Tikimybių teorija

TURINYS

ĮVADAS 2
REIKALAVIMAI MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINUI 3
1. Pradinės tikimybių teorijos sąvokos 4
2. Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas 7
3. Priešingo įvykio tikimybė 10
4. Nesutaikomų įvykių sumos tikimybė 11
5. Nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė 12
6. Sutaikomų įvykių sumos tikimybė 13
7. Imtis. Imties skaitinės charakteristikos 14
8. Imties vidurkis, dispersija ir vidutinis kvadratinis nuokrypis 19
9. Įvairūs uždaviniai 21
10. Įvairūs statistikos uždaviniai 23
11. Savarankiški ir kontroliniai darbai 24
LITERATŪRA 29
PRIEDAI 30

ĮVADAS

Tikimybių teorijos ir statistikos pradmenys dėstomi bendrojo lavinimo mokyklose. Iš šios temos įvairūs uždaviniai sprendžiami ir per matematikos egzaminą.

Ši mokomoji medžiaga skiriama tiek mokytojui, tiek mokiniui. Joje apibūdinamos pagrindinės tikimybių teorijos ir statistikos sąvokos, pateikiami uždaviniai ir jų sprendimai, pateikiama uždavinių savarankiškam sprendimui. Mokiniai saavo žinias ir gebėjimus gali pasitikrinti spręsdami savarankiškus ir kontrolinius darbus.

Pirmajame skyrelyje „Pradinės tikimybių teorijos sąvokos“ nagrinėjami įvairių įvykių apibrėžimai ir jų pavyzdžiai, pateikiami įvairūs uždaviniai apibrėžtiems (būtiniems, negalimiems, atsitiktiniams, nesutaikomiems ir elementariesiems) įvykiams atskirti.

Antrajame skyrelyje „Klasikinis įvykių tikimybės apibrėžimas“ pateikiamas įvykio tikimybės apibrėžimas, sprendžiami uždavinių pavyzdžiai ir pateikiama savarankiškam darbui skirti uždaviniai su jų atsakymais.

Trečiajame skyrelyje apibrėžiama priešingo įvykio tikimybė, pateikiami išspręstų uždavinių pavyzdžiai ir užduotys savarankiškam sprendimui.

Ketvirtajame skyrelyje supažindinama su imtimi ir jos skaitinėmis charakteristikomis. Pagal pateiktą paavyzdį parengta praktinė užduotis, kurios atlikimui numatomas informacinių technologijų panaudojimas braižant įvairias diagramas.

Penktajame skyrelyje pateikiama trumpa teorinė medžiaga, uždavinių sprendimas ir keletas užduočių savarankiškam darbui.

Paskutiniame skyrelyje pateikti savarankiškų ir kontrolinių darbų užduotys. Pateiktos diagramos pateiktos šiuolaikiška forma, naudojant daugiau grafinių pr

riemonių, iliustracijų.

Metodinės priemone gale pateikiamas literatūros sąrašas ir mokinių atliktų užduočių pavyzdžiai.
Paruošta medžiaga, kaip pagalbos mokiniui priemonė, padės mokiniui, praleidusiam pamokas, savarankiškai išmokti tikimybių teorijos ir statistikos pamokas.

SRITIS IR TEMA MOKYKLINIO EGZAMINO REIKALAVIMAI VALSTYBINIO EGZAMINO REIKALAVIMAI
TIKIMYBĖS
Įėėž Atpažinti, kada galima taikyti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą. Mokėti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą ir gebėti paaiškinti, kada jis taikomas..

Apskaičiuoti paprastų įvykių tikimybes naudojantis klasikiniu įvykių tikimybės apibrėžimu.

Apskaičiuoti įvykio priešingo įvykio tikimybę. Taikyti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą uždaviniams spręsti.

Apibrėžti ir mokėti paaiškinti bei pritaikyti įvykiui priešingą įvykį, įvykių sąjungą, sankirtą, įvykių nesutaikomumą.
Nepriklausomi įvykiai Žinoti dviejų įvykių nepriklausomumo apibrėžimą ir atpažinti nepriklausomus įvykius.
Apskaičiuoti dviejų nepriklausomų įvykių sankirtos tikimybę. Dviejų atsitiktinių įvykių nepriklausomumo sąvoką taikyti uždaviniams spręsti.
Atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai Rasti (apskaičiuoti ir užrašyti lentele) nesudėtingų atsitiktinių dydžių skirstinius reemiantis klasikiniu įvykio tikimybės apibrėžimu ir įvykių nepriklausomumu.

Apskaičiuoti atsitiktinio dydžio ( galinčio įgyti tik keletą skirtingų reikšmių) matematinę viltį, dispersiją bei vidutinį kvadratinį nuokrypį, medianą, kai duotas jo skirstinys.

Taikyti matematinę viltį ir dispersiją uždaviniams spręsti.
STATISTIKA
Imtis, imties vaizdavimas Paprasčiausiais atvejais sutvarkyti duomenis ir nubraižyti imties dažnių arba santykinių dažnių diagramą. Sutvarkyti duomenis suskirstant imtį į intervalus ir nubraižyti dažnių arba santykinių dažnių diagramą.
Imties skaitinės charakteristikos Apskaičiuoti imties vidurkį.
Palyginti imtis remiantis vidurkiais. Apskaičiuoti imties vidurkį, dispersiją, modą, medianą, kvartilius.
Apskaičiuoti sugrupuotų duomenų vidurkį ir dispersiją.
Taikyti imties sk

kaitines charakteristikas paprastiems uždaviniams spręsti.

1. PRADINĖS TIKIMYBIŲ TEORIJOS SĄVOKOS

Teorinė dalis

1. Įvykis. Tikimybių teorijoje įvykiais vadinami bandymo arba stebėjimo rezultatai.

1 Pavyzdys. Perkamas loterijos bilietas – bandymas.

Laimės jis ar ne – galimi jo įvykiai.

2 Pavyzdys. Vieną kartą šauta į taikinį – bandymas. Kliudys ar ne to šūvio kulka taikinį – galimi jo įvykiai.

2. Būtinasis įvykis. Įvykis, kuris, atlikus bandymą, visada įvyksta, vadinamas būtinuoju įvykiu.

Pavyzdžiui, jei įvyko dviejų futbolo komandų susitikimas, tai įvykis, kad jis baigsis laimėjimu, pralaimėjimu, lygiosiomis, yra būtinas įvykis.

3. Negalimas įvykis. Jei atlikus bandymą, įvykis niekada negali įvykti, tai jis vadinamas negalimuoju įvykiu.

Pavyzdžiui, metus vieną kartą monetą, įvykis – iškrito herbas ir skaičius yra negalimas įvykis.

4. Atsitiktinis įvykis. Atsitiktiniu įvykiu vadiname kiekvieną įvykį, kuris, atliekant bandymą gali įvykti, bet gali ir neįvykti.

Pavyzdžiui, žaidžiama šachmatų partija – bandymas. Tai, kad ji laimima, yra atsitiktinis įvykis, nes galimi pralaimėjimas, lygiosios.

Atsitiktiniai įvykiai žymimi raidėmis A, B, C,.

5. Nesutaikomi įvykiai. Du įvykiai vadinami nesutaikomais jeigu jie nagrinėjamame bandyme negali įvykti vienu metu.

Pavyzdžiui, metant lošimo kauliukus, įvykiai A- atsivertė 4 akutės ir B- atsivertė pirminis akučių skaičius yra nesutaikomi įvykiai.

6. Elementarusis įvykis. Jei nekreipiame dėmesio į bandymo rezultatų konkretų turinį, o domimės, pasirodė ar nepasirodė vienas ar kitas rezultatas, tai gauname elementariojo įvykio sąvoką.

Tarkime, kad mus domina įvykis A – atsivertė pirminis akučių skaičius. Šis įvykis įvyks, jei įvyks bent vienas iš šių ke

eturių įvykių:

E1 – „atsivertė viena akutė“

E2 –„atsivertė dvi akutės“

E3- „ atsivertė trys akutės“

E4- „atsivertė penkios akutės“

Įvykiai E1, E2, E3, E4 yra nesutaikomi t.y. negali įvykti kartu. Tie įvykiai neskaidomi į „smulkesnius“ įvykius ir vadinami elementariaisiais įvykiais.

Uždaviniai

Kiek elementariųjų įvykių turi šie atsitiktiniai įvykiai:
A – „atsitiktinai traukiamas kauliukas iš pilno domino žaidimo“;
B – „atsitiktinai parašytų dviejų vienaženklių natūraliųjų skaičių suma lygi 10“;
C – „iškritusių lošimo kauliuko akučių skaičius yra nelyginis“;
D – „atsitiktinai ištrauktas kauliukas iš pilno domino žaidimo yra „dublis“.

Kurie įvykiai yra būtinieji:
A – „šaunant tris kartus, pataikyta du kartus“;
B – „metus 2 kauliukus, iškrito ne daugiau kaip 12 akučių“;
C – „traukinys iš Kauno kasdien vėluoja“;
D – „triženklis skaičius ne didesnis už 1000“;
E – „iš skaitmenų 1,2,3 sudarytas skaičius mažesnis už 400“;
F – „ atsitiktinai pasirinktas dviženklis skaičius dalijasi iš 3“;

Nustatykite, kurie iš įvykių yra būtini, kurie negalimi, kurie atsitiktiniai eksperimentuose.
1. Atsitiktinai parenkamas triženklis skaič2. ius:
A – skaičius didesnis už 10100;
B – skaičius mažesnis už 11000;
C – skaičius dalus iš 50;
D – skaičius mažesnis už 371.

3. Metami du lošimo kauliukai:
A – iškrito mažiau kaip 8 taškai;
B – iškritusių taškų skaičius dalus iš 5;
C – iškrito daugiau kaip 13 taškų;
D – iškrito teigiamas taškų skaičius.

4. Trys medžiotojai šauna į zuikį:
A- pataikė bent vienas;
B- nei vienas nepataikė;
C- zuikis nušautas;
D- zuikis pabėgo.

Nurodykite atsitiktinius, būtinuosius ir negalimuosius įvykius:
E- skaičF- iaus ir jo skaitmenų sumos skirtumas dalijasi iš 9;
G- Vilniaus „Žalgirio“ futbolininkai laimėjo Europos taurę;
H- iš dėžės, kurioje yra 5 rutuliukai, paimti 6 rutuliai;
I- skaičJ- ius sudarytas iš skaitmenų 1,2,3 dalijasi iš

š 5;
K- moksleivis per matematikos egzaminą gavo 6 balus;
L- skaičM- ius 147 dalijasi iš 3;
N- skaičO- ius 25 mažesnis už 30;
P- metus tris kauliukus iškrito 17 akių;

2. KLASIKINIS ĮVYKIO TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
Teorinė dalis
Jeigu atliekame bandymą, kurio rezultatai yra vienodai galimi, tai įvykio A tikimybė apskaičiuojama pagal formulę:
P(A) = ; P(A) – įvykio tikimybė; n- visų elementariųjų įvykių skaičius;
m- skaičius, vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A.
be to, 0 0
Būtino įvykio tikimybė P(A) =1, negalimo P(A) = 0.

Pavyzdžiai

Dėžėje yra 8 rutuliai: 2 balti ir 6 mėlyni. Iš dėžės ištraukiamas vienas rutulys. kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys baltas?

Sprendimas
Įvykis A – ištrauktas baltas rutulys. Visų elementariųjų įvykių skaičius n= 8, nes tiek turim rutulių.
Palankių įvykių yra 2, nes dėžėje yra 2 balti rutuliai, todėl m = 2. Įvykio A tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, P(A) = Ats. P(A) =
Atskirose kortelėse surašyti skaičiai nuo 1 iki 15. Kortelės sudėtos į dėžę. Kokia tikimybė, kad bus ištrauktas pirminis skaičius?

Sprendimas
Įvykis A – ištrauktas pirminis skaičius. Visų įvykių yra 15, tai n = 15. Palankių yra: 2,3,5,7,11,13, tai m = 6. P(A) = Ats. P(A) =

Uždaviniai:

Metama moneta. Kokia tikimybė, kad atsivers herbas?

Metame lošimo kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris trys akutės? Daugiau kaip trys akutės? Mažiau kaip trys akutės?

Tvenkinyje veisiasi 200 žuvyčių. Tinklu sugaunama 40 žuvyčių, jos pažymimos ir paleidžiamos atgal. Vėliau atsitiktinai (iš šio tvenkinio) pagaunama žuvytė. Kokia tikimybė, kad ji bus pažymėta? Ats. P(A) =0,2.

Dėžėje yra 10 rutulių: 4 balti ir 6 juodi. Iš dėžės ištraukiamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra juodas? Baltas?

Krepšyje yra 12 kaladėlių: 8 baltos ir 4 raudonos. Iš krepšio ištraukiama viena kaladėlė. Kokia tikimybė, kad ištraukta kaladėlė yra: baltos; raudonos spalvos?

Auksė turi 15 balionų: 6 raudonos spalvos, 4 žalios, o likę yra mėlynos spalvos. Iš Auksės paimamas vienas balionas. Kokia tikimybė, kad paimtas balionas bus: raudonos; žalios; mėlynos spalvos?

Urnoje yra 7 juodi ir 13 rudų rutulių. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai imdami ištrauksime: juodą rutulį; rudą rutulį?

Klasėje yra 30 mokinių, iš jų 12 berniukų. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas mokinys bus: berniukas; mergaitė?

Ant šešių vienodų kortelių parašytos po vieną raidės A, K, L, S, T, E. Kortelės užverstos ir sumaišytos. Kokia tikimybė, kad surikiavę jas iš kairės į dešinę, gausime žodį „KELTAS“?

Metamos 3 monetos: 1 cento, 2 centų, 5 centų. Raskite tikimybes įvykių:
A- „herbas atvirto daugiau kaip ant vienos monetos“;
B- „atvirtusių centų suma didesnė už 2“;
C- „atvirtusių centų suma mažesnė už 5“;
D- „atvirtusių centų suma didesnė už 5“.

Dėžėje yra 20 vienodų rutulių, iš kurių 12 balti ir 8 juodi. Atsitiktinai išimami du rutuliai. Raskite tikimybę įvykio, kad vienas jų baltas, kitas juodas. Ats. P(A) = .
Dėžėje yra 4 raudoni rutuliai ir 16 mėlynų rutulių. Atsitiktinai traukiami penki rutuliai. Kokia tikimybė, kad du iš jų bus raudoni, o trys mėlyni?

Iš grupelės mokinių, kurioje yra 7 berniukai ir 3 mergaitės, atsitiktinai pasirenkami du mokiniai. Kokia tikimybė, kad bus pasirinktos mergaitės?

Dėžėje yra 6 balti ir 4 juodi vienodo dydžio rutuliukai. Vienas po kito išimami du rutuliukai. Kokia tikimybė, kad abu jie yra balti?

Dėžėje yra 12 baltų ir 8 juodi vienodo didumo rutuliai. Ištraukiame atsitiktinai 2 rutulius. Kokia tikimybė, kad jie skirtingų spalvų?

Grupė turistų, susidedanti iš 15 vaikinų ir 5 merginų, burtų keliu nori išrinkti keturis žmones dalyvauti sporto varžybose su kita turistų grupe. Kokia tikimybė, kad komandoje bus du vaikinai ir dvi merginos? Ats. P(A) 0,217.

Tarp 100 elektros lempučių yra 5 brokuotos. Kokia tikimybė, kad tarp trijų atsitiktinai paimtų lempučių visos trys yra nebrokuotos? Ats. P(A) 0,856.

Iš 40 klausimų, įeinančių į egzaminų bilietus, studentas išmoko 10. Kokia tikimybė, studentui ištraukti bilietą, kurio abu klausimus jis moka? Ats. P(A)=
PRIEŠINGO ĮVYKIO TIKIMYBĖ
Teorinė dalis
Jei įvykiui A priešingas įvykis yra Ā, tai P(Ā) = 1 – P(A) arba P(A) = 1 – P(Ā )
P(A) + P(Ā)=1.
Pavyzdys
Gaminant detalę, atliekama keletas operacijų. Tikimybė gauti detalę, neatitinkančią standartų, lygi 0,01. Kokia tikimybė pagaminti gerą detalę?

Sprendimas
Įvykis A- pagaminta gera detalė. Įvykis – pagaminta nestandartinė detalė. Priešingo įvykio tikimybė P( ) = 0,01, tai P(A) = 1 – P( ) = 1-0,01=0,99. Ats. P(A) =0,99.

Uždaviniai
Metame lošimo kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškrito mažiau kaip šeši taškai?

Ats. P(A) = .
Atsitiktinai parenkamas triženklis skaičius. Kokia tikimybė, kad bent du jo skaitmenys sutaps? Ats. P(A) =0,28
Bibliotekos lentynoje bet kokia tvarka sustatyta 15 vadovėlių, kurių 5 įrišti. Bibliotekininkė paėmė 3 vadovėlius. Raskite įvykio A, kad bent vienas paimtų vadovėlių įrištas, tikimybę. Ats.
Tikimybė, kad mokinys išlaikys pirmąjį egzaminą, lygi 0,9, antrąjį -0,8 ir trečiąjį egzaminą -0,7. Kokia tikimybė, kad mokinys išlaikys bent vieną egzaminą? Ats. 0,994
Baigiamojo matematikos egzamino darbai užkoduoti skaičiais nuo 1 iki 56. Atsitiktinai paimtas darbas. Raskite tikimybes įvykių:

A – ,,darbo kodas mažesnis už 23“,

B – ,,darbo kodas didesnis už 41“,

C – ,,darbo kodas dalus iš 7“,

D -,,darbo kodas dalus iš 5 arba 4“. Raskite duotiems įvykiams priešingų įvykių tikimybes.
4. NESUTAIKOMŲ ĮVYKIŲ SUMOS TIKIMYBĖ
Teorinė dalis
Nesutaikomų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.

P(A + B) = P(A) +P(B)
1. Pavyzdys
Dėžėje yra 5 raudoni, 2 mėlyni ir 3 žali rutuliai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas rutulys yra mėlynas arba žalias?
Sprendimas Ivykiai: A –“ištrauktas mėlynas rutulys”

B – “ištrauktas žalias rutulys”

A+B – “Ištrauktas mėlynas arba žalias rutulys”
P(A) = = 0,2. P(B) = 0,3.
Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, todėl P(A +B) = P(A) +P(B) = 0,2+ 0,3 = 0,5 Ats. 0,5.

Uždaviniai
Karinės mokyklos kursantas laiko šaudymo į taikinį įskaitą. Įskaita laikoma išlaikyta, jei kursantas gauna pažymį, ne mažesnį už 4. Kokia tikimybė kursantui išlaikyti egzaminą, jei žinoma, kad tikimybė už šaudymą gauti pažymį 5 lygi 0,3, o tikimybė gauti pažymį 4 lygi 0,5? Ats. 0,8.
Loterijoje yra 1000 bilietų, iš jų 1 bilietas išlošia 500 litų, 10 bilietų – po 100 litų, 50 bilietų – po 20 litų ir 100 bilietų – po 5 litus, o likusieji nieko nelaimi. Martynas nusipirko vieną bilietą. Kokia tikimybė, kad jis išloš ne mažiau kaip 20 litų?

Ats. 0,061.
Iš 10 loterijos bilietų, tarp kurių 2 laimingi, atsitiktinai ištraukiami 5 bilietai. Kokia tikimybė, kad tarp ištrauktųjų bus bent vienas bilietas laimingas? Ats. .
Dėžėje yra 10 detalių, iš kurių 4 dažytos. Darbininkas atsitiktinai ištraukė 3 detales. Raskite įvykio, kad bent viena paimta detalė yra dažyta tikimybę. Ats. .
Dėžėje yra 10 rutulių. Tikimybė, kad 2 atsitiktinai ištraukti rutuliai yra balti, lygi .Kiek dėžėje baltų rutulių? Ats. 4.
5. NEPRIKLAUSOMŲ ĮVYKIŲ SANDAUGOS TIKIMYBĖ

Sutaikomų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė lygi tų įvykių tikimybių sandaugai.
Kadangi P(A) = P(B)= , tai P(AB) = P(A) · P(B).
Sutaikomų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi tų įvykių tikimybių sandaugai.

1. Pavyzdys
Metama moneta ir lošimo kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris hrbas, o kauliuko atsivertusių akučių skaičius bus lyginis?
Sprendimas
Pažymėkime įvykius:

A – “iškrito herbas”;

B – “iškrito lyginis akučių skaičius”;
AB – “iškrito herbas ir lyginis akučių skaičius”
P(A) = , P(B) =
Kadangi įvykiai A ir B – nepriklausomi, tai: P(AB) = P(A) · P(B) = . Ats. .
Uždaviniai
Metami 3 kauliukai. Kokia tikimybė, kad visuose iškris 6 akys?
Ats. .
Pirmoje dėžėje yra 12 detalių, 5 iš jų nestandartinės. Antroje dėžėje yra 20 detalių, iš jų 4 nestandartinės. Iš kiekvienos dėžės atsitiktinai išimama viena detalė. Kokia tikimybė, kad abi detalės nestandartinės?
Ats. .

Iš 25 fizikos egzamino bilietų moksleivis išmoko 20 ir iš 30 matematikos bilietų -20. Kokia tikimybė, kad jis išlaikys abu egzaminus? Ats. .
6. SUTAIKOMŲ ĮVYKIŲ SUMOS TIKIMYBĖ

Sutaikomų įvykių sumos tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sumai be tikimybės abiems įvykiams įvykti kartu.

P(A) = P(B)= , P(AB)= , tai P(A+B) = P(A) + P(B)- P(AB).
1. Pavyzdys
Metamos dvi monetos. Kokia tikimybė, kad bent vienos iš jų iškris herbas?
A- “iškrito herbas, metus pirmąją monetą”;
B- “iškrito herbas, metus antrąją monetą”.
C = A+B
P (C) = P(A) + P(B) – P(AB), P(A) = P(B)= , P(AB)= .
P (C) = + – . Ats. .
Uždaviniai
Du šauliai nepriklausomai vienas nuo kito šauna į tą patį taikinį. Pirmojo pataikymo tikimybė 0,8, antrojo -0,6. Kokia tikimybė, kad į taikinį pataikys bent vienas šaulys?
Ats. 0,92
Tikimybė, kad Jurga išlaikys matematikos egzaminą, lygi 0,7, kad neišlaikys rusų kalbos egzamino -0,1.Kokia tikimybė, kad Jurga išlaikys bent vieną egzaminą? Ats. 0,97
Iš 30 sporto mokyklos moksleivių 12 žaidžia krepšinį, 15 – tinklinį, 5-ir krepšinį ir tinklinį, o likusieji lanko kitų sporto šakų treniruotes. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai paklaustas moksleivis žaidžia tik krepšinį arba tinklinį? Ats. .
Metami du kauliukai. Kokia tikimybė, kad bent viename iš jų iškris 6 akys?
Ats. .
Dėžutėje yra 12 raudonų, 6 žali ir 10 juodų pieštukų. Kam lygi tikimybė įvykio
A- “ ištrauktas pieštukas bus raudonas arba juodas”? Ats. .

7. IMTIS. IMTIES SKAITINĖS CHARAKTERISTIKOS

Teorinė dalis

Imtis yra statistiniam tyrimui pasirinkta tiriamųjų objektų dalis.
Imties tūris yra imties elementų skaičius.
Jei imties elementai yra surašyti didėjančia tvarka, tai turime sutvarkytą imtį, kuri vadinama imties variacine eilute.
Imties plotis yra imties didžiausios xd ir mažiausios xm reikšmių skirtumas:

r = x d – x m.
Imties centras yra didžiausios xd ir mažiausios xm imties reikšmių aritmetinis vidurkis:

c = ( x d + x m ) : 2.
Mediana yra skaičius, dalijantis imties tūrį į dvi lygias dalis.
Imties elemento dažnis mk yra skaičius, parodantis, kiek kartų elementas xk pasikartoja imtyje.
Stebėjimo duomenys dažniausiai surašomi į lentelę, kurios pirmojoje eilutėje užrašome skirtingas variacinės eilutės reikšmes xk, o antrojoje – jų dažnius mk.
Imties elemento santykinis dažnis yra imties elemento dažnio mk ir imties elementų skaičiaus n santykis: pk = mk : n.

Pavyzdys
Raskite imties 1,2,9,8,1,2,1,8,2,1 tūrį, plotį, imties centrą, medianą, imties santykinius dažnius. Dažnių lentelę pavaizduokite stulpeline diagrama, o santykinių dažnių lentelę – skrituline diagrama. Apskaičiuokite dažnių ir santykinių dažnių sumas.

Sprendimas
Imties elementų yra 10, todėl imties tūris n = 10. Sutvarkysime imtį ir parašysime imties variacine eilute: 1,1,1,1,2,2,2,8,8,9. Apskaičiuojame imties plotį. r = x d – x m = 9 – 1 = 8, nes didžiausia reikšmė yra 9, o mažiausia reikšmė yra 1.
Apskaičiuojame imties centrą: c = (9 + 1): 2 = 5.
Randame medianą. Variacinės eilutės vidurinieji elementai yra 2 ir 2, todėl mediana
M = (2+2):2 = 2.

Apskaičiuojame imties elementų dažnius.
Elemento 1 dažnis lygus 4, nes elementas 1 pasikartoja 4 kartus.
Elemento 2 dažnis lygus 3, nes elementas 2 pasikartoja 3 kartus.
Elemento 8 dažnis lygus 2, nes elementas 8 pasikartoja 2 kartus.
Elemento 9 dažnis lygus 1, nes elementas 9 pasikartoja 1 kartą.

Sudarome dažnių lentelę:

xk 1 2 8 9
mk 4 3 2 1
Apskaičiuosime dažnių sumą: 4+3+2+1=10.
Nubrėšime dažnių lentelę stulpeline diagrama.

Apskaičiuojame imties elementų santykinius dažnius.

Elemento 1 santykinis dažnis yra 4:10 = 0,4;
Elemento 2 santykinis dažnis yra 3:10 = 0,3;
Elemento 8 santykinis dažnis yra 2:10 = 0,2;
Elemento 9 santykinis dažnis yra 1:10 = 0,1.

Sudarome santykinių dažnių lentelę.

xk 1 2 8 9
pk 0,4 0,3 0,2 0,1

Apskaičiuojame santykinių dažnių sumą. 0,4+0,3+0,2+0,1 =1.
Nubrėšime santykinių dažnių lentelę skrituline diagrama.

Praktinė užduotis.

Tikslas
Pagal išspręstus pavyzdžius mokėti atlikti nurodytas užduotis.
Uždaviniai
Pastebėti dėsningumus, atsiminti ir teisingai vartoti matematinius simbolius.
Mokėti susidaryti nesudėtingo uždavinio sprendimo planą, pagrįsti darbo eigą.
Mokėti atpažinti ir braižyti imties dažnių ir santykinių dažnių grafikus ( skritulines, stulpelines ir kt. diagramas).
Mokėti sutvarkyti ir pateikti duomenis, apskaičiuoti imties plotį, centrą, vidurkį.
Palyginti imtis remiantis vidurkiais.

Darbo atlikimo tvarka:
Titulinis užrašas. Jame reikia nurodyti mokyklos pavadinimą, kursą, grupę, užduoties pavadinimą.
Užduotis.
1.1. Sutvarkyta imtis, jos tūris.
1.2. Imties plotis, centras, mediana.
1.3. Dažnių lentelė.
1.4. Dažnių suma.
1.5. Dažnių lentelė pavaizduota stulpeline diagrama.
1.6. Santykinių dažnių lentelė.
1.7. Santykinių dažnių suma.
1.8. Santykinių dažnių lentelė pavaizduota skrituline diagrama.
Surašyti užduotį atlikusių moksleivių vardai ir pavardės.
Užduoties atlikimo data.
Užduotis įrašoma į diskelį ir atspausdinama spausdintuvu.
Vertinama
Užduoties atlikimas, pateikimas, bendras darbo vaizdas ( teksto ir brėžinių išdėstymas), informacinių technologijų panaudojimas.

Užduotis
Per antrąjį trimestrą Mantas iš matematikos gavo tokius balus: 8; 8; 10; 9; 7; 8; 6; 7; 8.
1. Sutvarkykite imtį, nustatykite imties tūrį.
2. Apskaičiuokite imties plotį, centrą, medianą.
3. Lentelėse surašykite imties elementų dažnius ir santykinius dažnius.
4. Apskaičiuokite dažnių bei santykinių dažnių sumas.
5. Nubrėžkite dažnių stulpelinę diagramą, o santykinių dažnių – skritulinę diagramą.

2. Užduotis
Matuojant penkiolikos jaunų medelių aukštį, gauti tokie rezultatai (decimetrais):
5; 7; 9; 10; 6; 8; 5; 10; 7; 5; 8; 8; 9; 5; 9.
1. Sutvarkykite imtį, nustatykite imties tūrį.
2. Apskaičiuokite imties plotį, centrą, medianą.
3. Lentelėse surašykite imties elementų dažnius ir santykinius dažnius.
4. Apskaičiuokite dažnių bei santykinių dažnių sumas.
5. Nubrėžkite dažnių stulpelinę diagramą, o santykinių dažnių – skritulinę diagramą.

3. Užduotis
Matematikos varžybose moksleiviams buvo pasiūlyta išspręsti 20 uždavinių. kiekvienas uždavinys vertinamas nuo 0 iki 10 balų. Šiose varžybose dalyvavo Lukas, kuris pasiekė tokių rezultatų:
4; 8 ; 4; 3; 6; 1; 1; 5; 5; 7; 8; 4; 8; 7; 5; 6; 4; 8; 9; 4.
1. Sutvarkykite imtį, nustatykite imties tūrį.
2. Apskaičiuokite imties plotį, centrą, medianą.
3. Lentelėse surašykite imties elementų dažnius ir santykinius dažnius.
4. Apskaičiuokite dažnių bei santykinių dažnių sumas.
5. Nubrėžkite dažnių stulpelinę diagramą, o santykinių dažnių – skritulinę diagramą.

4. Užduotis
Tikrinant 25 induose esančio pieno riebumą, gauti tokie duomenys:
1,1; 3,2; 3,2; 2,4; 1,7; 2,2; 3,5; 4,2; 3,2; 2,2; 2,2; 2,4; 1,7; 1,7; 2,7; 3,2; 4,2; 3,8; 1,4; 2,4; 2,7; 2,1; 1,4; 3,2; 1,7.
Sutvarkykite imtį, nustatykite imties tūrį.
Apskaičiuokite imties plotį, centrą, medianą.
Lentelėse surašykite imties elementų dažnius ir santykinius dažnius.
Apskaičiuokite dažnių bei santykinių dažnių sumas.
Nubrėžkite dažnių stulpelinę diagramą, o santykinių dažnių – skritulinę diagramą.

5. Užduotis
Mokykloje dirba 45 įvairaus amžiaus mokytojai. Atlikus apklausą, gauti tokie duomenys pagal amžių (metais): 32; 36; 42; 48; 47; 30; 28; 36; 38; 37; 52; 44; 32; 46; 42; 40; 57; 50; 52; 37; 42; 44; 51; 49; 31; 29; 42; 34; 35; 42; 37; 34; 45; 47; 42; 56; 45; 28; 36; 43; 34; 30; 44; 40; 37.
Dalinio intervalo ilgį pasirinkę lygų 5, sugrupuokite imtį.
Sudarykite dažnių lentelę.
Nubraižykite diagramą.

8. IMTIES VIDURKIS, DISPERSIJA
IR VIDUTINIS KVADRATINIS NUOKRYPIS
I.Teorinė dalis. _
Imties x1, x2, .,xk vidurkiu ( žymimas x ) vadinamas aritmetiniu vidurkiu:

(1)
Jei imtis užrašyta dažnių lentele

x1 x2 . xk
m1 m2 . mk

Tai tokios imties vidurkis, kai k yra grupių skaičius, apskaičiuojamas pagal formulę:

(2).
Pavyzdys.
Apskaičiuokite imties 2;5;2;4;2;5;3;5;8;1;8;3 vidurkį.
Sprendimas. =
Pavyzdys.
Imtis užrašyta dažnių lentele:

xk 5 6 8 10
mk 2 4 2 3

Turime sutvarkytą imtį, todėl imties vidurkį skaičiuosime pagal 2 formulę.

=
II.Teorinė dalis.
Imties x1, x2, ., xk dispersija ( žymima S2) apskaičiuojama pagal formulę:

S2 = (3)
Jei imtis užrašyta dažnių lentele, tai sugrupuotų duomenų imties dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

S2 = (4)
Imties x1, x2,.xk vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu vadinama kvadratinė šaknis iš imties dispersijos. Jis žymimas raide S= .

Pavyzdys.
Apskaičiuokite imties 5;2;1;1;3 dispersiją ir vidutinį kvadratinį nuokrypį.
Sprendimas. Visų pirma apskaičiuosime imties vidurkį.

= Pagal (3) formulę, apskaičiuosime šios imties dispersiją:

S2 =
Imties vidutinis kvadratinis nuokrypis: S= »1.43.
Praktinės užduotys.
1. Krepšinnkas sužaidė 11 rungtynių ir jose pelnė tiek taškų: 8; 12; 9; 6; 14; 7; 14; 15; 5; 2; 18. Apskaičiuokite šios imties vidurkį , dispersiją S2 ir vidutinį kvadratinį nuokrypį S.

2. Krepšininkas po kiekvienos treniruotės dar papildomai metė 20 tritaškių. Vienuolikos treniruočių serijoje jo įmestų tritaškių skaičiai buvo tokie: 13; 9; 7; 12; 14; 8; 10;15;11;10;12. Apskaičiuokite šios imties vidurkį , dispersiją S2 ir vidutinį kvadratinį nuokrypį S.

3. Šuolio į tolį varžybose užfiksuoti tokie rezultatai (metrais): 2,75; 2,85;3,3; 2,7; 2,8; 3,05; 2,9; 2,65; 3,95; 3,85; 2,53. Apskaičiuokite šios imties vidurkį , dispersiją S2 ir vidutinį kvadratinį nuokrypį S.
4. Kontrolierius 10 dienų tikrino gaminių kokybę ir šiomis dienomis nustatė tokius nekokybiškų gaminių kiekius: 12; 8; 13; 4; 7; 17; 16; 5; 14; 18. Apskaičiuokite šios imties vidurkį , dispersiją S2 ir vidutinį kvadratinį nuokrypį S.
9. ĮVAIRŪS UŽDAVINIAI
Metami du lošimo kauliukai. Kokia tikimybė, kad atsivertusių akučių suma lygi 4 arba 5?
Metami du lošimo kauliukai ir suskaičiuojama atsivertusių akučių suma. Kas labiau tikėtina: gauti sumą 7 ar 8?
Egzamino bilietai sunumeruoti sveikaisiais skaičiais nuo 1 iki 30. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištraukto bilieto numeris dalijasi iš 5 arba 7?
Atsitiktinio dydžio X skirstinys išreikštas lentelėje. Apskaičiuokite to dydžio matematinę viltį ir dispersiją.

X 0 1 2 3
P 0,1 0,5 0,3 0,1

Bilietai sunumeruoti nuo 1 iki 28. Atsitiktinai ištrauktas vienas bilietas. Kokia tikimybė, kad jo numeris yra skaičiaus 5 kartotinis?
Atsitiktinio dydžio Y skirstinys išreikštas lentele. Apskaičiuokite to dydžio matematinę viltį ir dispersiją.

Y -2 -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Metamos 3 monetos. Kokia tikimybė, kad jos visos nukris herbu į viršų?
Bilietai sunumeruoti nuo 1 iki 28. Atsitiktinai ištrauktas vienas bilietas. Kokia tikimybė, kad jo numeris yra skaičiaus 5 kartotinis?
Metama moneta ir lošimo kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris herbas, o atsivertusių akučių skaičius bus dalus iš 3?
Dėžėje yra 10 baltų rutulių, šeši raudoni ir 4 žali. Atsitiktinai ištrauktas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad jis yra raudonos spalvos?
Ar nurodyta lentelė išreiškia kurio nors atsitiktinio dydžio X skirstinį?

X 1 3 5 7
P

Prie ežero atvyko 30 dešimtokų, 16 vienuoliktokų ir 14 dvyliktokų. Burtais buvo išrinktas stovyklos komendantas. Kokia tikimybė, kad juo tapo dešimtokas arba dvyliktokas?

Dėžėje yra 5 balti ir 3 juodi rutuliai. Atsitiktinai vienas po kito išimami 2 rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę, kad:

pirmas išimtas rutulys bus baltas;

antras išimtas rutulys bus baltas;

antras išimtas rutulys bus juodas.
Pirmoje dėžėje yra 12 detalių, kurių 5 nestandartinės, antroje 20 detalių, kurių 8 nestandartinės. Iš kiekvienos dėžės atsitiktinai išimama po vieną detalę. Kokia tikimybė, kad visos detalės nestandartinės?
Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas dviženklis skaičius dalijasi iš 2 arba 5 arba iš 2 ir iš 5?

Tikimybė, kad reikalinga knyga yra mokyklos bibliotekoje lygi 0,7, o miesto bibliotekoje – 0,6. Apskaičiuokite tikimybę, kad knyga yra bent vienoje bibliotekoje.

Metami du lošimo kauliukai. Kokia tikimybė, kad atsivertusių akučių suma lygi 2 arba 3?

Egzamino bilietai sunumeruoti sveikaisiais skaičiais nuo 2 iki 21. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištraukto bilieto numeris dalijasi iš 2 arba iš 6?

Loterijoje yra 100 bilietų, kurių 25 laimingi. Tris kartus traukiama po vieną bilietą. Kokia tikimybė, kad visi trys ištraukti bilietai bus laimingi?

Dėžėje yra 5 balti ir 4 juodi rutuliai. Atsitiktinai vienas po kito išimami 3 rutuliai. Kokia tikimybė, kad abu jie bus balti?

Tikimybė pirmojo šaulio, kad pataikys į taikinį yra 0,3, o antrojo 0,6. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai šaunant į taikinį abiems šauliams kartu, pataikys bent vienas šaulys?

10. ĮVAIRŪS UŽDAVINIAI (STATISTIKA)
Matuojant 40 aštuoniolikmečių merginų ūgį, gauti tokie rezultatai (centimetrais):

157 170 168 174 167 164 172 169 161 175

176 172 171 166 175 180 183 164 168 156

164 152 170 173 160 174 178 166 171 168

162 172 169 176 166 163 170 168 158 175

Imties intervalu laikydami intervalą [105;185], o dalinio intervalo ilgį pasirinkę lygų 5, sudarykite dažnių lentelę. Apskaičiuokite santykinius dažnius.
Nubraižykite histogramą.

2. Įstaigoje dirba įvairaus amžiaus tarnautojai. Atlikus apklausą gauti tokie duomenys pagal amžių (metais):

32 47 38 32 57 42 31 35 45

36 30 37 46 50 44 29 42 47

42 28 52 42 52 51 42 37 42

48 36 44 40 37 49 34 34 56

45 28 36 43 34 30 44 40 37

Imties intervalu laikydami intervalą [25;60], o dalinio intervalo ilgį pasirinkę lygų 5, sudarykite dažnių lentelę. Apskaičiuokite santykinius dažnius.
nubraižykite histogramą.

3. Šeima trejus metus kiekvieną mėnesį užsirašydavo sunaudotos elektros energijos kiekį (kWh) ir gavo tokius duomenis:

93 84 80 70 82 76 90 75 85 70 90 80

85 95 80 70 70 75 75 80 85 80 98 108 82 85 85 80 90 85 80 106 100 105 96 103

Imties intervalu laikydami intervalą [70; 110], o dalinio intervalo ilgį pasirinkę lygų 5, sugrupuokite imtį ir sudarykite dažnių lentelę.
Nubraižykite histogramą.
Apskaičiuokite, kiek šeima vidutiniškai per mėnesį sunaudojo elektros energijos.

11. SAVARANKIŠKI IR KONTROLINIAI DARBAI
Sd. Nr.1.

I variantas
1. Apskaičiuokite:

: P3; (4! +5!) : 3!
2. Išspręskite lygtį:
3. Krepšyje yra 5 kriaušės ir 9 obuoliai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai imdami, ištrauksime kriaušę?
4. Tarp 10 kojinių 6 yra baltos. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai imant dvi, abi bus baltos?
5. Tarp 100 datalių yra 10 brokuotų. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai paimtos 3 datalės bus nebrokuotos?
6. Dėžėje yra 4 balti ir 6 juodi rutuliai. Atsitiktinai traukiami 5 rutuliai. Kokia tikimybė, kad 3 iš jų bus balti, o 2 – juodi?

II variantas
1. Apskaičiuokite:

: P4; (6! -5!) : 5!
2. Išspręskite lygtį:
3. Turisto krepšyje yra 4 žuvies ir 5 mėsos konservų dėžutės. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai turistas imdamas, paims mėsos konservų dėžutę?
4. Tarp 9 albumų 7 albumai yra su spalvotomis nuotraukomis. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai imant du, abu bus su spalvotomis nuotraukomis?
5. Tarp 50 detalių yra 4 brokuotos. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai paimtos dvi detalės bus nebrokuotos?
6. Danutė turi 5 baltus ir 6 žalius popieriaus lapus. Atsitiktinai Danutė atidavė draugei 4 lapus. Kokia tikimybė, kad atidavė iš jų 2 baltus, ir 2 žalius popieriaus lapus?

Sd. Nr. 2.

1. Šešiasienio lošimo kauliukas metamas 30 kartų. Užrašyti iškritusių akučių skaičiai:
3 1 2 3 3 1 3 5 1 5 6 3 3 1 1 2 1 2 3 3 4 5 2 3 4 5 6 6 3 3
Pabaikite pildyti lentelę:

Akučių skaičius 1 2 3 4 5 6
Dažnis 6
Santykinis dažnis
Apskaičiuokite iškritusių akučių vidurkį (0,01tikslumu).Nubraižykite imties santykinių dažnių diagramą.

2. Kiekvieną dieną Kristina sugrįžusi iš parduotuvės užsirašydavo, kiek vidutiniškai pinigų ( litais) ji išleido. Ji gavo tokius rezultatus:12 42 32 48 13 15 23 18 14 70 1040 10 30 11 33 14 34 25 13 42 27 21 31 45 22 80 24 16 19 26 26 27 30 74 46 25 18 33 17 28 35 11 6852 60 19 32 21 55 22 34 56 12 56 62 82 18 53 98 85 78 60 80 85 60

Imties intervalu laikydami intervalą [10; 100], o dalinio intervalo ilgį pasirinkę lygų 10, sudarykite dažnių lentelę.Nubraižykite diagramą.

3. Ryčio gauti lapkričio mėnesio pažymiai ir jų kiekis pavaizduoti diagrama.
Kiek pažymių gavo Rytis lapkričio mėnesį? Sudarykite dažnių lentelę. Apskaičiuokite imties:
plotį, centrą, vidurkį ( 0,01 tikslumu).

4. Atsitiktinio dydžio X skirstinio lentelė yra tokia:

X -1 0 1 2 3
P 0,2 0,1 0,25 0,15 a

Raskite a reikšmę. Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį ir dispersiją.

Kd. Nr.1.
1 variantas
1. Užrašykite nesutaikomų įvykių pavyzdžių.
2. Apskaičiuokite tikimybę, kad vieną kartą metus du lošimo kauliukus atvirs akutės, kurių suma bus lygi 8.
3. Iš dėžutės, kurioje yra 8 balti ir 4 juodi rutuliai, atsitiktinai imami 2 rutuliai. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai bus juodi?
4. Dėžėje yra 10 detalių, tarp kurių 7 dažytos. Atsitiktinai taraukiamos 4 detalės. Raskite įvykio, kad jos visos dažytos tikimybę.
5. Ar nurodyta lentelė išreiškia kurio nors atsitiktinio dydžio skirstinį? Jei taip, tai apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę viltį. Nubrėžkite duoto skirstinio grafiką, koordinačių ašimis laikydami X ir P.

X 5 7 10 15
P 0,2 0,5 0,2 0,1

2 variantas
1. Užrašykite sutaikomų įvykių pavyzdžių.
2. Apskaičiuokite tikimybę, kad vieną kartą metus du lošimo kauliukus atvirs akutės, kurių suma bus lygi 7.
3. Iš dėžutės, kurioje yra 8 balti ir 4 juodi rutuliai, atsitiktinai imami 2 rutuliai. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai bus balti?
4. Dėžėje yra 10 detalių, tarp kurių 7 dažytos. Atsitiktinai taraukiamos 4 detalės. Raskite įvykio, kad jos visos nedažytos tikimybę.
5. Ar nurodyta lentelė išreiškia kurio nors atsitiktinio dydžio skirstinį? Jei taip, tai apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę viltį. Nubrėžkite duoto skirstinio grafiką, koordinačių ašimis laikydami X ir P.

X 0 1 2 3
P 0,4 0,3 0,2 0,1

K.d. Nr. 2.

1. Diagramoje pavaizduoti moksleivių kontrolinio darbo rezultatai:

Kurį pažymį gavo daugiausiai mokinių? Kiek jų buvo?
Kurį pažymį gavo mažiausiai mokinių? Kiek jų buvo?
Sudarykite pažymių dažnių lentelę.
Kiek mokinių rašė kontrolinį darbą?
Koks pažymių vidurkis?
Kiek procentų mokinių kontrolinį darbą parašė labai gerai ( gavo 9, 10)?
Kiek procentų mokinių kontrolinį darbą parašė gerai ( gavo 7, 8)?

2. Kūno kultūros pamokoje berniukai darė prisitraukimus. Rezultatai pateikti diagramoje.
Kiek mokinių dalyvavo pamokoje?
Sudarykite dažnių lentelę.
Apskaičiuokite prisitraukimų skaičiaus vidurkį (0,1) tikslumu).

3. Skritulinė diagrama vaizduoja universiteto studentų etninę sudėtį.

Sudarykite dažnių lentelę.
Nubraižykite stulpelinę diagramą.

4. Aušra suskaičiavusi gautus spalio mėnesio balus iš įvairių dalykų nubraižė diagramą.

Kokį skaičių balų gavo Aušra spalio mėnesį?
Sudarykite dažnių lentelę.
Apskaičiuokite balų vidurkį ( 0,01 tikslumu).

5. Rudenį klasė mokinių surengė iškylą į mišką. Iškylos dalyviai varžėsi, kas ras daugiausia baravykų. Konkurso rezultatai pateikti taškine diagrama:

Kiek iškyloje buvo dalyvių?
Kiek baravykų rado visi iškylautojai?
Kiek baravykų ( dešimtosios tikslumu) vidutiniškai rado vienas iškylos dalyvis?

6. Daugiakampiai vaizduoja, kiek pirkėjų apsilankė knygynuose A ir B per pirmą (I), antrą (II), trečią (III), ketvirtą (IV), penktą (V) ir šeštą (VI) jų darbo valandą.

Kiek pirkėjų apsilankė abiejuose knygynuose per 6 darbo valandas?
Kiek vidutiniškai pirkėjų per valandą apsilankė knygyne A ir kiek B?
Kaip kito ( didėjo, mažėjo, nesikeitė) pirkėjų srautas knygyne A?
Kuriomis darbo valandomis knygyne A buvo daugiau pirkėjų negu knygyne B?

LITERATŪRA

1. Trumpas kombinatoriuos, tikimybių teorijos ir statistikos kursas moksleiviams. P. Grebenič2. enkaitė, V.Tamašauskas, E.Tumėnaitė, Šiaurės Lietuva, Šiauliai, 2000.
3. Matematikos korepetitorius namuose. P.Grebenič4. enkaitė, E.Tumėnaitė, Šiaurės Lietuva, Šiauliai, 2002.
5. Matematikos konspektai. B.Milašiūnienė, Saulabrolis, Vilnius, 2002.
6. Kombinatoriuos, tikimybių teorijos ir matematinės statistikos pradmenys moksleiviams. V.Mockus, A.Jocaitė, Šiaulių universiteto leidykla, Šiauliai, 1999.
7. Kombinatoriuos, tikimybių teorijos ir statistikos pradmenys 11-12. A.Plikusas, ,,Šviesa“ Kaunas, 1998.
8. Intensyvus matematikos kurso kartojimas ruošiantis baigiamajam egzaminui. S.Sokolovas, Ramduva, Kaunas, 2004.
9. Kombinatorikos, tikimybių teorijos ir statistikos uždavinių rinkinys. P.Survila, Leidybos centras, Vilnius, 1994.

Leave a Comment