Rasti f-jų apibrėžimo ir kitimo sritis: 1. Funkcijos apibrėžimo sritis:
Funkcija apibrėžta, kai x kinta tarp –1 ir 1.
x2 įgyja reikšmes intervale [0;1]. Reiškinys 1-x2 taip pat kinta intervale [0;1].Todėl funkcijos kitimo sritis: .Ats.:
2. Kai x>=0, funkcija , jos apibrėžimo sritis:
Kai x<0, funkcija , jos apibrėžimo sritis:
Sujungiame abi sritis: funkcijos apibrėžimo sritis yra
Kai x kinta tarp –1 ir 1, reiškinys kinta tarp 0 ir 1.Todėl kitimo sritis Ats.: ir .3. Funkcija apibrėžta, kai
Logaritmas kinta nuo intervale .Ats: ,
4. Funkcija apibrėžta, kai reiškinys po logaritmu teigiamas.
Funkcijos kitimo sritis: .Reiškinys 5x-x2-6 šiame intervale įgyja reikšmes nuo 0 iki ymax.
Reiškinio 5x-x2-6 maksimumo taškas:
Kai x=2,5, 5x-x2-6=0.25O funkcijos kitimo ribos bus tarp -µ ir lg0.25. .Ats.: ir 5. Funkcija apibrėžta, kai
Randame lygties –x2+2x-2 =0 šaknis: , todėl lygtis neturi šaknų. Vadinasi, visas reiškinys po šaknimi yra neigiamas. Funkcijos apibrėžimo sritis tuščia: nėra tokių x reikšmių, kuriose y būtų apibrėžta.Ats.: Æ.
6. Kadangi šaknis yra vardiklyje, reikškinys po šaknimi turi būt teigiamas ir nelygus nuliui, t.y. didesnis už nulį:
Lygtis x2+2x+3=0 šaknų neturi: ( ), todėl vardiklis visada didesnis už nulį. Funkcija apibrėžta visuose taškuose Kitimo sritis : y irgi gali įgyti visas reikšmes iš intervalo .Ats.: ir .7. Kai x>0 , funkcija y tampa tokia: (funkcija apibrėžta).Kai x<0, funkcija y tampa tokia: (funkcija apibrėžta).Todėl funkcijos apibrėžimo sritis – visi skaičiai Funkcija kinta nuo 0 iki + .(šaknies traukimo rezultatas – teigiamas skaičius).
Ats.: ir .
8. Rasime, kada reikšinys pošaknyje teigiamas:
Kai x>=1, funkcija apibrėžta: Funkcija apibrėžimo srityje gali įgyti bet kurią reikšmę nuo 0. .Ats.: ir .9. Kadangi šaknis yra kubinė, tai po šaknies ženklu gali būti bet koks skaičius – t.y. funkcijos apibrėžimo sritis .
Kitimo sritis – .Ats.: ir .10. Reiškinys po kvadratine šaknimi turi būti neneigiamas: .
Vardiklis negali būti lygus nuliui: .Logaritmuojams reiškinys turi būti teigiamas: .Sprendžiame kiekvieną lygtį ir nelygybę atskirai:
Lygtis turi šaknis x=2 ir x=3.Todėl ir .
(čia narį atmetėme, nes ženklui jis įtakos neturi – teigiamas).Spręsime intervalų metodu. Atidedame taškus 0,2,3.Kai x=10, paskutinė nelygybė tenkinama.
Atidėjus grafike bei pridėjus pirmosios nygtybės sprendinį, gauname , kad antrojo funkcijos sumos nario apibrėžimo sritis yra tarp 0 ir 2 bei tarp 3 ir 4. .
Kadangi jau aukščiau radome X intervalus, tai ir spręsdami šią nelygybę, imsime tik tuos sprendinius, kurie patenka į sritį .
Kadangi ir , tai įskaitant anksčiau rastus apribojimus, Bendras sprendinys: Pirmojo nario kitimo ribos – tarp 0 ir 1, o antrojo (logaritmo) – daugiau už 0.
Ats.:
Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:1. .Sprendimas.
Ats.:
Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:2. Sprendimas.
Ats.: 1; 6; 6; 12; 20; …
Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:3. Sprendimas.
Ats.:
Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra: 4. Sprendimas.
Galime daryti išvadą, kad sekos {xn} nariai periodiškai kartosis kas antrą narį:4; 2/3; 4; 2/3;….
Ats.:
Apskaičiuokite šias sekų ribas:1. Sprendimas.Padalinsime skaitiklį ir vardiklį iš n:
(nes ).Ats.: -5/4.Visuose tokio tipo uždaviniuose skaitinklisir vardiklis dalinami iš didžiausio n laipsnio . Šiuo atveju didžiausias n laipsnis yra tiesiog n. Kai padaliname , atsiranda nariai tipo , kurie (kai n artėja į begalybę) artėja į nulį.Panašiai sprendžiamas ir du sekantys uždaviniai.
2. Sprendimas. Skaitiklį ir vardiklį dakliname iš n2.
Ats.: .
3. Sprendimas. Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardilkį daliname iš n , antrosios – iš n2.
Ats.: 0.
4. , nes artėja į 0.Ats.: 0. artėja į 0 todėl, kad 2/3 mažiau už 1.
5. Sprendimas.Padaliname ir padauginame iš dydžio :
(čia pasinauojome formule ).Daliname skaitiklį ir vardiklį iš :
Ats.: 0.Visi tokio tipo uždaviniai (kur yra šaknis minus šaknis), sprendžaiamio tokiu pačiu būdu: padauginama ir padalinama iš dydžio su priešingu ženklu – tada skaitiklyje pritaikoma formulė ir dažnaiusiai reiškinys supaprastėja.
6. Sprendimas. Kai n artėja į begalybę, narys 1/n artėja į nulį, o yra skaičius tarp –1 ir 1. Taigi turimė ribą, kur baigtisnis skaičius dauginamas iš 0:
Ats.: 0
Kyla įtarimas, kad sąlygoje iš tiesų turi būti .Jei taip būtų, uždavinys būtų sprendžiamas taip:
6*.Pasinaudojame žinoma riba:
(čia ).Ats.: Apskaičiuokite šias sekų ribas:7. Pertvarkome reiškinį:
Skaitiklis ir vardiklis dalinamas iš (didžiausio laipsnio).
nes (skaitiklio didžiausias laipsnis 8 mažesnis už vardiklio 9).
Ats.: 0 8. Padaliname skaitiklį ir vardiklį iš n4:
ats.: 80/17.
Rasti funkcijų ribas:1. Sprendimas.
Vardiklis x2-x-2=0
Todėl vardiklį galima išskaidyti .Todėl
ats.: 1/3
2. Išskaidysime vardiklį, iš pradžių išsprendę lygtį:
. Įrašome į ribą:
ats.: ¾.
3. Sprendimas.
Ats.: 0 4. Sprendimas.Padauginsime ir padalinsime skaitiklį ir vardiklį iš reiškinių bei
ats.: 4/9
5. SprendimasPadauginsime skaitiklį ir vardiklį iš :
Ats.: 1/66.
Pertvarkome reiškinį
Tokį rezultatą gavome padalinę kampu .Įrašome į ribą.
Kadangi narys 4-x susiprastino, galima įrašyti reikšmę x=4:
7. Sprendimas.Vardiklį ir skaitiklį dalinsime iš x2:
Ats.: 3/2
8. Sprendimas.Vardiklį ir skaitiklį dalinsime iš x2:
ats.: 0
Gali būti bloga sąlyga!9. Sprendimas pagal sąlygą – Ats.: ¥
Sprendimas kaip būna sąlygose:Turėtų būti sąlyga tokia
Dauginsime ir dalinsime iš reiškinio
Dalinsime skaitiklį ir vardiklį iš x:
ats.: -1/2
10. Sprendimas.:
ats.: 7
11. Sprendimas.Kadangi , tai , nes
Ats.: 212. Sprendimas.Dauginame skaitiklį ir vardiklį iš :
Čia naudojomės riba Ats,: 2
13. Sprendimas.: Reiškinys skliaustuose pertvarkomas taip:
Ats.:
14. Sprendimas.:
ats.:
15. Sprendimas.:
Ats,:
16. Sprendimas. , nes Ats.: 0
17. Sprendimas.
Ats.: e-2
18. Sprendimas.:
Ats.: 1
19. Sprendimas.
Apskaičiuoti išvestines šių funkcijų:
1. Naudosime formulę : .
Ats.: 2. Naudosime formulę . (Mūsų atveju ir ).
Ats.:
3. Tai yra sudėtinė funkcija. .Ats.:
4. Sprendimas.Naudosime formulę .
Kadangi , o ,tai
Ats.:
5. Sprendimas.Kadangi , tai
Ats.:
6. Sprendimas.
Ats.:
7. Sprendimas. Kadangi ir
Ats.: 8. Sprendimas.Atskirai paskaičiuosime reiškinio po šaknimi išvestinę:
Kadangi , tai
Ats.: 9. Sprendimas.Kadangi ir , tai
Ats.: 10. Sprendimas.Funkciją galima perrašyti taip:
Todėl
Ats.:
11. Sprendimas.Kadangi , tai
Ats.:
12. Sprendimas.
Ats.: 13. Sprendimas.
Taikysime sudėtinės funkcijos išvestinės formulę:
Ats:
14. Sprendimas.Taikysime sandaugos išvestinės formulę:
Ats.: 15. sprendimas.
Ats.: 16. (naudodamiesi logaritmine išvestine )Sprendimas.Pertvarkysime funkciją .
Pažymėkime eksponentės rodiklį:
u išvestinė: .Funkciją f galima užrašyti taip: , o .Įrašome u ir u’ reikšmes:
Ats.:
17. Sprendimas. Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:
Išvestinė:
Ats.: .
18. Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:
Ats.: 19. sprendimas.Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją: .
ats.:
20. Sprendimas.: Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:
ats.:
Tokie uždaviniai ,kur ieškoma išvestinės , pertvarkoma funkcija į ir ieškoma išvestinės pagal principą:
Raskite neišreikštinių funkcijų išvestines:1. Sprendimas.
Suprastiname iš 3 ir randame y’:
Ats.: .2. Sprendimas.
Suprastiname iš 2 ir randame y išvestinę
Ats.: .3. Sprendimas.
Ats.: .
Skaičiuojant neišreikštines, reikia ieškoti išvestinių kaip paprastai, tik kai ieškoma y išvestinių prie jos pridėti y’
Raskite neišreikštinių funkcijų išvestines:4. Sprendimas.Narį .Ieškome neišreikštinės funkcijos išvestinės
Išreiškiame y’: ׀ ּx2
Ats.: 5. Sprendimas.
Ats.:
Rasti funkcijų, išreikštų parametrinėmis lygtimis, išvestines:1. Sprendimas.Rasime išvestinę Rasime išvestinę:
Ieškoma išvestinė lygi:
Ats.
2.
Sprendimas.
Rasime išvestinę Rasime išvestinę Ieškoma išvestinė lygi: , nes .
Ats.:
(pastaba – kotangentas ctg kartais žymimas cot).
3.
Sprendimas.Rasime išvestinę
Rasime išvestinę
Ieškoma išvestinė
Ats.: tg t
4. Sprendimas.
. .
Ieškoma išvestinė
Ats.: tg t.
TeorijaVisi uždaviniai ieškant parametrinės išvestinės, sprendžiami pagal tą pačią schemą:· Rasti išvestines ir (pagal t).· Įrašyti į formulę
Rasti ribas, remiantis Lopitalio taisykle1. Sprendimas.
Kai x artėja į nulį, ir skaitiklis, ir vardiklis artėja į nulį.Galime taikyti Lopitalio taisyklę.: ,
Įrašome į ribą, pertvarkome vardiklį ir suprastiname:
Ats.: -1/2.
2. Sprendimas.Kai x artėja į nulį, ir skaitiklis, ir vardiklis artėja į nulį. Taikome Lopitalio taisyklę.Skaitiklio išvestinė:
Vardiklio išvestinė : Įrašome į ribą:
Ats.: 0.
3.
Galime taikyti Lopitalio taisyklę, nes turime neapibrėžtumą .
Kai x artėja į 1, vėl turime neapibrėžtumą . Dar kartą taikome Lopitalio taisyklę:
ats.: 1/2(Lopitalio taisyklė čia pritaikyta 2 kartus. Galima taikyti tol, kol irašius skaičius, galime rasti ribą).
4. Sprendimas.Kai x artėja į 1 , skaitiklis ir vardiklis lygus nuliui. Taikome Lopitalio taisyklę:
Ats.: .
5. Sprendimas.Skaitiklio išvestinė : .Vardiklio išvestinė : .Įrašome į ribą:
Teorija:Lopitalio taisyklė taikoma, kai turime neapibrėžtumą “nulis dalinamas iš nulio” arba “begalybė iš begalybės” ). Tada reikia rasti skaitiklio ir vardiklio išvestines.Vienu žodžiu , vietoj skaitiklio įrašom skaitiklio išvestinę, vietoj vardiklio – vardiklio išvestinę.Kartais būna , kad Lopitalio taisyklę reikia naudoti kelis kartus.Gali tip atsitikti, kad įrašius išvestines, skaitiklyje lieka skaičius, nelygus 0 , o vardiklyje – nulis. Tada riba lygi begalybei, ir skaičiavimai nutraukiami. Jei po išvestinių radimo skaitiklyje ir vardiklyje lieko tokios reikšmės, riba:· Skaitiklyje skaičius, nelygus 0 ir vardiklyje skaičius, nelygus 0 : galime skaičiuoti ribą (taip buvo visuose čia išspręstuose uždaviniuose);· Skaitiklyje skaičius, nelygus nuliui, vardiklyje nulis : riba begalybė;· Skaitiklyje 0 ir vardiklyje 0: dar kartą pritaikome Lopitalio taisyklę.
Jei būna neapibrėžtumas begalybė padalinta iš begalybės, gali taip atsitikti, kad pritaikius Lopitalio taisyklę, skaitiklyje lieka skaičius, o vardiklyje begalybė. Tada riba 0.
Skaitiklis – reiškinys viršuje, vardiklis – reiškinys apačioje.
Rasti funkcijų asimptotes:1. Sprendimas.Funkciją galime pertverkyti:
Ištirsime, ar yra horizontalios asimptotės: .Horizontalių asimptočių nėra.
Funkcija turi neapibrėžtumą taške x=0. .Vertikalioji asimptotė x=0.
Ieškosime pasvirųjų asimptočių y=kx+b. , nes .
Kadangi k=1, .Pasviroji asimptotė y=kx+b, įrašius k=1 ir b=0:y=x.
Ats.: Vertikalioji asimptotė x=0Pasviroji asimptotė y=x.
2. .Sprendimas.Vertikalios asimptotės : ,nes šiuose taškuose vardiklis lygus 0 ir .
Ištirsime, ar yra asimptotės y=kx+b:
Asimptotė y=kx+b=0x+1=1y=1.
Ats.: horizontolioji y=1, vertikaliosios x=-1 ir x=1.
3. Sprendimas.Kai x=-1, funkcijos vardiklis tampa lygus 0, o .Funkcija turi vertikalią asimptotę x=-1.
Asimptotė y=kx+b. .Horizontalių ir pasvirųjų asimptočių nėra.
Ats.: vertikalioji asimptotė x=-1.
4. Sprendimas.Kai x=2 ir x=-2, funkcija turi vertikalias asimptotes, nes šiuose taškuose vardiklis lygus 0 .
Ieškosime asimptočių y=kx+b: .
Asimptotė y=kx+b=0x-1=-1y=-1.
Ats.: Vertikalios asimptotės x=2 ir x=-2.Horizontali y=-1.
5. .Sprendimas.Vardiklio neapibrėžtumas:
Šios tiesės yra funkcijos vertikaliosios asimptotės.
Rasime asimptotes y=kx+b: .
Todėl k=0, b=1.y=kx+b=0x+1=1
Ats.: Vertikaliosios x=2, x=-2 Horizontalioji y=1.
Teorija. Asimptotės skirstomos į vertikaliąsias ir horizontaliąsias.Vertikaliosios ieškomos taip:Jei funkcija yra trupmena, ieškoma, kada vardiklis lygus nuliui. Šiuose taškuose ir yra asimptotės (vertikaliosios). Kitaip tariant: prilyginam vardiklį 0, randam šaknis a, b, c:Tada asimptotės x=a, x=b, x=c… (patikrinimui reikia įrašyti tas reikšmes į funkciją – jei gauname trupmeną reiškia, tikrai vertikalioji asimptotė.
Kitos asimptotės. Tai yra horizontalios ir pasvirosios. Jos ieškomos pagal tokią schemą:· Ieškoma riba . Jei gaunam begalybę, reikškia asimptočių nėra. Jei gaunam nulį (turėsim horizontalią) ar kitokį skaičių (turėsim pasvirąją asimptotę)– toliau ieškom ribos . Kai turim du skaičius k ir b, galime parašyti lygtį y=kx+b.
Nustatyti funkcijos iškilumo intervalus ir rasti perlinkio taškus:
1. Sprendimas.Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę: .Antroji išvestinė yra .
Taškai 0 ir 1 dalina visą x intervalą į 3 sritis: ]-µ; 0], ]0;1], ]1; -µ[.Nustysime kiekvieno intervalo ženklą:
Funkcija iškila aukštyn ]0;1[ arba 01.
Perlinkio taškai x1= 0 ir x2=1.
Ats.:Funkcija iškila aukštyn ]0;1[ arba 01.
Perlinkio taškai x1= 0 ir x2=1.
2. Sprendimas.Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:
Prilyginame antrąją išvestinę nuliui
Reikšmės ir dalina visą x intervalą į 3 sritis: ]-µ; ], ] ; ], ] ;+µ[,
Funkcija iškila aukštyn ] ; ].Funkcija įgaubta žemyn ]-µ; [U] ]-µ; ].Perlinkio taškai .
3. Sprendimas.Funkcija apibrėžta, kai x>0.Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:
Antroji išvestinė lygi nuliui, kai
Funkcijos apibrėžimo sritis dalinama į du intervalus:]0; e2] ir ]e2; +µ[.
Kai 0e2, funkcija iškila aukštynPerlinkio taškas x=e2.
Nustatyti funkcijos iškilumo intervalus ir rasti perlinkio taškus:
4. Sprendimas.Rasime antrąją išvestinę:
prilyginame antrąją išvestinę nuliui:
Visas x intervalas dalinamas į 4 sritis:Įrašę skaičių 10 gauname teigiamą funkcijos ženklą, todėl intervalų metodų suskirstome sritis:
Perlinkio taškai yra –2 ir 2 nes tada y’’ keičia ženklą.Funkcija iškila aukštyn, kai y’’<0, t.y. intervaluose Funkcija įgaubta žemyn, kai y’’>0, t.y. intervaluose Ats.: Perlinkio taškai Funkcija iškila aukštyn, kai y’’<0, t.y. intervaluose Funkcija įgaubta žemyn, kai y’’>0, t.y. intervaluose
5. Kai x>0, funkcija yra Rasime antrąją išvestinę
Prilyginame antrąją išvestinė nuliui:
Kai 03, antra išvestinė teigiama – funkcija įgaubta žemyn.Perlinkio taškas x=3.Kai x<0, funkcija tampa .Rasime antrąją išvestinę:
Prilyginame antrąją išvestinę nuliui:
Kadangi nagrinėjame x<0, tai šiame intervale perlinkio taškų nėra. Reiškinys šiame intervale, todėl kai x<0 , funkcija iškila aukštyn.
x=0 yra lūžio taškas.Ats.: lūžio taškas x=0Perlinkio taškas x=3Iškilumo intervalai: Įgaubtumo intervalai Nubrėžti funkcijų grafikus:1.
Sprendimas.Funkcija neapibrėžta , kai – lūžio taškas, t.y. turime asimptotes ir .Funkcijos apibrėžimo sritis: Pirmoji funkcijos išvestinė
Išvestinė ligi nuliui, kai x=0.Funkcijos maksimumas x=0, y=1/4.Kai x>0, funkcija mažėja,Kai x<0, funkcija didėja.Taške x=0 funkcija neapibrėžta. Funkcija ekstremumų neturi.Antroji išvestinė:
Antroji išvestinė visame intervale teigiama – todėl funkcija įgaubta žemyn.Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai:Kai x=0, y=1/4Kai y=0, x=±1.Asimptotės – vertikalios ir .Horizontalios :
Horizontali asimptotė y=1.
2. Funkcija neapibrėžta , kai – lūžio taškas, t.y. turime asimptotę .Funkcijos apibrėžimo sritis: Pirmoji funkcijos išvestinė
Išvestinė ligi nuliui, kai Intervale –10 neigiama – funkcija iškila aukštyn.Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai :Susikirtimo su y ašimi funkcija neturi.y=0, kai , Asimptotė – vertikali .Horizontalios asimptotės :
Horizontali asimptotė y=x.
3. Kai x=1 ir x=-1, funkcija neapibrėžta.Vertikalios asimptotės x=1 ir x=-1.Funkcijos susikirtimo su koordinačių ašimis taškai:Kai x=0, y=0 (0;0)Y=0, kai
(0;0) , (2;0) , (-2;0).Pirmoji funkcijos išvestinė:
Pirmoji išvestinė visame intervale yra teigiama – vadinasi, funkcija didėjanti.Nėra reikšmių, su kuriomis y’=0, todėl funkcija ekstremumo taškų neturi.Antroji išvestinė:
Antroji išvestinė lygi nuliui, kai
Šaknų x1 ir x2 nėra, nes <0. Perlinkio taškai:
Antroji išvestinė – y’’>0, kai – įgaubtumo žemyn intervalaiy’’<0, kai – iškilumo intervalai.
asimptotės:
Pasviroji asimptotė .
4.
Sprendimas.Funkciją perrašome taip:
Funkcija neapibrėžta, kai Vertikalios asimptotės ir .Funkcijos išvestinė:
Kai x>0, funkcija mažėjaKai x<0, funkcija didėja. Ekstremumo taškas x=0 (maksimumo taškas)
y(0)=0.Antroji išvestinė:Prilyginame antrąją išvestinę nuliui ( ):
šaknų neturi. ir . Šios šaknys, kaip jau išnagrinėta aukščiau, nepatenka į funkcijos apibrėžimo sritį (vardiklis lygus 0).Antrą išvestinę galima perrašyti taip:
Skaitiklis yra teigiamas.
Perlinkio taškų nėra.Asimptotės:
Horizontali asimptotė y=1.Susikirtimais su koordinašių ašimis – taškas (0;0).
5.
Kai x>1, funkcija tampa y=x-1. y’=1, y’’=0.Funkcija kai x>1 didėja. Ekstremumo taškų nėra.
Kai x<1, funkcija tampa y=-x+1. y’=-1, y’’=0.Funkcija kai x>1 mažėja. Ekstremumo taškų nėra.
Grafikas –dvi pustiesės.
Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis:X=1, y=0 (1;0)X=0 , y=1 (0;1)