I uzdavinys
=102.1Skaičiuosime vidurkį =1/50*102.1=2.04
Skaičiuosime dispersiją S2= =37.37S2=1/50*37.37S2=0.7474
Vidutiniai kvadratiniai nuokrypiaiS= ; S1= S=√0.7474 S=0864
S21= S21=1/49*37.37S21=0.762
S1= S1= S1=0.8733
Kontrolinė suma
2,04+0,74+0,762=3,55
II uždavinysa)
Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Pasirinkę pasikliovimo lygmenįγ=0.99 rasime parametro α pasikliautinąjį intervalą, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ žinomas ir lygus S1, imant su vienu ženklu po kablelio neapvalinant.Parametras a surandamas : ; Standartinio normaliojo skirstinio kritinė reikšmė
imties didumas n=50, vidurkis =2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypis S1=0.8733. Todėl σ =0.8. Tuomet:
= 2.576*0.8/√50δ=0.2914Taigi α pasikliautinasis intervalas 0.01 tikslumu yra (1.749;2.33)
b) Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Pasirinkę pasikliovimo lygmenį γ=0.95 rasime normaliojo skirstinio parametro a pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas, taikydami išraiškas:
; Čia imties didumas n=50, imties vidurkis =2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypis S1=0.8733, Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė :
= = t0,025;49 = 2.010
δ=2.010*0.8733/√50δ=0.248
α pasikliautinasis intervalas 0.01 tikslumu yra: (1.792; 2.288) =2.04-0.248 = 1.792 =2.04+0.248 = 2.288
Dabar rasime pasikliautinąjį intervalą ), kai a nežinomas. Šio intervalo išraiška: ,čia = X20.025;49 = 70.222 = X20.975;49 = 31.555yra X2 skirstinio kritinės reikšmės.Vidutinis kvadratinis nuokrypis S1 = 0.8733.Taigi σ pasikliautinasis intervalas : = (0.736;1.089)
c) Žinoma nedidelė normaliojo atsitiktinio dydžio imtis (I uždavinio 2 pvz.) ir kontrolinė sumaK∑5 = + α + σ = 6.815I uždavinio 2 pavyzdys:Žinoma nedidelė imtis:0.3; 1.7; 2.0; 2.3; 2.5; 2.7; 3.7; 3.8; 3.8; 3.9;4.1; 4.2; 4.3; 4.5; 4.5; 5.4; 5.6; 5.7; 5.9; 7.1; 8.8ir kontrolinė suma =11.34998
Šios imties didumas n=21Imties vidurkis = 1/21*86.8 = 4.133
Skaičiuosime dispersiją S2= = 73.92667S2=1/21* 73.92667S2=3.52
Patikslinta dispersijaS21= S21=1/20*73.92667S21=3.6963
Vidutiniai kvadratiniai nuokrypiaiS= ; S1= S=√3.52 S=1.876
S1= S1=1.922
= 4.133+3.52+3.6963= 11.3493
Pasirinkę pasikliovimo lygmenį γ=0.95, rasime:• parametro α pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas,• parametro σ pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis α nežinomas,Taikykime α pasikliautinąjį intervalą kai σ nežinomas, išraiškas:
;čia imties didumas n= 21, imties vidurkis = 4.133, vidutinis kvadratinis nuokrypis S1=1.922, Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė = = t0,025;20 = 2.086Apskaičiuojame:
δ=2.086*1.922/√20δ=0.8965Taigi α pasikliautinasis intervalas:0.001 tikslumu-(3.237; 5.029)0.01 tikslumu-(3.24; 5.02)
Raskime σ pasikliautinąjį intervalą, kai α nežinomas.Šio intervalo išraiška:
čia X2 skirstinio reikšmės yra: = X20.025;20 = 34.170; = X20.975;20 = 9.591.
Tuomet σ pasikliautinasis intervalas:
0.001 tikslumu-(1.470; 2.775)0.01 tikslumu-(1.47; 2.77)
Skaičiavimo rezultatų patikra:
K∑5 = + α + σ = 2.086+3.24+1.470= 6.796
III uždavinys
Žinoma 50 požymio reikšmių. Atsižvelgę į santykinių dažnių histogramos pavidalą, formuluojame neparametrinę hipotezę H1: X~N(α٫σ) ir ją patikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinsime pagal kontrolines sumas:K∑3= p1+p2+p3=0.738K∑4= + + =2.1745Esame sudarę intervalinę eilutę:
Numeris i Intervalai Dažniai ni1 [0.2; 1.0) 42 [1.0; 1.8) 133 [1.8; 2.6) 234 [2.6; 3.4) 65 [3.4; 4.2] 4∑ 50
Imties vidurkis =2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypis S=0.864Apskaičiuojame ui= ; 0.01 tikslumu:
U1= = ≈ – 1.203U2= = ≈ – 0.277U3= = ≈ 0.648U4= = ≈ 1.574
Randame Laplaso funkcijos reikšmes: – 0.3849 – 0.1064 0.2389 0.4418Apskaičiuojame tikimybes pi. Jos lygios Laplaso funkcijos reikšmių skirtumui: = – 0.3849+0.5= 0.1151 = – 0.1064-(- 0.3849) = 0.2785 = 0.2389-(- 0.1064) = 0.3453 = 0.4418- ( 0.2389) = 0.2029 = 0.5 – 0.4418 = 0.0582
Kontrolinė suma:K∑3= p1+p2+p3= 0.1151+0.2785+0.3453= 0.738
Apskaičiuojame sandaugas n*pi, reiškiančias reikšmių patekimo į i-tąjį intervalą teorinius dažnius, χ2 kriterijaus narius ir χ2skNumeris i Intervalai Dažniai ni pi npi χ2i1 [0.2; 1.0) 4 0.1151 5.755 0.5352 [1.0; 1.8) 13 0.2785 13.925 0.0613 [1.8; 2.6) 23 0.3453 17.265 1.9054 [2.6; 3.4) 6 0.2029 10.145 1.6935 [3.4; 4.2] 4 0.0582 2.91 0.408∑ 50 1 50 4.602
Kontrolinė suma:K∑4= + + =2.501Parikę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir normaliojo skirstinio atveju apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių v= k-r-1= 5-2-1= 2, χ2 skirstinio reikšmių lentelėje randame χ2kr = 5.991 Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H1: X~N(2.04; 0.864)
b)Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos:0.1 1.0 0.5 2.3 2.4 1.8 0.8 0 2.3 1.51.5 1.2 0.9 0.2 2.6 0.5 0.1 4.7 3.6 3.10.5 2.9 1.5 2.6 3.4 2.1 0.3 1.4 0.6 1.91.4 3.1 2.0 4.3 0.6 1.6 0.7 1.9 1.0 2.60.6 1.6 5.0 3.5 0.4 0.9 1.5 0.2 4.3 0.2
K∑1=41K∑2=0.82628K∑3=1.6392Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5:Numeris i Intervalai Dažniai ni Sant. Daž. Wi Aukščiaihi1 [0; 1.0) 18 0.36 0.362 [1.0; 2.0) 14 0.28 0.283 [2.0; 3.0) 9 0.18 0.184 [3.0; 4.0) 5 0.1 0.15 [4.0; 5.0] 4 0.08 0.08∑ 50 1
Pasitikriname dažnius pagal kontrolinę sumą: K∑1=41Apskaičiuojame imties vidurkį ;
= 1/50*85.7 = 1.714Tuomet λ*= 1/ = 0.5834
Atsižvelgę į dažnius arba į histogramos pavidalą, suformuluokime neparametrinę hipotezę H2 :X~ε(0.5834) ir ją patikrinkime, pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.Ieškome tikimybių: = 1-0.557= 0.442 = 0.557-0.311= 0.2456 = 0.311-0.1737= 0.1373 = 0.1737-0.096= 0.0777 = 0.096-0= 0.096Tikriname tikimybes:K∑2= p1+p2+p3= 0.824
Radę tikimybes pi apskaičiuojame npi ir χ2:Numeris i Intervalai Dažniai ni pi npi χ2i1 [0; 1.0) 18 0.442 22.1 0.7606332 [1.0; 2.0) 14 0.2456 12.28 0.2409123 [2.0; 3.0) 9 0.1373 6.865 0.663984 [3.0; 4.0) 5 0.0777 3.885 0.3200065 [4.0; 5.0] 4 0.096 4.8 0.133333∑ 50 1 50 2.118866
Patikriname χ2sk pagal kontroline suma:K∑3= + + = 1.65Taigi χ2s= 2.118
Pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir apskaičiavę rodiklinio skirstinio atveju laisvės laipsnių skaičių v= k-r-1= 5-1-1= 3, χ2 skirstinio reikšmių lentelėje randame χ2kr= 7.815
Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H2: X~ ε(0.5834) priimama.c)Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos:8.5 4.8 7.4 4.1 8.0 3.1 10.7 1.2 2.4 11.27.9 11.2 0.7 11.0 13.2 12.9 6.7 2.1 5.8 1.47.4 12.4 10.5 1.2 13.7 7.5 4.4 7.4 8.0 9.22.9 2.4 10.7 1.7 4.7 5.5 7.8 3.1 9.7 6.75.9 1.2 8.5 12.0 6.4 13.0 12.2 1.6 5.7 1.7
K∑3= n1+n2+n3=33K∑4= + + =2.9Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5:Numeris i Intervalai Dažniai ni Sant. Daž. Wi Aukščiaihi1 [0.7; 3.3) 14 0.28 0.1076922 [3.3; 5.9) 7 0.14 0.0538463 [5.9; 8.5) 12 0.24 0.0923084 [8.5; 11.1) 8 0.16 0.0615385 [11.1; 13.7] 9 0.18 0.069231∑ 50 1 Patikriname dažnius K∑3= n1+n2+n3=33
Brėžiame histograma:
Atsižvelgę i dažnius arba i histogramą suformuluokime neparametrinę hipotezęH3: X~ υ([0.7; 13.7]) ir ją patikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.Tikimybės pi, reiškiančios kad X įgis reikšmę i-tajame intervale, šiuo atveju yra lygios, t.y. pi=0.2 ir npi= 10Todėl:Apskaičiuojame statistikos X2 narius ir gauname χ2skNumeris i Intervalai Dažniai ni pi npi χ2i1 [0.7; 3.3) 14 0.2 10 1.62 [3.3; 5.9) 7 0.2 10 0.93 [5.9; 8.5) 12 0.2 10 0.44 [8.5; 11.1) 8 0.2 10 0.45 [11.1; 13.7] 9 0.2 10 0.1∑ 50 1 50 3.4Patikriname X2 narius pagal kontrolinę sumąK∑4= + + =2.9
Pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių v=k-r-1 = 5-2-1= 2 nustatome χ2kr = 5.991. Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H3: X~ υ([0.7; 13.7]) yra priimama.
d)Tarkime, kad diskrečiojo a. d. X reikšmės ir jų dažniai yra:xi 0 1 2 3 4 5 6 7ni 5 14 30 31 33 25 12 18
Kontrolinės sumos:K∑1= 0.2850K∑2= 0.3844Rasime Puansono skirstinio ρ(λ) nežinomo parametro λ=EX įvertį : =1/168(5*0+14*1+30*2+31*3+33*4+25*5+12*6+18*7) =3.702Tuomet formuluojame hipotezę H3: X~ ρ(3.702)Apskaičiuojame tikimybes: ; i= 0,1,2,3,4,5,6. = 0.0246
= 0.091 = 0.168 = 0.208 = 0.192 = 0.142 = 0.0879Siekdami, kad tikimybių suma butų lygi 1, paskutinę tikimybę skaičiuojame taip: = 1-0.0246+0.091+0.168+0.208+0.192+0.142+0.0879= 0.0865Gautas tikimybes patikriname.K∑1= p0+p1+p2 0.284
i=xi ni pi npi χ2i0 5 0.0246 4.1328 0.1819681 14 0.091 15.288 0.1085132 30 0.168 28.224 0.1117553 31 0.208 34.944 0.4451454 33 0.192 32.256 0.0171615 25 0.142 23.856 0.054866 12 0.0879 14.7672 0.5185417 18 0.0865 14.532 0.827623∑ 168 2.265565
Patikriname X2 narius pagal kontrolinę sumąK∑4= + + =0,391Gauname χ2sk 2.265Kai α= 0.05, ir apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių v=k-r-1 = 8-1-1= 6 nustatome χ2kr = 12.592Toliau tikriname, ar χ2sk 2.265 patenka į kritinę sritį [12,592;+∞). Matome, kad patenka. Todėl hipotezę, kad atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal Puansono skirstinį.
IV Uždavinys
a)Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių, α0 ir σ. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis; σ lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant. Patikrinkime parametrinę hipotezę H0 : α= α0, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.01 ir dvi alternatyviąsias hipotezes. Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant standartinį normalųjį reikšmingumo kriterijų
;Esame gavę imties vidurkį =2.04, vidutinį kvadratinį nuokrypį S1=0.8733Todėl α0=2, σ=0.8.Apskaičiuojame kriterijaus U reikšmę Usk = 0.353Iš pradžių parenkama bendroji alternatyva Ha= α≠ α0.Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis: = (-∞;-2.576]U[2.576; +∞)Matome, kad paskaičiuota Usk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.Kadangi galioja nelygybė > α0, dar parenkama alternatyvioji hipotezė H0 : α> α0.Šiuo atveju taikoma vienpusė kairioji dešinioji sritis:[Ua; +∞)= [2.327; +∞)Matome, kad paskaičiuota Usk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.b)Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X ~N(α٫σ). Jo parametrai α ir σ nežinomi. Turime 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Esame gavę imties vidurkį =2.04, vidutinį kvadratinį nuokrypį S1=0.8733. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis, todėl α0=2 σ0 lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant, ir plius 0.2 todėl σ0 lygus 1.0.Patikrinkime dvi nulines hipotezes:H0 : α= α0 H0 : σ= σ0,Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir dvi alternatyviąsias hipotezes.Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant Stjūdento reikšmingumo kriterijų
Tsk=0.324
Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha:α≠ α0.Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis: = (-∞;-2.010]U[2.010; +∞).
Matome, kad paskaičiuota Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.Kadangi galioja nelygybė > α0, dar parenkama alternatyvioji hipotezė H0 : α> α0. Šiuo atveju taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis: [ta; +∞)= [1.677; +∞)Matome, kad paskaičiuota Tsk nepatenka į KS. Todėl H0 : α= α0 priimama.Hipotezė H0 : σ= σ0, tikrinama taikant χ2 kriterijų C(n-1).Apskaičiuojame χ2sk = 37.369Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0 : σ≠σ0Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis: =(0; 31.555]U[70.222; +∞).Matome, kad paskaičiuota χ2sk nepatenka į KS, nors yra netoli nuo 31.555. Todėl nulinė hipotezė H0 priimama, bet eksperimentą geriau pakartoti.Esame gavę S1=0.8733 ir pastebime kad galioja nelygybė S1< σ0 ir taikoma vienpusė kairioji kritinė sritis: = (0; 33.930]šiuo atveju χ2sk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.
c)Žinoma nedidelė imtis n=18 α0 ir σ. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis; σ lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant plius 0.2.
Patikrinkime dvi nulines parametrines hipotezes:H0 : α= α0 H0 : σ= σ0,Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir dvi alternatyviąsias hipotezes.Esame gavę kad = 4.133 ir S1=1.922Todėl :α0 =4, σ =2.1Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant Stjūdento reikšmingumo kriterijų.Apskaičiuojame Tsk= 0.489Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha:α≠ α0.Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis: = (-∞;-2.010]U[2.010; +∞).
Matome, kad paskaičiuota Stjūdento statistikos reikšmė Tsk= 0.489 nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.Kadangi galioja nelygybė > α0, parenkama alternatyvioji hipotezė Ha : α> α0. Šiuo atveju taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis: [ta; +∞)= [1.740; +∞)Matome, kad paskaičiuota Tsk= 0.489 nepatenka į KS. Todėl H0 : α= α0 priimama.
Hipotezė H0 : σ= σ0, tikrinama, taikant χ2 reikšmingumo kriterijų C(n-1).Žinome, kad S21=3.6963.Todėl χ2sk = 14.247Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0 : σ≠σ0Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:KS= =(0; 7.564]U[30.191; +∞).Matome, kad paskaičiuota χ2sk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 priimama.Kadangi galioja nelygybė S1< σ0, tai parenkama alternatyvioji hipotezė Ha : σ< σ0, ir taikoma vienpusė kairioji kritinė sritis: = (0; 8.672]matome, kad ir šiuo atveju χ2sk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 priimama.
V Uždavinys
Žinomos dviejų normaliųjų atsitiktinių dydžių X~N(ax, σx), Y~N(ay, σy)imtys:X 3.1 4.8 5.1 5.2 5.4 5.6 6.6 6.8 8.5Y 3.5 4.1 4.7 4.9 5.0 5.1 5.4 5.9 6.5ir kontrolinės sumos:
K∑1= 9.364 K∑2= 6.652
Iš pradžių apskaičiuojame imčių skaitines charakteristikas:Šios imties X didumas n=9 = 1/9*51.1 = 5.677 = 18.135
S2=1/9* 18.135S2=2.015S= ; S=√2.015 S=1.419
S21= S21=1/8*18.135S21=2.266
Šios imties Y didumas n=9 = 1/9*45.1 = 5.011 = 6.388
S2=1/9* 6.388S2=0.709S= ; S=√0.709 S=0.842S21= S21=1/8*6.388S21=0.7985
Gauname: = 5.677; S21x=2.266; Sx=1.419 = 5.011; S21y=0.7985; Sy=0.842Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05, patikrinkime parametrinę hipotezę:H0: σx=σy, kai axir ay nežinomi.Šiuo atveju taikomas Fišerio kriterijus F= (F≥1). Apskaičiuojame jo reikšmę Fsk=2.837Kai žinomas reikšmingumo lygmuo α ir patikrinta alternatyvioji hipotezė Ha: σx> σy, Fišerio skirstinio kritinių reikšmių lentelėje randama Fkr= fa; n-1; n-1=3.4381Tuomet kritinė sritis KS = [3.4381; +∞)
Matome, kad apskaičiuotoji statistikos F reikšmė Fsk nepatenka į kritinę sritį, todėl nulinė hipotezė priimama. Taigi atsitiktinių dydžių X ir Y vidutiniai kvadratiniai nuokrypiai lygūs: σx=σyParinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 tikriname nulinę hipotezę H0: α x= α y, taikydami Stjūdento reikšmingumo kriterijų: = 1.141Gavome Tsk= 1.141Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0: α x≠ α y. Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:
= (-∞;-2.120]U[2.120; +∞).
Matome, kad apskaičiuotoji Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 priimama. Kadangi galioja nelygybė , dar parenkama alternatyvioji hipotezė Ha: ax>ay, ir taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis:[ta; 2n-2; +∞)= [1.746; +∞)Ir šiuo atveju apskaičiuotoji Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 priimama.
VI UždavinysApskaičiuokime imties koreliacijos koeficientą r ir raskime regresijos tiesės lygtį x= a0+ a1x
Iš 5 uždavinio esam gavę: = 5.677 Sx=1.419 = 5.011 Sy=0.842Apskaičiuojame sandaugų vidurkį: =29.616Taigi r = = 0.978Be to apskaičiuojame:a1= r*Sy/Sx= 0.58, a0= – a1* =1.718Tuomet regresijos tiesės lygtis: x= 1.718+0.58xParikę pasikliovimo lygmenį γ= 0.95, raskime koreliacijos koeficiento p pasikliautinąjį intervalą taikydami jo išraišką: thz1