Matematika

1.) Dviejų vektorių vektorinė sandauga: apibrėžimas, savybės, reiškimas
vektorių koordinatėmis, geometrinė prasmė.
Vektorių[pic]ir[pic]vektorinę sandauga vadiname vektorius[pic]. [pic] yra
statmenas vektoriams [pic]ir[pic]. Vektoriaus [pic] ilgis yra lygus [pic].
Vektorius [pic]yra nukreiptas taip kad žiūrint iš jo galo vektorius [pic]
sukamas prieš laikrodžio rodyklę, sutampa su vektoriumi [pic] pačiu
trumpiausiu keliu.
Savybės: 1.) [pic];

2.) [pic];

3.)[pic]
4.) Vektoriai [pic]ir [pic]yra kolinearūs tada ir tik tada kai jų
vektorinė sandauga lygi 0;
Reiškimas vektorių koordinatėmis:

[pic]
[pic]
Geometrinė prasmė – Lygiagretainio plotas
2.) Trijų vektorių mišrioji sandauga: apibrėžimas, geometrinė prasmė,
savybės, reiškimas vektorių koordinatėmis.
Trijų vektorių mišriąja sandauga vadinamas skaičius kuris gaunamas
vektorinę sandaugą [pic] skaliariškai padauginus iiš [pic]. Mišrioji
sandauga žymima šitaip: [pic]
Geometrinė prasmė: gretasienio tūris;
Savybės: 1.)[pic]Vektoriai komplanarūs tada ir tik tada kai jų mišri
sandauga lygi nuliui [pic]
2.) [pic], kai kampas tarp vektorių [pic] ir [pic]yra smailus;
3.) [pic], kai kampas tarp vektorių [pic] ir [pic]yra bukas;
4.)[pic]
Reiškimas vektorių koordinatėmis:
[pic]
3.) Bendrosios plokštumos lygties išvedimas ir atskiri jos atvejai.
Sudarysime plokštumos P lygtį, kai žinomas vienas plokštumos taškas M0(x0,
y0, z0) ir plokštumai statmenas normalės vektorius [pic]. Tarkime, kad M(x,
y, z) yra bet kuris plokštumos taškas, nesutampantis su M0; tuomet [pic] ir
šių vektorių skaliarinė sandauga lyygi nuliui, t. y. [pic].Kadangi[pic], tai
ši vektorinė lygtis ekvivalenti lyčiai: [pic]
Atskliaudę gauname:
[pic] , arba [pic],[pic].
Atskiri atvejai: 1.) D=0 plokštuma eina per koordinačių pradžios tašką. Kai
A, B, C yra pastovūs o D kinta gauname lygiagrečių plokštumų šeimą;
2.) C=0 gautoji plokštuma yra lygiagreti Oz ašiai;
3.) C=0, D=

=0 plokštuma eina per Oz ašį ;
4.) C=0, B=0 plokštuma yra lygiagreti yOz plokštumai;
5.) C=0, B=0; D=0 plokštuma sutampa su plokštuma yOz
4.) Taško atstumas iki plokštumos
[pic]
5.) Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinių lygčių išvedimas.
Žinomas tiesės taškas M0(x0, y0, z0) ir jai lygiagretus tiesės krypties
vektorius [pic]. Šiuo atveju norėdami sudaryti tiesės lygtis, imkime bet
kurį tiesės tašką M(x, y, z). Vektorius [pic] kolinearus krypties vektoriui
[pic], todėl šių vektorių koordinatės yra proporcingos, t.y.
[pic]
Jei kiekvieną kanoninių lygčių trupmeną prilygintume kintamajam t ir juo
išreikštume bet kurio tiesės taško koordinates x, y ir z, tai gautume
parametrines tiesės lygtis: [pic]
6. Bendroji tiesės lygtis ir jos suvedimas į kanoninę lygtį.

ax +by + c = 0
Pvz.: [pic]
[pic];
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
7. Elipsės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, parametrai
ir jų prasmė, kiti elipsės atvejai.
Elipsė yra aibė plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumų iki dviejų
pastovių taškų suuma yra pastovus dydis lygus 2a. Pastovius taškus F1 ir F2
vadiname elipsės židiniais.
[pic]
Lygties išvedimas: Iš trikampio savybių išplaukia, kad 2a > 2c, arba a > c;
[pic]
[pic];
[pic];
[pic][pic];
[pic];
[pic];
[pic];
Kadangi [pic], tai [pic];
[pic];
[pic];
Parametrai: ekscentricitetas – elipsės suplotumą apibūdinantis dydis:
[pic].
Didžioji ašis – 2a;
Mažoji ašis – 2b;
Kiti elipsės atvejai:
1.) Elipsės kurios centras yra taške (x0, y0) lygtis užrašoma šitaip: [pic]
2.) Jeigu elipsės lygtyje a < b, tai elipsės židiniai yra Oy ašyje.
8.) Hiperbolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys,
asimptotės, parametrai ir jų prasmė, kiti hiperbolės lygties atvejai.
Hiperbolė yra aibė plokštumos taškų, kurių kiekvieno a
atstumų iki dviejų
pastovių taškų skirtumas yra pastovus dydis 2a. Pastovūs taškai F1, F2 yra
hiperbolės židiniai.
[pic]
Lygties išvedimas: Iš trikampio savybių išplaukia, kad 2a > 2c, arba a > c;
[pic]
[pic];
[pic];
[pic][pic];
[pic];
[pic];
Kadangi [pic], tai [pic];
[pic];
[pic];
Asimptotės: [pic];. Tiesė vadinama kreivės asimptote, jei bet kurio kreivės
taško atstumas iki tos tiesės artėja prie 0 , taškui tolstant kreive.
Parametrai: ekscentricitetas [pic].
Menamoji ašis – 2b;
Realioji ašis – 2c;

Kiti hiperbolės atvejai:
1.) Kai hiperbolės centras yra taške (x0, y0) lygtis užrašoma šitaip: [pic]
2.) Jeigu elipsės lygtyje [pic] tai elipsės židiniai yra Oy ašyje.
9.) Parabolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, kiti
parabolės atvejai.
Parabolė yra aibė plokštumos taškų vienodai nutolusių nuo duotojo taško
(židinio) ir duotosios tiesės (direktrisės) .
[pic]
Lygties išvedimas: Tarkime parabolės židinys yra taške [pic]ir šio taško
atstumas iki direktrisės p>0. Tada direktrisės lygtis yra, [pic];
[pic]
[pic];
[pic];
[pic]
Kiti atvejai: 1.)[pic] – grafiko šakos nukreiktos į kairę.
2.) [pic]- grafiko šakos nukreiktos aukštyn
3.) [pic]- grafiko šakos nukreiktos žemyn
10.) Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas, jos egzistavimo sąlyga.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas, jų savybės ir grafikai.
Dvi funkcijas f ir g vadiname viena kitai atvirkštinėmis, kai funkcijos f
apibrėžimo sritis D(f) sutampa su funkcijos g reikšmių sritimi E(g), bei
funkcijos f reikšmių sritis E(f) sutampa su funkcijos g apibrėžimo sritimi
D(g) ir x0=g(y0) tada ir tik tada, kai y0=f(x0), visiems x0(D(f) ir
y0(D(g).
y = arcsin x apibrėžimo sritis

D= [-1,1], o reikšmių sritis [pic].
arcsin(x) = – arcsin(x)
Atvirkštinė funkcijai [pic]y = arccos x apibrėžimo sritis

D= [-1,1],

o reikšmių sr

ritis [pic].
arccos(x) =
( – arccos(x)
Atvirkštinė funkcijai
[pic]

y = arctg x apibrėžimo sritis

D= [-∞,∞], o reikšmių sritis [pic].
arctg(x) = – arctg(x)
Atvirkštinė funkcijai
[pic]y = arcctg x apibrėžimo sritis

D= [-∞,∞],

o reikšmių sritis [pic].
arcctg(x) =
( – arcctg(x)
Atvirkštinė funkcijai
[pic]

11.) Funkcijos ribos taške apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Skaičių a
vadiname sekos {xn} (kintamojo xn) riba, jeigu bet kurį skaičių ( > 0
atitinka toks skaičius N, kad imant n > N, galioja nelygybė[pic].
Geometrinė prasmė: Jeigu b yra funkcijos f(x) riba taške a, tai iš to kad x
priklauso taško ( aplinkai , išplaukia kad funkcijos y=f(x) reikšmė
priklauso taško b ( aplinkai.
12.) Vienpusės funkcijos ribos.
Jei ieškodami funkcijos ribos kai x ( a apsiribojame tik tomis x reikšmėmis
kurios yra x < a tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš kairės ir žymima
[pic]
Jei ieškodami funkcijos ribos kai x ( a apsiribojame tik tomis x reikšmėmis
kurios yra x > a tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš kairės ir žymima
[pic]
13.) Nykstamosios funkcijos apibrėžimas. Įrodykite teoremą apie funkcijos,
jos ribos ir nykstamosios funkcijos sąryšį.
Funkciją ((x) vadiname nykstamąja, kai x( a, jeigu [pic]
Teorema apie nykstamosios funkcijos, funkcijos ir jos ribos sąryšį. Tam kad
funkcija f(x) turėtų baigtinę ribą b kai x( a būtina ir pakanka, kad
funkcija būtų išreiškiama suma: [pic]
Įrodymas. Būtinumas. Tegul [pic]. Tuomet kiekvienam ( > 0 egzistuoja
skaičius ( > 0, toks kad [pic], kai [pic]. Pažymėkime [pic]. Gausime, kad
[pic], kai [pic]. Taigi. [pic]
Pakankamumas. Tegu [pic] ir [pic]. T

Tuomet kiekvienam ( > 0 egzistuoja
skaičius ( > 0, toks kad [pic], kai [pic], arba [pic], kai [pic], t.y.
[pic]
14.) Ribų dėsniai. (vieną iš jų reikia įrodyti).
Tarkime, kad f(x) ir g(x) turi baigtines ribas t.y. [pic]; [pic]; [pic].
Tada:
1.) [pic]2.) [pic]; c – konstanta.
3.) [pic];
4.) [pic]
Įrodymas (pirmojo dėsnio): Iš teoremos siejančios funkciją ir jos ribą
išplaukia, kad funkcijas f(x) ir g(x) galima užrašyti [pic], [pic], kur
((x) ir ((x) yra nykstančios funkcijos, kai x ( a. Taigi funkcija f(x) +
g(x) yra skaičiaus A + B ir nykstančiosios funkcijos ((x) suma. Todėl iš
teoremos apie apie funkcijos, jos ribos ir nykstamosios funkcijos sąryšį
išplaukia, kad [pic].
15.) Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamos funkcijos.
Tarkime, kad ((x) ir ((x) yra nykstamosios funkcijos, kai x ( a (x ( ∞).
Tokias funkcijas palyginsime atsižvelgdami į santykio ribą.
1.) Jei [pic]- tai ((x) ir ((x) vadinamos tos pačios eilės funkcijomis kai
x ( a.
2.) Jei [pic]- tai ((x) yra vadinama aukštesnės eilės nykstamąja funkcija
negu ((x)
((x) = o(((x)) kai x ( a.
3.) Jei [pic] tai funkcijos ((x) ir ((x) vadinasi ekvivalenčiomis
nykstamosiomis funkcijomis kai

x ( a. (((x) ~ ((x))
Dviejų nykstamųjų funkcijų riba nepasikeičia jas pakeitus ekvivalenčiomis
nykstamosiomis funkcijomis.
Pvz. kai x ( 0
1.) [pic]
2.) [pic]
3.) [pic]
4.) [pic]
5.) [pic]
6.) [pic]
7.) [pic]

16.) Funkcijos tolydumo taške sąvoka (trys apibrėžimai su paaiškinimais).
1.) Funkcija f(x) tolydi taške x0, jeigu ji apibrėžta taške x0 ir jo
aplinkoje, be to [pic], trumpai tariant, jei funkcijos riba, kai x ( x0,
lygi funkcijos reikšmei x0.
2.) Funkcija f(x) tolydi taške x0, jeigu [pic]. t.y. jeigu nykstantį
argumento pokytį atitinka nykstantis funkcijos pokytis.
3.) Funkcija f(x) yra tolydi taške jeigu [pic]
17.) Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės.
Funkcija f(x) yra tolydi intervale (a, b) jei ji yra tolydi kiekviename
intervalo taške.
1.) Jeigu f(x) yra tolydi atkarpoje [a, b] tai ji šioje atkarpoje įgyja
mažiausią ir didžiausią reikšmes: [pic], [pic]
2.) Jei f(x) yra tolydi atkarpoje [a, b] ir šios atkarpos galuose įgyja
skirtingas ženklų reikšmes, tai egzistuoja bent vienas taškas c
priklausantis [a, b] atkarpai kuriame funkcijos reikšmė lygi 0.
3.) Jei f(x) yra tolydi atkarpoje [a, b] tai, bet kuris skaičius esantis
tarp mažiausios funkcijos reikšmės m ir didžiausios funkcijos reikšmės M,
taip pat yra funkcijos reikšmė įgyjama, kuriame nors atkarpos
[a, b] taške.
18.) Funkcijos trūkio taškų klasifikacija ( su brėžiniais)
1.) Taškas x0 vadinamas funkcijos f(x) pirmos rūšies trūkio tašku, jeigu
šiame taške egzistuoja baigtinė funkcijos ribos iš kairės ir iš dešinės,
tačiau jos nėra lygios. Tokiu atveju sakoma, kad funkcija daro baigtinį
šuolį.
Pvz.:[pic]
2.) Jeigu taške x0 bent viena funkcijos c(x) vienpusė riba yra begalinė
arba neegzistuoja tai taškas x0 vadinamas antros rūšies trūkio tašku. Tokiu
atveju funkcija daro begalinį šuolį. Pvz.: [pic].
3.) Taškas x0 yra vadinamas funkcijos f(x) pašalinamuoju trūkio tašku jeigu
[pic]. Pvz.: [pic]

———————–
x

y

F2

F1

B1

B2

A1

A2

M

F1

F2

B2

A1

A2

c

a

b

x

y

M

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

x

y

Leave a Comment