Matematikos atsiradimas

Klaipėdos Universitetas
Gamtos ir Matematikos Mokslų Fakultetas
Informatikos Katedra

Dmitrij Škaliov
Informatikos 2 kurso studentas

Matematikos atsiradimas

Darbo vadovas:
Prof. D.Švitra

Klaipėda
2003

Turinys:

1. Kada atsirado matematika.

1.1 Kas yra matematika.
1.2 Kaip matematika gimė.

2. Senovės Egipto matematika.

2.1 Senovės Egipto skaičiavimo ypatumai.
2.2 Senovės Egipto geometrija.

3. Senovės Graikijos matematika.

3.1 Ankstyvoji senovės Graikijos matematika. Matematikos mokslo atsiradimas.
3.2 Pitagoriečių skaičių fetišizmas.
3.3 Pitagoro teorema ir pirmoji matematikos krizė.
3.4 Geometrinės algebros suklestėjimas.
3.5 Zenono Elėjiečio aporijos.
3.6 Demokrito atomizmas.
3.7 Platono matematinė programa.
3.8 Aristotelis apie matematikos esmę.
3.9 Euklido “Pradmenys”.
3.10 Euklido 5-to postulato problema.
3.11 Archimedas: klasikinės graikų matematikos pabaiga.

4. Romos imperijos laikų matematika.

4.1 Logistika.
4.2 Diofanto algebra.

5. Išvada

6. Literatūros sąrašas.
1. Kada atsirado matematika.

1.1 Kas yra matematika.

Šis klausimas nėra toks paprastas, koks atrodo iš pirmo žvilgsnio. Viisi žino, kad matematika – tai aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija ir t. t. tačiau paklausus, kodėl aritmetika ar algebra yra matematika, dauguma sutriktų. Tad klausimas – kas yra matematika? – anaiptol nėra aiškus. Per visą matematikos raidą buvo pateikta daugybė įvairių apibrėžimų, kurie vis kitaip nustatydavo matematikos esmę.
Pitagoras (V a. pr. m. e.): Pasak vienos legendos, senovės graikų matematikas Pitagoras šį smalsuolio klausimą, kas yra matematika, taip atsakęs: “Kalbi graikiškai, o nežinai, kas yra matematika. Mathematike – tai juk mathema, mathesis, – vadinasi, žinojimas, pažinimas. Be šiios, tas žodis neturi kitų prasmių”. Platonas: “Matematika – tai geometrija”. Gal todėl jis prie savo mokyklos – Akademijos – durų pakabino reikalavimą: “Tegul čia neįžengia tas, kuris nemoka geometrijos”. Žymus XVII a. prancūzų filosofas ir matematikas R. Dekartas: “Kiekvienas geriau pagalvojęs supras, ka

ad matematikai priskiriami tik tie mokslai, kurie nagrinėja arba tvarką, arba matą; ir visiškai nesvarbu, ar šis matas bus ieškomas skaičiams, figūroms, žvaigždėms, garsams ar kokiam nors kitam dalykui”. Taigi, R. Dekartas bandė suvienyti visas matematikos šakas. Matematinės analizės kūrėjas G. Leibnicas: ”Matematika – tai mokslas apie funkcijas”. Vokiečių matematikas H. Veilis: “Matematika – tai mokslas apie begalybę”.
Matome, kad nebuvo ir nėra amžino, galutinio matematikos apibrėžimo. Kiekvienas apibrėžimas atskleisdavo tą matematikos dalį, kuri būdavo labiausiai nagrinėjama, aktualiausia. Ilgainiui matematikos turinys keitėsi, tad ir jos apibrėžimas pasirodydavo esąs per siauras. Be to matematikos apibrėžimas priklauso ir nuo konkrečiu laikotarpiu egzistuojančių filosofinių pažiūrų į mokslą bei jo šakas.
Klausimą – kada atsirado matematika – mes galime pakeisti jam analpgišku klausimu – kada žmogus pirmą kartą susidomėjo dydžiu, t. y., kaada jis išmoko skaičiuoti, pradėjo suvokti geometrines figūras. Pagal vieną prielaidą matematikos užuomazgos atsirado vos tik žmogus pradėjo mąstyti, t. y., tapo Homo sapiens (žmogumi – protinga būtybe). Kita prielaida – mąstymo ir gebėjimo skaičiuoti, suvokti geometrines figūras procesų pradžią skiria gana ilgas laiko tarpas. Pastaroji hipotezė neatrodo įtikinanti. Jau paprasčiausių darbo įrankių, kurių dėka ir atsirado ‘Homo sapiens’, gamyba vertė pirmykštį žmogų susidomėti geometrine figūra. Ypač šis dėmesys padidėjo įpratus naudotis ugnimi, stebint jos besikeitaliojančių formų liepsną. Pačioje ‘Homo sapiens’ istorijos pr
radžioje atsirado ne gebėjimas skaičiuoti, o figūros suvokimas.
Žinoma, nereikia manyti, kad apie skaičiavimą anuo metu iš viso negalime kalbėti. Stebint įvairias panašias figūras, žmogui turėjo kilti mintis apie jų galimą kiekybinį palyginimą. Besiplečianti praktinė veikla reikalavo vis didesnių skaičiavimo įgūdžių. Ūkiniai poreikiai privertė laipsniškai sudaryti paprasčiausių plokščiųjų figūrų ir erdvinių kūnų plotų ir tūrių skaičiavimo taisykles. To reikalavo žemių pertvarkymo, grūdų saugyklų tūrių skaičiavimų reikmės, būtinų žemės darbų, statant statinius, apimties apskaičiavimas. Pamažu žmonės išmoko sveikųjų skaičių aritmetikos veiksmus, po to su racionaliomis trupmenomis; išmoko teisingai apskaičiuoti gana sudėtingų figūrų plotus ir paprasčiuasių kūnų tūrius.

1.2 Kaip matematika gimė.

Filosofas A. Čanyčevas rašo: “Matematika – mąstymo kalba”. Žmogus, pradėjęs mąstyti, nustojo buvęs tik vienu iš Žemės gyvūnijos atstovų. Brangiausią savo turtą – protą – žmogus įgijo per darbą. Per jį žmogus ir išsiskyrė iš gamtos – tarp gamtos ir savęs jis įterpė darbo įrankį. Homo sapiens bendravimas su gamta jau pasidarė netiesioginis; nusistovėjo naujas ryšys – dirbančio žmogaus ryšys su jį supančiu pasauliu. Homo sapiens prireikė nustatyti tą ryšį, t. y. susidaryti sąmonėje bent paprasčiausią idealizuotą pasaulio vaizdinį. Tai ir buvo mąstymo atsiradimo priežastis.
Mokslas, taigi ir matematika, rutuliojosi žmogui plečiant savo praktinę veiklą, nes tada kito jo gyvenimo būdas, o tai pirmutinė prielaida atsirasti mokslui. Kol seniausios akmens am

mžiaus epochos – vėlyvojo paleolito žmogus tiktai naudojosi gamtos gėrybėmis: medžiojo, žvejojo, rinko vaisius ir pan., tol jam skaičiuoti pakako rankų ir kojų pirštų. Skaitiniai terminai lėtai įėjo į žmogaus gyvenimą. Iš pradžių jie buvo pradėti naudoti greičiau kaip kokybiniai, o ne kiekybiniai terminai, reiškiantys skirtumą tik tarp vieno ir dviejų (ar daugiau). Todėl pirmiausia konkrečiam skaičiui išreikšti buvo naudojama kokia nors aibė – etalonas. Žmonės seniai pastebėjo, kad danguje yra vienas Mėnulis, kad žmogus turi dvi akis, o ranka – penkis pirštus. Iš pradžių jie ir sakydavo, jog daiktų yra tiek, kiek Mėnulių danguje, arba kiek žmogus turi akių ir pan. Vėliau šios etaloninės aibės buvo pakeistos vieninteliu etaloniniu vienetu, pavyzdžiui, rankų pirštais. Šis žingsnis iš karto praplėtė skaičiaus sąvokos turinį.
Padėtis pasikeitė, žmogui įžengus į neolito laikotarpį, kai prasidėjo žemdirbystė ir gyvenimo būdas pasidarė sėslus, o prekybos vaidmuo išaugo (8000 – 4000 m. pr. m. e.). Tada buvo padaryti šie atradimai: pradėtos gaminti plytos, slidės, namų akmeniniai pamatai, pastatyta pirmoji gyvenvietė, turėjusi sienas. Kartu plėtėsi ir skaičiaus sąvokos turinys, – didesnius skaičius pradėta gauti iš mažesnių juos sudedant, taip ‘3’ buvo jau traktuojama kaip 2+1, ‘4’ kaip 2+2 ir t. t. Štai australų tautelė nuo Murėjaus upės skaičius taip vadina: 1 = enea, 2 = petčeval, 3 = petčevalenea, 4 = petčeval-petčeval ir t. t. Pradėjo rastis aritmetikos atmaina, nulėmusi sk
kaičiavimo sistemos atsiradimą. Skaičiavimo sistemos buvo didžiausias to laiko atradimas, savotiškas revoliucinis perversmas. Jas sukūrus buvo prieita prie tokių aritmetinių veiksmų kaip dalyba ir daugyba. Tiesa, iš pradžių buvo tenkinamasi tik dalyba ir daugyba iš ‘2’. Taigi pirmoji į priekį pažengusios matematikos atmaina buvo aritmetika.
Plintanti žemdirbystė ir statyba (apie 4000-3000 m. pr. m. e.) skatino geometriją. Terminas “geometrija” yra graikiškos kilmės žodis ir reiškia “žemės matavimą”. Pirminė šio mokslo nagrinėta figūra buvo stačiakampis. Iš pradžių geometrija buvo visiškai aritmetizuotas mokslas. Išlikusiuose senuose uždaviniuose klausiama ne “koks plotas”, o “koks laukas”? Figūros plotas buvo lyginamas su tam tikru ploto etalonu, o ne ieškoma jo išraiška ploto vienetais. Analogiškai buvo matuojamas ir tūris.
Ilgainiui geometrija ėmė nagrinėti ir kitus objektus: trikampius, trapecijas ir t. t.; jie pradėti lyginti su stačiakampiu. Kaip tik šie objektai ir paskatino geometriją “atsikratyti” pernelyg didelės aritmetikos globos. Bene didžiausi geometrijos laimėjimai sietini su apskritimo ir skritulio nagrinėjimu. Geometrija už visą tai turi būti dėkinga astronomijai: kaip tik jos dėka ir buvo atrastos kai kurios tiesos apie apskritimą bei kampus. Manoma, kad geometrija su apskritimo sąvoka susidūrė dar prieš 3200 m. pr. m. e.

2. Senovės Egipto matematika.

2.1 Senovės Egipto skaičiavimo ypatumai.

Apie senovės Egipto matematikos nueitą kelią mes galime tik spėlioti. Iš dalies todėl, kad ją reprezentuoja vos keletas išlikusių rankraščių, iš kurių svarbiausi yra du papiruso ryšulėliai: vadinamasis Londono (arba Raindo, pagal jo savininko pavardę) ir Maskvos (V.Goleniščevo) papirusai. Kaip ik iš jų ir galima susidaryti apytikslį vaizdą apie to laiko matematikos pasiekimus ir trūkumus. O trūkumų būta, ir gana nemažų. Dalį jų nulėmė senovės Egipto kultūros uždarumas. Dalis buvo sąlygota pačios civilizacijos lygio.
Senovės Egipto skaičiavimo matematikos pagrindą sudarė dešimtainė skaičiavimo sistema. Tuo visas panašumas tarp mūsų ir senovės egiptiečių skaičiavimo sistemų baigiasi. Dabar naudojama skaičiavimo sistema yra porinė, t.y. skaičiaus užraše skaitmens vieta (pozicija) nusako jo eilę, pvz.:

123=1*10 2 + 2*10 1 + 3*10 0.

Tuo tarpu senovės egiptiečių skaičiavimo sistema buvo adityvinė. Bet koks skaičius būdavo išreiškiamas atitinkamų dešimtainių vienetų suma. Štai skaičius “penki” buvo žymimas penkiais “vienetais”; “dvidešimt šeši” buvo lygus dviem “dešimtims” ir šešiems “vienetams” ir t.t. Kaip matome, čia žymu primityvios adityvinės aritmetikos pėdsakai.

Br 1. Figuros – skaičiai.
Kiekvieną dešimtainį vienetą žymėdavo atitinkamais hieroglifais, kuris egiptiečių kalba kartu reiškė ir skaitvardį. Tokių hieroglifų iš viso buvo 7. Atrodytų senovės egiptiečių skaičiavimo matematika palyginti tobula, – jie net vartojo “milijono” sąvoką, kuri Europoje prigijo tik XIVa. Tačiau iš tikrųjų taip nėra. Jei mes atidžiau įsižiūrėtume į hieroglifą, žymintį “milijoną”, ten pamatytume priklaupusį ir rankas aukštyn iškėlusį žmogų. Milijonas senovės egiptiečiui buvo tokia kiekybė, prieš kurią paprastas žmogus, pritrenktas tos daugybės, klaupėsi ir iš nuostabos kėlė aukštyn rankas. Vargu ar jie, taip pavaizdavę “milijoną”, galėjo jį vaitoti praktiniams skaičiavimams. Tas pats ir su skaičių “tūkstantis”, “šimtas tūkstančių” žymėjimu. Pvz., skaičius “tūkstantis” žymimas tuo pačiu hieroglifu, kaip ir žodis “lotoso žiedas”, o “šimtas tūkstančių” – kaip ir “buožgalvis”. Šie skaičiai senovės egiptiečių supratimu buvo tokios kiekybes, kurių jau neįmanoma suskaičiuoti. Pavasarį Nilo paviršių padengia tūkstančiai lotoso žiedų. Tad ir pažymėkime “tūkstantį” kaip “lotoso žiedą”. Arba dumblyne knibžda šimtai tūkstančių buožgalvių. Tegu ir būna “šimtas tūkstančių” kaip “buožgalvis”.
Šitokiame skaičių žymėjime, kaip ir visuose egiptiečių hieroglifuose, slypi pačios ankstyviausios rašto stadijos – piktografijos – užuomazgos. Piktografija atsirado, kai žmogui prireikė užrašyti savo žinias, pritaikymą. Norėdamas ką nors pranešti, žmogus piešdavo tą daiktą. Sakysim, pirmykščiam žmogui reikia užrašyti “liūtas praėjo”. Jis ima ir nupiešia supaprastintą žengiančio liūto atvaizdą. Iš tokių primityvių piešinių ir išsirutuliavo senovės egiptiečių hieroglifai, kuriais jie žymėjo ir skaičius.
Ankstyvosios adityvinės aritmetikos pėdsakų galima rasti ir senovės Egipto skaičiavimo metoduose. Praktiškai egiptiečiai nežinojo nei daugybos, nei dalybos. Daugybą jie pakeisdavo daugyba iš 2 ir sudėtimi. Jei, pavyzdžiui, jiems reikėdavo apskaičiuoti 5*9 , tai jie sudarydavo šitokią lentelę:

/1 9
2 18

3 27
/4 36
Suma 45
Tuos dvejetų laipsnius, kurie buvo reikalingi sumai, jie žymėdavo brūkšneliu ir sudėdavo šalia esančius skaičius (5 = 1 + 4). Dalybą atlikdavo analogiškai, tačiau tarsi iš antro galo. Norėdami 120 padalyti iš 8, jie ieškodavo tokio daugiklio, kad pastarųjų sandauga duotų 120. Taigi senovės egiptiečių skaičiavimo matematika apsiribojo vien tik sudėtimi ir atimtimi, – daugyba ir dalyba būdavo atliekama lyg ir bandymų keliu. Patys sunkiausi klausimai buvo susiję su dalyba iš nedalaus duotajam skaičiui daliklio, t.y. su trupmenomis. Štai senovės Egipto matematikas turėjo išspręsti uždavinį: “Kaip po lygiai padalyti 7 kepalus 8 darbininkams?” Senovės Egipto matematikas ima taip samprotauti: “kadangi kiekvienam darbininkui tenka mažiau kaip po vieną kepalą duonos, tai padalykime visus kepalus pusiau, turėsime 14 dalių. Išdalijus juos dar liks 6 puskepaliai. Vėl juos pusiau, turėsime 12 ketvirtainių kepalo dalių. Juos išdalijus, dar liks 4 gabalai. Padalijus juos pusiau, gautas 8 dalis galėsime visas iki vienos išdalinti darbininkams”.

Todėl egiptiečio matematiko atsakymas būtų šitoks: ” kepalo dalys”.

Ar ne todėl senovės egiptiečiai operavo išimtinai tiktai alikvotinėmis trupmenomis (1/n pavidalo, kur n – natūrinis skaičius) ir dar trupmena , kuriai žymėti buvo naudojamas specialus ženklas. Žinoma, tai nereiškia, kad jie nežinojo tokių mums įprastų trupmenų , kur m, n – natūriniai skaičiai. Jie paprasčiausiai jomis nesinaudojo, jas pakeisdami alikvotinių trupmenų suma. Kadangi senovės Egipte daugyba faktiškai buvo daugyba iš dviejų. Iš Raindo papiruso mes sužinome, kad senovės egiptiečiai žinojo tokius skleidinius:

Pav. 2. Kai kurių skaičių lentelė.

Šiaip ar taip, bet kokios trupmenos išdėstymas alikvotinėmis trupmenomis reikalauja tam tikro matematinio įgudimo, kuris neįmanomas be specialaus pasiruošimo. Todėl senovės Egipto matematikai buvo gana išprusę.
Toks neaukštas skaičiavimų lygis turėjo atsiliepti visai tuometinei matematikai. Ir išties senovės Egipto matematikai mokėjo spręsti tiktai tiesines lygtis (vadinamuosius “aha” uždavinius), kurias, pritaikius mūsų simboliką, galėtume taip užrašyti:

x + ax + bx +cx +.= p.

Svarbiausia čia buvo rasti dalmenį:

Šį uždavinį jie spręsdavo “melagingos prielaidos” metodu. Jos esmė šitokia. Tarkime, turime lygtį x + 0.5x = 12. Imame kokią nors sprendinio “melagingą” reikšmę, sakysim, 4. Tuomet 4 + 0.5*4 = 6. Dalijame Vadinasi, x = 4*2 = 8.

Br 3. Senovės egiptiečių užrašyta lygtis. Hieroglifiniais (viršuje) ir hieratiniais (apačioje) rašmenimis.

2.2 Senovės Egipto geometrija.

Jau antikos graikai laikė Egiptą geometrijos gimtine. Geometrijai suklestėti senovės Egipte turėjo įtakos svarbiausias įvykis tais laikais – Nilo potvynis. Patvinęs Nilas žemdirbiams padarydavo neįkainojamą paslaugą, – jų laukus padengdavo derlingu dumblu. Tačiau kartu jis nuplaudavo bet kokias ribas tarp sklypų. Po kiekvieno Nilo potvynio reikėdavo atstatyti šių sklypų ribas. Tai ir sudarė prielaidas atsirasti praktinei geometrijai, kurią tačiau maitino tik teoriniai tyrinėjimai.

Pav 4. Laukų matavimas senovės Egipte. (Piešinys maždaug iš XVa. pr.m.e.)

Visa senovės egiptiečių geometrija buvo plotų ir tūrių skaičiavimas. Toli pažengę jie buvo tik skritulio ploto skaičiavime. Jų nuomone, skritulys yra lygiaplotis kvadratui, kurio kraštinės lygios 8/9 skritulio skersmens. Senovės Egipto matematikai pirmieji ėmėsi spręsti antikoje (ir vėliau) pagarsėjusią skritulio kvadratūros problemą. Kaip žinome, skritulio plotas išreiškiamas formule r2. Skaičiuojant skritulio plotą, sunkiausia buvo nustatyti skaičių . Nepavykus nustatyti tikslios  reikšmės, buvo ieškoma geometrinio būdo skritulio plotui apskaičiuoti. O kas gali būti geriau, kaip suvesti tokią, atrodytų paprastą figūrą kaip skritulys, į ne mažiau paprastą kvadratą. Ir čia senovės egiptiečiai pasirodė pranašesni už kitų, netgi vėlesnių, skaičiavimo metodų autorius, – jų skritulio kvadratūros būdas pateikia palyginti tikslią  reikšmę 3,1605, t.y. paklaida neviršija nė 1%. Kaip jie sugebėjo tai nustatyti, nežinoma. Yra keletas hipotezių, aiškinančių šio būdo atsiradimą, tačiau nė viena iš jų absoliučiai įtikinama.
Kitas senovės Egipto geometrijos laimėjimas buvo būdas apskaičiuoti nupjautos piramidės tūriui, kurį, kaip matyti iš Maskvos papiruso 14 uždavinio, galima išreikšti šitokia formule:
V= (a2+ab+b2)  ; (čia a ir b – piramidės kvadratinių pagrindų kraštinės, h – jos aukštinė).
Panašaus rezultato nebuvo surasta jokioje kitoje senovės šalyje, gal būt todėl, kad piramidžių skaičiavimai buvo vieni aktualiausių senovės Egipte. Kaip tų laikų matematikai sugebėjo nustatyti piramidės tūrį, ligi šiol neaišku. Kai kas teigia, kad jis buvo surastas empiriškai. Ir tarp tų, kurie mano, jog senovės Egipte jis buvo atrastas teoriškai, nėra vienybės. Vienu atžvilgiu tyrinėtojai sutaria, – jų nuomone, senovės egiptiečiai nupjautą piramidę suskaidydavo į keletą paprastų piramidžių. Tačiau kaip ją suskaidydavo? Čia ir prasideda nesutarimai: kiekvienas siūlo savo rekonstrukciją. Ir reikia pasakyti, kad bet kurioje iš šių rekonstrukcijų pateikiamas palyginti sudėtingas nupjautinės piramidės skaidymas.
O štai kas įdomiausia: šalia šių nuostabių rezultatų senovės Egipto matematikoje galima rasti it tokią keturkampio ploto formulę:

, arba trikampio ploto formulę:

Šiomis formulėmis gaunami išties geri rezultatai, tačiau tik tada, kai šios figūros yra taisyklingos, t.y., kai keturkampis mažai tesiskiria nuo stačiakampio, o trikampis artimas stačiajam ir yra labai ištęstas. Priešingu atveju skaičiavimo paklaidos gali pasidaryti labai didelės. Galima manyti, kad šios apytikslės formulės gimė ankstyvaisiais laikais, kai graikų matematika jau pasiekė savo “aukso amžių”. Plokščias geometrines figūras egiptiečiai vaizdavo gulsčioje padėtyje, o erdvines – stačioje padėtyje.

3. Senovės Graikijos matematika.

3.1 Ankstyvoji senovės graikijos matematika. Matematikos mokslo atsiradimas.

VI-V amžiai pr.m.e Graikijos istorijoje įsidėmėtini šiais trimis svarbiais įvykiais: pirmą kartą žmonijos istorijoje susikūrė demokratinė valstybė, atsirado tragedija bei komedija ir buvo sukurta matematika kaip abstraktus dedukcinis mokslas. Šie įvykiai, kurių kiekvenas atskirai buvo nepaprastai reikšmingas, sudaro fenomeną, vėliau pavadintą “graikų stebuklu”.
Antikos žmonių polinkį mokslui galima paaiškinti ten įsigalėjusia nuomone, kad žinios žmogų tobulina, daro jį asmenybe. Graikijoje mokslas jau buvo atskiro asmens reikalas. Ir išminčius Graikijoje ne dievų patikėtinis, bet asmenybė, kuriai įgyti pripažinimą nepakanka vien dievo autoriteto,- jis turi “kovoti” už savo vietą. Taigi įsigalėjo diskusijos. Visas antikos gyvenimas persunktas diskusijų tradicija: diskusijos vyksta ir politiniame gyvenime, ir moksle. Teisus buvo senovės Romos istorikas Flavijus (36-105m.), taip palyginęs Vakarų ir Rytų, iš dalies žydų, kultūras: ”Žydų istorija remiasi nenuneigiamu autoritetu, kuriuo nė vienas žydas niekuomet neabejojo; tuo tarpu susipažinę su graikų istorijos mokslu matome, kad graikai nieko gerai nežino, o sako tai, kas kiekvienam, remiantis savo paties protu, atrodo teisingiausia! Jie nesivaržydami prieštarauja vienas kitam, ginčijasi tarpusavyje, kaltina dėl klaidų ne tiktai vienas kitą, bet ir visų pripažintus savo autoritetus – Homerą, Herodą, Tukidiką, jų laikomą didžiausiu autoritetu”.
Šie Flavijaus žodžiai geriausiai nusako tą aplinką, kurioje ir atsirado matematika kaip mokslas. Susikūrusi demokratinė santvarka suteikė laisviems piliečiams teisę abejoti, svarstyti, samprotauti, vadinasi, turėti savo nuomonę. Susiklosčiusi tradicija viską įrodyti netruko pasireikšti ir matematikoje, perimtoje iš babiloniečių. Taip atsirado matematika, kokia yra ir dabar,- dedukcinė sistema, kurioje iš bendrų teiginių, pasitelkiant logikos taisykles, išvedami daliniai.
Taip moksle galutinai įsitvirtino dedukcija, – reiškinys, visai priešingas tuomet žinomai indukcijai,- kai iš paskirų dalinių apibendrinimas vienas. Tuo matematika ir skiriasi nuo daugelio indukcija pagrįstų mokslų, pavyzdžiui, chemijos, biologijos, fizikos ir kt. Matematikas, nustatęs kokią nors keletui skaičių būdingą savybę, faktiškai yra nieko nenustatęs,- jis dar neturi teisės teigti, kad ir likusiems skaičiams būdinga ta savybė. Kaip kad rūmui pastatyti nepakanka plytų, reikia dar ir skiedinio, įrankių, pagalbinių detalių, taip ir dedukcijai įdiegti matematikoje prireikė naujo “techninio” aparato: apibrėžimų, aksiomų, teoremų, įrodymų ir t.t. Pirmasis čia kelią pramynė Talis Miletietis (apie 624-547 m. pr. m. e), vienas iš septynių antikos išminčių.
Talio Miletiečio pažiūros pralenkė kitų išminčių gyvenimiškąją išmintį. Štai kaip apie jį atsiliepia graikų istorikas Plutarchas: ”Tai vienintelis mokslininkas, kuris savo tyrinėjimais nuėjo toliau negu reikia praktiniams poreikiams, visi kiti mokslininkų vardą gavo už savo sugebėjimus valstybės reikaluose”.
Apie Talio gyvenimą autentiškų žinių išliko labai mažai. Žinome, kad Talis buvo turtingas ir kilmingas Mileto gyventojas. Kai kurie šaltiniai teigia jį buvus finikiečiu ir į Miletą atvykus jau senatvėje. Kiti šaltiniai teigia, jog Talis Milietis keliavo po Egiptą, kad susipažintų su egiptiečių atrastomis matematinėmis tiesomis. Matyt, keliauta netuščiai, nes 585 m. pr. m. e jis išpranašavo Saulės užtemimą. Plutarchas apie Talį atsiliepia kaip apie “išmintingą patarėją karo ir valstybės reikaluose”, romėnas Plinijus jį charakterizuoja kaip “pirmąjį fiziką”, o graikas Eudemas Rodietis – kaip “pirmąjį astronomą”. Žymus senovės stilistas Apulėjus Kartaginietis taip rašė: “ Talis Miletietis, vienas iš septinių išminčių ir, beabejos, įžymiausias tarp jų – juk jis Graikijoje buvo pirmas geometrijos išradėjas, labiausiai patyręs gamtos tyrinėtojas.”. Talis stengėsi pats įsitikinti Babilonijos ir Egipto mokslo teisingumu, pasitelkdamas įrodymus. Aristotelio mokinio Eudumo Rodiečio (IV a. pr. m. e.), parašiusio geometrijos istoriją, liudijimu, Talis yra įrodęs šias teoremas:

– kampas, įbrėžtas į pusapskritimį, yra status;
– vertikalieji kampai yra lygūs;
– lygiašoniame trikampyje kampai prie pagrindo yra lygūs ir atvirkščiai;
– skersmuo dalija skritulį į dvi lygias dalis.

Nors šios Taliui priskiriamos teoremos iš pažiūros ir labai paprastos, bet yra labai svarbios. O svarbiausia – idėja, kad matematines tiesas reikia įrodinėti, atiduoti jas logikų ir kitų matematikų teismui. Kaip tik tai ir davė stimulą matematikai tapti dedukciniu mokslu.

3.2 Pitagoriečių skaičių fetišizmas.

Nors Talis ir daug nusipelnė matematikos mokslui, tikrasis matematikos gimimas vis dėlto siejamas su Pitagoro Samiečio (570-500 m. pr. m. e.) vardu. Kaip tik jo dėka, A. Einšteino žodžiais tariant, “Graikija tapo Vakarų mokslo lopšiu”. Gal ne veltui Pitagoras ir Talis buvo palyginti: “Talis buvo geometrikas.Pitagoras buvo matematikas”.
Pitagoras gimė Egėjo jūroje esančioje Samos saloje. Jo tėvas Mnesarchas buvo salą valdžiusio tirono Polikrato dailininkas. Tačiau Pitagoras mažai susijęs su šia sala, nes jau jaunystėje teko ją apleisti,- neįtiko tironui. Talio patariamas jis išvyko į Egiptą susipažinti su ten klestėjusios senovės kultūros likučiais. Pasakojama, kad čia Pitagoras suartėjo su žyniais, kurie jį po tam tikrų išbandymų priėmė savo mokiniu. Taip jis gavo teisę keletą metų studijuoti Egipto žynių mokslą. 525 m. pr. m. e. Egiptą nukariavo persai. Daug egiptiečių kaip karo grobis išgabenta į rytus, tarp jų ir Pitagoras, kuriam teko persų valdomame Babilone praleisti net 12 metų. Šie metai nepraėjo veltui.
Rytuose jis užsikrėtė ten populiaria skaičių magija. Tai ir paskatino jį susidomėti matematika. Kiekvienas susiduria su daiktais, kuriuos galima išmatuoti. Ir čia nieko nuostabaus. Tačiau Pitagoras, užsiiminėdamas akustika, pastebėjo, kad išmatuoti galima ir garsus. Atradęs skaitinius dėsningumus astronomijoje ir muzikos dermėse, Pitagoras labiau susidomėjo šia pasaulio pažinimo puse. Kadangi tokių dėsningumų jis rasdavo vis daugiau ir daugiau, tai neliko nieko kito, kaip padaryti išvadą, kad “skaičius yra visų daiktų esmė ir apskritai Visatos organizacija su jos nuostatais yra harmoninga skaičių ir jų santykių sistema”.
Pitagoriečiai pirmieji iškėlė matematiką iki anksčiau dar neegzistavusio rango: skaičiai ir skaitiniai santykiai tapo raktu Visatos paslaptims atskleisti. Tai, kas egiptiečiams ar babiloniečiams buvo tik priemonė, padedanti išspręsti praktinius uždavinius, pitagoriečiai pavertė specialiu tyrinėjimo objektu, t.y. šio tyrinėjimo tikslu.
Pitagoras tiesiog ėmė dievinti skaičius. Jiems priskyrė net tokias žmogiškas savybes, kaip draugiškumas, tobulumas, teisingumas. Teisingaisiais Pitagoras vadino skaičius, padaugintus pačius iš savęs, t.y. skaičių kvadratus. Remdamasis tuo, kad draugais tampa žmonės, kurie turi ką nors bendra, draugiškaisiais skaičiais jis pavadino skaičių poras, turinčias tas pačias daliklių sumas. Atrodytų, skaičių su tokia savybe turėtų būti daug. Bet taip nėra. Antikoje buvo žinoma tik viena draugiškųjų skaičių pora: 220 ir 284, jų daliklių suma lygi 504. Pasak vienos legendos, Pitagoras, mokinio paklaustas, kas yra draugystė, taip atsakęs: “220 ir 284”. Viduramžiais buvo labai vardinami talismanai su šiais skaičiais, kaip labai padedą meilės reikaluose. Šie skaičiai buvo garbinami tol, kol XVII a. buvo atrasta antra, o vėliau ir trečia draugiškųjų skaičių pora. O paskui tokie skaičiai pasipylė kaip iš maišo. Tačiau paaiškėjo, kad draugiškieji vis tiek sudaro tik mažą visų skaičių dalį,- dauguma skaičių “nedraugiški”. Iš pastarųjų išsiskiria ypatinga grupė – tobuli skaičiai. Tai skaičiai egoistai, kurių draugiškuoju partneriu gali būti tik jis pats. Tokio skaičiaus daliklių, įskaitant ir jį patį, suma yra dvigubai didesnė už jį patį. Pitagoras nustatė formulę, pagal kurią galima nustatyti lyginius tobulus skaičius. Jei p ir 2p-1 yra pirminiai skaičiai, tai tuomet N = 2p-1(2p-1) yra tobulas skaičius. Tačiau net turėdami tokį puikų tobulų skaičių nustatymo kriterijų, antikos matematikai žinojo tik keturis tobulus skaičius: 6; 28; 496; 8128. Priežastis gana paprasta: norint rasti kokį nors tobulą skaičių, iš pradžių reikėdavo nustatyti, ar duotajam pirminiam skaičiui p skaičius 2p-1 irgi yra pirminis. O tai ne visuomet pasisekdavo. Tokie skaičiai ilgus amžius matematikams buvo neįveikiama kliūtis. Senovės graikai šiam faktui rado gana “įtikinamą” paaiškinimą. Štai ką rašė I a. graikų matematikas Nikomachas: “Tobuli skaičiai gražūs. Tačiau žinoma, kad gražūs daiktai reti, netikusių gi yra pilna visur”.
Visa tai liečia tik lyginius tobulus skaičius. Nelyginių tobulų skaičių ligi šiol nerasta, bet ir neįrodyta, kad tokie neegzistuoja.

3.3 Pitagoro teorema ir pirmoji matematikos krizė.

Pitagorui šlovę atnešė ne skaičių teorijos, o geometrijos darbai. Iš šių darbų bene svarbiausias buvo Pitagoro teoremos įrodymas. Pasakojama, kad Pitagoras, įrodęs šią teoremą, iš džiaugsmo net liepė po mirties ant savo antkapio iškalti šią teoremą iliustruojantį brėžinį.
Tiesa, Pitagoro teorema buvo žinoma ir anksčiau. Graikų žiniomis, datuojamomis I tūkstantmečio pr. m. e., senovės Egipto valdininkai turėjo virvutę su joje mazgais atskirtomis 12 atkarpų stačiam kampui nustatyti. Rastose babiloniečių lentelėse yra ir daugiau duomenų, kad tuomet žinota Pitagoro teorema. O vienoje iš jų net randame Pitagoro skaičių lentelę. Tačiau čia nėra jokios užuominos, kaip ji buvo nustatyta. Tuo tarpu Pitagoras šią teoremą įrodė loginiu būdu.
Ši teorema buvo Pitagoro triumfo ir širdgėlos priežastis. Mat, ja remiantis, buvo pastebėta, kad egzistuoja nebendramatės atkarpos. Iki tol Pitagoras manė, kad visi dydžiai, ar tai būtų skaičiai, atkarpos ar plotai, yra tarpusavyje bendramačiai, t.y., pasirinkus vieneto etaloną, duotasis dydis visuomet bus išmatuojamas tuo etalonu, – duotąjį dydį ir etaloną pakartojus atitinkamą skaičių kartų, bus gauti tarpusavyje lygūs dydžiai. Vartojant dabartines sąvokas, galima sakyti, kad tada buvo manoma, jog visi skaičiai yra teigiami racionalieji, t.y. natūriniai ir jų santykiai.
Taikant Pitagoro teoremą paaiškėjo, kad stataus lygiašonio trikampio įžambinė nebendramatė su to trikampio statiniu, t.y. šių atkarpų ilgių santykis lygus √2, kuris nėra racionalusis skaičius. Tarkime, kad yra priešingai, t.y. kad galima atrasti tokius nesuprastinamus natūrinius skaičius a ir b, kad

√2= a/b

Tuomet a2=2b2, vadinasi, ‘a’ yra lyginis skaičius, nes jo kvadratas dalijasi iš 2. Tegu a=2m. Bet tuomet b2=2m2, vadinasi ir ‘b’ turėtų būti lyginis skaičius. Tačiau tai prieštarauja mūsų prielaidai, kad ‘a’ ir ‘b’ yra nesuprastinami. Taigi √2 nėra racionalusis skaičius.
Šis skaičiaus √2 iracionalumo įrodymas, kuris, anglų matematiko G. F. Hardžio nuomone, yra klasikinis matematinio įrodymo pavyzdys. Iracionaliųjų dydžių atradimas buvo bene svarbiausias antikos matematikos įvykis.

3.4 Geometrinės algebros suklestėjimas.

Visai antikos graikų matematikai buvo būdinga tai, kad joje visiškai nevartojama algebra. Ir ne tik nevartojama, bet jos klausimai sprendžiami geometriniais metodais. Tai buvo strateginė klaida, bet didelis taktinis laimėjimas, kuris iš pradžių apvainikavo antikinę matematiką.
Kadangi geometrijoje tuomet visi įrodymai ir konstrukcijos buvo gaunami naudojantis liniuote ir skriestuvu, tai ilgainiui visa graikų matematika tapo idealių liniuotės ir skriestuvo matematika. Visa tai sąlygojo naujos matematikos šakos – geometrinės algebros – gimimą.
Geometrine algebra dabar mes vadiname tą antikinės matematikos dalį, kurioje įvairios matematikos sąvokos išreiškiamos geometriniais terminais. Joje įvairios algebrinės lygybės buvo įrodinėjamos naudojantis plotų bei tūrių savybėmis. Tai įgalino pirmą kartą istorijoje bendriausiu būdu nustatyti algebrines tapatybes. Štai tapatybė (a+b)2= a2+b2+2ab buvo nustatyta remiantis figūra:

Čia AE = a, o BE = b. Šios tapatybės teisingumas buvo įrodytas bet kokiems dydžiams a ir b, visai nekreipiant dėmesio nei į tai, ar jie bendramačiai, ar nebendramačiai. Čia galima įrodinėjant aptikti ir tokias tapatybes, kaip (a + b)c = ac + bc (distributyvumo principas). Kam antikos matematikams prireikė šios iš pirmo žvilgsnio visai nenaudingos tapatybės? Atsakymas tik vienas – juos domino ne vien tik skaičiavimo galimybės, bet ir sugebėjimas pagrįsti, rutulioti matematinę teoriją. Geometrinė algebra brendo glaudžioje algebros ir geometrijos vienybėje, pirmenybę vis dėl to atiduodant geometrijai, kaip mokslui apie bendresnės prigimties objektus. Tad geometrinė algebra savo laiku buvo pažangus reiškinys, leidęs nagrinėti algebrinių operacijų bendriausias savybes.
V a. pr. m. e. graikų matematikoje atsirado uždavinių, kurie negalėjo būti išspręsti klasikinės geometrinės algebros priemonėmis, kitaip sakant, pasirodė pirmieji “neišsprendžiami” uždaviniai. Tai garsiosios antikos problemos: kubo padvigubinimo, kampo trisekcijos ir skritulio kvadratūros. Visi šie uždaviniai turi ilgą istoriją ir buvo galutinai išspręsti tik XIX a., pirmieji du 4-ajame, o paskutinysis – 9-ame dešimtmetyje.

3.5 Zenono Elėjiečio aporijos.

Kliūtys, kilusios geometrinės algebros kelyje, parodė, jog ji negali išvengti pirmosios matematikos krizės. Jau nepakako žinoti, kad atkarpa yra bendresnis dydis už skaičių. Matematikams reikėjo nustatyti, kas yra taškas, tiesė, plokštuma ar kūnas.
Ilgainiui antikos matematikoje stichiškai susikristalizavo tokie matematinių objektų apibrėžimai: “Taškas yra tai, kas neturi dalių”, “Tiesė – tai ilgis be pločio”, “Paviršius yra tai, kas turi tik ilgį ir plotį”, “Kūnas yra tai, kas turi ilgį, plotį ir gylį”. Tačiau kaip matome, šie apibrėžimai negali mūsų patenkinti. Nežiūrint jų loginių netikslumų (juk ir meilę, ir ir draugystę turėtume laikyti taškais, nes jie neturi dalių), kyla klausimas – kas yra tas ilgis, plotis, ar gylis? Todėl buvo priimta laikyti, kad tiesiai judantis taškas nubrėžia tiesę; judanti tiesė duoda paviršių. Šis požiūris į geometrinius objektus išliko iki naujųjų amžių.
Taip visai nejučia į matematiką buvo įvesta judėjimo sąvoka. Tačiau judėjimas visai nėra matematinis objektas. Ir todėl per didelis pasitikėjimas juo gali sukelti matematikai daug keblumų. Pirmasis tai pastebėjo senovės graikų išminčius Zenonas, gyvenęs V a. pr. m. e. pietų Italijoje esančioje graikų gyvenvietėje Elėjoje.
Antikos filosofijos autoritetas Aristotelis Zenoną vadina dialektikos išradėju. Tai liudija ir iki šių dienų atėjusios jo garsiosios aporijos (lietuviškai “keblumai”), neigiančios judėjimą. Vien dėl jų Zenonas buvo pramintas “dviženkliu”.
Pirmojoje Zenono aporijoje “Dichotomijoje”(kas reikštų dalijimą pusiau) jis įrodinėja, kad judėjimas negali prasidėti, nes judantis kūnas, prieš pasiekdamas kelio galą, turi nueiti iki jo vidurio. Tačiau kol jis nueis iki kelio pusės, turi pasiekti tos pusės pusę, ir taip iki begalybės, t.y. norint patekti iš vieno taško į kitą, reikia praeiti be galo daug taškų, o tai yra neįmanoma. Antroje aporijoje “Achilas ir vėžlys” įrodinėjama, kad ir koks greitas bebūtų garsusis graikų karys Achilas, jis vis tiek nesugebėtų pavyti . vėžlio. Zenono samprotavimų esmė tokia. Sakykime Achilas yra taške A, o vėžlys – taške B. Kol Achilas atbėgs į tašką B, vėžlio ten neužtiks, nes tas, nors ir mažai, bet bus pasislinkęs ir atsidūręs taške C. Kol Achilas atbėgs į tašką C, vėžlys jau bus taške D, ir taip toliau. Išvada viena – Achilas niekuomet nepavys vėžlio. Jei dar ko nors šios aporijos neįtikintų, jog judėjimas neįmanomas, jis pateikia ir trečią aporiją “Strėlė”. Lekianti strėlė nejuda, nes kiekvienu laiko momentu ji užima tam tikrą pastovią padėtį. Tad kas tuomet yra judėjimas? Ką norėjo atskleisti Zenonas savo aporijomis?
Jo argumentai įrodo, kad baigtinį intervalą galima suskaidyti į begalinį skaičių mažų atkarpų, kurių kiekviena yra baigtinio ilgio. Bet tai reiškia, kad baigtinę atkarpą galime suskaidyti į begalybę atkarpų, kurių kiekviena turi griežtai apibrėžtą nelygų nuliui ilgį. Zenonas visai nesistengia paneigti judėjimo, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Jo tikslas buvo pademonstruoti, kad tuometinės idėjos bei sąvokos negalėjo padėti perprasti judėjimo esmės.
Zenono aporijos sukėlė filosofų ir matematikų sąmyšį. Ir ne vien antikos mąstytojų tarpe. Net dabar, praėjus beveik 25 amžiams nuo jų paskelbimo, šios aporijos jaudina matematikų protus. Ne veltui prancūzų mokslo istorikas P.Taneris teigia, kad kaip tik Zenono aporijos ir sukėlė pirmąją matematikos krizę – “tikrą loginį skandalą”.
Turėjo ateiti matematikoje toks metas, kai teko susidomėti ir begalybės problema. Pirmasis, tyrinėjęs begalybės problemą, ir buvo Zenonas Elėjietis. Jo aporijos – tai pirmieji begalybės problemos sukelti paradoksai. Reikėjo neutralizuoti šiuos paradoksus. Kaip rašo mokslo istorikas S.Lurjė, “tas, kuris norėjo išgelbėti matematiką nuo Zenono puolimo, turėjo paneigti ir begalinį dalumą, ir bemačių dalelių egzistavimą”. Tokio uždavinio ir ėmėsi nauja antikos mokslo kryptis, kurios svarbiausias atstovas buvo Demokritas.

3.6 Demokrito atomizmas.

Reikia iš karto pripažinti, kad Demokritas nebuvo vienintelis ar pirmasis šios krypties atstovas. Atomistinės idėjos, kurių šalininkas buvo Demokritas, siekia žymiai senesnius laikus, dargi prieš Trojos žlugimą. Kaip jos atsirado? Matyt, jas sužadino šitokie samprotizmai: jei turime kokį nors materialų daiktą ir jį smulkiname, tai šis procesas negali tęstis be galo, nes, priėjus ribą, kada nebus ką dalyti, išeis, kad materija išnyko. Vadinasi, reikia įvesti dalijimosi ribą, prieiti prie kažko nedalomo(graikiškai”atomo”), kurio padalyti būtų neįmanoma. Šią idėją Demokritas ir paėmė pagrindu savo teorijos, kurią sukūrė kaip atsvarą Pitagoro ir Zenono mokymams.
Demokritas buvo vienas labiausiai pasišventusių mokslui mąstytojų. Jis mėgo atsiskyręs mąstyti, niekino žemiškąją tuštybę, buvo labai įžvalgus. Jo tikslas buvo sukurti tokią teoriją, kuri atsižvelgtų į mūsų jutimus. Demokrito nuomone, visą pasaulį sudaro atomai ir tuštuma. Atomai grupuodamiesi suformuoja įvairius kokybiškai skirtingus daiktus. Kadangi jis buvo neblogas matematikas, tai visai nenuostabu, kad mokymas apie atomus buvo perkeltas ir į matematiką. Fizikinis atomizmas neįmanomas nesukūrus matematinio atomizmo. Juk bet kokio kūno dalelė, kad ir kokia maža būtų, turi savo matmenis, vadinasi, ir vėl gali būti padalyta. Tad į pagalbą reikia kviestis matematinį atomizmą.
Demokrito principas, kad kiekvieną kūną galima laikyti susidedančiu iš didelio skaičiaus elementarių dalelių, vėliau pasitarnavo kuriant matematinę analizę. Tačiau prieš tai jį dar reikėjo apvalyti nuo fizikinio apvalkalo. Ir tai padarė kitas žymus antikos mąstytojas, objektyviojo idealizmo ir dialektikos kūrėjas – Platonas.

3.7 Platono matematinė programa.

Demokrito ir Platono vardai buvo tarsi vėliavos, iškeltos dviejų priešiškųjų stovyklų antikos filosofijoje – materializmo ir idealizmo. Platonas nusivylė tuomet klestėjusia natūrfilosofija, kurios svarbiausias tikslas buvo parodyti, o ne įrodyti. Kaip atsvarą šiems darbams jis ir sukūrė teoriją, pagrįstą bendros ir amžinos “idėjos” sąvoka, kur mūsų besikeičiąs, nepastovus pasaulis yra tik šios “idėjos” atspindys. Ir visas mūsų pažinimas – tai tik “idėjos” pažinimas. Bet kaip jį įgyti, jei mūsų besikeičiančio realaus pasaulio pažinimą Platonas laikė esant tik nuomone? Tam turėjo pasitarnauti jo sukurtas hipotetinis dedukcinis metodas, kai iš tam tikrų apibrėžimų ir prielaidų(hipotezių) logiškai samprotaujant daromos išvados. Taip pirmą kartą dedukcinis metodas, jau prigijęs matematikoje, buvo panaudotas bendram pasaulio pažinimui.
Platonas nebuvo matematikas. Tačiau jis, N.Burbaki žodžiais tariant, “buvo matematikos užvaldytas; ir nors nieko neįnešęs į tą sritį, jis nuo tam tikro amžiaus pradėjo nagrinėti darbus tuolaikinių matematikų(kurių daugelis buvo jo draugai ar mokiniai) ir nenustojo ja domėtis, netgi pasiūlė naujas jos tyrinėjimo kryptis”. Matematika Platonui buvo priemonė “įžvelgti gėrio idėją”. Todėl jis po filosofijos teikia jai svarbiausią reikšmę. Virš savo akademijos durų jis iškabino šitokį devizą: “Teneįžengia čionai tas, kas nemoka geometrijos”. Tačiau Platonui matematika buvo nevienalytė. Nors ji jau buvo skirstoma į taikomąją, vadinamąją “daugumos matematika”, ir dedukcinę, įrodymu paremta “filosofuojančiųjų matematiką”, jis dedukcinėje matematikoje dar išskiria aritmetiką, kaip mokslą apie skaičių, kurį, Platono nuomone, galima mąstyti, t.y., kuris nė kiek nenusileidžia “idėjai”. Tuo tarpu geometriniai objektai, kurie irgi yra mintijami, bet turi dar ir pirmavaizdžius realiame pasaulyje(gaunami iš materijos ir skaičių), jau tegali užimti žemesnę padėtį už idėjas.
Todėl Platonas skiria tris realybės rūšis: “Yra būtis, yra erdvė ir yra atsiradimas”. Būtis – tai realybės sfera, o atsiradimas – tai jutiminis “buvimas”, vadinasi, erdvė yra kažkas tarp idealaus ir jutiminio, vienu žodžiu, kažkas neaiškaus. Tarybinė filosofė P.Gaidenko rašo, kad, “norėdamas rasti geometrinių objektų statusą, jis(Platonas) prieina prie išvados, kad erdvė – geometrijos stichija – yra kažkas tarpinio tarp idėjų ir jutiminio pasaulio”. Taip pirmą kartą antikos moksle buvo įvesta geometrinės erdvės sąvoka.

3.8 Aristotelis apie matematikos esmę.

Aristotelis buvo “didžiosios Graikijos” žlugimo ir naujos – helenizmo – epochos gimimo liudininkas. Jis buvo vienas žymiausių antikos mąstytojų,- ne tik filosofas, bet ir gamtininkas, fizikas. Aristotelio nuopelnas tas,- kad jis atskyrė potencialiąją ir aktualiąją begalybę. Tai jam pavyko padaryti, į filosofiją įvedus galimybės(potencijos) apskritai ir tikrovės(aktualumo) apskritai sąvokas. Aristotelis begalybės problemą traktuoja dialektiškai: begalybės kaip tokios neįmanoma nei pripažinti, nei paneigti, tačiau tai visai neįrodo, kad ji egzistuoja arba neegzistuoja. Tai reiškia, kad begalybės kaip tokios nėra, kad begalybė nelygu begalybei, ir kas tinka vienai begalybei, neteisinga kitai. Čia Aristotelis ir įveda aktualiąją ir potencialiąją begalybes.
Aristoteliui aktualioji begalybė yra begalinis jutimais pažintinas kūnas ir dydis. Kadangi, jo nuomone, Visata yra baigtinė, tai tuo pačiu negali egzistuoti aktualioji begalybė,- dydis gali būti tik potencialiai begalinis, kurį galima tolygiai dalinti. Ir skaičius negali būti aktualiai begalinis. Begalybę Aristotelis supranta kaip procesą,- nėra begalinio skaičiaus, bet visada yra skaičius, didesnis už pasirinktąjį.
Aristotelis rūpinosi ir pačios matematinės teorijos pagrindimu. Jo sukurta silogizmo teorija padėjo pagrįsti dedukcinį metodą matematikoje. Silogizmas yra Aristotelio atradimas. Jį sudaro trys teiginiai, kurių pirmi du yra prielaidos, o trečias – išvada. Silogizmas yra dedukcinis samprotavimas, todėl jis tapo pagrindiniu matematinių teiginių įrodymo įrankiu. Be to, Aristotelis dar suformulavo prieštaravimo ir negalimo trečiojo dėsnius, nustatė, kad iš teisingų prielaidų neįmanoma daryti klaidingos išvados.
Aristotelis taip pat sudarė matematinių sąvokų apibrėžimo principus. Pasak jo, bet kuri sąvoka apibrėžiama, ją įterpiant į bendresnę gimininę sąvoką, nurodant apibrėžiamos sąvokos rūšinį skirtumą. Toks apibrėžimo procesas gali tęstis tol, kol neprieisime prie pačių bendriausių sąvokų, kurias Aristotelis vadina kategorijomis. Aristotelis suprato, jog matematikai nebūtina, kad jos pagrindinės sąvokos būtų kategorijos. Veikiau reikia nustatyti jai būdingus tvirtinimus – aksiomas. O tada, prisilaikant formalių logikos dėsnių, galima įrodinėti matematikos dėsnius ir nuosekliai įvedinėti naujų sąvokų apibrėžimus. Taip ir elgėsi Euklidas, rašydamas savo “Pradmenis”.

3.9 Euklido “Pradmenys”.

Vienas pirmųjų Aleksandrijos mokyklos atstovų buvo Euklidas, gyvenęs apie 300 m.pr.m.e. Apie jo gyvenimą mažai težinoma. Sakoma, kad tai buvęs be galo sąžiningas, ramus ir kuklus žmogus, jam buvo svetimas išdidumas ir egoizmas. Rimtai ir griežtai jis žiūrėjo į matematikos mokymąsi. Yra išlikę šie Euklido veikalai: 1) ”Duomenys” – uždaviniai, sprendžiami geometrinės algebros metodais; 2) ”Apie figūrų dalijimąsi” – brėžimo uždaviniai; 3) ”Fenomena” (reiškiniai) – astronomijos veikalas; 4) “Optika”.
Euklidui garbę pelnė jo “Pradmenys”. “Pradmenis” galima laikyti pirmuoju pasaulyje bestseleriu: per visą spaudos istoriją Europoje Biblija ir Euklido “Pradmenys” turėjo daugiausia leidimų. “Pradmenų” rankraščio originalas ilgai buvo saugomas Aleksandrijos muziejuje, bet iki mūsų dienų neišliko. “Pradmenys” plito daugybe rankraštinių kopijų. Per dešimtis ir šimtus metų kopijos buvo komentuojamos, papildomos pastabomis ir taisymais, vietomis išplečiamos arba keičiamos.
“Pradmenys” buvo savotiškas lūžis antikos matematikoje. Jei iki Euklido matematikai savo veikalus rašė kaip kas norėjo, neprisilaikydami jokios griežtos kultūros, tai “Pradmenys” išdėstyti sekant Platono ir Aristotelio nurodymais. Euklidas užbaigė tą procesą, kurį kadaise pradėjo Pitagoras ir iš dalies Talis, – sukurti matematiką, kaip dedukcinę sistemą. Todėl jau pirmoje “Pradmenų” knygoje (o jų iš viso 13) pateikiami tie pagrindiniai matematikos teiginiai, kurie negali būti įrodyti, tačiau yra tas pamatas, ant kurio statytas tų laikų matematikos rūmas. Šiuos teiginius Euklidas suskirsto į tris grupes: apibrėžimai, postulatai ir aksiomos (“bendrosios sąvokos”). “Pradmenų” leidime yra 23 apibrėžimai. Paimkime pirmuosius šešis iš jų, nes likusieji yra konkretūs ir niekuo nesiskiria nuo tų, kurie pateikiami daugelyje geometrijos vadovėlių:

1. Taškas yra tai, kas neturi dalių.
2. Linija yra ilgis be pločio.
3. Linijos galai yra taškai.
4. Tiesioji linija yra ta, kuri vienodai guli visų jos taškų atžvilgiu.
5. Paviršius yra tai, kas turi ilgį ir plotį.
6. Paviršiaus galai yra linijos.

Šie pagrindinių geometrijos sąvokų apibrėžimai neatitinka Aristotelio nusakytų principų. Todėl daugelis tyrinėtojų šiuos apibrėžimus laiko silpniausia “Pradmenų” vieta. Atrodytų, taip darydamas Euklidas elgiasi kaip amatininkas, priimantis į darbą naują mokinį, – jis supažindina pastarąjį su įrankiais, kuriais teks dirbti, išvardija ir paaiškina juos. Tad aišku, kodėl linijas ir paviršius jis apibrėžia vartodamas ilgio ir pločio sąvokas, – jos genetiniu požiūriu yra senesnės.
Panašiai nieko apie nusakomo objekto egzistavimą nesako ir devynios Euklido aksiomos:

1. Lygūs vienam ir tam pačiam lygūs ir tarp savęs.

2. Jeigu prie lygių pridėsime lygius, tai ir gautieji bus lygūs.

3. Jeigu iš lygių atimsime lygius, tai ir liekanos bus lygios.

4. Jeigu prie nelygių pridėsime lygius, tai ir gautieji bus nelygūs.

5. Vieno ir to paties padvigubintieji yra lygūs tarp savęs.

6. Vieno ir to paties pusės yra tarp savęs lygios.

7. Sutapatinamieji vienas su kitu yra lygūs.

8. Visuma daugiau už dalį.

9. Dvi tiesės neapima erdvės.

Kaip matome, visos aksiomos, išskyrus 7 ir 9, gali būti pritaikytos ir geometrijoje, ir aritmetikoje. Tuo iš esmės ir aksiomos ir skiriasi nuo apibrėžimų, – aksiomos yra žymiai bendresnio pobūdžio.
Postulatai skiriasi ir nuo apibrėžimų, ir nuo aksiomų. Postulatai, kaip ir aksiomos, yra bendro pobūdžio, tačiau jie pritaikomi tik geometriniams objektams, J. Heibergo leidime jų yra 5, ir jie visi išvardyti I knygoje: “Reikalaujama, kad:

1. Iš bet kurio taško į bet kurį tašką galima išvesti tiesią liniją;
2. Apribotą tiesę galima neribotai pratęsti pačia tiese;
3. Į iš bet kurio centro bet kuriuo spinduliu galima nubrėžti apskritimą;
4. Visi statūs kampai yra lygūs tarp savęs;
5. Jeigu tiesė, kertanti dvi tieses, iš vienos pusės sudaro vidinius kampus, mažesnius už du stačius, tai neribotai pratęstos šios tiesės susikirs iš tos pusės, iš kurios kampai mažesni už du stačiuosius.”

Skirtumas tarp aksiomų ir postulatų yra toks pat, kaip ir skirtumas tarp teoremų – teorinių teiginių, priskiriančių jos nagrinėjamiems objektams visada galiojančias savybes, ir problemų – praktinių uždavinių, kuriuos įmanoma išspręsti net keliais būdais (konstrukcijomis). Postulatai nusako galimybę atlikti geometrines konstrukcijas, naudojantis liniuote ir skriestuvu.
Įvedęs neįrodomus teiginius, Euklidas, jais remdamasis, išdėsto tuometinės matematikos pagrindus. Visas ‘Pradmenų” knygas sąlygiškai galima suskirstysi į keturias grupes. Pirmajai priklauso pirmos šešios knygos, ir jose išdėstomi plokštumos geometrijos – planimetrijos – pagrindai. Toliau eina Euklido aritmetinės knygos. Po jų seka X knyga – didžiausios apimties, sunkiausiai suprantama ir pati reikšmingiausia “pradmenų” knyga. Joje pateikiama iracionalybių klasifikacija. Toliau vėl eina 3 geometrinės knygos, kuriose aiškinama erdvės geometrija – stereometrija.
Ypač reiktų paminėti, kad ‘Pradmenyse’ Euklidas atskleidė tris didžiuosius graikų matematikų atradimus, būtent, Eudokso santykių teoriją, tėtėto iracionalybių teoriją ir penkių taisyklingųjų briaunainių teoriją. Tai tikriausiai Euklidas ir laikė savo svarbiausiu tikslu, rašydamas garsiuosius “Pradmenis”.

3.10 Euklido 5-to postulato problema.

“Pradmenys ilgus amžius traukė yvairių žmonių dėmesį ir Euklido 5-to postulato problema. Proklas šį postulatą siūlė išbraukti iš postulatų sąrašo, kaip neatitinkantį savo paskirties (nenurodo jokios geometrinės konstrukcijos galimumo). Ne vien tai užkliūdavo senovės matematikams. Aksiomomis ir postulatais nusakomos neįrodytos matematinės tiesos turi būti paprastos. Ir formuluojamos jos turi būti paprastai. O V postulato formuluotė yra gana paini. Juo išreikšta geometrinė tiesa nėra tokia akivaizdi, kokia turėtų būti. Proklas suabejoja, ar tai nėra teorema, kurią galima įrodyti, ir siūlo jį išbraukti iš postulatų. Proklas ir supaprastino 5-to postulato formuluotę, – buvo reikalaujama, kad per tašką, esantį šalia tiesės, būtų galima nubrėžti tik vieną jai lygiagrečią tiesę. Bet nuo to jo esmė nepasikeitė, gal tik jis imtas vadinti lygiagrečių problema.
Daug matematikų bandė įrodyti šią “teoremą”. Tačiau šių matematikų darbas buvo lygus Sizifo pastangoms. Lygiagrečių problema pradėjo įgyti “uždavinio – vampyro” šlovę.
Anksčiau 5-tą postulatą mėginta įrodyti itiesiogiai, tačiau nesisekant jo įrodyti, vis dažniau pasigirsdavo balsų, kad be jo neįmanoma geometrija. Todėl jau XVIIIa. Pradėta jį įrodinėti tarus, kad jis neteisingas, ir tikintis kurioje nors vietoje “sugauti” prieštaravimą. Bet laukiamo prieštaravimo vis nepasisekdavo užčiuopti. Užtat įrodymuose būdavo atskleidžiamos įdomios kažkokios naujos ir keistos geometrijos savybės. Labiau susidomėjo šia keistąja geometrija Jonašas Bojajus. Nepasisekus įrodyti 5-to postulato, jis pateikia naują teoriją, pavadinęs ją “absoliučiąja geometrija”, kurioje 5-tas postulatas pakeistas jam priešingu. Jis daro prielaidą, kad per tašką šalia duotos tiesės galima išvesti ne vieną jai lygiagrečią tiesę. Nenuostabu , kad amžininkai buvo šokiruoti ir atmetė tokią teoriją.
Ne lengvesnis likimas laukė ir kito neeuklidinės geometrijos (taip pradėta vadinti naujoji geometrija) kūrėjo – Nikolajaus Lobačevskio (1792-1856). Naujos geometrijos kūrimą jis pradėjo beveik vienu metu su J. Bojaju, tačiau jo teorija žymiai platesnė ir gilesnė. Bet ir jo kūriniai platesnės mokslinės visuomenės nebuvo suprasti.
Neeuklidinėje geometrijoje toli pasistūmėjęs buvo K. F. Gausas. tačiau kiti matematikai susidomi naująja geometrija tik po K. F. Gauso mirties, nes K.F.Gausas turėjo didelį autoritetą. Todėl jau XIXa. pabaigoje laikoma, kad neeuklidinė geometrija yra pati bendriausia geometrija, o Euklido geometrija – tik jos dalinis atvejis. Galutinai neeuklidinė geometrija triumfavo, A.Einšteinui sukūrus reliatyvumo teoriją. Tuomet visi pamatė, kad jei Niutono mechanikai užteko ir Euklido geometrijos, tai reliatyvumo teorija negali išsiversti be neeuklidinės.
Turint tiek daug geometrijų, reikėjo nuspręsti, kuriai paklūsta mūsų pasaulio dėsniai. Kiekvienam nuo seno atrodė savaime suprantama, kad per tašką šalia tiesės galima nubrėžti tik vieną jai lygiagretę tiesę. Nuomonė, kad pasaulis pavaldus Euklido geometrijos dėsniams, per amžius taip įsigaliojo, jog niekas nedrįso suabejoti jo teisingumu. Tad laikas nuo laiko ir atsirasdavo žmonių, kurie Euklido 5-to postulato nelaikydavo nuo kitų aksiomų nepriklausoma aksioma, o tik įrodymo dar neturinčia teorema.

3.11 Archimedas: klasikinės graikų matematikos pabaiga.

Archimedas (287-212 m. pr. m. e.) buvo įžymiausias senovės matematikas ir fizikas. Iš pradžių Archimedas daugiausia dirbo inžinieriaus mechaniko darbus, konstravo karines mašinas ir statė įtvirtinimus, reikalingus tėvynės gynybai, kurį laiką Archimedas gyveno Aleksandrijoje, bendravo su įžymiais mokslininkais – matematiku Eratostenu, astronomu Kononu. Grįžęs į tėvynę, Archimedas parašė keletą garsių matematikos ir mechanikos veikalų.
Archimedas visada taip įsitraukdavo į mokslą, kad jį tekdavo jėga atplėšti nuo darbo vietos ir vesti prie pietų stalo arba prievarta tempti į pirtį. Bet ir čia jis nenustodavo pirštu braižęs geometrinių figūrų ant savo išmuilinto kūno ir mąstyti apie jas.
Archimedas – žmogus, kurio gyvenimas apipintas legendomis; išminčius, pažeidęs seną tradiciją, pagal kurią laisvam piliečiui nedera rūpintis mokslo tiesų taikymu praktikoje; matematikas, kurio darbai kaip ryškus meteoras užtemdė tokių gabių amžininkų, kaip Eratostenas, pasiekimus. Archimedas pirmasis iš antikos mokslininkų nustojo “žaisti su figūromis”. Jo darbų didžioji dalis yra skaičiavimai, tai ir sakyčiaus п reikšmės nustatymas, ir į ritinį įbrėžto rutulio tūrių palyginimas, ir parabolės segmento ploto nustatymas bei logistikos (skaičiuojamosios aritmetikos) ribų praplėtimas. Gal todėl išdrįso nusileisti į paprastų skaičiavimų sritį, kad savo mokslinį kelią pradėjo ir užbaigė kaip mechanikas. Ne veltui visi tyrinėtojai vienbalsiai Archimedo darbus vadina __matematine fizika__. Kalbant tiksliau, jį reikėtų laikyti taikomosios matematikos pradininku.
Archimedo kaip inžinieriaus talentas suklestėjo konsulo Marcelo vadovaujamiems romėnams apsiautus Sirakūzus. Jo sukurtos mašinos pridarė daug eibių romėnams ir privertė juos atsisakyti minties greitai paimti miestą.
Nors ir daug pasiekė Archimedas mechanikoje, tačiau didžiausia jo aistra buvo matematika. Jis matematikoje aplenkė bemaž visus savo pirmtakus. Dar daugiau, jo pasiekimai buvo svaresni net už daugelio vėlesnių matematikų darbus.

4. Romos imperijos laikų matematika.

4.1 Logistika.

Mūsų eros pradžioje, kai Romoje susikūrė imperija ir ekonominis gyvenimas tapo stabilesnis, graikų mokslas vėl pradėjo atgyti. Aleksandrija ir dabar tapo antikos pasaulio kultūros ir mokslo centru.
Kodėl Aleksandrija, o ne tuometinis politinis centras Roma, vėl užėmė viešpataujančią padėtį? Jau Ciceronas Arato astronominės poemos __Dangaus reiškiniai__ pratarmėje rašė, kad geometrija buvo graikų gerbiama ir čia buvo daug žymių matematikų, tačiau romėnai šį meną suvedė tik į skaičiavimus ir matavimus. Romėnai savo dėmesį sutelkė į praktinio pobūdžio uždavinius. Jie nepaliko jokių bent kiek žymesnių teorinių matematikos veikalų. Matematika tarsi sugrįžo į Babilonijos laikus. Vietoj originalių, mąstančių matematikų atsirado kompiliatoriai ir komentatoriai. Ilgainiui pradėjo apmirti senoji klasikinė graikų matematikos dvasia. Ir naujai gimusi Aleksandrijos matematika, bet jau __užteršta__ rytietiškomis tradicijomis. Itin svarbų vaidmenį įgavo praktinė, skaičiuojamoji aritmetika – logistika.
Logistika, kaip praktinių skaičiavimų mokslas, gyvavo nuo pat matematikos atsiradimo. Ir tiktai antikos Graikijoje imta skirti aritmetiką, kaip teorinį mokslą, vertą laisvo piliečio dėmesio, nuo vergams tinkamos logistikos, naudojamos praktiniams skaičiavimams atlikti. Neturime labai priekaištauti Euklidui ir kitiems matematikams, kurie savo veikaluose nepateikė figūrų plotų ar tūrių išraiškų (o tik priklausomybes tarp šių figūrų plotų), nes tai būtų žingsnis link logistikos. Gal tik Archimedas daugiau nusižengė šiai taisyklei, nustatęs, pavyzdžiui, skaičiaus п reikšmę. Archimedas iš viso daug nusipelnė logistikai savo veikalu __Psamitas__ (smėlio smiltelių sakičiavimas), kur praplėtė logistikos naudojamos skaičiavimo sistemos ribas.
Logistikos pagrindu visada buvo skaičiavimo sistemos, kurios laikas nuo laiko keitėsi. Senovės Egipte skaičiavimo sistema buvo dešimtainė ir adityvinė, Babilonijoje – šešiasdešimtainė ir pozicinė – dontyvinė. Senovės Graikijoje gyvavo net dvi skaičiavimo sistemos: herodianiškoji (dešimtainė ir adityvinė) ir 500m.pr.m.e. Jonijos mieste Milete sukurta skaičiavimo sistema, vėliau pavadinta aleksandrietiškąja.
Romėniški sakyčių ženklai, priešingai įsigalėjusiai nuomonei, nėra kilę iš abėcėlės raidžių. Įrodyta, kad jų pirmtakai anksčiau, negu abėcėlė pasirodė Italijos pusiasalyje. Manoma, kad iš pradžių skaičiai nuo 1 iki 9 buvo žymimi atitinkamu skaičiumi vertikalių brūkšnelių, 10 – perbraukta lazdele, 20 – dviem perbrauktoms lazdelėm ir t.t. Skaičius 5 – tai pusė perbrauktos lazdelės, t.y. pusė dešimties.
Romoje buvo paplitusios dvyliktainės trupmenos. Savotiškas šešiasdešimtainių trupmenų darinys.

4.2 Diofanto algebra.

Visi tyrinėtojai vienbalsiai sutinka, kad antikos graikų matematikams neišsenkamas įkvėpimo šaltinis buvo babiloniška ir egiptietiška matematika. Pasak antikos istorijos šaltinių, kiekvienas bent kiek žymesnis graikų matematikas, pradedant Taliu bei Pitagoru, yra keliavęs į Egiptą. Ir visa antikos matematika su jos loginiu formalizmu yra savotiška Babilonijos matematikos interpretacija.
I – IIa. Vėl imta domėtis jau Babilonijoje išpuoselėta astrologija. O astrologija skatino plėtoti trigonometriją. Babilonietiškos tradicijos lydi visą Romos imperijos laikų matematiką. Tai ypač ryšku žymiausio to laikotarpio matematikos Diofanto svarbiausiame veikale __Aritmetika__.
Apie Diofanto gyvenimą praktiškai neišliko jokių žinių. Iki šiol tiksliai nežinoma, kada gimė ir mirė Diofantas. Žinoma tik tai, kad jis išgyveno 84 metus.
Svarbiausias Diofanto darbas yra __Aritmetika__. Iš tiesų __Aritmetikoje__ dėstoma ne teorinė aritmetika ar logistika, o algebra. Toks klaidinantis pavadinimas atsirado todėl, kad pats terminas __algebra__ prigijo vėliau. O pati __Aritmetikoje__ dėstoma algebra – tai ne Babilonijos primytivioji ar antikos geometrinė algebra. Visa matematika iki Diofanto buvo retorinė matematika, – joje nebuvo naudojamasi formulėmis, viskas išreiškiama žodžiais. Diofantas pirmasis iš matematikų įvedė raidinę simboliką. Šie simboliai buvo atitinkamų žodžių santrupos. Taip pirmą kartą matematikoje buvo panaudojami minuso bei lygybės ženklai, laipsnių žymėjimai.
Raidinę simboliką Diofantas įvedė norėdamas išspręsti įvairias algebrines lygtis. Tačiau reikia pripažinti, kad jį mažai domino paprastos lygtys. Daugiausia vietos __Aritmetikoje__ skirta neapibrėžtoms, dabar vadinamoms diofantinėmis, lygtims. Tai tokios lygtys (ar net jų sistemos), kurios turi daugiau nežinomųjų negu yra pačių lygčių. Kai kurios diofantinės lygtys neturi realių (arba racionalių) sprendinių, kitos tik vieną, tačiau dauguma – keletą ar net be galo daug. Diofantas paprastai stengdavosi surasti tik vieną diofantinių lygčių sprendinį, išreiškiamą racionaliuoju skaičiumi. Ieškant diofantinių lygčių sprendinių, kiekvienai konkrečiai lygčiai reikia stengtis surasti savą sprendimo būdą.

4. Išvada.

Kai kurie etnografai, tyrinėję atsilikusias tautas, teigia, kad jos geba skaičiuoti tik iki 3 ar 4. Šis teiginys grindžiamas tuo, kad jų kalboje nėra kitokių skaitvardžių. Tai nereiškia, jog būtent tais skaičiais ir baigiamas praktinis skaičiavimas, – juk skaičiuoti galima ir pirštais ar įdrožomis. Tačiau žyminis skaičiavimas kažin ar sietinas su sakičiaus sąvoka. Juk anas pirmykštis žmogus žinojo tik kiekį (pvz., lazdelės), bet nesuvokė skaičiaus. Vis dėlto šiuo keliu ilgainiui ir buvo prieita prie skaičiaus sampratos. Priskyrus dvylika lazdelių dvylikai galvijų, dvylikai dienų, kyla mintis, kad pastaruosius objektus jungia tai, jog jų yra dvylika. Tad matematikos gimimą reikia sieti su paties žmogaus – Homo sapiens – atsiradimu.

Literatūros sąrašas:

1. A.Baltrūnas, “Pirmieji matematikos žingsniai”, Vilnius, “Mokslas”, 1986.
2. G.Bermanas, “Skaičiai ir jų mokslas”, Vilnius, “Mintis”, 1972.
3. А. Ф. Бермант, И. Г. Абрамович, «Краткий кура математического анализа для втузов», Москва, «Наука», 1969.
4. «Энциклопедический Словарь, 2 том», Москва, «Советская Энциклопедия», 1964.

Leave a Comment