 11-12-13: |Išpjaunu mazgą 15-16: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |

Išpjaunu mazgus 2-3, 12-13:

[pic]
[pic]

Išpjaunu mazgus 5,10:
[pic][pic]
Išpjaunu mazgą 7-8:
[pic]
[pic]
Išpjaunu mazgą 7-8:
[pic]
[pic]

Apribojimų sąlygose lygybėse esančių ne

ežinomųjų koeficientai surašomi į
apribojimų lygybių koeficientų matricą [pic].
[pic] Apribojimų sąlygose lygybėse esantys laisvieji nariai surašomi į
apribojimų lygybių laisvųjų narių vektorių [pic]
[pic].

Nagrinėjamame optimizacijos uždavinyje sekančią grupę apribojimų,
išreikštų nelygybėmis, sąlygas sudarys konstrukcijos stiprumo sąlygos.

Bet kuriame konstrukcijos pjūvyje stiprumo sąlygos:

[pic] ; [pic].

Užrašome stiprumo sąlygas kiekvienam konstrukcijos pjūviui:

M01+M1≥0, (11) M03+M9≥0, (27)

M01-M1≥0, (12) M03-M9≥0, (28)

M01+M2≥0, (13) M01+M10≥0, (29)

M01-M2≥0, (14) M01-M10≥0, (30)

M01+M3≥0, (15) M02+M11≥0, (31)

M01-M3≥0, (16) M02-M11≥0, (32)

M02+M4≥0, (17) M01+M12≥0, (33)

M02-M4≥0, (18) M01-M12≥0, (34)

M01+M5≥0, (19) M01+M13≥0, (35)

M01-M5≥0, (20) M01-M13≥0, (36)

M03+M6≥0, (21) M01+M14≥0, (37)

M03-M6≥0, (22) M01-M14≥0, (38)

M03+M7≥0, (23) M02+M15≥0, (39)

M03-M7≥0, (24) M02-M15≥0, (40)

M03+M8≥0, (25) M02+M16≥0, (41)

M03-M8≥0, (26) M02-M16≥0, (42)
Koeficientus, esančius prie nežinomųjų apribojimuose nelygybėse surašome į
apribojimų nelygybių koeficientų matricas[pic] ir [pic].
Kaip papildomus apribojimus užrašome sąlygas, ieškomi ribiniai momentai
turi būti neneigiami:

[pic]

3 Optimizacijos uždavinio Simpleksų lentelės sudarymas.

Nagrinėjamam uždaviniui iš viso turėsime 10 apribojimus išreikštus
tiesinėmis lygtimis ir 35 apribojimus išreikštus nelygybėmis. Nežinomųjų
turėsime 19. Šio uždavinio sprendimui naudosime SIMPLEKSO algoritmą. Tam
tikslui sudaroma uždavinio simpleksų lentelė (1 lentelė). Simpleksų
lentelėje, stulpelių yra tiek kiek nežinomųjų plius laisvasis narys, o
eilučių tiek kiek apribojimų plius tikslo funkcija.
Optimizacijos uždavinio Simpleksų lentelė (1lent.):

Norint patikrinti ar gauti rezultatai tenkina visas uždavinio sąlygas,
t.y. visas lygybes ir nelygybes, sudarome nagrinėjamos konstrukcijos
lenkimo momentų diagramą.

[pic]

3pav. Konstrukciją veikiančių lenkimo momentų ir ribinių momentų diagrama

4 DUALUS OPTIMIZACIJOS UŽDAVINYS

1 Dualus optimizacijos uždavinio sudarymo taisyklės

Tiesinio matematinio programavimo teorijoje pasakyta, kad kiekvienam
tiesinio optimizavimo uždaviniui galima sudaryti jam dualų uždavinį.

Jeigu turime pradinį optimizacijos uždavinį:

[pic]

Visada egzistuoja jam dualus uždavinys, kuriame tikslo funkcijoje
turime taip pa

at tam tikrą tiesinę funkciją. Tik tokios funkcijos bus
ieškomas maksimumas, o apribojimų sąlygos bus lygybės.

Duotajam tiesioginiam uždaviniui dualus uždavinys atrodys taip:

[pic]

Čia [pic]- dualaus uždavinio nežinomieji. Jame yra tiek nežinomųjų,
kiek yra apribojimų tiesioginiame uždavinyje.

Dualaus uždavinio sudarymo taisyklės:

1. Tiesioginio uždavinio tikslo funkcijos minimumas dualiame
uždavinyje keičiamas į naujos funkcijos maksimumą. Ir atvirkščiai.

2. Dualaus uždavinio tikslo funkcija [pic] – Lagranžo funkcija. Šios
funkcijos kintamieji yra tiesioginio uždavinio kintamieji [pic]ir nauji
kintamieji [pic], kurių skaičius yra lygūs tiesioginio uždavinio apribojimų
lygybių ir apribojimų nelygybių sumai. Šie nauji kintamieji yra vadinami
Lagranžo daugikliais ir atstovauja atitinkamam apribojimui tiesioginiame
uždavinyje. Lagranžo daugikliai, kurie atstovauja apribojimams lygybėms yra
žymimi – [pic], o kurie atstovauja apribojimams nelygybėms – [pic].

3. Lagranžo funkcija yra lygi tiesioginio uždavinio tikslo funkcijai ,
prie kurios pridedamos sandaugos sudarytos iš Lagranžo daugiklio [pic] ir
apribojimų lygybių, bei Lagranžo daugiklio [pic] ir apribojimų nelygybių.

4. Lagranžo daugikliai, kurie atstovauja apribojimams lygybėms yra
laisvi, t.y. gali būti bet kokios skaitinės reikšmės. Lagranžo daugikliai,
kurie atstovauja apribojimams nelygybėms yra nelaisvi, t.y. gali būti tik
[pic].

5. Apribojimai sudaromi atliekant Lagranžo funkcijos variacijas bendru
atveju, t.y. skaičiuojamos pirmosios išvestinės pagal tiesioginio uždavinio
visus kintamuosius [pic]. Jei kintamasis yra nelaisvas, tai Lagranžo
funkcijos variacija taip pat bus apribota pagal ženklą atitinkantį
suvaržyto kintamojo ženklą ir jei kintamasis yra laisvas, tai Lagranžo
funkcijos variacija pagal šį kintamąjį bus lygybė.

Mūsų nagrinėjamu atveju tiesioginiame uždavinyje turime 45 apribojimus,
taigi dualiame uždavinyje bus 45 nežinomieji.

[pic]

2 Nagrinėjamo dualaus uždavinio matematinis modelis

Sudaromas tiesinio, dualaus uždavinio matematinis modelis:

RASTI:[pic]

kai: [pic] (1)

[pic] (2)

[pic] (3)

[pic] (4)

[pic] (5)

[pic] (6)

[pic] (7)

[pic] (8)

[pic] (9)

[pic] (10)

[pic] (11)

[pic] (12)

[pic] (13)

[pic] (14)

[pic] (15)

[pic] (16)

[pic] (17)

[pic] (18)

[pic] (19)

[pic](20) [pic](38)

[pic](21) [pic](39)

[pic](22) [pic](40)

[pic](23) [pic](41)

[pic](24) [pic](42)

[pic](25) [pic] (43)

[pic](26) [pic] (44)

[pic](27) [pic] (45)

[pic](28) [pic] (46)

[pic](29) [pic] (47)

[pic](30) [pic] (48)

[pic](31) [pic] (49)

[pic](32) [pic] (50)

[pic](33) [pic] (51)

[pic](34) [pic](52)

[pic](35) [pic](53)

[pic](36) [pic](54)

[pic](37)

3 Dualaus optimizacijos uždavinio Simpleksų lentelė

Gauta tiesinė funkcija ir apribojimų sąlygos surašomos į Simpleksų
lentelę (2 lentelė).

5 Uždavinių sprendimo analizė

Turėdami tiesinio ir dualaus uždavinių rezultatus, atlikus sprendinių
analizę, galime padaryti išvadą apie vienintelio sprendinio egzistavimą,
jei:

1. Dualaus uždavinio daugikliai ([pic]) atstovaujami tiesioginio
uždavinio apribojimams nelygybėms yra didesni už nulį ir neneigiami.

2. Gautas sprendinys bus tikrasis, jeigu uždavinio apribojimų lygybių

ME skaičius + y>0=[pic]:

[pic]

16+3=10+9; čia [pic]- momentų skaičius;

[pic]- analizuojami parametrai.

Matome, kad lygybė yra tenkinama, tai toliau pagal gautus momentus
galime projektuoti konstrukciją.

2 lentele:
[pic] Duomenų failo paruošimas ir dualaus uždavinio sprendimo rezultatai
pateikiami 2 priede.

6 Strypų skerspjūvių parinkimas panaudojant gautas ribines įrąžų reikšmes,

ir konstrukcijos minimalaus tūrio radimas.

Mūsų nagrinėjama konstrukcija yra plieninė, tai [pic] yra žinomas
dydis, o [pic] randamas su „Simplex“ programa. Taigi [pic] optimali
skaitinė vertė yra:

[pic]
Parenku plina C255 ,[pic]
Pagal gautą [pic] reikšmę iš sortimento parenku dvitėjus profilius:

1) M0,1 = 10.5 kNm,

[pic]
Parenku pagal euronormas dvitėjinę siją IPEA120, kurios Wpl = 49.87 cm3,
skerspjūvio plotas A1 = 5.41 cm2;

2) M0,2 = 21.0 kNm.

[pic]
Parenku pagal euronormas dvitėjinę siją IPE140, kurios Wpl = 88.34 cm3,
skerspjūvio plotas A2= 7.64 cm2;

3) M0,3 = 33.3 kNm.

[pic]
Parenku pagal euronormas dvitėjinę siją IPE180, kurios Wpl = 166.4 cm3,
skerspjūvio plotas A2= 11.25 cm2.
Parinktų konstrukcijų minimalūs tūriai (skerspjūvio plotą A dauginu iš
konstrukcijos ilgio l):
[pic];
[pic]
[pic]

KVADRATINIO PROGRAMAVIMO OPTIMIZACIJOS UŽDAVINYS

1 Bendrasis kvadratinio optimizacijos uždavinio matematinis modelis

Tai toks optimizacijos uždavinys, kuriame tikslo funkcija yra išreikšta
kvadratine forma, o apribojimus sudaro tiesinės lygybės ir nelygybės. Tokio
tipo uždavinį skaičiuosim su programa “KVADPR”.

Rasti: [pic]

[pic] – kvadratinė forma;

[pic] – tiesinė forma.

Esant apribojimams:

[pic]

[pic]

čia: [pic] – nežinomųjų vektorius;

[pic] – Hesės matrica, [pic] [pic]

[pic] – tiesinės formos koeficientų vektorius;

[pic] – apribojimų-lygybių koeficientų matrica, [pic] – apribojimų-

lygybių skaičius, [pic] – nežinomųjų skaičius;

[pic] – apribojimų-lygybių laisvųjų narių vektorius;

[pic] – apribojimų-nelygybių koeficientų matrica, [pic] –

apribojimų-nelygybių skaičius, [pic] – nežinomųjų skaičius;

[pic] – apribojimų-nelygybių laisvųjų narių vektorius.

2 Kvadratinio programavimo optimizacijos uždavinio sudarymas

Rasti[pic]

[pic] [pic]

[pic]

3 Optimizacijos uždavinio tikslo funkcijos tyrimas

Sudarykime nelygybių koeficientų matricą [pic]:

[pic] [pic]

Suveskime likusiąją lygybių koeficientų matricą [pic]:
[pic][pic]

Sudarykime tikslo funkcijos hesės matricą:

[pic]

[pic]

4 Programos “KVADPR” skaičiavimo duomenys ir rezultatai

Duomenų failo ruošimas :
KP12 Sergej Sokolov

9 7 20
01050106020102020207030303080408

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2.94
04090501050205030602060307040705

3.94 -.323 .286 .286 -.286 -.286 -.323 -.323
07060707

.278 .278
01010201030204020503060307040804

1. -1. 1. -1. 1. -1. 1. -1.
09080909100810091105120513061406

2.94 2.94 -2.94 -2.94 1. -1. 1. -1.
150716071708180819092009

1. -1. 1. -1. 1. -1.
01010202020303020303040404050504

24.8 35. -17.5 -17.5 35. 12.4 -6.2 -6.2
05050606060707060707080808090908

12.4 14.4 -7.2 -7.2 14.4 269.72 254.42 254.42
0909

269.72

. .65 . -32.5 .325 .65 5.2

5. 5. 4. 4. 4. 4. 10. 10.

-25.5 39.5 10. 10. 10. 10. 10. 10.

7. 7. 7. 7.

-74.9 -121.2 81.4 -17.3 -26.4 5.8 69.8 -2161.45

-2266.35 Kvadratinio optimizacijos uždavinio
rezultatai pateikiami 3 priede.

5 Gautų skaičiavimo rezultatų analizė

Uždavinio apribojimų- lygybių sąlygos:
[pic]
Sąlygos tenkinamos.

Uždavinio apribojimų- nelygybių sąlygos:

[pic] [pic]

Su šiais, kvadratinio programavimo optimizacijos uždavinio
nežinomaisiais, funkcijos reikšmė:
[pic]
Kvadratinės formos funkcijos reikšmė:
[pic]

Naudota literatūra:

1. R. Karkauskas. „Statybinės mechanikos uždavinių sprendimas

kompiuteriais“.  Vilnius : Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1995.

2. St. Kalanta. „Taikomosios optimizacijos pagrindai. Tiesinių uždavinių

formulavimas ir sprendimo metodai“.  Vilnius : Technika, 2003.
———————–

2 pav. Matria A

Leave a Comment