Tolygusis ir Normalusis skirstiniai

Tolygusis skirstinys

Tolygusis skirstinys

X~U(a, b).

0x08 graphic
Atsitiktinio dydžio X skirstinį vadinsime tolygiuoju atkarpoje [a; b], jei jo tankio funkcija:

0x01 graphic
.

Iš apibrėžimo išplaukia, kad tolygiai pasiskirsčiusio dydžio X tankio funkcija yra pastovi atkarpoje [a, b], t.y. tikimybė, kad taškas pateks į atkarpą [a; b] yra proporcinga tos atkarpos ilgiui.

0x08 graphic

Tolygaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija:

0x01 graphic
.

Statistinės charakteristikos:

0x01 graphic
;

0x01 graphic
;

0x01 graphic
.

Užd. 1. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirstęs intervale [2; 7].

Užrašykite: 1) tankio funkciją; 2) pasiskirstymo funkciją; 3) statistines charakteristikas.

1) 0x01 graphic
.

2) 0x01 graphic
.

3) 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Užd. 2. Autobusas važiuoja tiksliai pagal grafiką kas 5 minutes.

1) Raskite tikimybę, kad keleivis lauks autobuso ne ilgiau kaip 3 minutes.

2) Apskaičiuokite vidutinį laukimo laiką bei nuokrypį.

1) 0x01 graphic

0x01 graphic

2) 0x01 graphic
(min.); 0x01 graphic
; 0x01 graphic
(min.).

Užd. 3. Duota atsitiktinio dydžio X tankio funkcija:

0x01 graphic
.

Raskite šio dydžio pasiskirstymo funkciją ir vidurkį.

1 būdas:

0x01 graphic
.

Kai 0x01 graphic
: 0x01 graphic
.

Kai 0x01 graphic
: 0x01 graphic
.

Kai 0x01 graphic
:0x01 graphic
.

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija:

0x01 graphic
.

0x01 graphic
.

2 būdas:

Pastebėjus, kad duotas tolygusis skirstinys su parametrais a=0; b=5:

0x01 graphic
.

0x01 graphic

Normalusis skirstinys

X~N(a, 0x01 graphic
).

Centrinė ribinė teorema tvirtina, kad normalusis dėsnis nusako skirstinį tokio atsitiktinio dydžio, kuris gaunamas sumuojant didelį skaičių kitų nepriklausomų ar silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra „dominuojančių“.

Nustatyta, kad normalusis dėsnis patenkinamai aproksimuoja daugelį praktikoje pasitaikančių skirstinių, pvz.: 1)molekulės judėjimo greitis dujose, 2) vidutines oro temperatūros, 3) matavimo prrietaisų paklaidos ir pan.

0x08 graphic

Normalaus skirstinio (Gauso) tankio funkcija:

0x08 graphic

0x01 graphic
.

0x08 graphic

Normalaus skirstinio (Gauso) pasiskirstymo funkcija:

0x01 graphic
.

Statistinės charakteristikos:

0x01 graphic
;

0x01 graphic
;

0x01 graphic
.

Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį bus intervale 0x01 graphic
:

0x01 graphic
.

0x01 graphic
– Laplaso funkcija (nelyginė, t.y. 0x01 graphic
).

(reikšmes žr. lentelėje).

0x08 graphic

Trijų sigma taisyklė: jei atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį, tai jo galimos reikšmė

ės nuo vidurkio nutolsta ne toliau kaip per 3 standartinius nuokrypius (per 3 sigmas):

0x01 graphic
(10x01 graphic
taisyklė);

0x01 graphic
(20x01 graphic
taisyklė);

0x01 graphic
(30x01 graphic
taisyklė).

Užd. 1. Žinome, kad gaminio savikaina X yra normalusis atitiktinis dėsnis: X~N(15; 0,2).

1) Raskite tikimybę, kad savikaina bus ne didesnė kaip 15,4, bet ne mažesnė nei nei 14,7 Lt.

2) Į kokį intervalą praktiškai visada patenka gaminio savikaina?

1) Kadangi X~N(15; 0,2), tai a=15, 0x01 graphic
=0,2.

0x01 graphic
.

0x01 graphic

2) Pagal 3-jų sigma taisykle:

0x01 graphic
;

0x01 graphic
;

0x01 graphic
;

0x01 graphic
;

0x01 graphic
.

Gaminio savikaina patenka į 14,4-15,6 Lt intervalą su tikimybe 0,997.

Užd. 2. Atsitiktinis dydis X~N(6; 2).

a) Užrašykite: 1) statistines charakteristikas; 2) tankio funkciją; 3) pasiskirstymo funkciją.

b) Apskaičiuokite: 1) 0x01 graphic
; 2) 0x01 graphic
; 3) 1) 0x01 graphic
.

a) 1) Kadangi X~N(6; 2), tai a=6, 0x01 graphic
=2.

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

2) 0x01 graphic
: 0x01 graphic
.

3) 0x01 graphic
: 0x01 graphic
.

b) 1) 0x01 graphic

0x01 graphic

2)0x01 graphic

3) 0x01 graphic

x

p(x)

a

b

0x01 graphic

b

a

F(x)

x

0x01 graphic

0x01 graphic

a

p(x)

x

a

F(x)

x

1/2

0,997

a

p(x)

x

a-σ

a+σ

a-2σ

a+2σ

a+3σ

a-3σ

0,95

0,68

Leave a Comment