VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETASMATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETASALGEBROS IR STATISTIKOS KATEDRA
Romanas JANUŠKEVIČIUS, Olga JANUŠKEVIČIENĖ
T I K I M Y B Ė S
Metodinis leidinys aukštajai mokyklai
http://www.vpu.lt/lt/padal.getfile/21
2003TURINYS
Kas yra tikimybė?…………………………………………………………………..41. Tikimybių teorijos ir statistikos objektas……………………………………….62. Diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė (aibė) ir jos mato savybės. Klasikinis tikimybės apibrėžimas…………………………………………………………..73. Klasikinio tikimybės apibrėžimo taikymas Merė uždavinyje.Paskalio sprendimas. ……………………………………………………………104. Geometrinės tikimybės. Susitikimo uždavinys…………………………………115. Teorema apie nesikertančių intervalų algebrą. Teorema apie mažiausios sigma algebros egzistavimą……………………………………………………………136. Borelio sigma algebra. Tikimybinis matas mačiojoje erdvėje………………….177. Tikimybių teorijos ir statistikos aksiomų sistema (Kolmogorovo). Tikimybinė erdvė…………………………………………………………………………….208. Sąlyginių tikimybių empirinis suvokimas, apibrėžimas ir pavyzdžiai………….249. Tikimybių daugybos teorema ir jos taikymo pavyzdys. Pilnos tikimybės formulė. Bajeso formulė………………………………………………………………….2610. Nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai. Teorema apie nepriklausomus ir nesutaikomus įvykius, jos taikymo pavyzdys………………………………………………….2811. Atsitiktinis dydis kaip mačioji funkcija. Teorema apie jo generuotų įvykių priklausymą sigma algebrai……………………………………………………..3012. Tikimybių skirstinys. Trys skirstinių pavyzdžiai. Teorema apie skirstinių savybes………………………………………………………………………….3313. Bernulio schema. Diskretieji ir tolydieji skirstiniai. Pagrindiniai skirstinių tipai. Tankio savybės………………………………………………………………….3814. Eksponentinio skirstinio charakterizacijos teorema…………………………….4115. Styltjeso integralo apibrėžimas ir skaičiavimas tolydžiųjų ir diskrečiųjų skirstinių atvejais. Skirstinio spektras…………………………………………………….4316. Styltjeso integralo savybės …………………………………………………….4717. Diskrečiojo dydžio vidurkis ir jo fizikinė interpretacija. Draudimo modelis…..4818. Matematinio vidurkio apibrėžimai. Normaliojo, tolygiojo ir Puasono skirstinių vidurkiai ………………………………………………………………………..5119. Matematinio vidurkio savybės………………………………………………….5420. Teorema apie atsitiktinio dydžio funkcijos vidurkį. Aukštesnių eilių, centriniai ir absoliutieji momentai…………………………………………………………..5621. Dispersijos apibrėžimas ir jos apskaičiavimas. Normaliojo, tolygiojo ir Puasono skirstinių dispersijos……………………………………………………………5922. Teoremos apie dispersijos savybes……………………………………………..6223. Dispersija kaip sklaidos matas………………………………………………….6424. Čebyševo nelygybė. Didžiųjų skaičių dėsnis……………………………………6625. Bernulio teorema. Santykinis dažnis. Statistinio stabilumo fenomenas………..6926. Puasono teorema. Matavimo paklaidų empirinio vidurkio konvergavimas. Chinčino ir Markovo teoremos…………………………………………………7427. Charakteristinės funkcijos ir jų savybės. Centrinė ribinė teorema……………..79Baigiamasis žodis………………………………………………………………83Rekomenduojama literatūra…………………………………………………….84
KAS YRA TIKIMYBĖ? Maždaug prieš 100 metų išleistas F. A. Brockhaus ir I. A. Efron enciklopedinis žodynas rašė taip:Tikimybė – 1) filosof., didesnis artumas tiesai, o ne klydimui, kuris yra sąlygojamas tuo, kad teigiamų faktorių skaičius nagrinėjamo įvykio pasirodymo galimybės naudai viršija neigiamų faktorių skaičių;2) matem., santykis visų atvejų, palankių nagrinėjamam įvykiui, su visais vienodai galimais atvejais; pavyzdžiui, tikimybė iš visos kortų kaladės ištraukti tūzą lygi 4:52.O štai kaip “Didžiojoje tarybinėje enciklopedijoje” rašė tikimybių teorijos aksiomatikos kūrėjas A. N. Kolmogorovas:Tikimybė – tai tam tikro įvykio pasirodymo galimumo skaitinė charakteris- tika.Šis įvykio pasirodymas, tęsė A. N. Kolmogorovas, nagrinėjamas tam tikrose sąlygose, kurios gali būti pakartotos be galo daug kartų.Kaip mokslinio pažinimo kategorija sąvoka “tikimybė” atspindi ypatingą sąryšį tarp reiškinių, būdingų masiniams procesams, tipą. Ši kategorija yra ypatingų dėsningumų – statistinių dėsningumų – klasės pagrindas.Lietuviškosios tikimybininkų mokyklos pradininkas J. Kubilius apie tikimybės sąvoką rašė taip: “Iš karto atrodytų keista kalbėti apie atsitiktinių reiškinių dėsningumus. Ką galima pasakyti apie įvykius, kurie tai įvyksta, tai neįvyksta? Iš tikrųjų, kai susiduriame su atskirais atsitiktiniais įvykiais, apie kokius nors dėsningumus kalbėti sunku. Bet visiškai kitaip yra tada, kai reiškinys kartojasi daug kartų.Tačiau leiskime kalbėti pavyzdžiams.Jauna šeima laukia pirmojo kūdikio. Nerimauja. Spėlioja. Žinoma, vyras nori sūnaus, žmona – dukros. Ir ką dabar žmogus gali žinoti, kas gims – dukra ar sūnus. Grynas atsitiktinumas.Bet imkime visas šeimas, kurios tą patį mėnesį susilaukė naujagimio, ir pamatysime, kad gimė maždaug pusė berniukų ir pusė mergaičių. Vadinasi, kas buvo vienoje šeimoje tik atsitiktinis reiškinys, dideliam šeimų skaičiui yra dėsningumas. Ir įdomumo dėlei galėtume pasakyti, kad šeimos galva – vyras – turėjo daugiau galimybių sulaukti sūnaus, negu žmona dukros. Mat, kaip rodo pasaulinė statistika, bendrame naujagimių skaičiuje berniukų būna truputį daugiau kaip 51 nuošimtis”.Garsus švedų matematikas Harald Cramer 1946-aisiais metais rašė, kad turbūt neįmanoma pateikti tikslų apibrėžimą to, ką nusako žodis atsitiktinis ir šio žodžio prasmę aiškina pavyzdžiu.
Jei daug kartų mesti paprasčiausią monetą, tai, net labai stengiantis išsaugoti eksperimento sąlygas nepakitusioms, mes vis tiek nepajėgsime pasakyti, ar konkretaus metimo atveju iškris herbas, ar skaičius. Net jei mes sukonstruosime mašiną, kiekvieną kartą metančią monetą visiškai vienodai, tai visgi neįtikėtina, kad mums pavyktų tiksliai nuspėti konkretaus metimo rezultatą.Tai galima paaiškinti tuo, kad nežymūs stebimo objekto pradinių sąlygų pakitimai, kuriuos neįmanoma užfiksuoti mūsų “instrumentais”, gali žymiai įtakoti galutinį rezultatą. Ir net jei tokie parametrų praktinis apskaičiavimas ar net teorinis aprašymas gali būti neįmanomas.Netrukus įsitikinsime, kad visuose tokiuose atvejuose tarp visų stochastinio eksperimento pradinių sąlygų pakitimų ir jo rezultatų svyravimų galima aptikti vieną dėsningumą, kuris ir yra matematinės statistikos pagrindas. Kalbėsime apie statistinio stabilumo fenomeną.Taigi, atliekant konkretų stochastinį eksperimentą yra neįmanoma nusakyti jo rezultatą. Tačiau nuo konkretaus eksperimento perėjus prie stochastinių eksperimentų sekos, nagrinėjama situacija radikaliai pasikeičia.Pastebėta, kad nors stochastinių eksperimentų konkretūs (individualūs, atskiri) rezultatai “elgiasi labai netaisyklingai”, šių eksperimentų rezultatai pakankamai ilgoje stochastinių eksperimentų serijoje yra stabilūs.Kartosime mūsų stochastinį eksperimentą pakankamai daug kartų ir stebėsime, kiek kartų įvyko rezultatas A. Tegu pirmuosiuose eksperimentų įvyko kartų. Tada statistinio stabilumo fenomenas galėtų būti formuluojamas taip:Didėjant stochastinių eksperimentų skaičiui , rezultato (įvykio) santykinis dažnis turi tendenciją įgyti pastovią reikšmę.Ši “pastovi reikšmė” ir yra vadinama įvykio tikimybe ir žymima .1. TIKIMYBIŲ TEORIJOS IR STATISTIKOS OBJEKTAS1. Įvairiausiuose praktinių ir teorinių tyrimų srityse dažnai sutinkami atvejai, kai eksperimentai arba stebėjimai tose pačiose sąlygose gali būti pakartoti didelį skaičių kartų. Kiekvieną tokį kartą mes koncentruosime savo dėmesį į eksperimento (arba stebėjimo) rezultatą, išreikštą skaitine charakteristika. Eksperimentus, kuriuos, esant vienodoms sąlygoms, galima pakartoti daugelį kartų ir kurių konkretaus rezultato negalima nuspėti iš anksto, vadiname stochastiniais (tikimybiniais) eksperimentais.2. Paprasčiausias stochastinio eksperimento pavyzdys – monetos metimas. Jo rezultatas aiškus – pasirodys arba herbas, arba skaičius. Jei herbo pasirodymą pažymėsime 1, o skaičiaus – 0, tai šio eksperimento rezultatus išreikšime skaičiais. Santuokų ir ištuokų registravimas metų bėgyje valstybėje, apskrityje ar mieste – jau sudėtingesnio stochastinio eksperimento pavyzdys. Suskaičiavus santuokas ir ištuokas Lietuvoje, gauta, kad jų, pavyzdžiui, 1990-aisiais yra atitinkamai 36310 ir 12747, o po 10 metų, t.y. 2000-aisiais, – jau tik 16906 ir 10882. Šio eksperimento rezultatų dar po 10 metų, t.y. 2010-aisiais, aišku, negalima tiksliai nuspėti iš anksto, tačiau tendencijų prognozė yra svarbi.3. Kiekviena stochastinių eksperimentų sekos rezultatų suvestinė sudaro statistinių duomenų aibę. Pagrindinis statistikos objektas yra galimybių gauti patikimas išvadas statistinių duomenų pagrindu tyrimas ir metodų, leidžiančių pateikti šias išvadas, išvystymas. Šių metodų vystymas bazuojasi tikimybių teorijos pagrindu. Pagal ES klasifikatorių tikimybių teorija ir matematinė statistika yra priskiriami statistikai. “Per pastaruosius dvidešimt penkerius metus statistika kaip mokslas stipriai progresavo. Šis progresas pasiektas puikiais anglų ir amerikiečių statistikos mokyklų atstovų darbais, kurių tarpe pirmiausiai turi būti paminėti profesoriaus R.A. Fišerio (Fisher) darbai. Šiuo laikotarpiu daugiausia prancūzų ir rusų matematikų dėka klasikinis tikimybių skaičiavimas virto grynai matematine teorija, tenkinančia šiuolaikinius griežtus reikalavimus” – taip dar 1945 metais rašė žymus Stokholmo universiteto profesorius H. Krameras. Kai kurie terminai apibrėžiami du kartus. Taip daroma Lietuvos standarto [5] pavyzdžiu, norint atkreipti skaitytojo dėmesį į tai, kada) šių terminų tikimybinė interpretacija remiasi teorinėmis konstrukcijomis, kurios nesusijusios su praktiniais taikymais;b) šių terminų statistinė interpretacija remiasi stebinio sąvoka, o terminų apibrėžimai yra taikomojo pobūdžio.
2. DISKREČIOJI ELEMENTARIŲJŲ ĮVYKIŲ ERDVĖ (AIBĖ) IR JOS MATO SAVYBĖS. KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
1. Stochastinio eksperimento visų galimų rezultatų aibę pavadinsime elementariųjų įvykių erdve (aibe), o jos elementus – elementariaisiais įvykiais arba elementariosiomis baigtimis.Dabar detaliau išnagrinėsime stochastinį eksperimentą su baigtine arba skaičiąja visų baigčių aibe , t.y. . Tokia aibė vadinama diskrečiąja elementariųjų įvykių erdve (aibe).
Tarkime, kad kiekvienam elementariajam įvykiui priskirtas “svoris” (kurį pavadinsime elementariojo įvykio tikimybe) ir kad šie svoriai turi tokias savybes:1) 2)Tegu, be to, – bet koks atsitiktinis įvykis, stebimas nagrinėjamame stochastiniame eksperimente, .
Apibrėžimas. Atsitiktinio įvykio A tikimybe P(A) vadiname elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A, tikimybių sumą: (1)
2. Tokiu būdu įvesta tikimybė turi savybes, kurias suformuluosime kaip atskirą teoremą.
Teorema. Tegu yra diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė, kurioje tikimybė P(A) yra apibrėžiama formule (1). Tada(a) ,(b) =1,(c) jei Ø, , tai .Įrodymas. Teoremos išvados (a) ir (b) yra elementarios, nes iš savybių 1) ir 2) gauname, kad
Kadangi Ø, tai
Teorema įrodyta.Išvada. P(Ø)=0, .Įrodymas trivialus, grindžiamas teoremos išvadomis (b) ir (c).3. Diskrečiosios elementariųjų įvykių erdvės poaibių funkcija , turinti savybes (a), (b) ir (c), dar yra vadinama tikimybiniu matu, o pats dvejetas – diskrečiuoju tikimybiniu modeliu. Šiame skyrelyje tikimybinis matas apibrėžtas teorinės konstrukcijos pagrindu ir matematiškai griežtai – kaip aibių funkcija. Koks gi šio apibrėžimo intuityvus pagrindimas? Šį tikimybės apibrėžimą galima sieti su įsitikinimo, kad įvykis įvyks, laipsniu. Kai įsitikinimo laipsnis didelis, pastebima standarte [5], tai tikimybė artima vienetui. Tačiau, kaip matėme įvade, galimas kitoks tikimybės įvedimo būdas. Jis buvo grindžiamas statistinio stabilumo fenomenu, o įvykio tikimybė apibrėžiama kaip santykinio dažnio riba. Taigi, tikimybę apibrėžti galima dviem būdais: kaip santykinio dažnio ribą ir kaip tikėtinumo laipsnį. Beje, pastarajam būdui priskirtinas ir taip vadinamas klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Apibrėžimas. Jei stochastiniame eksperimente yra tik n vienodai galimų baigčių, t.y. jei diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė sudaryta iš n vienodai galimų elementariųjų įvykių, tai įvykio A tikimybe vadinamas santykis ,kur m – elementariųjų įvykių, palankių įvykiui A, skaičius.
Kaip “teisingai” apibrėžti elementariųjų įvykių tikimybes Šis uždavinys nepriklauso tikimybių teorijos sričiai. Nežinomų tikimybių įvertinimų metodai pagal stebėjimų rezultatus nagrinėjami matematinėje statistikoje.
4. Pavyzdžiai. Stochastinis eksperimentas yra toks – metamas simetrinis kubiukas. Tada diskrečiąją elementariąją įvykių erdvę natūralu apibrėžti taip:
Kadangi kubiukas yra simetrinis, tai kiekvienam elementariajam įvykiui priskirsime tikimybę Tai ir yra nagrinėjamo stochastinio eksperimento diskretusis tikimybinis modelis.Tegu A yra įvykis, kuris reiškia, kad iškritęs skaičius dalijasi iš 3. Tada ,
Dabar tarkime, kad atliekamas toks stochastinis eksperimentas – metamas nesimetrinis kubiukas. Yra žinoma, kad jo sienelės pasirodymo tikimybė proporcinga sienelės numeriui. Diskretųjį tikimybinį modelį konstruosime taip. Diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė apibrėžiama taip pat, kaip ir pirmajame pavyzdyje. Kiekvienam elementariajam įvykiui priskirsime tikimybę ,
Lengva įsitikinti, kad taip apibrėžtas skaičių rinkinys tenkina savybes 1) ir 2). Įvykio tikimybė, aišku, skirsis nuo šio įvykio tikimybės, apskaičiuotos pirmajame pavyzdyje, nes kubiukas nėra simetrinis. Taigi,
3. KLASIKINIO TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMO TAIKYMAS MERĖ UŽDAVINYJE. PASKALIO SPRENDIMAS.
1. Matėme, kad klasikinis tikimybės apibrėžimas yra pagrįstas įvykių vienodo galimumo, arba vienodo tikėtinumo sąvoka. Jei, pavyzdžiui, loterijos prizų fonde yra 5 automobiliai ir 50 šaldytuvų, tai, aišku, išlošti šaldytuvą yra daugiau galimybių, negu automobilį. Išnagrinėkime tokį stochastinį eksperimentą ir su juo susijusį uždavinį. Merė (Ch. de Meray, XVII a.) uždavinys. Metami 3 lošimo kubiukai, skaičiuojama iškritusių akučių suma. Kokia akučių suma dažniau iškris: 11 ar 12? Merė hipotezė: vienodai dažnai. Tačiau praktika rodė kitką, todėl Merė parašė Paskaliui ir pateikė jam savo skaičiavimus.Merė sprendimas. 11 akučių sumą galima gauti šešiais skirtingais būdais: 6+4+1, 6+3+2, 5+5+1, 5+4+2, 5+3+3, 4+4+3. Tas pat dėl 12: 6+5+1, 6+4+2, 6+3+3, 5+5+2, 5+4+3, 4+4+4. Iš čia buvo daroma tokia išvada: sumų 11 ir 12 pasirodymo tikimybės yra lygios.
2. Paskalis nesutiko su šiuo sprendimu ir nurodė klaidą.Paskalio atsakymas. Merė nurodyti įvykiai nėra vienodai galimi. Iš tiesų, sunumeruokime kubiukus (arba suskirstykime pagal spalvas). Tada, pvz., kombinacija 5+4+3 pasirodo, kai turime rezultatus (5,4,3), (4,5,3), (5,3,4), (3,4,5), (3,5,4), (4,3,5), o kombinacija 4+4+4 pasirodo tik vieną kartą. Tai reiškia, kad Paskalis kombinacijas nagrinėjo ne kaip aibes, kuriose, kaip žinome, elementų tvarka yra nesvarbi, o kaip vektorius.Paskalio sprendimas. Pažymėkime ,kur yra i-tojo kubiuko akučių skaičius. Tada iš viso elementariųjų įvykių yra ir, kas ypač svarbu pabrėžti, visi jie yra vienodai galimi.
Tarp jų palankių pirmajam įvykiui (t.y. akučių suma lygi 11) elementariųjų įvykių yra 27:(6,4,1), (6,3,2), (6,2,3), (6,1,4), (5,5,1), (5,4,2),(5,3,3), (5,2,4), (5,1,5), (4,6,1), (4,5,2), (4,4,3),(4,3,4), (4,2,5), (4,1,6), (3,6,2), (3,5,3), (3,4,4),(3,3,5), (3,2,6), (2,6,3), (2,5,4), (2,4,5), (2,3,6),(1,6,4), (1,5,5), (1,4,6).Analogiškai, palankių antrajam įvykiui (t.y. akučių suma lygi 12) elementariųjų įvykių yra 25. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą, atitinkamos pirmojo ir antrojo įvykių tikimybės yra . Tai reiškia, kad sumų 11 ir 12 pasirodymo tikimybės nėra lygios.4. GEOMETRINĖS TIKIMYBĖS. SUSITIKIMO UŽDAVINYS
1. Jau pačioje tikimybių teorijos vystymosi pradžioje buvo paskelbti klasikinio tikimybės apibrėžimo trūkumai. Tai, visų pirma, nagrinėjamos diskrečiosios elementariųjų įvykių erdvės elementų skaičius n turi būti baigtinis. O kaip nagrinėti tuos atvejus, kai elementariųjų įvykių be galo daug?Pirmasis žingsnis šia linkme – geometrinės tikimybės sąvokos įvedimas. Jis taip pat grindžiamas įvykių vienodo galimumo arba vienodo tikėtinumo principu.Klasikinio tikimybės apibrėžimo išplėtimas vyksta taip. Tegu, pavyzdžiui, plokštumoje turime sritį G su plotu mes G, kurioje patalpinta kita sritis g su plotu mes g. Į sritį G atsitiktinai metamas taškas ir klausiama, kam lygi tikimybė įvykio, kad taškas pateks į sritį g.2. Sąvokai “į sritį G atsitiktinai metamas taškas” suteikiama tokia prasmė: • mestas taškas gali pataikyti į bet kurį srities G tašką; • tikimybė pataikyti į kokią nors srities G dalį g proporcinga šiam plotui ir nepriklauso nuo jos padėties ir formos.Tai reiškia, kad taško pataikymo į sritį g tikimybė p apibrėžiama taip: .3. Išnagrinėsime pavyzdį – susitikimo uždavinį.Susitikimo uždavinys. Jonas ir Petras susitarė susitikti autobuso stotelėje tarp 9 ir 10 valandos iš ryto. Kiekvienas, atėjęs į sustojimą, laukia kito 15 minučių, o po to išeina. Apskaičiuoti tikimybę tokių įvykių: 1) Jonas ir Petras susitiko; 2) Jonas ir Petras ateis vienu metu.Sprendimas. Atvejis 1). Pastebime, kad
Atvejis 2). Šiuo atveju sritis g, kuria išreiškiama Jono ir Petro atėjimo vienu metu aibė, yra atkarpa: .Kadangi , tai antruoju atveju
5. TEOREMA APIE NESIKERTANČIŲ INTERVALŲ ALGEBRĄ. TEOREMA APIE MAŽIAUSIOS SIGMA ALGEBROS EGZISTAVIMĄ 1. Aibių algebros ir -algebros sąvokų įvedimas ypač aktualus tada, kai stochastinio eksperimento visų galimų rezultatų aibė nėra diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė, t.y. yra neskaičioji aibė. Priminsime, kad aibės, ekvivalenčios natūrinių skaičių aibei, pasižymi tuo, kad jų elementus galima tam tikru būdu numeruoti, skaičiuoti. Tokios aibės vadinamos skaičiosiomis1. Begalinės aibės, neekvivalenčios natūrinių skaičių aibei, vadinamos neskaičiosiomis. Priminsime dar vieną apibrėžimą.
Apibrėžimas. Aibės poaibių klasė vadinama algebra, jei ji turi tokias savybes: 10. 20. Jei , tai ; 30. Jei ir , tai .
Teiginys. Tegu yra algebra. Jei , , tai .
Įrodymas. Pirmiausia įrodysime, kad . (1)Tai nesunku atlikti, prisiminus de Morgano logikos dėsnį, pagal kurį bet kuriems teiginiams p ir q yra teisingas toks sąryšis: .Taigi, kadangi , tai pažymėję ir turime, kad , todėl
o tuo pačiu įrodyta formulė (1). Iš 20 savybės gauname, kad o iš 30 – kad Vėl pasinaudoję savybe 20 turime, kad
Iš čia ir iš formulės (1) darome išvadą, kad . Teiginys įrodytas.
2. Pavyzdys. Matyt, paprasčiausias netrivialus algebros pavyzdys yra toks. Tegu . Tada aibių klasė ,, yra algebra. Siūlome tai skaitytojui įrodyti savarankiškai.
Teorema. Tegu yra intervalas . Jei yra visų tokių poaibių iš sistema, kurių kiekvienas yra nesikertančių intervalų tipo baigtinė suma, t.y. (2)tai yra algebra.
Įrodymas. Pirmiausia pastebėsime, kad , o formulę (1) užrašysime bendresniu pavidalu: . (3)Tegu dabar A – bet koks elementas. Ar , t.y. ar nagrinėjamoji sistema tenkina savybę 20? Jei , tai
Pažymėkime Tada iš (3) gauname, kad
Žymėjimų supaprastinimui toliau tarkime, kad . Tada
Kadangi , tai pastebime, kad ,t.y. yra baigtinė nesikertančių intervalų tipo suma ir todėl . Dabar belieka įrodyti, kad
t.y. nagrinėjamoji sistema tenkina ir savybę 30. Taigi, tegu .Ar šių aibių suma (4)turi (2) pavidalą? Čia, pasirinkus bet kuriuos i ir j, galimi tik du variantai: (I). . Tada sumoje (4) paprasčiausiai atliekama nauja numeracija. (II). , t.y. intervalai ir turi bendrų taškų. Tai reiškia, kad arba , arba . Pirmuoju atveju ,o antruoju –
t.y. tas pats. Taigi, galima išdėstyti kaip baigtinę nesikertančių intervalų sumą, kadangi visus susikertančius intervaliukus apjungėme į to paties tipo intervalą. Tai reiškia, kad .
Teorema įrodyta. 3. Apibrėždami algebrą reikalavome, kad bet kurių jos elementų baigtinė suma priklausytų jai vėl. Tačiau yra daug tikimybių teorijos ir matematinės statistikos uždavinių, kuriuos sprendžiant tenka nagrinėti begalines sumas. Todėl ir tikimybinis matas įvedamas ne algebroje, o -algebroje, kurios apibrėžimą dabar ir pateiksime. Apibrėžimas. Aibės poaibių klasė vadinama -algebra, jei ji turi tokias savybes:10. 20. 30. • Skaitytojui siūlome įsitikinti, kad aibė visų bet kokios aibės poaibių sudaro -algebrą.4. Toliau mums yra reikalingas dar vienas apibrėžimas. Apibrėžimas. Tegu – bet kuri aibės poaibių klasė, -algebra vadinama mažiausia -algebra, talpinančia klasę , jei ji tenkina šias savybes:10. .20. Jei – bet kuri -algebra tokia, kad , tai .
Teorema. Bet kuriai klasei egzistuoja mažiausia -algebra, talpinanti klasę .
Įrodymas. Pirmiausia pastebėsime, kad egzistuoja bent viena -algebra, talpinanti klasę . Iš tiesų, kadangi yra aibės poaibių klasė, tai tokia -algebra yra, pavyzdžiui, visų poaibių -algebra. Visų -algebrų , talpinančių klasę , pjūvį pažymėkime . Naudojant vien tik -algebros apibrėžimą patikrinsime, kad yra -algebra.1). Ar ? Pagal apibrėžimą, , – -algebros, talpinančios klasę .Taigi, , todėl .2). Jei , tai ar Kadangi – -algebros, tai , todėl
3). Jei , tai ar ? Vėl pasinaudoję tuo, kad yra -algebros, gauname, kad
Taigi, atsakymai į klausimus 1), 2) ir 3) yra teigiami, o tai reiškia, kad yra -algebra. Ar tai mažiausia -algebra, talpinanti klasę ? Tegu – bet kuri -algebra, talpinanti klasę . Pagal mūsų konstrukciją ,t.y. yra viena iš aibių , o kadangi , tai .Iš čia gauname, kad yra mažiausia -algebra, talpinanti klasę . Teorema įrodyta.6. BORELIO SIGMA ALGEBRA. TIKIMYBINIS MATAS MAČIOJOJE ERDVĖJE1. Praeitame skyrelyje daug dėmesio skyrėme intervalų [a;b) klasės nagrinėjimui. Šiame skyrelyje tarę, kad , šių intervalų [a;b) klasę pažymėkime raide .
Apibrėžimas. Mažiausia -algebra, talpinanti klasę , vadinama Borelio -algebra1, jos elementai vadinami Borelio aibėmis, o žymėsime ją raide .
Teorema. Vienataškė aibė {a}, atviras intervalas (a;b) ir uždaras intervalas [a;b] yra Borelio aibės.
Įrodymas. Pirmiausia įrodysime, kad jei yra bet kokia -algebra ir tai ir šių aibių begalinė sankirta priklauso tai pačiai -algebrai , t.y. (1)Tuo tikslu pirmiausia pastebėsime, kad .Tai reiškia, kad .O kadangi yra -algebra, tai iš šio sąryšio gauname tokią implikacijų seką: .Formulė (1) pilnai įrodyta. Pereiname prie betarpiško teoremos įrodymo. Kadangi
o aibės yra Borelio -algebros elementai, tai iš (1) gauname, kad . Toliau pastebėsime, kad . Iš čia gauname, kad jei , – bet kokia -algebra, tai . O kadangi ,tai . Dabar belieka pastebėti, kad .Iš tiesų, , taigi, , nes . Be to, įrodėme, kad bet kuri vienataškė aibė priklauso -algebrai , todėl ir šių dviejų aibių suma priklauso . Teorema įrodyta.
2. Formulės (1) pagrindu pastebėsime, kad -algebra yra aibių klasė, uždara ne tik sumos, bet ir sankirtos operacijų atlikimo begalinį skaičių kartų atžvilgiu.
Apibrėžimas. Jei yra bet kokia aibė, o – bet kokia jos poaibių -algebra, tai dvejetas vadinamas mačiąja erdve .
Jau pats šios erdvės pavadinimas sufleruoja, kad viskas paruošta tikimybinio mato sąvokos įvedimui.
Apibrėžimas. Funkcija P, apibrėžta -algebroje ir įgijanti reikšmes iš intervalo [0;1], vadinama tikimybiniu matu mačiojoje erdvėje jei:(P1) (P2) (P3) .
3. Pavyzdys. Išnagrinėsime tokį stochastinį eksperimentą – “taškas” metamas į atkarpą . Tarkime, kad visi eksperimento rezultatai yra vienodai galimi. Aišku, kad šiame stochastiniame eksperimente .Tačiau jei, kaip dažnai darėme anksčiau, kiekvienam elementariam įvykiui mėginsime priskirti tikimybę , tai nieko gero negausime. Iš tiesų, kadangi visi elementarieji įvykiai “vienodai galimi” ir jų yra be galo daug, tai . Todėl tikimybinį matą P reikia konstruoti kitaip. Tikimybę “taškui” patekti į intervalą apibrėžkime lygią skaičiui b-a. Sumai nesikertančių intervalų tokių, kad ,tokiu atveju priskirtina tikimybė . Mačioji erdvė pilnai aprašo nagrinėjamą stochastinį eksperimentą, jei apibrėšime kaip Borelio -algebrą intervale .7. TIKIMYBIŲ TEORIJOS IR STATISTIKOS AKSIOMŲ SISTEMA (KOLMOGOROVO). TIKIMYBINĖ ERDVĖ
1. Pagal tarptautinių žodžių žodyną, aksioma – tai pradinis išeities teiginys, sudarantis kitų teiginių (teoremų) įrodymų pagrindą mokslinėje teorijoje, kurios ribose priimamas be įrodymo.
Vaizdžiai kalbant, aksiomų sistema – tai nagrinėjamos teorijos fundamentas. Šiame skyrelyje išnagrinėsime tikimybių teorijos (o tuo pačiu ir statistikos) fundamentą, ant kurio ir yra statomas didžiulis statistikos rūmas. Nagrinėjimui pasirinksime bet kokį stochastinį eksperimentą. Tegu – šio stochastinio eksperimento elementariųjų įvykių erdvė. Tarkime, kad poaibių sistema yra -algebra. Tai reiškia, kad(F1) (F2) Jei , tai (F3) Jei tai ir . Aibės iš vadinamos atsitiktiniais įvykiais, o dvejetas , kaip buvo minėta, mačiąja erdve.
2. Šioje erdvėje kiekvienam atsitiktiniam įvykiui A (t.y. aibei iš klasės ) priskirsime skaičių P(A), kuris vadinamas atsitiktinio įvykio A tikimybe, taip, kad būtų patenkintos praeito skyrelio sąlygos (P1), (P2) ir (P3).
Apibrėžimas. Teiginiai (F1), (F2), (F3) ir (P1), (P2), P(3) vadinami tikimybių teorijos ir statistikos aksiomų sistema.
Tokiu pavidalu šią sistemą pirmasis suformulavo rusų matematikas A.N. Kolmogorovas, todėl dažnai ji vadinama Kolmogorovo aksiomų sistema. Aksiomos (P1) ir P(3) reiškia, kad funkcija P , apibrėžta -algebroje , yra matas. Kadangi šis matas tenkina dar vieną sąlygą – sąlygą (P2), – tai jis vadinamas normuotu (arba tikimybiniu) matu.
Apibrėžimas. Trejetas , kuriame pažymėta aibės poaibių sistemos -algebra, o P – tikimybinis matas – algebroje , yra vadinamas tikimybine erdve. Be to, – algebros elementai vadinami atsitiktiniais įvykiais.
3. Išnagrinėkime paprasčiausias tikimybinio mato savybes.
Teorema 1. Tegu A ir B – atsitiktiniai įvykiai, t.y. ir . Tegu, be to, . Tada . (1)
Įrodymas. Pagal tikimybinės erdvės apibrėžimą matas P yra apibrėžtas tik – algebroje , todėl pirmiausia reikia įrodyti, kad . Tuo tikslu pastebėsime, kad . Pagal aksiomą (F2) turime, kad , o pagal 5-ojo skyrelio teiginį 1 – dviejų -algebros elementų (mūsų atveju tai aibės ir ) sankirta vėl priklauso . Taigi, .Toliau, kadangi , tai .Pagal aksiomą (P3) iš čia gauname, kad .Teorema įrodyta.
4. Pateiksime kai kurias šios teoremos išvadas.
Išvada 1. Priešingojo įvykiui A įvykio tikimybė yra , t.y.
Įrodymas akivaizdus – formulėje (1) pakanka paimti .Išvada 2. Negalimo įvykio tikimybė yra lygi nuliui, t.y.P() = 0.
Norint įsitikinti šios išvados teisingumu, formulėje (1) pakanka paimti .
Išvada 3. Jei , tai .
Įrodymas. Iš tiesų, pagal aksiomą (P1), . Pasinaudoję (1) iš čia gauname, kad , t.y. .Išvada pilnai įrodyta.
Pastarojoje formulėje paėmę , iš aksiomos (P2) gauname tokį teiginį:
Išvada 4. Jei A yra atsitiktinis įvykis, t.y. , tai .
5. Pagal išvadą 2, P() 0. Tačiau atvirkščias teiginys yra neteisingas, t.y. įvykis A, kurio tikimybė yra lygi nuliui, nebūtinai yra negalimas įvykis. Norėdami tai pagrįsti, sukonstruosime konkretų pavyzdį, prieš tai suformuluodami patį teiginį.
Teiginys. Egzistuoja tikimybinė erdvė ir aibė tokia, kad , tačiau .
Įrodymas. Tegu , o – intervalų iš Borelio -algebra. Intervalo (o taip pat bet kurio iš intervalų ) taip vadinamas Lebego matas m lygus šio intervalo ilgiui b – a. Apibrėžkime .Jei C yra atkarpos racionaliųjų skaičių aibė, tai , tačiau . Teiginys įrodytas.
6. Skyrelio pabaigoje suformuluosime ir įrodysime taip vadinamą įvykių sumos teoremą.
Teorema 2. Tegu ir . Tada .
Įrodymas. Pagal aksiomą (F3), . Be to, kadangi -algebra yra uždara pjūvio operacijos atžvilgiu, tai ir . Taigi, yra prasmė kalbėti apie šių aibių matus ir . Pastebėsime, kad aibę galima suskaidyti į trijų nesikertančių aibių sumą:
Todėl iš aksiomos (P3) ir teoremos 1 gauname, kad
Teorema įrodyta.
8. SĄLYGINIŲ TIKIMYBIŲ EMPIRINIS SUVOKIMAS, APIBRĖŽIMAS IR PAVYZDŽIAI1. Jei norime apskaičiuoti tikimybę įvykio, apie kurį turima papildomos informacijos, paprastai susiduriame su sąlyginėmis tikimybėmis.Tarkime, pavyzdžiui, kad kasmet apie 20% dienų metuose Helsinkyje sninga. Tai reiškia, kad jei mes atsitiktinai pasirinksime kalendorinę dieną metuose, tai tikimybė, kad tą dieną snigs, yra 0,2.Dabar tarkime, kad atsitiktinai pasirinkta diena priklauso žiemos periodui. Turėdami šią papildomą informaciją (papildomą sąlygą), mes galime tvirtinti, kad tikimybė, jog šią dieną snigs, yra žymiai didesnė.Analogiškai, jei žinoma, kad atsitiktinai pasirinkta diena priklauso vasaros periodui, tai galime tvirtinti, kad tikimybė, jog tokią dieną snigs, .2. Abiem atvejais papildoma informacija apie metų laiką leidžia mums ženkliai patikslinti tikimybės, kad tą metų laiko dieną snigs, skaičiavimus. Išnagrinėsime dar kelis pavyzdžius.
1 pavyzdys. Tarkime, kad sporto klube yra 35 nariai, iš kurių 20 yra suaugę ir 15 paaugliai. Tarp suaugusių yra 8 krepšininkai, tarp paauglių – 5 krepšininkai. Tai galima pavaizduoti lentele taip:Suaugęs Paauglys Viso Krepšininkas 8 5 13Nežaidžia krepšinio 12 10 22Viso 20 15 35
Tarkime, kad atsitiktinai pasirinktas asmuo yra krepšinio žaidėjas, t.y. krepšininkas. Turint šią informaciją, mums reikia apskaičiuoti tikimybę įvykio, kad šis atsitiktinai pasirinktas asmuo yra suaugęs.Sprendimas. Pažymėkime šiuos įvykius raidėmis:A: asmuo yra suaugęs; B: asmuo yra krepšininkas.Simboliu priimta žymėti “tikimybę įvykio A, kai yra įvykęs įvykis B” arba “įvykio A tikimybė su sąlyga B”.Mūsų pavyzdyje ši sąlyga reiškia, kad pasirinktasis asmuo yra krepšininkas, o jų yra 13. Iš jų tik 8 – suaugę (žr. lentelę). Todėl , (1) kur n(A), kaip paprastai, žymimas aibės A elementų skaičius. Perrašome formulę (1): .O kadangi ,tai .
Apibrėžimas. Tikimybė įvykio A su sąlyga B apibrėžiama taip: , jei . neapibrėžta, jei .
3. Pratęsime pavyzdžių nagrinėjimą.2 pavyzdys. Yra žinoma, kad tikimybė įvykio, jog elektros lemputė tarnaus virš 100 valandų, yra 0,7, o tikimybė įvykio, kad lemputė degs virš 150, yra 0,28. Žinoma, kad lemputė degė virš 100 val. Kokia tikimybė įvykio, kad elektros lemputė tarnaus virš 150 valandų.Sprendimas. Tegu L100 – įvykis, kad lemputė tarnaus virš 100 val., o L150 – virš 150 valandų. Tada
3 pavyzdys. Individas yra atsitiktinai parenkamas iš 52 atletų grupės. Šioje grupėje yra 26 moterys ir 6 iš jų plaukikės. Tarp vyrų yra 10 plaukikų. Užduotis tokia:(A) Žinant, kad atsitiktinai parinktas individas yra moteris, apskaičiuoti tikimybę, kad ji yra plaukikė.(B) Žinant, kad atsitiktinai parinktas individas yra plaukikas, apskaičiuoti tikimybę, kad jis yra vyras.Sprendimas. Sudarome lentelę:
Moterys Vyrai VisoPlaukikaiNeplaukia 620 1016 1636Viso 26 26 52
Pažymėkime šiuos atsitiktinius įvykius:B – asmuo yra moteris,A – asmuo yra plaukikas. Pastebime, kad atveju (A):
Skaičiavimus galima buvo atlikti ir tiesiogiai: Atveju (B) raide C pažymėkime įvykį, kad asmuo yra plaukikas, o raide D – kad asmuo yra vyras. Tada .
9. TIKIMYBIŲ DAUGYBOS TEOREMA IR JOS TAIKYMO PAVYZDYS. PILNOS TIKIMYBĖS FORMULĖ. BAJESO FORMULĖ
1. Teorema (Daugybos formulė). Jei ir , tai .
Įrodymas akivaizdus ir betarpiškai seka iš sąlyginės tikimybės apibrėžimo.
Pavyzdys. Tikimybė, kad akcijos fondų biržoje kils pirmadienį, yra 0,6. Tikimybė, kad jų kursas kils antradienį, jei kilo pirmadienį, yra 0,3. Apskaičiuokite tikimybę, kad jis kils ir pirmadienį, ir antradienį. Sprendimas. Raidėmis M ir T pažymėkime šiuos atsitiktinius įvykius:M: kursas kils pirmadienį;T: kursas kils antradienį.Turime, kad:
Apibrėžimas. Atsitiktinių įvykių rinkinys sudaro pilną įvykių grupę, jei• (1)• , kai i j. (2)
2. Teorema (Pilnos tikimybės formulė). Jei – pilna įvykių grupė, ir , kai , tai bet kuriam atsitiktiniam įvykiui A .
Įrodymas. Iš (1) išplaukia, kad .Iš (2) išplaukia, kad atsitiktiniai įvykiai neturi sankirtos, t.y. bendrų taškų, todėl iš mato P adityvumo savybės (P3) gauname, kad , (3)ką ir reikėjo įrodyti.
Bajeso formulė. Tegu išpildomos sąlygos (1) ir (2). Tada
(4)
Įrodymas. Iš daugybos formulės turime, kad .Iš čia gauname, kad
. Pritaikę vardikliui pilnos tikimybės formulę (3), gauname (4). Teorema (Bajeso formulė) įrodyta.
10. NEPRIKLAUSOMI ATSITIKTINIAI ĮVYKIAI. TEOREMA APIE NEPRIKLAUSOMUS IR NESUTAIKOMUS ĮVYKIUS, JOS TAIKYMO PAVYZDYS
Dažnai pasitaiko situacija, kai, pavyzdžiui, . Tokiu atveju .Tada .
Apibrėžimas. Atsitiktiniai įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei .Jei įvykiai nėra nepriklausomi, tai jie vadinami priklausomais.Apibrėžimas. Atsitiktiniai įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jei , t.y. jeigu jie negali įvykti kartu.
Teorema. Jei du atsitiktiniai įvykiai A ir B su teigiamomis tikimybėmis yra nepriklausomi, tai jie negali būti nesutaikomi, ir atvirkščiai.
Įrodymas. Jei A ir B yra nesutaikomi, tai () = 0. (1)Jei jie yra nepriklausomi su teigiamomis tikimybėmis, tai . (2)Kadangi sąryšis (1) yra teisingas tada ir tik tada, kai neteisingas (2), tai teoremos teisingumas yra akivaizdus.
1 pavyzdys. Lankomumo registracija parodė, jog tikimybė įvykio, kad valdybos pirmininkas atvyks į posėdį, yra 0,65, tarybos prezidento atvykimo į posėdį tikimybė yra 0,8, o tikimybė, kad jie abu atvyks į posėdį, yra 0,6. Ar galime tvirtinti, kad pirmininkas ir prezidentas atvyksta į posėdį nepriklausomai?Sprendimas. Panagrinėkime šiuos atsitiktinius įvykius:
V: valdybos pirmininkas atvyks į posėdį;T: tarybos prezidentas atvyks į posėdį.Kadangi , ,tai .Todėl atsitiktiniai įvykiai V ir T yra priklausomi.2 pavyzdys. Viktoras skrenda iš San Francisko į Niujorką per Čikagą. Iš San Francisko į Čikagą jis skrenda aviakompanijos lėktuvu, o iš Čikagos į Niujorką – aviakompanijos lėktuvu. Tikimybė, kad aviakompanijos lėktuvai saugiai pasiekia tikslą, yra 0,9995, o tikimybė, kad aviakompanijos lėktuvai saugiai pasiekia tikslą, yra 0,9998. Apskaičiuokite tikimybes sekančių įvykių:(a) Viktoras saugiai atskris į Čikagą ir Niujorką;(b) Viktoras saugiai atskris į Čikagą, bet patirs nelaimę kelyje į Niujorką.Sprendimas. Panagrinėkime šiuos atsitiktinius įvykius:A – Viktoras saugiai pasiekia Čikagą iš San Francisko.B – Viktoras saugiai pasiekia Niujorką iš Čikagos. Kadangi įvykiai yra nepriklausomi, tai(a) ;(b)
3 pavyzdys. Iš skaitmenų 1, 2, …, 9 atsitiktinai pasirenkamas vienas skaičius. Taip pat metama moneta ir kauliukas. Apskaičiuoti tikimybę įvykio, kad pasirinktas nelyginis skaičius, iškris herbas ir kad akučių skaičius dalosi iš 3, t.y. tikimybę tokio įvykio: A=A1 A2 A3, kur A1 – pasirinktas nelyginis skaičius, A2 – iškris herbas, A3 – akučių skaičius dalosi iš 3.Sprendimas.
11. ATSITIKTINIS DYDIS KAIP MAČIOJI FUNKCIJA. TEOREMA APIE JO GENERUOTŲ ĮVYKIŲ PRIKLAUSYMĄ SIGMA ALGEBRAI
1. Paprasčiausiu atveju atsitiktinis dydis (a.d.) – tai funkcija, suteikianti kiekvienai stochastinio eksperimento baigčiai skaitinę reikšmę. Tai reiškia, kad a.d. X galima nagrinėti kaip įgyjančią realias reikšmes funkciją X=X , apibrėžtą elementariųjų įvykių erdvėje . Pateiksime kelis atsitiktinių dydžių pavyzdžius.1 pavyzdys. Kosminių dalelių, papuolančių į pasirinktą žemės paviršių pasirinktame laiko intervale, skaičius labai kinta ir priklauso nuo daugelio atsitiktinių aplinkybių.2 pavyzdys. Abonentų iškvietimų, ateinančių į telefono stotį, skaičius per tam tikrą laiko tarpą taip pat yra atsitiktinis dydis, įgyjantis vieną ar kitą reikšmę priklausomai nuo atsitiktinių aplinkybių.3 pavyzdys. Dujų molekulės greitis kinta priklausomai nuo susidūrimų su kitomis molekulėmis. Šių susidūrimų labai daug per labai trumpą laiko tarpą. Net jei žinomas molekulės greitis duotuoju laiko momentu, negalima tikslai nustatyti šio greičio reikšmę po 0,01 ar, tarkime, po 0,001 sek. Dujų molekulės greičio kitimas yra atsitiktinis dydis.
Matematiškai šie pavyzdžiai turi vieną bendrą savybę: kiekvienas iš aprašytų fizikinių dydžių, įtakojamas atsitiktinių aplinkybių, gali įgyti skirtingas reikšmes. Negalima iš anksto nurodyti, kokią reikšmę įgijo dydis, nes jis kinta atsitiktinai, stochastinius eksperimentas atliekant vieną po kito.
Taigi, norint aprašyti atsitiktinį dydį būtina žinoti reikšmes, kurias jis įgyja. Tačiau šito nepakanka! Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, nagrinėti dujų stovį kintant temperatūrai, tai molekulių greičių reikšmių aibė nesikeis, nors dujų stovis ženkliai keisis. Taigi, svarbu žinoti ne tik tai, kokias reikšmes įgis atsitiktinis dydis, bet ir kaip dažnai jis jas įgis, t.y. su kokia tikimybe atsitiktinis dydis šias reikšmes įgis. Atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmių aibės gali būti labai įvairios: baigtinės, skaičiosios ir neskaičiosios; reikšmės gali būti išdėstytos diskrečiai arba užpildyti intervalą tolygiai ir pan.
2. Tikimybių teorijoje yra parodoma, jog atsitiktinis dydis pilnai nusakomas aibėmis , kur . Šios aibės tikimybinėje erdvėje yra “informatyvios” tik tuo atveju, jei jas galima išmatuoti. O išmatuoti jas šioje erdvėje galima tik tada, kai bet kuriam realiam x , (1)nes pagal tikimybinės erdvės apibrėžimą matas P yra apibrėžtas -algebroje .3. Suformuluosime pagrindinį šio skyrelio apibrėžimą.
Apibrėžimas. Reali funkcija , apibrėžta aibėje , vadinama atsitiktiniu dydžiu tikimybinėje erdvėje , jei bet kuriam realiam x tenkinamas sąryšis (1).
Funkcijos, tenkinančios sąryšį (1), funkcijų teorijoje vadinamos mačiosiomis atžvilgiu -algebros funkcijoms. Pateiksime tokios funkcijos pavyzdį.
4 pavyzdys. Stochastinį eksperimentą apibrėžkime tokiu būdu: moneta metama vieną kartą. Tada , kur – herbo pasirodymo elementarus įvykis, o – skaičiaus pasirodymo elementarusis įvykis. Tarkime, kad – visų galimų poaibių aibė ir .Funkciją apibrėžkime taip:
Pastebėsime, kad
Tai reiškia, kad bet kuriam realiam x, t.y. kad yra atsitiktinis dydis nagrinėjamoje tikimybinėje erdvėje
4. Nagrinėjant atsitiktinius dydžius, dažnai tenka atsakyti į tokį klausimą: kokia yra tikimybė įvykio, kad atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso bet kuriai Borelio aibei B?
Tai reiškia, kad pakankamai plačiai aibių klasei mes turime patikrinti, kad , nes tik tokiu atveju matas P yra apibrėžtas ir yra prasmė nagrinėti tikimybę .Apibrėžimas. Jei yra atsitiktinis dydis tikimybinėje erdvėje , o B – bet kokia Borelio aibė, tai aibė vadinama atsitiktiniu įvykiu, kurį generavo atsitiktinis dydis .
Perskaičius šį apibrėžimą, iškyla natūralus klausimas – ar aibė tikrai yra atsitiktinis įvykis, t.y. ar tikrai ?
5. Atsakymas į šį klausimą yra teigiamas, tačiau jo įrodymą pateiksime tik pagrindiniam atvejui, t.y. kai B yra arba intervalas, arba pusašė, arba taškas.
Teorema. Tegu – atsitiktinis dydis tikimybinėje erdvėje . Tada kiekvienas iš sekančių poaibių
bet kuriems realiems skaičiams x ir y yra atsitiktinis įvykis, t.y. kiekviena iš šių aibių priklauso -algebrai
Įrodymas grindžiamas -algebros apibrėžimu bei jos savybėmis. Tai, kad yra atsitiktinis dydis, reiškia, jog bet kuriam realiam x galioja sąryšis (1). Jei teoremoje išvardytus poaibius pavyktų pavaizduoti kaip aibių tipo (1) sumą, neigimą, sankirtą arba skirtumą, tai, kadangi -algebra yra uždara šių operacijų atžvilgiu (taigi, jų atžvilgiu taip pat uždara), gautume, kad šie poaibiai yra atsitiktiniai dydžiai ir teorema būtų įrodyta. Šiam tikslui pakanka pastebėti, kad
Teorema įrodyta.
12. TIKIMYBIŲ SKIRSTINYS. TRYS SKIRSTINIŲ PAVYZDŽIAI. TEOREMA APIE SKIRSTINIŲ SAVYBES
1. Praeitame skyrelyje matėme, kad jei yra atsitiktinis dydis tikimybinėje erdvėje , tai
bet kuriai Borelio aibei B. Tai reiškia, kad bet kuriai Borelio aibei B egzistuoja matas , (1) kuris yra vadinamas atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstiniu . Kadangi B, kaip minėta, yra bet kokia Borelio aibė, tai išraišką (1) galima nagrinėti kaip aibių funkciją, o ką tik įvestą tikimybių skirstinio sąvoką galima suformuluoti atskiru apibrėžimu.
Apibrėžimas. Funkciją , apibrėžtą bet kuriai Borelio aibei B, vadiname atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstiniu.
2. Taigi, tikimybių skirtiniai yra Borelio aibių funkcijos. Todėl juos sunku nagrinėti klasikinės analizės metodais, nes ši analizė išvystyta “taškų” (t.y. vieno kintamojo) funkcijoms. Siekiant plačiai taikyti klasikinius analizinius metodus statistikoje, tikimybių teorijoje įrodomas abipus vienareikšmio sąryšio tarp tikimybių skirstinių (1) ir taip vadinamų skirstinio funkcijų (arba, sutrumpintai, skirstinių) , kur egzistavimas.
Apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X skirstiniu vadinama realaus kintamojo x funkcija F(x), .
3. Panagrinėkime skirstinių pavyzdžius – tris svarbias skirstinių klases. Tai tolygusis, dvitaškis ir išsigimęs skirstiniai.1 pavyzdys. Stochastinis eksperimentas yra toks: į intervalą [a;b] atsitiktinai metamas taškas. Skaitoma, kad bet kuri taško padėtis šiame intervale yra vienodai galima.Šiuo atveju yra pusiau atvirų iš dešinės intervalų [a;b] Borelio – algebra, o tikimybinį matą P galima įvesti tokiu būdu: , jei .Funkciją apibrėžiame taip: , jei . Tada
Iš čia darome išvadą, kad bet kuriam realiam x, t.y. funkcija yra mačioji funkcija tikimybinėje erdvėje . O tuo pačiu ji yra ir atsitiktinis dydis šioje erdvėje. Šio atsitiktinio dydžio skirstinys yra taip vadinamas tolygusis skirstinys:
Šio skirstinio grafikas yra toks:
2 pavyzdys. Stochastinis eksperimentas yra toks: moneta metama vieną kartą. Apskaičiuosime skirstinį atsitiktinio dydžio X, kuris šio stochastinio eksperimento pagrindu yra apibrėžiamas taip:
Čia raide H pažymėtas elementarusis įvykis, reiškiantis herbo pasirodymą, o raide S – skaičiaus pasirodymą. Nesunku pastebėti, kad tokiu atveju
Kadangi
ir visada P()=0, , tai
Ši funkcija F(x) vadinama dvitaškiu skirstiniu, o jos grafikas yra toks:
3 pavyzdys. Tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra beveik konstanta šia prasme:P(X=a)=1.Tada jo skirstinys vadinamas išsigimusiu taške a skirstiniu. Nesunku įsitikinti, kad šio skirstinio grafikas (kai a=0) yra toks:
4. Ar skirstinio apibrėžimas yra korektiškas, t.y. ar tikimybė P(X