mat anlize

Rasti f-jų apibrėžimo ir kitimo sritis:
1.
Funkcijos apibrėžimo sritis:

Funkcija apibrėžta, kai x kinta tarp –1 ir 1.

x2 įgyja reikšmes intervale [0;1]. Reiškinys 1-x2 taip pat kinta intervale [0;1].
Todėl funkcijos kitimo sritis: .
Ats.:

2.
Kai x>=0, funkcija , jos apibrėžimo sritis:

Kai x<0, funkcija , jos apibrėžimo sritis:

Sujungiame abi sritis: funkcijos apibrėžimo sritis yra

Kai x kinta tarp –1 ir 1, reiškinys kinta tarp 0 ir 1.
Todėl kitimo sritis
Ats.: ir .
3.
Funkcija apibrėžta, kai

Logaritmas kinta nuo intervale .
Ats: ,

4.
Funkcija apibrėžta, kai reiškinys po logaritmu teigiamas.

Funkcijos kitimo sritis: .
Reiškinys 5x-x2-6 šiiame intervale įgyja reikšmes nuo 0 iki ymax.

Reiškinio 5x-x2-6 maksimumo taškas:

Kai x=2,5, 5x-x2-6=0.25
O funkcijos kitimo ribos bus tarp -µ ir lg0.25.

.
Ats.: ir
5.
Funkcija apibrėžta, kai

Randame lygties –x2+2x-2 =0 šaknis:

, todėl lygtis neturi šaknų.
Vadinasi, visas reiškinys po šaknimi yra neigiamas.
Funkcijos apibrėžimo sritis tuščia: nėra tokių x reikšmių, kuriose y būtų apibrėžta.
Ats.: Æ.

6.
Kadangi šaknis yra vardiklyje, reikškinys po šaknimi turi būt teigiamas ir nelygus nuliui, t.y. didesnis už nulį:

Lygtis x2+2x+3=0 šaknų neturi: ( ), todėl vardiklis visada didesnis už nulį. Funkcija apibrėžta visuose taškuose
Kitimo srritis : y irgi gali įgyti visas reikšmes iš intervalo .
Ats.: ir .
7.
Kai x>0 , funkcija y tampa tokia: (funkcija apibrėžta).
Kai x<0, funkcija y tampa tokia: (funkcija apibrėžta).
Todėl funkcijos apibrėžimo sritis – visi skaičiai
Funkcija kinta nuo 0 iki + .(šaknies traukimo rezultatas – teigiamas skaičius).

Ats.:

ir .

8.
Rasime, kada reikšinys pošaknyje teigiamas:

Kai x>=1, funkcija apibrėžta:
Funkcija apibrėžimo srityje gali įgyti bet kurią reikšmę nuo 0.

.
Ats.: ir .
9.
Kadangi šaknis yra kubinė, tai po šaknies ženklu gali būti bet koks skaičius – t.y. funkcijos apibrėžimo sritis .

Kitimo sritis – .
Ats.: ir .
10.
Reiškinys po kvadratine šaknimi turi būti neneigiamas:

.

Vardiklis negali būti lygus nuliui: .
Logaritmuojams reiškinys turi būti teigiamas:

.
Sprendžiame kiekvieną lygtį ir nelygybę atskirai:

Lygtis turi šaknis x=2 ir x=3.
Todėl ir .

(čia narį atmetėme, nes ženklui jis įtakos neturi – teigiamas).
Spręsime intervalų metodu. Atidedame taškus 0,2,3.Kai x=10, paskutinė nelygybė tenkinama.

Atidėjus grafike bei pridėjus pirmosios nygtybės sprendinį, gauname , kad antrojo funkcijos sumos nario apibrėžimo sritis yra tarp 0 ir 2 bei tarp 3 ir 4.

.

Kadangi jau aukščiau radome X intervalus, tai ir spręsdami šią nelygybę, imsime tik tuuos sprendinius, kurie patenka į sritį .

Kadangi ir , tai įskaitant anksčiau rastus apribojimus,
Bendras sprendinys:
Pirmojo nario kitimo ribos – tarp 0 ir 1, o antrojo (logaritmo) – daugiau už 0.

Ats.:

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:
1. .
Sprendimas.

Ats.:

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:
2.
Sprendimas.

Ats.: 1; 6; 6; 12; 20; .

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:
3.
Sprendimas.

Ats.:

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:

4.
Sprendimas.

Galime daryti išvadą, kad sekos {xn} nariai periodiškai kartosis kas antrą narį:
4; 2/3; 4; 2/3;..

Ats.:

Apskaičiuokite šias se

ekų ribas:
1.
Sprendimas.
Padalinsime skaitiklį ir vardiklį iš n:

(nes ).
Ats.: -5/4.
Visuose tokio tipo uždaviniuose skaitinklisir vardiklis dalinami iš didžiausio n laipsnio . Šiuo atveju didžiausias n laipsnis yra tiesiog n. Kai padaliname , atsiranda nariai tipo , kurie (kai n artėja į begalybę) artėja į nulį.
Panašiai sprendžiamas ir du sekantys uždaviniai.

2.
Sprendimas. Skaitiklį ir vardiklį dakliname iš n2.

Ats.: .

3.
Sprendimas.
Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardilkį daliname iš n , antrosios – iš n2.

Ats.: 0.

4.

,
nes artėja į 0.
Ats.: 0.

artėja į 0 todėl, kad 2/3 mažiau už 1.

5.
Sprendimas.
Padaliname ir padauginame iš dydžio :

(čia pasinauojome formule ).
Daliname skaitiklį ir vardiklį iš :

Ats.: 0.
Visi tokio tipo uždaviniai (kur yra šaknis minus šaknis), sprendžaiamio tokiu pačiu būdu: padauginama ir padalinama iš dydžio su priešingu ženklu – tada skaitiklyje pritaikoma formulė ir dažnaiusiai reiškinys supaprastėja.

6.
Sprendimas.
Kai n artėja į begalybę, narys 1/n artėja į nulį, o yra skaičius tarp –1 ir 1. Taigi turimė ribą, kur baigtisnis skaičius dauginamas iš 0:

Ats.: 0

Kyla įtarimas, kad sąlygoje iš tiesų turi būti .
Jei taip būtų, uždavinys būtų sprendžiamas taip:

6*.Pasinaudojame žinoma riba:

(čia ).
Ats.:
Apskaičiuokite šias sekų ribas:
7.
Pertvarkome reiškinį:

Skaitiklis ir vardiklis dalinamas iš (didžiausio laipsnio).

nes (skaitiklio didžiausias laipsnis 8 mažesnis už vardiklio 9).

Ats.: 0

8.
Padaliname skaitiklį ir vardiklį iš n4:

ats.: 80/17.

Rasti funkcijų ribas:
1.
Sprendimas.

Vardiklis x2-x-2=0

Todėl vardiklį galima išskaidyti .
Todėl

ats.: 1/3

2.
Išskaidysime vardiklį, iš pradžių išsprendę lygtį:

.
Įrašome į ribą:

ats.: ¾.

3.
Sprendimas.

Ats.: 0

4.
Sprendimas.
Padauginsime ir padalinsime sk

kaitiklį ir vardiklį iš reiškinių bei

ats.: 4/9

5.
Sprendimas
Padauginsime skaitiklį ir vardiklį iš :

Ats.: 1/6
6.

Pertvarkome reiškinį

Tokį rezultatą gavome padalinę kampu .
Įrašome į ribą.

Kadangi narys 4-x susiprastino, galima įrašyti reikšmę x=4:

7.
Sprendimas.
Vardiklį ir skaitiklį dalinsime iš x2:

Ats.: 3/2

8.
Sprendimas.
Vardiklį ir skaitiklį dalinsime iš x2:

ats.: 0

Gali būti bloga sąlyga!
9.
Sprendimas pagal sąlygą –
Ats.: ¥

Sprendimas kaip būna sąlygose:Turėtų būti sąlyga tokia

Dauginsime ir dalinsime iš reiškinio

Dalinsime skaitiklį ir vardiklį iš x:

ats.: -1/2

10.
Sprendimas.:

ats.: 7

11.
Sprendimas.
Kadangi , tai

, nes

Ats.: 2
12.
Sprendimas.
Dauginame skaitiklį ir vardiklį iš :

Čia naudojomės riba
Ats,: 2

13.
Sprendimas.:
Reiškinys skliaustuose pertvarkomas taip:

Ats.:

14.
Sprendimas.:

ats.:

15.
Sprendimas.:

Ats,:

16.
Sprendimas.

, nes
Ats.: 0

17.
Sprendimas.

Ats.: e-2

18.
Sprendimas.:

Ats.: 1

19.
Sprendimas.

Apskaičiuoti išvestines šių funkcijų:

1.
Naudosime formulę :

.

Ats.:
2.
Naudosime formulę . (Mūsų atveju ir ).

Ats.:

3.
Tai yra sudėtinė funkcija.

.
Ats.:

4.
Sprendimas.
Naudosime formulę .

Kadangi , o
,tai

Ats.:

5.
Sprendimas.
Kadangi , tai

Ats.:

6.
Sprendimas.

Ats.:

7.
Sprendimas.
Kadangi ir

Ats.:
8.
Sprendimas.
Atskirai paskaičiuosime reiškinio po šaknimi išvestinę:

Kadangi , tai

Ats.:
9.
Sprendimas.
Kadangi ir , tai

Ats.:
10.
Sprendimas.
Funkciją galima perrašyti taip:

Todėl

Ats.:

11.
Sprendimas.
Kadangi , tai

Ats.:

12.
Sprendimas.

Ats.:
13.
Sprendimas.

Taikysime sudėtinės funkcijos išvestinės formulę:

Ats:

14.
Sprendimas.
Taikysime sandaugos išvestinės formulę:

Ats.:
15.
sprendimas.

Ats.:
16. (naudodamiesi logaritmine išvestine )
Sprendimas.
Pertvarkysime funkciją

.

Pažymėkime eksponentės rodiklį:

u išvestinė: .
Funkciją f galima užrašyti taip: , o

.
Įrašome u ir u’ reikšmes:

Ats.:

17.
Sprendimas.
Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

Išvestinė:

Ats.: .

18.
Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

Ats.:

19.
sprendimas.
Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

.

ats.:

20.
Sprendimas.:
Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

ats.:

Tokie uždaviniai ,kur ieškoma išvestinės , pertvarkoma funkcija į

ir ieškoma išvestinės pa

agal principą:

Raskite neišreikštinių funkcijų išvestines:
1.
Sprendimas.

Suprastiname iš 3 ir randame y’:

Ats.: .
2.
Sprendimas.

Suprastiname iš 2 ir randame y išvestinę

Ats.: .
3.
Sprendimas.

Ats.: .

Skaičiuojant neišreikštines, reikia ieškoti išvestinių kaip paprastai, tik kai ieškoma y išvestinių prie jos pridėti y’

Raskite neišreikštinių funkcijų išvestines:
4.
Sprendimas.
Narį .
Ieškome neišreikštinės funkcijos išvestinės

Išreiškiame y’:

׀ ּx2

Ats.:
5.
Sprendimas.

Ats.:

Rasti funkcijų, išreikštų parametrinėmis lygtimis, išvestines:
1.
Sprendimas.
Rasime išvestinę
Rasime išvestinę:

Ieškoma išvestinė lygi:

Ats.

2.

Sprendimas.

Rasime išvestinę
Rasime išvestinę
Ieškoma išvestinė lygi:

,
nes .

Ats.:

(pastaba – kotangentas ctg kartais žymimas cot).

3.

Sprendimas.
Rasime išvestinę

Rasime išvestinę

Ieškoma išvestinė

Ats.: tg t

4.
Sprendimas.

.

.

Ieškoma išvestinė

Ats.: tg t.

Teorija
Visi uždaviniai ieškant parametrinės išvestinės, sprendžiami pagal tą pačią schemą:
· Rasti išvestines ir (pagal t).
· Įrašyti į formulę

Rasti ribas, remiantis Lopitalio taisykle
1.
Sprendimas.

Kai x artėja į nulį, ir skaitiklis, ir vardiklis artėja į nulį.Galime taikyti Lopitalio taisyklę.:

,

Įrašome į ribą, pertvarkome vardiklį ir suprastiname:

Ats.: -1/2.

2.
Sprendimas.
Kai x artėja į nulį, ir skaitiklis, ir vardiklis artėja į nulį. Taikome Lopitalio taisyklę.
Skaitiklio išvestinė:

Vardiklio išvestinė :
Įrašome į ribą:

Ats.: 0.

3.

Galime taikyti Lopitalio taisyklę, nes turime neapibrėžtumą .

Kai x artėja į 1, vėl turime neapibrėžtumą . Dar kartą taikome Lopitalio taisyklę:

ats.: 1/2
(Lopitalio taisyklė čia pritaikyta 2 kartus. Galima taikyti tol, kol irašius skaičius, galime rasti ribą).

4.
Sprendimas.
Kai x artėja į 1 , skaitiklis ir vardiklis lygus nuliui. Taikome Lopitalio taisyklę:

Ats.: .

5.
Sprendimas.
Skaitiklio išvestinė :

.
Vardiklio išvestinė :

.
Įrašome į ribą:

Teorija:
Lopitalio taisyklė taikoma, kai turime neapibrėžtumą “nulis dalinamas iš nulio” arba “begalybė iš begalybės” ). Tada reikia rasti skaitiklio ir vardiklio išvestines.
Vienu žodžiu , vietoj skaitiklio įrašom skaitiklio išvestinę, vietoj vardiklio – vardiklio išvestinę.
Kartais būna , kad Lopitalio taisyklę reikia naudoti kelis kartus.
Gali tip atsitikti, kad įrašius išvestines, skaitiklyje lieka skaičius, nelygus 0 , o vardiklyje – nulis. Tada riba lygi begalybei, ir skaičiavimai nutraukiami.
Jei po išvestinių radimo skaitiklyje ir vardiklyje lieko tokios reikšmės, riba:
· Skaitiklyje skaičius, nelygus 0 ir vardiklyje skaičius, nelygus 0 : galime skaičiuoti ribą (taip buvo visuose čia išspręstuose uždaviniuose);
· Skaitiklyje skaičius, nelygus nuliui, vardiklyje nulis : riba begalybė;
· Skaitiklyje 0 ir vardiklyje 0: dar kartą pritaikome Lopitalio taisyklę.

Jei būna neapibrėžtumas begalybė padalinta iš begalybės, gali taip atsitikti, kad pritaikius Lopitalio taisyklę, skaitiklyje lieka skaičius, o vardiklyje begalybė. Tada riba 0.

Skaitiklis – reiškinys viršuje, vardiklis – reiškinys apačioje.

Rasti funkcijų asimptotes:
1.
Sprendimas.
Funkciją galime pertverkyti:

Ištirsime, ar yra horizontalios asimptotės:

.
Horizontalių asimptočių nėra.

Funkcija turi neapibrėžtumą taške x=0.

.
Vertikalioji asimptotė x=0.

Ieškosime pasvirųjų asimptočių y=kx+b.

, nes .

Kadangi k=1,

.
Pasviroji asimptotė y=kx+b, įrašius k=1 ir b=0:
y=x.

Ats.: Vertikalioji asimptotė x=0
Pasviroji asimptotė y=x.

2. .
Sprendimas.
Vertikalios asimptotės :

,
nes šiuose taškuose vardiklis lygus 0 ir .

Ištirsime, ar yra asimptotės y=kx+b:

Asimptotė y=kx+b=0x+1=1
y=1.

Ats.: horizontolioji y=1, vertikaliosios x=-1 ir x=1.

3.
Sprendimas.
Kai x=-1, funkcijos vardiklis tampa lygus 0, o

.
Funkcija turi vertikalią asimptotę x=-1.

Asimptotė y=kx+b.

.
Horizontalių ir pasvirųjų asimptočių nėra.

Ats.: vertikalioji asimptotė x=-1.

4.
Sprendimas.
Kai x=2 ir x=-2, funkcija turi vertikalias asimptotes, nes šiuose taškuose vardiklis lygus 0 .

Ieškosime asimptočių y=kx+b:

.

Asimptotė y=kx+b=0x-1=-1
y=-1.

Ats.: Vertikalios asimptotės x=2 ir x=-2.
Horizontali y=-1.

5. .
Sprendimas.
Vardiklio neapibrėžtumas:

Šios tiesės yra funkcijos vertikaliosios asimptotės.

Rasime asimptotes y=kx+b:

.

Todėl k=0, b=1.
y=kx+b=0x+1=1

Ats.: Vertikaliosios x=2, x=-2

Horizontalioji y=1.

Teorija. Asimptotės skirstomos į vertikaliąsias ir horizontaliąsias.
Vertikaliosios ieškomos taip:
Jei funkcija yra trupmena, ieškoma, kada vardiklis lygus nuliui. Šiuose taškuose ir yra asimptotės (vertikaliosios). Kitaip tariant: prilyginam vardiklį 0, randam šaknis a, b, c:
Tada asimptotės x=a, x=b, x=c. (patikrinimui reikia įrašyti tas reikšmes į funkciją – jei gauname trupmeną reiškia, tikrai vertikalioji asimptotė.

Kitos asimptotės. Tai yra horizontalios ir pasvirosios. Jos ieškomos pagal tokią schemą:
· Ieškoma riba . Jei gaunam begalybę, reikškia asimptočių nėra. Jei gaunam nulį (turėsim horizontalią) ar kitokį skaičių (turėsim pasvirąją asimptotę)– toliau ieškom ribos . Kai turim du skaičius k ir b, galime parašyti lygtį y=kx+b.

Nustatyti funkcijos iškilumo intervalus ir rasti perlinkio taškus:

1.
Sprendimas.
Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:

.
Antroji išvestinė yra .

Taškai 0 ir 1 dalina visą x intervalą į 3 sritis: ]-µ; 0], ]0;1], ]1; -µ[.
Nustysime kiekvieno intervalo ženklą:

Funkcija iškila aukštyn ]0;1[ arba 01.

Perlinkio taškai x1= 0 ir x2=1.

Ats.:
Funkcija iškila aukštyn ]0;1[ arba 01.

Perlinkio taškai x1= 0 ir x2=1.

2.
Sprendimas.
Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:

Prilyginame antrąją išvestinę nuliui

Reikšmės ir dalina visą x intervalą į 3 sritis: ]-µ; ],
] ; ], ] ;+µ[,

Funkcija iškila aukštyn ] ; ].
Funkcija įgaubta žemyn ]-µ; [U] ]-µ; ].
Perlinkio taškai .

3.
Sprendimas.
Funkcija apibrėžta, kai x>0.
Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:

Antroji išvestinė lygi nuliui, kai

Funkcijos apibrėžimo sritis dalinama į du intervalus:
]0; e2] ir ]e2; +µ[.

Kai 0e2, funkcija iškila aukštyn
Perlinkio taškas x=e2.

Nustatyti funkcijos iškilumo intervalus ir rasti perlinkio taškus:

4.
Sprendimas.
Rasime antrąją išvestinę:

prilyginame antrąją išvestinę nuliui:

Visas x intervalas dalinamas į 4 sritis:
Įrašę skaičių 10 gauname teigiamą funkcijos ženklą, todėl intervalų metodų suskirstome sritis:

Perlinkio taškai yra –2 ir 2 nes tada y’’ keičia ženklą.
Funkcija iškila aukštyn, kai y’’<0, t.y. intervaluose
Funkcija įgaubta žemyn, kai y’’>0, t.y. intervaluose
Ats.: Perlinkio taškai
Funkcija iškila aukštyn, kai y’’<0, t.y. intervaluose
Funkcija įgaubta žemyn, kai y’’>0, t.y. intervaluose

5.
Kai x>0, funkcija yra
Rasime antrąją išvestinę

Prilyginame antrąją išvestinė nuliui:

Kai 03, antra išvestinė teigiama – funkcija įgaubta žemyn.
Perlinkio taškas x=3.
Kai x<0, funkcija tampa .
Rasime antrąją išvestinę:

Prilyginame antrąją išvestinę nuliui:

Kadangi nagrinėjame x<0, tai šiame intervale perlinkio taškų nėra.
Reiškinys šiame intervale, todėl kai x<0 , funkcija iškila aukštyn.
x=0 yra lūžio taškas.
Ats.: lūžio taškas x=0
Perlinkio taškas x=3
Iškilumo intervalai:
Įgaubtumo intervalai
Nubrėžti funkcijų grafikus:

1.

Sprendimas.
Funkcija neapibrėžta , kai

– lūžio taškas, t.y. turime asimptotes ir .
Funkcijos apibrėžimo sritis:
Pirmoji funkcijos išvestinė

Išvestinė ligi nuliui, kai x=0.
Funkcijos maksimumas x=0, y=1/4.
Kai x>0, funkcija mažėja,
Kai x<0, funkcija didėja.
Taške x=0 funkcija neapibrėžta. Funkcija ekstremumų neturi.
Antroji išvestinė:

Antroji išvestinė visame intervale teigiama – todėl funkcija įgaubta žemyn.
Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai:
Kai x=0, y=1/4
Kai y=0, x=±1.
Asimptotės – vertikalios ir .
Horizontalios :

Horizontali asimptotė y=1.

2.
Funkcija neapibrėžta , kai

– lūžio taškas, t.y. turime asimptotę .
Funkcijos apibrėžimo sritis:
Pirmoji funkcijos išvestinė

Išvestinė ligi nuliui, kai
Intervale –10 neigiama – funkcija iškila aukštyn.
Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai :
Susikirtimo su y ašimi funkcija neturi.
y=0, kai ,
Asimptotė – vertikali .
Horizontalios asimptotės :

Horizontali asimptotė y=x.

3.
Kai x=1 ir x=-1, funkcija neapibrėžta.
Vertikalios asimptotės x=1 ir x=-1.
Funkcijos susikirtimo su koordinačių ašimis taškai:
Kai x=0, y=0 (0;0)
Y=0, kai

(0;0) , (2;0) , (-2;0).
Pirmoji funkcijos išvestinė:

Pirmoji išvestinė visame intervale yra teigiama – vadinasi, funkcija didėjanti.
Nėra reikšmių, su kuriomis y’=0, todėl funkcija ekstremumo taškų neturi.
Antroji išvestinė:

Antroji išvestinė lygi nuliui, kai

Šaknų x1 ir x2 nėra, nes <0.
Perlinkio taškai:

Antroji išvestinė –
y’’>0, kai – įgaubtumo žemyn intervalai
y’’<0, kai – iškilumo intervalai.

asimptotės:

Pasviroji asimptotė .

4.

Sprendimas.
Funkciją perrašome taip:

Funkcija neapibrėžta, kai
Vertikalios asimptotės ir .
Funkcijos išvestinė:

Kai x>0, funkcija mažėja
Kai x<0, funkcija didėja.
Ekstremumo taškas x=0 (maksimumo taškas)
y(0)=0.
Antroji išvestinė:

Prilyginame antrąją išvestinę nuliui ( ):

šaknų neturi.

ir . Šios šaknys, kaip jau išnagrinėta aukščiau, nepatenka į funkcijos apibrėžimo sritį (vardiklis lygus 0).
Antrą išvestinę galima perrašyti taip:

Skaitiklis yra teigiamas.

Perlinkio taškų nėra.
Asimptotės:

Horizontali asimptotė y=1.
Susikirtimais su koordinašių ašimis – taškas (0;0).

5.

Kai x>1, funkcija tampa y=x-1. y’=1, y’’=0.
Funkcija kai x>1 didėja. Ekstremumo taškų nėra.

Kai x<1, funkcija tampa y=-x+1. y’=-1, y’’=0.
Funkcija kai x>1 mažėja. Ekstremumo taškų nėra.

Grafikas –dvi pustiesės.

Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis:
X=1, y=0 (1;0)
X=0 , y=1 (0;1)

Leave a Comment