Mechanika – fizinių mokslų šaka, nagrinėjanti materialiuosius objektus –
kūnus, kūnų sistemas, tų sistemų pusiausvyrą, judėjimo dėsnius bei mechaninę tarpusavio sąveiką. Statika – mokslas apie pavienius materialiuosius kūnus bei mechanines sistemas veikiančių jėgų pusiausvyrą.
Statikos uždaviniai Statikoje vyrauja dviejų rūšių uždaviniai: 1.
veikiančios jėgų sistemos pakeitimas kita, jai ekvivalentine, tačiau paprastesne sistema; 2. bendrųjų sąlygų nustatymas, kai jėgų sistema yra pusiausvira
Pagrindinės sąvokos Mechanikoje nagrinėjami šie objektai: materialusis taškas, kietasis kūnas ir mechaninė sistema. Materialusis taškas. Be galo mažas fizinis kūnas mechanikoje vadinamas materialiuoju tašku. Kietasis kūnas. Statikoje tiriamas absoliučiai kietas kūnas – kūnas, kuriame, veikiant išorinėms jėgoms, atstumai tarp jo taškų nesikeičia, ir kūnas išlaiko savo pirminę geometrinę formą. Realius deformuojamus kūnus galima laikyti absoliučiai kietais, kai jų deformacijos, lyginant su kūno matmenimis, yra tokios mažos, kad jų galima nepaisyti. Mechaninė sistema.
Materialiųjų taškų, arba kietųjų kūnų, visuma, kurioje kiekvieno taško arba kūno judėjimas priklauso nuo kitų taškų arba kūnų judėjimo ir ryšių tarp jų, yra vadinama mechanine sistema. Jėga. Dviejų materialiųjų kūnų mechaninės sąveikos matas mechanikoje vadinamas jėga. Fizinė jėgos prigimtis teorinėje mechanikoje neturi reikšmės, šiuo atveju mus domina tik veikiančios jėgos sukeltas efektas. Kadangi kūnų tarpusavio mechaninis poveikis yra galimas per tašką arba plokštumą, jėgos yra skirstomos į koncentruotąsias ir išskirstytąsias. Gamtoje nėra koncentruotųjų jėgų, tai tik prielaida, leidžianti supaprastinti sprendžiamus uždavinius.
Koncentruotoji jėga yra vektorinis dydis, apibrėžiamas trimis faktoriais:
pridėties tašku, kryptimi ir didumu. Vektoriniams dydžiams žymėti naudosime rodyklę “”, pavyzdžiui: r. →F• Jėgos pridėties taškas – tai kūno taškas, į kurį sutelktas jėgos veiksmas. • Jėgos kryptimi vadinama kryptis, kuria pradėtų judėti jėgos veikiamas kūnas, iki tol buvęs pusiausviras. Tiesė, išvesta per jėgos pridėties tašką jėgos veikimo kryptimi, yra vadinama jėgos veikimo tiese. Jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo tiesės
• Jėgos didumas pagal tarptautinę matavimo sistemą SI matuojamas niutonais.
Vienas niutonas (N) yra jėga, kuri vieno kilogramo (kg) masei suteikia vieno metro (m) per sekundę kvadratu () pagreitį: [pic]Išskirstytosios apkrovos yra nusakomos pridėties linija arba pridėties plotu, veikimo intensyvumu bei kryptimi. Akademinio pobūdžio uždaviniuose tokios apkrovos yra pakeičiamos jas atstojančiomis koncentruotomis jėgomis [pic][pic]
[pic]
[pic]
Jėgų sistema. Kūną veikiančių jėgų visuma vadinama jėgų sistema. Jėgų sistemas patogu klasifikuoti pagal tai, kaip jos yra išsidėsčiusios erdvėje. Todėl mechanikoje nagrinėjamos: plokščioji jėgų sistema – kai visos jėgos yra išsidėsčiusios vienoje plokštumoje, ir erdvinė jėgų sistema
– kai visų jėgų veikimo tiesės erdvėje yra išsidėsčiusios bet kaip.
Teorinės mechanikos pagrindą sudaro dėsniai, kuriuos suformulavo Galilėjus ir Niutonas. Tai dėsniai, kuriais apibendrinami ilgaamžiai stebėjimai, bandymai ir praktiniai žmonių darbai. Šie pagrindiniai dėsniai teorinėje mechanikoje yra aksiomos, t. y. teiginiai, kurie nereikalauja įrodymo.
Statikos aksiomos 1 aksioma. Norint, kad dvi kūną veikiančios jėgos būtų pusiausviros, būtina ir pakanka, kad tos jėgos būtų lygios ir veiktų viena tiese priešingomis kryptimis (3 pav.). Tai yra paprasčiausias atsisveriančių jėgų sistemos atvejis.
[pic]
2 aksioma. Jei prie veikiančios kūną jėgų sistemos pridėsime ar atimsime atsisveriančių jėgų sistemą, pavyzdžiui [pic], tai nuo to kūno būvis nepasikeis. Matome, kad jėgos F ir F[pic] sudaro atsisveriančių jėgų sistemą, kurią galima atmesti.
[pic]
[pic]
Išvada: kietąjį kūną veikiančią jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo tiesės
3 aksioma. Dviejų viename kūno taške pridėtų jėgų atstojamoji yra lygi jėgų vektorių geometrinei sumai, t. y. didumu ir kryptimi lygi sudaryto iš tų jėgų lygiagretainio įstrižainei
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Dviejų viename taške pridėtų jėgų [pic] ir [pic]atstojamosios jėgos R
dydį ir kryptį galima rasti analiziniu būdu taikant kosinusų ir sinusų teoremas.
• Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas iš trikampio OAB
[pic]
[pic]
• Atstojamosios jėgos R kryptis nusakoma kampais ϕ[pic] ir ϕ[pic]
[pic]
4 aksioma. Jėgos, kuriomis du kūnai veikia vienas kitą (akcija ir reakcija), yra lygios ir veikia viena tiese priešingomis kryptimis. Šios jėgos yra pridėtos prie skirtingų kūnų ir nesudaro atsisveriančių jėgų sistemos.
Ketvirtoji aksioma yra vienas iš pagrindinių mechanikos dėsnių, nes gamtoje vienpusio jėgos veikimo nėra. 5 aksioma. Jei materialiųjų taškų sistema ar deformuojamas kūnas, veikiamas tam tikrų jėgų, yra pusiausviras, tai ši pusiausvyra nebus suardyta, jei kūnas taps absoliučiai kietu.
Tačiau atvirkščia tvarka šio dėsnio taikyti negalima, nes nors jėgų veikiamas absoliučiai kietas kūnas yra pusiausviras, jam tapus deformuojamuoju pusiausvyra gali būti suardyta. 6 aksioma. Bet kurį suvaržytą kūną galima būtų laikyti laisvuoju, nutraukus ryšius ir vietoj jų pridėjus atitinkamas ryšių reakcijų jėgas
1. JĖGOS IR JĖGŲ SISTEMOS Teorinės mechanikos kursas pradedamas nuo jėgos sąvokos įvedimo. Naudojant jėgą yra įvertinamas vieno materialiojo kūno mechaninis poveikis kitam materialiajam kūnui. Skaičiavimo schemose jėga vaizduojama kaip vektorius, kurio ilgis atitinka poveikio didumą, o kryptis sutampa su poveikio kryptimi.
Sprendžiant mechanikos uždavinius, dažnai tenka nagrinėti ne vienos jėgos, bet tam tikros jėgų sistemos, sudarytos iš skirtingo didumo ir krypties jėgų, poveikį.
Atsižvelgiant į jėgų išsidėstymą erdvėje, bet kuri jėgų sistema gali būti priskirta plokščiajai arba erdvinei jėgų sistemoms, kurios savo ruožtu yra skirstomos į susikertančių, lygiagrečiųjų arba bet kaip išdėstytų jėgų sistemas. Todėl toliau aptarsime bendrus atskirų jėgų bei jėgų sistemų poveikių kūnams arba kūnų sistemoms įvertinimo principus. 1.1.
JĖGA Pagal geometrinius požymius statikos uždaviniai gali būti skirstomi į tris grupes: vienmačiai, dvimačiai (plokštieji) ir trimačiai (erdviniai). Atitinkamai tenka parinkti vienos, dviejų arba trijų koordinačių ašių kryptis. Nors daugelis statikos uždavinių yra formuluojami ir sprendžiami naudojant Dekarto koordinačių sistemą, pasitaiko atvejų, kai koordinačių ašys nėra statmenos viena kitai.
Todėl nagrinėsime bendrąjį atvejį – jėgos projekciją į laisvai pasirinktą ašį.
[pic]
[pic]
Tarkim, kad yra ašis x ir jėga F, pridėta kūno taške A. Jėga ir ašis yra vienoje plokštumoje. Iš jėgos pradinio ir galinio taškų leidžiami statmenys į ašį x. Gautoji atkarpa ab ašyje x vadinama jėgos F projekcija į ašį x ir yra žymima [pic]:
[pic]
Jėgos projekcijos[pic] kryptį nusako atkarpos ab atskaitos kryptis – nuo taško a link taško b. Jėgos projekcijos [pic]didumas randamas iš ∆ABC:
[pic]
čia F – jėgos modulis (didumas); kampas α matuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo teigiamos x ašies krypties jėgos link. (5) išraiška tinka bet kokiai kampo α reikšmei. Kai jėgos projekcijos kryptis nesutampa su teigiama ašies kryptimi (8b pav.), jėgos projekcija turi minuso ženklą, nes:
[pic]
Jėgos projekcija į ašį yra skaliarinis dydis, lygus jėgos modulio ir kosinuso smailaus kampo tarp ašies ir jėgos sandaugai. Jėgos projekcijos ženklą nusako jėgos su teigiama ašies kryptimi kampo kosinusas, pavyzdžiui:
[pic]
Skirtingos jėgos gali turėti vienodo didumo ir ženklo projekcijas , todėl jėgai nustatyti nepakanka žinoti jėgos projekciją į vieną ašį.
[pic]
[pic]
Norint nustatyti jėgą plokštumoje, reikia turėti jos projekcijas į dvi viena kitai statmenas koordinačių ašis bei jėgos pridėties tašką
[pic]
[pic]
Jėgos didumas (modulis) randamas taip:
[pic]
Kur [pic], [pic]Todėl
[pic]
[pic]
[pic]
Norint nustatyti jėgą erdvėje, reikia žinoti jėgos pridėties tašką ir jėgos dedamąsias pagal tris viena kitai statmenas koordinačių ašis [pic]
[pic]
[pic]
Jėgos didumas randamas taip:
[pic]
Jėgos kryptis nusakoma kampais:
[pic]
[pic]
1.2. JĖGOS MOMENTAS Atvejų, kai jėga stengiamasi vienaip arba kitaip pasukti kūną, dažnai pasitaiko praktikoje (13 pav.). Jėgos sukimo veikimui nusakyti įvesime jėgos momento apie tašką sąvoką. r F dA O Nagrinėsime jėgos F sukimą apie tašką O, kuriame vamzdžio (toliau – kūno) ašis kerta plokštumą, kurią sudaro raktas ir jėgos F veikimo tiesė
[pic]
[pic]
Jėgos F sukimo efektas pasireiškia plokštumoje, einančioje per jėgą ir tašką O, ir priklauso nuo jėgos F didumo (modulio), peties d dydžio ir sukimo krypties. • Jėgos momentas taško atžvilgiu žymimas MO(F) kur indeksas O rodo tašką, apie kurį skaičiuojamas momentas.
• Jėgos momentu taško atžvilgiu vadinama jėgos modulio ir peties sandauga:
[pic]
Jėgos krypčiai taško atžvilgiu nurodyti prieš sandaugą rašomas (+) arba (–)
ženklas. Pagal susitarimą momentas yra teigiamas, kai jėga pasuka kūną apie tašką prieš laikrodžio rodyklę , ir neigiamas, – kai kūnas yra pasukamas pagal laikrodžio rodyklę [pic]
[pic]
Jėgos momento taško atžvilgiu skaitinė reikšmė lygi trikampio, kurio pagrindas yra jėga, o viršūnė – taškas, apie kurį skaičiuojamas momentas, dvigubam plotui. Pavyzdžiui, jėgos F momentas taško O atžvilgiu lygus trikampio OAB dvigubam plotui:
[pic]
Jėgos momentas taško atžvilgiu pasižymi šiomis savybėmis: • jėgos momentas taško atžvilgiu lygus nuliui, jei jėgos veikimo tiesė eina per tašką; •
jėgos momentas taško atžvilgiu nepasikeičia, kai jėga perkeliama į kitą tašką jos veikimo tiesėje, nes nepasikeičia jėgos ir peties didumai bei sukimo kryptis. Jėgos momento dimensija – [[pic][pic]].
PLOKŠČIOJI JĖGŲ SISTEMA Plokščiąją jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančios vienoje plokštumoje. 1.3. PLOKŠČIOJI SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMA Plokščiąją susikertančių jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančios vienoje plokštumoje ir susikertančios viename taške
1.3.1. SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SUDĖTIS Žinome, kad jėgos vektoriaus kryptis sutampa su jėgos veikimo kryptimi, o vektoriaus ilgis atitinka jėgos didumą. Todėl jėgas galima sudėti dviem būdais: geometriškai – grafiškai sudedant jėgų vektorius ir analiziškai – sudedant jėgų vektorių projekcijas į atitinkamas koordinačių ašis. Susikertančių jėgų geometrinė sudėtis
Sakykime, kad absoliučiai kietą kūną veikia jėgos [pic],[pic]
pridėtos atitinkamai taškuose [pic]
[pic]
Į jėgų veikimo tiesių susikirtimo tašką 0 perkeliamos visos jėgos.
Pritaikius trečiąją aksiomą ir lygiagretainio taisyklę, sudėjus jėgas [pic]gaunama šių jėgų atstojamoji jėga [pic]
[pic]
Toliau jėgų [pic]
Atstojamoji [pic]sudedama su jėga [pic]Taip paeiliui galima sudėti visas jėgas ir gauti visos sistemos atstojamąją jėgą [pic]
[pic]
Matome, kad, sudedant dvi jėgas, nebūtina sudaryti jėgų lygiagretainį. Tą patį rezultatą galima gauti prie pirmosios jėgos [pic] galo pridėjus vektorių, kurio didumas ir kryptis atitinka antrosios jėgos didumą [pic] ir kryptį. Sujungus pirmosios jėgos pradžią ir pridėtosios jėgos [pic]galą, taip pat gaunama jų atstojamoji [pic]. Taigi galima nuosekliai sudėti visas jėgas
[pic]
Gautasis daugiakampis OABCD vadinamas jėgų daugiakampiu, o aprašytas jėgų sudėties būdas vadinamas jėgų daugiakampio taisykle. Šio daugiakampio uždaromoji OD pagal didumą ir kryptį yra lygi jėgų sistemos atstojamajai jėgai [pic]
[pic]
Bendruoju atveju, kai sistemą sudarančių jėgų skaičius yra lygus n, galima užrašyti:
[pic]
kur i = 1, 2, …, n. Taigi susikertančių jėgų sistema pakeičiama viena jai ekvivalentine jėga , pridėta jėgų veikimo tiesių susikirtimo taške, ir lygia sistemą sudarančių jėgų geometrinei sumai.
Susikertančių jėgų analizinė sudėtis Atstojamosios projekcijos teorema:
plokščiosios, viename taške susikertančių jėgų sistemos atstojamosios projekcija į ašį yra lygi sistemą sudarančių jėgų projekcijų į tą pačią ašį algebrinei sumai.
Kūno taške A pridėta plokščioji susikertančių jėgų sistema ([pic])
[pic]
Šios jėgų sistemos atstojamoji R randama taikant jėgų daugiakampio taisyklę:
[pic]
Analiziškai rasti jėgų atstojamosios R dydį galima visas jėgas suprojektavus į x ir y koordinačių ašis
[pic]
[pic]
Ši teorema analogiškai įrodoma esant bet kuriam jėgų skaičiui n, todėl galima užrašyti:
[pic]
Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas taip:
[pic]
1.3.2. TRIJŲ JĖGŲ TEOREMA Teorema: trijų nelygiagrečių, esančių vienoje plokštumoje, jėgų veikimo linijos susikerta viename taške, jėgų sistemai esant pusiausvirai. Sakykime, kietąjį kūną veikia trys nelygiagrečios n tarpusavyje atsisveriančios jėgosF1 ,F2 ,F3 , pridėtos atitinkamai taškuose
A1,A2 ,A3
[pic]
Jėgos ir veikia vienoje plokštumoje, todėl galima jas perkelti į šių dviejų jėgų veikimo linijų susikirtimo tašką O ir rasti jų atstojamąją jėgą R , kuri bus pridėta tame pačiame taške. rPagal sąlygą jėgos F1 F2 F3 yra pusiausviros, todėl jėgos F3 ir R turi būti lygių didumų ir veikti viena tiese priešingomis kryptimis. Tai reiškia, kad jėgos F3 veikimo tiesė taip pat kerta tašką O.
1.3.3. SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS Susikertančių jėgų sistemos grafinė pusiausvyros sąlyga [pic]
Sakykime, kad kūnas yra veikiamas susikertančių jėgų sistemos, sudarytos iš n jėgų. Visas jėgas sudedame pagal jėgų daugiakampio taisyklę (22 pav.).
Jeigu gautojo jėgų daugiakampio OABC…N paskutiniosios jėgos [pic] galas remiasi į tašką O, t. y. pirmosios jėgos pridėties tašką, tai toks jėgų daugiakampis yra uždaras, o jo uždaromoji yra lygi nuliui. Kadangi jėgų daugiakampio uždaromoji pagal dydį ir kryptį yra lygi susikertančių jėgų sistemos atstojamajai jėgai R, tai reiškia, kad:
[pic]
Taigi susikertančių jėgų sistemos atstojamoji yra lygi nuliui arba, kitaip tariant, jėgų sistema yra ekvivalentinė nuliui ir tokios sistemos veikiamas kūnas niekada nepakeis savo kinematinės būklės. Iš čia gaunama grafinė pusiausvyros sąlyga: veikiamas susikertančių jėgų sistemos kietasis kūnas yra pusiausviras, jei šių jėgų daugiakampis yra uždaras. Susikertančių jėgų sistemos analizinės pusiausvyros sąlygos Jėgų sistemai esant pusiausvirai, jėgų daugiakampis yra uždaras, vadinasi, jėgų sistemos atstojamoji jėga R
yra lygi nuliui. Analiziškai jėgų sistemos atstojamosios modulis išreiškiamas taip:
[pic]
[pic]
Išvada: plokščioji viename taške susikertančių jėgų sistema yra pusiausvira, jei jėgų projekcijų algebrinės sumos į dvi viena kitai statmenas ašis yra lygios nuliui.
1.3.4. VARINJONO TEOREMA Teorema: plokščiosios susikertančių jėgų sistemos atstojamosios jėgos momentas bet kurio plokštumos taško atžvilgiu lygus sudedamųjų jėgų momentų to paties taško atžvilgiu algebrinei sumai.
[pic]
jėgos momentas apie tašką yra lygus trikampio, kurio pagrindas yra pati jėga, o viršūnė – taškas, apie kurį skaičiuojamas momentas, dvigubam plotui. Per tašką O jėgų veikimo plokštumoje nubrėšime ašį x, statmeną atkarpai OA, ir rasime jėgos F1 dedamąją jėgą pagal šią ašį F1x matyti, kad trikampių OAB ir OAC plotai yra lygūs, nes jie turi bendrą pagrindą OA ir vienodas aukštines – AC. Todėl jėgos F1 momentą taško O atžvilgiu galima išreikšti taip:
[pic]
[pic]
Užrašytoji formulė yra Varinjono teoremos matematinė išraiška. Sprendžiant uždavinius, reikia, kad jėgos momentas taško atžvilgiu būtų išreikštas jėgos projekcijomis arba dedamosiomis [pic]
Puanco teorema:
(teorema apie lygiagreciu jegu perkelima )
F1=F2=F
Jega galima perkelti lygiagreciai sau į bet kurį tašką dadedant jegu pora su momentu kuris lygus perkialemos jegos momentui atzvelgiu tuo tasko kur jega perkialema.
[pic]
[pic]
ISVADA: plokscia bet kaip isdestyta jegu sistema gali buti privesta prie paprasto pavydalo: 1) prie vienos jegos suminis-vektorius kuri prideta laisvai parengtajam redagavimo centre ir skaiciuojamas kaip dedamuju jegu geometrine suma 2) ir prie vienos poros su momentu kuris vadinamas suminiu-
momentu ir kuris skaiciuojamas kaip dedamuju jegu momentu atzvelgiu tuo paties redukavimo centro algebrine suma.
3) suminis-vektorius nepriklauso nuo redukavimo centro o suminis-momentas priklauso.
[pic]
1.4. PLOKŠČIOJI LYGIAGREČIŲJŲ JĖGŲ SISTEMA Lygiagrečiąsias jėgas galima vertinti kaip atskirą susikertančių jėgų atvejį, kai tų jėgų susikirtimo taškas yra begalybėje. 1.4.1. LYGIAGREČIAI VEIKIANČIŲ JĖGŲ SUDĖTIS
Sakykime, kad dvi lygiagrečios jėgos F1 ir F2 veikia kūną taškuose A ir B
ir yra nukreiptos viena linkme [pic]
[pic]
Išvada: Dviejų lygiagrečių, nukreiptų viena linkme, jėgų atstojamoji yra lygiagreti su šiomis jėgomis ir yra nukreipta ta pačia linkme.
Atstojamosios modulis lygus šių jėgų modulių sumai, o jos veikimo tiesė dalija atstumą tarp jėgų į dvi dalis atvirkščiai proporcingai šių jėgų dydžiams (moduliams). Be to, atstojamosios jėgos R veikimo tiesės bet kurio taško atžvilgiu dedamųjų jėgų F1 ir F2 momentai yra lygūs.
Dviejų lygiagrečių priešingai nukreiptų jėgų sudėtis Kūno taškuose A ir B
pridėtos dvi lygiagrečiosios priešingų krypčių jėgos F1 ir F2 , be to,
F1>F2
[pic]
[pic]
1.4.2. JĖGŲ POROS Kai lygiagrečios priešingai nukreiptos jėgos F1 ir yra
F2 lygios, t. y. F1=F2, turime dviejų jėgų sistemą (F1F2), kuri yra vadinama jėgų pora.
[pic]
Išvados: a) jėgų poros atstojamoji R lygi nuliui, o jos pridėties taškas yra begalybėje;b) jėgos, sudarančios jėgų porą, nėra pusiausviros, nes jos veikia ne viena tiese; c) jėgų pora yra tokia jėgų sistema, kuri nėra pusiausvira ir neturi atstojamosios.
[pic]
Pagrindinės sąvokos: • plokštuma, einanti per jėgų poros veikimo tieses, vadinama jėgų poros veikimo plokštuma; • atstumas h tarp jėgų poros jėgų veikimo tiesių vadinamas jėgų poros petimi; • negalima sutapatinti jėgų poros peties su atstumu tarp jėgų poros jėgų pridėties taškų AB.
Jėgų poros sukamasis poveikis kitam kūnui priklauso nuo: • jėgų porą sudarančių jėgų modulio ir peties ilgio h; • jėgų poros veikimo plokštumos padėties erdvėje; • poros sukimo krypties šitoje plokštumoje. Jėgų poros momentu vadinama vienos iš sudarančių jėgų porą jėgos modulio ir poros peties sandauga.
Pagal susitarimą jėgų poros momentas laikomas teigiamu, kai jėgų pora pasuka kūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį, ir neigiamu, kai kūnas pasukamas pagal laikrodžio rodyklę. Jėgų poros momentas yra žymimas
M([pic]), arba tiesiog , Mi kur i – jėgų porą sudarančių jėgų indeksas.
[pic]
[pic]
Jėgų poros momentas yra lygus vienos iš sudarančių jėgų porą jėgos momentui apie tašką, kuriame pridėta antroji tos jėgų poros jėga:
[pic]
Skaitinė jėgų poros reikšmė yra lygi lygiagretainio plotui kurį sudaro poros jėgos, arba dvigubam trikampio plotui kurio pagrindas yra viena iš jėgų, o aukštinė – jėgų poros petys. Jėgų poros momento M dimensija: [N*m].
Jėgų poros savybės 1. Jėgų poros jėgų momentų suma bet kurio taško, esančio poros veikimo plokštumoje, atžvilgiu nepriklauso nuo jo parinkimo vietos ir yra lygi jėgų poros momentui. rrSakykime, kad absoliučiai kietąjį kūną veikia jėgų pora ([pic]) Apskaičiuosime jėgų poros jėgų momentų sumą jėgų poros veikimo plokštumoje laisvai parinkto taško O atžvilgiu:
[pic]
[pic]
jėgų poros momentas bet kurio taško, esančio poros veikimo plokštumoje, atžvilgiu yra lygus jėgų poros jėgų momentų apie tą patį tašką algebrinei sumai. Išvada: kadangi taškas O buvo pasirinktas laisvai, tai jėgų porą galima perkelti į bet kurią kitą vietą jos veikimo plokštumoje ir nuo to kūno būvis nepasikeis.
2. Jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi nuliui.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Išvada: kadangi jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi nuliui, tai jėgų poros poveikis kūnui yra įvertinamas tik pagal momentų pusiausvyros lygtis. 3. Jėgų porų ekvivalentiškumo teorema. Jėgų poros poveikis kūnui nepasikeis, jeigu ši jėgų pora bus pakeista kita jėgų pora, veikiančia toje pat plokštumoje ir turinčia tokio pat didumo ir ženklo momentą.
[pic]
[pic]
Išvados: 1. Vienu metu pakeitus jėgų poros jėgų didumus ir petį taip, kad jėgų poros momentas ir jos sukimo kryptis nepakistų, jėgų poros poveikis kietajam kūnui nepakis; 2. Jei h=, matyti, jog poros poveikis kūnui nekinta, kai jėgų pora perkeliama į kitą vietą toje pačioje plokštumoje;
12h3. Dvi jėgų poros, veikiančios vienoje plokštumoje ir turinčios vienodo didumo ir ženklo momentus, yra ekvivalentiškos; 4. Ekvivalentiškos jėgų poros gali skirtis viena nuo kitos pagal padėtį plokštumoje, sudarančių jėgų modulius ir šių jėgų kryptis bei peties ilgius, tačiau jėgų porų momentų didumai ir ženklai turi būti vienodi.
1.4.3. JĖGŲ PORŲ SUDĖTIS IR PUSIAUSVYROS SĄLYGA Kai vienoje plokštumoje veikia kelios jėgų poros, jos sudaro jėgų porų sistemą. Bet kuri jėgų porų sistema gali būti pakeista viena atstojamąja jėgų pora, kurios momentas lygus sistemą sudarančių jėgų porų momentų algebrinei sumai.
[pic]
Perkeliame jėgų porų jėgas į taškus A ir B
[pic]
Kai jėgų porų skaičius yra n, atitinkamai turime:
[pic]
Remiantis jėgų porų sudėties principu galima suformuluoti jėgų porų sistemos pusiausvyros sąlygą. Vienoje plokštumoje veikiančių jėgų porų sistema bus pusiausvira, kai visų jėgų porų momentų algebrinė suma bus lygi nuliui.
[pic]
1.4.4. LYGIAGRETUSIS JĖGOS PERKĖLIMAS Puanso teorema: norint perkelti jėgą lygiagrečiai į bet kurį kitą tašką, reikia papildomai pridėti jėgų porą, kurios momentas lygus perkeliamosios jėgos momentui taško, į kurį ši jėga yra perkeliama, atžvilgiu. Įrodymas: Jėga F yra pridėta kūno taške A Jeigu laisvai pasirinktame taške O pridėsime atsisveriančių jėgų sistemą(F1,F2)
tai kūno būvis nuo to nepasikeis.
[pic]
[pic]
gauname, kad taške O bus pridėta jėga F1, kurios didumas ir kryptis sutampa su jėgos F didumu ir kryptimi, ir jėgų pora, kurios momentas M yra lygus jėgos F momentui taško O atžvilgiu [pic]
1.5. PLOKŠČIOJI BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMA Jeigu jėgų sistemos jėgos veikia vienoje plokštumoje, bet nėra viena su kita lygiagrečios ir nesusikerta viename taške, tai tokia jėgų sistema yra vadinama plokščiąja bet kaip išdėstytų jėgų sistema. Plokščiosioms bet kaip išdėstytų jėgų sistemoms, sudarytoms iš didelio jėgų skaičiaus, supaprastinti taikomi toliau pateikti redukavimo (pertvarkymo) būdai.
PLOKŠČIOSIOS BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOSPirmoji pusiausvyros sąlygų forma Jeigu redukavus plokščiąją bet kaip išdėstytų jėgų sistemą į laisvai pasirinktą redukavimo centrą O sistemos svarbiausias vektorius R ir svarbiausias momentas M[pic]yra lygūs nuliui, tai ir visa jėgų sistema yra ekvivalentiška nuliui:
[pic]
Antroji pusiausvyros sąlygų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema bus pusiausvira, kai visų jėgų momentų suma dviejų kurių nors taškų
A ir B atžvilgiu ir visų jėgų projekcijų į nestatmeną tiesei AB ašį x suma bus lygi nuliui.
[pic]
[pic]
Trečioji pusiausvyros sąlygų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema bus pusiausvira kai visų sistemos jėgų momentų trijų laisvai pasirinktų ir nesančių vienoje tiesėje taškų A, B ir C atžvilgiu algebrinės sumos bus lygios nuliui.
[pic]
[pic]
ERDVINĖ JĖGŲ SISTEMA Erdvinę jėgų sistemą sudaro erdvėje išsidėsčiusios jėgos. Tokia jėgų sistema nagrinėjama laisvai pasirinktos erdvinės koordinačių sistemos atžvilgiu.
erdvinė susikertančių jėgų sistema bus pusiausvira, kai jos atstojamoji jėga R bus lygi nuliui, arba kai visų sistemos jėgų projekcijų į koordinačių ašis sumos bus lygios nuliui. Todėl pusiausvyros sąlygos erdvinei susikertančių jėgų sistemai užrašomos taip:
[pic]
JĖGOS MOMENTAS ERDVĖJE Nagrinėjant erdvinę jėgų sistemą, jėgos momento taško atžvilgiu apibrėžimas, suformuluotas plokščiajai jėgų sistemai, pasidaro nebepakankamas. Plokščiojoje jėgų sistemoje visos jėgos veikė vienoje plokštumoje, todėl pakakdavo žinoti jėgos momento didumą ir kryptį. Erdvinėje jėgų sistemoje tenka atsižvelgti į tai, kad jėgos ir jų momentai gali veikti skirtingose plokštumose.
Kai kūną veikia bet kaip pridėta jėga jos momentas laisvai pasirinkto erdvės arba kūno taško O atžvilgiu bus visiškai nusakomas trimis charakteristikomis:
1. jėgos veikimo plokštuma OAB, einančia per jėgos vektorių F ir tašką O;2
jėgos momento dydžiu, kuris lygus jėgos F modulio ir peties h sandaugai; 3.
kryptimi, kuria jėga suks kūną plokštumoje OAB.
[pic]
[pic]
Jėgos momento apie tašką vektorius
JĖGŲ PORA ERDVĖJE
Išvados: 1. Jėgų poros momentas apibrėžiamas vektoriumi, statmenu jėgų poros veikimo plokštumai, ir nukreiptu į tą pusę, iš kurios žiūrint matyti, kad jėgų pora suka kūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį; 2. Kadangi taškas
O buvo parinktas laisvai, tai jėgų poros momentas-vektorius gali būti pridėtas bet kuriame kūno arba erdvės taške; 3. Sandaugos r ir F rezultatas bus toks pat visoms plokštumoms, lygiagrečioms su jėgų poros veikimo plokštuma. Todėl jėgų porą galima perkelti į bet kurią su jos veikimo plokštuma lygiagrečią plokštumą.
LYGIAGRETUSIS JĖGOS PERKĖLIMAS ERDVĖJE
norint lygiagrečiai perkelti jėgą į bet kurį kitą plokštumos tašką, reikia papildomai pridėti jėgų porą, kurios momentas lygus perkeliamos jėgos momentui taško atžvilgiu, į kurį ši jėga yra perkeliama. ERDVINĖ BET KAIP
IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMA Erdvinė sistema jėgų, kurių veikimo tiesės nesusikerta viename taške ir nėra lygiagrečios, yra vadinama erdvine bet kaip išdėstytų jėgų sistema. Sprendžiant uždavinius tokios jėgų sistemos, kaip ir plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos, gali būti pertvarkomos, taikant redukavimo būdus.
ERDVINĖS BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS
[pic]
[pic]
[pic]
ERDVINĖS LYGIAGREČIŲJŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS Kai erdvinės jėgų sistemos visos jėgos yra lygiagrečios, jos sudaro erdvinę lygiagrečiųjų jėgų sistemą[pic]
VARINJONO TEOREMA, TAIKOMA ERDVINEI JĖGŲ SISTEMAI Varinjono teoremą, įrodytą plokščiajai jėgų sistemai galima taikyti ir erdvinei jėgų sistemai.
Ji skamba taip: erdvinės bet kaip išdėstytų jėgų sistemos atstojamosios momentas bet kurio taško atžvilgiu lygus visų sistemos jėgų momentų to taško atžvilgiu vektorinei sumai.
TRINTIS
SAUSOJO SLYDIMO TRINTIS Sausojo slydimo trintis bus tada, kai du vienas kito atžvilgiu slystantys arba turintys tendenciją slysti paviršiai kontakto vietoje nėra sutepti. Trinties jėga sutampa su kontakto vietos liestine ir visada yra nukreipta priešinga judėjimo arba galimo judėjimo krypčiai. Sausojo slydimo trintis dar yra vadinama Kulono trintimi didinant pridėtą jėgą F, didės ir trinties jėga Ftr Taip gaunama tokia jėgos F reikšmė, kai dar truputį ją padidinus, kūnas pradės judėti, t. y.
trinties jėga Ftr pasieks savo maksimalią reikšmę Ftrmax ir daugiau nebegalės atsverti jėgos F poveikio. Tol, kol veikiamas jėgos F kūnas yra ramybės būsenos, slydimo trinties jėga Ftr yra vadinama statine slydimo trinties jėga.
[pic]
Cia f-trinties propor. Koeficientas.
RIEDĖJIMO TRINTIS
Pasipriešinimas, kuris atsiranda vienam kūnui riedant kito kūno paviršiumi, yra vadinamas riedėjimo trintimi.
[pic]
čia k – riedėjimo trinties koeficientas ir kartu riedėjimo trinties jėgų poros petys.
Riedėjimo trinties koeficientas k priklauso nuo riedančio cilindro ir riedėjimo paviršiaus medžiagų fizikinių charakteristikų.