Stereometrja

Stereometrija.Aksiomos.Išvados iš aksiomų.

Informacinė medžiaga

Stereometrija nagrinėja erdvėje esančias figūras.
Stereometrijos kurse vartojamos pirminės sąvokos: taškas, tiesė, plokštuma
Per tris taškus, nepriklausančius vienai tiesiai,eina vienintelė plokštuma
Tiesė,nubrėžta per du plokštumos taškus,yra toje plokštumoje
Jeigu dvi plokštumos turi bendrą tašką,tai jos susikerta tiese,einančia per tą tašką
Per tiesę ir jai nepriklausantį tašką galima nubrėžti vienintelę plokštumą
Per dvi susikertanačias tieses galima nubrėžti vienintelę plokštumą
Per dvi lygiagrečias tieses galima nubrėžti vienintelę plokštumą

Lygiagrečios tiesės erdvėje

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečiomis,jei jos yra vienoje plokštumoje ir nesusikerta
Tiesės,kurios nesusikerta ir nėra vienoje plokštumoje,vadinamos prasilenkiančiomis
Per taašką,esantį šalia tiesės,galima nubrėžti tik vieną tiesę,lygiagrečią duotajai
Jeigu dvi tiesės lygiagrečios trečiajai,tai jos lygiagrečios ir vienai kitai

Tiesės ir plokštumos lygiagretumas

Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiomis,jeigu jos nesusikerta
Jeigu tiesė yra lygiagreti plokštumoje esančiai tiesei,tai ji lygiagreti ir tai plokštumai

Plokštumų lygiagretumas

Dvi plokštumos vadinamos lygiagrečiomis,jeigu jos nesusikerta
Dvi plokštumos lygiagrečios,jeigu viena jų lygiagreti kitoje plokštumoje esančioms dviems susikertančioms tiesėms
Jeigu dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji plokštuma,tai jų susikirtimo linijos yra lygiagrečios
Per plokštumos tašką galima nubrėžti vieną ir tik jai lygiagrečia plokštumą

Tiesių statmenumas.Tiesės ir plokštumos statmenumas

Dvi tiesės errdvėje vadinamos statmenomis,jei jos sudaro 90° kampą
Jei viena iš lygiagrečių tiesių statmena trečiajai tiesei,tai ir kita tiesė statmena tai tiesei
Tiesė,statmena kiekvienai plokštumoje esančiai tiesei,vadinama tai plokštumai statmena tiese
Jei viena iš lygiagrečių tiesių yra statmena tai plokštymai,tai ir kita tiesė statmena tai pl

lokštumai
Jei tiesė statmena dviem susikertančiom tiesėms,esančioms plokštumoje,tai ji statmena ir tai plokštumai
Per kiekvieną erdvės tašką galima nubrėžti tik vieną plokštumai statmeną tiesę

Ploštumų statmenumas

Viena kitai statmenomis plokštumomis vadinamos dvi susikertančios plokštumos,kampas tarp kurių lygus 90°
Jei viena iš dviejų plokštumų eina per tiesę,statmeną kitai plokštumai, tai tos plokštumos viena kitai statmenos
Plokštuma, statmena dviejų plokštumų susikirtimo tiesei, yra statmena kiekvienai tų plokštumų

Kampai tarp tiesių ir plokštumų

Kampu tarp tiesės ir plokštumos,kertančios tą tiesę ir jai nestatmenos,vadinamas kampas tarp tiesės ir jos projekcijos plokštumoje
Kampas tarp plokštumos ir jai lygiagrečios tiesės lygus 0, o kampas tarp plokštumos ir jai statmenos tiesės lygus 90°
Dvisieniu kampu vadinama figūra,kurią sudaro tiesė a bei dvi pusplokštumės,turinčios bendrą kraštinę a, bet nepriklausančios vienai plokštumai
Dvisienio kampo ir jo briaunai statmenos plokštumos sankirta vadinama dvvisienio kampo tiesiniu kampu
Dvisienio kampo dydžiu vadinamas jo tiesinio kampo dydis
Kampas tarp dviejų plokštumų lygus kampui tarp dviejų toms plokštumoms statmenų tiesių

Prizmė

Stamuo,nubrėžtas iš vieno prizmės taško į kito pagrindo plokštumą,vadinamas prizmės aukštine
Prizmė,kurios šoninės briaunos statmenos pagrindamas,vadinama stačiaja, priešingu atveju-pasviraja.Stačiosios prizmės aukštinė lygi jos šoininei briaunai
Stačioji prizmė,kurios pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai,vadinama taisyklingaja prizme
Prizmės paviršiaus plotu vadinamavisų jos sienų plotų suma, o prizmės šoninio paviršiaus plotu- jos šoninių sienų plotų suma
Stačiosios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus prizmės pagrindo perimetro ir aukštinės sandaugai, t.y., S=

=P*H

Gretasienis

Gretasieniu vadinama prizmė,kurios pagrindas yra lygiagretainis,kurio pagrindas lygiagretainis
Gretasienio įstrižainės vidurio taškas yra jso simetrijos centras
Priešingosios gretasienio sienos yra lygios ir lygiagrečios
Visos gretasienio įstrižainės susikerta viename taške,kuris dalija jas pusiau
Greatsienis,kurio šoninės braiunos statmenos pagrindo plokštumai,vadinamas stačiuoju
Statusis gretasienis,kurio pagrindas yra stačiakampis,vadinamas stačiakampiu gretasieniu
Stačiakampis gretasienis,kurio visi trys matmenys lygūs,vadinamas kubu

Piramidė

Briaunainis,kurio viena siena yra bet koks daugiakampis,o kitos sienos- trikampiai,turintys bendrą viršūnę,vadinamas piramide
Piramidės pjūvis,nubrėžtas per viršūnę ir pagrindo įstrižainę,vadinamas įstrižaininiu piramidės pjūviu
Piramidė vadinama trikampe,keturkampeir t.t.,jeigu jos pagrindas trikampis,keturkapis ir t.t.
Piramidė,kurios pagrindas-taisyklingasis daugiakampis,o piramidės viršūnės projekcija-to daugiakampio centras,vadinamas taisyklingaja
Taisyklingosios piramidės šoninės sienos-lygūs lygiašoniai trikampiai
Taisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinė vadinama piramidės apotema
Trikampė piramidė vadinama tetraedru

Jeigu tetraedro visos keturios sienos-taisyklingieji trikampiai,tai tetraedras vadinamas taisyklinguoju
Piramidės pagrindui lygiagreti plokštuma,kertanti piramidę,nuo jos nukerta panašią į ją piramidę.Likusioji piramidės dalis vsadinama nupjautine piramide
Nupjautinės piramidės sienos,esančios lygiagrečiose plokštumose,vadinamos piramidės pagrindais,kitos sienos-šoninėmis sienomis.Nupjautinės piramidės šoninės sienos-trapecijos.Nupjautinė piramidė,kuri gaunama iš taisyklingoiso piramidės,irgi vadinama taisyklingaja
Taisyklingosios piramidės šoninis paviršius lugus jo pagrindo pusmerimetrio ir apotemso sandaugai
Taisyklingosios nupjautinės piramidės šoninis paviršius lygus jos pagrindų pusperimetrių sumos ir apotemos sandaugai
Jeigu piramidės visos šoninės braiunos lygios,tai viršūnės projekcija-apie pagrindą apibrėžto apskritimo centras
Jeigu piramidės visi dvisieniai kampai pre pagrindo lygūs,tai viršūnės projekcija- į pagrindą įbrėžto apskritimo centras

Ritinys

Ritiniu vadinamas kūnas,kurį sudaro tarp dviejų lygiagrečių plokštumų esančios visų lygiagrečių tiesių,kertančių vienoje tų plokštumų esantį sk

kritulį,atkarpos.Tos atkarpos,kurių vienas galas yra skritulio apskritimo taškas,vadinamas ritinio sudaromosios.
Ritinio paviršių sudaro ritinio pagrindai- du lygūs skrituliai,esantys lygiagrečiose plokštumose, ir šoninis paviršius.
Stačiuoju ritiniu vadinamas toks ritinys,kurio sudaramosios statmenos pagrindų plokštumoms.Statųjį ritinį vadiname tiesiog ritiniu.
Ritinio spinduliu vadinamas jo pagrindo spindulys
Ritinio aukštine vadinams atstumas tarp pagrindų plokštumų
Ritinio ašimi vadinama tiesė,einanti per pagrindų centrus
Ritinio pjūvis,gautas,ritinį perkirtus plokštuma,einančia per ritinio ašį,vadinamas ašiniu pjūviu
Į ritinį įbrėžta prizmė vadinama tokai prizmė,kurios pagrindai-lygūs daugiakampiai,įbrėžti į ritinio pagrindus.Jos šoninės briaunos yra ritinio sudaromosios
Apie ritinį apibrėžta prizme vadinama tokai prizmė,kurios pagrindai-lygūs daugiakampiai,apibrėžti apie ritinio pagrindus
Kūgis

Kūgiu vadinamas kūnas,lurį sudaro visos atkarpos,jungiančios vieną tašką-kūgiop viršūnę-su skritulio-kūgio pagrindo-taškais.Atkarpos,jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais,vadinamos kūgio sudaromosios
Kūgio paviršių sudaro jo pagrindas ir šoninis paviršius
Kūgio aukštine vadinama iš jo viršūnės nubrėžta pagrindui statmena atkarpa
Kūgio ašimi vadinama tiesė,nubrėžta per kūgio aukštinę
Kūgip pjūvis,gautas,kūgį perkirtus plokštuma,einančia per kūgio ašį,vadinamas ašiniu pjūviu
Kūgio ašiai statmena plokštuma nuo kūgio nukerta mažesnį kūgį.Likusioji dalis vadinama nupjautiniu kūgiu
Į kūgį įbrėžta piramidė vadinama tokai piramidė,kurios pagrindas yra į kūgio pagrindo apskritimą įbrėžtas daugiakampis, o viršūnė-kūgio viršūnė
Apibrėžta apie kūgį piramidė vadinama tokai piramidė,kuriso pagrindas yra apie kūgio pagrindą apibrėžtas daugiakampis,o viršūnė sutampa su kūgio viršūne

Rutulys

Rutuliu vadinamas kūnas,sudarytas iš visų erdvės taškų,nutolusių nuo vieno taško atstumu,ne didesniu už kurį nors pasirinktą atstumą.Tas taškas vadinams rutulio centru, o atstumas-rutulio spinduliu
Rutulio kr

raštas vadinams rutuluio paviršiumi arba sfera
Kiekviena atkarpa,jungianti rutulio centrą su rutulio paviršiaus tašku, vadinama rutulio spinduliu
Rutulys yra sukinys.Jis gaunamas,sukant pusskritulį apie skersmenį kaip apie ašį
Rutulip pjūvis,gautas perkirtus rytulį plokštuma,yra skritulys.To skritulio centras yra statmens,nubrėžto iš rutulio centro i kertnačią plokštumą pagrindas
Rutulio pjūvis, gautas perkirtus rutulį plokštuma,einančia per jo centrą,vadinama rutulio didžiuoju skritukiu
Plokštuma, einanti per rutulio paviršiaus tašką ir statmena į tą tašką nubrėžtam spinduliui,vadinama liečiamąja plokštuma
Liečiamoji plokštuma ir rutulys,turi tik vieną bendrą tašką-lietimosi tašką
Rytulys vadinams įbrėžtu į briaunainį,jei visos briaunainio sienos liečia rutulį.Tokiu atveju briaunainis vadinams apibrėžtu apie rutulį
Rutulys vadinamas apibrėžtu apie briaunainį,jei visos briaunainio viršūnės priklauso rutulio paviršiui.Tada braiunainis vadinamu įbrėžtu į rutulį
Norėdami apie piramidę apibrėžti rutulį,turime Norėdami apie prizmę apiišpildyti būtinumą ir pakankamą sąlygą-apie piramidės pagrindą galima apibrėžti apskritimą
Norėdami apie prizmę apibrėžti rutulį,turime išpildyti būtiną ir pakankamą sąlygą-prizmė stačioji,o apie jso pagrindą galima apibrėžti apskritimą
Rutulio,apibrėžto apie prizmę,centras yra atkarpos,jungiančios apskritimų,apibrėžtų apie prizmę,centrus,vidurio taškas
Rutulio,apibrėžto apie piramidę,centras yra statmenyje,nubrėžtame į pagrindo plokštumą per apskritimo,apibrėžto apie pagrindą,centrą

Gretasienio tūris

Tūrio matavimo vienetas yra kubas,kurio briauna lygi atkarpų matavimo vienetui
Lygių kūnų tūriai yra lygūs
Kūno,sudaryto iš kelių kūnų,tūris lygus tų kūnų tūrių sumai
Stačikampio gretasienio tūris lygus jo trijų matmenų sandaugai
Stačiojo gretasienio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai

Prizmės tūris

Stačiosios prizmės tūris lygus pagrinso ploto ir aukštinės sandaugai
Pasviroji prizmė lygiatūrė su tokai stačiaja prizme kuriso pagrindas-pasvirosios prizmės statmenasis pjūvis, o aukštinė-pasvirosios prizmės šoninė briauna

Piramidės tūris

Piramidės tūris lygus pagrindo ploto ir aukštinės sndaugos trečdaliui
Nupjautinės piramidės,kurios aukštinė lygi H, o pagrindų plotai S ir Sı,tūrio formulė yra:

v

Panašiųjų briaunainių tūriai sutinka kaip atitinkamų briaunų kubai

Ritinio,kūgio,rutulio ir jo dalių tūris

Rutulys vadinams įbrėžtu į ritinį (kūgį),jei ritinio (kūgio) pagrindai (pagrindas) ir kiekviena sudaromoji liečia rutulį.Rutulio ,įbrėžto į ritinį (kūgį),centras yra šio kūno ašyje
Rutulys vadinamas apibrėžtu apie ritinį,jei ritinio pagrindai yra rutulio pjūviai.Rutulio centras yra ritinio ašyje
Rutulys vadinamas apibrėžtu apie kūgį,jei kūgio pagrindas yra rutulio pjūvis,o kūgio viršūnė priklauso rutulio paviršiui.Rutulio centras yra kūgio ašyje
Rutulys vadinams apibrėžtu apie nupjautinį kūgį,jei jo pagrindai yra rutulio pjūviai.Rutulio centras yra nupjautinio kūgio ašyje
Ritinio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai:

V=πr²H
Kūgio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės trečdaliui:

Nupjautinio kūgio tūris lygus:

Rutulio,kurio spindulys R,tūrio formulė yra:

Rutulio nuopjova vadinama rutulio dalis,kurią nuo jo kerta kuri nors plokštuma

Jei rutulio spindulys lygus R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nupjovos tūris yra:

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis,esanti tarp dviejų lygiagrečių kertamųjų plokštumų.Skrituliai,susidarę,lygiašonėmis plokštumoms perkirtus rutulį,vadinama rutulio sluoksniu pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų-rutulio sluoksnio aukštine.Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrio skirtumą
Rutulio išpjova vadinamas kūnas,gautas skritulio išpjovą,kurios kampas mažesnis už 90°,apsukus apie tiesę,einančią per vieną skritulio išpjovą ribojančių spindulių.Rutulio išpjovą sidaro rutulio nuopjova ir kūgis.Kai rutulio spindulys lygus R, o rutulio nuojovos aukštinė lygi h,rutulio išpjovos tūrio V formulė yra:

Ritinio,kūgio,rutulio ir jo dalių paviršius

Ritinio šoninio paviršiaus ploto formulė yra:
S=2πrh

Ritinio viso paviršiaus ploto formulė yra:

Kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:

S=πRl

Kūgio viso paviršiaus plotas:

Rutulio paviršiaus plotas lygus:
Sferos nuopjovos plotas lygus:

S=2πRH

Leave a Comment