1.) Dviejų vektorių vektorinė sandauga: apibrėžimas, savybės, reiškimasvektorių koordinatėmis, geometrinė prasmė.Vektorių[pic]ir[pic]vektorinę sandauga vadiname vektorius[pic]. [pic] yrastatmenas vektoriams [pic]ir[pic]. Vektoriaus [pic] ilgis yra lygus [pic].Vektorius [pic]yra nukreiptas taip kad žiūrint iš jo galo vektorius [pic]sukamas prieš laikrodžio rodyklę, sutampa su vektoriumi [pic] pačiutrumpiausiu keliu.Savybės: 1.) [pic]; 2.) [pic]; 3.)[pic]4.) Vektoriai [pic]ir [pic]yra kolinearūs tada ir tik tada kai jųvektorinė sandauga lygi 0;Reiškimas vektorių koordinatėmis: [pic][pic]Geometrinė prasmė – Lygiagretainio plotas2.) Trijų vektorių mišrioji sandauga: apibrėžimas, geometrinė prasmė,savybės, reiškimas vektorių koordinatėmis.Trijų vektorių mišriąja sandauga vadinamas skaičius kuris gaunamasvektorinę sandaugą [pic] skaliariškai padauginus iš [pic]. Mišriojisandauga žymima šitaip: [pic]Geometrinė prasmė: gretasienio tūris;Savybės: 1.)[pic]Vektoriai komplanarūs tada ir tik tada kai jų mišrisandauga lygi nuliui [pic]2.) [pic], kai kampas tarp vektorių [pic] ir [pic]yra smailus;3.) [pic], kai kampas tarp vektorių [pic] ir [pic]yra bukas;4.)[pic]Reiškimas vektorių koordinatėmis:[pic]3.) Bendrosios plokštumos lygties išvedimas ir atskiri jos atvejai.Sudarysime plokštumos P lygtį, kai žinomas vienas plokštumos taškas M0(x0,y0, z0) ir plokštumai statmenas normalės vektorius [pic]. Tarkime, kad M(x,y, z) yra bet kuris plokštumos taškas, nesutampantis su M0; tuomet [pic] iršių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui, t. y. [pic].Kadangi[pic], taiši vektorinė lygtis ekvivalenti lyčiai: [pic]Atskliaudę gauname:[pic] , arba [pic],[pic].Atskiri atvejai: 1.) D=0 plokštuma eina per koordinačių pradžios tašką. KaiA, B, C yra pastovūs o D kinta gauname lygiagrečių plokštumų šeimą;2.) C=0 gautoji plokštuma yra lygiagreti Oz ašiai;
3.) C=0, D=0 plokštuma eina per Oz ašį ;4.) C=0, B=0 plokštuma yra lygiagreti yOz plokštumai;5.) C=0, B=0; D=0 plokštuma sutampa su plokštuma yOz4.) Taško atstumas iki plokštumos[pic]5.) Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinių lygčių išvedimas.Žinomas tiesės taškas M0(x0, y0, z0) ir jai lygiagretus tiesės kryptiesvektorius [pic]. Šiuo atveju norėdami sudaryti tiesės lygtis, imkime betkurį tiesės tašką M(x, y, z). Vektorius [pic] kolinearus krypties vektoriui[pic], todėl šių vektorių koordinatės yra proporcingos, t.y.[pic]Jei kiekvieną kanoninių lygčių trupmeną prilygintume kintamajam t ir juoišreikštume bet kurio tiesės taško koordinates x, y ir z, tai gautumeparametrines tiesės lygtis: [pic]6. Bendroji tiesės lygtis ir jos suvedimas į kanoninę lygtį. ax +by + c = 0Pvz.: [pic][pic];[pic][pic][pic][pic][pic][pic]7. Elipsės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, parametraiir jų prasmė, kiti elipsės atvejai.Elipsė yra aibė plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumų iki dviejųpastovių taškų suma yra pastovus dydis lygus 2a. Pastovius taškus F1 ir F2vadiname elipsės židiniais.[pic]Lygties išvedimas: Iš trikampio savybių išplaukia, kad 2a > 2c, arba a > c;[pic][pic];[pic];[pic][pic];[pic];[pic];[pic];Kadangi [pic], tai [pic];[pic];[pic];Parametrai: ekscentricitetas – elipsės suplotumą apibūdinantis dydis:[pic].Didžioji ašis – 2a;Mažoji ašis – 2b;Kiti elipsės atvejai:1.) Elipsės kurios centras yra taške (x0, y0) lygtis užrašoma šitaip: [pic]2.) Jeigu elipsės lygtyje a < b, tai elipsės židiniai yra Oy ašyje.8.) Hiperbolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys,asimptotės, parametrai ir jų prasmė, kiti hiperbolės lygties atvejai.Hiperbolė yra aibė plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumų iki dviejųpastovių taškų skirtumas yra pastovus dydis 2a. Pastovūs taškai F1, F2 yrahiperbolės židiniai.[pic]Lygties išvedimas: Iš trikampio savybių išplaukia, kad 2a > 2c, arba a > c;[pic][pic];[pic];[pic][pic];[pic];[pic];Kadangi [pic], tai [pic];[pic];[pic];Asimptotės: [pic];. Tiesė vadinama kreivės asimptote, jei bet kurio kreivėstaško atstumas iki tos tiesės artėja prie 0 , taškui tolstant kreive.Parametrai: ekscentricitetas [pic].Menamoji ašis – 2b;Realioji ašis – 2c;Kiti hiperbolės atvejai:1.) Kai hiperbolės centras yra taške (x0, y0) lygtis užrašoma šitaip: [pic]2.) Jeigu elipsės lygtyje [pic] tai elipsės židiniai yra Oy ašyje.9.) Parabolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, kitiparabolės atvejai.Parabolė yra aibė plokštumos taškų vienodai nutolusių nuo duotojo taško(židinio) ir duotosios tiesės (direktrisės) .[pic]Lygties išvedimas: Tarkime parabolės židinys yra taške [pic]ir šio taškoatstumas iki direktrisės p>0. Tada direktrisės lygtis yra, [pic];[pic][pic];[pic];[pic]Kiti atvejai: 1.)[pic] – grafiko šakos nukreiktos į kairę.2.) [pic]- grafiko šakos nukreiktos aukštyn3.) [pic]- grafiko šakos nukreiktos žemyn10.) Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas, jos egzistavimo sąlyga.Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas, jų savybės ir grafikai.Dvi funkcijas f ir g vadiname viena kitai atvirkštinėmis, kai funkcijos fapibrėžimo sritis D(f) sutampa su funkcijos g reikšmių sritimi E(g), beifunkcijos f reikšmių sritis E(f) sutampa su funkcijos g apibrėžimo sritimiD(g) ir x0=g(y0) tada ir tik tada, kai y0=f(x0), visiems x0(D(f) iry0(D(g).
y = arcsin x apibrėžimo sritis D= [-1,1], o reikšmių sritis [pic].arcsin(x) = – arcsin(x)Atvirkštinė funkcijai [pic]y = arccos x apibrėžimo sritis D= [-1,1], o reikšmių sritis [pic].arccos(x) =( – arccos(x)Atvirkštinė funkcijai[pic]y = arctg x apibrėžimo sritis D= [-∞,∞], o reikšmių sritis [pic].arctg(x) = – arctg(x)Atvirkštinė funkcijai[pic]y = arcctg x apibrėžimo sritis D= [-∞,∞], o reikšmių sritis [pic].arcctg(x) =( – arcctg(x)Atvirkštinė funkcijai[pic]
11.) Funkcijos ribos taške apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Skaičių avadiname sekos {xn} (kintamojo xn) riba, jeigu bet kurį skaičių ( > 0atitinka toks skaičius N, kad imant n > N, galioja nelygybė[pic].Geometrinė prasmė: Jeigu b yra funkcijos f(x) riba taške a, tai iš to kad xpriklauso taško ( aplinkai , išplaukia kad funkcijos y=f(x) reikšmėpriklauso taško b ( aplinkai.12.) Vienpusės funkcijos ribos.Jei ieškodami funkcijos ribos kai x ( a apsiribojame tik tomis x reikšmėmiskurios yra x < a tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš kairės ir žymima[pic]Jei ieškodami funkcijos ribos kai x ( a apsiribojame tik tomis x reikšmėmiskurios yra x > a tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš kairės ir žymima[pic]13.) Nykstamosios funkcijos apibrėžimas. Įrodykite teoremą apie funkcijos,jos ribos ir nykstamosios funkcijos sąryšį.Funkciją ((x) vadiname nykstamąja, kai x( a, jeigu [pic]Teorema apie nykstamosios funkcijos, funkcijos ir jos ribos sąryšį. Tam kadfunkcija f(x) turėtų baigtinę ribą b kai x( a būtina ir pakanka, kadfunkcija būtų išreiškiama suma: [pic]Įrodymas. Būtinumas. Tegul [pic]. Tuomet kiekvienam ( > 0 egzistuojaskaičius ( > 0, toks kad [pic], kai [pic]. Pažymėkime [pic]. Gausime, kad
[pic], kai [pic]. Taigi. [pic]Pakankamumas. Tegu [pic] ir [pic]. Tuomet kiekvienam ( > 0 egzistuojaskaičius ( > 0, toks kad [pic], kai [pic], arba [pic], kai [pic], t.y.[pic]14.) Ribų dėsniai. (vieną iš jų reikia įrodyti).Tarkime, kad f(x) ir g(x) turi baigtines ribas t.y. [pic]; [pic]; [pic].Tada:1.) [pic]2.) [pic]; c – konstanta.3.) [pic];4.) [pic]Įrodymas (pirmojo dėsnio): Iš teoremos siejančios funkciją ir jos ribąišplaukia, kad funkcijas f(x) ir g(x) galima užrašyti [pic], [pic], kur((x) ir ((x) yra nykstančios funkcijos, kai x ( a. Taigi funkcija f(x) +g(x) yra skaičiaus A + B ir nykstančiosios funkcijos ((x) suma. Todėl išteoremos apie apie funkcijos, jos ribos ir nykstamosios funkcijos sąryšįišplaukia, kad [pic].15.) Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamos funkcijos.Tarkime, kad ((x) ir ((x) yra nykstamosios funkcijos, kai x ( a (x ( ∞).Tokias funkcijas palyginsime atsižvelgdami į santykio ribą.1.) Jei [pic]- tai ((x) ir ((x) vadinamos tos pačios eilės funkcijomis kaix ( a.2.) Jei [pic]- tai ((x) yra vadinama aukštesnės eilės nykstamąja funkcijanegu ((x)((x) = o(((x)) kai x ( a.3.) Jei [pic] tai funkcijos ((x) ir ((x) vadinasi ekvivalenčiomisnykstamosiomis funkcijomis kai x ( a. (((x) ~ ((x))Dviejų nykstamųjų funkcijų riba nepasikeičia jas pakeitus ekvivalenčiomisnykstamosiomis funkcijomis.Pvz. kai x ( 01.) [pic]2.) [pic]3.) [pic]4.) [pic]5.) [pic]6.) [pic]7.) [pic]16.) Funkcijos tolydumo taške sąvoka (trys apibrėžimai su paaiškinimais).1.) Funkcija f(x) tolydi taške x0, jeigu ji apibrėžta taške x0 ir joaplinkoje, be to [pic], trumpai tariant, jei funkcijos riba, kai x ( x0,lygi funkcijos reikšmei x0.2.) Funkcija f(x) tolydi taške x0, jeigu [pic]. t.y. jeigu nykstantįargumento pokytį atitinka nykstantis funkcijos pokytis.
3.) Funkcija f(x) yra tolydi taške jeigu [pic]17.) Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės.Funkcija f(x) yra tolydi intervale (a, b) jei ji yra tolydi kiekvienameintervalo taške.1.) Jeigu f(x) yra tolydi atkarpoje [a, b] tai ji šioje atkarpoje įgyjamažiausią ir didžiausią reikšmes: [pic], [pic]2.) Jei f(x) yra tolydi atkarpoje [a, b] ir šios atkarpos galuose įgyjaskirtingas ženklų reikšmes, tai egzistuoja bent vienas taškas cpriklausantis [a, b] atkarpai kuriame funkcijos reikšmė lygi 0.3.) Jei f(x) yra tolydi atkarpoje [a, b] tai, bet kuris skaičius esantistarp mažiausios funkcijos reikšmės m ir didžiausios funkcijos reikšmės M,taip pat yra funkcijos reikšmė įgyjama, kuriame nors atkarpos[a, b] taške.18.) Funkcijos trūkio taškų klasifikacija ( su brėžiniais)1.) Taškas x0 vadinamas funkcijos f(x) pirmos rūšies trūkio tašku, jeigušiame taške egzistuoja baigtinė funkcijos ribos iš kairės ir iš dešinės,tačiau jos nėra lygios. Tokiu atveju sakoma, kad funkcija daro baigtinįšuolį.Pvz.:[pic]2.) Jeigu taške x0 bent viena funkcijos c(x) vienpusė riba yra begalinėarba neegzistuoja tai taškas x0 vadinamas antros rūšies trūkio tašku. Tokiuatveju funkcija daro begalinį šuolį. Pvz.: [pic].3.) Taškas x0 yra vadinamas funkcijos f(x) pašalinamuoju trūkio tašku jeigu[pic]. Pvz.: [pic]———————–x
y
F2
F1
0
B1
B2
A1
A2
M
0
F1
F2
B2
A1
A2
c
a
b
x
y
M
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
0
[pic]
x
y