dvieju kunu sistema

1. Šarnyrinis kūnų sujungimas

1.1 Užduotis:
Paskaičiuoti plokščiosios dviejų kūnų sistemos išorines ir vidines ryšių reakcijas, kai kūnai sujungti šarnyriškai arba šliaužiklio pagalba. Nustatyti koks turi būti kūnų sujungimas, kad įtvirtinimo A reakcijos jėga būtų mažiausia. Atlikti abiejų skaičiavimų patikrinima vektoriniu būdu ir įvertinti paklaidą. Rezultatus pateikti lentelėje, reakcijų vektorius pažymėti schemose, suformuoluoti išvadas. Užduoties duomenys:

Schemos mazgų įtvirtinimai:
A – nepaslankus šarnyras C – paslankus šarnyras lygiagrečia strėlei plokštuma
B – šarnyrinis kūnų sujungimas D – paslankus šarnyras horizontalia plokštuma
Rasti: Rax, Ray, Bx, By, Rc, Rd
Matavimo vienetai:
l1 – l9 – [m]; q111, q12 , q2 – [kN/m];
α , β , δ , γ – [°]; P1, P2 – [kN];
M1, M2 – [kNm] ;

1.1 pav. Dviejų kūnų sistemos schema

1.2 Skaičiuojamosios schemos sudarymas

1.2 pav. Skaičiuojamoji schema

1.3 pav. Nagrinėjamo kūno AT skaičiuojamoji schema

1.4pav. Nagrinėjamo kūno BD skaičiuojamoji schema

1.3 Jėgų sistemos pusiausvyros tyrimas

Nagrinėjame kūną AT ( 1.3 pav.). Pusiausvyros sąlygos:

(1)

(2)

(3) (3)

Nagrinėjame kūną BD ( 1.4 pav.). Pusiausvyros sąlygos:

(4)

(5)

(6)

Lygčių sistemas jungiame į vieną. Žinome, kad:

, , nes ,

Lygčių sistemos sprendimas matematine programa Maple:
> P1:=5;
M1:=3;
Q1:=1/2*4*2;
Q2:=2*2;
P2:=17;
M2:=7;

> Fx1:=Rax-Bx-P1-Q1*cos(convert(60*degrees,radians))=0;
Fy1:=-Ray-By-Q1*cos(convert(30*degrees,radians))=0;
Ma1:=M1-P1*cos(convert(60*degrees,radians))*9-By*cos(convert(30*degrees,radians))*7-Bx*cos(convert(60*degrees,radians))*7-Q1*1.667=0;

> Fx2:=Bx-Rc+Q2+P2*sin(convert(60*degrees,radians))=0;
Fy2:=By+P2*cos(convert(60*degrees,radians))-Rd=0;
Mb1:=-M2-P2*sin(convert(60*degrees,radians))*2+4*Rc-6*Q2=0;

> eq:={Fx1,Fy1,Ma1,Fx2,Fy2,Mb1};
ats:=solve(eq);
evalf(ats,4);

> RA1:=evalf(sqrt(3.389^2+(-1.232)^2),4);

1.4 Rezultatai

1lentelė. Išorinės ir vidinės ryšių reakcijos:

3.389 kN -1.232 kN -3.611kN -2.232 kN 15.11 kN 6.268 kN 3.606 kN

1.5 Patikrinimas vektoriniu būdu:
1.6
Patikrinimui pasirenku tašką O(1,1) ir rašome momentą aplink jįį:

> P1:=5;
M1:=3;
Q1:=1/2*4*2;
Q2:=2*2;
P2:=17;
M2:=7;

> with(linalg):

Ra:=vector([3.389,1.232,0]);

Q1:=vector([-Q1*cos(convert(60*degrees,radians)),-Q1*sin(convert(60*degrees,radians)),0]);

M1:=vector([0,0,M1]);

M2:=vector([0,0,-M2]);

P1:=vector([-P1,0,0]);

P2:=vector([P2*sin(convert(60*degrees,radians)),P2*cos(convert(60*degrees,radians)),0]);

Q2:=vector([Q2,0,0]);

Rc:=vector([-15.11,0,0]);

Rd:=vector([0,-6.268,0]);

> RaO:=vector([0-1,0-1,0]);
Rq1O:=vector([1.667*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-1.667*sin(convert(30*degrees,radians))-1,0]);
Rp1O:=vector([9*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-9*sin(convert(30*degrees,radians))-1,0]);
Rp2O:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+2-1,0]);
Rq2O:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+6-1,0]);
Rrc:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+4-1,0]);
Rrd:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+8-1,0]);

> delta=crossprod(RaO,Ra)+crossprod(Rq1O,Q1)+crossprod(Rp1O,P1)+crossprod(Rp2O,P2)+crossprod(Rq2O,Q2)+crossprod(Rrc,Rc)+crossprod(Rrd,Rd)+M1+M2;
evalm(%);
evalf(%);
paklaida:=evalf(0.00296220/1.232*100,2);

>

2. Kūnų sujungimas mova

2.1 pav. Dviejų kūnų sistema

2.1 Skaičiuojamosios schemos sudarymas

2.2 pav. Skaičiuojamoji schema

2.3 pav. Nagrinėjamo kūno AT skaičiuojamoji schema

2.4 pav. Nagrinėjamo kūno BD skaičiuojamoji schema

2.2 Jėgų sistemos pusiausvyros tyrimas

Nagrinėjame kūną AT ( 2.3 pav.). Pusiausvyros sąlygos:

(1)

(2)

(3) (3)

Nagrinėjame kūną BD ( 2.4 pav. ). Pusiausvyros sąlygos:

(1)

(2)

(3)

Lygčių sistemas ju

ungiame į vieną. Žinome, kad:

, , nes ,

Lygčių sistemos sprendimas matematine programa Maple:

> P1:=5;

M1:=3;
Q1:=1/2*4*2;

Q2:=2*2;

P2:=17;

M2:=7;

> Fx1:=Rax-B*sin(convert(30*degrees,radians))-P1-Q1*cos(convert(60*degrees,radians))=0;
Fy1:=-Ray-B*cos(convert(30*degrees,radians))-Q1*cos(convert(30*degrees,radians))=0;
Ma1:=M1-P1*cos(convert(60*degrees,radians))*9-B*7+Mb-Q1*1.667=0;

> Fx2:=B*sin(convert(30*degrees,radians))-Rc+Q2+P2*sin(convert(60*degrees,radians))=0;
Fy2:=B*cos(convert(30*degrees,radians))+P2*cos(convert(60*degrees,radians))-Rd=0;
Mb1:=-M2-Mb-P2*sin(convert(60*degrees,radians))*2+4*Rc-6*Q2=0;

> eq:={Fx1,Fy1,Ma1,Fx2,Fy2,Mb1};
ats:=solve(eq);
evalf(ats,4);
RA2:=sqrt(5.828^2+1.434^2);

>

2.3 Rezultatai

2 lentelė. Išorinės ir vidinės ryšių reakcijos:

5.828 kN -1.434 kN -2.345 kN 9.756 kN 17.55 kN 6.469 kN 6.002 kN

2.5 Patikrinimas vektoriniu būdu:

Patikrinimui pasirenku tašką O(1,1) ir rašome momentą aplink jį:

> P1:=5;
M1:=3;
Q1:=1/2*4*2;
Q2:=2*2;
P2:=17;
M2:=7;

> with(linalg):

> Ra:=vector([5.828,1.434,0]);
Q1:=vector([-Q1*cos(convert(60*degrees,radians)),-Q1*sin(convert(60*degrees,radians)),0]);
M1:=vector([0,0,M1]);
M2:=vector([0,0,-M2]);
P1:=vector([-P1,0,0]);
P2:=vector([P2*sin(convert(60*degrees,radians)),P2*cos(convert(60*degrees,radians)),0]);
Q2:=vector([Q2,0,0]);
Rc:=vector([-17.55,0,0]);
Rd:=vector([0,-6.469,0]);

> RaO:=vector([0-1,0-1,0]);
Rq1O:=vector([1.667*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-1.667*sin(convert(30*degrees,radians))-1,0]);
Rp1O:=vector([9*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-9*sin(convert(30*degrees,radians))-1,0]);
Rp2O:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+2-1,0]);
Rq2O:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+6-1,0]);
Rrc:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+4-1,0]);
Rrd:=vector([7*cos(convert(30*degrees,radians))-1,-7*sin(convert(30*degrees,radians))+8-1,0]);

> delta=crossprod(RaO,Ra)+crossprod(Rq1O,Q1)+crossprod(Rp1O,P1)+crossprod(Rp2O,P2)+crossprod(Rq2O,Q2)+crossprod(Rrc,Rc)+crossprod(Rrd,Rd)+M1+M2;
evalm(%);
evalf(%);

paklaida:=0.00246446/1.434*100;

>

3. Išvados

Vektorių kryptys priešingos skaičiavimo pradžioje pasirinktoms skaičiuojamosiose schemose (2 pav.). Įtvirtinimo A reakcijos jėga yra mažesnė tada, kai kūnai yra sujungti šarnyriškai, o ne mova prie BD. Abiejų skaičiavimų tikslumas neviršija leistinos 2% paklaidos.

Leave a Comment