Tolygusis skirstinys
Tolygusis skirstinys
X~U(a, b).
Atsitiktinio dydžio X skirstinį vadinsime tolygiuoju atkarpoje [a; b], jei jo tankio funkcija:
.
Iš apibrėžimo išplaukia, kad tolygiai pasiskirsčiusio dydžio X tankio funkcija yra pastovi atkarpoje [a, b], t.y. tikimybė, kad taškas pateks į atkarpą [a; b] yra proporcinga tos atkarpos ilgiui.
Tolygaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija:
.
Statistinės charakteristikos:
;
;
.
Užd. 1. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirstęs intervale [2; 7].
Užrašykite: 1) tankio funkciją; 2) pasiskirstymo funkciją; 3) statistines charakteristikas.
1) 
.
2) 
.
3) 
; 
; 
.
Užd. 2. Autobusas važiuoja tiksliai pagal grafiką kas 5 minutes.
1) Raskite tikimybę, kad keleivis lauks autobuso ne ilgiau kaip 3 minutes.
2) Apskaičiuokite vidutinį laukimo laiką bei nuokrypį.
1) 
2) 
(min.); 
; 
(min.).
Užd. 3. Duota atsitiktinio dydžio X tankio funkcija:
.
Raskite šio dydžio pasiskirstymo funkciją ir vidurkį.
1 būdas:
.
Kai 
: 
.
Kai 
: 
.
Kai 
:
.
Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija:
.
.
2 būdas:
Pastebėjus, kad duotas tolygusis skirstinys su parametrais a=0; b=5:
.
Normalusis skirstinys
X~N(a, 
).
Centrinė ribinė teorema tvirtina, kad normalusis dėsnis nusako skirstinį tokio atsitiktinio dydžio, kuris gaunamas sumuojant didelį skaičių kitų nepriklausomų ar silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra „dominuojančių“.
Nustatyta, kad normalusis dėsnis patenkinamai aproksimuoja daugelį praktikoje pasitaikančių skirstinių, pvz.: 1)molekulės judėjimo greitis dujose, 2) vidutines oro temperatūros, 3) matavimo prietaisų paklaidos ir pan.
Normalaus skirstinio (Gauso) tankio funkcija:
.
Normalaus skirstinio (Gauso) pasiskirstymo funkcija:
.
Statistinės charakteristikos:
;
;
.
Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį bus intervale 
:
.
– Laplaso funkcija (nelyginė, t.y. 
).
(reikšmes žr. lentelėje).
Trijų sigma taisyklė: jei atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį, tai jo galimos reikšmės nuo vidurkio nutolsta ne toliau kaip per 3 standartinius nuokrypius (per 3 sigmas):
(1
taisyklė);
(2
taisyklė);
(3
taisyklė).
Užd. 1. Žinome, kad gaminio savikaina X yra normalusis atitiktinis dėsnis: X~N(15; 0,2).
1) Raskite tikimybę, kad savikaina bus ne didesnė kaip 15,4, bet ne mažesnė nei nei 14,7 Lt.
2) Į kokį intervalą praktiškai visada patenka gaminio savikaina?
1) Kadangi X~N(15; 0,2), tai a=15, 
=0,2.
.
2) Pagal 3-jų sigma taisykle:
;
;
;
;
.
Gaminio savikaina patenka į 14,4-15,6 Lt intervalą su tikimybe 0,997.
Užd. 2. Atsitiktinis dydis X~N(6; 2).
a) Užrašykite: 1) statistines charakteristikas; 2) tankio funkciją; 3) pasiskirstymo funkciją.
b) Apskaičiuokite: 1) 
; 2) 
; 3) 1) 
.
a) 1) Kadangi X~N(6; 2), tai a=6, 
=2.
; 
; 
.
2) 
: 
.
3) 
: 
.
b) 1) 
2)
3) 
4
x
p(x)
a
b
1
b
a
F(x)
x
a
p(x)
x
1
a
F(x)
x
1/2
0,997
a
p(x)
x
a-σ
a+σ
a-2σ
a+2σ
a+3σ
a-3σ
0,95
0,68