Matematinė analizė 2004-01-11
1. Teiloro formule. 12. Lokalūs ekstremumai. 13. Iškilosios f-jos. 24. Funkcijos be antros rūšies trūkių 25.Neapibrėžtinis integralas. 26. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas. 37. Apibrėžtinis integralas 38. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės. 39. Integralo egzistavimas ir apibrėžumo korektiškumas. 410. Niutono-Leibnico formulė 411. Kintamojo keitimo formulė 4Integravimo dalimis formulė 512. Rymano integralas 513. Baigtines variacijos f-ja 514 Styltjeso integralas 515. Netiesioginis integralas 616. Netiesioginių integralų palyginimo teorema 617. Konvergavimas 618. Integralinis eilučių konvergavimo požymis 619. Nulinio mato aibė 620. Skaičių eilutės suma 621. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojanti sk. eilutė 722. Koši požymis 723. Dalambero požymis 724. Leibnico požymis 71. Teiloro formule.F-ja f(x) keiciam paprastesne (polinomas) – atsiranda paklaida. Q(x)=a0+a1x+..+anxn. Skleidziam f-ja fiksuoto tasko x0 aplinkoje. Q(x)=b0+b1(x-x0)+..+bn(x-x0)n. Ieskome k-osios eiles isvestines:Q’(x)=b1+2b2(x-x0)+..+nbn(x-x0)n-1; Q(n)(x)=k!bk+(k+1)k(k-1)…2(x-x0)+..+(k+2)(k+1)…3(x-x0)2+… paeme paskutineje lygybeje x=x0, gauname lygybe Q(k)(x0) =k!bk, t.y. ak= Q(k)(x0)/k!, k=0,1,2,…,n; Taigi polinomo Q skleidimo (x-x0) laipsniais koeficientai bk isreiskiami per to polinomo isvstiniu taske x0 reiksmes. Istate gauname: Q(x)=Q(x0)+Q’(x0)(x- x0)/1!+Q’’(x0)(x- x0)2/2!+…+Q(n)( x0)(x- x0)n/n! – Teiloro formule polinomams. Jei f yra bet kokia n kartu diferencijuojama taske x0 f-ja, tai pazymeje rn(x)=f(x)- (f(x0)+f’(x0)(x- x0)/1!+f’’(x0)(x- x0)2/2!+…+f(n)( x0)(x- x0)n/n!) gauname: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x- x0)/1!+f’’(x0)(x- x0)2/2!+…+f(n)( x0)(x- x0)n/n!+rn(x) – funkcijos f Teiloro formule tasko x0 aplinkoje, rn(x)-liekamasis narys.Teioro teorema: jei f-ja f yra n+1 kart1 diferencijuojama kokiame nors intervale (a,b), taskai x0 ir x priklauso siam intervalui ir x≠x0 Tai egzistuoja toks taskas c(x0, x) (jei x2. Lokalūs ekstremumai.
Ap. Taškas x0A vad. f lokalaus maksimumo tašku, jei yra tokia taško aplinka VA, kad f(x)≤f (x0) xV.Taškas x0 vad. lokalaus minimumo tašku, jei yra tokia taško aplinka VA, kad f(x)≥f (x0) xV. Lok. Maksimumo ir lok. minimumo taškai vad. lok. ekstremumo taškais. Būtina diferencijuojamos f-jos egzistavimo sąlyga: jei x0 yra yra diferencijuojamos taške x0 funkcijos lokalaus ekstremumo tšk, tai f'(x0)=0.Pakankamumas lok ekstrem. egzistavimui teor.Tegu tokia taško x0 aplinka V, kur f diferencijuojama ir f‘(x0)=0. Tada1)jei f'(x)0 x< x0 iš V ir f'(x)0 x> x0 iš V, tai x0 yra f lokalus max tšk.2)jei f'(x)0 x< x0 iš V ir f'(x)0 x> x0 iš V, tai x0 yra f lokalus min tšk.3) jei f'(x)>0 x x0 iš V ir f'(x)<0 x x0 iš V, tai x0 nėra f lokalus ekstremumo tšk.2 teor. Cn (A), AR tai aibė f-jų, tolydžiai diferencijuojamų n kartų. Tegu kokioje nors taško x0 aplinkoje V f-ja fCn(V), f'(x0) =f”(x0)=…=f n-1(x0)=0 ir fn0 , tada 1)jei n-lyginis sk. ir fn>0, tai x0 yra f-jos f minimumo tšk.2) jei n-lyginis sk. ir fn<0, tai x0 yra f-jos f minimumo tšk.3) jei n-nelyginis sk. tai taške x0 ekstremumo nėra.3. Iškilosios f-jos. Ap. F-ja f vad. iškiląja intervale I, jei bet kuriems trims to intervalo taškams x1,x,x2I, x10, tai yra tokia tšk x0 aplinka (x0-r, x0+r), kur f iškila.Ap. Taškas x0 vad. tolydžios šiame tšk f-jos vingio tašku, jei toks >0, kad int.( x0-, x0) ir (x0, x0+) ƒ yra iškila į priešingas puses.4 teor. Jei x0 f-jos f vingio tšk ir f du kartus diferencijuojama tšk x0, tai ƒ”(x)=05 teor. Jei ƒ”(x)=0 ir ƒ”’ (x)≠0, tai x0-vingio tšk., kai f tšk x0 3 kartus diferencijuojama.4. Funkcijos be antros rūšies trūkiųAp: Funkcija ƒ tolydi taške x0 I, jei f(x) = f(x0) 1 rūšies trūkio taškas: baigtinės ribos f(x0+) ir f(x0-);2 rūšies trūkio taškas: visi kiti atvejai.Ap. F-jos, kurios neturi 2 rūšies trūkio taškų vadinamos reguliariomis. Žym.: D[a,b] – reguliariųjų f-jų apibrėžtų intervale [a,b] klasė.Ap: Funkcija φ:[a,b]→R vadinama laiptine f-ja, jei intervalą [a,b] galima taip suskaidyti į baigtinį skaičių intervalų Ik, k = 1, 2, …, m ( ), kad kiekviename intervale Ik funkcija φ būtų pastovi (t.y. ck R, k = 1, 2, …, m : φ(x) = ck, kai x Ik). Žym.: S[a,b] – laiptinių f-jų klasė.5.Neapibrėžtinis integralas.Ap. F: IR vad pirmykšte f f-ja int I, jei F'(x)=f(x), xI.Teig1. Jei F1 ir F2 yra pirmykštės f int I, tai F1-F2 pastovi f-ja(konstanta).Teig2.Jei F pirmykštė f int I, tai F+c pirmykštė f int I, cR.Ap. F-jos f: IR neapibrėžtiniu integralu vad. f visų pirmykščių f-jų klasę.žym. f(x)dx=F+c,cR.Savybės. F: IR, g: IR, tada1)tiesiškumas ,R (ƒ+g)dx=ƒdx+gdx, jei ƒdx ir gdx2)Kint. keitimas( dif. f-ja) ƒdx = F+c ƒ((t))(t)dt=F((t)+c3) Integravimas dalim: g(x)f(x)dx=g(x)f(x)- g(x)f(x)dx6. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas.Teig: Sakykime, f C[a,b]. Apibrėžkime laiptinių f-jų seką {φn} lygygbėmis: k=0, 1, 2, …, n. Tada intervale [a,b], t.y. seka {φn} konverguoja į f tolygiai intervale [a,b].Teor: 1) Bet kokiai f-jai f D[a,b] egzistuoja laiptinių f-jų seka {φn} S[a,b], konverguojanti į f tolygiai intervale [a,b] ( ).2) Kiekvienos f-jos f D[a,b] trūkio taškų aibė yra baigtinė arba skaiti.3) Kiekviena f-ja f D[a,b] yra aprėžta.7. Apibrėžtinis integralasAp: Tarkime, kad laiptinės funkcijos {φn} S[a,b] reikšmė intervale Ik yra yk, k = 1, 2, …, n ( ). Funkcijos φ (apibrėžtiniu) integralu intervale [a,b] vadinama suma (|Ik| – intervalo Ik ilgis). Žym.: .Ap: (Integralo apibrėžimo korektiškumas) Funkcijos {φn} S[a,b] integralo reikšmė nepriklauso nuo intervalo [a,b] skaidinio funkcijos φ pastovumo intervalais. Įr. Tarkime, kad turime du intervalo [a,b] skaidinius {Ak, k =1, 2, …, n} ir {Bj, j = 1, 2, …, m}. ( ; Ak∩Ak‘ = ǿ, kai k ≠ k‘; Bj∩Bj‘ = ǿ, kai j ≠ j‘); be to, φ(x) = yk, kai x Ak ir φ(x) = ŷj, kai x Bj. Tada yk = φ(x) = ŷj, jei x Ak∩Bj ≠ ǿ. Be to, |Ak| = ∑mj=1|Ak∩Bj|, nes Ak = , ir analogiškai |Bj| = ∑nk=1|Ak∩Bj|, nes Bj = (laikome, kad |ǿ| = 0). Todėl Trečioje lygybėje pasirėmėme tuo, kad arba yk = ŷj, arba |Ak∩Bj| = 0, ir todėl visada yk|Ak∩Bj| = ŷj|Ak∩Bj|8. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės.1) (Tiesiškumas) Jei f, g S[a, b], , R, tai ab (f + g) = abf + abg;2) (Adityvumas) Jei f S[a, b], a9. Integralo egzistavimas ir apibrėžumo korektiškumas.Ap: Funkcijos f D[a, b] integralu intervale [a,b] vadinama riba čia {φn} – bet kokia laiptinių f-jų seka, konverguojanti tolygiai intervale [a,b] į f-ją f.Įr: pagal apibrėžimą , kai n>N . ar konverguoja. Pagal košį riterijų:Įrodėm (pagal košį kriterijų), kad skaiciu seka turi ribą (šiuo atveju integralų seka)Korektiškumas konstruojama nauja laiptinių funkcijų seka: ; – irgi konverguos (pagal integralo egzistavimą ir tai kad ) jei paimsime posekius: = jei seka konverguoja tai ir jos posekiai konverguoja ir plius į tą patį skaičių.10. Niutono-Leibnico formulė
Jei F yra f-jos pimykštė f-ja intervale [a,b], tai abf (x)dx=F(b)-F(a)11. Kintamojo keitimo formulėTeig: Tarkime f-ja f ( ir ) turi tolydžią išvestinę intervale [,] , Tada Įr: =F(b)-F(a)= =F(φ(t))| = a∫bF’(φ(t))φ’(t)dt = a∫bf(φ(t))φ’(t)dtIntegravimo dalimis formulėTeig: Jei f, g C[a, b] (tolydžiai diferencijuojamoms intervale [a,b] f-joms), tai a∫bf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)|ba – a∫bg(x)f’(x)dx.Įr: Kadangi fg yra f-jos (fg)‘ pirmykštė f-ja, tai iš NL formulės gauname: f(x)g(x)|ba = a∫b(f(x)g(x))’dx = a∫bf(x)g’(x)dx + a∫bg(x)f’(x)dx.12. Rymano integralasIntervalo [a,b] skaidiniu vadinsime bet kokią baigtinę to intervalo taškų aibę P = {x0, x1,…,xn} tarp kurios elementų yra ir to intervalo galai.a = x0< x1<…< xn = b. Skaidinio P intervalai [xi-1, xi], i= 1,…,n.|P| = max{|xi, xi-1|: i= 1,…,n}-skaidinio P diametras.Tarpiniai skaidiniai: γ = (γ 1,…, γ n}, Kur γ [xi-1, xi], i= 1,…,n. Funkcijos f:[a,b] R Rymano integraline suma, atitinkančia skaidinį P ir jo tarpinį skaidinį γ, vadinamas skaičiusRašom: Sav: f R[a,b] yra aprėžta f-ja.Jei R[a,b] , tai f R[a,b] ir (R)a∫bfn(R)a∫bf.Teor.: D[a,b] R[a,b] ir su fD[a,b]13. Baigtines variacijos f-jaF-jos f: [a,b]→R (pilnaja) variacija intervale [a,b] vad. skaicius: V(f;a,b):=sup∑i|f(xi)-f(xi-1)|. F-ja vad. baigtines variacijos f-ja, jei jos pilnoji variacija baigtine. Teiginiai: 1) Jei f-ja f galima isreiksti dvieju didejanciu f-ju skirtumu, t.y. f=f1-f2, tai f-ja yra bagtines variacijos. 2) Jei f-ja turi aprezta isvestine int. [a,b], isskyrus galbut baigtini 1-ojo tipo trukio tasku skaiciu, tada f-ja baigtines variacijos. Atskiru atveju f€C’[a,b] yra baigtines variacijos ir V(f)=a∫b|f’(x)|dx.14 Styltjeso integralas
F-jos f€S[a,b] Styltjeso integralu f-jos g€V[a,b] atzvilgiu vad. skaicius a∫bf(x)dg(x):=∑kn-1fk(g(xk+1)-g(xk)), kur fk-f-jos f reiksme jos pastovumo intervale Ik. F-jos f€D[a,b] Styltjeso integralu f-jos g€V[a,b] atzvilgiu vad. skaicius a∫bf(x)dg(x):=limn→∞a∫bφn(x)dg(x), kur φn – laiptiniu f-ju seka, konverguojanti tolygiai i f.15. Netiesioginis integralasTegu fD[a,b) Tada f-jos netiesioginis integralas-skaicius limc→b-a∫cf(x)dx:=(NI)a∫bf(x)dx. Jei fD(a,b]: (NI)a∫bf(x)dx:= limc→a+c∫bf(x)dx. Jei fD(a,b): a∫bf(x)dx:=a∫cf(x)dx+c∫bf(x)dx. Integralų pvz: a∫bdx/(b-x)p, 0∫+∞e-xdx, 1∫+∞dx/xp.16. Netiesioginių integralų palyginimo teoremaTarkim f,g D[a,b)1) 0f(x) g(x); x[a,b).Tada: , arba 2) f0; g0; . Tada: , o jei M(0;+), tai17. KonvergavimasAp: F-jos f D[a,b) (-18. Integralinis eilučių konvergavimo požymisTeorema: Tarkime f:[1,+∞)→[0,+ ∞) f- mazejaTada begalinė eilute diverg arba konverg kartuIrodymas: f(n+1)≤f(x)19. Nulinio mato aibėN – Nulinio mato aibė jei >0 {Ii}, N Ii : | Ii | < Čia Ii intervalų sistema.20. Skaičių eilutės sumaSkaičių eilutė yra suma a1+a2+a3+…=k=1akDalinė eilutės suma yra Sn=k=1 nak (pirmų n elementų)Jei dalinių sumų seka konverguoja, tai ir eilutė konverguoja (SnS kai n), jei limnSn arba dalinių sekų riba yra begalinė tai eilutė nekonverguoja.Būtinoji eilutės konvergavimo sąlyga: Jei skaičių eilutė k=1ak konverguoja tai skaičių seka an, sudaryta iš eilutės narių, konverguoja į 0: an0 kai nĮrodymas: an = Sn – Sn-1 (eilutės narį išreiškiame per eilutę). Kai n tai an = Sn – Sn-1 S – S = 0. Įrodyta.21. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojanti sk. eilutėEilutė ak konverguoja absoliučiai jei |ak | irgi konverguoja. Pvz: xn/n kai -122. Koši požymisTeor: Jei , tai a1+a2+…+an+… absoliučiai konverguoja, o jeigu , tai a1+a2+…+an+… absoliučiai diverguoja.Įr: Pažymėkime q= . Jeigu q<1, tai egzistuoja toks skaičius , kad q<<1. Pagal viršutinės ribos apibrėžimą ir ribų savybes egzistuoja toks NN, kad <, ir todėl |an|<n, jei n>N. Tai reiškia, kad eilutės |a1|+| a2|+…+| an|+… nariai yra mažesni už geometrinės progresijos (n) su vardikliu , 0<<1, narius, todėl eilutė |a1|+| a2|+…+| an|+… konverguoja, taigi eilutė a1+a2+…+an+…konverguoja absoliučiai. Jei q>1, tai egzistuoja sekos ( ) posekis ( ), kad >1 visiems k>N, taigi ir |ank|>1, jei k>N ir todėl an-/0, t.y. nepatenkinta būtina eilutės a1+a2+…+an+… konvergavimo sąlyga, taigi eilutė diverguoja.23. Dalambero požymisTeor: Jeigu <1, tai eilutė a1+a2+…+an+… absoliučiai konverguoja, o jeigu >1, tai eilutė a1+a2+…+an+… diverguoja.Įr: Pažymėkime q= . Jei q<1 ir q<<1, tai egzistuoja toks NN, kad <, jei n>N. Kadangi eilutės konvergavimas nepriklauso nuo jos pirmųjų N narių, tai galima laikyti, kad < visiems nN. Tada |an+1|<|an|<2|an-1|<…<n|a1|, nN, taigi eilutės |a1|+| a2|+…+| an|+… nariai yra mažesni už geometrinės progresijos (n|a1|) su vardikliu , 0<<1, narius, todėl eilutė |a1|+| a2|+…+| an|+… konverguoja. Sakykime, >1, t.y. egzistuoja toks NN, kad |an+1|>|an|, jei n>N, todėl seka |aN+1|, |aN+2|, … didėja ir todėl lim |an| |aN+1| > 0. Taigi an-/0, todėl eilutė a1+a2+…+an+… diverguoja.24. Leibnico požymisTeor: Jei teigiamų skaičių seka (an) mažėja ir lim an=0, tai eilutė a1-a2+a3-a4+… konverguoja.Įr: Panagrinėkime eilutės a1-a2+a3-a4+… lyginių numerių dalinių sumų S2n, nN, seką. S2n=(a1-a2)+…+(a2n-1-a2n)(a1-a2)+…+(a2n-1-a2n)+(a2n+1-a2n+2)=S2n+2,nes a2n+1 a2n+2, todėl seka (S2n) didėja. Be to, S2n= a1-( a2-a3)-…-(a2n-2-a2n-1)-a2na1,Todėl seka (S2n) aprėžta iš viršaus. Aprėžta iš viršaus didėjanti skaičių seka turi baigtinę ribą, todėl egzistuoja baigtinė riba S=lim S2n. Tada lim S2n+1 = lim (S2n+a2n+1) = S, nes an0. Taigi sekos (S2n) ir (S2n+1) turi tą pačią baigtinę ribą S. Tada iš sekos ribos apibrėžimo išplaukia, kad ir seka (S2n) turi tą pačią ribą. Iš tikrųjų, jei >0, tai egzistuoja tokie N1N ir N2N, kad |S2n-S|<, jei 2n+1>N2. Tada |Sk-S|< visiems k>max(N1,N2), o tai ir reiškia, kad SkS.25. Eilučių narių perstatymas1) a1+a2+a3+… : N N (bijekcija)2) a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+… (1)=3, (4)=1Dirclė teorema: Jei 1eil. konverguos absoliučiai ir suma = S, tai 2eil konverguos ir suma = SRymano teorema: Jei 1eil konverguoja reliatyviai, tai cR{-;+} , kad 2eil konverguoja ir yra lygi c