VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETASMATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETASALGEBROS IR STATISTIKOS KATEDRA
Romanas JANUŠKEVIČIUS, Olga JANUŠKEVIČIENĖ
T I K I M Y B Ė S
Metodinis leidinys aukštajai mokyklai
http://www.vpu.lt/lt/padal.getfile/21
2003TURINYS
Kas yra tikimybė?………………………………………………………………….41. Tikimybių teorijos ir statistikos objektas……………………………………….62. Diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė (aibė) ir jos mato savybės. Klasikinis tikimybės apibrėžimas………………………………………………………….73. Klasikinio tikimybės apibrėžimo taikymas Merė uždavinyje.Paskalio sprendimas. ……………………………………………………………104. Geometrinės tikimybės. Susitikimo uždavinys…………………………………115. Teorema apie nesikertančių intervalų algebrą. Teorema apie mažiausios sigma algebros egzistavimą……………………………………………………………136. Borelio sigma algebra. Tikimybinis matas mačiojoje erdvėje………………….177. Tikimybių teorijos ir statistikos aksiomų sistema (Kolmogorovo). Tikimybinė erdvė…………………………………………………………………………….208. Sąlyginių tikimybių empirinis suvokimas, apibrėžimas ir pavyzdžiai………….249. Tikimybių daugybos teorema ir jos taikymo pavyzdys. Pilnos tikimybės formulė. Bajeso formulė………………………………………………………………….2610. Nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai. Teorema apie nepriklausomus ir nesutaikomus įvykius, jos taikymo pavyzdys………………………………………………….2811. Atsitiktinis dydis kaip mačioji funkcija. Teorema apie jo generuotų įvykių priklausymą sigma algebrai…………………………………………………….3012. Tikimybių skirstinys. Trys skirstinių pavyzdžiai. Teorema apie skirstinių savybes………………………………………………………………………….3313. Bernulio schema. Diskretieji ir tolydieji skirstiniai. Pagrindiniai skirstinių tipai. Tankio savybės………………………………………………………………….3814. Eksponentinio skirstinio charakterizacijos teorema…………………………….4115. Styltjeso integralo apibrėžimas ir skaičiavimas tolydžiųjų ir diskrečiųjų skirstinių atvejais. Skirstinio spektras…………………………………………………….4316. Styltjeso integralo savybės …………………………………………………….4717. Diskrečiojo dydžio vidurkis ir jo fizikinė interpretacija. Draudimo modelis….4818. Matematinio vidurkio apibrėžimai. Normaliojo, tolygiojo ir Puasono skirstinių vidurkiai ……………………………………………………………………….5119. Matematinio vidurkio savybės………………………………………………….5420. Teorema apie atsitiktinio dydžio funkcijos vidurkį. Aukštesnių eilių, centriniai ir absoliutieji momentai………………………………………………………….5621. Dispersijos apibrėžimas ir jos apskaičiavimas. Normaliojo, tolygiojo ir Puasono skirstinių dispersijos……………………………………………………………5922. Teoremos apie dispersijos savybes…………………………………………….6223. Dispersija kaip sklaidos matas………………………………………………….6424. Čebyševo nelygybė. Didžiųjų skaičių dėsnis……………………………………6625. Bernulio teorema. Santykinis dažnis. Statistinio stabilumo fenomenas……….6926. Puasono teorema. Matavimo paklaidų empirinio vidurkio konvergavimas. Chinčino ir Markovo teoremos…………………………………………………74
27. Charakteristinės funkcijos ir jų savybės. Centrinė ribinė teorema…………….79Baigiamasis žodis………………………………………………………………83Rekomenduojama literatūra…………………………………………………….84KAS YRA TIKIMYBĖ? Maždaug prieš 100 metų išleistas F. A. Brockhaus ir I. A. Efron enciklopedinis žodynas rašė taip:Tikimybė – 1) filosof., didesnis artumas tiesai, o ne klydimui, kuris yra sąlygojamas tuo, kad teigiamų faktorių skaičius nagrinėjamo įvykio pasirodymo galimybės naudai viršija neigiamų faktorių skaičių;2) matem., santykis visų atvejų, palankių nagrinėjamam įvykiui, su visais vienodai galimais atvejais; pavyzdžiui, tikimybė iš visos kortų kaladės ištraukti tūzą lygi 4:52.O štai kaip “Didžiojoje tarybinėje enciklopedijoje” rašė tikimybių teorijos aksiomatikos kūrėjas A. N. Kolmogorovas:Tikimybė – tai tam tikro įvykio pasirodymo galimumo skaitinė charakteris- tika.Šis įvykio pasirodymas, tęsė A. N. Kolmogorovas, nagrinėjamas tam tikrose sąlygose, kurios gali būti pakartotos be galo daug kartų.Kaip mokslinio pažinimo kategorija sąvoka “tikimybė” atspindi ypatingą sąryšį tarp reiškinių, būdingų masiniams procesams, tipą. Ši kategorija yra ypatingų dėsningumų – statistinių dėsningumų – klasės pagrindas.Lietuviškosios tikimybininkų mokyklos pradininkas J. Kubilius apie tikimybės sąvoką rašė taip: “Iš karto atrodytų keista kalbėti apie atsitiktinių reiškinių dėsningumus. Ką galima pasakyti apie įvykius, kurie tai įvyksta, tai neįvyksta? Iš tikrųjų, kai susiduriame su atskirais atsitiktiniais įvykiais, apie kokius nors dėsningumus kalbėti sunku. Bet visiškai kitaip yra tada, kai reiškinys kartojasi daug kartų.Tačiau leiskime kalbėti pavyzdžiams.Jauna šeima laukia pirmojo kūdikio. Nerimauja. Spėlioja. Žinoma, vyras nori sūnaus, žmona – dukros. Ir ką dabar žmogus gali žinoti, kas gims – dukra ar sūnus. Grynas atsitiktinumas.Bet imkime visas šeimas, kurios tą patį mėnesį susilaukė naujagimio, ir pamatysime, kad gimė maždaug pusė berniukų ir pusė mergaičių. Vadinasi, kas buvo vienoje šeimoje tik atsitiktinis reiškinys, dideliam šeimų skaičiui yra dėsningumas. Ir įdomumo dėlei galėtume pasakyti, kad šeimos galva – vyras – turėjo daugiau galimybių sulaukti sūnaus, negu žmona dukros. Mat, kaip rodo pasaulinė statistika, bendrame naujagimių skaičiuje berniukų būna truputį daugiau kaip 51 nuošimtis”.
Garsus švedų matematikas Harald Cramer 1946-aisiais metais rašė, kad turbūt neįmanoma pateikti tikslų apibrėžimą to, ką nusako žodis atsitiktinis ir šio žodžio prasmę aiškina pavyzdžiu.Jei daug kartų mesti paprasčiausią monetą, tai, net labai stengiantis išsaugoti eksperimento sąlygas nepakitusioms, mes vis tiek nepajėgsime pasakyti, ar konkretaus metimo atveju iškris herbas, ar skaičius. Net jei mes sukonstruosime mašiną, kiekvieną kartą metančią monetą visiškai vienodai, tai visgi neįtikėtina, kad mums pavyktų tiksliai nuspėti konkretaus metimo rezultatą.Tai galima paaiškinti tuo, kad nežymūs stebimo objekto pradinių sąlygų pakitimai, kuriuos neįmanoma užfiksuoti mūsų “instrumentais”, gali žymiai įtakoti galutinį rezultatą. Ir net jei tokie parametrų praktinis apskaičiavimas ar net teorinis aprašymas gali būti neįmanomas.Netrukus įsitikinsime, kad visuose tokiuose atvejuose tarp visų stochastinio eksperimento pradinių sąlygų pakitimų ir jo rezultatų svyravimų galima aptikti vieną dėsningumą, kuris ir yra matematinės statistikos pagrindas. Kalbėsime apie statistinio stabilumo fenomeną.Taigi, atliekant konkretų stochastinį eksperimentą yra neįmanoma nusakyti jo rezultatą. Tačiau nuo konkretaus eksperimento perėjus prie stochastinių eksperimentų sekos, nagrinėjama situacija radikaliai pasikeičia.Pastebėta, kad nors stochastinių eksperimentų konkretūs (individualūs, atskiri) rezultatai “elgiasi labai netaisyklingai”, šių eksperimentų rezultatai pakankamai ilgoje stochastinių eksperimentų serijoje yra stabilūs.Kartosime mūsų stochastinį eksperimentą pakankamai daug kartų ir stebėsime, kiek kartų įvyko rezultatas A. Tegu pirmuosiuose eksperimentų įvyko kartų. Tada statistinio stabilumo fenomenas galėtų būti formuluojamas taip:Didėjant stochastinių eksperimentų skaičiui , rezultato (įvykio) santykinis dažnis turi tendenciją įgyti pastovią reikšmę.Ši “pastovi reikšmė” ir yra vadinama įvykio tikimybe ir žymima .1. TIKIMYBIŲ TEORIJOS IR STATISTIKOS OBJEKTAS1. Įvairiausiuose praktinių ir teorinių tyrimų srityse dažnai sutinkami atvejai, kai eksperimentai arba stebėjimai tose pačiose sąlygose gali būti pakartoti didelį skaičių kartų. Kiekvieną tokį kartą mes koncentruosime savo dėmesį į eksperimento (arba stebėjimo) rezultatą, išreikštą skaitine charakteristika.
Eksperimentus, kuriuos, esant vienodoms sąlygoms, galima pakartoti daugelį kartų ir kurių konkretaus rezultato negalima nuspėti iš anksto, vadiname stochastiniais (tikimybiniais) eksperimentais.2. Paprasčiausias stochastinio eksperimento pavyzdys – monetos metimas. Jo rezultatas aiškus – pasirodys arba herbas, arba skaičius. Jei herbo pasirodymą pažymėsime 1, o skaičiaus – 0, tai šio eksperimento rezultatus išreikšime skaičiais. Santuokų ir ištuokų registravimas metų bėgyje valstybėje, apskrityje ar mieste – jau sudėtingesnio stochastinio eksperimento pavyzdys. Suskaičiavus santuokas ir ištuokas Lietuvoje, gauta, kad jų, pavyzdžiui, 1990-aisiais yra atitinkamai 36310 ir 12747, o po 10 metų, t.y. 2000-aisiais, – jau tik 16906 ir 10882. Šio eksperimento rezultatų dar po 10 metų, t.y. 2010-aisiais, aišku, negalima tiksliai nuspėti iš anksto, tačiau tendencijų prognozė yra svarbi.3. Kiekviena stochastinių eksperimentų sekos rezultatų suvestinė sudaro statistinių duomenų aibę. Pagrindinis statistikos objektas yra galimybių gauti patikimas išvadas statistinių duomenų pagrindu tyrimas ir metodų, leidžiančių pateikti šias išvadas, išvystymas. Šių metodų vystymas bazuojasi tikimybių teorijos pagrindu. Pagal ES klasifikatorių tikimybių teorija ir matematinė statistika yra priskiriami statistikai. “Per pastaruosius dvidešimt penkerius metus statistika kaip mokslas stipriai progresavo. Šis progresas pasiektas puikiais anglų ir amerikiečių statistikos mokyklų atstovų darbais, kurių tarpe pirmiausiai turi būti paminėti profesoriaus R.A. Fišerio (Fisher) darbai. Šiuo laikotarpiu daugiausia prancūzų ir rusų matematikų dėka klasikinis tikimybių skaičiavimas virto grynai matematine teorija, tenkinančia šiuolaikinius griežtus reikalavimus” – taip dar 1945 metais rašė žymus Stokholmo universiteto profesorius H. Krameras. Kai kurie terminai apibrėžiami du kartus. Taip daroma Lietuvos standarto [5] pavyzdžiu, norint atkreipti skaitytojo dėmesį į tai, kada) šių terminų tikimybinė interpretacija remiasi teorinėmis konstrukcijomis, kurios nesusijusios su praktiniais taikymais;b) šių terminų statistinė interpretacija remiasi stebinio sąvoka, o terminų apibrėžimai yra taikomojo pobūdžio.2. DISKREČIOJI ELEMENTARIŲJŲ ĮVYKIŲ ERDVĖ (AIBĖ) IR JOS MATO SAVYBĖS. KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
1. Stochastinio eksperimento visų galimų rezultatų aibę pavadinsime elementariųjų įvykių erdve (aibe), o jos elementus – elementariaisiais įvykiais arba elementariosiomis baigtimis.Dabar detaliau išnagrinėsime stochastinį eksperimentą su baigtine arba skaičiąja visų baigčių aibe , t.y. Tokia aibė vadinama diskrečiąja elementariųjų įvykių erdve (aibe). Tarkime, kad kiekvienam elementariajam įvykiui priskirtas “svoris” (kurį pavadinsime elementariojo įvykio tikimybe) ir kad šie svoriai turi tokias savybes:1) 2)
Tegu, be to, – bet koks atsitiktinis įvykis, stebimas nagrinėjamame stochastiniame eksperimente, .
Apibrėžimas. Atsitiktinio įvykio A tikimybe P(A) vadiname elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A, tikimybių sumą: (1)
2. Tokiu būdu įvesta tikimybė turi savybes, kurias suformuluosime kaip atskirą teoremą.
Teorema. Tegu yra diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė, kurioje tikimybė P(A) yra apibrėžiama formule (1). Tada(a) ,(b) =1,(c) jei Ø, , tai .Įrodymas. Teoremos išvados (a) ir (b) yra elementarios, nes iš savybių 1) ir 2) gauname, kad
Kadangi Ø, tai
Teorema įrodyta.Išvada. P(Ø)=0, .Įrodymas trivialus, grindžiamas teoremos išvadomis (b) ir (c).3. Diskrečiosios elementariųjų įvykių erdvės poaibių funkcija , turinti savybes (a), (b) ir (c), dar yra vadinama tikimybiniu matu, o pats dvejetas – diskrečiuoju tikimybiniu modeliu. Šiame skyrelyje tikimybinis matas apibrėžtas teorinės konstrukcijos pagrindu ir matematiškai griežtai – kaip aibių funkcija. Koks gi šio apibrėžimo intuityvus pagrindimas? Šį tikimybės apibrėžimą galima sieti su įsitikinimo, kad įvykis įvyks, laipsniu. Kai įsitikinimo laipsnis didelis, pastebima standarte [5], tai tikimybė artima vienetui. Tačiau, kaip matėme įvade, galimas kitoks tikimybės įvedimo būdas. Jis buvo grindžiamas statistinio stabilumo fenomenu, o įvykio tikimybė apibrėžiama kaip santykinio dažnio riba. Taigi, tikimybę apibrėžti galima dviem būdais: kaip santykinio dažnio ribą ir kaip tikėtinumo laipsnį. Beje, pastarajam būdui priskirtinas ir taip vadinamas klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Apibrėžimas. Jei stochastiniame eksperimente yra tik n vienodai galimų baigčių, t.y. jei diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė sudaryta iš n vienodai galimų elementariųjų įvykių, tai įvykio A tikimybe vadinamas santykis ,kur m – elementariųjų įvykių, palankių įvykiui A, skaičius.
Kaip “teisingai” apibrėžti elementariųjų įvykių tikimybes Šis uždavinys nepriklauso tikimybių teorijos sričiai. Nežinomų tikimybių įvertinimų metodai pagal stebėjimų rezultatus nagrinėjami matematinėje statistikoje.
4. Pavyzdžiai. Stochastinis eksperimentas yra toks – metamas simetrinis kubiukas. Tada diskrečiąją elementariąją įvykių erdvę natūralu apibrėžti taip:
Kadangi kubiukas yra simetrinis, tai kiekvienam elementariajam įvykiui priskirsime tikimybę Tai ir yra nagrinėjamo stochastinio eksperimento diskretusis tikimybinis modelis.Tegu A yra įvykis, kuris reiškia, kad iškritęs skaičius dalijasi iš 3. Tada ,
Dabar tarkime, kad atliekamas toks stochastinis eksperimentas – metamas nesimetrinis kubiukas. Yra žinoma, kad jo sienelės pasirodymo tikimybė proporcinga sienelės numeriui. Diskretųjį tikimybinį modelį konstruosime taip. Diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė apibrėžiama taip pat, kaip ir pirmajame pavyzdyje. Kiekvienam elementariajam įvykiui priskirsime tikimybę ,
Lengva įsitikinti, kad taip apibrėžtas skaičių rinkinys tenkina savybes 1) ir 2). Įvykio tikimybė, aišku, skirsis nuo šio įvykio tikimybės, apskaičiuotos pirmajame pavyzdyje, nes kubiukas nėra simetrinis. Taigi,
3. KLASIKINIO TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMO TAIKYMAS MERĖ UŽDAVINYJE.