1. Atvirkštinė funkcija.Y=f(x) (1) x – nepriklaus kintamas (argumentas), y – priklaus kintam (f – ja). x[a, b] (2) šioje lygybėj y – neprikl kintam (argumentas), x – priklaus kintam (funkcija). Jeigu kiekvieną argumento reikšmę į intervalo y[c, d] atitinkančias x[a, b] priklauso intervalui [a, b] tai f – jos y= f(x) ir x=(y) vad viena kitos atžvilgiu atvirkštinėm f – jom. Jeigu (2) argument kaip paprastai pažymim x, o f – ją y tai turėsim y= (x). jeigu f – ja y= f(x) ir y= (x) yra atvirkšt viena kitos atžvilgiu tai tų f – jų grafikai simetriniai tiesės y= x atžvilgiu. Pvz y= f(x)= x2 rasim jai atvirkšt f – ją y= x2; x= y; y= x. jos yra atvirkšt (brėž 1).2. Išreikštinės ir neišreikšt f – jos.Tegu y reikšmės priklauso nuo kintamojo x reikšmių. Jeigu funkcijinis rišys tarp f – jų y ir argum x duotas lygtim išspresta y atžvilgiu y: y= f(x). pvz y= (3×2- 1)/ 5. Iš tokios lygybės matom kokius veiksmus turime atlikti su argum ir pastoviais skaičiais norėdami rasti f – jos y reikšmes. Jeigu funkcijinis rišys tarp argum x ir f – jos y duotos lygtimi neišspręsta y atžvilgiu tai turim neišreikšt f – ją y. ją žymim F(x, y)= 0 y – neišreikšt f – ja. Pvz 2x – sim(xy)+ y2 – 5= 0.3. Hiperbolinės f – jos.Hiperbol f – jom vad šitos f – jos sh (sinusas hiperbol), shx= (ex+ e-x)/ 2, ch (kosinus hiperbol), th, cth. Šios f – jos vad trigonometrinėm, nes jų panašios sąvybės į trigonometr, o hiperbol nes jos su lygiaašia hiperbole turi tokį pat ryšį kokį trigonometr f – jos turi apskritimu. Hiperbol f – jos tenkina tokia sąvyb: ch2x – sh2x= 1, thx= shx/chx, cthx=chx/shx.4. Parametrinės f – jos lygtis.Turim 2 lygtis x= (t) y= (t) (1), t [; ]. Kiekvienai t reikšmei iš [; ] iš (1) rasim reikšmes x ir y. jeigu į reikšmių porą x ir y žiūrėsim kaip į plokštumos Oxy koordinat, tai keisdami parametro t reikšmę plokštumoj Oxy gausim vis naują taško M(x; y) padėtį. Tegu visuma šitokių taško M padėčių sutampa su kokios tai f – jos y= f(x) grafiku. Tokiu atveju sakom kad y= f(x) yra išreikšta parametrinėm lygtim sist{ y= (t), x= (t). Pasirinkę t reikšmę iš (x, y) po to dar gaunam aibę taškų kurie sutampa su y= f(x) grafiku. Kai kurios dažniau vartojamo parametrinės lygtys: 1. Apskritimo (brėž 2) spindulys r, M(x; y) – bet kuris apskrit taškas, parametras t – kampas kurį spindulys sudaro x ašies teigiama kryptim. x= OB= OA+ AB= OA+ CD= a+ rcost, y= BM= BD+ DM= b+ rsint. Sist{ x= a+ rcost, y= b+ rsint – parametrinės lygtys apskrit kurio centras C(a; b) ir spind r. 0 t 2. (x – a)2+ (y – b)2= r – lygtis apskritimo. 2. Elipsės parametrinė lygtis. (brėž 3). a> b x= OA= BM= acost, y= OB= AM= bsint. Sist{ x=acost, y= bsint – parametrinė elepsės lygtis a ir b elepsės pusašiai.
5. Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė.Duota y= f(x) apibrėžta visom x reikšmėm x[a; b]. tegu x ir x+x yra dvi argumento reikšmės priklausančios interval [a; b] Jeigu egzistuoja riba y/x= (f(x+ x) – f(x))/ x, kai x 0 ji vad funkcijos y= f(x) išvestine taške x ir žymim ją y`, f`(x), dy/dx. y`= x0 lim y/ x= x0 lim (f(x+ x) – f(x))/ x – f – jos išvestinė. F- jos išvest yra lygi f – jos pokyčio y ir argumento x pokyčio santykio ribai, kai argumento pokytis artėja į nulį. Jeigu y= f(x) taške x turi išvest, tai sakom kad ji šiame taške diferencijuojama. Jeigu y= f(x) diferen visuose [a; b] taškuose tai sakom, kad ji diferen intervale [a; b]. funkcijos išvest radimo veiksmas vad f – jos diferenc. Išsiaiškinsim f – jos išvest geometrinę prasmę (brėž 4). Y= f(x) grafiko taške M(x; y) pravedam liestinę ML kurios krypties koefic kML. Argumentui x davus pokitį x gaunam kitą grafiko tašką N(x+ x; y+ y). pravedam stygą MN kuri su x ašies teigiama kryptimi sudaro kampą , tada stygos krupties koef kMN= tg. Sakykim kad x0 tada taškas N kreive artėja prie taško M, tuo pačiu styga MN keisdama savo padėtį artėja prie liestinės ML, vadinasi ir krypt koef kMN kML. Vadinasi kML= x0 lim kMN= x0 lim y/ x= y`, tg= y/ x. taigi y`= kML ši lygybė nusako išvest geometrinę prasmę f – jos y taške x, geometriškai reiškia šiame taške pravestos grafiko liestinės krypties koefic.
6. F – jos diferencijuojamumas.Ją nusako teorema jeigu y= f(x) yra diferenc taške x0 tai ji šiame taške yra tolydi. Įrodymas: jeigu y= f(x) taške x0 turi išvest, tai egzistuoja riba x0 lim y/ x= f`(x0) (1). Žinom kad f – ja nuo savo ribinės reikšmės skiriasi n.m.d, tai iš (1) tyrėsim y/ x = f`(x0)+ (x), (x) – nykst maž f – ja, kai x0. y= f`(x0) x+ (x) x; (x) x – n.m.d, kaip sandauga dviejų n.m.d. f`(x) x – n.m.f, nes tai yra sandauga n.m.d x ir pastovaus dydžio (x) x+ f`(x0) x – n.m.f, nes tai yra suma dviejų n.m.d. y – n.m.d kai x0, tai yra kad x0 lim y= 0 – ši lygybė rodo, kad n.m. argumento pokitį x atitinka n.m.f – jos pokytis y, o tai reiškia, kad f – ja y= f(x) yra tolydi taške x0. Išvada: vadinasi tik tolydi duotajame taške f – ja yra jame diferenc.7. Diferencijavimo taisyklės.1. pastovaus dydžio išvest lygi 0; c`=0. 2. Argumento išvest lygi 1; x`=1. 3. F – jų algebr sumos išvest lygi šių funkc išvest algebrin sumai; (U V)`= U` V`. 4. Sandaug išvest (UV)`=U`V+ V`U. 5. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš skliaustus (cU)`=cU`, c= const. 6. Baigtinio skaič f – jos sandaugos išvest yra lygi sumai sandaugų sudarytų iš kiekvienos f – jos išvest ir likusiųjų f – jų; (UVZ)`=U`VZ+ V`UZ+ Z`UV. 7. Laipsninės f – jos išvest; (xn)`= nxn-1, (1/x)`= –1/x2, (x1/2)`= 1/2x. 8. Trupmenos išvestinė (U/V)`= (U`V – V`U)/ V2. 9. Trigonometrinių f – jų išvestinės; (sinx)`= cosx, (cosx)`= –sinx, (tgx)`= 1/ cos2x, (ctgx)`= –1/ sin2x. 10. (arcsinx)`= 1/ (1 – x2), (arccosx)`= –1/ (1 – x2), (arctgx)`= 1/ (1+ x2), (arcctgx)`= –1/ (1+ x2). 11. Rodiklinės f – jos išvestinė (ax)`= axlna, a= const, (ex)`= ex. 12. Logoritminės f – jos išvest; (logax)`= 1/ xlna.8. Sudėtinės f – jos išvestinė.Duota y= f(u), kur u= (x) tada turėsim kad y= f((x)), x – nepriklaus argumentas, u – tarpinis argumentas. Jeigu y= f(u) yra diferenc tarpiniu argumentu u, o u= (x) yra difer nepriklaus argum x, tai argumentui x davus pokitį x, y= (x) įgaus pokitį u kuris savo ruožtu f – jai y= f(u) suteik pokitį y. tada turėsim kad y/ x= (y/ u) (u/ x). tada x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Kadangi u= (x) yra difer taške x, tai ji šiame taške yra tolydi. Pagal f – jos tolydumo apibrėž turėsim, kad x0 lim u= 0, tai yra kai x0, tai ir u0. x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Taigi yx`= yu`ux`. sudėtinės f – jos y= f((x)) išvest pagal x yra lygi šios f – jos išvest pagal tarpinį argumentą u padaugintai iš tarpinio argum išvest pagal nepriklaus argumentą x. ((2x+ 1)3)`=3(2x+ 1)22= 6(2x+ 1)2.9. Atvirkštinės f – jos išvestinė.Jeigu tiesioginė f – ja y= f(x) taške x turi nelygią 0 išvest f(x) 0 ir jai atvirkšt f – ja x= (y) yra tolydi taške y tai atvirkšt f – jos išvest yra lygi jai tiesioginės f – jos išvest atvirškt reikšmei. `(y)= 1/ f`(x). įrodymas x/ y= 1/ (y/ x), y0 lim x/ y= y0 lim 1/ (y/ x), kadangi x= (x) yra tolydi taške y tai, kai y0 tai ir x0 y0 lim x/ y=1/ (x0 lim y/ x), xy`=1/ yx`; `(y)= 1/f`(x).10. Neišreikštinių f – jų diferencijavimas.Sakykim kad nepriklaus argum x neišreikšt f – ja y duota ryšio lygtimi F(x; y)= 0 (1). Kad rasti y išvest difer (1) abi puses F`(x; y)= 0 (2) Iš (2) lygties y` randame kaip nežinomąjį. Pvz rasti neišreikš f – jos y išvest kuri duota lygtimi 2xy– sinx+ y2+ 3=0, 2(y+ xy`)– cosx+ 2yy`=0, 2y+ 2xy`– cosx+2yy`=0, y`(2x+ 2y)= cosx– 2y, y`= (cosx– 2y)/ (2x+ 2y).11. Logoritminio diferencijavimo metodas.xx – laipsninė – rodiklinė f – ja. Šitokiai f – jai išvest rasti taikomas logorit difer metodas. y= xx, lny= lnxx, lny= xlnx. Toliau difer kaip neišreikt f – ją. y`/y=lnx+ x 1/x, y`= y(lnx+ 1), y`=xx(lnx+ 1). Logorit difer metodą patogu taikyti ieškant sudėtinių išvest logoritmuojamų reiškinių y= ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4), lny=ln ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4), lny= 2ln(x+ 1)+ ½lnx+ 5lnx– 3lnx– 4ln(x– 2), y`=y (2/ (x+ 1)+ 5/ 2x– 4/ (x– 2)), y`= ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4) ((x2– 5x– 10)/ (2x(x+ 1)(x–2))).12. Parametrinėmis lygtimis duotų f – jų diferencijavimas.Tegu f – ja y= f(x) duota parametrinėm lygtim sist{ x= (x), y= (x) lygtį x= (t) išsprendę t atžvilgiu rasim f – ją t= (x) kuri bus atvirkštinė f – jai x= (t). Kadangi atvirkšt f – jos išvest lygi jai tiesiginės f – jos išvest atvirkšt reikšmei turėsim, kad (x)= 1/ `(t). Jeigu į f – ją y= (t) istatysim t= (x) tai turėsim sudėtinę f – ją y= [(x)]. Rasim šios f – jos išvest pagal x. yx`= t`(x)`=t`/ t`, tai yx`=yt`/ xt`. pvz rasti yx`, kai f – ja duota parametrinėm lygtim. Sist{ x= sin3t, y= e2t. yx`= (e2t)`/ (sin3t)`= (2e2t)/ (3cos3t).13. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema.Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi intervale [a; b] ir šio intervalo vidiniuose tškuose turi baigtines išvest, tai tame intervale bus bent viena argumento reikšmė x= c, tokia kad f(b)– f(a)= f`(c) (b– a), a< c< b. Įrodymas: (brėž 5) Kreivės y= f(x) taške kurio apsisė x= c, pravestoji liestinė yra KL|| AB. Stygos AB kAB= tg. tg= BD/ AD= (f(b)– f(a))/ (b– a). pagal išvest geometrinę prasmę kKL= f`(c), kadangi KL|| AB tai kKL= kAB, f`(c)= (f(b)– f(a))/ (b–a) iš čia f(b)– f(a)= f`(c) (b– a).14. Rolio teorema.Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi inteval [a; b] šio interval vidiniuose taškuose turi baigtines išvestines f`(x), be to intervalo galuose f – jos reikšmės yra lygios f(a)= f(b), tai intervalo viduje bus bent viena argumento reikšmė x= c tokia, kad f`(c)=0. (brėž 6). F – jos grafiko taške, kurio apsisė x= c pravesta liestinė KL|| AB. Kadangi AB= Ox, tai kAB= tg0= 0. Pagal išvest geometr prasmę liestinės KL, kKL= f`(c), kadangi KL|| AB, tai kKL= kAB. f`(c)=0.15. Koši teorema.Jeigu f – jos f(x) ir (x) yra tolydžios intervale [a; b] ir šio inter vidiniuose taškuose turi baigtines išvest, be to `(x)0 visiems x[a; b], tai šiame intervale bus bent viena argumento reikšmė x= c tokia kad (f(b)– f(a))/ ((b)– (a))= f`(c)/ `(c). Įrodymas: (f(b)– f(a))/ ((b)– (a))=Q. Sudarykim pagalbinę f – ją: F(x)= f(x)– f(a)– Q[(x)– (a)], F(a)= f(a)– f(a)– ((f(b)– f(a))/ ((b)– (a)))[(a)– (a)]= 0, F(b)= f(b)– f(a)–( (f(b)– f(a))/ ((b)– (a)))[(b)– (a)]=0. F(a)= F(b). vadinasi F(x) intervale [a; b] tenkina Rolio teoremos sąlygas, taigi šiame intervale egzistuos tokia x= c kur F`(c)= 0 (1). F`(x)= f`(x)– Q`(x), F`(c)= f`(c)– `(c) (2). Sulyginę (1) ir (2) gaunam f`(c)– Q`(c)= 0. Q= f`(c)/ f`(c); (f(b)– f(a))/ ((b)– (a))= f`(c)/ f`(c).16. Lopitalio taisyklė.Yra tokių f – jų kurių reikšmės prie tam tikrų argumento reikšmių tiesiogiai neapskaičiuojamos. Pvz. f(x)= (x2+ 2x– 3)/ (x–1), f(1)= |0/0|. Tokiu atveju f – jos reikšmė nustatoma rybiniu būdu. x1 lim f(x)= x1 lim ((x2+ 2x– 3)/ (x– 1))= x1 lim (((x+ 3)(x– 1))/ (x– 1))= 4. Jeigu skaičiuodami f – jos ribą gauname neapibrėžtumus |0/0| arba |/|, tai tokie neapibrėžti reiškiniai apibūdina atitinkamų f – jos kitimų nagrinėjamo taško x= a, ta prasme, kad trupmenos skaitiklis ir vardiklis kai xa arba nykstamai mažėja arba neapibrėžtai didėja, tada tokios f – jos ribai apskaičiuoti galima taikyti Lopitalio taisyklę: jeigu f – jos f(x) ir (x) yra tolydžios taške x= a ir lygios nuliui begalybėj) turi gaigtines išvestines kurios artimoje taško x= a aplinkoje lygios 0 () tai santykio f(x)/ (x) riba kai xa yra lygi santykio f`(x)/ `(x) ribai kai xa tai yra xa lim f(x)/ (x)= xa lim f`(x)/ `(x) – Lopitalio taisyklė.
17. Diferencialas ir jo sąvybės.Duota y= f(x) apibrėžta visiems x[a; b] ir šiame intervale ji yra direrencijuojama, tai yra y`= f`(x)= x0 lim y/ x. Imkim dvi argumento reikšmes x ir x+ x, kurios priklauso [a; b]. Dydis x – argumento pokytis vad argumento diferencialu ir žymėsim jį dx – argum diferencialas. dx= x. f – jos y= f(x) vad šios f – jos išvestinės ir argumento diferencialo sandauga, žymėsim dy= f`(x)dx. Iš paskutinės lygybės turėsim f`(x)= dy/ dx. Matom, kad f – jos išvestinė yra lygi šios f – jos diferencialo ir argumento diferenc santykiui. Sąvybės: 1) f – jų algebrinės sumos diferenc yra lygus šių f – jų diferenc algebriniai sumai; d(u v)= du dv, u= u(x), v= v(x). 2) d(uv)= udv+ ydu. 3) d(cu)= cdu, c= const. 4) d(u/v)= (vdu– udv)/ v2. Įrodymas: d(u v)= du dv. D(u+ v)= (u+ v)`dx= (u`+ v`)dx= u`dx+ v`dx= du+ dv.18. Diferenciavimo pritaikymas apytiksliam skaičiavimui.Duota f – ja y= f(x), jos išvestinė y`=x0 lim y/ x. Kadangi f – ja nuo savo ribinės reikšmės skiriasi n.m.d, tai y/ x– y`= , – n.m.d, kai x0. Padauginę iš x gausim y= y`x+ x arba y= y`dx+ dx. x – n.m.d kaip sandauga n.m.d. atmetę x gausim yy`dx arba y dy – šią lygybę galime taikyti f – jos reikšmių apytiksliam skaičiavimui.19. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai.Duota y= f(x) jos išvestinė y` bendru atveju taip pat yra kintamojo x f – ja. Taigi galime ją diferencijuoti. y` išvestinė vad f – jos antros eilės išvestine žymima y“= dy`/ dx= (y`)`= d2y/ dx2. Difer y“ gaunam f – jos y trečios eilės išvestinę ją žymim y“`= dy“/ dx= (y“)`= d3y/ dx3. Duota y= f(x) jos diferenc dy= y`dx vad pirmos eilės diferenc. Jis bendru atveju taip pat yra x kintamojo f – ja. Todėl galime rasti jos diferenc. Diferenc f – jos dy vad y antros eilės diferenc, žymime d2y= d(dy). d2y= (dy)`dx= (y`dx)`dx= y“dxdx= y“dx2. d2y= y“dx2, taigi y“= d2y/ dx2.20. Bendroji f – jų tyrimų shema. Ekstremumai. Kreivės asismptotės.Diferencialinio skaič metodais galima ištirti duotąją f – ją ir nubrėžti jos apytikslį grafiką. Tam reikia: 1) nustatyti f – jos apibrėž sritį, 2) nustatyt ar f – ja lyginė ar nelyginė; f(x) – lyginė kai f(–x)= f(x) (grafikas simėtrinis Oy ašiai), f(x) – nelyginė kai f(–x)= f(–x) (grafikas simetrinis taško O atžvilgiu), 3) rasti taškus kur f – jos grafikas kerta koordinat ašis; Ox kerta kai y= 0, Oy kai x= 0, 4) rasti f – jos grafiko didėjimo ir mažėjimo intervalus bei ekštremumus; ekstremumam rasti: y`= 0 randam kritinį tašką x= x0, max, kai y` keičia ženklą iš “+” į “–“, min, kai y` keičia ženkl= iš “–“ į “+”, f – ja didėjanti kai y`> 0, mažėjanti kai y`< 0.Ekštremumų radimas antros išvestinės pagalba. Duota f – ja y= f(x) kuri yra bent du kartus diferencijuojama kokioje tai x0 aplinkoje ir f(x0)= 0. Teorema: jeigu f – jos y= f(x) f`(x0)= 0, tai 1. taške x0 turės maksimumą, kai f“(x0)< 0, 2. turės min kai f“(x0)> 0. Įrodymas: tegu f`(x0)= 0 ir f“(x0)> 0. Pagal f – jos diferencijuojamumo sąlygą turėsim. Jeigu egzistuoja f“(x0) tai f – ja f“(x0) yra tolydi kokioje tai kad ir labai mažoje taško x0 aplinkoje. Kadangi f“(x)= [f`(x)] ir ji bus neigiama taško x0 aplinkoj. Reiškia f`(x) – mažėjanti. f“(x0= 0, tai reiškia kad pereinant per x0 išvestinė keičia ženklą iš “+” į “–“. Vadinasi f – ja taške x0 turi max. pvz. y= x2+ 2x+ 1 rasti ekstrem y`= 2x+ 2= 0, x= –1, y“= 2> 0, tai f – ja turi min, ymin= y(–1)= (–1)2+ 2(–1)+ 1= 0.5) nustatom kreivės iškilumo ir įgaubtumo sritis ir randam vingio taškus. Duota f – ja y= f(x) apibrėžta intervale [a; b] tegu šiame intervale f – ja yra diferenc, tada pagal išvest geometrinę prasmę turėsim kad kiekvienam [a; b] taške galime nubrėžti grafiko liestinę. Ap. 1) jeigu intervale [a; b]visi kreivės y= f(x) taškai yra po liestine pravestos bet kuriame šio intervalo grafiko taške tai kreivė šiame intervale yra iškyla. 2) jeigu intervale [a; b] visi kreivės y= f(x) taškai yra virš liestinės pravestos bet kuriame šio inter grafiko taške tai kreivė šiame taške yra įgaubta. Teorema: 1) jeigu visuose intervalo [a; b] taškuose f“(x)< 0, tai šiame intervale f – ja y= f(x) yra iškyla (brėž 7). Intervalo [a; b] parinktam taške x0 pravedam grafiko liestinę. Imam bet kuria inter reikšmę x ir šią x reikšmę atitinkančią liestinės ordinatę yt, o y taško ordinate y= f(x) išreikšt reikia yt tam reikia turėt liestinės lygtį. Lietinės pravestos taške x0 lygti yra (x0, f(x0), k= f`(x0) y–f(x0)= f`(x0) (x–x0), yt= f(x0)+ f`(x0) (x–x0). Išnagrinėsim skirtumą tarp yt–y= f(x0)+ f`(x0) (x–x0)–f(x), yt–y= (f(x0)–f(x))+ f`(x0) (x–x0). f(x0)–f(x) pritaikę Langranžo formulę turėsim: f(x0)–f(x)= f`(c) (x0–x) c – yra tarp x ir x0. Tada yt–y= f`(c) (x0–x)+ f`(x0) (x–x0)= –f`(c) (x–x0)+ f`(x0) (x–x0)= (f`(x0)–f`(c)) (x–x0) pritaikę Lagranžo f – lę yt–y= (x–x0) f`(c1) (x0–c), c1 yra tarp x0 ir c. išnagrinėsim du atvejus kai 1) x0< x, x–x0< 0, f“(c1)< 0 (pagal teoremos sąlygą) x0–c< 0. Tada yt–y> 0, tai yt> y. 2) x< x0, x–x0< 0, f“(c1)< 0, x0–c> 0, tada yt–y> 0, tai yt> y. iš čia matom kad prie bet kokių taškų iš [a; b] yt>y. taigi visame intervale [a; b] krievės y= f(x) taškai yra po liestine pravestos taške x0. Vadinasi f – ja y= f(x) yra iškyla. Analogiškai įrodoma teorema 2: 2) jeigu visuose inter [a; b] taškuose f – jos y= f(x) antroji išvestinė f“(x)> 0, tai f – jos grafikas yra įgaubta kreivė. Ap. Taškas skiriantisa kreivės iškiląją dalį nuo įgaubtosios vad kreivės vingio tašku. (brėž 8). Taškas P(x0; f(x0)) bus vingio taškas jeigu f“(x0)= 0 ir pereinant per šį tašką antroji išvestinė keis ženklą.6) kreivės asimptotės. Ap. Tiesė prie kurios artėja nutoldamos kreivės ašys vad kreivės asimptotėm. Skiriamos dvi asimptočių rūšys. 1) vertikalio asimptot. (brėž 9). Jeigu taške x= a f – ja turi trūkį tai tiesė x= a yra f – jos y f(x) vertikali asimptotė. 2) pražulnios asimptot (brėž 10). Pražulnių asimptočių ieškosim lygtimi = kx+ b (1) kad (1) tiesė butų kreivės y= f(x) asimptote turi būti patenkinta sąlyga x lim = 0 (2) – taško M(x; y) atstumas iki (1) tiesės , rasim jį (ax+ by+ c= 0; M(x0; y0); d= |(ax0+ by0+ c)/ (a2+ b2)|). (1) lygtį užrašom šitaip kx–+ b= 0 tada = (kx–+b)/(k2+ 1). Tada (2) bus šitokia x lim (kx–y+ b)/ (k2+ 1)= 0. Kad trukmena artėtų prie nulio turi artėti jos skaitiklis prie 0. x lim kx–y+ b= 0, x lim b= x lim (y–kx), b= x lim (y–kx) (3). Paskutinę ribą pertvarkom b= x lim [x(y/x)–k)]. Šioje lygybėj turim, kad dauginamųjų x ir y/x–k sandaugos riba lygi baigtiniam skaičiui b. pirmas dauginamasis x artėja į todėl, kad sandaugos riba būtų beigtinis skaičius, tai antras turi nykstamai mažėti. x lim (y/x–k)= 0 iš čia x lim k= x lim y/x. k= x lim y/x (4). k ir b reikšmes apskaičiuotas pagal (3) ir (4) įstatę į (1) lygtį turėsim pražulnią asinptotę.21. Bendros sąvokos kelių kintamųjų f – jų.Daždai tenka susidurti su dydžiais, kurie priklauso nuo kelių nepriklausomų kintamųjų S= xy. S – f – ja priklausanti nuo x ir y, kur x ir y yra nepriklausomi kintamieji. Ap. f – ja U vad nepriklausomų kintamųjų x, y, z,… w f – ja , jeigu kiekvieną galimą šių kintamųjų reikšmių sistema atitinka apibrėžta f – jos U sistema U= f(x, y, z… w). Kintamųjų x, y, z… w galimų sistemų visuma sudaro f – jos U apibrėž sritį. Jeigu kiekviena reikšmių x, y, z… w sistemos atitinka viena f – jos reikšmė tai turime vienareikšmę f – ją, priešingu atveju daugiareikšmę. U= f(s, r, t… v) kurios argumentai yra s= 1(x, y… w), r= 2(x, y… w), v= n(x, y… w). tokiu atveju turime sudėtinę f-ją. U= f[1(x, y… w), 2(x, y… w)… n(x, y… w)]. Išsiaiškinsim vienareikšmės dviejų nepriklausomų f – jų f reikšmę. x= f(x, y) (brėž 11). Sakykim kad f – jos z= f(x, y) argumentai x ir y kinta kokioje tai plokštumos Oxy srityje. Kiekvienam šios sryties taškui Ni(xi; yi) atitinka erdvės taškas Mi(xi; yi; zi) kur zi yra f reikšmė taške zi= f(xi; yi). Keisdami taško Ni koordinat gausim vis naują taško Mi padėtį erdvėj, visuma galimų taško Mi padėčių apibrėž erdvės R3 paviršiu.22. Kelių kintamųjų f – jos riba ir tolydumas.Duota dviejų kintamųjų f – ja z= f(x, y), keičiant argumentų x ir y reikšmes keisis ir z reikšmė. Jeigu x x0, o y y0 f – jos reikšmė z c, (c= const) tai skaičius c vad f – jos z= f(x; y) riba taške (x0; y0). xx0, yy0 lim f(x, y)= c. Ap skaičius c vad f – jos f(x, y) riba kai x x0 ir y y0 jeigu kiekvienam skaičiui > 0 galim rasti tokį skaičių > 0, kad esant patenkintoms sąlygoms (x–x0)< ir(y–y0)< yra teisinga nelygybė |f(x, y)–c|< . Analogiškas f – jos ribos apibrėžimas butų ir f – joms turinčioms daugiau negu 2 argumentus. Ap. skaičius c vad f – jos u= f(x, y, z… w) riba kai x x0, y y0, w w0, jeigu kiekvienam > 0 galim rasti tokį > 0, kad esant patenkintoms sąlygoms (x–x0)< , (y–y0)< …(w–w0)< yra teisinga nelygybė. |f(x, y, z… w)–c|< , xx0, yy0… ww0 lim f(x, y, z… w)= c. Ribų dėsniai įrodyti vieno kintamojo f – joms tinka ir kelių kintamųjų f – joms.F – ja z= f(x, y) yra tolydi taške (x0; y0) jeigu xx0, yy0 lim f(x, y)= f(x0, y0). Jos tolydumą taške (x0, y0) galima nusakyti ir naudojant f – jos pokytį. Pažymėkim x= x–x0 o y= y–y0, tada argumentui x davus pokitį x ir argumentui y davus y f – ja įgaus pokitį = f(x+ x, y+ y)–f(x, y). Ap. f – ja z= f(x, y) bus tolydi taške (x0, y0) jeigu x0, y0 lim z= 0. Analigiškai apibrėžiamas tolydumas f – jos turinčios daugiau negu 2 argumentus.23. Kelių kintamųjų f – jų dalinis ir pilnas pokyčiai.Duota u= f(x, y, z…w). Argumentams davus pokyčius x, y… w f – ja įgys pokytį u= f(x+ x, y+ y, z+ z… w+ w)–f(x, y, z… w) u – pilnas pokytis. Kadangi f – jos argumentai yra nepriklausomi vieni nuo kitų, tai pokytį galima duoti tik vienam iš jų, o kitų nekeisti. Pvz. argumentui x davus pokytį u, f – ja u įgaus pokytį ux= f(x+ x, y, z…w)–f(x, y, z… w). Šis f – jos pokytis vad daliniu pokyčiu.24. Kelių kintamųjų f – jų dalinės išvestinės.Duota 2 kintamųjų f – ja z= f(x, y), jeigu y laikysim pastoviu, o x duosim pokitį x tai f – ja įgys pokitį zx= f(x+ x, y)–f(x, y). Ap. santykio zx/ x riba kai x 0 vad f – jos z daline išvest kintamojo x atžvilgiu žymėsim z/ x, taigi z/ x= x0 lim zx/ x. pvz. z=3×2–2xy+ cosy; z/ x= 6x–2y, z/ y= –2x–siny. Analogiškai apskaič bet kokio nepriklausomų argumento skaičiaus f – jos.25. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės.Z= f(x, y), jos dalinės išvestinės. z/ x, z/ y – pirmos eilės dalinės išvestinės, jos bendru atveju yra kintamųjų x ir y f – jos. Todėl galime rasti jų išvestinės. z/ x2z/ x2= (z/ x)/ x= z“xx, z/ x 2z/ xy= (z/ x)/ y= z“xy. 2z/ x2; 2z/ xy; 2z/ yx; 2z/ y2 – antros eilės dalinės išvestinės. 2z/ xy= 2z/ yx. Analogiškai skaičiuojamos aukštesnių eilių dalinės išvestinės.26. K. K. f – jų dalinis ir pilnas diferencialai.Duota 2 nepriklausomų kintamųjų f – ja z= f(x, y). žinom, kad z/ x= x0 lim zx/ x. kadangi f – ja nuo savo ribinės reikšmės skiriasi n.m.d tai zx/ x= z/ x+ |.x, – n.m.d kai x 0, zx= (z/ x) x+ x, kai x 0, x – n.m.d. f – jos z dalinio pokyčio zx pagrindinę dalį (z/ x) x, kurią gaunam atmetę n.m.d x vadiname f – jos z= f(x, y) daliniu diferenc kintamojo x atžvilgiu ir žymym dzx, taigi dzx= (z/ x) x= (z/ x) dx. Analogiškai apibrėžiamas ir f – jos z= f(x, y) dalinis diferenc kintamojo y atžvilgiu dzy= (z/ y) dy. Analogiškai randamas dalinis diferenc bet kokio skaičiaus nepriklausomų kintamųjų f – jos. Ap. kelių kintam f – jos dalinis diferenc atitinkamo kintamojo atžvilgiu lygus f – jos dalinei išvestiniai šio kintamojo atžvilgiu padaugintai iš jo diferenc. Rasim f – jos z= f(x, y) pilnąjį diferenc. Argumentams davus pokyčius x ir y turėsim f – jos pilnąjį pokitį z= f(x+ x, y+ y)–f(x, y). Laikydami, kad pati f – ja z= f(x, y) ir jos dalinės išvestinės per tolydžios nepriklausomų kintamųjų f – jos. Prie paskutinės ligybės pridėkim ir atimkim f – ją f(x; y+ y), turėsim z= [f(x+ x, y+ y)–f(x; y+ y)]+ [f(x; y+ y)–f(x, y)]. Pirmuose laužtiniuose skliaustuose yra dalinis pokytis kintamojo x atžvilgiu f – jos vieno kintamojo f(x, y+ y). Tada šiam skirtumui pritaikę Lagranžo f – lę turėsim, kad f(x+ x, y+ y)–f(x, y+ y)= f`(cx, y+ y) x. antruose laužtin skliaustuose yra vieno kintamojo f – jos f(x, y) pokytis. Jam pritaikę Lagranžo f – lę turėsim. f(x, y+ y)–f(x, y)= f`(x, cy) y. cx yra tarp x ir x+ x, o cytarp y ir y+ y. tada z galėsim užrašyti taip z= f`(cx, y+ y) x+ f`(x, cy) y. kadangi duotosios f- -jos dalinės išvestinės yra tolydžios tai x0, y0 lim f`(cx, y+ y)= f`(x, y). iš čia kadangi f – ja skiriasi nuo savo ribinės reikšmės n.m.d, tai f`(cx, y+ y)= f`x(x, y)+ 1, 1 – n.m.d kai x 0, y 0. Analogiškai: x0, y0 lim f`(x, cy)= f`y(x, y)+ 2, 2 – n.m.d, kai x 0 ir y 0. Tada z= (f`x(x, y)+ 1) x+ (f`y(x, y)+ 2) y, z= f`x(x, y) x+ f`y(x, y) y+ 1x+ 2y, 1x+ 2y – n.m.d kai x 0, y 0. f – jos pilnojo pokyčio z pagrindinę dalį gautą atmetus n.m.d 1x+ 2y vadinsim f – jos z= f(x, y) pilnuoju diferenc ir žymim dz. dz= f`x(x, y) x+ f`y(x, y) y (x= dx, y= dy), dz= (z/ x) dx+ (z/ x) dy. analogiškai aps pilnas diferenc bet kokio skaičiaus nepriklausomų kintamųjų funkcijai.27. Sudėtinės f – jos diferencijavimas.Duota 2 kintamųjų f – ja z= f(u, v), kur u= u(x) ir v= v(x). nepriklaus kintam x davus pokitį x f – jos u ir v įgaus pokyčius u ir v, kurie f – jai z suteiks pokytį z= f(u+ u, v+ v)–f(u, v). prie šios ligybės dešnės pusės pridėkim ir atimkim f – ją f(u, v+ v), z= [f(u+ u, v+ v)–f(u, v+ v)]+ [f(u, v+ v)–f(u, v)]. F(u+ u, v+ v)–f(u, v+ v)= f`u(cu, v+ v) u, f(u, v+ v)–f(u, v)= f`v(u, cv) v, cu yra tarp u ir u+ u, cv yra tarp v, v+ v. z= f`u(cu, v+ v) u+ f`v(u, cv) v. x0, y0 lim f`u(cu, v+ v)= f`u(u, v), f`u(cu, v+ v)= f`u(u, v)+ 1, 1 – n.m.d, kai u 0, v 0. x0, y0 lim f`v(u, cv)= f`(u, v), f`v(u, cu)= f`(u, v)+ 2, 2 – n.m.d kai u0, y 0. Tada z= (f`u(u, v)+ 1)u+ (f`v(u, v)+ 2)v, z= f`u(u, v)u+ f`v(u, v)v+ 1u+ 2v |:x, z/ x= f`u(u, v) u/x+ f`v(u, v) v/x+ 1 u/x+ 2 v/x. Pereikime prie ribos kai x 0, kadangi f`u(u, v) f`v(u, v) nepriklauso nuo x tai juos iškelsim prieš ribos ženklą, beto 1u/x ir 2v/x yra n.m.d, o jų riba lygi 0. x0 lim z/x= f`u(u, v)* x0 lim u/x+ f`v(u, v)* x0 lim v/x. dz/dx= (z/u) (du/dx)+ (z/v) (dv/dx) – sudėtinės f – jos pilnai išvestinei paskaičiuoti.28. Neišreikštinių f – jų diferenc dalinių išvestinių pagalba.Tegu nepriklausomo argumento x neišreikšt f – ja duota ryšio lygtimi. F(x, y)= 0. Naudodami dalines išvestines rasim neišreikšt f – jos y išvestinę. Tegu neišreikštinė kintamojo x f – ja y duota ryšio lygtimi F(x, y)= 0. Į f – ją F(x, y) galime žiųrėti kaip į sudėtinę f – ją kur u= x, v= y= y(x). tai turėsim: dF(x, y)/dx= (F/x) (dx/dx)+ (F/y) (dy/dx)= 0`, F/x+(F/y) (dy/dx)= 0, dy/dx= –(F/x)/(F/y). pvz. 2xy–3y2+ 5x= 0, y`=dy/dx= –(2x+ 5)/ (2x–6y)= (2y+ 5)/ (6y–2x).29. K.K.F aukštesnių eilių diferenc.Duota 2 kintum f – ja. Taigi galima rasti diferenc f – jos. F – jos diferencialo diferencialą vad antros eilės diferenc ir žymim d2z= d(dz), d2z= d (zdx/ x+ zdy/ y), d2z= (2zdx/ x2+ 2zdy/ xy) dx+ (2zdx/ xy+ 2zdy/ y2) dy= 2zdx2/ x2+ 22zdxdy/ xy+ 2zdy2/ y2 – f – jos z antros eilės diferencialui rasti. Analogiškai aps aukštesnių eilių diferenc.30. Dviejų K.F. ekstremumai.Duota 2 kintam f – ja z= f(x, y). (brėž 12). Ap. f – ja z= f(x, y) taške M0(x0; y0) turi max jeigu f – jos reikšmė šiame taške yra didžiausia palyginus su jos reikšmėmis įgyjamomis taško M0 aplinkoj. (brėž 13). Ap. f – ja z= f(x; y) taške m0(x0; y0) turi min jeigu f – jos reikšmė šiame taške yra mažiausia palyginus su jos reikšmėmis įgyjamomis taško M0 aplinkoj. F – jos z= f(x; y) maksimumai ir minimumai vad jos ekstremumais, o taškai kuriuose f – ja įgyja ekstremumus vad ekstremumo taškais. Geometriškai f – jos z= f(x; y) ekstremumai reiškia aukščiausias arba žemiausias vietas šios f – jos atvaizduojamame paviršiuje. Nustatysim būtinas sąlygas kurias turi patenkinti f – ja z= f(x, y) kad taškas M0(x0, y0) būtų ekstremumo taškas. Jeigu x laikysim pastoviu x= x0= const, tai į z= f(x, y) galim žiūrėt kaip į vieno kintamojo y f – ją tada šiai vieno kintamojo f – ja f`y(x0, y0)= 0 (1). Analogiškai kai y= y0= const, f`x(x0, y0)= 0 (2). Vadinasi 2 kint f – jai z= f(x, y) turės būti patenkintos sąlygos (1) ir (2). Sist{ f`y(x0, y0)= 0, f`x(x0, y0)= 0 – tai būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga. Vadinasi norėdami rasti ekstrem tašką M0(x0, y0) turėsim išspręstilygčių sistemą { z/x= 0, z/y= 0 išsprendę rasim tašką (x0, y0). Kad rastajame taške (x0, y0)f – ja z= f(x, y) turėtų ekatremumą turėtų būti patenkintos pakankamos sąlygos. F – jos z= f(x, y) antros eilės išvestines aps taške (x0, y0) pažymėkim a11= 2z/x2 |(x0, y0); a12= 2z/xy |(x0; y0); a22= 2z/y2 |(x0; y0) tada 1) jeigu = a11a22–a212 yrateigiamas skaičius, tai f – ja z= f(x, y) taške (x0, y0) turės max, kai a11< 0 (arba a22< 0) ir turės min kai a11> 0 (arba a22> 0). 2) jeigu = a11a22–a212< 0, tai f – ja z= f(x, y) taške (x0, y0) ekstremumų neturi. 3) jeigu = a11a22–a212= 0 tai apie f – jos z= f(x, y) ekstremumo taškus nieko negalime pasakyt ir reikia šį tašką papildomai ištirt. Pvz. rasti ekstrem f – jos z= x3+ y3–15xy, z/x= 3×2–15y, z/y= 3y2–15x, sist{ 3×2–15y= 0, 3y2–15x= 0. Sist{ y= x2/5, x4/25–5x= 0. Sist{ x(x3–125)= 0, y= x3/5. x1= 0, x2= 5; y1= 0, y2= 5. (0; 0) ir (5; 5). Randam 2z/x2= 6x; 2z/y2= 6y; 2z/xy= –15. 1) (0; 0), a11= 2z/x2 |(0;0)= 0, a22= 2z/y2 |(0;0)= 0, a12= 2z/xy |(0;0)= –15. = a11a22–a212= 0.0–(–15)2= –(15)2< 0, f – ja kai (0; 0) ekstrem nėra. 2) (5; 5) a11= 2z/x2 |(5;5)= 30, a22= 2z/y2 |(5;5)= 30, a12= 2z/xy |(5;5)= –15, = 30.30–(–15)2= 0, zmin= z (5; 5)= 53+ 53–15.5.5= –125.Turinys:1. Atvirkštinė funkcija.2. Išreikštinės ir neišreikštinės funkcijos.3. Hiperbolinės funkcijos.4. Parametrinės funkcijos lygtys.5. Funkcijos išvestinė, jos goemetrinė prasmė.6. Funkcijos diferencijuomumas.7. Diferencijavimo taisyklės.8. Sudėtinės funkcijos išvestinė.9. Atvirkštinės funkcijos išvestinė.10. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas.11. Logoritminio diferencijavimo metodas.12. parametrinėm lygtis duotų funkcijų diferencijavimas.13. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema.14. Rolio teorema.15. Koši teorema.16. Lopitalio taisyklė.17. Diferencijalas ir jo sąvybės.18. Diferencijavimo taikymas apytiksliam skaičiavimui.19. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai.20. Bendroji funkcijų tyrimo shema. Funkcijos ekstremumų radimas antros išvestinės pagalba.Kreivės asimptotės.21. Bendros sąvokos kelių kintamųjų funkcijų. 22. Kelių kintamųjų funkcijų riba ir tolydumas.23. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis ir pilnas pokyčiai.24. Kelių kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės.25. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės.26. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis it pilnas diferencialai.27. Sudėtinės funkcijos difereciavimas.28. Neišreikštinių funkcijų diferenciavimas dalinių išvestinių pagalba.29. Kelių kintamųjų funkcijų aukštesnių eilių diferenciavimas.30. Dviejų kintamųjų funkcijų ekstremumai.