Vektoriu savybes

Pagrindinės vektorių są-vokos. Kryptinis vekt. Tai yra apibrėžto il-gio atkarpa erdvėje kurioje nurodyta jos pradžios ir galo taškai. Jei A – vekto-riaus pradžios tšk., o B – galo. Tai vektorius žymi-mas AB>. Vektoriaus AB> ilgiu arba moduliu vad atstumą tarp taškų A ir B ir žym |AB>|. Vektorius kurio pradžios tšk sutampa su galo tšk vadinamas nu-liniu vektorium. Jis žymimas 0>. Kryptis yra neapibrėžta. Vienoje tiesė-je arba lygiag tiesėse esan-tys vektoriai vad kolinia-riais a>//b>. Vektoriai lygiag vienai plokšt vad komplanariais. Vektoriai vadinami lyygiais kai jie yra vienodo ilgio, kolinea-rūs ir vienodų krypčių.
a>=b>. du kolinearūs vienodo ilgio bet priešingų krypčių vektoriai vadinami priešingais. Vekt a> priešingas vektorius žym
–a>.
Veiksmai Norint sudėti du vektorius a> ir b> juos atkeliam į bendrą pradžios tšk ir sudedame lygiagretainį, kurio kraš-tinės sutampa su vekto-riais. (lygiagretainio taisy-klė). Pagal trikampio tai-syklę patogu sudėti, kai tu-rime daugiau negu du vek-torius. Tris nekomplana-rius vektorius galima sudė-ti pagal gretasienio taisy-klę. Vektorių a> ir b> skirtumu vadiname tokį vektorių c> kurį pridėję prie veekt b> gausime vekt a>. c>=a>-b>. Vektoriaus a> ir sk * sandauga vadinamas vektorius b>, kolinearus a>. jo ilgis |b>| = |*|*|a>|, o kryptis ta pati kaip ir a>, kai * > 0 ir priešinga krypt kai * < 0. b> = * a>. Vekt. kurio ilgis 1, o kr

rypt sutampa su a> vadinama vienetiniu vekt arba ortu.
Vektorių proje-kcijos ir jų savybės. AB> lygus a> projekcija pa-sirinktoje projekcijų ašyje l vadin A1B1> ilgis kai A1B1> kryptis sutampa su ašies l kryptimi ir A1B1> ilgis su – ženklu, kai kryptys priešingos. prl a> = +-| A1B1>|.Savybės. 1. Jei AB> * l tai projekcija 0. 2. Lygių vektor projek toje pačioje ašyje yra lygios. 3. prla>= |a>| cos * 4. Sudedant kelis vektor jų projekcijos sudedamos. 5. Dauginant vektorių iš skaliaro iš jo pasidaugina ir vektor projekcija.
Vektorių sandauga. A. dviejų vektor a> ir b> vektorinė sandauga vadiname vektorių c> kuris tenkina sąlygas: 1) |c>| = |a>| |b>| sin *, kampas * tarp a ir b 2) c> * a>, c> * b> 3) c> nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo a> sukame prie b> trupiausiu keliu prieš laaikrodžio rodyklę.Q*=| a> x b>| Savybės. a> x b> = – b> x a> *(a> x b>) = * a> x b> = a> x * b> (a> + b>) x c> = a> x c> + b> x c> a> // b> * 0> Trijų vektorių mišri sandauga. A. trijų vektorių a>, b> ir c> mišriąja sandauga vadiname sk skaliariškai padauginus a> x b> iš c> žymine (a> x b>) c>.
Geometrinė prasmė: Vgret=| (a> x b>) c>|; Vpir= 1/6 | (a> x b>) c>| Savybės: jeigu a> b> c> komplanarūs, tai (a
a> x b>)c> = 0 – omplanarumo sąlyga. (a> x b>)c> = (b> x c>) a> = (c> x a>)b>
Bendroji plokštumos lygtis. plokštuma statmena n> = ( A,B,C). tšk. M0(x0,y0,z0) yra toje plokš-tumoje. Parašysime tos plokštumos lygtį. n> – vad plokštumos normaliniu vekt. Tegul M(x,y,z) bet kuris sistemos plokštumos taškas. n> statm M0M>*n>*M0M>=0 I. A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 – lygtis plokštumos einan-čios per M0(x0,y0,z0) ir statmena n> = ( A,B,C). Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0) = . Pažymime -(Ax0+By0+Cz0) = D. II. Ax+By+Cz+D = 0 – bendroji plokštumos lyg-tis.
Kampas tarp dviejų plokštumų, statmenumo ir lygiagretumo sąlyga. Tegul plokšt P1 ir P2 duotos bendrosiomis lygti-mis: P1: A1x + B1y + C1z + D = 0; P2: A2x + B2y + C2z + D = 0. Susikirsdamos plokštumos sudaro dvisienius gretuti-nius kampus. Kampu tarp šių plokštumų vadiname bet kurį iš jų. Vienas iš šių kampų yra lygus kampui tarp plokštumų normal vektorių. n1> = (A1,B1,C1); n2> = (A2,B2,C2). n1> * n2> = | n1>| * |n2>|cos *.Cos * = (n1>*n2>)/|n1>| * |n2>| – kampas tarp plokštumų. Cos*=(A1A2+B1B2+
+C1C2)/(*A12+B12+C12**A22+B22+C22). P1 * P2 (jeigu)* n1> * n2> * n1> * n2> = 0; A1A2+B1B2+C1C2 = 0 –
Plokštumos statmen sąlyga. Jeigu P1//P2 * n1>//n2> * A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 – plokš-tumos lygiagret sąly-ga.
Taško atstumas nuo plokšumos. Ax+By+Cz+D=0Jei tšk.M3(x0,y0,z0)M1(x1,1y1,z1)taško atstumu nuo plokštumos vadinsime statmens nuleisto iš taško į plokštumą ilgį. n>(A,B,C)M1M3> // n>; d = |n> * M1M3>| / |n>|;M1M3> = (x0-x1,y0-y1,z0-z1)d = |A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)| / *A2+B2+C2 = |Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1)| / *A2+B2+C2Kadangi tšk M1(x1,y1,z1) yra plokštumoje tai jo koordinatės tenkina plokštumos lygtį t.y Ax1+By1+Cz1+D = 0; Ax1+By1+Cz1= – D. d = |Ax0+By0+Cz0+D| / *A2+B2+C2 – taško atstu-mas nuo plokšt. T
Tiesės erdvėje R3 kanoninės ir parametrinės lygtys. 1) duota tšk tiesėje M1(x1,y1,z1) 2) duota S>(l,m,n) // tiesei vadinamas kryptiniu vekt. M1M> // S>; M1M> = (x-x1,y-y1,z-z1). Kolinearių vektorių koordinatės pro-porcingos. x-x1/ l = y-y1/ m = z-z1/ n – šios lygtys vadinamos kanoninėmis tiesės lygtimis. x = lt+x1; y = mt+y1; z=nt+z1 – parametrinės lygtys. {Lygtis tiesės einančios per du duotus taškus: x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1.}
Bendroji tiesės erdvėje R3 lygtis. Jos lygtis yra dviejų plokš-tumų lygčių sistema. {A1x B1y+C1z+D1=0 { A2x +B2y+C2z+D2=0 jas vad kanoninėmis tiesės lygti-mis. norint rasti tašką vie-nam iš kintam suteikiam bet kurią skait reikšmę ir pirmą lygčių sistemą išsprendžiam kitų dviejų atžvilgiu. S> * n1>n2>; S> = n1> x n2>; n1>=(A1,B1,C1) n2>=(A2,B2,C2);
Kampas tarp tiesės erdvėje R3. Jeigu tiesės duotos kanoninėmis lygti-mis x-x1/ l1 = y-y1/m1 =z-z1/n1 (t1); x-x2/ l2 = y-y2/m2 = z-z2/n2 (t2). Kampą tarp tiesų laikysi-me kampą tarp tų tiesių krypties vaektorių. Cos * = S1> *S2> / |S1>| |S2>|; Cos * = (l1l2+m1m2+n1n2)/(*l12+m12+n12+*l22+m22+n22) – kampas tarp tiesės. t1//t2 * S1> // S2> * l1/l2=m1/m2=n1/n2 – tiesės lygiagretumo sąlyga. t1*t2*S1>*S2>*S1> * S2>=0, l1l2+m1m2+n1n2=0 – statmenumo sąlyga.
Kampas tarp tiesės ir plokštumos. A. kampu * tarp tiesės x-x1/l = y-y1/m = z-z1/n ir plokštumos Ax+By+Cz+D=0 laikomas kampas kurį sudaro duota tiesės su savo projekcija plokštumoje. Sin * = S> * n> / |S>| * |n>| = Al+Bm+Cn/*l2+m2+n2 **A2+B2+C2; tiesė ir plokštuma yra // kai S> * n> t.y. Al+Bm+Cn=0
Bendroji tiesės lygtis erdvėje R2. Tiesės esančios pl
lokštumoje XOY padėtis yra nustato-ma kai žinomas jos vienas taškas M1(z1,y1) ir jai statmenas vektorius n> =(A,B). Pažymėkime tie-sėje bet kurį tšk M(x,y) tada vekt M1M> =(x-x1;y-y1) bus tiesėje todėl M1M> * n>. Iš vekt statmen sąlygos M1M> * n> =0 arba A(x-x1)+B(y-y1)=0. Lygtį vadinam tiesės einančios per duotą tšk M1 statmenai duotam vekt n> lygtimi. Ax+By+C=0 – bendroji tiesės lygtis.
Kryptinė tiesės lygtis. Plokštumoje XOY esančios tiesės padėtis taip pat nustatyta kai žinomas vienas jos tšk M1(x1,y1) ir krypties vektorius. Tiesės krypt vekt krytį galima nustatyti kampais * ir * kuriuos tas vekt sudaro su OX ir OY ašimis. Tada orto S0> kordin yra šių kampų cosinus. S0> = (cos *, cos *)=( cos *, cos(*/2- *)= (cos *, sin *). Pažymėkim tiesėje bet kurį tšk M(x,y). kadangi M1M> // S0> tai (x-x1)/cos *=(y-y1)/sin * arba y-y1=tg * (x-x1). Pažymėkime tg * = k, y-y1=k(x-x1). A. skaičius k = tg * vadiname tiesės krypties koeficientu, o y-y1=k(x-x1) lygtį – lygtimi tiesės einančios per tšk M1, kurios krypt koef lygus k. susikirtimo tšk B(0,b) ir įrašius į y-y1=k(x-x1) vietoj x1 ir y1 gauname y=kx+b. atskiru atveju, jei tiesė eina per kord prdž tšk tai jos krypt lygtis yra y=kx.
Apskritimas Apskritimu vad aibė plokšt tšk kurių kiekvienas yra lygiai nutolęs nuo pastovaus tšk. Pastovus tšk vad apskri-timo centru, o apskritimo bet kurio tšk atstumas nuo centro – spinduliu. Parašykime apskritimo lygtį kai bet kuris tšk M(x,y) centras C(a,b), o spindulys – r. remiantis apibrėžimu galima parašyti |CM>| = r. tačiau CM> = (x-a,y-b) todėl |CM>| = *(x-a)2+(b-y)2 tai įrašę į |CM>| = r ir pakėlę kvadratu gauname apskritimo kanoninę lygtį (x-a)2+(y-b)2=r2. Atskiru atveju kai apskrit centras sutampa su kord pradžios tšk t.y kai a=b=0 apskritimo lygtis yra x2+y2=r2
Elipsė. A. Elipse vad aibę plokštumos tšk. kai kiekvieno aibės tšk. atstumu iki dviejų pastovių tšk. suma yra pastovus dydis lygus 2a.// Pastovius tšk. žymine raidėmis F1 ir F2 ir vadiname elipsės židiniais. Židiniai yra tšk. F1(-c,0) ir F2(c,0). Atstumas tarp jų 2c. Imkime bet kurį elipsės tšk. M(x,y) atstumu |F1M>| ir |F2M>| suma yra pastovus dydis (Iš A.) |F1M>|+|F2M>|=2a. kadangi trikampio F1MF2 dviejų kraštinių ilgių suma didesnė už trečios kretinės ilgį, tai 2a>2c. Vadinasi a>c. Dabar parašykime vekt F1M> ir F2M> ir jų ilgius: |F1M>|=*(x+c)2+y2; |F2M>|=*(x-c)2+y2. Įstatykime į lygtį |F1M>|+|F2M>|=2a; *(x+c)2+y2+*(x-c)2+y2=2a. tai ir yra elipsės lygtis. Perkelkime antrajį kairės pusės narį į dešinę, po to abi puses pakelkime kvadratu sutrauk pan narius ir suprast iš 4. Turėsime lygtį a*(x-c)2+y2=a2-cx dar kartą pakėlę kvadratu ganame (a2+c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). Kadangi a>c tai a2>c2. Skirtumą a2-c2 pažymėkime b2. Tuomet galime parayti lygtį šitaip: b2x2+a2y2=a2b2 arba abi puses padalinę iš a2b2 gauname x2/a2+y2/b2=1. i lygtis vadinama kanonine elipsės lygtimi.
Hiperbolė. A. Hiperbole vadinama aibė plokštumos tšk. kai kiekvieno aibės tšk. atstumu iki dviejų patov tšk. skirtumas yra pastovus dydis +-2a.// Pastovius tšk. žymime raid F1 ir F2 vadiname hiper židi. Sakykime židiniai yra tšk. F1(-c,0) ir F2(c,0) atstumas tarp jų 2c. Iš A. žinome atstumų |F1M>| ir |F2M>| skirtumas yra past dydis. |F1M>|-|F2M>|=+-2a. Pertvarkę šią lygtį panašiai kaip ir elipsės gauname hiperbolės kanoninę lygtį: x2/a2-y2/b2=1
Parabolė. A. parabole vad aibę plokšt tšk. vienodai nutolusių nuo duotojo tšk. ir duot tiesės.// duotasis tšk. F vad židiniu, o duot tiesė DE – jos direktrise. Sakykime židinys yra tšk. F(p/2;0), p>0 ir jo atstumas nuo KF iki direktrisės DE lygus p. Tada direktrisės lygtis x= -p/2. Imkime bet kurį parabolės tšk. M(x,y) iš A. |FM>|=|NM>| dabar paraykime vektoriaus FM> ir NM> bei jų ilgius: FM>=(x-p/2;y);NM>=(x+p/2;0), |FM>|=*(x-p/2)2+y2; |NM>|=|x+p/2|. Įstatykime gautas išraiškas į |FM>|=|NM>| lygtį: *(x-p/2)2+y2=|x+p/2|. Tai yra parabolės lygtis. Norėdami šią lygtį suprastinti pakelkime abi puses kvadratu ir sutrauk panaš narius. (x-p/2)2+y2=(x+p/2)2; x2-px+p2/4+y2=x2+px+p2/4; y2=2px – parabolės kanoninė lygtis.

Leave a Comment