Matematinės analizės egzamino špargalkė

Matematinė analizė 2004-01-11

1. Teiloro formule. 1
2. Lokalūs ekstremumai. 1
3. Iškilosios f-jos. 2
4. Funkcijos be antros rūšies trūkių 2
5.Neapibrėžtinis integralas. 2
6. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas. 3
7. Apibrėžtinis integralas 3
8. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės. 3
9. Integralo egzistavimas ir apibrėžumo korektiškumas. 4
10. Niutono-Leibnico formulė 4
11. Kintamojo keitimo formulė 4
Integravimo dalimis formulė 5
12. Rymano integralas 5
13. Baigtines variacijos f-ja 5
14 Styltjeso integralas 5
15. Netiesioginis integralas 6
16. Netiesioginių integralų palyginimo teorema 6
17. Konvergavimas 6
18. Integralinis eilučių konvergavimo požymis 6
19. Nulinio mato aibė 6
20. Skaičių eilutės suma 6
21. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojanti sk. eilutė 7
22. Koši požymis 7
23. Dalambero požymis 7
24. Leibnico požymis 71. Teiloro formule.
F-ja f(x) keiciam paprastesne (polinomas) – atsiranda paklaida. Q(x)=a0+a1x+..+anxn. Skleidziam f-ja fiksuoto tasko x0 aplinkoje. Q(x)=b0+b1(x-x0)+..+bn(x-x0)n. Ieskome k-osios eiles isvestines:Q’(x)=b1+2b2(x-x0)+..+nbn(x-x0)n-1; Q(n)(x)=k!bk+(k+1)k(k-1).2(x-x0)+..+(k+2)(k+1).3(x-x0)2+. paeme paskutineje lygybeje x=x0, gauname lygybe Q(k)(x0) =k!bk, t..y. ak= Q(k)(x0)/k!, k=0,1,2,.,n; Taigi polinomo Q skleidimo (x-x0) laipsniais koeficientai bk isreiskiami per to polinomo isvstiniu taske x0 reiksmes. Istate gauname: Q(x)=Q(x0)+Q’(x0)(x- x0)/1!+Q’’(x0)(x- x0)2/2!+.+Q(n)( x0)(x- x0)n/n! – Teiloro formule polinomams. Jei f yra bet kokia n kartu diferencijuojama taske x0 f-ja, tai pazymeje rn(x)=f(x)- (f(x0)+f’(x0)(x- x0)/1!+f’’(x0)(x- x0)2/2!+.+f(n)( x0)(x- x0)n/n!) gauname: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x- x0)/1!+f’’(x0)(x- x0)2/2!+.+f(n)( x0)(x- x0)n/n!+rn(x) – funkcijos f Teiloro formule tasko x0 aplinkoje, rn(x)-liekamasis narys.
Teioro teorema: jei f-ja f yra n+1 kart1 diferencijuojama kokiame nors intervale (a,b), taskai x0 ir x prriklauso siam intervalui ir x≠x0 Tai egzistuoja toks taskas c(x0, x) (jei x2. Lokalūs ekstremumai.
Ap. Taškas x0A vad. f lokalaus maksimumo tašku, jei yra tokia taško aplinka VA, kad f(x)≤f (x0)  xV.Taškas x0 vad. lokalaus minimumo tašku, jei yra tokia ta

aško aplinka VA, kad f(x)≥f (x0)  xV. Lok. Maksimumo ir lok. minimumo taškai vad. lok. ekstremumo taškais.
Būtina diferencijuojamos f-jos egzistavimo sąlyga: jei x0 yra yra diferencijuojamos taške x0 funkcijos lokalaus ekstremumo tšk, tai f'(x0)=0.
Pakankamumas lok ekstrem. egzistavimui teor.Tegu  tokia taško x0 aplinka V, kur f diferencijuojama ir f‘(x0)=0. Tada
1)jei f'(x)0  x< x0 iš V ir f'(x)0  x> x0 iš V, tai x0 yra f lokalus max tšk.
2)jei f'(x)0  x< x0 iš V ir f'(x)0  x> x0 iš V, tai x0 yra f lokalus min tšk.
3) jei f'(x)>0  x x0 iš V ir f'(x)<0  x x0 iš V, tai x0 nėra f lokalus ekstremumo tšk.
2 teor. Cn (A), AR tai aibė f-jų, tolydžiai diferencijuojamų n kartų. Tegu kokioje nors taško x0 aplinkoje V f-ja fCn(V), f'(x0) =f”(x0)=.=f n-1(x0)=0 ir fn0 , tada
1)jei n-lyginis sk. ir fn>0, tai x0 yra f-jos f minimumo tšk.
2) jei n-lyginis sk. ir fn<0, tai x0 yra f-jos f minimumo tšk.
3) jei n-nelyginis sk. tai taške x0 ekstremumo nėra.3. Iškilosios f-jos.
Ap. F-ja f vad. iškiląja intervale I, jei bet kuriems trims to intervalo taškams x1,x,x2I, x10, tai yra tokia tšk x0 aplinka (x0-r, x0+r), kur f iškila.
Ap. Taškas x0 vad. tolydžios šiame tšk f-jos vingio tašku, jei  toks >0, ka
ad int.( x0-, x0) ir (x0, x0+) ƒ yra iškila į priešingas puses.
4 teor. Jei x0 f-jos f vingio tšk ir f du kartus diferencijuojama tšk x0, tai ƒ”(x)=0
5 teor. Jei ƒ”(x)=0 ir ƒ”’ (x)≠0, tai x0-vingio tšk., kai f tšk x0 3 kartus diferencijuojama.4. Funkcijos be antros rūšies trūkių
Ap: Funkcija ƒ tolydi taške x0 I, jei f(x) = f(x0)
1 rūšies trūkio taškas: baigtinės ribos f(x0+) ir f(x0-);
2 rūšies trūkio taškas: visi kiti atvejai.
Ap. F-jos, kurios neturi 2 rūšies trūkio taškų vadinamos reguliariomis. Žym.: D[a,b] – reguliariųjų f-jų apibrėžtų intervale [a,b] klasė.
Ap: Funkcija φ:[a,b]→R vadinama laiptine f-ja, jei intervalą [a,b] galima taip suskaidyti į baigtinį skaičių intervalų Ik, k = 1, 2, ., m ( ), kad kiekviename intervale Ik funkcija φ būtų pastovi (t.y. ck R, k = 1, 2, ., m : φ(x) = ck, kai x Ik). Žym.: S[a,b] – laiptinių f-jų klasė.5.Neapibrėžtinis integralas.
Ap. F: IR vad pirmykšte f f-ja int I, jei F'(x)=f(x), xI.
Teig1. Jei F1 ir F2 yra pirmykštės f int I, tai F1-F2 pastovi f-ja(konstanta).
Teig2.Jei F pirmykštė f int I, tai F+c pirmykštė f int I, cR.
Ap. F-jos f: IR neapibrėžtiniu integralu vad. f visų pirmykščių f-jų klasę.žym. f(x)dx=F+c,cR.
Savybės. F: IR, g: IR, tada
1)tiesiškumas ,R (ƒ+g)dx=ƒdx+gdx, jei  ƒdx ir gdx
2)Kint. keitimas( dif. f-ja) ƒdx = F+c ƒ((t))(t)dt=F((t)+c
3) Integravimas dalim: g(x)f(x)dx=g(x)f(x)- g(x)f(x)dx6. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas.
Teig: Sakykime, f C[a,b]. Apibrėžkime laiptinių f-jų seką {φ
φn} lygygbėmis: k=0, 1, 2, ., n. Tada intervale [a,b], t.y. seka {φn} konverguoja į f tolygiai intervale [a,b].
Teor: 1) Bet kokiai f-jai f D[a,b] egzistuoja laiptinių f-jų seka {φn} S[a,b], konverguojanti į f tolygiai intervale [a,b] ( ).
2) Kiekvienos f-jos f D[a,b] trūkio taškų aibė yra baigtinė arba skaiti.
3) Kiekviena f-ja f D[a,b] yra aprėžta.7. Apibrėžtinis integralas
Ap: Tarkime, kad laiptinės funkcijos {φn} S[a,b] reikšmė intervale Ik yra yk, k = 1, 2, ., n ( ). Funkcijos φ (apibrėžtiniu) integralu intervale [a,b] vadinama suma (|Ik| – intervalo Ik ilgis). Žym.: .
Ap: (Integralo apibrėžimo korektiškumas) Funkcijos {φn} S[a,b] integralo reikšmė nepriklauso nuo intervalo [a,b] skaidinio funkcijos φ pastovumo intervalais.
Įr. Tarkime, kad turime du intervalo [a,b] skaidinius {Ak, k =1, 2, ., n} ir {Bj, j = 1, 2, ., m}. ( ; Ak∩Ak‘ = ǿ, kai k ≠ k‘; Bj∩Bj‘ = ǿ, kai j ≠ j‘); be to, φ(x) = yk, kai x Ak ir φ(x) = ŷj, kai x Bj. Tada yk = φ(x) = ŷj, jei x Ak∩Bj ≠ ǿ. Be to, |Ak| = ∑mj=1|Ak∩Bj|, nes Ak = , ir analogiškai |Bj| = ∑nk=1|Ak∩Bj|, nes Bj = (laikome, kad |ǿ| = 0). Todėl Trečioje lygybėje pasirėmėme tuo, kad arba yk = ŷj, arba |Ak∩Bj| = 0, ir todėl visada yk|Ak∩Bj| = ŷj|Ak∩Bj|8. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės.
1) (Tiesiškumas) Jei f, g  S[a, b], ,   R, tai ab (f + g) = abf +  abg;
2) (Adityvumas) Jei f S[a, b], a9. Integralo egzistavimas ir apibrėžumo korektiškumas.
Ap: Funkcijos f  D[a, b] integralu intervale [a,b] vadinama riba
čia {φn} – bet kokia laiptinių f-jų seka, konverguojanti tolygiai intervale [a,b] į f-ją f.
Įr: pagal apibrėžimą , kai n>N . ar konverguoja. Pagal košį riterijų:

Įrodėm (pagal košį kriterijų), kad skaiciu seka turi ribą (šiuo atveju integralų seka)
Korektiškumas

konstruojama nauja laiptinių funkcijų seka:

; – irgi konverguos (pagal integralo egzistavimą ir tai kad ) jei paimsime posekius: = jei seka konverguoja tai ir jos posekiai konverguoja ir plius į tą patį skaičių.10. Niutono-Leibnico formulė
Jei F yra f-jos pimykštė f-ja intervale [a,b], tai abf (x)dx=F(b)-F(a)11. Kintamojo keitimo formulė
Teig: Tarkime f-ja f ( ir ) turi tolydžią išvestinę intervale [,] ,
Tada
Įr: =F(b)-F(a)= =F(φ(t))| = a∫bF’(φ(t))φ’(t)dt = a∫bf(φ(t))φ’(t)dtIntegravimo dalimis formulė
Teig: Jei f, g  C[a, b] (tolydžiai diferencijuojamoms intervale [a,b] f-joms), tai a∫bf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)|ba – a∫bg(x)f’(x)dx.
Įr: Kadangi fg yra f-jos (fg)‘ pirmykštė f-ja, tai iš NL formulės gauname: f(x)g(x)|ba = a∫b(f(x)g(x))’dx = a∫bf(x)g’(x)dx + a∫bg(x)f’(x)dx.12. Rymano integralas
Intervalo [a,b] skaidiniu vadinsime bet kokią baigtinę to intervalo taškų aibę P = {x0, x1,.,xn} tarp kurios elementų yra ir to intervalo galai.
a = x0< x1<.< xn = b. Skaidinio P intervalai [xi-1, xi], i= 1,.,n.
|P| = max{|xi, xi-1|: i= 1,.,n}-skaidinio P diametras.
Tarpiniai skaidiniai: γ = (γ 1,., γ n},
Kur γ [xi-1, xi], i= 1,.,n.
Funkcijos f:[a,b] R Rymano integraline suma, atitinkančia skaidinį P ir jo tarpinį skaidinį γ, vadinamas skaičius

Rašom:
Sav:
 f R[a,b] yra aprėžta f-ja.
Jei R[a,b] , tai f  R[a,b] ir (R)a∫bfn(R)a∫bf.
Teor.: D[a,b]  R[a,b] ir su fD[a,b]13. Baigtines variacijos f-ja
F-jos f: [a,b]→R (pilnaja) variacija intervale [a,b] vad. skaicius: V(f;a,b):=sup∑i|f(xi)-f(xi-1)|. F-ja vad. baigtines variacijos f-ja, jei jos pilnoji variacija baigtine. Teiginiai: 1) Jei f-ja f galima isreiksti dvieju didejanciu f-ju skirtumu, t.y. f=f1-f2, tai f-ja yra bagtines variacijos. 2) Jei f-ja turi aprezta isvestine int. [a,b], isskyrus galbut baigtini 1-ojo tipo trukio tasku skaiciu, tada f-ja baigtines variacijos. Atskiru atveju f€C’[a,b] yra baigtines variacijos ir V(f)=a∫b|f’(x)|dx.14 Styltjeso integralas
F-jos f€S[a,b] Styltjeso integralu f-jos g€V[a,b] atzvilgiu vad. skaicius a∫bf(x)dg(x):=
∑kn-1fk(g(xk+1)-g(xk)), kur fk-
f-jos f reiksme jos pastovumo intervale Ik. F-jos f€D[a,b] Styltjeso integralu f-jos g€V[a,b] atzvilgiu vad. skaicius a∫bf(x)dg(x):=limn→∞a∫bφn(x)dg(x), kur φn – laiptiniu f-ju seka, konverguojanti tolygiai i f.15. Netiesioginis integralas
Tegu fD[a,b) Tada f-jos netiesioginis integralas-skaicius limc→b-a∫cf(x)dx:=(NI)a∫bf(x)dx. Jei fD(a,b]: (NI)a∫bf(x)dx:= limc→a+c∫bf(x)dx. Jei fD(a,b): a∫bf(x)dx:=a∫cf(x)dx+c∫bf(x)dx. Integralų pvz: a∫bdx/(b-x)p, 0∫+∞e-xdx, 1∫+∞dx/xp.16. Netiesioginių integralų palyginimo teorema
Tarkim f,g D[a,b)
1) 0f(x) g(x); x[a,b).
Tada: , arba
2) f0; g0; .
Tada: , o jei M(0;+), tai17. Konvergavimas
Ap: F-jos f  D[a,b) (-18. Integralinis eilučių konvergavimo požymis
Teorema: Tarkime f:[1,+∞)→[0,+ ∞) f- mazeja
Tada begalinė eilute diverg arba konverg kartu
Irodymas: f(n+1)≤f(x)19. Nulinio mato aibė
N – Nulinio mato aibė jei >0  {Ii}, N Ii : | Ii | <  Čia Ii intervalų sistema.20. Skaičių eilutės suma
Skaičių eilutė yra suma a1+a2+a3+.=k=1ak
Dalinė eilutės suma yra Sn=k=1 nak (pirmų n elementų)
Jei dalinių sumų seka konverguoja, tai ir eilutė konverguoja (SnS kai n), jei  limnSn arba dalinių sekų riba yra begalinė tai eilutė nekonverguoja.
Būtinoji eilutės konvergavimo sąlyga: Jei skaičių eilutė k=1ak konverguoja tai skaičių seka an, sudaryta iš eilutės narių, konverguoja į 0: an0 kai n
Įrodymas: an = Sn – Sn-1 (eilutės narį išreiškiame per eilutę). Kai n tai an = Sn – Sn-1  S – S = 0. Įrodyta.21. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojanti sk. eilutė
Eilutė ak konverguoja absoliučiai jei |ak | irgi konverguoja. Pvz: xn/n kai -122. Koši požymis
Teor: Jei , tai a1+a2+.+an+. absoliučiai konverguoja, o jeigu , tai a1+a2+.+an+. absoliučiai diverguoja.
Įr: Pažymėkime q= . Jeigu q<1, tai egzistuoja toks skaičius , kad q<<1. Pagal viršutinės ribos apibrėžimą ir ribų savybes egzistuoja toks NN, kad <, ir todėl |an|<n, jei n>N. Tai reiškia, kad eilutės |a1|+| a2|+.+| an|+. nariai yra mažesni už geometrinės progresijos (n) su vardikliu  , 0<<1, narius, todėl eilutė |a1|+| a2|+.+| an|+. konverguoja, taigi eilutė a1+a2+.+an+.konverguoja absoliučiai. Jei q>1, tai egzistuoja sekos ( ) posekis ( ), kad >1 visiems k>N, taigi ir |ank|>1, jei k>N ir todėl an-/0, t.y. nepatenkinta būtina eilutės a1+a2+.+an+. konvergavimo sąlyga, taigi eilutė diverguoja.23. Dalambero požymis
Teor: Jeigu <1, tai eilutė a1+a2+.+an+. absoliučiai konverguoja, o jeigu >1, tai eilutė a1+a2+.+an+. diverguoja.
Įr: Pažymėkime q= . Jei q<1 ir q<<1, tai egzistuoja toks NN, kad <, jei n>N. Kadangi eilutės konvergavimas nepriklauso nuo jos pirmųjų N narių, tai galima laikyti, kad < visiems nN. Tada |an+1|<|an|<2|an-1|<.<n|a1|, nN, taigi eilutės |a1|+| a2|+.+| an|+. nariai yra mažesni už geometrinės progresijos (n|a1|) su vardikliu , 0<<1, narius, todėl eilutė |a1|+| a2|+.+| an|+. konverguoja. Sakykime, >1, t.y. egzistuoja toks NN, kad |an+1|>|an|, jei n>N, todėl seka |aN+1|, |aN+2|, . didėja ir todėl lim |an|  |aN+1| > 0. Taigi an-/0, todėl eilutė a1+a2+.+an+. diverguoja.24. Leibnico požymis
Teor: Jei teigiamų skaičių seka (an) mažėja ir lim an=0, tai eilutė a1-a2+a3-a4+. konverguoja.
Įr: Panagrinėkime eilutės a1-a2+a3-a4+. lyginių numerių dalinių sumų S2n, nN, seką. S2n=(a1-a2)+.+(a2n-1-a2n)(a1-a2)+.+(a2n-1-a2n)+(a2n+1-a2n+2)=S2n+2,
nes a2n+1 a2n+2, todėl seka (S2n) didėja. Be to, S2n= a1-( a2-a3)-.-(a2n-2-a2n-1)-a2na1,
Todėl seka (S2n) aprėžta iš viršaus. Aprėžta iš viršaus didėjanti skaičių seka turi baigtinę ribą, todėl egzistuoja baigtinė riba S=lim S2n. Tada lim S2n+1 = lim (S2n+a2n+1) = S, nes an0. Taigi sekos (S2n) ir (S2n+1) turi tą pačią baigtinę ribą S. Tada iš sekos ribos apibrėžimo išplaukia, kad ir seka (S2n) turi tą pačią ribą. Iš tikrųjų, jei >0, tai egzistuoja tokie N1N ir N2N, kad |S2n-S|<, jei 2n+1>N2. Tada |Sk-S|< visiems k>max(N1,N2), o tai ir reiškia, kad SkS.

25. Eilučių narių perstatymas
1) a1+a2+a3+.
 : N  N (bijekcija)
2) a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+. (1)=3, (4)=1
Dirclė teorema: Jei 1eil. konverguos absoliučiai ir suma = S, tai 2eil konverguos ir suma = S
Rymano teorema: Jei 1eil konverguoja reliatyviai, tai  cR{-;+} , kad 2eil konverguoja ir yra lygi c

Leave a Comment