Tikimybių špera

Imties moda
T.y skaitinė charekteristika, kurios pagalba charekterizuojame popul arba imtį. Moda yra toks popul ar imties elementas, kuris dažniausiai pasikartoja, kai žinomas dažnių skirstinys modą rasti paprata:
xi 3 5 6 8 10
mi 1 4 15 7 5
Mo=6, jeigu žinome klasių dažnių skirstinį, tada Mo apskaičiuojame:
ABC-EGB
AB/EB=AC/EG (1)
ABC-AEG
AB/AE= BD/EG(2)
AB*AE/EB*AB=AC*EG/EG*BD
AE/AB-AE=AC/BD
h-intervalo ilgis
AC=D1, BD=D2
AE/h-AE=D1/D2
AE*D2=(h-AE)*D1
AE*D2+AE*D1=hD1
AE=h*D1/D1+D2=D1/D1+D2*h
Mo=L+D1/D1+D2*h
Imties mediana
Me yra toks dydis, kuris variacin3 sek1 padalija į dvi dalis. Jeigu elementų sk n yra nelyginis, t.y n=2k-1 Me yra Me=xk. Jeigu element sk yra lyginis, tada Me=xk+xk+1/2.
Klasių dažnių skirstinio Me.
Me=a(n)-1+n/2-F(M)-1/m(M)
Me yra tarp modos ir vidurkio:
MoMex .

Imties kvartiliai
Trys variacinės seekos elementai, kurie likusią var seką dalija į 4 lygias dalis vad kvartilais.tiksliai surasti kvart galima tik tada, kai n-3/4=k priklaus N iš čia n= 4k+3
tuomet kvart yra Q1=Xk+1, Q2=X2k+2, Q3=X3k+3. Kiek yra elementų nuo1 iki k. yra k elementų.
Nuo k+2 iki 2k+1 yra (2k+1)-(k+2)+1=k.
Nuo 2k+3 iki 3k+2 yra (3k+2)-(2k+3)+1=k
Nuo 3k+4iki n yra (4k+3)-(3k+4)+1=k.

Asimetrijos kooficientas
Klasių dažnių skirst vaizduoja histograma, jos gali būti įv pavidalų, vienos yra simeteiškos, kitos ne. jei jos nesimetriškos reikia mokėti ask tą nesimetriškumą. Karlas Pirsonas pasiūlė, kaip chharekterizuoti simetriškumą. Psk skvernas- šlaitas, nuolaidumas. Psk=x-Mo/S. Jeigu histogr y simetri6ka, tai x=Mo=Me, tuomet Psk=0.
Kai Psk 0, tada xMeMo.
Kai Psk 0, tada MoMex.

Aibė
Bet kurių elementų rinkinys vadinamas aibe. Žym bet kuriomis did raidėmis. A sudaryta iš element a,b,c,.,x1,x2. Aibę galima užrašyti įvardinus vi

isus elementus, A={1,2,3,5,8,9}. Arit naudojamas 0, aibių teorijoje nulinė aibė, ji neturi nei vieno elemento, ji žym Ų, {}. Aibes galima vaizduoti grafiškai. <.> Jeigu aibės elementų sk yra baigtinis , tai žym kaip modulis.

Kombinatorinės sudeties ir daugybos taisyklės
Sprendžiant tik teor uždavinius tenka iš aibės elementų sudaryti naujas aibes ir mokėti suskaičiuoti, kirk tokių naujų aibių gali būti. Įvairių uždavinių spredimams naudojamos 2 taisyklės: 1. Sudeties taisyklė. Vieną elementą iš bet kurios nesusikertančiųaibių x1’[x1]=m1, kitos aibės turi x2’[x2]=m2,.,xk, [xk] =mk galima išrinkti m1+m2+.+mk būdais. Vieną elementą iš tų aibių parinkti yra tiek būdų, kiek aibėje yra elementų t.y m1+m2+.+mk būdų. 2. Sandaugos taisyklė. Jeigu elementą x1 galime išreikšti X1’m1 būdais x2 iš aibės X2m2
– – – – – – – – – – – – – – – – – –
xk “——————“ Xkmk būdais, tai sutvarkytą elementų rinkinį (x1,x1,.,xk) galima sudaryti m1,m2,.,mk būdais.

Gretiniai ir Kėliniai
Jeigu naaujo saibės sudaromos iš vienos duotosios aibės, jos vadinamos junginiais.
Gretiniai yra tokie junginiai, kurie skiriasi arba elementais, arba jų tvarka. Dar gali gretinys su pasikartojimais ar be jų. Gret su pasikartojimais: sakykime yra aibė x={a,b,c,d} sudaryyti iš tos aibės poras: ab ac ad aa ba bb bc ir t.t. nustatome pagal sandaugos taisyklę, kiek kukių rinkinių galima sudaryti.
X1=X2=.=XK, [X]=m;
(x1, x2,.xk) m*m*.m=mk

k kartų
Ukn=mk

Gret be pasikartojimo:
A={a,b,c,d}

abc

ab abd

acb

a ac acd

adb

ad adc
ir t.t.
Gret po vieną elementą.
Gret sk iš n elem po

o k žym Akn
Teorema: Iš n elemenyų po k galima sudaryti Akn=n(n-1)(n-2).(n-k+1) gret be posikartojimo.
Gretiniai sudaryti iš visų aibės elementų vadinami kėliniais. Žym Pn =Ann=n(n-1).3*2*1
Pn=n!
Deriniai
n elem aibės poaibiaiturintys po k elem vadinami deriniais iš n element po k. Deriniuose elem nesikartoja. Žym. Ckn, (nk). Teorema: Ckn=n(n-1).(n-k+1)/k!
Savybės: 1. Ckn=n!/k!(n-k)! 2. Ckn=Cn-kn
Priešingas ir nesutaikomi įvykiai
Jei įvykis A yra metant kauliuką iškrito lyginis skaičius, tai A(prieš)- nelyginis P(A(preiš))=1-P(A).
Yra tokių įvykių, kurie gali kartu įvykti ir kurie negali. Jie vad sutaikomi arba nesutaikomi. Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, jeigu jų sankirta yra tuščia aibė. Nesutaikomų įv formulė:
P(AB)=P(A)+P(B)
Sutaikomi yvikiai, tai tokie, kurių sankirta nelygi nuliui. Jiems galioja formulė:
P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Sąlyginė tikimybė
Tikimybės, kurių dydis priklauso nuo kito įv įvykimo ar neįvykimo, vadinamos sąliginėmis. Sąliginė tikimybė įv A, kai yra įvykęs įv B yra lygi: P(A|B)=P(AB)/P(B).
Įvykių sankirtos tikimybė
Įv sankirtos tikimybę galime išreikšti sąligine tikimybe. Teorema: jeigu tikimybė įv P(A)0 ir P(B) 0, tai P(AB)=P(A), P(B|A)=P(B)P(A|B).
Nepriklausomi įvykiai
Yra įv, kurie vienas kitam įtakos nepadaro, tokie įv vadinami nepriklausomais. Atsitiktiniai įv Air B yra nepriklausomi, jeigu jų įvykimo kartu tikimybė yra lygi jų sandaugai.P(AB)=P(A) P(B).
Jeigu įv yra daugiau, negu du tada: A1,A2,.,An yra vadinami nepriklausomais jeigu kiekvienam indekso rinkiniui 1=i1i2.i, kai k=2,3,.,n tesinga lygybė.
Pilnosios tikimybės formulė
Yra uždavinių iš kurių nors vi
ienas įv įvyksta. Įv A1, A2,.,An sudaro pilną įv grupę, jeigu bandymu metu nors vienas iš jų įvyksta. A1A2.An=, įvikiai sudaro pilną įv grupę, jei jų sąjunga yra būtinas įv.

H2 H1 H1,H2,H3,H4 kurie bū-

tinai turi įvykti ir ne-

A gali kartu įvykti. Ben-

H3 H4 roji pilnosios tikim fo
rmulė yra:
P(A)=ni=1P(Hi) P(A|Hi).

Bajeso formulė
Tomas Bajesas (1702-1761) anglas. Kam yra lygi tikimymybė P(H1|A)
P(H1|A)=P(HiA)/P(A)=
=P(Hi)P(A|Hi)/ ni P(Hi)P(A|Hi).
Bernulio bandymai
Šveicarų matematikas J.Bernulis(1654-1705). Jis nagrinėjo bandymus, kurie atliekami pagal tam tikras sąlygas. Tokius bandymus, kurie vadinami: 1. Nepriklausomais 2. K-ajame įv stebime ar įv Ak .
Svarbiausias uždavinys yra : jeigu atliksme n bandymų, kam lygi tikimybė, kad iš n atliktų bandymų įvyks k stebimų įvykių. Jis išvedė formulę:
Pn(k)=Ckn*pk(1-p)n-k
Atsitiktinis dydis
At dyd vad tokia elementaraus įv f-ją, kurios reikšmės priklauso nuo elementaraus atsitiktinumo.
={w1,w2,w3,.} x, y, z; X(w)
At dydžiai skirstomi į klases: 1.diskretieji 2.tolydieji
Jeigu at dydžio reikšmės sudaro baigtinę aibę, arba nabaigiamą seką jis yra diskretusis.
Tolydžiais dydžiais vad tokius at dydžius, kurie gali įgyti bet kurią reikšmę iš intervalo arba tiesės.
Dis at dyd reikšmes žymimos: x1,x2,..,xl,. P{X=xl}=Pl-įgyja tokia reikšmes ir jis vadinamas diskrečiojo at dydžio skirstiniu. Kadangi įv {X=x1}, {X=x2},.,{X=xl} sudaro pilną įv grupę t.y. atlikus bandymą nors 1 turi įvykti, tai galime panaudoti formulę:
{X=x1}{X=x2}.{X=xl}.= . Jeigu tie įv yra kas du nesutaikomi, tai galima panaudoti sankirtos formulę.
Puasono skirstinys

br />At dyd, kuris įgyja reikšmes k=0,1,2,3,.,n,. , kurių tikimybės yra P{X=k}=k’/k!*e-
vad puasono at dydžiu, tokio dyd skirstinys vad puasono skirstiniu gautas, kai k0, jis dar vadinamas retų atsitikimų skirstiniu. Puasono at dyd yra a)automatinių linijų sugedimų skaičius b)netisigų tel sujungimų sk. d)defektinių gaminių sk.
Skirstinio funkcija
Tai priemonė spręsti uždavinius su at dyd. At dyd x skirstinio f-ja vadinama: P{Xx}=F(x).
Skirstinio f-ja:

0, kai x0

1/8, kai 0x1
F(x)= 4/8, kai 1x2

7/8, kai 2x3

1, kai x3
Skirstinio f-jos sąvybės:
1. F(-)=0
2. F(+)=1
Tolydusis skirstinys
yra tokių at dyd, kurių reikšmės kinta ne diskrečiai. At dyd X vad tolydžiu, kai egzistuoja f-ja f(x), kad p{axb}=ba f(x)dx
a=-, b=x P{- Xx}=
=x-f(x)dx; P{Xx}=x-f(x)dx;
F(x)= x-f(t)dt
iferiancijavimas panaikina integravimo veiksmą
(F(x))’=( x-f(t)dt)’; F’(x)=f(x)
F-ja f(x) vad skirstinio tankio f-ja. Tankio sąvybės:
1. negali būti neigiama f(x) 0
2. a=-,b=+

Atsitiktinio dydžio savybės ir jo vidurkis
At dyd X galime nagrinėti turėdami skirstinio f-ją F(x)
P{aXb}=F(b)-F(a)

x1 x2 ir t.t
šis skirstinys charekterizuoja at dyd visas reikšmes. Pagal šį dydį galima palyginti keleta at dyd.
At dyd X vidurkis vad dyd, lygus:
=E(X)= i pi , kai X diskretinis

=E(X)= +-xf(x)dx, kai X tolydus.
Vidurkio sąvybės:
1. E(C )=C
2. E(X+)=E(X)+E()
3. E(X)=E(X)*E(), Kai X,  nepriklausomi
4. E(CX)=C-E(X)
5. E(X-E(X))=E(X+C-E(X))

=E(X)+E(-E(X))=E(X)+C

-E(X)=0
C- kostanta.

Leave a Comment