Mechanika – fizinių mokslų šaka, nagrinėjanti materialiuosius objektus –kūnus, kūnų sistemas, tų sistemų pusiausvyrą, judėjimo dėsnius beimechaninę tarpusavio sąveiką. Statika – mokslas apie pavieniusmaterialiuosius kūnus bei mechanines sistemas veikiančių jėgų pusiausvyrą.Statikos uždaviniai Statikoje vyrauja dviejų rūšių uždaviniai: 1.veikiančios jėgų sistemos pakeitimas kita, jai ekvivalentine, tačiaupaprastesne sistema; 2. bendrųjų sąlygų nustatymas, kai jėgų sistema yrapusiausviraPagrindinės sąvokos Mechanikoje nagrinėjami šie objektai: materialusistaškas, kietasis kūnas ir mechaninė sistema. Materialusis taškas. Be galomažas fizinis kūnas mechanikoje vadinamas materialiuoju tašku. Kietasiskūnas. Statikoje tiriamas absoliučiai kietas kūnas – kūnas, kuriame,veikiant išorinėms jėgoms, atstumai tarp jo taškų nesikeičia, ir kūnasišlaiko savo pirminę geometrinę formą. Realius deformuojamus kūnus galimalaikyti absoliučiai kietais, kai jų deformacijos, lyginant su kūnomatmenimis, yra tokios mažos, kad jų galima nepaisyti. Mechaninė sistema.Materialiųjų taškų, arba kietųjų kūnų, visuma, kurioje kiekvieno taško arbakūno judėjimas priklauso nuo kitų taškų arba kūnų judėjimo ir ryšių tarpjų, yra vadinama mechanine sistema. Jėga. Dviejų materialiųjų kūnųmechaninės sąveikos matas mechanikoje vadinamas jėga. Fizinė jėgosprigimtis teorinėje mechanikoje neturi reikšmės, šiuo atveju mus domina tikveikiančios jėgos sukeltas efektas. Kadangi kūnų tarpusavio mechaninispoveikis yra galimas per tašką arba plokštumą, jėgos yra skirstomos įkoncentruotąsias ir išskirstytąsias. Gamtoje nėra koncentruotųjų jėgų, taitik prielaida, leidžianti supaprastinti sprendžiamus uždavinius.Koncentruotoji jėga yra vektorinis dydis, apibrėžiamas trimis faktoriais:pridėties tašku, kryptimi ir didumu. Vektoriniams dydžiams žymėti naudosimerodyklę “”, pavyzdžiui: r. →F• Jėgos pridėties taškas – tai kūno taškas, įkurį sutelktas jėgos veiksmas. • Jėgos kryptimi vadinama kryptis, kuriapradėtų judėti jėgos veikiamas kūnas, iki tol buvęs pusiausviras. Tiesė,išvesta per jėgos pridėties tašką jėgos veikimo kryptimi, yra vadinamajėgos veikimo tiese. Jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo tiesės• Jėgos didumas pagal tarptautinę matavimo sistemą SI matuojamas niutonais.Vienas niutonas (N) yra jėga, kuri vieno kilogramo (kg) masei suteikiavieno metro (m) per sekundę kvadratu () pagreitį: [pic]Išskirstytosiosapkrovos yra nusakomos pridėties linija arba pridėties plotu, veikimointensyvumu bei kryptimi. Akademinio pobūdžio uždaviniuose tokios apkrovosyra pakeičiamos jas atstojančiomis koncentruotomis jėgomis[pic][pic][pic][pic]Jėgų sistema. Kūną veikiančių jėgų visuma vadinama jėgų sistema. Jėgųsistemas patogu klasifikuoti pagal tai, kaip jos yra išsidėsčiusioserdvėje. Todėl mechanikoje nagrinėjamos: plokščioji jėgų sistema – kaivisos jėgos yra išsidėsčiusios vienoje plokštumoje, ir erdvinė jėgų sistema– kai visų jėgų veikimo tiesės erdvėje yra išsidėsčiusios bet kaip.Teorinės mechanikos pagrindą sudaro dėsniai, kuriuos suformulavo Galilėjusir Niutonas. Tai dėsniai, kuriais apibendrinami ilgaamžiai stebėjimai,bandymai ir praktiniai žmonių darbai. Šie pagrindiniai dėsniai teorinėje
mechanikoje yra aksiomos, t. y. teiginiai, kurie nereikalauja įrodymo.Statikos aksiomos 1 aksioma. Norint, kad dvi kūną veikiančios jėgos būtųpusiausviros, būtina ir pakanka, kad tos jėgos būtų lygios ir veiktų vienatiese priešingomis kryptimis (3 pav.). Tai yra paprasčiausiasatsisveriančių jėgų sistemos atvejis.[pic]2 aksioma. Jei prie veikiančios kūną jėgų sistemos pridėsime ar atimsimeatsisveriančių jėgų sistemą, pavyzdžiui [pic], tai nuo to kūno būvisnepasikeis. Matome, kad jėgos F ir F[pic] sudaro atsisveriančių jėgųsistemą, kurią galima atmesti.[pic][pic]
Išvada: kietąjį kūną veikiančią jėgą galima perkelti išilgai jos veikimotiesės3 aksioma. Dviejų viename kūno taške pridėtų jėgų atstojamoji yra lygi jėgųvektorių geometrinei sumai, t. y. didumu ir kryptimi lygi sudaryto iš tųjėgų lygiagretainio įstrižainei
[pic][pic][pic][pic]Dviejų viename taške pridėtų jėgų [pic] ir [pic]atstojamosios jėgos Rdydį ir kryptį galima rasti analiziniu būdu taikant kosinusų ir sinusųteoremas.• Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas iš trikampio OAB
[pic][pic]• Atstojamosios jėgos R kryptis nusakoma kampais ϕ[pic] ir ϕ[pic]
[pic]4 aksioma. Jėgos, kuriomis du kūnai veikia vienas kitą (akcija irreakcija), yra lygios ir veikia viena tiese priešingomis kryptimis. Šiosjėgos yra pridėtos prie skirtingų kūnų ir nesudaro atsisveriančių jėgųsistemos. Ketvirtoji aksioma yra vienas iš pagrindinių mechanikos dėsnių,nes gamtoje vienpusio jėgos veikimo nėra. 5 aksioma. Jei materialiųjų taškųsistema ar deformuojamas kūnas, veikiamas tam tikrų jėgų, yra pusiausviras,tai ši pusiausvyra nebus suardyta, jei kūnas taps absoliučiai kietu. Tačiauatvirkščia tvarka šio dėsnio taikyti negalima, nes nors jėgų veikiamasabsoliučiai kietas kūnas yra pusiausviras, jam tapus deformuojamuojupusiausvyra gali būti suardyta. 6 aksioma. Bet kurį suvaržytą kūną galimabūtų laikyti laisvuoju, nutraukus ryšius ir vietoj jų pridėjus atitinkamasryšių reakcijų jėgas
1. JĖGOS IR JĖGŲ SISTEMOS Teorinės mechanikos kursas pradedamas nuo jėgossąvokos įvedimo. Naudojant jėgą yra įvertinamas vieno materialiojo kūnomechaninis poveikis kitam materialiajam kūnui. Skaičiavimo schemose jėgavaizduojama kaip vektorius, kurio ilgis atitinka poveikio didumą, o kryptissutampa su poveikio kryptimi. Sprendžiant mechanikos uždavinius, dažnaitenka nagrinėti ne vienos jėgos, bet tam tikros jėgų sistemos, sudarytos išskirtingo didumo ir krypties jėgų, poveikį. Atsižvelgiant į jėgųišsidėstymą erdvėje, bet kuri jėgų sistema gali būti priskirta plokščiajaiarba erdvinei jėgų sistemoms, kurios savo ruožtu yra skirstomos įsusikertančių, lygiagrečiųjų arba bet kaip išdėstytų jėgų sistemas. Todėltoliau aptarsime bendrus atskirų jėgų bei jėgų sistemų poveikių kūnams arbakūnų sistemoms įvertinimo principus. 1.1. JĖGA Pagal geometrinius požymiusstatikos uždaviniai gali būti skirstomi į tris grupes: vienmačiai,dvimačiai (plokštieji) ir trimačiai (erdviniai). Atitinkamai tenka parinktivienos, dviejų arba trijų koordinačių ašių kryptis. Nors daugelis statikosuždavinių yra formuluojami ir sprendžiami naudojant Dekarto koordinačių
sistemą, pasitaiko atvejų, kai koordinačių ašys nėra statmenos viena kitai.Todėl nagrinėsime bendrąjį atvejį – jėgos projekciją į laisvai pasirinktąašį.[pic][pic]Tarkim, kad yra ašis x ir jėga F, pridėta kūno taške A. Jėga ir ašis yravienoje plokštumoje. Iš jėgos pradinio ir galinio taškų leidžiami statmenysį ašį x. Gautoji atkarpa ab ašyje x vadinama jėgos F projekcija į ašį x iryra žymima [pic]:[pic]Jėgos projekcijos[pic] kryptį nusako atkarpos ab atskaitos kryptis – nuotaško a link taško b. Jėgos projekcijos [pic]didumas randamas iš ∆ABC:
[pic]čia F – jėgos modulis (didumas); kampas α matuojamas prieš laikrodžiorodyklę nuo teigiamos x ašies krypties jėgos link. (5) išraiška tinka betkokiai kampo α reikšmei. Kai jėgos projekcijos kryptis nesutampa suteigiama ašies kryptimi (8b pav.), jėgos projekcija turi minuso ženklą,nes:
[pic]Jėgos projekcija į ašį yra skaliarinis dydis, lygus jėgos modulio irkosinuso smailaus kampo tarp ašies ir jėgos sandaugai. Jėgos projekcijosženklą nusako jėgos su teigiama ašies kryptimi kampo kosinusas, pavyzdžiui:[pic]Skirtingos jėgos gali turėti vienodo didumo ir ženklo projekcijas , todėljėgai nustatyti nepakanka žinoti jėgos projekciją į vieną ašį.
[pic][pic]Norint nustatyti jėgą plokštumoje, reikia turėti jos projekcijas į dviviena kitai statmenas koordinačių ašis bei jėgos pridėties tašką
[pic][pic]Jėgos didumas (modulis) randamas taip:
[pic]Kur [pic],[pic]Todėl
[pic][pic]
[pic]Norint nustatyti jėgą erdvėje, reikia žinoti jėgos pridėties tašką ir jėgosdedamąsias pagal tris viena kitai statmenas koordinačių ašis[pic][pic][pic]Jėgos didumas randamas taip:[pic]
Jėgos kryptis nusakoma kampais:
[pic][pic]1.2. JĖGOS MOMENTAS Atvejų, kai jėga stengiamasi vienaip arba kitaippasukti kūną, dažnai pasitaiko praktikoje (13 pav.). Jėgos sukimo veikimuinusakyti įvesime jėgos momento apie tašką sąvoką. r F dA O Nagrinėsimejėgos F sukimą apie tašką O, kuriame vamzdžio (toliau – kūno) ašis kertaplokštumą, kurią sudaro raktas ir jėgos F veikimo tiesė
[pic][pic]Jėgos F sukimo efektas pasireiškia plokštumoje, einančioje per jėgą irtašką O, ir priklauso nuo jėgos F didumo (modulio), peties d dydžio irsukimo krypties. • Jėgos momentas taško atžvilgiu žymimas MO(F) kurindeksas O rodo tašką, apie kurį skaičiuojamas momentas.• Jėgos momentu taško atžvilgiu vadinama jėgos modulio ir peties sandauga:
[pic]Jėgos krypčiai taško atžvilgiu nurodyti prieš sandaugą rašomas (+) arba (–)ženklas. Pagal susitarimą momentas yra teigiamas, kai jėga pasuka kūną apietašką prieš laikrodžio rodyklę , ir neigiamas, – kai kūnas yra pasukamaspagal laikrodžio rodyklę[pic][pic]Jėgos momento taško atžvilgiu skaitinė reikšmė lygi trikampio, kuriopagrindas yra jėga, o viršūnė – taškas, apie kurį skaičiuojamas momentas,dvigubam plotui. Pavyzdžiui, jėgos F momentas taško O atžvilgiu lygustrikampio OAB dvigubam plotui:
[pic]Jėgos momentas taško atžvilgiu pasižymi šiomis savybėmis: • jėgos momentas
taško atžvilgiu lygus nuliui, jei jėgos veikimo tiesė eina per tašką; •jėgos momentas taško atžvilgiu nepasikeičia, kai jėga perkeliama į kitątašką jos veikimo tiesėje, nes nepasikeičia jėgos ir peties didumai beisukimo kryptis. Jėgos momento dimensija – [[pic][pic]].PLOKŠČIOJI JĖGŲ SISTEMA Plokščiąją jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančiosvienoje plokštumoje. 1.3. PLOKŠČIOJI SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMA Plokščiąjąsusikertančių jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančios vienoje plokštumoje irsusikertančios viename taške1.3.1. SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SUDĖTIS Žinome, kad jėgos vektoriaus kryptissutampa su jėgos veikimo kryptimi, o vektoriaus ilgis atitinka jėgosdidumą. Todėl jėgas galima sudėti dviem būdais: geometriškai – grafiškaisudedant jėgų vektorius ir analiziškai – sudedant jėgų vektorių projekcijasį atitinkamas koordinačių ašis. Susikertančių jėgų geometrinė sudėtisSakykime, kad absoliučiai kietą kūną veikia jėgos [pic],[pic]
pridėtos atitinkamai taškuose [pic]
[pic]Į jėgų veikimo tiesių susikirtimo tašką 0 perkeliamos visos jėgos.Pritaikius trečiąją aksiomą ir lygiagretainio taisyklę, sudėjus jėgas[pic]gaunama šių jėgų atstojamoji jėga[pic][pic]Toliau jėgų[pic]
Atstojamoji[pic]sudedama su jėga[pic]Taip paeiliui galima sudėti visas jėgas ir gauti visos sistemosatstojamąją jėgą [pic]
[pic]
Matome, kad, sudedant dvi jėgas, nebūtina sudaryti jėgų lygiagretainį. Tąpatį rezultatą galima gauti prie pirmosios jėgos [pic] galo pridėjusvektorių, kurio didumas ir kryptis atitinka antrosios jėgos didumą [pic] irkryptį. Sujungus pirmosios jėgos pradžią ir pridėtosios jėgos [pic]galą,taip pat gaunama jų atstojamoji [pic]. Taigi galima nuosekliai sudėti visasjėgas
[pic]Gautasis daugiakampis OABCD vadinamas jėgų daugiakampiu, o aprašytas jėgųsudėties būdas vadinamas jėgų daugiakampio taisykle. Šio daugiakampiouždaromoji OD pagal didumą ir kryptį yra lygi jėgų sistemos atstojamajaijėgai [pic][pic]Bendruoju atveju, kai sistemą sudarančių jėgų skaičius yra lygus n, galimaužrašyti:
[pic]kur i = 1, 2, …, n. Taigi susikertančių jėgų sistema pakeičiama viena jaiekvivalentine jėga , pridėta jėgų veikimo tiesių susikirtimo taške, irlygia sistemą sudarančių jėgų geometrinei sumai.
Susikertančių jėgų analizinė sudėtis Atstojamosios projekcijos teorema:plokščiosios, viename taške susikertančių jėgų sistemos atstojamosiosprojekcija į ašį yra lygi sistemą sudarančių jėgų projekcijų į tą pačią ašįalgebrinei sumai.Kūno taške A pridėta plokščioji susikertančių jėgų sistema ([pic])
[pic]
Šios jėgų sistemos atstojamoji R randama taikant jėgų daugiakampiotaisyklę:
[pic]Analiziškai rasti jėgų atstojamosios R dydį galima visas jėgassuprojektavus į x ir y koordinačių ašis
[pic][pic]Ši teorema analogiškai įrodoma esant bet kuriam jėgų skaičiui n, todėlgalima užrašyti:[pic]Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas taip:
[pic]1.3.2. TRIJŲ JĖGŲ TEOREMA Teorema: trijų nelygiagrečių, esančių vienojeplokštumoje, jėgų veikimo linijos susikerta viename taške, jėgų sistemaiesant pusiausvirai. Sakykime, kietąjį kūną veikia trys nelygiagrečios n
tarpusavyje atsisveriančios jėgosF1 ,F2 ,F3 , pridėtos atitinkamai taškuoseA1,A2 ,A3[pic]Jėgos ir veikia vienoje plokštumoje, todėl galima jas perkelti į šių dviejųjėgų veikimo linijų susikirtimo tašką O ir rasti jų atstojamąją jėgą R ,kuri bus pridėta tame pačiame taške. rPagal sąlygą jėgos F1 F2 F3 yrapusiausviros, todėl jėgos F3 ir R turi būti lygių didumų ir veikti vienatiese priešingomis kryptimis. Tai reiškia, kad jėgos F3 veikimo tiesė taippat kerta tašką O.
1.3.3. SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS Susikertančių jėgųsistemos grafinė pusiausvyros sąlyga[pic]Sakykime, kad kūnas yra veikiamas susikertančių jėgų sistemos, sudarytos išn jėgų. Visas jėgas sudedame pagal jėgų daugiakampio taisyklę (22 pav.).Jeigu gautojo jėgų daugiakampio OABC…N paskutiniosios jėgos [pic] galasremiasi į tašką O, t. y. pirmosios jėgos pridėties tašką, tai toks jėgųdaugiakampis yra uždaras, o jo uždaromoji yra lygi nuliui. Kadangi jėgųdaugiakampio uždaromoji pagal dydį ir kryptį yra lygi susikertančių jėgųsistemos atstojamajai jėgai R, tai reiškia, kad:[pic]Taigi susikertančių jėgų sistemos atstojamoji yra lygi nuliui arba, kitaiptariant, jėgų sistema yra ekvivalentinė nuliui ir tokios sistemos veikiamaskūnas niekada nepakeis savo kinematinės būklės. Iš čia gaunama grafinėpusiausvyros sąlyga: veikiamas susikertančių jėgų sistemos kietasis kūnasyra pusiausviras, jei šių jėgų daugiakampis yra uždaras. Susikertančių jėgųsistemos analizinės pusiausvyros sąlygos Jėgų sistemai esant pusiausvirai,jėgų daugiakampis yra uždaras, vadinasi, jėgų sistemos atstojamoji jėga Ryra lygi nuliui. Analiziškai jėgų sistemos atstojamosios modulisišreiškiamas taip:[pic]
[pic]
Išvada: plokščioji viename taške susikertančių jėgų sistema yrapusiausvira, jei jėgų projekcijų algebrinės sumos į dvi viena kitaistatmenas ašis yra lygios nuliui.1.3.4. VARINJONO TEOREMA Teorema: plokščiosios susikertančių jėgų sistemosatstojamosios jėgos momentas bet kurio plokštumos taško atžvilgiu lygussudedamųjų jėgų momentų to paties taško atžvilgiu algebrinei sumai.
[pic]jėgos momentas apie tašką yra lygus trikampio, kurio pagrindas yra patijėga, o viršūnė – taškas, apie kurį skaičiuojamas momentas, dvigubamplotui. Per tašką O jėgų veikimo plokštumoje nubrėšime ašį x, statmenąatkarpai OA, ir rasime jėgos F1 dedamąją jėgą pagal šią ašį F1x matyti, kadtrikampių OAB ir OAC plotai yra lygūs, nes jie turi bendrą pagrindą OA irvienodas aukštines – AC. Todėl jėgos F1 momentą taško O atžvilgiu galimaišreikšti taip:
[pic][pic]Užrašytoji formulė yra Varinjono teoremos matematinė išraiška. Sprendžiantuždavinius, reikia, kad jėgos momentas taško atžvilgiu būtų išreikštasjėgos projekcijomis arba dedamosiomis[pic]
Puanco teorema:(teorema apie lygiagreciu jegu perkelima )F1=F2=FJega galima perkelti lygiagreciai sau į bet kurį tašką dadedant jegu porasu momentu kuris lygus perkialemos jegos momentui atzvelgiu tuo tasko kurjega perkialema.[pic][pic]
ISVADA: plokscia bet kaip isdestyta jegu sistema gali buti privesta priepaprasto pavydalo: 1) prie vienos jegos suminis-vektorius kuri pridetalaisvai parengtajam redagavimo centre ir skaiciuojamas kaip dedamuju jegugeometrine suma 2) ir prie vienos poros su momentu kuris vadinamas suminiu-momentu ir kuris skaiciuojamas kaip dedamuju jegu momentu atzvelgiu tuopaties redukavimo centro algebrine suma.3) suminis-vektorius nepriklauso nuo redukavimo centro o suminis-momentaspriklauso.[pic]1.4. PLOKŠČIOJI LYGIAGREČIŲJŲ JĖGŲ SISTEMA Lygiagrečiąsias jėgas galimavertinti kaip atskirą susikertančių jėgų atvejį, kai tų jėgų susikirtimotaškas yra begalybėje. 1.4.1. LYGIAGREČIAI VEIKIANČIŲ JĖGŲ SUDĖTISSakykime, kad dvi lygiagrečios jėgos F1 ir F2 veikia kūną taškuose A ir Bir yra nukreiptos viena linkme[pic][pic]Išvada: Dviejų lygiagrečių, nukreiptų viena linkme, jėgų atstojamoji yralygiagreti su šiomis jėgomis ir yra nukreipta ta pačia linkme.Atstojamosios modulis lygus šių jėgų modulių sumai, o jos veikimo tiesėdalija atstumą tarp jėgų į dvi dalis atvirkščiai proporcingai šių jėgųdydžiams (moduliams). Be to, atstojamosios jėgos R veikimo tiesės bet kuriotaško atžvilgiu dedamųjų jėgų F1 ir F2 momentai yra lygūs.Dviejų lygiagrečių priešingai nukreiptų jėgų sudėtis Kūno taškuose A ir Bpridėtos dvi lygiagrečiosios priešingų krypčių jėgos F1 ir F2 , be to,F1>F2
[pic][pic]1.4.2. JĖGŲ POROS Kai lygiagrečios priešingai nukreiptos jėgos F1 ir yraF2 lygios, t. y. F1=F2, turime dviejų jėgų sistemą (F1F2), kuri yravadinama jėgų pora.[pic]Išvados: a) jėgų poros atstojamoji R lygi nuliui, o jos pridėties taškasyra begalybėje;b) jėgos, sudarančios jėgų porą, nėra pusiausviros, nes josveikia ne viena tiese; c) jėgų pora yra tokia jėgų sistema, kuri nėrapusiausvira ir neturi atstojamosios.
[pic]Pagrindinės sąvokos: • plokštuma, einanti per jėgų poros veikimo tieses,vadinama jėgų poros veikimo plokštuma; • atstumas h tarp jėgų poros jėgųveikimo tiesių vadinamas jėgų poros petimi; • negalima sutapatinti jėgųporos peties su atstumu tarp jėgų poros jėgų pridėties taškų AB. Jėgų porossukamasis poveikis kitam kūnui priklauso nuo: • jėgų porą sudarančių jėgųmodulio ir peties ilgio h; • jėgų poros veikimo plokštumos padėtieserdvėje; • poros sukimo krypties šitoje plokštumoje. Jėgų poros momentuvadinama vienos iš sudarančių jėgų porą jėgos modulio ir poros petiessandauga. Pagal susitarimą jėgų poros momentas laikomas teigiamu, kai jėgųpora pasuka kūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį, ir neigiamu, kai kūnaspasukamas pagal laikrodžio rodyklę. Jėgų poros momentas yra žymimasM([pic]), arba tiesiog , Mi kur i – jėgų porą sudarančių jėgų indeksas.
[pic]
[pic]Jėgų poros momentas yra lygus vienos iš sudarančių jėgų porą jėgos momentuiapie tašką, kuriame pridėta antroji tos jėgų poros jėga:[pic]Skaitinė jėgų poros reikšmė yra lygi lygiagretainio plotui kurį sudaroporos jėgos, arba dvigubam trikampio plotui kurio pagrindas yra viena iš
jėgų, o aukštinė – jėgų poros petys. Jėgų poros momento M dimensija: [N*m].Jėgų poros savybės 1. Jėgų poros jėgų momentų suma bet kurio taško, esančioporos veikimo plokštumoje, atžvilgiu nepriklauso nuo jo parinkimo vietos iryra lygi jėgų poros momentui. rrSakykime, kad absoliučiai kietąjį kūnąveikia jėgų pora ([pic]) Apskaičiuosime jėgų poros jėgų momentų sumą jėgųporos veikimo plokštumoje laisvai parinkto taško O atžvilgiu:[pic][pic]jėgų poros momentas bet kurio taško, esančio poros veikimo plokštumoje,atžvilgiu yra lygus jėgų poros jėgų momentų apie tą patį tašką algebrineisumai. Išvada: kadangi taškas O buvo pasirinktas laisvai, tai jėgų porągalima perkelti į bet kurią kitą vietą jos veikimo plokštumoje ir nuo tokūno būvis nepasikeis.2. Jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi nuliui.
[pic][pic][pic][pic]Išvada: kadangi jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lyginuliui, tai jėgų poros poveikis kūnui yra įvertinamas tik pagal momentųpusiausvyros lygtis. 3. Jėgų porų ekvivalentiškumo teorema. Jėgų porospoveikis kūnui nepasikeis, jeigu ši jėgų pora bus pakeista kita jėgų pora,veikiančia toje pat plokštumoje ir turinčia tokio pat didumo ir ženklomomentą.
[pic][pic]Išvados: 1. Vienu metu pakeitus jėgų poros jėgų didumus ir petį taip, kadjėgų poros momentas ir jos sukimo kryptis nepakistų, jėgų poros poveikiskietajam kūnui nepakis; 2. Jei h=, matyti, jog poros poveikis kūnuinekinta, kai jėgų pora perkeliama į kitą vietą toje pačioje plokštumoje;12h3. Dvi jėgų poros, veikiančios vienoje plokštumoje ir turinčios vienododidumo ir ženklo momentus, yra ekvivalentiškos; 4. Ekvivalentiškos jėgųporos gali skirtis viena nuo kitos pagal padėtį plokštumoje, sudarančiųjėgų modulius ir šių jėgų kryptis bei peties ilgius, tačiau jėgų porųmomentų didumai ir ženklai turi būti vienodi.1.4.3. JĖGŲ PORŲ SUDĖTIS IR PUSIAUSVYROS SĄLYGA Kai vienoje plokštumojeveikia kelios jėgų poros, jos sudaro jėgų porų sistemą. Bet kuri jėgų porųsistema gali būti pakeista viena atstojamąja jėgų pora, kurios momentaslygus sistemą sudarančių jėgų porų momentų algebrinei sumai.[pic]Perkeliame jėgų porų jėgas į taškus A ir B
[pic]Kai jėgų porų skaičius yra n, atitinkamai turime:
[pic]Remiantis jėgų porų sudėties principu galima suformuluoti jėgų porųsistemos pusiausvyros sąlygą. Vienoje plokštumoje veikiančių jėgų porųsistema bus pusiausvira, kai visų jėgų porų momentų algebrinė suma bus lyginuliui.[pic]
1.4.4. LYGIAGRETUSIS JĖGOS PERKĖLIMAS Puanso teorema: norint perkelti jėgąlygiagrečiai į bet kurį kitą tašką, reikia papildomai pridėti jėgų porą,kurios momentas lygus perkeliamosios jėgos momentui taško, į kurį ši jėgayra perkeliama, atžvilgiu. Įrodymas: Jėga F yra pridėta kūno taške A Jeigulaisvai pasirinktame taške O pridėsime atsisveriančių jėgų sistemą(F1,F2)tai kūno būvis nuo to nepasikeis.
[pic]
[pic]gauname, kad taške O bus pridėta jėga F1, kurios didumas ir kryptis sutampasu jėgos F didumu ir kryptimi, ir jėgų pora, kurios momentas M yra lygusjėgos F momentui taško O atžvilgiu[pic]1.5. PLOKŠČIOJI BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMA Jeigu jėgų sistemos jėgosveikia vienoje plokštumoje, bet nėra viena su kita lygiagrečios irnesusikerta viename taške, tai tokia jėgų sistema yra vadinama plokščiąjabet kaip išdėstytų jėgų sistema. Plokščiosioms bet kaip išdėstytų jėgųsistemoms, sudarytoms iš didelio jėgų skaičiaus, supaprastinti taikomitoliau pateikti redukavimo (pertvarkymo) būdai.PLOKŠČIOSIOS BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOSPirmojipusiausvyros sąlygų forma Jeigu redukavus plokščiąją bet kaip išdėstytųjėgų sistemą į laisvai pasirinktą redukavimo centrą O sistemos svarbiausiasvektorius R ir svarbiausias momentas M[pic]yra lygūs nuliui, tai ir visajėgų sistema yra ekvivalentiška nuliui:[pic]
Antroji pusiausvyros sąlygų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgųsistema bus pusiausvira, kai visų jėgų momentų suma dviejų kurių nors taškųA ir B atžvilgiu ir visų jėgų projekcijų į nestatmeną tiesei AB ašį x sumabus lygi nuliui.
[pic][pic]Trečioji pusiausvyros sąlygų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgųsistema bus pusiausvira kai visų sistemos jėgų momentų trijų laisvaipasirinktų ir nesančių vienoje tiesėje taškų A, B ir C atžvilgiu algebrinėssumos bus lygios nuliui.[pic][pic]
ERDVINĖ JĖGŲ SISTEMA Erdvinę jėgų sistemą sudaro erdvėje išsidėsčiusiosjėgos. Tokia jėgų sistema nagrinėjama laisvai pasirinktos erdvinėskoordinačių sistemos atžvilgiu.erdvinė susikertančių jėgų sistema bus pusiausvira, kai jos atstojamojijėga R bus lygi nuliui, arba kai visų sistemos jėgų projekcijų įkoordinačių ašis sumos bus lygios nuliui. Todėl pusiausvyros sąlygoserdvinei susikertančių jėgų sistemai užrašomos taip:
[pic]JĖGOS MOMENTAS ERDVĖJE Nagrinėjant erdvinę jėgų sistemą, jėgos momentotaško atžvilgiu apibrėžimas, suformuluotas plokščiajai jėgų sistemai,pasidaro nebepakankamas. Plokščiojoje jėgųsistemoje visos jėgos veikė vienoje plokštumoje, todėl pakakdavo žinotijėgos momento didumą ir kryptį. Erdvinėje jėgų sistemoje tenka atsižvelgtiį tai, kad jėgos ir jų momentai gali veikti skirtingose plokštumose.Kai kūną veikia bet kaip pridėta jėga jos momentas laisvai pasirinktoerdvės arba kūno taško O atžvilgiu bus visiškai nusakomas trimischarakteristikomis:1. jėgos veikimo plokštuma OAB, einančia per jėgos vektorių F ir tašką O;2jėgos momento dydžiu, kuris lygus jėgos F modulio ir peties h sandaugai; 3.kryptimi, kuria jėga suks kūną plokštumoje OAB.[pic]
[pic]
Jėgos momento apie tašką vektorius
JĖGŲ PORA ERDVĖJE
Išvados: 1. Jėgų poros momentas apibrėžiamas vektoriumi, statmenu jėgųporos veikimo plokštumai, ir nukreiptu į tą pusę, iš kurios žiūrint matyti,kad jėgų pora suka kūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį; 2. Kadangi taškas
O buvo parinktas laisvai, tai jėgų poros momentas-vektorius gali būtipridėtas bet kuriame kūno arba erdvės taške; 3. Sandaugos r ir F rezultatasbus toks pat visoms plokštumoms, lygiagrečioms su jėgų poros veikimoplokštuma. Todėl jėgų porą galima perkelti į bet kurią su jos veikimoplokštuma lygiagrečią plokštumą.LYGIAGRETUSIS JĖGOS PERKĖLIMAS ERDVĖJEnorint lygiagrečiai perkelti jėgą į bet kurį kitą plokštumos tašką, reikiapapildomai pridėti jėgų porą, kurios momentas lygus perkeliamos jėgosmomentui taško atžvilgiu, į kurį ši jėga yra perkeliama. ERDVINĖ BET KAIPIŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMA Erdvinė sistema jėgų, kurių veikimo tiesėsnesusikerta viename taške ir nėra lygiagrečios, yra vadinama erdvine betkaip išdėstytų jėgų sistema. Sprendžiant uždavinius tokios jėgų sistemos,kaip ir plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos, gali būtipertvarkomos, taikant redukavimo būdus.ERDVINĖS BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS[pic][pic][pic]ERDVINĖS LYGIAGREČIŲJŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS Kai erdvinės jėgųsistemos visos jėgos yra lygiagrečios, jos sudaro erdvinę lygiagrečiųjųjėgų sistemą[pic]
VARINJONO TEOREMA, TAIKOMA ERDVINEI JĖGŲ SISTEMAI Varinjono teoremą,įrodytą plokščiajai jėgų sistemai galima taikyti ir erdvinei jėgų sistemai.Ji skamba taip: erdvinės bet kaip išdėstytų jėgų sistemos atstojamosiosmomentas bet kurio taško atžvilgiu lygus visų sistemos jėgų momentų totaško atžvilgiu vektorinei sumai.TRINTIS
SAUSOJO SLYDIMO TRINTIS Sausojo slydimo trintis bus tada, kai du vienaskito atžvilgiu slystantys arba turintys tendenciją slysti paviršiaikontakto vietoje nėra sutepti. Trinties jėga sutampa su kontakto vietosliestine ir visada yra nukreipta priešinga judėjimo arba galimo judėjimokrypčiai. Sausojo slydimo trintis dar yra vadinama Kulono trintimididinant pridėtą jėgą F, didės ir trinties jėga Ftr Taip gaunama tokiajėgos F reikšmė, kai dar truputį ją padidinus, kūnas pradės judėti, t. y.trinties jėga Ftr pasieks savo maksimalią reikšmę Ftrmax ir daugiaunebegalės atsverti jėgos F poveikio. Tol, kol veikiamas jėgos F kūnas yraramybės būsenos, slydimo trinties jėga Ftr yra vadinama statine slydimotrinties jėga.[pic]Cia f-trinties propor. Koeficientas.
RIEDĖJIMO TRINTIS
Pasipriešinimas, kuris atsiranda vienam kūnui riedant kito kūno paviršiumi,yra vadinamas riedėjimo trintimi.
[pic]čia k – riedėjimo trinties koeficientas ir kartu riedėjimo trinties jėgųporos petys.Riedėjimo trinties koeficientas k priklauso nuo riedančio cilindro irriedėjimo paviršiaus medžiagų fizikinių charakteristikų.