Stereometrja

Stereometrija.Aksiomos.Išvados iš aksiomų. Informacinė medžiaga

Stereometrija nagrinėja erdvėje esančias figūras.Stereometrijos kurse vartojamos pirminės sąvokos: taškas, tiesė, plokštumaPer tris taškus, nepriklausančius vienai tiesiai,eina vienintelė plokštumaTiesė,nubrėžta per du plokštumos taškus,yra toje plokštumojeJeigu dvi plokštumos turi bendrą tašką,tai jos susikerta tiese,einančia per tą taškąPer tiesę ir jai nepriklausantį tašką galima nubrėžti vienintelę plokštumąPer dvi susikertanačias tieses galima nubrėžti vienintelę plokštumąPer dvi lygiagrečias tieses galima nubrėžti vienintelę plokštumą

Lygiagrečios tiesės erdvėje

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečiomis,jei jos yra vienoje plokštumoje ir nesusikertaTiesės,kurios nesusikerta ir nėra vienoje plokštumoje,vadinamos prasilenkiančiomisPer tašką,esantį šalia tiesės,galima nubrėžti tik vieną tiesę,lygiagrečią duotajaiJeigu dvi tiesės lygiagrečios trečiajai,tai jos lygiagrečios ir vienai kitai

Tiesės ir plokštumos lygiagretumas

Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiomis,jeigu jos nesusikertaJeigu tiesė yra lygiagreti plokštumoje esančiai tiesei,tai ji lygiagreti ir tai plokštumai

Plokštumų lygiagretumas

Dvi plokštumos vadinamos lygiagrečiomis,jeigu jos nesusikertaDvi plokštumos lygiagrečios,jeigu viena jų lygiagreti kitoje plokštumoje esančioms dviems susikertančioms tiesėmsJeigu dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji plokštuma,tai jų susikirtimo linijos yra lygiagrečiosPer plokštumos tašką galima nubrėžti vieną ir tik jai lygiagrečia plokštumą

Tiesių statmenumas.Tiesės ir plokštumos statmenumas

Dvi tiesės erdvėje vadinamos statmenomis,jei jos sudaro 90° kampąJei viena iš lygiagrečių tiesių statmena trečiajai tiesei,tai ir kita tiesė statmena tai tiesei

Tiesė,statmena kiekvienai plokštumoje esančiai tiesei,vadinama tai plokštumai statmena tieseJei viena iš lygiagrečių tiesių yra statmena tai plokštymai,tai ir kita tiesė statmena tai plokštumaiJei tiesė statmena dviem susikertančiom tiesėms,esančioms plokštumoje,tai ji statmena ir tai plokštumaiPer kiekvieną erdvės tašką galima nubrėžti tik vieną plokštumai statmeną tiesę

Ploštumų statmenumas

Viena kitai statmenomis plokštumomis vadinamos dvi susikertančios plokštumos,kampas tarp kurių lygus 90°Jei viena iš dviejų plokštumų eina per tiesę,statmeną kitai plokštumai, tai tos plokštumos viena kitai statmenosPlokštuma, statmena dviejų plokštumų susikirtimo tiesei, yra statmena kiekvienai tų plokštumų

Kampai tarp tiesių ir plokštumų

Kampu tarp tiesės ir plokštumos,kertančios tą tiesę ir jai nestatmenos,vadinamas kampas tarp tiesės ir jos projekcijos plokštumojeKampas tarp plokštumos ir jai lygiagrečios tiesės lygus 0, o kampas tarp plokštumos ir jai statmenos tiesės lygus 90°Dvisieniu kampu vadinama figūra,kurią sudaro tiesė a bei dvi pusplokštumės,turinčios bendrą kraštinę a, bet nepriklausančios vienai plokštumaiDvisienio kampo ir jo briaunai statmenos plokštumos sankirta vadinama dvisienio kampo tiesiniu kampuDvisienio kampo dydžiu vadinamas jo tiesinio kampo dydisKampas tarp dviejų plokštumų lygus kampui tarp dviejų toms plokštumoms statmenų tiesių

Prizmė

Stamuo,nubrėžtas iš vieno prizmės taško į kito pagrindo plokštumą,vadinamas prizmės aukštinePrizmė,kurios šoninės briaunos statmenos pagrindamas,vadinama stačiaja, priešingu atveju-pasviraja.Stačiosios prizmės aukštinė lygi jos šoininei briaunaiStačioji prizmė,kurios pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai,vadinama taisyklingaja prizmePrizmės paviršiaus plotu vadinamavisų jos sienų plotų suma, o prizmės šoninio paviršiaus plotu- jos šoninių sienų plotų suma

Stačiosios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus prizmės pagrindo perimetro ir aukštinės sandaugai, t.y., S=P*H

Gretasienis

Gretasieniu vadinama prizmė,kurios pagrindas yra lygiagretainis,kurio pagrindas lygiagretainisGretasienio įstrižainės vidurio taškas yra jso simetrijos centrasPriešingosios gretasienio sienos yra lygios ir lygiagrečiosVisos gretasienio įstrižainės susikerta viename taške,kuris dalija jas pusiauGreatsienis,kurio šoninės braiunos statmenos pagrindo plokštumai,vadinamas stačiuojuStatusis gretasienis,kurio pagrindas yra stačiakampis,vadinamas stačiakampiu gretasieniuStačiakampis gretasienis,kurio visi trys matmenys lygūs,vadinamas kubu

Piramidė

Briaunainis,kurio viena siena yra bet koks daugiakampis,o kitos sienos- trikampiai,turintys bendrą viršūnę,vadinamas piramidePiramidės pjūvis,nubrėžtas per viršūnę ir pagrindo įstrižainę,vadinamas įstrižaininiu piramidės pjūviuPiramidė vadinama trikampe,keturkampeir t.t.,jeigu jos pagrindas trikampis,keturkapis ir t.t.Piramidė,kurios pagrindas-taisyklingasis daugiakampis,o piramidės viršūnės projekcija-to daugiakampio centras,vadinamas taisyklingajaTaisyklingosios piramidės šoninės sienos-lygūs lygiašoniai trikampiaiTaisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinė vadinama piramidės apotemaTrikampė piramidė vadinama tetraedru Jeigu tetraedro visos keturios sienos-taisyklingieji trikampiai,tai tetraedras vadinamas taisyklinguojuPiramidės pagrindui lygiagreti plokštuma,kertanti piramidę,nuo jos nukerta panašią į ją piramidę.Likusioji piramidės dalis vsadinama nupjautine piramideNupjautinės piramidės sienos,esančios lygiagrečiose plokštumose,vadinamos piramidės pagrindais,kitos sienos-šoninėmis sienomis.Nupjautinės piramidės šoninės sienos-trapecijos.Nupjautinė piramidė,kuri gaunama iš taisyklingoiso piramidės,irgi vadinama taisyklingajaTaisyklingosios piramidės šoninis paviršius lugus jo pagrindo pusmerimetrio ir apotemso sandaugaiTaisyklingosios nupjautinės piramidės šoninis paviršius lygus jos pagrindų pusperimetrių sumos ir apotemos sandaugaiJeigu piramidės visos šoninės braiunos lygios,tai viršūnės projekcija-apie pagrindą apibrėžto apskritimo centras

Jeigu piramidės visi dvisieniai kampai pre pagrindo lygūs,tai viršūnės projekcija- į pagrindą įbrėžto apskritimo centras

Ritinys

Ritiniu vadinamas kūnas,kurį sudaro tarp dviejų lygiagrečių plokštumų esančios visų lygiagrečių tiesių,kertančių vienoje tų plokštumų esantį skritulį,atkarpos.Tos atkarpos,kurių vienas galas yra skritulio apskritimo taškas,vadinamas ritinio sudaromosios.Ritinio paviršių sudaro ritinio pagrindai- du lygūs skrituliai,esantys lygiagrečiose plokštumose, ir šoninis paviršius.Stačiuoju ritiniu vadinamas toks ritinys,kurio sudaramosios statmenos pagrindų plokštumoms.Statųjį ritinį vadiname tiesiog ritiniu.Ritinio spinduliu vadinamas jo pagrindo spindulysRitinio aukštine vadinams atstumas tarp pagrindų plokštumųRitinio ašimi vadinama tiesė,einanti per pagrindų centrusRitinio pjūvis,gautas,ritinį perkirtus plokštuma,einančia per ritinio ašį,vadinamas ašiniu pjūviuĮ ritinį įbrėžta prizmė vadinama tokai prizmė,kurios pagrindai-lygūs daugiakampiai,įbrėžti į ritinio pagrindus.Jos šoninės briaunos yra ritinio sudaromosiosApie ritinį apibrėžta prizme vadinama tokai prizmė,kurios pagrindai-lygūs daugiakampiai,apibrėžti apie ritinio pagrindusKūgis

Kūgiu vadinamas kūnas,lurį sudaro visos atkarpos,jungiančios vieną tašką-kūgiop viršūnę-su skritulio-kūgio pagrindo-taškais.Atkarpos,jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais,vadinamos kūgio sudaromosiosKūgio paviršių sudaro jo pagrindas ir šoninis paviršiusKūgio aukštine vadinama iš jo viršūnės nubrėžta pagrindui statmena atkarpaKūgio ašimi vadinama tiesė,nubrėžta per kūgio aukštinęKūgip pjūvis,gautas,kūgį perkirtus plokštuma,einančia per kūgio ašį,vadinamas ašiniu pjūviuKūgio ašiai statmena plokštuma nuo kūgio nukerta mažesnį kūgį.Likusioji dalis vadinama nupjautiniu kūgiu

Į kūgį įbrėžta piramidė vadinama tokai piramidė,kurios pagrindas yra į kūgio pagrindo apskritimą įbrėžtas daugiakampis, o viršūnė-kūgio viršūnėApibrėžta apie kūgį piramidė vadinama tokai piramidė,kuriso pagrindas yra apie kūgio pagrindą apibrėžtas daugiakampis,o viršūnė sutampa su kūgio viršūne

Rutulys

Rutuliu vadinamas kūnas,sudarytas iš visų erdvės taškų,nutolusių nuo vieno taško atstumu,ne didesniu už kurį nors pasirinktą atstumą.Tas taškas vadinams rutulio centru, o atstumas-rutulio spinduliuRutulio kraštas vadinams rutuluio paviršiumi arba sferaKiekviena atkarpa,jungianti rutulio centrą su rutulio paviršiaus tašku, vadinama rutulio spinduliuRutulys yra sukinys.Jis gaunamas,sukant pusskritulį apie skersmenį kaip apie ašįRutulip pjūvis,gautas perkirtus rytulį plokštuma,yra skritulys.To skritulio centras yra statmens,nubrėžto iš rutulio centro i kertnačią plokštumą pagrindasRutulio pjūvis, gautas perkirtus rutulį plokštuma,einančia per jo centrą,vadinama rutulio didžiuoju skritukiuPlokštuma, einanti per rutulio paviršiaus tašką ir statmena į tą tašką nubrėžtam spinduliui,vadinama liečiamąja plokštumaLiečiamoji plokštuma ir rutulys,turi tik vieną bendrą tašką-lietimosi taškąRytulys vadinams įbrėžtu į briaunainį,jei visos briaunainio sienos liečia rutulį.Tokiu atveju briaunainis vadinams apibrėžtu apie rutulįRutulys vadinamas apibrėžtu apie briaunainį,jei visos briaunainio viršūnės priklauso rutulio paviršiui.Tada braiunainis vadinamu įbrėžtu į rutulįNorėdami apie piramidę apibrėžti rutulį,turime Norėdami apie prizmę apiišpildyti būtinumą ir pakankamą sąlygą-apie piramidės pagrindą galima apibrėžti apskritimąNorėdami apie prizmę apibrėžti rutulį,turime išpildyti būtiną ir pakankamą sąlygą-prizmė stačioji,o apie jso pagrindą galima apibrėžti apskritimą

Rutulio,apibrėžto apie prizmę,centras yra atkarpos,jungiančios apskritimų,apibrėžtų apie prizmę,centrus,vidurio taškasRutulio,apibrėžto apie piramidę,centras yra statmenyje,nubrėžtame į pagrindo plokštumą per apskritimo,apibrėžto apie pagrindą,centrą

Gretasienio tūris

Tūrio matavimo vienetas yra kubas,kurio briauna lygi atkarpų matavimo vienetuiLygių kūnų tūriai yra lygūsKūno,sudaryto iš kelių kūnų,tūris lygus tų kūnų tūrių sumaiStačikampio gretasienio tūris lygus jo trijų matmenų sandaugaiStačiojo gretasienio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai

Prizmės tūris

Stačiosios prizmės tūris lygus pagrinso ploto ir aukštinės sandaugaiPasviroji prizmė lygiatūrė su tokai stačiaja prizme kuriso pagrindas-pasvirosios prizmės statmenasis pjūvis, o aukštinė-pasvirosios prizmės šoninė briauna

Piramidės tūris

Piramidės tūris lygus pagrindo ploto ir aukštinės sndaugos trečdaliuiNupjautinės piramidės,kurios aukštinė lygi H, o pagrindų plotai S ir Sı,tūrio formulė yra: v Panašiųjų briaunainių tūriai sutinka kaip atitinkamų briaunų kubai

Ritinio,kūgio,rutulio ir jo dalių tūris

Rutulys vadinams įbrėžtu į ritinį (kūgį),jei ritinio (kūgio) pagrindai (pagrindas) ir kiekviena sudaromoji liečia rutulį.Rutulio ,įbrėžto į ritinį (kūgį),centras yra šio kūno ašyjeRutulys vadinamas apibrėžtu apie ritinį,jei ritinio pagrindai yra rutulio pjūviai.Rutulio centras yra ritinio ašyjeRutulys vadinamas apibrėžtu apie kūgį,jei kūgio pagrindas yra rutulio pjūvis,o kūgio viršūnė priklauso rutulio paviršiui.Rutulio centras yra kūgio ašyjeRutulys vadinams apibrėžtu apie nupjautinį kūgį,jei jo pagrindai yra rutulio pjūviai.Rutulio centras yra nupjautinio kūgio ašyje

Ritinio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai: V=πr²HKūgio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės trečdaliui:

Nupjautinio kūgio tūris lygus:

Rutulio,kurio spindulys R,tūrio formulė yra:

Rutulio nuopjova vadinama rutulio dalis,kurią nuo jo kerta kuri nors plokštuma

Jei rutulio spindulys lygus R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nupjovos tūris yra:

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis,esanti tarp dviejų lygiagrečių kertamųjų plokštumų.Skrituliai,susidarę,lygiašonėmis plokštumoms perkirtus rutulį,vadinama rutulio sluoksniu pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų-rutulio sluoksnio aukštine.Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrio skirtumąRutulio išpjova vadinamas kūnas,gautas skritulio išpjovą,kurios kampas mažesnis už 90°,apsukus apie tiesę,einančią per vieną skritulio išpjovą ribojančių spindulių.Rutulio išpjovą sidaro rutulio nuopjova ir kūgis.Kai rutulio spindulys lygus R, o rutulio nuojovos aukštinė lygi h,rutulio išpjovos tūrio V formulė yra:

Ritinio,kūgio,rutulio ir jo dalių paviršius

Ritinio šoninio paviršiaus ploto formulė yra:S=2πrh

Ritinio viso paviršiaus ploto formulė yra:

Kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:

S=πRl

Kūgio viso paviršiaus plotas:

Rutulio paviršiaus plotas lygus:Sferos nuopjovos plotas lygus:

S=2πRH