MatematikaAritmetiniai ženklai ir žymenys;Lygtys su vienu kintamuoju;Pitagoro teorema
Šilutė2007
ARITMETINIAI ŽENKLAI IR ŽYMENYSSkaitmenis, aritmetinių veiksmų žymėjimo ženklus ir kitus matematikos simbolius žmonės kūrė pamažu per daugelį amžių, glaudžiai siedami juos su aritmetika. Dauguma jų atsirado iš piešinių, brėžinių, raidžių ir žodžių santraupų. Tai ilgai trukusios matamatikos raidos rezultatas. Kai kurie matematinių sąvokų ženklai atsirado dar senovėje. Tačiau vieningų aritmetinių simbolių nebuvo net iki XV a. Iki šio amžiaus visi dydžiai ir veiksmai, sąlygos bei atsakymai buvo reiškiami tik žodžiais. Todėl tų laikų algebra vadinama retorine, t.y. žodine. Tik antrojoje XV a. pusėje kai kuriose Europos šalyse atsirado pirmieji algebros simboliai ir buvo pradėtos vartoti raidės. XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Fransua Vietas, remdamasis prieš jį susiformavusia simbolika, pradėjo raidėmis žymėti ne tik nežinomuosius, bet ir prie jų esančius koeficientus, pradėjo vartoti bendrą raidinę simboliką. Tačiau užrašydamas lygtis, F. Vietas vietoj simbolių dar vartojo daug žodžių. Vietoj lygybės ženklo jis rašė žodį “lygu” ir t.t. Dar XV – XVI a. sudėtis buvo žymima lotyniška raide p ( pirmoji žodžio plus – “daugiau” raidė ), atimtis – raide m ( pirmoji žodžio minus – “mažiau” raidė ). Sudėčiai žymėti buvo vartojamas ir lotyniškas žodis et ( reiškiantis “ir”), kuris, kaip manoma, greitraštyje virto ženklu + . Ženklai + ir – jau pasitaiko XV a. devintojo dešimtmečio rankraščiuose, bet spausdinti pirmą kartą pasirodo Vidmano aritmetikoje. XVII a. minusas buvo žymimas – . Ženklas – randamas ir L. Magnickio “Aritmetikoje”. Dabartinėje matematikoje vyrauja vienodi arirmetiniai ženklai ir žymenys. Jais naudojasi visame pasaulyje.
SUDĖTIS. Tai prie skaičiaus a pridėti skaičių b – reiškia skaičių a pakeisti b vienetų. Bet koks skaičius, prie jo pridėjus teigiamą skaičių, padidėja, o pridėjus neigiamą skaičių, sumažėja. Sudėtis žymima simboliu “+” ( plius ).
PVZ.: 26+12=38;-14+2= – 12Sudėties savybės:Su bet kuriuo skaičiumi a yra teisinga lygybė:0+a=a+0=a; a+(- a)=0Su bet kuriais skaičiais a ir b teisinga lygybė:a+b=b+a
Su bet kuriais skaičiais a,b ir c teisinga lygybė:(a+b)+c=a+(b+c) Taikant šias sudėties savybes, veiksmus galima atlikti bet kuria tvarka ir paprasčiau apskaičiuoti kelių dėmenų sumą. Jeigu reikia sudėti keletą teigiamų ir neigiamų skaičių, galima atskirai sudėti teigiamus ir atskirai neigiamus skaičius, po to prie teigiamų skaičių sumos pridėti neigiamų skaičių sumą. Sudedant paprastąsias trupmenas su vienodais vardikliais, sudedami jų skaitikliai, o vardiklis paliekamas tas pats.PVZ.: += Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėti galima pakeisti trupmenų su vienodais vardikliais sudėtimi. Norint sudėti trupmenas su ne vienodais vardikliais, reikia rasti tų trupmenų bendrą vardiklį, paprastesnį negu vardiklių sandauga, ir daugiklius, o skaitiklius sudėti.
ATIMTIS. Norint iš vieno skaičiaus atimti kitą, reikia prie turinio pridėti skaičių, priešingą atėminiui.PVZ.: 169 – 152= 17;20 – 39= – 59 ; 41 – ( – 17 )= 58 Dviejų skaičių skirtumas yra teigiamas, kai turinys yra didesnis už atėminį, ir neigiamas, kai tuerinys mažesnis už atėminį. Kai turinys ir atėminys lygūs, skirtumas lygus nuliui. Atimtimi galima spręsti įvairius dydžių kitimo uždavinius. Norint iš vienos trupmenos atimti kitą trupmeną su tuo pačiu vardikliu, reikia iš pirmos trupmenos skaitiklio atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį. Atiminėjant trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausiai randame bendrąjį tų trupmenų vardiklį ir dauginamuosius, o skaitiklius atimame vieną iš kito. PVZ.: – =
DAUGYBA. Daugybos ženklą X 1631m. įvedė anglų matematikas Viljamas Otredas. Tašku daugybos veiksmą visada žymėjo įžymus XVII a. vokiečių matematikas G. Leibnicas ( iki tol tašku daugybos veikmą žymėjo Regiomontanas ( XV a.), vėliau, 1631m., Tomas Hariotas ).
Padauginti, reiškia, vieną skaičių padidinti kito skaičiaus kiekiu. PVZ.: 5•6=30; 23,12•0,33=7,62 Dauginant du skaičius su skirtingais ženklais, reikia sugaudinti tų skaičių modulius, o prieš gautą atsakymą parašyti minuso ženklą.PVZ.: −33•12= –396 Keičiantis bet kurio dauginamojo ženklui, keičiasi ir sandaugos ženklas, o modulis lieka tas pats. Jeigu keičiasi abiejų dauginamųjų ženklai, tai sandaugos ženklas keičiasi du kartus, todėl jis lieka nepakitęs:8 •1,1= 8,8;( –8 )•1,1= – 8,8;( – 8 )•( –1,1)= 8,8 Dauginant du neigiamus skaičius, reikia dauginti jų modulius. Sandauga gali būti lygi nuliui tik tada, kai nors vienas dauginamasis lygus nuliui.PVZ.: 555,198 • 0 = 0 Norint sudauginti trupmeną iš trupmenos, reikia sudauginti jų skaitiklius bei sudauginti vardiklius ir pirmąją sandaugą rašyti trupmenos skaitiklyje, o antrąją – vardiklyje.PVZ.: • =DALYBA. Pirmą kartą dvitaškiu dalybos veiksmą užrašė Džonsas 1633m. Anglijoj ir JAV iki šiol dalyba kartais žymima ženklu ÷ , kurį įvedė Džonas Pelis. G. Leibnicas dalybos veiksmą irgi žymėjo dvitaškiu. Padalinti – tai pirmąjį skaičių sumažinti antrojo skaičiaus kiekiu. PVZ.: 32 : 8 = 4 Dalinant iš neigiamo skaičiaus, kaip ir dauginant, atsakymo ženklas virsta neigiamu:PVZ.: ( – 22 ) : 3,66 = (– 6,01); Padalinus du neigiamus skaičius, atsakymas bus teigiamas. Dalinant nulį iš bet kokio skaičiaus, nelygaus nuliui, gaunamas nulis. 642 : 0 = 0 Norint padalinti vieną trupmeną iš kitos, reikia pirmąją trupmeną padauginti iš trupmenos, atvirkštinės antrąjai.PVZ.: : = • =
LYGYBĖ. Ji žymi veiksmo atsakymą.PVZ.: 6 + 9 = 15 Lygybės ženklą “=” pradėjo vartoti anglų gydytojas Robertas Rekordas 1557m.
PROCENTAI. Procento ženklas % kildinamas iš italų kalbos žodžio cento ( šimtas ), kuris procentiniuose skaičiavimuose dažnai buvo rašomas sutrumpintai cto. Vėliau, greitraštyje paprastinant rašybą, raidė t virto pasviru brūkšneliu ir taip atsirado dabartinis procento ženklas – %.
SKLIAUSTAI. Kaip ir aritmetikoje, algebroje vartojami skliaustai, kurie nurodo veiksmų eilę: pirmiausia atliekami skliaustuose nurodyti veiksmai.PVZ.: (0,6739+1,4261) • 557,55 : (16,7 • 2,9 – 42,13) = =2,1 • 557,55 : ( 48,43 – 42,13 ) = 2,1 • 557,55 : 6,3 = =1170,855 : 6,3 = 185,85 Jeigu skliaustų nėra, tai pirma dauginama arba dalinama, o po to sudedama ir atimama. Skliaustai ir šiuolaikinis lygybės ženklas pirmą kartą aptinkami XVI a. matematikų darbuose.
NELYGYBĖS ŽENKLAI. Pirmą kartą juos pavartojo anglų mokslininkas Hariotas. Nelygybės ženklai yra du: > ( daugiau ) ir < ( mažiau ). Jie pradėti vartoti pirmojoje XVII a. pusėje. Nelygybės ženklai naudojami skaičiams palyginti.PVZ.: 2<3<4; 68>44; 999<1001
LAIPSNIO RODIKLIS. Panašiai kaip Diofantas, XVI a. ir iš dalies XVII a. Europos matematikai nežinomojo antrąjį laipsnį vadino “jėga” ( lotyniškai census ), arba “kvadratu” ( quadratus), trečiajį laipsnį – “kubu” ( cubus ). Vietas vartojo šias santaupas: N ( numeris, skaičius ) – pirmajam laipsniui žymėti, Q – antrajam, C – trečiajam, QQ – ketvirtajam ir t.t. PVZ.: 1C–8Q=16N aequatur 40Dabar rašoma taip: x³ – 8x² +16x = 40 M. Štifelis rašė AAA vietoj A³; XVII a. pradžios anglų matematikas T. Hariotas rašė aaaa vietoj a4 . Anglas Otredas 1631m. rašė Aq vietoj A², Ac – vietoj A³, Aqq – vietoj A4, Aqc – vietoj A5 ir t.t. Šiuolaikinį užrašą Y², Y³, Y4 ir t.t. pradėjo vartoti Dekartas ir sistemingai jį vartojo savo “Geometrijoje”. Dekartinis laipsnių žymėjimas, kurį XVII a. vartojo Volis, Niutonas ir kiti, išliko ir iki šių dienų. Reiškinys aⁿ vadinamas laipsniu, raidė n – laipsnio rodikliu, o raidė a – laipsnio pagrindu.PVZ.: 5² = 5 • 5 = 25; 4³ = 4 • 4 • 4 = 64 Susitarta laipsnį, kurio rodiklis 1, laikyti lygiu laipsnio pagrindui.PVZ.: 8¹ = 8 ; (– 4,5)¹= – 4,5; a¹ = a Kai reiškinys be skliaustų ir turi laipsnių, tai, norint rasti to reiškinio reikšmę, pirmiausia reikia laipsnius pakeisti jų reikšmėmis, o paskui atlikti kitus nurodytus veiksmus. Kai reiškinys su skliaustais, pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose.PVZ.: 2 + 5³ = 2 +125 = 127; ( 2 • 5 )³ = 10³ = 1000; ( 2 + 5)³ = 7³ = 343
ŠAKNIES ŽENKLAS. Nuo XIII a. italų ir kiti Europos matematikai šaknį žymėjo lotynų kalbos žodžiu Radix ( šaknis ) arba sutrumpintai R, vėliau Ŗ.XV a. N. Šiukė vietoj rašė R²12. Dabar vartojamas šaknies ženklas yra kilęs iš XV – XVI a. vokiečių matematikų vartoto ženklo. Jie algebrą vadino “kos”, o algebristus – kosistais. Kai kurie XV a. vokiečių kosistai kvadratinę šaknį žymėjo tašku prieš skaičių arba reiškinį, Greitraštyje šie taškai virto brūkšneliais, o vėliau – simboliu • . 1480m. lotynų kalba parašytame rankraštyje prieš skaičių esantis vienas taškas • reiškė kvadratinę šaknį, do tokie ženklai •• – ketvirtojo laipsnio šaknį, o trys ••• – kubinę šaknį.
Manona, kad iš šių ženklų vėliau atsirado ženklas ٧, artimas dabartiniam šaknies ženklui, tik be viršutinio brūkšnelio. Pirmą kartą šis ženklas pasirodė 1525 m. Strasburge išspausdintoje vokiečių algebroje “Greitas ir gražus skaičiavimas, kuris remiasi puikiomis algebros taisyklėmis, vadinamomis Kos”. Knyga turėjo didelį pasisekimą ir buvo perspausdinta daugelį kartų per visą XVI a., net iki 1615m. Šitą šaknies ženklą XVI a. vartojo M. Štifelis, S. Stevinas. Pamažu šis žymuo išstūmė ženklą R. Tik 1637 m. Renė Dekartas šaknies ženklą sujungė su horizontaliu brūkšneliu ir savo “Geometrijoje” šaknies ženklą jau žymėjo √¯ . Artimesnį šiuolaikinei šakniai simbolį vartojo Niutonas “Visuotinėje aritmetikoje” ( 1685 m. ). Taip, kaip dabar, šaknį pirmą kartą užrašo prancūzas Rolis 1690 m . savo knygoje “Algebros vadovėlis”. Dabartinis šaknies ženklas visuotinai imtas vartoti tik XVIII a. Būtinumas kelti laipsniu bei traukti šaknį, kaip ir kiti keturi aritmetikos veiksmai, atsirado iš praktinės žmonių veiklos. Jau prieš 4000 m. Babilonijos mokslininkai, be daugybos ir atvirkštinių dydžių lentelių, sudarinėjo skaičių kvadratų ir kvadratinių šaknų iš skaičių lenteles. Be to, jie mokėjo apskaičiuoti kvadratinės šaknies iš bet kurio sveikojo skaičiaus apytikslę reikšmę. Aritmetine kvadratine šaknimi iš skaičiaus a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a. Aritmetinė kvadratinė šaknis iš skaičiaus a žymima taip: √¯a . Ženklas √¯ vadinamas aritmetinės kvadratinės šaknies ženklu; reiškinys, esantis po šaknies ženklu, vadinamas pošaknio ženklu. PVZ.: √¯9 = 3² = 3 Bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, todėl, kai a < 0, reiškinys √¯a neturi prasmės.PVZ.: Neturi prasmės: √¯–25; √¯–3,7 ir t.t. Arirmetinių kvadratinių šaknų daugybos ir dalybos taisyklės:√¯a • √¯b =√¯ab, kai a ≥ 0, b ≥ 0; √¯a : √¯b = √¯, kai a ≥ 0, b > 0Aritmetiniai ženklai ne iš karto buvo visuotinai pripažinti. Veiksmų ir lygybių ženklai įsitvirtino tik XVII a. pabaigoje.
Matematinių ženklų ir simbolių atsiradimas palengvino matematikos mokymąsi, skatino tolesnę jos raidą.LYGTYS SU VIENU KINTAMUOJU Lygybę ?(x)=g(x) vadiname lygtimi su vienu kintamuoju x. Kiekvieną kintamojo reikšmę, su kuria reiškiniai ?(x) ir g(x) įgyja lygias skaitines reikšmes, vadiname lygties šaknimi. Išspręsti lygtį – reiškia rasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad jų nėra. Lygtis, turinčias tas pačias šaknis, vadiname ekvivalenčiomis. Ekvivalenčiomis laikome ir lygtis, kurių kiekviena neturi šaknų. Lygtis galima spręsti grafiniu būdu, tačiau jis nėra patogus.
Tiesinės lygtys
Tiesine lygtimi su vienu kintamuoju x vadiname lygtį ax=b (a ir b – realieji skaičiai); a vadiname kintamojo koeficientu, b – laisvuoju nariu. Galimi trys tiesinės lygties ax=b atvejai:1) a?0; tada lygties šaknis lygi ;2) a=0, b=0; tada lygtis virsta 0•x=0, o tokia lygybė teisinga su kiekvienu x;3) a=0, b?0; tada lygtis virsta 0•x=b ir neturi šaknų.
Kvadratinės lygtys
Lygtį ax²+bx+c=0, kurios a,b,c – realieji skaičiai ir a?0, vadiname kvadratine lygtimi. Kai a=1, tai kvadratinę lygtį vadiname redukuotąja, kai a?1,– tai neredukuotąja. Skaičius a,b,c vadiname taip: a – pirmuoju koeficientu, b – antruoju koeficientu, c – laisvuoju nariu.
Kvadratinės lygties ax²+bx+c=0 sprendimas:1) randame D (diskriminantą): D=b²-4ac arba D=k²-ac, kur k= (patogu, kai b – lyginis skaičius):a) kai D<0, tai lygtis neturi šaknų;b) kai D=0, tai lygtis turi vieną šaknį (dvi vienodas šaknis);c) kai D>0, tai lygtis turi dvi šaknis.2) randame x: , kur D=b²-4ac , kur D=k²-acNepilnosios kvadratinės lygtys
Kai kvadratinės lygties ax²+bx+c=0 antrasis koeficientas (b) arba laisvasis narys lygus nuliui, tai kvadratinę lygtį vadiname nepilnąja. Šios lygtys išskiriamos, nes jas galima išspręsti netaikant kvadratinės lygties šaknų formulės – paprasčiau lygtį spręsti skaidant jos kairiąją pusę dauginamaisiais.
Racionaliosios lygtys (kintamasis vardiklyje)
Lygtį f(x)=g(x), kurioje f(x) ir g(x) yra racionalieji reiškiniai, vadiname racionaliąja. Be to, kai f(x) ir g(x) – sveikieji reiškiniai, tai lygtį vadiname sveikąja (pvz. tiesinės, kvadratinės). Kai bent vienas iš reiškinių f(x) ir g(x) yra trupmeninis, tai racionaliąją lygtį vadiname trupmenine. Norint išspręsti racionaliąją lygtį, reikia:1) rasti visų trupmenų bendrąjį vardiklį;2) pakeisti duotąją lygtį sveikąja dauginant abi jos puses iš bendrojo vardiklio;3) išspręsti gautą sveikąją lygtį;4) atmesti tas jos šaknis, su kuriomis bendrasis vardiklis virsta nuliu.
Iracionaliosios lygtys
Iracionaliąja lygtimi vadiname lygtį, kurioje kintamasis yra po radikalo ženklu arba po kėlimo trupmeniniu laipsniu ženklu. Išnagrinėkime du iracionaliųjų lygčių sprendimo metodus: abiejų lygties pusių kėlimą tuo pačiu laipsniu ir naujų kintamųjų įvedimo metodą (su pasižymėjimu).Abiejų lygties pusių kėlimo tuo pačiu laipsniu metodas yra toks:a) duotąją iracionaliąją lygtį pertvarkome į tokią: b) gautos lygties abi puses keliame n-tuoju laipsniu: c) atsižvelgiame, kad , ir gauname lygtį ?(x)=g(x);d) isprendžiame lygtį ir patikriname gautąsias šaknis, nes keldami tuo pačiu lyginiu laipsniu abi lygties puses, galime gauti pašalinių šaknų.
Rodiklinės lygtys Rodiklinei lygčiai dažniausiai galima suteikti pavidalą , čia a>0. Pastaroji lygtis ekvivalenti lygčiai f(x)=g(x).Yra du pagrindiniai rodiklinių lygčių sprendimo būdai:1) rodiklių sulyginimo metodas, kai lygtis pertvarkoma į lygtį , o po to – į lygtį f(x)=g(x);2) naujo kintamojo įvedimo metodas.Pvz.: Sprendžiant lygtį , įvesti naują kintamąjį ir išspręsti gautą kvadratinę lygtį. Tada kvadratinės lygties atsakymus (y) įsistatyti į ir išspręsti.
Logaritminės lygtys
Logaritminę lygtį dažniausiai galima pakeisti lygtimi
, čia a>0Norint išspręsti lygtį , reikia:1) išspręsti lygtį f(x)=g(x);2) iš rastųjų šaknų išrinkti tas, kurios tinka nelygybei f(x)>0 (arba g(x)>0); kitos lygties ƒ(x)=g(x) šaknys yra pašalines lygčiai .Yra du pagrindiniai logaritminių lygčių sprendimo būdai:1) lygtį pertvarkant į lygtį , po to į lygtį f(x)=g(x);2) naujo kintamojo įvedimo metodas.
Trigonometrinės lygtys
Lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu, vadiname trigonometrinėmis. Norint išspręsti trigonometrinę lygtį, ją reikia tapačiai pertvarkyti į paprasčiausias: sin=a, cos=a, tg=a, ctg=a. Žinant a reikšmę, reikšmę galime pagal formules:a) kai , sin=a, tai , nZ;kai sin=-1, ; kai sin=1, ; kai sin=0, ; nZ;b) kai , cos=a, tai , nZ;kai cos=-1, ; kai cos=1, ; kai cos=0, ; nZ;c) kai tg=a, ; kai tg=0, ; nZ;d) kai ctg=a, ; kai ctg=0, ; nZ.
Modulinės lygtys
Lygtis , kai ekvivalenti lygčių f(x)=a ir ƒ(x)=-a visumai. Lygtis ekvivalenti lygčiai .
Aukštesniojo laipsnio lygtys
Aukštesniojo laipsnio lygtimi vadiname lygtį, kurios kintamojo laipsnis yra sveikasis skaičius, didesnis už 2. Aukštesniojo laipsnio lygtims priklauso ir bikvadratinė lygtis. Bikvadratinė lygtis sprendžiama naujojo kintamojo įvedimo metodu: pažymėję , gauname kvadratinę lygtį. Suradę ir , rasime keturias x reikšmes, spręsdami lygtis ir . Aukštesniojo laipsnio lygtys dažnai sprendžiamos naujo kintamojo įvedimo būdu ir kairiųjų pusių skaidymo dauginamaisias būdu. Taip pat tokias lygtis galima išspręsti atspėjus vieną jos šaknį (ji dažnai būna skaičius, iš kurio dalinasi laisvasis narys) ir išskaidžius reiškinį dauginamaisiais.
PITAGORO TEOREMASunku rasti žmogų, kuriam Pitagoro vardas nesisietų su Pitagoro teorema. Tikriausiai net tie, kas visam gyvenimui atsisveikino su matematika, pamena “Pitagoro kelnes” – kvadratą, nubrėžtą ant įžambinės, lygų dviems kvadratams, nubrėžtiems ant statinių. Tokio Pitagoro teoremos populiarumo priežastys yra trys: paprastumas, grožis ir reikšmingumas. Iš tikrųjų, Pitagoro teorema paprasta, bet ji nėra akivaizdi. Šių dviejų priešingybių derinys ir suteikia jai žavesio. Be to, Pitagoro teorema turi didžiulę reikšmę: geometrijoje ji naudojama tiesiog kiekviename žingsnyje, ir tas faktas, kad egzistuoja apie 500 skirtingų jos įrodymų (geometrinių, algebrinių, mechaninių ir pan.), liudija apie nesuskaičiuojamą galybę konkrečių Pitagoro teoremos realizacijų. Pitagoro teoremos atradimas apsuptas gražių legendų auros. Proklas, komentuodamas paskutinį pirmosios Euklido “Pradų” knygos teiginį, rašo: “Jei paklausysime tų, kas mėgsta kartoti senovines legendas, teks tarti, kad ši teorema kyla iš Pitagoro; pasakojama, kad jis šio atradimo garbei paaukojo jautį”. Beje, dosnesni pasakoriai vieną jautį pavertė į hekatombą, o tai jau visas šimtas jaučių. Ir nors dar Ciceronas pastebėjo, kad bet koks kraujo praliejimas buvo svetimas Pitagorui ir jo pasekėjams, legenda apie auką tvirtai susiliejo su Pitagoro teorema, ir po dviejų tūkstantmečių vis dar kelia karštus debatus. Pavyzdžiui, optimistas Michailas Lomonosovas (1711-1765) rašė: “Pitagoras už savo geometrinės taisyklės atradimą paaukojo Dzeusui 100 jaučių. Bet jeigu gudruoliai matematikai šiais laikais seks jo godotinu pavyzdžiu, vargu ar pasaulyje tiek raguočių atsirastų”. O ironiškasis Heinė (1797-1856) matė šios situacijos vystymąsi kiek kitaip: “Kas žino! Kas žino! Gal Pitagoro siela persikėlė į kūną vargšo kandidato, kuris nesugebėjo įrodyti Pitagoro teoremos ir dėl to neišlaikė egzamino, tuo metu kai egzaminatoriuose tūnojo sielos tų jaučių, kuriuos Pitagoras, nudžiugintas atradimo, paaukojo nemirtingiems dievams”. Šiandien Pitagoro teorema yra rasta skirtinguose uždaviniuose ir brėžiniuose: ir egiptietiškajame trikampyje Anemcheto I (apie 2000 m.pr.m.e.) laikų papiruse, ir Hamurabio epochos (XVIII a.pr.m.e.) babilonietiškose lentelėse, ir senovės indų geometriniame-teologiniame traktate “Sulva sutra” (“Virvės taisyklės”, VII-V a.pr.m.e.). Seniausiame kinų traktate “Čžou-bi suan czi”, kurio sukūrimo laikas nėra tiksliai nustatytas, teigiama, kad XII a.pr.m.e. kinai žinojo egiptietiškojo trikampio savybes, o apie VI a.pr.m.e. – ir bendrą teoremos esmę. Nežiūrint to, Pitagoro vardas taip stipriai susiliejo su teorema, kad dabar tiesiog neįmanoma įsivaizduoti išyrant šį žodžių derinį. Tas pat ir su legenda apie jaučių aukojimą. Be to, vargu ar yra būtinybė preparuoti istoriškai-matematiniu skalpeliu gražius senovės padavimus. Šiandien priimta manyti, kad Pitagoras pateikė pirmą jo vardu pavadintos teoremos įrodymą. Deja, šio įrodymo nė pėdsakų neliko.
Aš paminėsiu kelis klasikinius Pitagoro teoremos įrodymus, žinomus iš senovės traktatų. Tai padaryti naudinga dar ir todėl, kad šiuolaikiniuose vadovėliuose pateikiamas algebrinis teoremos įrodymas. Tačiau be pėdsakų dingsta pirminė geometrinė teoremos aura, prarandama ta Ariadnės gija, kuri vedė senovės išminčius į tiesą, o šis kelias beveik visada pasirodydavo besąs trumpiausias ir visuomet gražus. Taigi, Pitagoro teorema.
PITAGORO BIOGRAFIJADidysis mokslininkas Pitagoras gimė apie 570 m.pr.m.e. Samoso saloje. Jo tėvas buvo brangakmenių raižytojas Mnesarchas. Motinos vardas nežinomas. Pagal daugybę antikinių liudijimų, berniukas gimė pasakiškai gražus, o netrukus pasireiškė ir jo neeiliniai gabumai. Tarp jaunojo Pitagoro mokytojų tradiciškai minimi senolio Hermodamanto bei Ferekido Sirusiečio vardai (tačiau nėra tvirto įsitikinimo, kad būtent Hermodamantas ir Ferekidas buvo jo pirmaisiais mokytojais). Dienų dienas jaunasis Pitagoras leido prie senolio Hermodamanto kojų, klausydamasis kitaros melodijos ir Homero hegzametrų. Aistrą muzikai ir didžiojo Homero poezijai Pitagoras išsaugojo visą gyvenimą. Jau būdamas pripažintu išminčiumi, apsuptas mokinių minios, Pitagoras dieną pradėdavo vienos iš Homero giesmių giedojimu. Ferekidas gi buvo filosofu ir buvo laikomas italų mokyklos pradininku. Tokiu būdu, jei Hermodamantas įvedė jaunąjį Pitagorą į mūzų ratą, tai Ferekidas nukreipė jo protą logoso link. Ferekidas nukreipė Pitagoro žvilgsnį į gamtą ir tik joje patarė matyti savo pirmąjį mokytoją. Kaip ten bebūtų, nerimstančiai Pitagoro vaizduotei labai greitai pasidarė ankšta mažame Samose, ir jis patraukė į Miletą, kur susitiko kitą mokslo vyrą – Falesą, kuris jam patarė žinių ieškotis Egpite, ką Pitagoras ir padarė.548 m.pr.m.e. Pitagoras atvyko į Naukratį – Samoso koloniją, kur susirado pastogę ir maisto. Perpratęs egpitiečių kalbą ir religiją, jis išvyko į Memfį. Nežiūrint rekomendacinio faraono laiško, klastingi žyniai neskubėjo atskleisti jam savo paslapčių, pateikdami sudėtingus išbandymus. Trokštantis žinių Pitagoras visus šiuos išbandymus atlaikė, nors, kasinėjimų duomenimis, Egipto žyniai nedaug ko tegalėjo jį išmokyti, kadangi tuo metu egiptietiškoji geometrija buvo grynai taikomuoju mokslu (patenkinančiu to laikmečio poreikius skaičiavime ir žemės matavime). Tad, išmokęs visko, ką davė žyniai, Pitagoras nuo jų pabėgo ir patraukė gimtosios Elados link. Tačiau pakeliui jis, keliaudamas sausuma, pateko Kambizo, Babilono karaliaus, nelaisvėn. Neverta dramatizuoti Pitagoro gyvenimo Babilone, kadangi valdovas Kyras buvo pakantus visiems belaisviams. Babilono matematika buvo neginčytinai labiau išsivysčiusi (pavyzdžiu gali pasitarnauti pozicinė skaičiavimo sistema), negu Egipto, ir Pitagorui buvo ko pasimokyti. Bet 530 m.pr.m.e. Kyras patraukė į žygį prieš Vidurinės Azijos gentis, ir, naudodamasis sąmyšiu mieste, Pitagoras paspruko gimtinėn. Samose tuo metu valdė tironas Polikratas. Žinoma, Pitagoro netenkino pusiau vergiškas egzistavimas rūmuose, ir jis pasišalino į grotas, esančias Samoso apylinkėse. Po kelis mėnesius trukusių Polikrato priekabiavimų Pitagoras persikėlė į Krotoną. Ten jis įsteigė kažką panašaus į religinę-etinę broliją ar slaptą ordiną (“pitagoriečiai”). Tai buvo vienu metu ir religinė sąjunga, ir politinis klubas, ir mokslinė bendrija. Reikia pasakyti, kad kai kurie iš Pitagoro propaguotų principų verti mėgdžiojimo ir dabar.
… Prabėgo 20 metų. Brolijos šlovė pasklido po visą pasaulį. Vienąsyk pas Pitagorą atėjo Kilonas, turtingas, bet piktas žmogus, per girtą galvą užsigeidęs įstoti į broliją. Gavęs neigiamą atsakymą, Kilonas padegė Pitagoro manus. Gaisro metu pitagoriečiai, gelbėdami savo mokytoją, paaukojo gyvybes. Po šio įvykio Pitagoras nugrimzdo į gilią depresiją ir netrukus nusižudė.„Kvadratas, nubrėžtas ant stačiojo trikampio įžambinės, lygus sumai kvadratų, nubrėžtų ant to trikampio statinių”.
Paprasčiausias teoremos įrodymas gaunamas paprasčiausio lygiakraščio stačiojo trikampio atveju. Greičiausiai nuo jo ir prasidėjo teorema. Iš tikrųjų tereikia tik pažvelgti į lygiakraščių stačiųjų trikampių mozaiką (pav. 1), norint įsitikinti teoremos teisingumu. Pavyzdžiui, ABC: kvadratas, nubrėžtas ant įžambinės AC, susideda iš 4 pirminių trikampių, o kvadratai, nubrėžti ant statinių – iš 2. Teorema įrodyta.
Senovės kinų įrodymas. Matematiniai Senovės Kinijos traktatai iki mūsų atėjo II a.pr.m.e. redakcijoje. Reikalas tame, kad 213 m.pr.m.e. kinų imperatorius Ši Chuan-di, siekdamas išnaikinti ankstesnes tradicijas, paliepė sudeginti visas senovines knygas. II a.pr.m.e. Kinijoje buvo išrastas popierius ir tuo pat metu prasidėjo knygų atkūrimas. Taip atsirado “Matematika devyniose knygose” – svarbiausias iš matematinių-astronominių veikalų. “Matematikos” knygoje yra brėžinys (pav. 2,a), įrodantis Pitagoro teoremą. Raktą įrodymui parinkti nesunku. Iš tikrųjų, senovės kiniečių brėžinyje keturi lygūs statieji trikampiai su statiniais a, b ir įžambine c sudėti taip, kad jų išorinis kontūras sudaro kvadratą su kraštine a+b, o vidinis – kvadratą su kraštine c, nubrėžtą ant įžambinių. Kvadratą su kraštine c išpjovus ir likusius 4 trikampius sudėjus į du stačiakampius (pav. 2,c) aišku, kad susidariusi tuštuma, iš vienos pusės, lygi c2, iš kitos, a2+b2, t.y. c2=a2+b2. Teorema įrodyta. Reikia pastebėti, kad tokio įrodymo atveju nenaudojami dariniai vidury kvadrato, nubrėžto ant įžambinės (pav. 2,a). Matyt, senovės kinų matematikai turėjo kitokių būdų įrodyti teoremą. Jeigu kvadrate su kraštine c du nuspalvintus trikampius (pav. 2,b) išpjauti ir pridėti įžambinėmis prie kitų dviejų įžambinių (pav. 2,d), lengva pastebėti, kad gaunama figūra, kurią kartais vadina “nuotakos sostu”, susidedanti iš dviejų kvadratų su kraštinėmis a ir b, t.y. c2=a2+b2.
Pav. 3 perpieštas brėžinys iš traktato “Čžou-bi suan czin”. Čia Pitagoro teorema įrodoma egiptietiškojo trikampio, kurio statiniai lygūs 3, 4, o įžambinė 5 mato vienetams, atveju. Kvadratas ant įžambinės susideda iš 25 langelių, o į jį įbrėžtas kvadratas ant didesniojo statinio – 16. Aišku, kad likusioji dalis susideda iš 9 langelių, tai ir bus kvadratas ant mažesniojo statinio.
Senovės indų įrodymas. Senovės Indijos matematikai pastebėjo, kad Pitagoro teoremos įrodymui užtenka panaudoti vidinę senovės kinų brėžinio dalį. Ant palmių lapų parašytame žymiausio XII a. indų matematiko Bhaskaro traktate “Sidhanta širomani” (“Žinių vainikas”) yra brėžinys (pav. 4,a) su būdingu indiškiems įrodymams žodžiu “Žiūrėk!”. Kaip matyti, statieji trikampiai čia sudėti įžambinėmis išorėn, o kvadratas c2 perkeliamas į “nuotakos sostą” a2-b2 (pav. 4,b). Reikia pastebėti, kad kai kurie Pitagoro teoremos įrodymai (pavyzdžiui, brėžimas kvadrato, kurio plotas dvigubai didesnis už duoto kvadrato plotą) sutinkami senovės indų traktate “Sulva sutra” (VII-V a.pr.m.e.).
Euklido įrodymas pateiktas pirmosios “Pradų” knygos 47-ajame teiginyje. Ant stačiojo trikampio ABC įžambinės ir kraštinių brėžiami atitinkami kvadratai (pav. 5) ir įrodoma, kad stačiakampis BJLD lygus kvadratui ABFH, o stačiakampis ICEL – kvadratui ACKG. Tada statinių kvadratų suma bus lygi įžambinės kvadrato sumai. Iš tikrųjų, nuspalvinti trikampiai ABD ir BFC lygūs pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: FB=AB, BC=BD, o FBC=d+ABC=ABD. Bet SABD=1/2SBJLD, kadangi ABD ir stačiakampis BJLD turi bendrą pagrindą BD ir bendrą aukštį LD. Analogiškai SFBC=1/2SABFH, (BF – bendras pagrindas, AB – bendras aukštis). Iš čia, turint omeny, kad SABD=SFBC, turime, kad SBJLD=SABFH. Analogiškai, panaudojant BCK ir ACE lygybę, įrodoma, kad SJCEL=SACKG. Taigi, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL=SBCED, ką ir reikėjo įrodyti. Euklido įrodymas, palyginus su senovės kinų ar senovės indų, atrodo pernelyg sudėtingas. Dėl to jį neretai vadina “ramentiniu” arba “prigalvotu”. Bet ši nuomonė paviršutiniška. Pitagoro teorema pas Euklidą yra galutinė grandis teiginių grandinėje iš 1-osios “Pradų” knygos. Tam, kad logiškai be priekaištų sudarytų šią grandinę, kad kiekvienas įrodymo žingsnis atitiktų anksčiau įrodytus teiginius, Euklidui buvo reikalingas būtent toks kelias.
Jau seniai yra išrastas galvosūkis, dabar vadinamas “Pitagoru”. Nesunku įsitikinti, kad septynių galvosūkio dalių pagrindas yra lygiakraštis statusis trikampis ir kvadratai, nubrėžti ant jo statinių, arba, kitaip sakant, figūros, sudarytos iš 16 vienodų lygiakraščių stačiųjų trikampių, ir dėl to susidedančios į kvadratą. Tokia yra tik mažytė dalis lobių, paslėptų antikinės matematikos perle – Pitagoro teoremoje. Toliau aš paminėsiu kelis algebrinius teoremos įrodymus.
Pitagoro teoremos įrodymas. Tarkime – kad T yra statusis trikampis su statiniais a, b ir įžambine c (pav. 6,a). Reikia įrodyti, kad c2=a2+b2.Brėžiamas kvadratas Q, kurio kraštinė yra a+b (pav. 6,b). Jo kraštinėse pažymimi taškai A, B, C ir D taip, kad atkarpos AB, BC, CD ir DA nukirstų nuo kvadrato Q stačiuosius trikampius T1, T2, T3 ir T4 su statiniais a ir b. Keturkampis ABCD pažymimas raide P.Įrodoma, kad P yra kvadratas su kraštine c. Visi trikampiai T1, T2, T3 ir T4 yra lygūs T pagal du statinius. Todėl jų įžambinės yra lygios T įžambinei, t.y. atkarpai c. Įrodoma, kad visi šio keturkampio kampai yra statūs. Tarkime, kad ir – smailiųjų T kampų dydžiai. Tada, kaip žinia, +=90o. prie keturkampio P viršūnės A su kampais ir sudaro 180o kampą. Ir kadangi +=90o, tai =90o. Lygiai taip pat įrodoma, kad ir kiti keturkampio P kampai yra statūs. Reiškia, keturkampis P yra kvadratas.Kvadratas Q su kraštine a+b susideda iš kvadrato P su kraštine c ir keturių trikampių, lygių T. Todėl S(Q)=S(P)+4S(T). Kadangi S(Q)=(a+b)2, S(P)=c2, o S(T)=1/2(ab), tai gaunama lygybė (a+b)2=c2+4(1/2ab), kuri užrašoma taip: a2+b2+2ab=c2+2ab. Suprastinus gaunama, kad a2+b2=c2. Teorema įrodyta.
Dar vienas algebrinis įrodymas. Tarkime, kad ABC yra statusis trikampis su stačiuoju kampu C. Nuleidžiama atkarpa CD iš stačiojo kampo viršūnės C. Pagal kampo kosinuso apibrėžimą (stačiojo trikampio smailojo kampo kosinusas yra statinio, esančio prie to kampo, ir įžambinės santykis) cosA=AD/AC=AC/AB. Iš čia ABxAD=AC2. Atitinkamai cosB=BD/BC=BC/AB. Iš čia ABхBD=BC2. Sudėjus gautas lygybes, turint omeny, kad AD+DB=AB, gauname AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB2. Teorema įrodyta.Pabaigai dar norėtųsi pakartotinai priminti, Pitagoro teoremos reikšmingumą. Jos reikšmė visų pirma tame, kad iš jos ir su jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Deja, neįmanoma čia pateikti visus arba tik pačius gražiausius Pitagoro teoremos įrodymus, tačiau norisi tikėtis, kad paminėti pavyzdžiai įtikinamai liudija apie didžiulį susidomėjimą, tiek anksčiau, tiek ir dabar rodomą Pitagoro teoremai.
Naudota literatūra:
1. J.Golovanovas “Etiudai apie mokslininkus”, Kaunas Šviesa 19862. G.Gleizeris “Matematikos istorija mokykloje VII – VIII klasė”, Kaunas Šviesa 19863. “Lietuviškoji tarybine enciklopedija”4. G. Gleizeris – “Matematikos istorija mokykloje. 4 – 6 kl.”, 1985 m.5. S. Teliakovskis – “Algebra. Vadovėlis 8-9kl.”, 1987 m.6. N. Vilenkinas, A. Česnokovas, S. Švarcburdas – “Matematika. Vadovėlis 6kl.”, 1988 m.