LOGIKOS MOKSLAS IR JO OBJEKTAS. TEIGINIŲ LOGIKA

4888 0

TURINYS

LOGIKOS MOKSLAS IR JO OBJEKTAS

TEIGINIŲ LOGIKA

Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai

Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija ir teiginių logikos operatorių reikšmės Teiginių logikos operatorių reikšmės

Teiginių logikos formulės reikšmės nustatymas

Teiginių logikos formulių rūšys

Loginiai formulių santykiai

Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas

Teiginių logika ir protavimas

Teiginių logika ir natūralioji kalba

Normalioji formulės forma

LOGIKOS MOKSLAS IR JO OBJEKTAS

Paprasčiausias logikos mokslo apibūdinimas yra šis: logika yra mokslas apie samprotavimo taisyklingumą.

Kiekvienas vidurinę mokyklą baigęs asmuo turi daugiau ar mažiau tikslią nuovoką apie tai, kas yra taisyklingumas ir samprotavimas.Apie taisyklingumą (ttiesa, ne samprotavimo, o kalbos) šiek tiek žinome iš gimtosios kalbos gramatikos, o apie samprotavimą nuvokiame, nes pakankamai dažnai vartojame veiksmažodį “samprotauti”. Aiškiau samprotavimo taisyklingumą, suprasite, baigę logikos studijas. Dabar pateiksime tik keletą samprotavimo pavyzdžių ir samprotavimo apibrėžimą.

Samprotavimas yra naujo teiginio gavimas iš turimų teiginių.

Teiginys – tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Tačiau ne visi sakiniai yra teiginiai, o tik tie, kurie reiškia sprendimą apie daiktą ar reiškinį. Jei daiktui iš tikrųjų būdinga tai, ką mes apie jįį sprendžiame, šį sprendimą reiškiantis sakinys yra teisingas. Pvz., sakinys “Vilnius yra Lietuvos sostinė”. Jei daiktui nėra būdinga tai, ką mes apie daiktą sprendžiame, sakinys yra klaidingas. Pvz., sakinys “Paryžius yra Lietuvos sostinė”. Sakinys, kuris nereiškia sprendimo, nėra nei teisingas, nei kl

laidingas. Pvz., klausimą reiškiantis sakinys “Kiek dabar valandų?”. Taigi samprotavimas yra naujo sprendimą reiškiančio sakinio gavimas iš turimų sakinių.

Samprotavimų būna įvairių. Kai kuriems jų keliami skirtingi taisyklingumo reikalavimai. Samprotavimai, kuriais gaunamas teiginys būtinai teisingas, jei turimi teiginiai teisingi, vadinami dedukciniais. Pateiksime jų pavyzdžių:

1. “Jei lyja, tai šlapia. Lyja. Taigi šlapia.”

2. “Jei lyja, tai šlapia. Šlapia. Taigi lyja.”

3. “Jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė. Vilnius yra Lietuvos sostinė. Taigi Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė.”

4. “Visi europiečiai žmonės. Aš europietis. Taigi aš žmogus.”

Pirmame, trečiame ir ketvirtame pavyzdyje pateikti taisyklingi dedukciniai samprotavimai. Jais būtinai gausime teisingus teiginius, jei duoti teiginiai teisingi. Pirmo pavyzdžio teiginys “Jei lyja, tai šlapia” teisingas. Jei būtų teisingas ir antras teiginys “Lyja”, tai gautas teiginys “Šlapia” irgi būtų teeisingas. Trečio ir ketvirto pavyzdžio teiginiai “Jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė”, “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, “Visi europiečiai žmonės” ir “Aš europietis” teisingi. Iš jų gauti teiginiai “Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė” ir “Aš žmogus” irgi teisingi.

Antrasis pavyzdžio samprotavimas nėra taisyklingas dedukcinis samprotavimas: teiginys “Lyja”nebūtinai yra teisingas net ir tuo atveju, jei teiginiai “Jei lyja, tai šlapia” ir “Šlapia” abu būtų teisingi: teisingu gali būti teiginys “Taigi tirpsta sniegas”.

Tam, kad būtų įmanoma nustatyti samprotavimų ta
aisyklingumą, logikai tyrinėja teiginių ypatumus, jų sandarą, ryšių dėsningumus, formuluoja teorijas, grindžiančias samprotavimų teiginiais taisykles bei kuria metodus, kuriais galima nustatyti, ar samprotavimai tų taisyklių nepažeidžia.

Atliekant loginius tyrimus, logikams tenka atsiriboti nuo taisyklingumui nereikšmingų teiginių ypatumų, teorijų bei taisyklių formuluotėse vengti dviprasmybių: dviprasmybės verstų abejoti logikos taisyklių ir teorijų patikimumu.

Logikos teorijų ir jomis pagrįstų taisyklių bei metodų patikimumą padeda užtikrinti dirbtinės kalbos, kuriomis reiškiami pagrindiniai logikos terminai, teorijos, taisyklės bei metodai. Šios dirbtinės kalbos turi savo morfologiją, sintaksę, semantiką, jų išraiškos turi tikslias reikšmes. Be to, logikos teorijose panaudojamas aksiominis dedukcinis metodas, kurio dėka svarbiausios loginių tyrimų išvados tampa teoremomis, išvedamomis iš logikos aksiomų – nenuginčijamų teisingų logikos teorijos teiginių. Logika, kuri naudoja dirbtines kalbas ir aksiominį dedukcinį teorinių tyrimų metodą, vadinama simboline logika.

Natūralios kalbos žodžiai yra daugiareikšmiai. Daugiareikšmiškumas šalinamas apibrėžiant vartojamų žodžių reikšmes. Tačiau teorijose ir taisyklėse, kurios formuluojamos natūralia žodine kalba, dviprasmybių išvengti neįmanoma: jose tenka pavartoti ir tokius natūralios kalbos žodžius, kurių apibrėžti neįmanoma. Pvz., mes pateikėme termino “teiginys” apibrėžimą, pagal kurį teiginys – tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Paaiškinome, kad tik tie sakiniai, kurie reiškia sprendimą, gali būti teisingi ar klaidingi. Lyg ir viskas aišku. Tačiau pamėginkite nustatyti, ar žodžių junginys “Žalios be
espalvės idėjos įnirtingai miega” yra teisingas ar klaidingas? Nustatant pateikto pavyzdžio teisingumą, keblumų kyla todėl, kad mūsų paaiškinimuose liko neapibrėžtumų. Mes nepaaiškinome, kokie žodžių junginiai vadintini sakiniais, kokius reikalavimus turi tenkinti sakinys, kad jis reikštų sprendimą, kas yra sprendimas,. Jei būtume mėginę apibrėžti ir šių žodžių reikšmes, ne tik ištęstume aiškinimą, bet galiausiai prieitume prie bendriausios reikšmės žodžių, kurių apibrėžti neįmanoma.

Tiesa, esama tokių samprotavimo taisyklingumo aspektų, kurie simbolių kalba ir aksiominėmis dedukcinėmis teorijomis dar nėra išreikšti, o gal net iš išvis neišreiškiami. Juos tiria logikos mokslo šakos, nepriklausančios simbolinei logikai. Pavyzdžiui, praktinė logika kaupia ir sistemina žinias apie taisyklingų įrodinėjimų praktiką, apie tas problemas ir sėkmes, su kuriomis susiduria sugebėjimą taisyklingai samprotauti lavinantys žmonės, o logikos filosofija tiria fundamentalias pačių logikos teorijų problemas.

Logikos reikšmė.

Samprotavimai yra daugumos įrodinėjimų sudėtinė dalis. Samprotavimų taisyklės ir samprotavimų taisyklingumo analizės metodai padeda išsiaiškinti bei užtikrinti įrodinėjimų, naudojamų tiek atskiruose moksluose, tiek kasdieniame gyvenime, patikimumą. Logikos mokslas ir jo rezultatai reikalingi kiekvienam asmeniui, kuriam darbe arba gyvenime prireikia įrodinėjimų arba šiaip samprotavimų. Pavyzdžiui, teisininkas savo darbe pastoviai susiduria ir su samprotavimais, ir su įrodinėjimais. Juk teismo nutartys yra tekstai, reiškiantys samprotavimą, prokuroro kalbos, grindžiančios kaltinamojo kaltumą, advokato kalbos, skirtos ginamo asmens nekaltumui yra įr
rodinėjimai. Policijos pareigūnų atliekamas nusikaltimų tyrimas yra versijų teisingumo arba klaidingumo įrodinėjimas.

Be to, logikos teorijos panaudojamos kuriant kompiuterinę techniką, atliekančią skaičiavimo, tekstų analizės ir kt. operacijas, bei šios kompiuterinės technikos programas.

Klausimai pakartojimui

1. Ką tyrinėja logikos mokslas?

2. Kam panaudojami logikos tyrimų rezultatai?

TEIGINIŲ LOGIKA

Teiginių logika tiria tuos teiginių ir jų ryšių ypatumus, kuriuos lemia teiginių reikšmė. Tokiame teiginių tyrime sėkmingai panaudojama dirbtinė simbolių kalba.

Šiame skyriuje aptarsime simbolių kalba formuluojamą teiginių teoriją ir ja pagrįstus samprotavimo taisyklingumo analizės metodus. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurio teiginys turi tik reikšmę “teisinga” arba reikšmę “klaidinga”. Mūsų aptariama teiginių logikos teorija yra simbolinės logikos dalis, viena pamatinių simbolinės logikos teorijų, kuri savo griežtumu nenusileidžia matematikos teorijoms. Simbolinė logika apima tik formuluojamas simbolių kalba teorijas, naudojančias aksiominį dedukcinį metodą. Šiomis teorijomis pagrįstų samprotavimo taisyklingumo analizės metodų taikymas natūralia kalba išsakytiems samprotavimams tirti yra vienas iš taikomųjų simbolinės logikos aspektų.

Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai

Šiame poskyryje įvesime vienos iš galimų teiginių logikos dirbtinių kalbų ženklus, nurodysime jų reikšmes ir vartojimo taisykles. Kituose poskyriuose pateiksime ženklų semantikos pagrindus, pagrindines teiginių logikos ženklų junginių, vadinamų formulėmis, sintaksės taisykles ir parodysime, kaip teiginių logikos dirbtinė kalba naudojama samprotavimų analizei.

Teiginių ir jų reikšmės žymėjimas. Propoziciniai kintamieji. Teiginius įprasta žymėti lotynų abėcėlės mažosiomis raidėmis “p”, “q”, “r”, “s”, “t”, “u”, “v”, “x”, “y”, “z” arba šiomis raidėmis su indeksais, pvz. “r1”, “r2”, “r3”,., “rn”,., “z1”, “z2”, “z3”,.,“zn”. Simbolis, žymintis teiginį, vadinamas propoziciniu kintamuoju. Propozicinis kintamasis nėra teiginys. Propozicinis kintamasis žymi vietą, kurią simbolių kalbos išraiškoje gali užimti teiginys, išreikštas simboliais arba natūralios kalbos žodžiais. Propozicija yra iš lotynų kalbos kilęs tarptautinis žodis, reiškiantis teiginį. Propozicinis kintamasis skiriasi nuo teiginio tuo, kad jis neturi reikšmės. Teiginys reikšmę turi. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurioje teiginys turi tik dvi reikšmes: “teisinga” ir “klaidinga”. Jokių kitokių reikšmių teiginys šioje logikoje neturi. “Teisinga” žymėsime simboliu “1”, o “klaidinga” – simboliu “0”. Kai reikia pažymėti teiginio reikšmę teiginių logikos formulėje, vartojamas toks žymėjimas: teisinga – T, klaidinga – . Užrašas Tp arba p reiškia, kad konstanta priskirta propoziciniam kintamajam.

Vienos iš šių reikšmių priskyrimas propoziciniam kintamajam paverčia propozicinį kintamąjį arba teisingu, arba klaidingu teiginiu. Simboliais teiginį galime pažymėti taip: p arba p , Tp arba p. Teiginys, gaunamas propoziciniam kintamajam priskyrus teiginio reikšmę, yra elementarus nedalomas teiginių logikos elementas, dar vadinamas elementariu teiginiu. Jo sandaros teiginių logika netyrinėja.

Natūraliosios kalbos išraiškos yra žodžiai arba sakiniai. Propoziciniai kintamieji yra dirbtinės simbolių kalbos išraiškos, kurios vadinamos elementariomis teiginių logikos formulėmis.

Teiginių logikos operatoriai. Teiginių logikos operatorius yra simboliu reiškiamas vienai arba kelioms elementarioms teiginių logikos formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimas. Jis jungia elementarioms formulėms priskirtas teiginio reikšmes su formulės, sudarytos iš tų elementarių formulių ir operatoriaus, teiginio reikšmėmis. Todėl teiginių logikos operatorius dar vadinamas jungtimi. Elementarioms formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimams žymėti logikai naudoja įvairius simbolius. Net lietuviškuose logikos vadovėliuose jiems žymėti naudojami nevienodi simboliai. Nors perimti iš užsienio autorių, tie simboliai nepriklauso kuriai nors vienai užsienio autorių simbolių sistemai. Mes naudosime tik vienos, labiausiai paplitusios sistemos simboliką, pavadintą tą sistemą sudariusių dvidešimto amžiaus anglų logiko Bertrand’o Russell’o ir devyniolikto amžiaus pabaigos italų matematiko Giuseppe’s Peano pavardėmis, – Peano-Russell’o sistemos simboliką. Kiti autoriai savo knygose naudoja kitų užsienio logikų arba mišrią simboliką. Norėdami palengvinti kitų autorių knygų, skirtų logikai, skaitymą, šios knygos priede Nr. 2 pateikiame dažniausiai naudojamų operatorių simbolių lyginamąją lentelę, kurioje nurodome ir operatorių, žymimų tais simboliais, pavadinimus.

Peano-Russell’o sistemoje yra vieno monadinio operatoriaus simbolis “” ir keturių dažniausiai naudojamų diadinių operatorių simboliai: “”, “”, “”, “”. Monadinis operatorius priskiriamas vienam teiginiui arba teiginių logikos formulei. Diadinis operatorius į vieną teiginį ar formulę apjungia du teiginius arba formules.

Operatorius “” vadinamas neigimu. Jis žymi teiginio neigimą.

Operatorius “-” vadinamas konjunkcija. Jis pagal loginę reikšmę atitinka teiginių jungimą jungtuku “ir”, todėl jis dar vadinamas operatoriumi “ir”.

Operatorius “” vadinamas silpnąja disjunkcija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “arba” ir gali būti vadinamas operatoriumi “arba”.

Operatorius “” vadinamas materialiąja implikacija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “jei., tai..” ir gali būti vadinamas operatoriumi “jei, tai”.

Operatorius “” vadinamas materialiąja ekvivalencija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “jei ir tik jei.., tai.”.

Teiginių logikos operatorių logines reikšmes išvesime poskyryje “Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija ir teiginių logikos operatorių reikšmės”, o pačius operatorius detaliau aptarsime poskyryje “Teiginių logikos operatoriai”, kuriame parodysime, kaip atrenkami pagrindiniai žodeliai, kuriais operatoriai reiškiami lietuvių kalboje.

Bendrosios teiginių logikos simbolių vartojimo taisyklės. Pateiksime tris:

1. skirtingas propozicinis kintamasis, tiesos vertė ar loginis operatorius žymimas skirtingai,

2. vienodas propozicinis kintamasis, tiesos vertė ar loginis operatorius žymimas vienodai,

3. simbolis, kurio nėra teiginių logikos simbolių kalboje, nėra teiginių logikos simbolis.

Teiginių logikos formulių sudarymo taisyklės. Teiginių logikos formule vadinama bet kuris teiginių logikos simbolis arba simbolių eilė. Formulių sudarymo taisyklės nurodo, koks atskirai užrašytas simbolis arba kokia simbolių eilė laikytini taisyklingomis teiginių logikos formulėmis.

Siekdami taisyklių formuluočių glaustumo, formuluotėse panaudosime mažąsias graikiškas raides, kurios pagal trečią bendrąją dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolių vartojimo taisyklę nėra teiginių logikos simboliai: vienintelė mažųjų graikiškų raidžių taisyklėse paskirtis yra palengvinti taisyklių formulavimą.

Taigi, atskirai užrašytas simbolis arba simbolių eilė yra taisyklingai sudaryta teiginių logikos formulė tik tuo atveju, jei ji yra sudaryta pagal šias taisykles:

1. Atskirai pateiktas propozicinis kintamasis yra taisyklingai sudaryta formulė.

2. Jei  yra kokia nors taisyklingai sudaryta formulė, tai irgi yra taisyklingai sudaryta formulė.

3. Jei ir  yra kokios nors taisyklingai sudarytos formulės, tai ( ), ( ), ( ), (  ) irgi yra taisyklingai sudarytos formulės, kuriose ir  yra subformulės.

Keletas pastabų dėl formulių sudarymo taisyklių:

1. Skliaustai yra teiginių logikos techninis simbolis. Jie yra būtinas taisyklingai sudarytos formulės elementas, kai formulės sudarymui taikoma trečia taisyklė. Galima nenaudoti tik tų skliaustų, kuriais apskliaustina visa formulė. Sudėtingesnėje formulėje skliaustai žymi subformules su diadiniais operatoriais. Formulės subformulės yra visos formulės dalys, kurios atitinka taisyklingų formulių taisykles: pvz., formulės (p r) subformulės yra p, r, r, p r. Pirmąją ir antrąją taisyklingų formulių taisyklę tenkinančios subformulės skliaustais nežymimos. Susipažinę su operatorių reikšme, pateikiama kitame knygos poskyryje, pamatysime, kad formulės (pp)p  r) ir formulės (p(p p))  r reikšmė skirtinga. Kad skliaustų poros būtų lengviau skiriamos, formulėje galima naudoti ne tik paprastų, bet ir laužtinių ar figūrinių skliaustų poras.

2. Formulės, kuri sudaryta pagal trečią formulių sudarymo taisyklę panaudojant operatorius “”, “”, narių skaičius dviem nariais nėra ribojamas. Pavyzdžiui, tiek p q r, tiek ir pq r s yra taisyklingai sudarytos formulės.

Formulių sudarymo taisyklės įgalina grynai mechaniškai sudaryti taisyklingas formules.

Pateiksime keletą taisyklingų formulių pavyzdžių: p, r, p, p,

p r, pp, (p r), r p, (pp)p  r). Pavyzdžių formulės su loginiais operatoriais sudarytos taisyklėse nurodytus formulių kintamuosius keičiant pavyzdžiuose pateiktomis formulėmis.

Šiame poskyryje pateikėme visus dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius, išskyrus pasekmės santykio simbolį. Sekmens santykio simboliu dirbtinę teiginių logikos kalbą papildysime poskyryje “Loginiai formulių santykiai”, kuriame aptarsime, ką reiškia išvedimas teiginių logikoje.

Klausimai pakartojimui

1. Ką tyrinėja teiginių logika?

1. Kas vadinama teiginiu?

2. Kas yra propozicinis kintamasis?

3. Kas yra teiginių logikos operatorius?

4. Koks operatorius vadinamas monadiniu?

5. Koks operatorius vadinamas diadiniu?

6. Kas vadinama elementaria teiginių logikos formule?

7. Kas yra teiginių logikos formulė?

8. Kas yra taisyklinga teiginių logikos formulė?

9. Kas yra subformulė?

10. Kada kintamojo simbolis yra subformulė?

11. Kokie simboliai yra teiginių logikos kalbos ženklai?

12. Ką žymi skliausteliai?

13. Kada skliaustelių galima nenaudoti?

14. Ar simbolių seka (p q r yra teiginių logikos formulė?

15. Ar formulė q p yra taisyklinga?

16. Ar formulė R  (PQ) yra taisyklinga?

17. Ar formulė   () yra taisyklinga?

Pratimai

1. Užrašykite simbolių p q r seką tokia tvarka, kad gautųsi taisyklinga teiginių logikos formulė, kurioje skliausteliai būtinai reikalingi.

2. Sudarykite pagal antrąją taisyklingų formulių taisyklę taisyklingą formulę iš formulės (p  r) s ir operatoriaus simbolio .

3. Sudarykite pagal trečiąją formulių sudarymo taisyklę 2 taisyklingas formules iš formulių p, r p ir operatoriaus simbolio .

4. Kiek formulėje (pp)r yra subformulių? Nurodykite jas.

Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija ir teiginių logikos operatorių reikšmės

Šis knygos poskyris yra sudėtingesnis už kitus. Jei siekiama įgyti tik pačių elementariausių žinių apie teiginių logiką, jį galima praleisti.

Poskyryje paaiškiname, kas tai yra interpretacija teiginių logikos požiūriu. Taip pat parodome, iš kur atsiranda teiginių logikos operatorių reikšmės ir apibrėžimai.

Ankstesniame knygos poskyryje pateikėme dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius ir taisyklingų teiginių logikos formulių sudarymo taisykles. Vieni simboliai reiškia loginius operatorius, kiti – propozicinius kintamuosius.

Propozicinio kintamojo simbolis yra teiginių logikos kalbos elementas, kurį turi visos formulės. Šis simbolis nieko konkretaus nereiškia. Būtent dėl to ir kitų simbolių reikšmė nėra aiški. Pirmiausia pateiksime propozicinio kintamojo simbolio interpretacijas.

Interpretacija yra teksto reikšmės išaiškinimas. Dirbtinės teiginių logikos kalbos tekstas yra bet kuri jos simbolių eilė. Ši eilė vadinama teiginių logikos formule. Jei dirbtinės kalbos simbolių interpretacija yra tokia, kad atitinka svarbiausius kitos kalbos tekstų reikšmės ypatumus, dirbtinės kalbos išraiškos pagal reikšmę atitinka tos kalbos tekstus. Dvireikšmei teiginių logikai svarbūs natūralios kalbos tekstų ypatumai yra jų teisingumas ir klaidingumas.

Knygos poskyryje “Pagrindinai teiginių logikos terminai ir simboliai” minėjome, kad propozicinis kintamasis neturi konkrečios reikšmės. Kintamajam reikšmė priskiriama. Reikšmės kintamajam priskyrimas yra propozicinio kintamojo interpretacija. Dvireikšmėje teiginių logikoje galimos dvi propozicinio kintamojo interpretacijos:

1. propozicinis kintamasis turi interpretaciją “teisinga”, žymimą simboliu “1” arba T,

2. propozicinis kintamasis turi interpretaciją “klaidinga”, žymimą simboliu”0”arba .

Toliau remsimės būtent šiomis propozicinio kintamojo interpretacijomis. Mūsų dirbtinė kalba atitiks natūraliąsias kalbas ir kitas dirbtines kalbas (pvz. matematikos simbolių kalbą) tiek, kiek tų kalbų sakiniai susiję su teisingumu ir klaidingumu.

Teiginių logikos sistemos, kuriose propozicinių kintamųjų simboliai neturi interpretacijos, vadinamos neinterpretuotomis sistemomis. Tokios sistemos naudojamos teiginių logikos operatorių ir formulių bendriausių ypatumų tyrimui. Teiginių logikos operatorių ir formulių dėsningumai, nustatyti neinterpretuotose sistemose, tinka ir interpretuotoms teiginių logikos sistemoms.

Teiginių logikos neinterpretuotų sistemų sudarymas ir formulių dėsningumų jose tyrimas yra grynai teorinė teiginių logikos dalis. Šioje knygoje, kuris skirta humanitarams ir socialinių mokslų atstovams, neinterpretuotų sistemų neaptarsime.

“Teisinga” ir “klaidinga” dar vadinamos G.Boole’o konstantomis. Jas galima suprasti taip: “teisinga” ir “klaidinga” yra nekintanti kokybė, kai ji nėra susieta su teiginiu. Sąsajoje su teiginiu kinta ne ši kokybė, bet teiginio reikšmė. Teiginių logikos formulė gali turėti konstantos reikšmę dėl joje esančių operatorių kombinacijos.

Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija.

Aptarkime propozicinių kintamųjų eilę p1, p2, p3,.pn.

Kintamųjų eilės interpretacija yra bet kuri kintamųjų interpretacijų ,,,.n eilė, kurios  yra p1 interpretacija, o  – p2,  – p3, n – pn interpretacija.

Kai eilėje yra vienas kintamasis p1 (n = 1), kintamųjų eilė turi dvi skirtingas interpretacijas: p1 reiškia arba 1, arba 0. Kai eilėje yra du kintamieji (n = 2), tai jų eilė turi keturias skirtingas interpretacijas: (1, 1), (1, 0,), (0, 1) ir (0, 0) (pirmasis interpretacijų elementas yra p1 interpretacija, antrasis – p2 interpretacija).

Propozicinių kintamųjų eilės skirtingų interpretacijų skaičius nustatomas pagal vieną iš paprasčiausių matematikos šakos, vadinamos kombinatorika, lygčių, skirtą gretinių su pasikartojimais skaičiui nustatyti. Ši lygtis tokia: I = nm , kurioje I yra propozicinių kintamųjų eilės interpretacijų skaičius, n yra vieno propozicinio kintamojo skirtingų interpretacijų skaičius, kai jis nėra eilės elementas (mūsų atveju jis lygus 2), o m – propozicinių kintamųjų eilėje skaičius. Pavyzdžiui, dviejų kintamųjų eilė gali turėti: I = 22 = 4 interpretacijas, trijų – I = 23 = 8, keturių – I = 24 = 16 ir t.t.).

Propozicinių kintamųjų eilės visos galimos skirtingos interpretacijos pateikiamos tiesos matrica.

Matrica yra simbolių aibė, kurioje simboliai sugrupuoti į stulpelius ir eilutes taip, kad sudaro stačiakampį. Matematikoje ir teiginių logikoje matricos naudojamos aibių, kurias sudaro baigtinis simbolių skaičius, funkciniams ryšiams reikšti.

Matricos viršuje horizontaliai užrašoma propozicinių kintamųjų eilė. Po propozicinių kintamųjų eile surašomos skirtingos kintamųjų eilės interpretacijos. Pateiksime propozicinių kintamųjų eilių, sudarytų iš 1, 2 ir 3 elementų, matricų pavyzdžius (siekdami išvengti painiavos, sutarkime kintamųjų eilių interpretacijas matricose rašyti būtent ta tvarka, kuria jos pateiktos pavyzdžiuose):

p1 p2 p3

1

1

1

1

0

0

0

0 1

1

0

0

1

1

0

0 1

0

1

0

1

0

1

0

p1

1

0

p1 p2

1

1

0

0 1

0

1

0

Matrica Nr.1

Matrica Nr.2

Matrica Nr.3

Teiginių logikos formulę sudaro kintamųjų, operatorių ir skliaustelių eilė. Elementarios teiginių logikos formulės reikšmė yra tos formulės interpretacijas žyminčių simbolių visuma, t.y. simbolių “1” ir”0” stulpelis, esantis po elementaria formule.

Operatorių ir skliaustelių reikšmės dar nežinome. Dabar nustatysime operatorių reikšmes.

Teiginių logikos formulės, kuri apima vieną operatorių, matrica turi tiek eilučių, kiek yra formulės kintamųjų eilės interpretacijų: I = nm . Kiekvienoje atskiroje eilutėje tokia formulė turi teisingo arba klaidingo teiginio reikšmę, nes formulė įgyja teiginio reikšmę tik elementarių formulių, iš kurių ji gaunama, interpretacijos dėka, o elementari formulė kiekvienoje atskiroje interpretacijoje yra teisingas arba klaidingas teiginys.

Simboliai 1, 0 stulpeliuose po formule su operatoriumi gali sudaryti įvairias kombinacijas. Skirtingi simbolių 1, 0 stulpeliai rodys, kad turime reikalą ne su vienu, o su keliais operatoriais. Kiekvienas skirtingas simbolių 1, 0 stulpelis yra teiginių logikos formulės su operatoriumi reikšmė (angl. meaning), dar vadinama operatoriaus tiesos lentele.

Skirtingų stulpelių skaičius nustatomas pagal kombinatorikos lygtį, panašią į kintamųjų eilės interpretacijų skaičiaus lygtį: T = nn, kurioje T yra skirtingų stulpelių skaičius, n – atskiro formulės kintamojo skirtingų interpretacijų skaičius, m – kintamųjų skaičius formulėje.

Mūsų aprašytoje teiginių logikos kalboje yra vienas monadinio ir keturi diadiniai operatoriai. Pagal kombinatorikos principus išvedamų skirtingų operatorių reikšmių skaičius yra didesnis: skirtingų monadinių operatorių yra T = n2 = 22 = 4, o skirtingų diadinių operatorių – T = n2 = 24 = 16.

Pagal kombinatorikos principus išvedamų operatorių reikšmės pateikiamos tiesos matricomis.

Kairėje pirmojo iš kairės šių matricų vertikalaus brūkšnio pusėje surašomi kintamieji, iš kurių operatoriaus dėka sudaroma nauja formulė, ir tų kintamųjų interpretacijos. Kintamieji ir jų interpretacijos pateikiamos lygiai tokia pat tvarka, kaip kintamųjų eilių interpretacijų matricose. Matrica Nr.4 pateikiame monadinių operatorių tiesos lenteles. Joje kintamasis, iš kurio monadiniai operatoriai sudaro formules, ir jo interpretacijos surašomos tokia pat tvarka, kai jau pateiktoje matricoje Nr.1. Matrica Nr.5 pateikiame diadinių operatorių tiesos lenteles. Joje kintamieji, iš kurių formules sudaro diadiniai operatoriai, ir kintamųjų eilės interpretacijos surašomos tokia pat tvarka, kaip jau pateiktoje matricoje Nr.2.

Dešinėje pirmojo iš kairės vertikalaus brūkšnio pusėje stulpeliais rašomos visos skirtingų operatorių tiesos lentelės. Kiekvieno skirtingo operatoriaus tiesos lentelė nuo kito operatoriaus lentelės atskiriama vertikaliu brūkšniu. Taip gautų stulpelių viršuje užrašomos formulės, apimančios kintamuosius ir operatoriaus simbolį, kuriuo žymimas stulpelį atitinkantis operatorius. Simbolius turi ne visi operatoriai, teoriškai išvedami pagal kombinatorikos principus. Be to, mes dar nenurodėme, kokias tiesos lenteles turintys operatoriai žymimi mūsų aprašytos dirbtinės kalbos operatorių simboliais. Todėl stulpelių viršuje užrašomose formulėse vietoj operatorių simbolių naudojame santrumpą “o” su skaitmeniniu indeksu. Kiekvieną skirtingą operatorių pažymime skirtingu skaitmeniniu indeksu: “o1”, “o2”, “o3” ir t.t. Šis žymėjimas nėra dirbtinės kalbos simbolis: jį naudojame tik dėstymo patogumui.

Pagal aprašytą procedūrą gauname tokias tiesos matricas Nr.4 ir Nr.5:

p1 o1p1 o2 p1 o3 p1 o4 p1

1

0 1

1 1

0 0

1 0

0

Matrica Nr.4

p1 p2 p1o5p2 p1o6p2 p1o7p2 p1o8p2 p1o9p2 p1o10p2 p1o11p2 p1o12p2 p1o13p2 p1o14p2 p1o15p2 p1o16p2 p1o17p2 p1o18p2 p1o19p2 p1o20p2

1

1

0

0 1

0

1

0 1

1

1

1 1

1

1

0 1

1

0

1 1

0

1

1 1

0

0

0 1

0

0

1 1

1

0

0 1

0

1

0 0

0

0

0 0

0

0

1 0

0

1

0 0

1

0

0 0

1

1

1 0

1

1

0 0

0

1

1 0

1

0

1

Matrica Nr.5

Matricose Nr.4 ir Nr.5 pateiktos operatorių tiesos lentelės yra ir formulių su tais operatoriais reikšmės. Teiginių logika remiasi prielaida, kad operatorių tiesos lentelėse surašytos teiginių reikšmės turėtų būti formulės kintamųjų eilės interpretacijų funkcijos reikšmės. Mūsų aptariamos teiginių logikos funkcijos dar vadinamos tiesos funkcijomis. Jos yra neelementarūs teiginiai.

Matricoje Nr.4 yra keturių operatorių tiesos lentelės, o matricoje Nr.5 – šešiolikos. Tiek išvedėme skirtingas reikšmes turinčių operatorių kombinatorikos principų dėka.

Jau minėjome, kad operatoriaus tiesos lentelę sudaro simbolių 1, 0 kombinacija, užrašyta stulpeliu. Operatoriaus lentelės simbolių 1, 0 santykis su formulės, apimančios tą operatorių, kintamųjų eilės interpretacijų simboliais yra operatoriaus reikšmė. Ši reikšmė pateikiama matrica, sudaryta iš kintamųjų eilės interpretacijų ir operatoriaus tiesos lentelės. Tokia matrica yra mūsų pateiktos visų operatorių matricos dalis, apimanti kintamųjų interpretacijas ir operatoriaus lentelę.

Mūsų pateiktų matricų Nr.4 ir Nr.5 stulpeliai, atitinkantys operatorių tiesos lenteles, dar vadinami Boole’o operatorių lentelėmis. Boole’o operatoriai yra išvedami teoriškai, remiantis kombinatorikos principais. Jie yra bet kurios dvireikšmės logikos operatoriai: ir tos, kurios kintamųjų interpretacijos yra “teisinga” ir “klaidinga”, ir tos, kurios operatoriai turi kokias nors kitas dvi skirtingas interpretacijas.

Teoriškai išvestų Boole’o operatorių lentelės apima visus dvireikšmės logikos operatorius, galimus pagal kombinatorikos principus. Jų yra 20: 4 monadiniai ir 16 diadinių.

Sudarėme visas galimas teiginių logikos monadinių ir diadinių operatorių tiesos lenteles. Kai kurios iš sudarytų lentelių atmetamos, nes jos kartoja kitų lentelėse pateiktų formulių lenteles arba vietoj tiesos funkcijų teikia konstantas.

Iš matricos Nr.4 atmetamos operatorių o1, o2 ir o4 lentelės:

1. operatoriaus o2 lentelė atitinka kintamojo p1 interpretacijų stulpelį,

2. operatorių o2 ir o4 lentelės teikia konstantas “teisinga”, “klaidinga”, kurios akivaizdžiai nepriklauso nuo kintamojo interpretacijų. Jos nėra tiesos funkcijos.

Iš pirmos matricos lieka tik operatoriaus o3 lentelė. Ši lentelė ir yra mūsų aptartos dirbtinės teiginių logikos kalbos formulės p1 reikšmė. Kitaip ji dar vadinama neigimo operatoriaus tiesos lentele arba reikšme. Mūsų vartojamas neigimo operatoriaus simbolis yra “”.

Iš antros matricos atmetamos:

1. operatorių o5 ir o13 lentelės(jos teikia konstantas);

2. operatorių o11 ir o12 lentelės (jos atitinka kintamųjų p1 arba p2 interpretacijų stulpelius);

3. operatorių o19 ir o20 lentelės (jos atitinka kintamųjų p1 ir p2 neigimų p1 arba p2 lenteles).

Knygoje pateiktoje dirbtinėje teiginių logikos kalboje yra keturių diadinių operatorių simboliai. Jais žymimi tie iš 10 likusių diadinių operatorių, kurie iš kintamųjų sudaro formules, suderinamas su kintamųjų interpretacijomis “teisinga”. Tiesos matricoje Nr.5 šį suderinamumą rodo simbolis “1”, esantis pirmoje operatoriaus tiesos lentelės eilutėje: toje pačioje matricos eilutėje, kurioje abu kintamieji turi interpretaciją “teisinga” (“1”). Formulių suderinamumas yra viena iš santykių tarp formulių rūšių, labai svarbi samprotavimo loginiam svarumui užtikrinti. Santykius tarp formulių aptarsime poskyryje “Teiginių logikos formulių santykiai”, o samprotavimo loginį svarumą – poskyryje “Teiginių logika ir samprotavimas”.

Klausimai pakartojimui

1. Kas tai yra propozicinio kintamojo interpretacija?

2. Kas žymima simboliais 1 ir 0?

3. Kas žymima simboliais T ir ?

4. Kas vadinama Boole’o konstantomis?

5. Kas tai yra propozicinių kintamųjų eilės interpretacija?

6. Kas yra matrica?

7. Kas vadinama teiginių logikos operatoriaus tiesos lentele?

8. Kas vadinama teiginių logikos formulės reikšme?

Teiginių logikos operatorių reikšmės

Šiame poskyryje aptarsime operatorius, kurių simbolius įvedėme poskyryje “Teiginių logikos simbolika”.

Taip pat norėtume atkreipti skaitytojų, praleidusių praėjusį poskyrį, dėmesį į tai, kad šiame knygos poskyryje yra nuorodų į ankstesniajame pateiktas matricas.

Lietuviškai suformuluoti teiginiai poskyryje bus tik pavyzdžiai parodymui, kokį jungtuką atitinka mūsų aptariamas operatorius. Natūralia kalba išsakytų teiginių vertimas į teiginių logikos simbolių kalbą (teiginių formalizavimas) šiame knygos poskyryje nėra aptariamas. Formalizavimas bus aptariamas knygos poskyryje “Teiginių logika ir natūralioji kalba”.

Neigimas.

Matricoje Nr.4 (žvilgterėkite į praeitame poskyryje pateiktas matricas) vietoj operatoriaus o3 įrašę simbolį “~” bei praleidę kitų matricoje esančių operatorių lenteles, turime išbaigtą ir teoriškai pagrįstą taisyklingos formulės su neigimo operatoriumi tiesos matricą (p ir ~p galime rašyti be indekso “1”, kuris mums buvo reikalingas tik kalbant apie kintamųjų eiles):

p ~p

1 0 0

1

Formulės su vienu neigimo operatoriumi matrica teikia tokią neigimo operatoriaus taisyklę: neigimas pakeičia teisingą teiginį klaidingu, ir atvirkščiai – klaidingą – teisingu.

Aptarkime šiuos žodžiais išsakytus teiginius:

1. Vilnius yra Lietuvos sostinė;

2. Vilnius nėra Lietuvos sostinė;

3. Klaipėda yra Lietuvos sostinė;

4. Klaipėda nėra Lietuvos sostinė.

Teiginys “Vilnius yra Lietuvos sostinė” yra teisingas (1), o teiginys “Vilnius nėra Lietuvos sostinė “ – klaidingas (0), teiginys “Klaipėda yra Lietuvos sostinė” yra klaidingas (0), o teiginys “Klaipėda nėra Lietuvos sostinė” – teisingas (1).

Teiginių poros 1, 2 ir 3, 4 lietuvių kalbos sintaksės požiūriu skiriasi tik tuo, kad teiginiuose 3, 4 tarinio jungiamoji dalis yra neigiama. Būtent ši aplinkybė parodo, kad neigimo operatorius yra sprendimą reiškiančio sakinio tarinio neigiamos jungiamosios dalies loginė reikšmė.

Formulė ~p skaitoma “ne-p”. Formulės ~p tiesos lentelė parodo, kokią reikšmę turinčiu teiginiu tampa formulė ~p, kai jos kintamasis interpretacijos dėka tampa teiginiu.

Dabar pateiksime diadinius operatorius.

Konjunkcija.

Aptarkime šiuos žodžiais išsakytus teiginius:

1. Palanga yra Lietuvos pajūrio kurortas;

2. Šventoji yra Lietuvos pajūrio kurortas;

3. Birštonas yra Lietuvos pajūrio kurortas;

4. Kaunas yra Lietuvos pajūrio kurortas.

Iš praktikos žinome, kad teiginiai 1, 2 yra teisingi (1 1), o 3,4 – klaidingi (0 0).

Teiginių 1, 2 junginys “Palanga yra Lietuvos pajūrio kurortas ir Šventoji yra Lietuvos pajūrio kurortas” yra teisingas teiginys: tokį sprendimą mums teikia samprotavimų patirtis. Šį teiginį sudarančių teiginių reikšmės atitinka kintamųjų eilės p1, p2 pirmąją interpretaciją, pateiktą matricos Nr.5 pirmoje eilutėje. Ji yra 1, 1.

Kintamųjų eilės p1, p2 antrąją interpretaciją (matricos Nr.5 antroji eilutė) atitinka teiginių “Palanga yra Lietuvos pajūrio kurortas” (teisinga) ir “Birštonas yra Lietuvos pajūrio kurortas” (klaidinga) reikšmės 1, 0. Junginį “Palanga yra Lietuvos pajūrio kurortas ir Birštonas yra Lietuvos pajūrio kurortas” iš samprotavimų patirties žinome esant klaidingą (0). Junginio klaidingumas yra dar akivaizdesnis, kai aptariamas sutrumpintas teiginių junginio variantas, pvz. “Palanga ir Birštonas yra Lietuvos pajūrio kurortai”.

Kintamųjų eilės p1, p2 trečiąją interpretaciją (matricos Nr.5 trečioji eilutė) atitinka teiginių “Kaunas yra Lietuvos pajūrio kurortas” (klaidinga) ir “Šventoji yra Lietuvos pajūrio kurortas” (teisinga) reikšmės 0, 1. Junginį “Kaunas ir Šventoji yra Lietuvos pajūrio kurortai” suvokiame esant klaidingu teiginiu (0).

Kintamųjų eilės p1, p2 ketvirtąją interpretaciją (matricos Nr.5 ketvirtoji eilutė) atitinka teiginių “Kaunas yra Lietuvos pajūrio kurortas” (klaidinga) ir “Birštonas yra Lietuvos pajūrio kurortas” (klaidinga) reikšmės 0, 0. Iš samprotavimų patirties žinome, kad junginys “Kaunas ir Birštonas yra Lietuvos pajūrio kurortai” yra klaidingas (0).

Surašykime panaudotus teiginių logikos simbolius į matricą, kurios paskutinio stulpelio viršuje įrašykime kintamuosius p1, p2, sujungtus jungtuku “ir”:

p1 p2 p1 ir p2

1

1

0

0 1

0

1

0 1

0

0

0

Paskutiniame matricos stulpelyje gavome diadinio operatoriaus “ir”, kuris dar vadinamas konjunkcija arba sujungimo (lot. conjunctio – sujungimas) operatoriumi, tiesos lentelę, atitinkančią matricos Nr.5 operatoriaus o9 lentelę.

Išskirdami operatoriaus o9 reikšmę turintį jungtuką vadovavomės samprotavimų patirtimi.

Jau turėjome pastebėti, kad konjunkcijos operatoriaus lentelė teikia lietuvių kalbos jungtuko “ir”, jungiančio teiginius, loginę reikšmę.

p q yra taisyklinga konjunkcijos operatoriaus formulė. Į matricą Nr.5 vietoj p1o9p2 įrašę formulę p q, ir praleidę kitas matricoje Nr.5 esančias operatorių lenteles, turime tokią formulės su konjunkcijos operatoriumi matricą:

p q p q

1

1

0

0 1

0

1

0 1

0

0

0

Formulės p q matrica perteikia konjunkcijos operatoriaus prasmę.

Konjunkcija apjungtos teiginių logikos formulės arba teiginiai vadinami konjunktais.

Matrica teikia tokią konjunkcijos taisyklę: jei konjunktai yra teisingi, konjunkcija teisinga, o jei bent vienas konjunktas klaidingas, konjunkcija klaidinga.

Konjunkcijos matrica parodo, kokią reikšmę turinčiu teiginiu virsta propozicinių kintamųjų konjunkcija, kai propoziciniams kintamiesiems jų interpretacija priskiriama konkreti reikšmė.

Konjunkcijos formulė p  q perskaitoma taip: “p ir q”.

Disjunkcija.

Disjunkcijos operatorių žymime teiginių logikos kalbos simboliu “”. Dviejų kintamųjų p ir q disjunkcijos taisyklinga formulė yra p  q, skaitoma “p arba q”. Disjunkcija apjungti teiginiai arba teiginių logikos formulės vadinamos disjunktais. Disjunkcijos reikšmę turintį lietuvių kalbos jungtuką galima atrinkti tuo pačiu būdu, kaip buvo atrinkti neigimo ir konjunkcijos atitikmenys.

Įrašę taisyklingą disjunkcijos formulę p q į matricą Nr.5 vietoj p1o6p2 ir praleidę kitas matricoje Nr.5 esančias operatorių lenteles, turime tokią formulės su disjunkcijos operatoriumi tiesos matricą:

p q p q

1

1

0

0 1

0

1

0 1

1

1

0

Pateikta matrica perskaitoma taip: jei p teisinga ir q teisinga, tai p arba q teisinga, jei p teisinga, o q klaidinga, tai p arba q teisinga, jei p klaidinga, o q teisinga, p arba q teisinga, ir jei p klaidinga ir q klaidinga, tai p arba q klaidinga.

Disjunkcijos taisyklė: jei disjunktai yra klaidingi, disjunkcija klaidinga, o jei bent vienas disjunktas teisingas, disjunkcija teisinga.

Disjunkcijos operatorius yra diadinis. Jis dar vadinamas operatoriumi “arba”, atskyrimo operatoriumi (lot. disjunctio – atskyrimas).

Štai keletas lietuvių kalba išsakytų teiginių – disjunkcinių tiesos funkcijų – pavyzdžių: “Pilietis N. yra policininkas arba nusikaltėlis” (nesutrumpinta šio teiginio kalbinė išraiška būtų tokia: “Pilietis N. yra policininkas arba pilietis N. yra nusikaltėlis”), “Šeimos santaupas iššvaistė ponas K arba jo žmona” (nesutrumpinta šio teiginio kalbinė išraiška būtų tokia: “Šeimos santaupas iššvaistė ponas K. arba šeimos santaupas iššvaistė pono K. žmona”). Remiantis mąstymo patirtimi nesunku nustatyti, kad pavyzdžiu parinktas teiginys “Pilietis N. yra policininkas arba nusikaltėlis” klaidingas, tik jei klaidingi abu teiginio disjunktai: teiginys “Pilietis N. yra policininkas “ bei teiginys “Pilietis N. yra nusikaltėlis”. Tas pat galioja ir antram pavyzdžiu pateiktam teiginiui.

Natūraliosios kalbos tekstuose galima aptikti du skirtingus disjunkcijos variantus. Jie atitinka silpnąją disjunkciją ir griežtąją disjunkciją.

Mūsų aptartoji disjunkcija vadinama silpnąja disjunkcija.

Dviejų kintamųjų p ir q griežtoji disjunkcija skaitoma “arba p, arba q”. Vietoj žodinės disjunkcijos išraiškos panaudokime jungtuką “arba., arba.”, o vietoj kintamųjų – graikų abėcėlės raides  ir  (griežtoji disjunkcija nėra šioje knygoje pateiktos dirbtinės teiginių logikos kalbos dalis). Tuomet griežtosios disjunkcijos tiesos matrica atrodytų taip:

  arba , arba 

1

1

0

0 1

0

1

0 0

1

1

0

Šios tiesos matricos lentelės atitinka operatorių matricos Nr.5 kintamųjų ir operatoriaus o10 tiesos lenteles.

Griežtosios disjunkcijos ypatumai aptariami tradicinėje logikoje, kuri nepateikia teiginių tiesos funkcinių ryšių teorinio pagrindimo arba kai kuriose neinterpretuotose teiginių logikos sistemose. Griežtosios disjunkcijos atitikmenų vartojimas natūraliosios kalbos tekstuose priklauso nuo teiginių ryšių arba konteksto, kurie šalina teiginių formulių suderinamumo jų reikšmes “teisinga” galimybę.

Iš dviejų teiginių sudaryta griežtosios disjunkcijos formulės reikšmė tokia pat, kaip ir formulės ()  (~ ~). Formulės ()  (~ ~) reikšmė, kurioje parodyta visa reikšmės nustatymo seka, yra tokia (Žr. pateikiamos matricos tiesos lentelę (4), kuri gaunama kiekvienai lentelių (1) ir (3) eilutei pritaikius konjunkcijos taisyklę. Lentelė (3) gaunama kiekvienai lentelės (2) eilutei pritaikius neigimo taisyklę. Pateiktos tiesos matricos sudarymo metodas aptariamas poskyryje “Teiginių logikos formulės reikšmė”):

  (  )  (~ ~)

1

1

0

0 1

0

1

0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 1 0

0 0 1 1 1

(1) (4) (3) (2)

Teiginio su griežtąja disjunkcija ir jam lygiavertiško teiginio pavyzdys:

“Arba šiuo metu yra diena, arba naktis” .

“Šiuo metu yra diena arba naktis bei šiuo metu nėra diena arba naktis”.

Formalizuodami tekstus mūsų pateiktais teiginių logikos simboliais, teiginio formulę “arba , arba ” keisime teiginiu ()  (~ ~) .

Griežtosios disjunkcijos operatorius dar vadinamas ekvivalentiškumo neigimo operatoriumi: susipažinę su materialiosios ekvivalencijos (lygiavertiškumo) operatoriumi pamatysime, kad griežtosios disjunkcijos operatoriaus lentelė atitinka ekvivalentiškumo operatoriaus reikšmės neigimą.

Materialioji implikacija.

Materialiosios implikacijos simbolis mūsų pateikiamoje dirbtinėje kalboje yra “”. Dviejų kintamųjų p ir q taisyklinga implikacijos formulė yra p  q, skaitoma “jei p, tai q”. Implikacija apjungtos teiginių logikos formulės arba teiginiai turi skirtingus pavadinimus. Teiginys arba formulė, sekanti po žodelio “jei”, vadinama antecedentu, o teiginys arba formulė, sekanti po žodelio “tai” – konsekventu.

Formulės su vienu implikacijos operatoriumi tiesos matrica tokia:

p q p q

1

1

0

0 1

0

1

0 1

0

1

1

Materialiosios implikacijos tiesos matrica gaunama iš operatorių matricos Nr.5, įrašius taisyklingą materialiosios implikacijos formulę p  q vietoj p1o8p2 bei praleidus kitų operatorių lenteles.

Implikacijos taisyklė: jei antecedentas teisingas, o konsekventas klaidingas, implikacija klaidinga, visais kitais atvejais implikacija teisinga.

Materialioji implikacija dar vadinama operatoriumi “jei, tai” arba sąlygos operatoriumi: jungtukas “jei, tai” dažnai aptinkamas sudėtiniuose sąlygos sakiniuose.

Implikacija vadinama materialiąja tam, kad pabrėžti skirtumą tarp implikacija vadinamo operatoriaus bei teiginių pagrindo – pasekmės santykio, galimo aprašyti teiginių logikos priemonėmis. Natūralioje kalboje ir operatorius, vadinamas implikacija, ir teiginių pagrindo – pasekmės santykis kartais reiškiami tuo pačiu žodžiu “implikuoja”. Pavyzdžiui, sakinyje “tai, kad Jonas ir Petras yra studentai, implikuoja, kad Jonas yra studentas” žodis “implikuoja” nurodo pagrindo – pasekmės santykį, būdingą dviems savarankiškiems teiginiams “Jonas yra studentas” ir “Jonas ir Petras yra studentai”. Sakinyje “tai, kad Jonas yra studentas implikuoja, kad jis yra žmogus” žodis “implikuoja” nurodo jungtinio teiginio “jei Jonas yra studentas, tai jis yra žmogus” operatorių. Šio teiginio dėmenų “Jonas yra studentas” ir “Jonas yra žmogus” ryšys priklauso nuo teiginių logikos formulėmis neaprašomo ryšio tarp “studento” ir “žmogaus”. Šis ryšys teiginių logikos požiūriu yra materialus (turininis). Detaliau pagrindo- pasekmės santykis bus aptartas poskyryje “Loginiai formulių santykiai”.

Trečioje ir ketvirtoje materialiosios implikacijos tiesos lentelės eilutėje pateikta teiginio reikšmė nėra įprasta žmogaus kasdienei nuovokai apie jungtuką “jei., tai.”, tačiau mes parodėme, kad tokios teiginio su implikacija reikšmės yra teoriškai pagrįstos. Pavyzdžiai patvirtina, kad būtent jungtukas “jei., tai.” atitinka materialiąją implikaciją:

1. trečiąją implikacijos tiesos lentelės eilutę iliustruojantis pavyzdys:

antecedentas “aš esu roplys” yra klaidingas (0);

konsekventas “aš esu gyvas padaras” – teisingas (1);

implikacija teisinga (1): “Jei aš esu roplys, tai aš esu gyvas padaras”;

2. ketvirtąją implikacijos tiesos lentelės eilutę iliustruojantis pavyzdys:

antecedentas “aš esu roplys” yra klaidingas (0);

konsekventas “aš esu šaltakraujis gyvūnas” – klaidingas (0);

implikacija teisinga (1): “Jei aš esu roplys, tai aš esu šaltakraujis gyvūnas”;

Dėl implikacijos operatoriaus tiesos lentelės trečios eilutės nesusipratimai dažniausiai kyla todėl, kad implikacijos operatorius painiojamas su operatoriumi, kuris paprastai vadinamas apsukta implikacija arba replikacija. Būtent replikacijos lentelės trečioji eilutė teikia klaidingą teiginį (operatoriui pažymėti pavartosime jungtuką “., jei .”, o replikacijos nariams – graikiškas raides  ir , nes pateikiami užrašai nėra mūsų pateiktos teiginių logikos kalbos dalis):

  , jei 

1

1

0

0 1

0

1

0 1

1

0

1

Replikacijos tiesos lentelė atitinka teoriškai išvestų operatorių matricos Nr.5 operatoriaus o7 lentelę. Tiesos funkcijos su replikacija pavyzdys: “Aš esu gyvas padaras, jei aš esu krokodilas” (, jei ).

Apsukus replikaciją, gauname implikaciją  : “jei aš esu krokodilas, tai aš esu gyvas padaras”. Atrodytų, kad skirtumas visai nereikšmingas. Tačiau pasitaiko tekstų, kuriuose tarp kitų tiesos funkcijų yra ir funkcijų su replikacija bei implikacija. Jei tokiame tekste replikacijos argumentas pasikartoja funkcijoje su implikacija, implikacijos ir replikacijos skirtumas lemia viso teksto tiesos vertę.

Formalizuojant natūraliosios kalbos tekstus pagal griežtą formalizavimo tvarką, kurią pateiksime šioje knygoje, replikacijos su implikacija supainioti nebus įmanoma.

Replikacijos ir implikacijos neskyrimas sąlygoja ir kai kurias samprotavimo klaidas. Samprotavimų klaidos bus aptartos skyriuje “Argumentacija”.

Mūsų pateikiamoje teiginių logikos kalboje vartojamas tik implikacijos simbolis. Teorinei teiginių logikos daliai replikacija nėra būtina: jos reikšmė tokia pat, kaip apsuktos implikacijos. Be to, implikacijos operatorius teiginių logikai reikšmingesnis, nes formule su implikacija grindžiama formulių transformacijos taisyklė, vadinama atskyrimo taisykle, kurią pateiksime poskyryje “Teiginių logikos formulių reikšmė”. Atskyrimo taisyklė labai svarbi teoriniuose teiginių logikos formulių reikšmės įrodinėjimuose.

Dėl implikacijos operatoriaus tiesos lentelės ketvirtos eilutės nesusipratimai dažniausiai kyla dėl to, kad kasdieniuose samprotavimuose mes paprastai dviejų klaidingų teiginių implikacija nejungiame ir neturime tokio jungimo patirties.

Materialioji ekvivalencija.

Ekvivalencija vadinama materialiąja tam, kad atskirti ją nuo formulių ekvivalentiškumo santykio.

Ekvivalenciją žymime simboliu “”. Dviejų kintamųjų “p” ir “q” ekvivalencija užrašoma “p  q”, skaitoma: “jei ir tik jei p, tai q” arba “p lygiavertis q”. Ekvivalencija apjungti teiginiai arba teiginių logikos formulės vadinami ekvivalentais. Ekvivalencija dar vadinama lygiavertiškumo operatoriumi (lot. aequivalentia – lygiavertiškumas)

Ekvivalencijos matrica tokia:

p q p  q

1

1

0

0 1

0

1

0 1

0

0

1

Ekvivalencijos reikšmė atitinka teoriškai gautų diadinių operatorių matricos operatoriaus o18 tiesos lentelę.

Ekvivalencijos taisyklė: ekvivalencija teisinga, jei ir tik jei ekvivalentai turi tokią pat teiginio reikšmę.

Ekvivalencijos neigimo tiesos lentelė yra tokia pat, kaip griežtosios disjunkcijos, nes pagal neigimo operatoriaus taisyklę neigimo operatorius keičia teiginio reikšmę (žr. pateikiamos tiesos matricos lentelę (2)):

p q ~ (p  q)

1

1

0

0 1

0

1

0 1 0

0 1

0 1

1 0

(2) (1)

Klausimai pakartojimui

1. Kaip vadinami konjunkcija apjungti teiginiai?

2. Kaip vadinami disjunkcija apjungti teiginiai?

3. Kaip vadinami implikacija apjungti teiginiai?

4. Kaip vadinami ekvivalencija apjungti teiginiai?

5. Kodėl implikacija ir ekvivalencija vadinama materialiąja?

6. Kuo skiriasi silpnoji ir griežtoji disjunkcija?

Užduotis

Pademonstruokite, kad silpnosios disjunkcijos atitikmuo iš tiesų yra jungtukas “arba”.

Teiginių logikos formulės reikšmės nustatymas

Poskyryje “Teiginių logikos simbolių interpretacija” parodėme, kaip gaunamos loginių operatorių tiesos lentelės. Dabar pateiksime bet kurios teiginių logikos formulės reikšmės nustatymo procedūrą tiesos matricų metodu.

Visos taisyklingos teiginių logikos formulės, išskyrus atskiro propozicinio kintamojo formulę, apima tiek kintamuosius, tiek operatorius. Taisyklingos formulės operatoriai lemia funkcinį ryšį tarp formulės kintamųjų eilės interpretacijos ir formulę atitinkančio teiginio reikšmės. Nei operatoriai, nei propoziciniai kintamieji jokios kitos įtakos formulei neturi.

Jau žinome, kad propozicinio kintamojo interpretacija yra teiginio reikšmės kintamajam priskyrimas. Kintamojo interpretacija yra tik dvejopa: “teisinga” ir “klaidinga”. Teiginių logikos formulėje yra ribotas kintamųjų skaičius. Pažymėkime jį raide “n”. Skirtingų kintamųjų eilės interpretacijų skaičius yra 2n.

Formulės reikšmė gaunama iš formulės kintamųjų eilės skirtingų interpretacijų stulpelių pagal formulėje esančių operatorių tiesos lenteles (apibrėžimus). Tam sudaroma formulės tiesos matrica, kurios eilučių skaičius yra 2n.

Taisyklingos teiginių logikos formulės reikšmės nustatymo procedūra.

Formulės reikšmei nustatyti sudaroma tokia tiesos matrica:

1. Pirmoje eilutėje užrašomi visi formulės skirtingi kintamieji ir visa formulė, po eilute braukiamas horizontalus brūkšnys, o už paskutinio kintamojo – vertikalus brūkšnys:

p q p  ~q

Pavyzdyje lentelė sudaroma formulei p  ~q, kurioje yra 2 skirtingi propoziciniai kintamieji (n = 2): formulės kintamųjų eilės skirtingų interpretacijų bus 4 (22 = 4). Tiek bus eilučių matricoje.

2. Po pirmu kintamuoju, pradedant nuo viršaus, įrašomas 2n/2 skaičius ženklų “1”. Toliau tiek pat kartų įrašomas ženklas “0”:

p q p  ~q

1

1

0

0

Pavyzdyje kintamųjų 2 – “p” ir “q”, po pirmu kintamuoju “p” įrašomi 2 ženklai “1” (22/2=2 ) ir tiek pat ženklų “0”;

3. po antru kintamuoju, pradedant nuo viršaus, įrašomi 2n/4 ženklai “1”. Po to – toks pat skaičius ženklų “0”, “1” ir “0”. Po trečiu kintamuoju (jei toks formulėje yra) pradedant nuo viršaus įrašomi 2n/8 ženklai “1”, po to – tiek pat ženklų “0”,”1” ir “0”. Tokia tvarka sudaromas iki galo trečiojo kintamojo interpretacijų stulpelis. Po ketvirtuoju kintamuoju (jei toks yra) ta pačia tvarka po 2n/16 ženklų “1” ir “0” ir t.t.

Taisyklingai užpildžius kintamųjų interpretacijų stulpelius, stulpelyje po paskutiniu kintamuoju “1” ir “0” ženklų seka turi būti tokia: “1 0 1 0” ir t.t.:

p q p  ~q

1

1

0

0 1

0

1

0

Pavyzdyje formulė, kurios reikšmę nustatinėjame, turi du kintamuosius.

4. tiesos matricos dalis, skirta formulei, kurios reikšmė nustatinėjama, pradedama pildyti nuo kintamųjų neigimų (jei tokie formulėje yra) tiesos lentelių; jei neigimus turi keletas formulės kintamųjų, nėra svarbu, kurio iš jų neigimo lentelę sudarysime pirmiau, tačiau tvarkingiau tiesos lenteles sudarinėti pradedant nuo kintamojo neigimo, kuris, lyginant su kitų kintamųjų neigimais, formulėje yra pirmas iš kairės;

5. kintamojo neigimo tiesos lentelė gaunama kiekvienai kintamojo interpretacijai taikant neigimo apibrėžimą (tiesos lentelę)

6. gauta teiginio reikšmė užrašoma kintamojo interpretacijos, kuriai apibrėžimas taikomas, eilutėje;

7. jei kintamųjų su neigimai formulėje nėra, pereinama prie veiksmų, aprašytų punkte nr.7

8. toliau pereinama prie didžiausiu skliaustelių kiekiu apskliaustų subformulių (“giliausiai” formulėje esančių subformulių); jei vienodu, tačiau didesniu už kitas subformules, skliaustelių kiekiu yra apskliaustos kelios subformulės, nėra svarbu, kurios iš jų tiesos lentelę sudarysime pirmiau, nors kaip ir kintamųjų neigimo atveju, tvarkingiau lenteles sudarinėti, pradedant nuo kairėje formulės pusėje esančios subformulės;

9. subformulių tiesos lentelių eilutės pildomos teiginių reikšmėmis, gaunamomis pagal tos subformulės operatoriaus taisyklę iš operatoriumi apjungtų subformulės dalių tiesos lentelių atitinkamose eilutėse esančių reikšmių(jei subformulę sudaro neigimo operatorius, jos tiesos lentelė gaunama iš vienos suformulės eilučių reikšmių pagal neigimo operatoriaus apibrėžimą (tiesos lentelę));

10. toliau jau aprašyta tvarka nuosekliai sudaromos kitų formulės subformulių tiesos lentelės;

11. paskutinė pagal nurodytą tvarką sudaryta tiesos lentelė ir bus formulės reikšmė;

12. tiesos lentelės, gautos pagal operatorių taisykles, numeruojamos, parašant apskliaustą numerį lentelės apačioje (numeriai nurodo eilę, kuria sudaromos formulės subformulių tiesos lentelės), didžiausią numerį turi formulės reikšmę atitinkanti tiesos lentelė:

p q p  ~q

1

1

0

0 1

0

1

0 0 0

1 1

0 0

0 1

(2) (1)

Pavyzdyje nustatyta formulės su neigimu ir konjunkcija reikšmė. Neigimo taisyklė tokia: neigimas pakeičia teisingą teiginį klaidingu, o klaidingą – teisingu. Ją taikome q interpretacijoms: kiekvienai interpretacijai operatoriaus taisyklė taikoma atskirai. Gauname (1). Konjunkcijos taisyklė tokia: jei konjunktai yra teisingi, konjunkcija teisinga. Šią taisyklę taikome p interpretacijoms ir tiesos lentelei (1) . Gautasis stulpelis (2) yra formulės p  ~q reikšmė.

Matricų metodu galima nustatyti bet kurios taisyklingos teiginių logikos reikšmę. Nustatysime formulės ~((p  q)  r) reikšmę:

p q r ~ ((p  q)  r)

1

1

1

1

0

0

0

0 1

1

0

0

1

1

0

0 1

0

1

0

1

0

1

0 0 1 1

0 1 1

0 0 1

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 0 1

1 0 0

(3) (1) (2)

Pateikto pavyzdžio formulėje skirtingų kintamųjų yra trys (n=3), jų eilės interpretacijų skaičius yra 23=8. Formulėje esančių operatorių taisyklės tokios:

1. jei konjunktai yra teisingi teiginiai, konjunkcija teisinga;

2. jei disjunktai yra klaidingi, disjunkcija klaidinga;

3. neigimas pakeičia teisingą teiginį klaidingu, o klaidingą – teisingu.

Formulės kintamieji neigimo neturi, taigi pirmiausia sudarome didžiausiu skliaustelių kiekiu apskliaustos subformulės – subformulės p  q – tiesos lentelę. Subformulės p  q tiesos lentelė (1) ženklais 1, 0 užpildoma, konjunkcijos taisyklę taikant kiekvienai kintamųjų p ir q interpretacijų porai. Subormulės (p  q)  r tiesos lentelė (2) užpildoma disjunkcijos taisyklę taikant kiekvienai subformulės p  q tiesos lentelės (1) ir kintamojo r interpretacijų stulpelio eilutei. Visos formulės reikšmė (tiesos lentelė (3)) gaunama neigimo taisyklę taikant kiekvienai subformulės (p  q)  r tiesos lentelės eilutei.

Klausimai pakartojimui

1. Kas vadinama formulės reikšme?

2. Ar formulės reikšmė ir tiesos lentele vadinamas vienas ir tas pats dalykas?

3. Pagal kokią formulę paskaičiuojamas formulės tiesos lentelės eilučių skaičius?

4. Ką reiškia apskliausti skaičiai po tiesos matrica?

5. Kuris iš apskliaustų skaičių žymi formulės tiesos lentelę?

Pratimai

Sudarykite šių formulių tiesos lenteles:

(p ~p)~p

(~p q)  p

~ (p  q) r.

Teiginių logikos formulių rūšys

Poskyryje “Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai” minėjome, kad teiginio reikšmė dvejopa – jis teisingas arba klaidingas. Taip pat minėjome, kad teiginių logika tiria tuos teiginių ryšius, kuriuos lemia teiginių reikšmė. Šių ryšių tyrimui naudojamos taisyklingos teiginių logikos formulės. Šiame poskyryje aptarsime teiginių logikos formules jų pagrįstumo tiesa požiūriu. Tiesa teiginių logikoje vadinama formulių reikšmė, kurią sudaro vien teiginių reikšmės “teisinga”. Formulės pagrįstumas tiesa dar vadinamas formulės validumu.

Pagal reikšmės pagrįstumą tiesa skiriamos tokios formulės:

1. validžios (pagrįstos tiesa) formulės (formulės, kurių reiškšmė yra konstanta “teisinga”);

2. atsitiktinės formulės (formulės, kurių reikšmė priklauso nuo formulės kintamųjų interpretacijos);

3. netinkamos formulės (formulės, kurių reikšmė yra konstanta “klaidinga”).

Taisyklingos teiginių logikos formulės pagrįstumo tiesa rūšį galima nustatyti tiesos matricų metodu sudarius formulės tiesos lentelę. Tiesos lentelė sudaroma taip, kaip aprašyta ankstesniame poskyryje. Formulės pagrįstumo tiesa rūšis atskiriama pagal šiuos požymius:

1. jei formulės tiesos lentelėje vien eilutės “teisinga”, tai formulė yra validi;

2. jei formulės tiesos lentelėje vien eilutės “klaidinga”, tai formulė yra netinkama;

3. jei formulės tiesos lentelėje yra viena ar keletas eilučių, kuriose formulės tiesos vertė skiriasi nuo formulės vertės kitose eilutėse, tai formulė yra atsitiktinė.

Validžiomis vadinamos formulės, kurių reikšmė – konstanta “teisinga”. Jas atitinkančių teiginių reikšmė nepriklauso nuo formules sudarančių kintamųjų interpretacijos. Šių teiginių reikšmę lemia operatorių kombinacija. Pavyzdžiui, formulė p ~ (~p) yra validi. Įsitikinkime tuo tiesos matricų metodu:

p p ~ (~p)

1 0 1 1 0

1 0 1

(3) (2) (1)

Pakeitę pateiktos lentelės kintamąjį p teiginiu “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, lentelės stulpelio (3) formulę galėtume perskaityti taip: “Jei ir tik jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai netiesa, kad Vilnius nėra Lietuvos sostinė”. Akivaizdu, kad formulę p ~ (~p) atitinkantis sakinys nereiškia jokio sprendimo apie Vilnių. Aptariama formulė reiškia svarbią teiginių ryšių taisyklę, kad teiginio ir jo dvigubo neigimo reikšmė vienoda.

Netinkamomis vadinamos tokios formulės, kurių tiesos lentelės atitinka validžių formulių neigimų lenteles. T.y. netinkamomis vadinamos tos formulės, kurios yra konstantos “teisinga” neigimas arba kurios atitinka formules, reiškiančias konstantos “teisinga” neigimą.

Pavyzdžiui, formulės ~(p  ~p) reikšmė yra konstanta “teisinga”. Ši formulė yra validi. Jos neigimą reiškia formulė ~ ~(p  ~p). Pagal reikšmę formulę ~ ~(p  ~p) atitinka formulė p  ~p. Formulės ~ ~(p  ~p) ir p  ~p yra netinkamos. Tai, ką išdėstėme, parodysime tiesos matricomis:

p p  ~p

1 0 0 0

0 1

p ~ (p  ~p)

1 0 1 0 0

1 0 1

p ~ ~ (p  ~p)

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1

(3) (2) (1) (4)(3) (2)(1) (2) (1)

Pakeitę formulės p ~p kintamąjį p teiginiu “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, gauname sakinį: “Vilnius yra Lietuvos sostinė ir Vilnius nėra Lietuvos sostinė”, kurio sutrumpintas variantas yra “Vilnius yra ir nėra Lietuvos sostinė”.

Logikos požiūriu sakiniai, kurių formulės reikšmė yra konstanta “klaidinga”, reikia ne sprendimus apie daiktus, ne teiginių ryšių principus (pirmines taisykles, kuriomis vadovaujamasi taisyklingai jungiant teiginius), bet absurdą (lot. absurdus – beprasmybė).

Atsitiktinėmis vadinamos tokios formulės, kurias atitinkančių teiginių reikšmę lemia propozicinių kintamųjų eilės interpretacija. Pavyzdžiui formulė (p q)r yra atsitiktinė. Parodysime tai tiesos matricų metodu:

p q r (p q)r

1

1

1

1

0

0

0

0 1

1

0

0

1

1

0

0 1

0

1

0

1

0

1

0 1 1

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

(1) (2)

Lentelė (2) rodo, kad formulė (p q)r nėra nei validi, nei netinkama: veiksniai, lemiantys formulę atitinkančių teiginių reikšmę, logikai nepriklauso. Tokios nepriklausomybės išdava: formulę atitinkantis teiginys teisingas, kai kintamųjų eilės interpretacijos yra tokios, kai matricos eilutėse nr.1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o kai kintamųjų eilės interpretacija nr.2, formulę atitinkantis teiginys klaidingas.

Atsitiktinės formulės nėra konstantų formulės. Jos yra sakinių, reiškiančių sprendimą apie daiktą ar reiškinį, formulės. Tokie sakiniai teikia informacijos apie daiktą ar reiškinį: pavyzdžio teiginys “Jei Jonas išėjo atostogų (P) ir Petras išėjo atostogų (Q), tai ir Antanas išeis (R)” teikia žinių apie Antaną. Kitaip tariant, atsitiktinę formulę atitinkantys teiginiai teikia informacijos apie tikrovę, tačiau vadovavimasis jais jungiant teiginius nebūtinai užtikrina teiginių jungimo taisyklingumą.

Teiginių logikos sistemų išsprendžiamumas

Tiesos matricų metodas nėra vienintelė procedūra, kurios dėka galima nustatyti formulės pagrįstumą tiesa. Esama ir kitų procedūrų, tačiau tiesos lentelių metodas lengviausiai įsisavinamas. Be to, tiesos matricų metodas yra teoriškai reikšmingiausias: matricų metodu galima išsiaiškinti tiek formulės validumą, tiek formulių santykius, matricų metodu išvedami teiginių logikos operatoriai.

Metodas, kurio dėka galima nustatyti bet kurios taisyklingos teiginių logikos formulės pagrįstumą tiesa, dar vadinamas teiginių logikos sistemos sprendimo procedūra.

Ne visos simbolinės logikos sistemos turi sprendimo procedūras. Pavyzdžiui, taisyklingų formulių sprendimo procedūros neturi predikatų logikos santykių teorija.

Logikos sistemos, turinčios taisyklingų formulių sprendimo procedūras, vadinamos išsprendžiamomis, o sistemos, kurių taisyklingoms formulėms sprendimo procedūros nėra, vadinamos neišsprendžiamomis.

Teiginių logika, turinti dirbtinę kalbą, sudarytą pagal tuos pačius principus, kaip šioje knygoje pateikiama dirbtinė kalba, yra išsprendžiama: teiginių logikos taisyklingų formulių sprendimo procedūrą aptarėme poskyryje “Teiginių logikos formulės reikšmė”.

Teiginių logikos dėsniai.

Aptardami validžias formules, pateikėme pavyzdį, kurio formulė išreiškia svarbų teiginių ryšio principą (pirminę taisyklę): dukart paneigto teiginio reikšmė yra tokia pat, kaip ir to teiginio be jokio neigimo. Esama ir daugiau validžių formulių, kurios išreiškia svarbius teiginių ryšių principus. Validžiomis formulėmis reiškiami teiginių ryšių principai dar vadinami teiginių logikos dėsniais.

Teiginių logikos dėsnių yra daug. Pateiksime tik svarbesnius iš jų.

Svarbesni teiginių logikos dėsniai

1. p  p tapatybės dėsnis

2. ~ ~p p dvigubo neigimo dėsnis

3. p ~p negalimo trečiojo dėsnis

4. ~ (p  ~p) prieštaravimo negalimumo dėsnis

5. ((p qr)) ((p q)r) asociacijos (lot. associo –

6. ((p qr)) ((p q)r) jungti, sieti) dėsniai

7. (p q) (q p) komutacijos (lot. commutatio –

8. (p q)(q  p) keitimas, mainymas) dėsniai

9. (p(q r)) (q(pr)) permutacijos (lot. permutatio –

pakeitimas) dėsnis

10. ((p qr))(p q)(p r)) distribucijos (lot. distributio –

11. ((p qr))(p q)(p r)) paskirstymas) dėsniai

12. (p q) ~q ~ p) transpozicijos (lot. transpositio –

perkėlimas) dėsnis

13. (pq) ((q r)(pr)) silogizmo (gr.syllogismos –

išvestas samprotavimas) dėsnis

14. (p (qr)) ((p q)r) importacijos (lot. importatio – įnešimas) dėsnis

15. ((p q)r) (p (qr)) eksportacijos (lot. exportatio – išnešimas) dėsnis

Šalia validžiomis formulėmis reiškiamų teiginių ryšių principų, esama pačių validžių formulių principų. Šie principai leidžia vienas validžias teiginių logikos formules pakeisti kitomis.

Principai, pagal kuriuos vienos validžios teiginių logikos formulės keičiamos kitomis, vadinami transformacijos taisyklėmis.

Supažindinsime su keletu svarbesnių transformacijos taisyklių.

Teiginių logikos formulių transformacijos taisyklės.

1. Nuoseklios substitucijos (lot. substitutio – pakeitimas) taisyklė. Jei validžios formulės kintamasis visose formulės vietose, kur tik jis yra, pakeičiamas kokia nors taisyklinga formule, tai naujai gauta formulė yra validi.

2. Ekvivalentų substitucijos taisyklė. Jei taisyklingos formulės  subformulė  su kokia nors formule  sudaro validžią ekvivalenciją, formulėje pakeitus  į  gaunama formulė , kuri yra formulės ekvivalentas.

3. Ekvivalencijos pakeitimo implikacija taisyklė. Jei formulė  yra validi, tai validžios ir formulės  bei  .

4. Atskyrimo (angl. detachment) taisyklė. Jei ir  yra validžios formulės, tai validi ir formulė .

5. Pagrindo – pasekmės santykio validumo taisyklė. Jei validi formulė  , tai validus ir formulių ir  pagrindo – pasekmės santykis , taigi . Validžiame pagrindo -pasekmės santykyje formulę pakeitus ekvivalentu, santykis išlieka validus;

6. Apjungimo taisyklė. Jei validžios formulės ir , tai validi ir formulė

 .

Transformacijos taisyklės naudojamos įrodyti, kad tam tikra formulė yra validi.

Pagal taisykles nr.1, nr.3, nr.4, nr.5 ir nr.6 transformuojamos tik validžios formulės. Gaunamos formulės irgi yra validžios. Dėl to, kad šios transformacijos taisyklės taikomos validžioms formulėms, bet kuri pagal jas atliekama transformacija pradedama nuo turimų validžių formulių: nuo logikos dėsnių. Pavyzdžiui:

Reikia įrodyti, kad formulė p (q ~r)) ~(q ~r) ~ p yra validi. Imam transpozicijos dėsnį (p q) ~q ~p), jo kintamąjį q pagal nuoseklios substitucijos taisyklę pakeičiame formule q ~r. Gauname formulę, kurios validumą ir reikėjo įrodyti:

p (q ~r)) ~(q ~r) ~ p.

Pagal taisyklę nr.2 galima transformuoti bet kurią taisyklingą formulę. Gaunama formulė yra ekvivalentiška transformuojamai. Pavyzdžiui:

Duota formulė p~qr). Jos subformulės ~qr reikšmė vienoda su q r, t.y. ekvivalencija (~qr)(q r) yra validi (subformulės ~qr ir formulės q r reikšmių vienodumą nesunku nustatyti tiesos lentelių metodu). Pagal ekvivalentų substitucijos taisyklę formulės p~qr)dalį ~qr pakeitę į q r, gauname formulę pq r), kuri yra formulės p~qr) ekvivalentas.

Transformacijos taisyklės nr.5 formuluotėje paminėjome formulių pagrindo -pasekmės santykį. Formulių santykius būtina skirti nuo panašiai vadinamų operatorių bei tiesos funkcijų.

Operatoriai jungia formulės dalis, vadinamas subformulėmis. Formulių su operatoriais į teiginių logiką savavališkai įvesti negalima: jos duotos formalizuojamais tekstais, pagrįstos tiesos lentelėmis, o aksiominėse teiginių logikos sistemose – aksiomomis (žinomai validžiomis neįrodinėjamomis formulėmis). Mūsų pateiktuose teiginių logikos dėsniuose operatoriai irgi įvesti ne savavališkai: viena dalis mūsų pateiktų dėsnių tam tikrose teiginių logkos sistemose laikytini aksiomomis, kita dalis – teoremos, kurių validumas tose sistemose pagrindžiamas aksiomomis. Teoremų įrodymui aksiominė teiginių logikos sistema naudoja tam tikrą transformacijos taisyklių, taikomų aksiomoms, rinkinį. Tiesa, esama teiginių logikos sistemų, kurių aksiomų rinkiniui sudaryti mūsų pateiktų teiginių logikos dėsnių nepakanka. Pavyzdžiui, teiginių logikos sistema, pateikta B.Russell’o ir A. Whitehead’o knygoje “Principia Mathematica” apima tokias aksiomas: pp) p, qpg), pg)qp), (qr)p q)p r)).B.Russell’o ir A. Whitehead’o teiginių logikos sitema aprašomas validus aritmetinis skaičiavimas.

Formulių santykis yra tarp savarankiškų formulių, kurių joks operatorius nejungia į vieną formulę. Formulių santykius aptarsime kitame knygos poskyryje.

Klausimai pakartojimui

1. Kokios yra teiginių logikos formulių rūšys pagal formulių pagrįstumą tiesa?

2. Kokios formulės vadinamos validžiomis ir ką jos reiškia?

3. Kokios formulės vadinamos atsitiktinėmis? Ką reiškia atsitiktinės formulės?

4. Kokios formulės vadinamos netinkamomiss? Ką jos reiškia?

5. Ar visuomet formulių netinkamumas akivaizdus?

6. Koks metodas naudojamas formulių rūšiai nustatyti?

7. Kokia logika vadinama išsprendžiama?

8. Kas vadinama principais?

9. Kokios formulės yra teiginių logikos dėsniai?

10. Kas vadinama formulių transformacijos taisyklėmis?

11. Kaip teiginių logikoje atsiranda formulės su operatoriais?

Pratimai

1. Matricų metodu nustatykite šių formulių rūšis:

(((p q) p)q)~p

~qr

q r

~(p q)q  p) ~p

2. Pasinaudodami transpozicijos dėsniu bei nuoseklios substitucijos taisykle parodykite, kad formulė p (q r) ir formulė ~(q r) ~p yra ekvivalentai.

1. Pamėginkite transformuoti dvigubo neigimo dėsnį p ~ ~p į formulę p ~ ~p. Taisyklingai transformacijai reikėtų panaudoti ekvivalencijos pakeitimo implikacija taisyklę.

Loginiai formulių santykiai

Ankstesniuose poskyriuose aptarėme teiginių logikos operatorius. Jie lemia priklausomybę tarp formulės kintamųjų interpretacijos ir formulę atitinkančio teiginio reikšmės. Be to, formulės operatorių kombinacija lemia formulės reikšmę.

Dabar aptarsime santykius tarp taisyklingų savarankiškų teiginių logikos formulių.

Pagrindinės santykių tarp formulių rūšys yra šios:

1. suderinamumas pagal formules atitinkančių teiginių reikšmę “teisinga”;

2. suderinamumas pagal formules atitinkančių teiginių reikšmę “klaidinga”;

3. pagrindo – pasekmės santykis.

Šių 3 rūšių santykių tarp formulių apibrėžimai tokie:

1. Kelios formulės suderinamos pagal reikšmę “teisinga”, jei ir tik jei jos teisingos bent vienoje tų formulių kintamųjų interpretacijų eilėje. Jei kelios formulės nėra teisingos nė vienoje jų kintamųjų interpretacijų eilėje, tai jos nesuderinamos pagal reikšmę “teisinga”.

2. Kelios formulės suderinamos pagal reikšmę “klaidinga”, jei ir tik jei jos yra klaidingos bent vienoje formulių kintamųjų interpretacijų eilėje. Jei kelios formulės nėra klaidingos nė vienoje jų kintamųjų interpretacijų eilėje, tai jos nesuderinamos pagal reikšmę “klaidinga”.

3. Dvi formulės  ir Formulė ir  yra pagrindo – pasekmės santykyje, kai formulė  yra formulės  pasekmė. Formulė  yra formulės  pasekmė, jei ir tik jei nėra tokios šių formulių kintamųjų interpretacijų eilės, kurioje formulė  turi reikšmę “teisinga”, o formulė – reikšmę “klaidinga”. Jei formulė turi reikšmę “teisinga”, o formulė reikšmę “klaidinga”, tai  nėra formulės pasekmė..

Formulė  vadinama pagrindu, o formulė  – išvada. Dar pagrindo – pasekmės santykis vadinamas išvedimu arba pagrindo ir išvados santykiu.

Pagrindo – pasekmės santykį tarp formulių mūsų pateiktoje teiginių logikos kalboje žymėsime simboliu “”. Pvz., užrašas reiškia pagrindo – pasekmės santykį, pagal kurį formulė yra formulės  pasekmė.

Santykio tarp teiginių logikos formulių rūšį galima nustatyti tik tuomet, kai formulių skaičius yra baigtinis. Santykio rūšis nustatoma tiesos matricų metodu. Santykio tarp teiginių logikos formulių rūšiai nustatyti sudaroma tiesos matrica, apimanti visas santykyje esančias formules.

Nustatysime tiesos matricų metodu santykius tarp formulių (p q)r, p r, ir ~r:

p q r ~r p r (p q)r

1

1

1

1

0

0

0

0 1

1

0

0

1

1

0

0 1

0

1

0

1

0

1

0 0

1

0

1

0

1

0

1

(1) 1

1

1

1

1

0

1

0

(1) 1 1

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

(1) (2)

Kintamųjų p, q, r interpretacijų eilė nr.4 rodo, kad formulės (p q)r, p r, ir ~r dera pagal reikšmę “teisinga”.

Be to, tiesos lentelių matricoje nėra eilutės, kurioje visos trys formulės klaidingos, taigi formulės nedera pagal reikšmę “klaidinga”.

Pirma tiesos matricos eilutė yra T((p q)r), T(p r) ir (~r) (ženklu T žymime “teisinga”, o ženklu  – klaidinga). Taigi, ~r nėra ((p q)r) bei (p r) pasekmė.

Taip pat (p q)r nėra ~r bei p r nėra pasekmė (eilutė nr.2 – T (~r), T(p r), ((p q)r)).

O p r nėra ~r ir (p q)r pasekmė (eilutė nr.8 – T (~r), T((p q)r), (p r)).

Remiantis pagrindinėmis santykių tarp teiginių logikos formulių rūšimis galima apibrėžti kitus svarbius formulių santykius. Dabar juos ir apibūdinsime:

1. prieštaravimas (kontradikcija): dvi formulės prieštarauja viena kitai, jei ir tik jei tos formulės nesuderinamos nei pagal reikšmę “teisinga”, nei pagal reikšmę “klaidinga”;

2. priešingumas (kontrariškumas): dvi formulės yra priešingos viena kitai, jei ir tik jei jos nesuderinamos pagal reikšmę “teisinga”, bet suderinamos pagal reikšmę “klaidinga”;

3. subkontrariškumas: dvi formulės yra subkontrariškos, jei ir tik jei jos dera pagal reikšmę “teisinga”, bet nedera pagal reikšmę “klaidinga”;

4. loginis lygiavertiškumas (svarbu netapatinti su materialios ekvivalencijos operatoriumi, kuriuo dvi formulės apjungiamos į vieną): dvi formulėsir yra logiškai lygiavertės, jei ir tik jei yra  pasekmė, o  yra  pasekmė;

5. subordinacija: viena formulė subordinuota kitai formulei , jei ir tik jei yra  pasekmė, bet formulėnėra pasekmė;

6. loginė nepriklausomybė: dvi formulės yra logiškai nepriklausomos, jei ir tik jei jos suderinamos ir pagal reikšmę “teisinga” ir pagal reikšmę “klaidinga”, bet nėra viena kitos pasekmė.

Klausimai pakartojimui

1. Kokie yra pagrindiniai santykiai tarp teiginių logikos formulių?

2. Kaip dar vadinamas pagrindo – pasekmės santykis tarp formulių?

3. Kuo formulių santykis, vadinamas ekvivalentiškumu, skiriasi nuo ekvivalencijos operatoriaus?

4. Kas vadinama pagrindu?

5. Kokie yra santykiai tarp formulių, pagrįsti pagrindiniais santykiais?

6. Ką reiškia užrašas ?

Pratimai

1. Nustatykite, ar formulė p ~q yra pagrindo -pasekmės santykyje su šiomis formulėmis:

(q p) ~p

(p ~q)r

(q p) ~p

2. Nustatykite, ar kuri nors iš formulių porų yra prieštaravimo santykyje?

p q ir p ~q

p q ir p ~q

3. Nustatykite pagrindinius santykius tarp visų trijų formulių iškart:

~(p q),q  p) ir~p

4. Nustatykite santykius tarp formulių:

(~p q)r ir q

(~p q)r ir ~(~r p)

Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas

Kiekvieną diadinį teiginių logikos operatorių galima išreikšti kitu operatoriumi ir neigimu. Operatorių aibė, kurią sudarančiais operatoriais galima išreikšti visus kitus operatorius, vadinama universalia. Universalios aibės operatoriai vadinami pirminiais operatoriais. Pirminiais operatoriais gali būti įvairūs operatoriai: konjunkcija ir neigimas, disjunkcija ir neigimas, implikacija ir neigimas, teoriškai gautų operatorių matricos (žr. poskyrio “Teiginių logikos simbolių interpretacija” matricą Nr.5) operatorius o17kurio vieno pakanka išreikšti visus kitus teoriškai išvestus 19 operatorių. Visus kitus operatorius operatoriumi o17 pirmasis dvidešimto amžiaus pradžioje pakeitė amerikiečių logikas H. Shefer’is, kuris šį operatorių žymėjo simboliu “”. Operatorius o17 dar vadinamas Shefer’io štrichu.

Mums operatorių tarpusavio priklausomybė svarbi tuo, kad ji leidžia atlikti vienų teiginių logikos formulių validų transformavimą į joms ekvivalentiškas kitas formules. Šių transformacijų prireikia natūraliosios arba dirbtinės kalbos tekstus pritaikant kitai paskirčiai. Pavyzdžiui, informaciją perteikiantį tekstą paruošiant samprotavimui, arba formuluojant paprieštaravimą: formalizavę natūralios kalbos tekstą, transformavę jo formulę ir transformuotą formulę vėl išvertę į natūralią kalbą, gauname kitiems mąstymo tikslams pritaikytą tekstą, kurio ekvivalentiškumas formalizuotam yra validus.

Dabar pateiksime diadinių operatorių ekvivalentus. Jų sudaromų ekvivalencijų validumą galima nustatyti tiesos lentelių metodu.

1. (p q)~ (~ p ~ q)

2. (p q) (~ p q)

3. (p q)(p q) (q p)

Šių trijų ekvivalencijų pakanka pakeisti 4 pagrindinius diadinius operatorius disjunkcija ir neigimu. Kitos ekvivalencijos tarp formulių su skirtingais diadiniais operatoriais tokios:

4. (p q)~ (~ p ~q)

5. (p q) ~( p ~ q)

5. (p q) ~ (p ~q)

6. (p q) (~ p q)

Natūraliosios kalbos tekstuose pasitaiko dar du jungtukai, kuriuos atitinka Shefer’io štrichas bei teoriškai gautų operatorių matricos (žr. poskyrio “Teiginių logikos simbolių interpretacija” matricą Nr.5) operatorius o14. Nors šių operatorių knygoje pateiktoje teiginių logikos kalboje nėra, pateiksime jų ekvivalentus: šių operatorių ekvivalentai padės suprasti, kokiais dirbtinės teiginių logikos operatoriais juos galima išreikšti. Vietoj kintamųjų simbolių vartosime simbolius su graikiškomis raidėmis, nes pateikiamos simbolinės išraiškos nėra mūsų pateiktos teiginių logikos kalbos dalys. Vietoj operatorių simbolių vartosime operatorių atitinkančius lietuvių kalbos žodelius:

, nebent) (~)

Jungtukas “nebent” atitinka Shefer’io štrichą.

(nei , nei )(~  ~)

Jungtukas “nei., nei.” atitinka teoriškai gautų operatorių matricos (žr. poskyrio “Teiginių logikos simbolių interpretacija” matricą Nr.5) operatorių o14.

Pabaigai dar pakartosime griežtosios disjunkcijos ir replikacijos ekvivalentus, pateiktus poskyryje “Teiginių logikos operatoriai”:

(arba , arba ) ()  (~ ~)

(,jei ) ( )

Pasinaudojant dirbtinės teiginių logikos kalbos operatorių pakeičiamumu ir teiginių logikos formulių transformavimo taisyklėmis, bet kurią formulę galima pakeisti į ekvivalentišką formulę su kitokiu operatoriumi. Tokiam pakeitimui ypač svarbi yra ekvivalentų substitucijos taisyklė: jos dėka galima pakeisti bet kokią taisyklingą formulę. Pati pakeitimo procedūra tokia pati, kaip ir validžių formulių transformacija. Pateiksime pavyzdį: pakeisime abu formulės (~p q)r diadinius operatorius disjunkcija.

Pradedama nuo didžiausiu skliaustų skaičiumi apskliaustos subformulės operatoriaus pakeitimo. Mūsų pavyzdyje tokia subformulė yra ~p q, todėl naudosime implikacijos pakeitimo disjunkcija ekvivalenciją (p q) (~ p q). Subformulės ~p q disjunkcinį ekvivalentą gauname pagal nuoseklios substitucijos taisyklę formulėje (p q) (~ p q) kintamąjį p pakeitę į ~p:

(~p q) (~ ~p q)

Dabar pagal ekvivalentų substitucijos taisyklę formulėje (~p q)r pakeičiame subformulę ~p q jos disjunkciniu ekvivalentu ~ ~p q. Gauname

(~ ~p q)r, kuri yra formulės (~p q)r ekvivalentas

Toliau atliekame tokius veiksmus:

Imame konjunkcijos pakeitimo disjunkcija ekvivalenciją (p q)~ (~ p ~ q), kurioje pagal nuoseklios substitucijos taisyklę p pakeičiame į ~ ~p q, o q į r. Gauname formulę ((~ ~p q)r) ~ (~(~ ~p q) ~ r), kurios dalis ~(~(~ ~p q) ~ r) ir yra formulės (~p q)r disjunkcinis ekvivalentas.

Dar galime suteikti formulės (~p q)r disjunkciniam ekvivalentui ~(~(~ ~p q) ~ r) grakštesnę išvaizdą: formulėje ~(~(~ ~p q) ~ r) pakeisti ~ ~p ekvivalentu p. Tokiam pakeitimui panaudojamas dvigubo neigimo dėsnis ~ ~p p, kuris teikia ~ ~p ekvivalentą p, bei ekvivalentų substitucijos taisyklė, kuri leidžia ~ ~p pakeisti į p:

~(~(p q) ~ r).

Klausimai pakartojimui

1. Kur galima panaudoti loginių operatorių ekvivalentus?

2. Kada naudojamos transformacijos taisyklės operatorių keičiant kitu operatoriumi?

Pratimai

1. Pakeiskite formulėje ((p r) p)r skliausteliuose esantį implikacijos operatorių disjunkcijos operatoriumi.

2. Pakeiskite formulėje p ~ ~p ekvivalenciją konjunkcija.

3. Pakeiskite formulėje ~(p q)q  p) ~p disjunkcijas implikacija.

Teiginių logika ir samprotavimas

Protinis žmogaus darbas teiginių logikos požiūriu yra dvejopas:

1. protaujant performuluojami teiginiai;

2. protaujant iš vienų teiginių, vadinamų premisomis (lot. praemissa – prielaida), gaunami kiti teiginiai, vadinami išvadomis.

Protinis darbas, kuriuo iš teiginių-premisų gaunami teiginiai-išvados, vadinamas samprotavimu (angl. argument).

Samprotavimo premisų aibė vadinama pagrindu (lot. fundamentum – pagrindas). Jei samprotavime viena premisa, ji sutampa su pagrindu.

Samprotavimų esama įvairių. Pagrindinės jų rūšys bus aptartos skyriuje “Argumentacija”.

Teiginių logika turi sąlyčio taškų tik su viena iš samprotavimo rūšių – dedukciniu samprotavimu.

Dedukciniu samprotavimu vadinamas toks samprotavimas, kurio išvada yra būtina premisų pasekmė tuo atveju, kai samprotavimas yra taisyklingas. Taisyklingą dedukcinį samprotavimą dar galima pavadinti svariu.

Jeigu svaraus dedukcinio samprotavimo premisomis ką nors tvirtiname, tai neigdami išvadą gautume teiginį, kuris nėra premisų pasekmė. Pavyzdžiui:

Jei lyja, tai šlapia (premisa).

Lyja (premisa).

Taigi šlapia (išvada).

Išvados neigimas “nešlapia” nėra premisų aibės, kurią sudaro teiginiai “jei lyja, tai šlapia” ir “šlapia”, pasekmė.

Patikrinkime tiesos matricų metodu, ar iš tiesų pavyzdžio dedukcinio samprotavimo išvados neigimas nėra premisų pasekmė. Tam teiginį “lyja” pažymėkime p, teiginį šlapia – q. Pavyzdžio samprotavimo premisas atitinka teiginiai p q ir p. Samprotavimo išvados neigimą atitinka teiginys ~q. Sudarykime šiems teiginiams tiesos matricą:

p q p q ~q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

(1) 0

1

0

1

(1)

Gavome, kad ~q nėra pagrindo -pasekmės santykyje nei su premisa (p q), nei su premisa p pagal pagrindo – pasekmės santykio apibrėžimą: formulė (mūsų atveju~q) ir kita formulė ar kelių formulių aibė yra pagrindo – pasekmės santykyje, tik jei nėra tokios formulių kintamųjų interpretacijų eilės, kurioje ta kita formulė ar aibės formulės turi reikšmę “teisinga”, o formulė – reikšmę “klaidinga”.

Svariu vadinamas dedukcinis samprotavimas, kuris tenkina šias sąlygas:

1. išvada iš tiesų turi būti gauta iš premisų, tai yra pagrindo – pasekmės santykis tarp premisų ir išvados turi būti validus (simbolinės logikos požiūriu santykis tarp premisų ir išvados yra validus tuomet, kai jis pagrįstas validžia logikos formule, kurioje vietoj santykio yra implikacija);

2. premisos turi būti suderinamos pagal reikšmę “teisinga”.

Svaraus dedukcinio samprotavimo, kuris tenkina nurodytas sąlygas, išvada yra teisingas teiginys.

Dedukcinis samprotavimas nėra svarus, jei:

1. jo išvada nėra premisų pasekmė;

2. jo premisos nesuderinamos pagal reikšmę “teisinga”.

Toliau dedukcinį samprotavimą aptarinėsime teiginių logikos požiūriu.

Teiginių logikos požiūriu premisų suderinamumą pagal reikšmę “teisinga” lemia konkreti premisas sudarančių propozicinių kintamųjų interpretacija, t.t tų teiginių, kurie samprotavime vartojami vietoj propozicinių kintamųjų, reikšmė.

Samprotavimo svarumą įtakoja premisų operatorių kombinacija. Ši įtaka dvejopa:

1. operatorių kombinacija lemia premisų nesuderinamumą;

2. operatorių kombinacija lemia premisų formulių validumą.

Poskyryje “Teiginių logikos simbolių interpretacija” minėjome, kad elementari diadinių operatorių formulė dera pagal reikšmę “teisinga” su savo kintamųjų formulėmis. Tai reiškia, kad samprotavimo, apimančio tik konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, ekvivalencijos diadinių operatorių formules arba jų ekvivalentus, operatoriai negali sudaryti kombinacijos, kuri padarytų premisas nesuderinamomis pagal reikšmę “teisinga”.

Kitų teoriškai išvestų diadinių operatorių formulių panaudojimas samprotavime nešalina operatorių kombinacijos, kuri padaro premisas nesuderinamomis.

Teiginių, kurie samprotavime vartojami vietoj propozicinių kintamųjų, reikšmė nepriklauso teiginių logikos tyrimų sričiai: ji yra praktinio pažinimo arba konkrečių faktinės tikrovės mokslų reikalas.

Jei operatorių kombinacija nešalina galimybės suderinti premisas pagal reikšmę “teisinga”, samprotavimas yra svarus loginiu požiūriu.

Loginiu požiūriu svarus samprotavimas gali nebūti svarus praktiniu požiūriu: premisų suderinamumas pagal reikšmę “teisinga” gali būti neįmanomas dėl samprotavimo premisas sudarančių propozicinių kintamųjų konkrečios interpretacijos.

Pavyzdžiui, samprotavimas “Jei Klaipėda yra Lietuvos sostinė, tai Klaipėdoje yra Seimo rūmai. Klaipėda yra Lietuvos sostinė. Taigi, Klaipėdoje yra Seimo rūmai” yra svarus loginiu požiūriu, bet praktiškai toks nėra. Šio samprotavimo premisų suderinamumas pagal reikšmę “teisinga” yra neįmanomas dėl to, kad teiginys “Klaipėda yra Lietuvos sostinė” yra klaidingas.

Tačiau samprotavimas, kuris nėra svarus loginiu požiūriu, nebegali būti svariu ir praktiškai. Todėl samprotavimo loginio svarumo įvertinimas yra reikšmingas ne tik samrotavimo teorijai, bet ir praktikai.

Teiginių logikos metodais galima įvertinti:

1. samprotavimo, kurio išvada arba bent viena iš premisų išreiškiama neelementaria formule, premisų ir išvados santykio validumą;

2. samprotavimo, kurio išvada arba bent viena iš premisų yra tiesos funkcija, loginį svarumą.

Teiginių logikos požiūriu samprotavimo išvada yra validi premisų pasekmė, jei pagrindo – pasekmės santykis atitinka validžias teiginių logikos formules. Svarbesnes validžias teiginių logikos formules pateikėme ankstesniame knygos poskyryje. Jos vadinamos teiginių logikos dėsniais. Dėsnio reikšmė nepriklauso nuo teiginio, kuriuo pakeičiamas formulės kintamasis, reikšmės.

Be dėsnių, yra dar viena rūšis teiginių logikos formulių, kurių reikšmė nepriklauso nuo konkretaus teiginio reikšmės – tai nepatikimos formulės.

Jau minėjome, kad nepatikimos formulės atitinka absurdą. Jos yra savotiški žmogaus proto virusai: apjungdamos visas galimas sprendimus apie daiktą, jos nebeteikia jokio konkretaus sprendimo.

Samprotavimo premisų nesuderinamumas pagal reikšmę “teisinga” yra vienas iš absurdo atsiradimo šaltinių.

Protinį darbą, kuriuo performuluojami teiginiai, teiginių logikoje atitinka teiginių logikos formulių transformavimo procesas. Tokio darbo dėka mes galime tekstą, perteikiantį sprendimus apie daiktus, paruošti samprotavimui, arba atvirkščiai, tekstą, kuriuo suformuluotos samprotavimo premisos, transformuoti į tekstą, aiškiau perteikiantį sprendimus. Tokio protinio darbo dėka mes galime suformuluoti validžius paprieštaravimus. Ši protinio darbo rūšis paprastai aptariama taikomojoje logikoje. Kai kurie šio darbo ypatumai bus aptarti knygos skyriuje “Argumentacija”.

Dabar supažindinsime su pagrindo – pasekmės santykio validumo įrodymo metodu ir įrodymo, kad samprotavimas nėra svarus, metodais.

Natūralioji dedukcija

Lotyniškas žodis deductio reiškia išvedimą. Dedukcija yra vienas iš plačiausiai taikomų pagrindo – pasekmės santykio tarp samprotavimo premisų ir išvados validumo įrodymo metodų.

Yra keletas dedukcijos rūšių: natūralioji dedukcija, formalioji dedukcija.

Natūraliosios dedukcijos metodas pagrįstas tokiomis išvadų gavimo iš premisų taisyklėmis, kurios apibūdina elementarius išvadų gavimo iš premisų būdus, įprastus kasdieniam samprotavimui. Todėl dedukcija ir vadinama natūraliąja.

Dedukcija, kuri naudoja tokias išvadų gavimo iš premisų taisykles, kurios yra pagrįstos validžiomis logikos formulėmis, bet nėra būdingos kasdieniam samprotavimui (pavyzdžiui, būdingos teoriniams matematiniams samprotavimams), nevadinama natūraliąja.

Mes aptarsime natūraliąją dedukciją.

Dedukcijos taisyklių dėka galima įrodyti validų pagrindo – pasekmės santykį tarp samprotavimo premisų ir išvados. Šias taisykles galima pagrįsti validžiomis teiginių logikos formulėmis. Pagrindinė taisyklė, kuria remiamasi pagrindžiant natūraliosios dedukcijos taisyklių validumą yra transformacijos taisyklė nr.5 (pagrindo – pasekmės santykio validumo taisyklė): jei validi formulė  , tai validus ir pagrindo – pasekmės santykis .

Natūralioji dedukcija taip pat yra vienas iš teiginių logikos teoremų įrodymo metodų. Teiginių logikos teoremomis vadinamos validžios formulės, kurios išvedamos iš akivaizdžiai teisingų formulių, vadinamų aksiomomis, tam tikro transformacijos taisyklių rinkinio dėka. Pusiau atliktą teoremos įrodymą natūraliosios dedukcijos metodu aptiksite tarp knygos pratimų: manome, kad atlikus pratimus, pateiktus prieš teoremos įrodymą, nesunku pratimuose pateikiamą teoremą įrodyti savarankiškai.

Teiginių logikos operatorių universalių aibių (universalias operatorių aibes minėjome poskyryje “Teiginių logikos operatorių tarpusavio priklausomybė”) pagrindu galima sudaryti aksiomatizuotas teiginių logikos sistemas, kuriose išvedamos ir įrodomos natūraliosios dedukcijos taisykles pagrindžiančios formulės. Tos formulės aksiomatizuotose teiginių logikos sistemose yra teoremos. Pavyzdžiui, pagrindo – pasekmės santykio taisyklių sudarymui naudojama aksiominė teiginių logikos sistema, kurios pirminiai operatoriai yra neigimas ir implikacija.

Dedukcijos taisykles užrašysime taip:

1. Premisų aibės formulės surašomos stulpeliu.

2. Išvados formulė rašoma eilutėje, sekančioje po premisų. Ji pažymima elementaraus išvedimo, pagal kurį yra gaunama, pavadinimo santrumpa ir premisų, kurių išvada ji yra, eilučių numeriais,

3. visos eilutės numeruojamos.

Pateiksime tokias natūraliosios dedukcijos taisykles:

1. Dvigubas neigimas (DN)

~ ~ p arba p

p DN 1 ~ ~ p DN 1

Dvigubo neigimo taisyklė perskaitoma taip: iš dvigubo neigimo seka teiginys, kuris neigiamas, o iš teiginio – jo dvigubas neigimas.

Dvigubo neigimo taisyklė pagrįsta formule ~ ~ p p, gaunama iš dvigubo neigimo dėsnio, pritaikius jam transformacijos taisyklę, vadinamą ekvivalencijos pakeitimo implikacija taisykle.

2. Simplifikacija (Simp) (lot simplex – paprastas)

1. p q arba 1. p q

2. p Simp 1 2. q Simp 1

Simplifikacijos taisyklė perskaitoma taip: iš konjunkcijos gaunamas konjunktas.

3. Adicija (Add) (lot. additio – pridėjimas)

1. p arba 1. q 

2. p q Add 1 2. p q Add 1

Adicijos taisyklė perskaitoma taip: iš teiginio gaunamas to teiginio disjunkcija su bet kokiu kitu teiginiu.

4. Konjunkcija (Conj)

1. p arba 1. p

2. q 2. q

3. p q Conj 1, 2 3. q  p Conj 2, 1

Konjunkcijos taisyklė perskaitoma taip: iš kelių atskirų teiginių gaunama jų konjunkcija.

Konjunkcijos taisyklė yra labai svarbi dedukcijos taisyklė: ji pakeičia santykį tarp formulių formule su operatoriumi.

5. Modus Ponens (MP) (lot. modus – matas, būdas, pono – dėti pagrindan, teigti)

1. p q

2. p

3. q MP 1, 2

Modus ponens taisyklė perskaitoma taip: iš implikacijos ir jos antecedentui tapačios formulės gaunamas konsekventas.

Pagal “Modus Ponens” taisyklę nesąlygiška išvada iš sąlyginės premisos gaunama nenaudojant neigimo.

6. Modus Tollens (MT) (lot. modus – matas, būdas, tolo – panaikinti, neigti)

1. p q

2. ~ q

3. ~ p MT 1, 2

Modus Tollens taisyklė perskaitoma taip: iš implikacijos ir jos konsekvento neigimui tapačios formulės gaunamas antecedento neigimas.

7. Disjunkcinis silogizmas (DS)

1. p q arba 1. p q

2. ~ p 2. ~ q

3. q DS 1, 2 3. p DS 1, 2

Disjunkcinio silogizmo taisyklė perskaitoma taip: iš disjunkcijos ir vieno jos disjunkto neigimo gaunamas kitas disjunktas.

8. Išvedimo validumo sąlyginio įrodymo taisyklė (Cder)

Ši taisyklė taikoma tuomet, kai išvados formulė yra kokia nors implikacija, pvz. p q.

Sąlyginio įrodymo taisykle tokia:

jei

1. į samprotavimo premisų aibę įtraukus hipotezinę premisą, atitinkančią išvados antecedentą (mūsų pavyzdyje p),

2. iš papildytos premisų aibės pagal dedukcijos taisykles gaunamas išvados konsekventas (mūsų pavyzdyje q),

tai

samprotavimo išvados (mūsų pavyzdyje p q) ir premisų santykis yra validus.

Hipotezinė premisa užrašoma eilutėje, sekančioje po duotų premisų. Hipotezinės premisos dešinėje pusėje prirašoma AP (angliško išsireiškimo assumed premise santrumpa).

Prie formulės, kuri yra tapati išvadai ir gauta pagal sąlyginio įrodymo taisyklę, dešinėje pusėje prirašoma Cder (angliško išsireiškimo conditional derivation santrumpa) ir eilučių, kurias apėmė sąlyginis įrodymas, numeriai (pvz., jei sąlyginis įrodymas apėmė eilutes nuo nr.1 iki nr.7, užrašoma Cder 1-7).

9. Netiesioginio įrodymo reductio ad absurdum (liet. grąžinimas į beprasmybę) taisyklė.

Reductio ad absurdum taisyklė tokia:

jei

1. į samprotavimo premisų aibę įtraukus hipotezinę premisą ~, atitinkančią išvados formulės neigimą,

3. iš papildytos premisų aibės pagal dedukcijos taisykles gaunamas akivaizdus absurdas   ~ – bet kuri premisos formulė arba subformulė),

tai

tarp samprotavimo išvadosir premisų yra validus santykis.

Hipotezinės premisos formulė užrašoma eilutėje, sekančioje po duotų premisų formulių. Hipotezinės premisos formulės dešinėje pusėje prirašoma AP (angliško išsireiškimo assumed premise santrumpa).

Prie formulės, kuri tapati išvadai ir yra gauta pagal “reductio ad absurdum” taisyklę, dešinėje pusėje prirašoma Ider (angliško išsireiškimo indirect derivation santrumpa) ir eilučių, kurias apėmė netiesioginis įrodymas, numeriai (pvz., jei netiesioginis įrodymas apėmė eilutes nuo nr.1 iki nr.5, užrašoma Ider 1-5).

Sąlyginio ir netiesioginio išvedimo validumo įrodymo pavyzdžių pateiksime truputį vėliau.

Dedukcijoje dar naudojamos ir šios taisyklės:

10. Paprasta konstruktyvioji dilema (SCD) (lot. constructivus – tinkamas, gr. dilemma – dviejų dalių prielaida)

1. p r arba 1. p r

2. q r 2. q r

3. p q 3. q p

4. r  SCD 1, 2, 3 4. r SCD 2, 1, 3

Paprastos konstruktyviosios dilemos taisyklė perskaitoma taip: iš dviejų implikacijų su vienodais konsekventais ir jų antecedentų disjunkcijos seka implikacijų konsekventas.

11. Hipotezinis silogizmas (HS) (gr. hypothesis – spėjimas)

1. p q

2. q r

3. p r HS 1, 2

Hipotezinis silogizmo taisyklė perskaitoma taip: iš dviejų implikacijų, vienos iš kurių konsekventas atitinka kitos antecedentą, gaunama neatitinkančio antecedento ir konsekvento implikacija.

12. Sudėtinga konstruktyvioji dilema (CD)

1. p r

2. q s

3. p q

4. r s CD 1, 2, 3

Sudėtingos konstruktyviosios dilemos taisyklė perskaitoma taip: iš dviejų implikacijų ir jų antecedentų disjunkcijos gaunama jų konsekventų disjunkcija.

13. Paprasta destruktyvioji dilema (SDD) (lot. destructio – sugriovimas)

1. rp 1. rp

2. r q 2. r q

3. ~p ~q 3. ~q ~p

4. ~r  SDD 1, 2, 3 4. ~r SDD 2, 1, 3

Paprastos destruktyviosios dilemos taisyklė perskaitoma taip: iš dviejų implikacijų su vienodais antecedentais ir jų konsekventų neigimų disjunkcijos gaunamas tų implikacijų antecedento neigimas.

14. Sudėtinga destruktyvioji dilema (DD).

1. r p

2. s q

3. ~p ~q

4. ~r ~s DD 1, 2, 3

Sudėtingos destruktyviosios dilemos taisyklė perskaitoma taip: iš dviejų implikacijų ir jų konsekventų neigimų disjunkcijos gaunama jų antecedentų neigimų disjunkcija.

Pateikėme dedukcijos taisykles. Kartu su taisyklėmis dedukcijos metodas apima sąlyginio bei netiesioginio įrodymo taisyklių taikymo principus ir principus, bendrus visų taisyklių taikymui.

Bendri dedukcijos taisyklių taikymo principai:

1. pagal dedukcijos taisykles gautos išvados imamos kaip papildomos premisos tolimesnei dedukcijai iki to momento, kol gaunama formulė, tapati dedukcija įrodinėjamo santykio išvadai;

2. tiek duotosios, tiek papildomos premisos išvadoms pagal dedukcijos taisykles gauti gali būti panaudotos daugiau negu vieną kartą;

4. jei dedukcijos taisyklę reikia taikyti ekvivalencijai arba sudėtingos formulės neigimui, pirmiausia ekvivalencija ar formulės neigimas pagal transformacijos taisykles ir logikos dėsnius pakeičiamas į formules, kurioms dedukcijos taisyklę pritaikyti įmanoma.

Sąlyginio ir netiesioginio įrodymo taisyklių principai:

1. hipotezinė premisa ir netiesioginio ar sąlyginio įrodymo metu gautos tarpinės išvados yra papildomos premisos tik tai netiesioginei ar sąlyginei dedukcijai, kurioje jos gautos;

2. jei po sąlyginio ar netiesioginio įrodymo dedukcija tęsiama toliau, sąlyginio ar netiesioginio įrodymo galutinė išvada yra papildoma premisa.

Taikant dedukcijos metodą samprotavimo išvados gavimo iš premisų validumo įrodymui, naudojamas tas pats žymėjimas, kaip ir dedukcijos taisyklėse. Tačiau esama ir kelių skirtumų:

1. kiekviena premisa dešinėje pažymima Pr;

2. išvada rašoma toje pačioje eilutėje, kaip ir paskutinė premisa, atskiriant ją nuo premisos ženkleliu “”;

3. dešinėje paskutinės dedukcijos eilutės pusėje prirašomos raidės “QED”, reiškiančios lotynišką posakį “quod erat demonstrandum” (ką ir reikėjo įrodyti).

Pateiksime keletą dedukcijos pavyzdžių.

Dedukcijos, kurioje nenaudojama nei sąlyginio, nei netiesioginio įrodymo taisyklė, pavyzdys:

1. (p q)r Pr

2. ~ q Pr p

3. p q Simp 1

4. p DS 3, 2, QED

Pastaba

Dedukcijos taisykles taikyti formulėms, kurių subformulės reiškia tiesos funkcijas, galima dėl substitucijos taisyklės: pakeitę dedukcijos taisyklės formulės dalį kita formule pagal nuoseklios substitucijos taisyklę, gauname dedukcijos taisyklę, atitinkančią mums rūpimą atvejį.

Mūsų pavyzdyje taisyklę Simp taikydami formulei (p q)r, eilutėje nr.3 gavome p q. Šis rezultatas gautas pagal nuoseklios substitucijos taisyklę: dedukcijos taisyklėje Simp pakeitus p į p q, o q – į r. (dėl substitucijos procedūros paprastumo dedukcijoje ji nerodoma):

1. p q pakeitus turime 1. (p q) r

2. p Simp 1 2. p q Simp 1

Dedukcijos su sąlyginio įrodymo taisykle pavyzdys:

1. (p q)r Pr ~ q p

2. ~ q AP

3. p q Simp 1

4. p DS 4, 2

5. ~ q p Cder 2-4, QED

Dedukcijos su dukart pritaikyta sąlyginio įrodymo taisykle pavyzdys:

1. (p q)r Pr t ~ q p)

2. t AP

3. ~ q AP

4. p q Simp 1

5. p DS 5, 3

6. ~ q p Cder 3 -6

7. t ~ q p) Cder 2 -7, QED

Dedukcijos su “reductio ad absurdum” taisykle pavyzdys:

1. p q Pr

2. ~p q Pr q

3. ~q AP

4. p DS 1, 3

5. ~p DS 2, 3

6. p  ~p Conj 4, 5

7. q Ider 3-6, QED

Praktinis patarimas bandantiems įvaldyti natūraliosios dedukcijos metodą.

Taisyklių, kaip sėkmingai pritaikyti išvedimo santykio validumo įrodymo metodo, vadinamo natūralią dedukcija, taisykles tam, kad gauti formulę, atitinkančią samprotavimo, kurio validumas įrodinėjamas, išvadą, nėra. Šį metodą įvaldyti padeda tik pratybos. Bandančiam jį pravartu žinoti, kad išvados formulės gavimas pagal dedukcijos taisykles yra užduotis, panaši į vieną iš rebusų, skirtų laisvalaikiui (į paveiksliuką, kuriame reikia aptikti atskirai nurodytas detales):

1. išvedimo santykio premisose reikia aptikti detales, kurios atitinka ne dedukcijos taisyklės formulių raides, bet operatorius;

2. aptikus tokias detales, jas atitinkančią dedukcijos taisyklę reikia pritaikyti formulėms, turinčioms tas detales;

3. pritaikius, toliau formulėse ieškoti detalių, atitinkančių kurios nors dedukcijos taisyklės formulių operatorius, ir t. t. Atliekami pakeitimai turi artinti mus prie formulės, atitinkančio samprotavimo išvadą.

Įrodymo, kad samprotavimas nėra svarus, metodai

Jau minėjome, kad samprotavimas nėra svarus, jei:

1. jo išvada iš premisų neseka;

2. jo premisos nesuderinamos pagal tiesos vertę “teisinga”.

Tiesos matricų metodas

Pagrindinis įrodymo, kad samprotavimas nėra svarus, būdas pagrįstas formulių santykių nustatymo procedūra, aprašyta poskyryje “Loginiai formulių santykiai”: sudaroma premisų formulių ir išvados tiesos matrica ir pagal santykių tarp formulių apibrėžimus patikrinama, koks yra santykis tarp premisų ir išvados. Jei gauname, kad:

1. esama kombinacijos, kai visos samprotavimo premisos teisingos, o išvada klaidinga, tai samprotavimas nėra svarus: jo išvada iš premisų neseka;

2. nesama kombinacijos, kai visos samprotavimo premisos teisingos, tai samprotavimas taip pat nėra svarus: jo premisos nesuderinamos pagal reikšmę “teisinga”.

Tiesos matricų metodo taikymo įrodyme, kad samprotavimas nėra svarus, pavyzdys:

Duotas samprotavimas

1. p ~q Pr

2. p ~q Pr

3. q Pr  p q

Sudarome jo premisų ir išvados tiesos matricą:

p q (p ~q) (p ~q) p q

1.

2.

3.

4. 1

1

0

0 1

0

1

0 1 0

1 1

0 0

1 1 0 0

1 1

1 0

1 1 1

0

0

0

(2) (1) (2) (1) (1)

Gavome, kad samprotavimo premisos yra nesuderinamos pagal reikšmę “teisinga”: nėra nė vienos eilutės, kurioje samprotavimo premisos q, (p ~q) ir (p ~q) turėtų vien reikšmę “teisinga”. Taigi, samprotavimas

1. p ~q Pr

2. p ~q Pr

3. q Pr  r

nėra svarus.

“Bandymų ir klaidų” metodas.

Galimas sutrumpintas santykio “neseka” nustatymo kelias. Jis dar vadinamas bandymų ir klaidų metodu.

Taikant šį metodą tiesos matricos sudarinėti nėra reikalo. Paprasčiausiai bandymų ir klaidų keliu ieškoma tokios premisų kintamųjų interpretacijų kombinacijos, kuri paverčia premisas teisingais teiginiais:

1. išvados formulės kintamiesiems priskiriama tokia teiginio reikšmė, kuri paverčia išvadą klaidingu teiginiu (jei galimos kelios kintamųjų tiesos vertės kombinacijos, kurios paverčia išvadą klaidinga, iš pradžių pasirenkame bet kurią vieną, pabandome visą procedūrą su ja, jei nepavyksta – kitą, ir t.t.);

2. kintamiesiems priskirtos reikšmės priskiriamos tapatiems premisų kintamiesiems, o premisų kintamiesiems, kurių išvadoje nėra, tokia teiginio reikšmė, kuri būtina, kad premisos taptų teisingomis;

3. jei surandama kintamųjų interpretacijų kombinacija, kuriai esant premisos yra teisingos, tai samprotavimo išvada nėra premisų pasekmė, o samprotavimas nėra svarus (jei paminėtos kombinacijos surasti nepavyko, reiškia, kad nepavyko įrodyti, kad samprotavimas nėra svarus).

Bandymų ir klaidų metodo taikymo pavyzdys:

1. p ~q Pr

2. (~p q) r Pr  ~p q

1. Priskirkim tokią teiginio reikšmę išvados kintamiesiems:

Tp; Tq (tuomet pagal neigimo taisyklę ~p, pagal konjunkcijos taisyklę (~p q).

2. Nustatykim premisos p ~q reikšmę:

Tp; ~q (pagal neigimo taisyklę iš Tq), taigi T(p ~q) (pagal disjunkcijos taisyklę).

Nustatykime premisos (~p q) r reikšmę:

~p, Tq, taigi T(~p q) (pagal implikacijos taisyklę), priskirkime r reikšmę “teisinga”: Tr. Tuomet T((~p q) r) pagal konjunkcijos taisyklę.

3. Suradome kombinaciją, kai abi premisos teisingos:

T(p~q), T((~pq)r),

taigi, samprotavimo

1. p ~q Pr

2. (~p q) r Pr  ~p q

išvada nėra premisų pasekmė, o samprotavimas nėra svarus.

Reductio ad absurdum metodas

Samprotavimo premisų nesuderinamumą pagal teiginio reikšmę “teisinga” galima įrodyti dedukcijos metodo modifikacija, vadinama metodu “reductio ad absurdum”. Tam dedukcijos metodas truputį modifikuojamas:

1. dedukcijos taisyklių dėka samprotavimo premisos suvedamos į absurdą: jei suvestį į absurdą pavyksta, tuo pačiu įrodoma, kad samprotavimas nėra svarus;

2. įrodymui, kad samprotavimas nėra svarus, negalima naudoti netiesioginio įrodymo taisyklės “reductio ad absurdum”.

Įrodymo, kad samprotavimas nėra svarus, Reductio ad absurdum metodu pavyzdys:

1. p ~q Pr

2. ~p q Pr

3. ~p Pr r

4. q MP 2, 3

5. ~q DS 1, 3

6. q ~q Conj 4, 5 QED

Keletas pastabų.

“Reductio ad absurdum” metodas padeda atskleisti samprotavimo premisose slypintį absurdą, t.y. jo paskirtis yra visai kita, negu tą patį pavadinimą turinčios dedukcijos taisyklės. Todėl taisyklės ir metodo nederėtų painioti.

Tuomet, kai samprotavimo premisose slypi absurdas, dedukciją visuomet galima pabaigti iki galo: iš absurdo galima išvesti ką tik užsigeisi. Pabaikime reductio ad absurdum pavyzdį samprotavimo premisų ir išvados santykio validumo įrodymu:

7. q r Add 2

8. r DS 7, 5

Absurdas yra nepatikima formulė. Nors sekmens santykis tarp nepatikimos formulės ir išvados yra validus, tačiau samprotavimas, kurio dedukcijoje gaunama nepatikima formulė, nėra svarus: jo premisos nesuderinamos pagal tiesos vertę “teisinga”. Aišku, turime omenyje tokią dedukciją, kurioje nenaudojama taisyklė “reductio ad absurdum”.

Klausimai pakartojimui

1. Kas vadinama samprotavimo premisomis?

2. Kas vadinama samprotavimo išvada?

3. Kas vadinama pagrindu?

4. Kas yra dedukcinis samprotavimas?

5. Koks dedukcinis samprotavimas vadinamas svariu?

6. Koks samprotavimas nėra svarus?

7. Kas lemia samprotavimo premisų suderinamumą pagal teiginio reikšmę “teisinga”?

8. Kokias samprotavimo ypatybes padeda įvertinti teiginių logikos metodai?

9. Kodėl samprotavimo loginio svarumo įvertinimas yra reikšmingas ne tik logikos teorijai, bet ir samprotavimo praktikai?

10. Koks metodas vadinamas natūraliąja dedukcija ir kodėl tas metodas taip vadinamas?

11. Kokia taisyklė lemia dedukcijos metodo validumą?

12. Ką žymi santrumpos Pr, AP, QED?

13. Kas vadinama tarpine išvada?

14. Kokie yra apribojimai tarpinėms išvadoms, gautoms taikant sąlyginio ir netiesioginio įrodymo taisykles?

15. Ką reikia daryti, jei tarp samprotavimo, kuriam taikomas dedukcijos metodas, premisų yra ekvivalencija arba sudėtingos formulės neigimas?

16. Kokie įrodymo, kad samprotavimas nėra svarus, metodai aptarti šiame poskyryje?

17. Kuo skiriasi dedukcijos taisyklė “reductio ad absurdum” nuo taip pat vadimamo metodo?

Pratimai

1. Kokių taisyklių formulių ekvivalentai yra šie formulių rinkiniai? Paskutinėje eilutėje parašykite taisyklės santrumpą ir eilučių, kurioms taisyklė taikoma, numerius.

1. (p ~q)(q s) Pr

2. ~ (q s) Pr

3. p ~q

1. (r ~s)  (p r) Pr

2. ~(p r) Pr

3. ~ (r ~s)

1. p ~r Pr

2. ~ (p q) Pr

3. ~ (p q)(p ~r)

2. Nustatykite, pagal kokią taisyklę galima gauti išvadą. Įrašykite ją:

1. (~ r q) ~ q Pr

2. ~ ~q Pr 

1. t r s) Pr

2. r r s) Pr

3. t r Pr 

1. p q ~ r Pr Kokio dėsnio dėka pirmoje premisoje

2. ~ (p q) Pr  skliaustelius galime sudėti, kur patogiau?

3. Ar išvados taisyklingos? Jei ne, kokią taisyklę pažeidžia?

1. p p ~r) Pr

2. ~ p Pr p ~r

1. p p ~r) Pr

2. p ~r Pr p

1. (p q) ~r Pr

2. ~r Pr  p q

4. Surašykite santrumpas, kurių trūksta. Pažymėkite galutinę dedukcijos išvadą:

1. ~ qp Pr

2. (p r) ~ qPr r

3. ~ q

4. p

5. p r

6. r

1. (p r) (q s) Pr  (p q) (r s)

2. p q

3. p r

4. q s

5. r s

5. Užpildykite formulėmis eilutes pagal nurodytas taisykles:

1. ~ (pq)r Pr

2. ~ p Pr

3. ~ q Pr r

4. ~ r AP

5. MT 4, 1

6. DN 5

7. DS 6, 2

8. Conj 7, 3

9. Ider 4 – 8 QED

1. (pildyti nereikia)  (pq)  ((q r)(pr))

2. pq AP

3. q r AP

4. pP

5. ~ r AP

6. MT 3, 5

7. MT 2, 6

8. Conj 4, 7

9. Ider 5 – 8

10. Cder 4 – 9

11. Cder 3 – 10

12. Cder 2 – 11 QED

Pastaba. Šiame knygos poskyryje mes užsiminėme, kad dedukcijos metodas taikomas teiginių logikos teoremoms įrodyti. Jei jums pavyko atlikti šį pratimą, jūs natūraliosios dedukcijos metodu įrodėte silogizmo dėsnį.

6. dedukcijos metodu įrodykite, kad tarp šių samprotavimų išvados ir premisų yra validus pagrindo – pasekmės santykis:

1. p q ~r Pr šį įrodymą atlikite dviem būdais:

2. ~p Pr su netiesioginio įrodymo taisykle

3. r Pr q ir be jos.

1. (~s t)q Pr

2. r ~q Pr ~ t s

7. Tiesos matricų metodu įrodykite, kad šie samprotavimai nėra svarūs (sudarykite tiesos matricą, nustatykite tą santykį tarp samprotavimo formulių, kuriuo remiantis įrodoma, kad samprotavimas nėra svarus, eilutę, pagal kurią nustatėte santykį, pabraukite):

1. (~ pq)r Pr

2. ~ p Pr ~ r

1. (p q)p Pr

2. ~ q Pr  q r

8. Bandymų ir klaidų metodu įrodykite, kad šių samprotavimų išvada nėra premisų pasekmė (užrašykite tą samprotavimo formulių kintamųjų tiesos vertės kombinaciją, kuriai esant išvada yra klaidinga, o premisos – teisingos):

1. ~ qp Pr

2. (p ~r) ~ qPr r

1. (~ r q) ~ q Pr

2. ~ q Pr ~ r q

9. “Reductio ad absurdum” metodu įrodykite, kad šie samprotavimai nėra svarūs:

1. (p q)p Pr

2. ~ q Pr  q r

1. p q Pr

2. (r s)(~s  ~q) Pr

3. r p Pr ~ r s

Teiginių logika ir natūralioji kalba

Poskyryje “Propozicinių kintamųjų ir propozicinių kintamųjų eilių interpretacija” užsiminėme, kad dirbtinė teiginių logikos kalba atsižvelgia į bet kurios kitos kalbos ypatumą reikšti teisingus arba klaidingus sprendimus. Dirbtinė teiginių logikos kalba turi sąsajų su bet kuria kita kalba, bet tik iš dalies: tiek, kiek kalbos tekstai yra jungtukais, pagal reikšmę atitinkančiais teiginių logikos operatorius, apjungti teiginiai.

Kalbų yra natūralių ir dirbtinių. Natūralios – tai skirtingų tautų kalbos: anglų, kinų, rusų, lietuvių ir kt. Dirbtinės kalbos – tai sutartinės simbolinio žymėjimo sistemos, turinčios savo morfologiją, sintaksę, semantiką: algebros, chemijos, muzikos ir pan. Teiginių logikos simbolių kalba – taip pat dirbtinė kalba.

Natūrali kalba yra pirminė bet kurios dirbtinės kalbos atžvilgiu.

Šiame poskyryje aptarsime teiginių logikos simbolių atitikmenis lietuvių kalboje, vienoje iš natūralių kalbų.

Teiginių logikos simbolių atitikmenų lietuvių kalboje išskyrimas leis mums išversti lietuvių kalba išsakytus sprendimus į teiginių logikos formulių kalbą. Natūralios kalbos vertimo į teiginių logikos kalbą procedūra vadinama kalbos tekstų formalizavimu.

Lietuvių kalbos tekstų formalizavimas įgalina teiginių logikos metodus taikyti samprotavimui lietuvių kalba.

Pateiksime dažniausiai sutinkamus teiginių logikos simbolių kalbinius atitikmenis. Norėtume atkreipti skaitytojų dėmesį, kad šios knygos dalies supratimui reikia lietuvių kalbos gramatikos žinių. Mes rėmėmės V.Ambraso redaguota “Dabartinės lietuvių kalbos gramatika” (Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas, Vilnius 1997).

Teiginiai

Teiginių logikos formulių kintamieji keičiami teiginiais.

Kalbos tekstų formalizavimas yra atvirkščias procesas:

1. kalbos tekste aptinkami loginių operatorių kalbiniai atitikmenys,

2. išskiriami teiginiai, kuriuose nėra teiginių logikos operatorių,

3. tekste aptikti teiginiai, kuriuose nėra operatorių, ir loginių operatorių atitikmenys pažymimi teiginių logikos simboliais ir užrašoma teksto formulė.

Teiginius be operatorių vadinsime elementariais teiginiais. Juos žymėsime propozicinių kintamųjų simboliais. Elementarūs teiginiai dažniausiai yra savarankiški tiesioginiai vientisiniai sakiniai. Tačiau visiško atitikimo tarp elementarių teiginių ir savarankiškų sakinių nėra. Šnekant teiginių logikai svarbūs mąstymo teiginiais elementai dažnai trumpinami. Dėl trumpinimo elementarūs teiginiai tampa žodžių grupėmis, sudarančiomis vientisinių sakinių dalį.

Nurodysime pagrindinius požymius, pagal kuriuos galime atpažinti sakinį, kuris yra elementarus teiginys.

Elementariais teiginiais yra:

1. savarankiškas vientisinis tiesioginis sakinys;

2. netiesioginio prijungimo tipo sudėtinio prijungiamojo sakinio dėmenys, kuriuose nėra teiginių logikos operatorių atitikmenų;

3. sudėtinio sujungiamojo sakinio dėmenys, kuriuose nėra teiginių logikos operatorių atitikmenų;

4. lietuvių kalbos sintaksės požiūriu atskiro sakinio nesudarančios žodžių grupės (pavyzdžiui, išplėstinio sakinio dalyvinė ar padalyvinė žodžių grupė), kurios atitinka netiesioginio prijungimo tipo prijungiamojo sakinio dėmenį;

5. sakinio, turinčio kelis veiksnius, tarinius, papildinius ar aplinkybes veiksnys, tarinys, papildinys ar aplinkybė atskirame junginyje su likusiomis sakinio dalimis;

6. tiesioginio prijungimo tipo sudėtinio prijungiamojo sakinio dėmenys arba žodžių grupės, kurias tokiais dėmenimis galima pakeisti, tuo atveju, kai tie dėmenys ar žodžių grupės siejamos su pagrindinio dėmens veiksniu.

Pagrindinis požymis, pagal kurį galima atskirti elementarų teiginį nuo teiginio, kuris nėra elementarus, yra:

1. teiginių logikos operatorių atitikmenų sakinyje nebuvimas: elementarus teiginys yra tiesioginis sakinys be operatorių atitikmenų.

Štai keletas pavyzdžių: “Karolis Didysis buvo frankų karalius”, “Jonas yra studentas, o Rimas – dėstytojas”, “Jonas ir Petras gavo universiteto baigimo diplomą”, “Baigęs universitetą, Jonas gaus diplomą”. “O, kiek einšteinų ir galilėjų šešiolikmečiais žemėje miega!”(Just. Marcinkevičius). “Kiek dabar valandų?”.

Pirmasis vientisinis tiesioginis sakinys yra elementarus teiginys.

Antrasis teiginys nėra elementarus: jis yra sudėtinis sujungiamasis tiesioginis sakinys, kurio dėmenys “Jonas yra studentas”, “Rimas (yra) dėstytojas” yra elementarūs teiginiai.

Trečiasis teiginys nėra elementarus: jis yra vientisinis tiesioginis sakinys su dviem veiksniais, sudarančiais sujungiamąjį junginį (kiekvienas šio sakinio veiksnys su tariniu ir kitomis sakinio dalimis yra atskiras elementarus teiginys “Jonas gavo universiteto baigimo diplomą”, “Petras gavo universiteto baigimo diplomą”).

Ketvirtasis teiginys nėra elementarus: jis yra išplėstinis vientisinis tiesioginis sakinys su dalyvine žodžių grupe, kuri atitinka savarankiškos prasmės sakinį “Jonas baigs universitetą” (taigi, jį sudaro du elementarūs teiginiai).

Penktasis teiginys nėra elementarus: jis irgi apima du elementarius teiginius: “labai daug einšteinų šešiolikmečiais žemėje miega” ir “labai daug galilėjų šešiolikmečiais žemėje miega”.

Šeštasis sakinys išvis nėra teiginys: tiesiogiai juo nieko nekonstatuojame.

Operatorių kalbiniai atitikmenys

Operatorius atitinka jungtukai, kai kurie jungtukiniai žodžiai, skyrybos ženklai. Nurodysime pagrindinius atitikmenis.

Neigimo operatorius lietuvių kalboje.

1. Neigimo operatorių atitinka sakinio tarinio ar jo asmenuojamosios dalies neiginys “ne-”. Pavyzdžiu gali būti sakinys “Aš nevažiuoju atostogų į Havajus”.

2. Kai sakinio tarinys reiškiamas sudėtine veiksmažodžio forma, neigimo operatorių atitinka bet kurio veiksmažodžio formos dėmens neiginys, pvz., “Jonas Petraitis nėra išrinktas į Lietuvos Respublikos Seimą”, “Jonas Petraitis yra neišrinktas į Lietuvos Respublikos Seimą”.

3. Neigimo operatorių atitinka vardinės sudėtinių tarinių dalies, reiškiamos žodžiais “gaila”, “gana”, “verta”, bei neveikiamųjų ir reikiamybės dalyvių bevardės giminės formų bei jų sinonimų neiginys. Pvz., “Neverta niekams švaistyti sunkiai uždirbtų pinigų”, “Nevalia aiškinti įstatymus priešingai Aukščiausiojo Teismo išaiškinimams”.

4. Neigimo operatorių gali atitikti retorinį klausimą ar ironiją reiškiančių sakinių intonacija, pvz., “Radote kuo stebėtis!”.

5. Neigimo operatorių atitinka žodžiai “netiesa, kad”, pradedantys sakinį, pvz., “Netiesa, kad šiandien yra birželio trisdešimt pirmoji”.

6. Neigimo operatorių atitinka porinio jungtuko “ne., o.” narys “ne”: “Ne Jonas Petraitis yra išrinktas į Lietuvos Respublikos Seimą, o Petras Jonaitis”.

Jeigu neiginys yra sakinyje, prasidedančiame neapibrėžiamaisiais įvardžiais “kai kurie”, “nė vienas”, “bent vienas” arba jų sinonimais, neiginio nelaikysime neigimo operatoriaus atitikmeniu: tokiame sakinyje jis neatitinka viso teiginio neigimo.

Konjunkcijos operatoriaus atitikmenys.

Konjunkcijos operatorių atitinka:

1. jungtukai “ir”, “o”, “bet”, “tačiau”, “nors”, porinis jungtukas “nors., bet.”, “nes”, “kadangi”, “kadangi., tai.”, “kadangi., tad.” ;

2. jungtukai gali būti praleisti, tuomet konjunkcijos operatorių atitinka kablelis, išskyrus atvejus, kai kablelis atitinka jungtuką “arba”;

3. taškas tarp sakinių;

Mūsų teiginių logikos kalboje nėra operatoriaus, atitinkančio dalelytes “nei., nei.”. Poskyryje “Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas” nurodėme, kad operatorius “nei., nei.” ekvivalentiškas neigimų konjunkcijai. Sakinys, kuriame yra dalelytės “nei., nei.” pakeičiamas sudėtiniu sakiniu su neigiamais dėmenimis, sujungtais jungtuku “ir”: pvz., “Nei saulė šviečia, nei lietus lyja” pakeičiamas į “Saulė nešviečia ir lietus nelyja”.

Konjunkcijos operatorių atitinkančio jungtuko derinys su vieno iš juo jungiamų sakinių neigimu atitinka knygos poskyryje “Teiginių logikos simbolių interpretacija” pateiktos teoriškai išvestų diadinių operatorių matricos operatorius o15 ir o16. Šių operatorių jokie atskiri jungtukai neatitinka, todėl formalizuojant tekstą jie net nepastebimi ir pakeičiami konjunkcija ir konjunkto neigimu.

Silpnosios disjunkcijos operatoriaus atitikmenys.

Disjunkcijos operatorių atitinka:

1. jungtukas “arba” ir jo sutrumpintas variantas “ar”;

2. žodelis “gal”: “ Gal vakare eisiu į kavinę, o gal į teatrą”;

Kai sakinyje yra daugiau negu du veiksniai, tariniai arba papildiniai, ir paskutinysis iš jų prijungtas jungtuku “arba”, kablelis tarp šių sakinio dalių taip pat yra disjunkcijos operatoriaus atitikmuo, pvz.: sakinys “Jonas, Petras arba Antanas yra studentas” yra tiesos funkcija “Jonas yra studentas, arba Petras yra studentas, arba Antanas yra studentas”.

Mūsų teiginių logikos kalboje nėra operatoriaus, vadinamo Shefer’io štrichu. Poskyryje “Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas” nurodėme, kad Shefer’io štrichas ekvivalentiškas implikacijai su neigiamu konsekventu. Sakinys su Shefer’io štrichą atitinkančiu jungtuku “nebent” pakeičiamas implikacija su neigiamu konsekventu: pvz., “Būk už durų, nebent aš pakviesiu” pakeičiamas į “Jei aš pakviesiu, tai už durų nebebūk”.

Be to, mūsų teiginių logikos kalboje nevartojamas operatorius, vadinamas griežtąja disjunkcija. Todėl sakinį su griežtąją disjunkciją atitinkančiu jungtuku “arba., arba.” keisime į dviejų teiginių silpnosios disjunkcijos ir jų neigimų silpnosios disjunkcijos konjunkciją remdamiesi ekvivalencija ( (  ) ()  (~ ~) ): pvz., “Arba šiuo metu diena, arba naktis” (teiginys atitinka kairį ekvivalentą) keisime į “Šiuo metu diena arba šiuo metu naktis ir šiuo metu nėra diena arba šiuo metu nėra naktis”, atitinkantį dešinį ekvivalentą.

Materialiosios implikacijos operatoriaus atitikmenys.

Materialiosios implikacijos operatorių atitinka:

1. poriniai jungtukai “jei., tai.”, “jeigu., tai.”, “kad., tai.”, kurio nariai gali būti praleisti, pvz.:“Visą gyvenimą dėsi litą prie lito – būsi turtingas”.

2. jungtukai “kad”, “jei” sudėtinio sakinio pradžioje, pvz., “Kad galėčiau, kalnus nuversčiau”, “Jei galėčiau, kalnus nuversčiau”;

3. jungtukas “ir” sudėtiniuose sujungiamuosiuose sakiniuose, kurių pirmojo dėmens pradžioje eina asmenuojamoji veiksmažodžio forma, turinti loginį kirtį, pvz., “Pamatys kokį niekutį, ir niekas jam neberūpi”;

Atskirą implikacijos atvejį Implikaciją dar atitinka jungtukas “tik jei”, einantis prieš antrąjį sudėtinio sakinio dėmenį. Juo jungiamais sakinius galima pakeisti taip: “p, tik jei q” atitinka “jei ne-q, tai ne-p”. “Jei ne-q, tai ne-p” teiginių logikos požiūriu lygiareikšmis su “q  p” (tuo nesunku įsitikinti matricų metodu), tačiau “p, tik jei q” keistinas į “~q  ~p”, nes tiksliau atitinka dalelytės “tik” vartoseną kalboje: V. Ambrazo redaguotoje “Dabartinės lietuvių kalbos gramatikoje” nurodoma, kad dalelytė “tik” vartojama kokybei ir kiekybei patikslinti, kam nors išskirti, sustiprinti kokio nors veiksmo ar reiškinio keliamam įspūdžiui.

Junginį “tik jei” derėtų skirti nuo “jei tik”, kuriame prie jungtuko “jei” prisišliejusi dalelytė “tik” įtakoja tik po jos einantį sudėtinio sakinio dėmenį.

Sakinio su materialiosios implikacijos atitikmenimis dėmenų nederėtų keisti vietomis: gausime teiginį su replikacijos operatoriumi. Formalizuojant tekstus, implikacijos ir replikacijos painiojimo išvengti nėra sunku.

Replikaciją atitinka:

1. jungtukas “jei” esantis sudėtinio sakinio antrojo dėmens pradžioje;

2. junginys “tuo atveju, kai”, esantis sudėtinio prijungiamojo sakinio antrojo dėmens pradžioje.

Formalizuojant tekstą su replikacija, formalizavimo eigoje vartosime replikacijos operatorių “., jei.”. Replikacijos operatorius nepriklauso mūsų pateiktai teiginių logikos kalbai, todėl formalizavime jis bus tik pagalbinis ženklas, kurį formalizavimo pabaigoje pakeisime implikacija: replikaciją apsuksime ir pažymėsime implikacijos simboliu (apsukta replikacija tampa implikacija).

Poskyryje “Teiginių logikos operatoriai minėjome, kad replikacijos skyrimas nuo implikacijos ir griežta replikacijos formalizavimo tvarka svarbi formalizuojant tekstus, kuriuose implikacija ir replikacija turi vienodas subformules.

Sakinius jungiantys žodeliai “vadinasi”, “taigi”, “seka” reiškia ne materialiąją implikaciją, o sekmens santykį. Jie žymėtini teiginių logikos simboliu . Tekstu, kuriame aptinkami žodeliai “vadinasi”, “taigi”, “seka”, pateikiamas samprotavimas. Samprotavimo formali išraiška nėra teiginių logikos formulė. Samprotavimo formalus užrašas yra grupė formulių, kurios išdėstomos tvarka, nurodyta poskyryje “Teiginių logika ir samprotavimas”.

Pastaba. Esama žodelių, panašių į materialiosios implikacijos operatoriaus atitikmenis, kurie materialiosios implikacijos neatitinka. Pavyzdžiui, žodelis “kai” ir junginys “tuomet, kai”. Jie reiškia laiko santykius, į kuriuos teiginių logika neatsižvelgia. Be to, kiti logikos skyriai, pavyzdžiui, modalumų logika, predikatų logika aptaria kitas implikacijos operatoriaus rūšis, kurios irgi turi savo kalbinius atitikmenis. Manytume, kad siekiant išvengti painiavos, reikia apsistoti ties akivaizdžiais materialiosios implikacijos atitikmenimis, kuriuos mes ir nurodėme.

Materialiosios ekvivalencijos operatoriaus atitikmenys.

Ekvivalencijos operatorių atitinka:

1. porinis jungtukas “jei ir tik jei., tai.”;

2. junginiai “tada ir tik tada, kai.”, “tuo ir tik tuo atveju, kai.”;

Žodžiu “lygiavertiška” reiškiamas ekvivalencijos santykis tarp teiginių logikos formulių arba teiginių, todėl šiam žodžiui nesiūlytume priskirti materialiosios ekvivalencijos operatoriaus reikšmės.

Jungtukų nariai “tai” bei “kai” sakinyje gali būti praleisti, kai ekvivalentai nariai sukeisti vietomis.

Štai keletas materialiosios ekvivalencijos operatoriaus atitikmenų natūralios kalbos tekste pavyzdžių:

“Saulė šviečia tada ir tik tada, kai dieną dangus nėra apsiniaukęs”, “Vanduo plokštuma teka tuo ir tik tuo atveju, kai yra nuolydis”. “Jei ir tik jei dieną dangus nėra apsiniaukęs, tai šviečia saulė”.

Natūraliosios kalbos teksto formalizavimas.

Dabar supažindinsime su teksto formalizavimo tvarka. Formalizavimo pavyzdžiams panaudosime teisinius tekstus. Įstatymų kalboje vartojama daug teiginių – tiesos funkcijų, todėl teiginių logikos metodai padeda atskleisti įstatymų straipsnių loginę prasmę. Mūsų kasdienybėje pernelyg dažnai nusikaltimai neįrodomi, o žmonių teisės neapginamos. Manytume, kad neįrodytų nusikaltimų ir neapgintų teisių atvejų būtų mažiau, jeigu įstatymų leidėjai išsiaiškintų ir pašalintų loginius netikslumus įstatymuose, o prokurorai, advokatai ir šiaip žmonės geriau įstatymus suprastų. Juk remdamasis netiksliai suformuluotu arba paviršutiniškai suprastu įstatymu ir prokuroras, ir advokatas, ir šiaip žmogus negali įrodyti, kad yra teisus.

Tekstus formalizuojame užrašydami juos simbolių kalba. Formalizavimo dėka išryškinama tekstų loginė reikšmė. Simbolių kalba užrašytų tekstų logiškumą nesunku patikrinti teiginių logikos metodais.

Tekstų formalizavimo eigoje naudosime simbolių, kurie nepriklauso teiginių logikos kalbai. Simbolinis teksto užrašas, kuriame yra tokių simbolių, vadinamas ne teksto formule, bet teksto schema.

Teksto schemų panaudojimas formalizavimo procese padeda:

1. išvengti abejonių, kur formulėje sudėti skliaustelius;

2. išvengti replikacijos ir implikacijos supainiojimo.

Tai yra, teksto schemų panaudojimas daro formalizavimą patikimu logikos metodu.

Bendra tekstų formalizavimo taisyklė:

Teksto dalis, prasidedanti iš naujos eilutės, yra savarankiškas tekstas, kurį atitinka atskira formulė. Jo formulė arba schema konjunkcija su kita teksto dalimi nejungiama, nors prieš tai ėjęs sakinys ir pasibaigė tašku. Būtina atkreipti dėmesį į tekste pasitaikančius įvardžius: įvardžiai kartais atitinka sakinio dalis, kurios su kitomis sakinio dalimis sudaro atskirus teiginius.

Natūraliosios kalbos tekstų formalizavimo tvarka.

1. Perrašome sakinius, atskirtus taškais, šalia įvardžių skliausteliuose parašydami sakinio dalis, kurias jie atitinka. Taškais atskirtus sakinius (jei tekste tokie yra) pažymime graikiškomis raidėmis, pradedant . Vienodus sakinius žymime tokia pat raide, skirtingus – skirtinga.

2. Taškus keičiame į konjunkciją ir užrašome teksto schemą. Jei sakinys po taško prasideda iš naujos eilutės, taško į konjunkciją nekeičiame, o užrašome schemas stulpeliu vieną po kitos.

3. Tolimesnė teksto formalizavimo procedūra tokia:

2.1 Jei sakinys, atitinkantis schemos raidę, pagal elementarių teiginių požymius yra elementarus teiginys, schemos raidės nekeičiame.

2.2 Jei sakinys, atitinkantis schemos raidę, pagal elementarių teiginių požymius nėra elementarus teiginys, toliau tekstas formalizuojamas taip:

3.2.1.Sakinys, atitinkantis schemos raidę, yra sudėtinis ir sudėtinio sakinio dėmenys yra teiginiai.

Tuomet kiekvieną skirtingą sudėtinio sakinio dėmenį pasižymime sakinį atitinkančia schemos raide su skirtingu indeksu, vienodą sudėtinio sakinio dėmenį pasižymime vienoda raide su tokiu pat indeksu, sakinio dėmenis jungiantį jungtuką arba skyrybos ženklą pažymime jį atitinkančio operatoriaus simboliu ir visą gautą poschemę apskliaudžiame skliausteliais.

3.2.2.Sakinys, atitinkantis schemos raidę, yra vientisinis, bet turi dalis, kurios su likusiomis dalimis sudaro atskirus teiginius.

Tuomet performuluojame sakinį į skirtingus teiginius, pažymime tuos teiginius sakinį atitinkančia schemos raide su indeksais, teiginius jungiantį operatoriaus atitikmenį operatoriaus simboliu ir gautą poschemę apskliaudžiame.

3.2.3.Sakinys, atitinkantis schemos raidę, yra vientisinis, bet apima žodžių grupę, kurią galima pakeisti atskiru sakiniu.

Tuomet atliekame pakeitimą, pažymime gautus sakinius raide su indeksais, atitinkančia schemos sakinį, iš kurio jie gauti, sakinius jungiantį operatoriaus atitikmenį operatoriaus simboliu ir gautą poschemę apskliaudžiame.

3.2.4.Pakeičiame schemos raides gautomis poschemėmis.

3.3. Su užrašyta schema kartojame procedūrą, aprašytą punkte nr.3.2 tol, kol teksto schemoje nebelieka raidžių, kurias galima pakeisti poschemėmis.

4. Jei gauta galutinė schema turi replikacijų, apsukimu pakeičiame jas implikacijomis (žr. poskyrį “Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas”).

5. Visose galutinėse schemose tiek indeksuotas, tiek neindeksuotas graikiškas raides pakeičiame elementarių teiginių simboliais prisilaikydami teiginių logikos kalbos taisyklių (žr. poskyrį “Teiginių logikos simboliai”): graikiškas raides, žyminčias vienodus elementarius teiginius, keičiame vienodu elementaraus teiginio simboliu.

Teksto simbolinis užrašas, kuriame yra tik teiginių logikos simbolių kalbos ženklai, yra teksto formulė.

Teksto formalizavimo pavyzdys.

Formalizuosime šį įstatymo straipsnį:

Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia, jeigu jį padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo pasekmes ir jų norėjo.

Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia ir tuo atveju, kai jį padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo pasekmes ir, nors nenorėjo šių pasekmių, sąmoningai leido joms kilti.

(Lietuvos Respublikos baudžiamasis kodeksas, 9 straipsnis. Kalba netaisyta)

1. Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia, jeigu jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes ir jų (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmių) norėjo – .

Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia ir tuo atveju, kai jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes ir, nors nenorėjo šių (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmių, sąmoningai leido joms (pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmėms) kilti – 

2. Tekstodalys  ir  prasideda iš naujos eilutės: jos yra savarankiškos, taigi:





3. Nei sakinys, atitinkantis schemos raidę , nei sakinys, atitinkantis schemos raidę , nėra elementarus teiginys.

4. Sakinys, atitinkantis schemos raidę , yra sudėtinis. Jo dėmenys yra teiginiai:

nusikaltimas laikomas padarytu tyčia – 1;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes ir jų (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmių) norėjo – 2;

jungtuką “jei” prieš antrąjį sudėtinio sakinio dėmenį atitinka operatorius ;

gauta poschemė yra (1 2).

Sakinys, atitinkantis schemos raidę, yra sudėtinis. Jo dėmenys yra teiginiai:

nusikaltimas laikomas padarytu tyčia – 1;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes ir, nors nenorėjo šių (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmių, sąmoningai leido joms (pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmėms) kilti – 2;

“tuo atveju, kai.” prieš antrąjį sudėtinio sakinio dėmenį atitinka replikacijos operatorius “., jei.”;

gauta poschemė yra (1, jei 2).

5. Tekstų schemos, pakeitus raides gautomis poschemėmis, yra:

(1, jei 2);

(1, jei 2).

1 atitinkantis sakinys yra elementarus teiginys, schemos raidės 1 poscheme nebekeisime;

1 atitinkantis sakinys yra elementarus teiginys, schemos raidės 1 poscheme nebekeisime.

2 atitinkantis sakinys yra vientisinis, bet jo tariniai su likusiomis dalimis sudaro atskirus teiginius:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį – 21;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes – 22;

jų (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmių) norėjo – 23;

kablelį bei jungtuką “ir”, esantį tarp skirtingų tarinių su kitomis sakinio dalimis, atitinka konjunkcijos operatorius ;

gauta poschemė yra (212223).

2 atitinkantis sakinys yra sudėtinis, kurio dėmenys yra teiginiai:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes – 21;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo nors ir nenorėjo šių (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmių, sąmoningai leido joms (pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmėms) kilti – 22;

jungtuką “ir”, kuris yra prieš “nors” atitinka konjunkcijos operatorius ;

gauta poschemė yra (2122).

Tekstų schemos, pakeitus raides gautomis poschemėmis, yra:

(1, jei(212223));

(1, jei (2122)).

5.3.1. Teiginių 21,22,23 papildiniai su likusiomis teiginių dalimis sudaro atskirus teiginius:

21:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo pobūdį -211;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo neveikimo pobūdį -212;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (211212);

22:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo pobūdžio pasekmes – 221;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei pavojingo visuomenei savo neveikimo pobūdžio pasekmes – 222;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (221222);

23:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo pavojingų visuomenei veikimo pasekmių norėjo – 231;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo pavojingų visuomenei neveikimo pasekmių norėjo – 232;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (231232);

Teiginio 21 tariniai su likusiomis teiginio dalimis sudaro atskirus teiginius:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį – 211;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei jo (veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes – 212;

kablelį, esantį tarp skirtingų tarinių su kitomis sakinio dalimis, atitinka konjunkcijos operatorius ;

gauta poschemė yra (211212).

Teiginį 22 sudaro 2 teiginiai:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo nenorėjo pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmių – 221;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo sąmoningai leido pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmėms kilti – 222;

jungtuką “nors ir., bet.” atitinka konjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (221222);

5.3.2. Tekstų schemos, pakeitus raides gautomis poschemėmis, yra:

(1, jei((211212)(221222)(231232)));

(1, jei ((211212)(221222))).

6.3.3. Pirmosios schemos raides atitinkantys teiginiai yra elementarūs, todėl pirmosios schemos raidžių poschemėmis nebekeisime.

5.3.4. Teiginių 211,212, 221, 222 papildiniai su likusiomis teiginių dalimis sudaro atskirus teiginius:

211:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo pobūdį -2111;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo neveikimo pobūdį -2112;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (21112112);

212:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo pobūdžio pasekmes – 2121;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei pavojingo visuomenei savo neveikimo pobūdžio pasekmes – 2122;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (21212122);

221:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo nenorėjo pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo pobūdžio pasekmių – 2211;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo nenorėjo pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo neveikimo pobūdžio pasekmių – 2212;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (22112212);

222:

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo sąmoningai leido pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo pobūdžio pasekmėms kilti – 2221;

jį (nusikaltimą) padariusis asmuo sąmoningai leido pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo neveikimo pobūdžio pasekmėms kilti – 2222;

jungtuką “arba” atitinka disjunkcijos operatorius 

gauta poschemė yra (22212222);

5.3.5. Teksto antros dalies schema, pakeitus raides gautomis poschemėmis, yra:

(1, jei ((21112112)(21212122)((22112212) (22212222)))).

5.3.6. Visi antrosios schemos raides atitinkantys teiginiai, išskyrus teiginius 2211 ir 2212, yra elementarūs. Elementarius teiginius atitinkančių raidžių poschemėmis nebekeisime.

5.3.7. Teiginiai2211 ir 2212 yra su neiginiais “nenorėjo”, kuriuos atitinka neigimo operatorius ~:

teiginio 2211 poschemė yra ~ 22111

teiginio 2212 poschemė yra ~ 22121

5.3.8. Teksto antros dalies schema, pakeitus raides gautomis poschemėmis, yra

(1, jei ((21112112)(21212122)((~22111~22121)(22212222)))).

6. Abiejų teksto dalių schemose yra replikacijų. Apsukimu pakeičiame jas implikacijomis:

(((211212)(221222)(231232))1);

(((21112112)(21212122)((~22111~22121)(2221 2222)))1).

7. Gautose schemose pakeičiame graikiškas raides propozicinių kintamųjų simboliais, vienodus teiginius žymėdami vienodomis raidėmis, sutvarkome skliaustus:

((p1p2)(q1q2)(r1r2))s;

((p1p2)(q1 q2)((~r1~r2)(t1t2)))s.

Formalizavome abi įstatymo straipsnio dalis. Pavyzdžio teksto loginė struktūra pakankamai sudėtinga, todėl formalizavimo procedūra ilga. Tačiau tikslumas reikalauja būtent tokios procedūros.

Išmokus formalizuoti tekstus, sakinių dalys, kurios yra atskiri teiginiai, nenurodomos, o komentarai praleidžiami. Tuomet formalizavimas atrodytų taip:

1. Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia, jeigu jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes ir jų (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmių) norėjo – .

Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia ir tuo atveju, kai jį (nusikaltimą) padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo (pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmes ir, nors nenorėjo šių (pavojingų visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio) pasekmių, sąmoningai leido joms (pavojingoms visuomenei pavojingo visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdžio pasekmėms) kilti – 

2. 

3. (1 2) (1 2)

4. (1 ( 21 22 23)) (1 (2122))

5. (1 , jei((211212)(221222) (231232))) (1, jei ((211 212)((221 222 )))

6. (1, jei((211212)(221222)(231232))) (1 , jei ((21112112)(21212122)((2211 2212)(22212222)))

7. (1, jei ((211212)(221222)(231232))) (1, jei ((21112112)(21212122)((~22111~22121)(22212222)))

8. (((211212)(221222)(231232))1) (((21112112)(21212122))(~22111~22121)(22212222))1)

9. ((p1 p2) (q1q2)(r1r2)) s; ((p1p2) (q1 q2) (t1t2)(~ r1~ r2))s.

Pateiktos schemos yra teksto loginės struktūros medis. Brūkšniai schemoje nėra būtini.

Pastaba

Formalizuojant įstatymų straipsnius, reikia atsižvelgti į taip vadinamas teisines prezumpcijas arba įstatymų straipsnių kontekstą, išreikštą konstitucinėse nuostatose, pvz. į konstitucinę nuostatą, kad teismas, priimdamas sprendimus, vadovaujasi tik įstatymais.

Mūsų formalizuotą straipsnį paminėta konstitucinė nuostata įtakoja taip: įstatymuose yra tik tos nusikaltimo padarymo tyčia sąlygos, kurios išvardintos baudžiamojo kodekso 9 straipsnyje.

Nurodytą konstitucinę nuostatą performulavę baudžiamojo kodekso 9 straipsniui, gautume tekstą:

Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia, jei ir tik jei jį padariusis asmuo suprato priešingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo pasekmes ir jų norėjo (šios teksto dalies formulė yra ((p1 p2) (q1q2)(r1r2)) s ).

Nusikaltimas laikomas padarytu tyčia, jei ir tik jei jį padariusis asmuo suprato pavojingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį, numatė pavojingas visuomenei jo pasekmes ir, nors nenorėjo šių pasekmių, sąmoningai leido joms kilti (šios teksto dalies formulė yra ((p1p2) (q1 q2) (t1t2)(~ r1~ r2))s ).

Samprotavimų formalizavimas

Tekstą, kuriuo perteikiami samprotavimai, galima atskirti iš tekste aptinkamų žodelių “vadinasi”, “taigi”, “seka”, kurie reiškia samprotavimo išvados ir premisų santykį.

Natūralia kalba išsakyti teiginiai, iš kurių sudarytos samprotavimo išvados ir premisos, gali turėti skirtingų žodžių, tačiau reikšti tą patį. Validžiai samprotavimų formalizavimo procedūrai reikalingos gilesnės lietuvių kalbos gramatikos žinios: tų žinių, kuriomis mes rėmėmės aprašydami teiginių logikos simbolių kalbinius atitikmenis, ne visuomet pakanka.

Teiginių logikos kalba formalizuojamų samprotavimų premisos ir išvada paprastai reiškiamos taškais atskirtais sakiniais. Todėl samprotavimų formalizavimo procedūra nuo jau aprašytos teksto formalizavimo procedūros skiriasi dviem punktais:

1. Taškais atskirti sakiniai į vieną formulę nejungiami.

2. Formalizuotos premisos ir išvada surašomos tokia tvarka, kaip užrašomas formalus samprotavimas:

 premisų formulės surašomos stulpeliu, dešinėje pusėje pažymint jas santrumpa Pr;

sekmens santykį reiškiantis žodelis pažymimas ženklu dešinėje paskutinės premisos pusėje;

po ženklo užrašoma išvados formulė.

Visa kita samprotavimo formalizavimo procedūra tokia pat, kaip jau aprašytas teksto formalizavimas.

Pastaba. Jei formalizuojamas tekstas teikia samprotavimą kartu su išvedimo validumo įrodymu (dedukcija), po premisų stulpeliu surašomos visų dedukcijos žingsnių formulės. Norėtume perspėti, kad dedukcijos formalizavimas yra pakankamai sudėtingas procesas, reikalaujantis gilesnių argumentacijos teorijos žinių: tekstuose dažnai aptinkama dedukcija, kurios aprašymui teiginių logikos nepakanka, natūralia kalba išsakoma dedukcija dažnai trumpinama, praleidžiant kai kurių elementarių taisyklių taikymą.

Pateiksime samprotavimo formalizavimo pavyzdį:

Jei lyja, tai šlapia. Jei šlapia, geriau Petrui apsiauti neperšlampančius batus arba batus aukštesniu padu, jei tokius batus jis turi. Lyja. Tačiau Petrui nėra geriau apsiauti neperšlampančius batus, nes Petras jų neturi. Vadinasi, Petrui geriau apsiauti batus aukštesniu padu, jei tokius batus jis turi.

1. Jei lyja, tai šlapia. Jei šlapia, Petrui geriau apsiauti neperšlampančius batus arba batus aukštesniu padu, jei tokius (neperšlampančius arba aukštesniu padu) batus jis (Petras) turi. Lyja. Tačiau Petrui nėra geriau apsiauti neperšlampančius batus, nes Petras jų (neperšlampančių batų) neturi. Vadinasi, Petrui geriau apsiauti batus aukštesniu padu, jei tokius (aukštesniu padu) batus jis (Petras) turi.

2. Jei lyja, tai šlapia – ;

Jei šlapia, geriau Petrui apsiauti neperšlampančius batus arba batus aukštesniu padu, jei tokius (neperšlampančius arba aukštesniu padu) batus jis (Petras) turi – ;

Lyja – 

Petrui nėra geriau apsiauti neperšlampančius batus, nes neperšlampančių batų Petras neturi – ;

Petrui geriau apsiauti batus aukštesniu padu, jei tokius (aukštesniu padu) batus jis (Petras) turi – ;

3. 

4. ()()() ()

5. () (())  () ()

6. () ((()()))  () ()

7. () ((() ()))  (~) ()

8. p q q ((r s) (t u )) p t r s u

9. Formalizuotas samprotavimas:

1. pq Pr

2. q ((r s) (tu)) Pr

3. p Pr

4. tr Pr  s u

Keletas praktinių patarimų pradedantiems formalizuoti tekstus

1. Formalizuodami tekstus, nesigilinkite į tekstų loginę prasmę. Ieškokite teksto loginių atitikmenų vadovaudamiesi tuo, kas išdėstyta skyriuje “Teiginių logika ir natūralioji kalba”. Gilindamiesi į teksto prasmę galite nepastebėti, kad perėjote nuo teksto formalizavimo prie teksto redagavimo: alogizmais vadinamų teksto stiliaus klaidų taisymo ir pataisyto teksto formalizavimo. Tokio redagavimo išdava – formalizuosite ne duotą tekstą, o jo redakciją, kurią patys atlikote, ir nebeatskleisite tikrosios teksto loginės prasmės.

2. Jeigu sakinyje aptikote žodžių grupę, kuri, jūsų galva, yra elementarus teiginys, tačiau tos žodžių grupės atskiru sakiniu išreikšti negalite, pirminio teiginio simboliu žymėkite ne ją, bet visą sakinį– išvengsite klaidos teksto formulėje.

3. Per daug nepasitikėkite savo kalbos jausmu: jei abejojate, ar teisingai pakeitėte teiginiais vienodas sakinio dalis ar žodžių grupę, pasižiūrėkite, kas apie tas žodžių grupes parašyta gramatikose, arba palikite sakinį nepakeistu ir žymėkite jį pirminio teiginio simboliu. Nepakankamai išsami teksto formulė yra mažesnė blogybė už loginę klaidą.

Klausimai pakartojimui

1. Kas bendro tarp dirbtinės teiginių logikos kalbos ir kitų kalbų?

2. Kas vadinama kalbos teksto formalizavimu?

3. Kuo skiriasi teiginių logikos formulių kintamųjų keitimas teiginiais nuo kalbos tekstų formalizavimo?

4. Kokios žodžių grupės atitinka teiginį?

5. Pagal kokius požymius elementarų teiginį galima atskirti nuo sakinio, kuris nėra elementarus teiginys?

6. Kokį operatorių atitinka jungtukai “nors”, “nes”, “kadangi., tai.”?

7. Kokį operatorių atitinka taškas tarp sakinių? Kada taškas tarp sakinių nėra operatorius?

8. Kada kablelis yra disjunkcijos operatoriaus atitikmuo?

9. Kaip atskirti, ar jungtukas atitinka implikaciją, ar replikaciją?

10. Kuo skiriasi “tik jei” ir “jei tik”?

11. Kuo teksto schema skiriasi nuo teksto formulės?

12. Kodėl formalizuojant tekstą įvardžius būtina keisti žodžiais arba žodžių junginiais, kuriuos įvardžiai atitinka?

13. Ką reiškia žodeliai “vadinasi”, “taigi”, “yra pasekmė”?

14. Kaip atskirti kalba išsakytą samprotavimą nuo teksto, kuriuo samprotavimas nepateikiamas?

15. Kuo samprotavimų formalizavimas skiriasi nuo kitų tekstų formalizavimo?

Pratimai

1. Kurie sakiniai yra teiginiai, o kurie ne?

Kokia dabar mėnesio diena?

Argi įmanoma taip sunkiai dirbti?

Jei laimėsiu “aukso puodą”, nusipirksiu namą.

Būta ko čia pergyventi!

Kvadratas yra apskritas.

Po žiemos ateina pavasaris.

Ar iš tiesų dabar dvidešimt pirmas amžius?

2. Formalizuokite sakinius:

Nepranešimas apie tikrai žinomą rengiamą ar padarytą nusikaltimą užtraukia baudžiamąją atsakomybę tik baudžiamojo įstatymo specialiai numatytais atvejais.

Draudžiama versti duoti parodymus prieš save, savo šeimos narius ar artimus giminaičius.

Kai teisėjas baudžiamąją bylą nagrinėja vienas, jam pareikštą nušalinimą išsprendžia pats.

Apylinkės teismas, gavęs iš kito teismo bylą, teismingą apygardos teismui, perduoda ją apygardos teismui.

3. Formalizuokite įstatymų straipsnius ir įstatymų straipsnių ištraukas:

Parengtinį tardymą baudžiamosiose bylose daro įstatymo nustatyta tvarka paskirti prokuratūros organų tardytojai, Specialiųjų tyrimų tarnybos tardytojai ir vidaus reikalų organų tardytojai pagal savo kompetenciją.

Ieškininės senaties termino pasibaigimas iki ieškinio pareiškimo yra pagrindas ieškiniui atmesti. Jeigu teismas, trečiųjų teismas (arbitražas) pripažįsta, kad ieškininės senaties terminas praleistas dėl svarbios priežasties, pažeistoji teisė turi būti ginama.

Turto įgijėjui pagal sutartį nuosavybės teisė (patikėjimo teisė) atsiranda nuo daikto perdavimo momento, jeigu ko kita nenumato įstatymas arba sutartis.

Jeigu sutartis, kuria perleidžiamas daiktas, turi būti įregistruojama, tai nuosavybės teisė atsiranda įregistravimo momentu.

Valstybei paimti turtą iš savininko visuomenės poreikiams, išmokant jam turto vertę (rekvizicija), taip pat valstybei neatlygintinai paimti turtą kaip sankciją už teisės pažeidimą leidžiama tik Lietuvos Respublikos įstatymų nustatytais atvejais ir tvarka.

4. Formalizuokite samprotavimus. Formalizavę dedukcijos metodu įrodykite, kad išvedimas yra validus:

Jei pilietis R. kaltinamas nepagrįstai, jis turi būti išteisintas, o jei kaltinimas jam pagrįstas – nuteistas. Pilietis R. neturi būti nuteistas. Taigi, pilietis R. turi būti išteisintas.

Ir saulė šviečia, ir vaivorykštė danguje matoma. Jeigu danguje matoma vaivorykštė, tai netoliese lyja, arba mes susidūrėme su keistu atmosferos reiškiniu. Tačiau mes su keistu atmosferos reiškiniu nesusidūrėme, nes vakarų pusėje horizonte matyti gausūs tamsūs debesys. Vadinasi, netoliese lyja.

Normalioji formulės forma

Formalizavus tekstą, galima nustatyti teksto pagrįstumo tiesa rūšį. Tam sudaroma teksto formulės tiesos matrica ir pagal validžių, atsitiktinių bei nepatikimų formulių požymius, nurodytus poskyryje “Teiginių logikos formulių rūšys”, įvertinama teksto formulės tiesos lentelė. Jau formalizuoto įstatymo straipsnio pagrįstumo tiesa rūšies matricų metodu nenustatinėsime: lentelė išeitų tokia didelė (straipsnio pirmos dalies matricoje būtų 128 eilutės), kad prireiktų kompiuterinės technikos.

Tiesa, esama procedūrų, kurios sumažina eilučių skaičių. Pavyzdžiui mes galėtume nekreipti dėmesio į formalizuoto įstatymo straipsnio formulės subformules, kurias sudaro panašių teiginių disjunkcijos ir prilyginti tokias subformules kintamajam. Tokiu būdu formalizuoto įstatymo straipsnio teiginį “Nusikaltimą padariusis asmuo suprato priešingą visuomenei savo veikimo arba neveikimo pobūdį” prilygintume kintamajam p, teiginį “Nusikaltimą padariusis asmuo numatė pavojingas visuomenei savo veikimo arba neveikimo pasekmes” tartume esant kintanuoju q ir t.t. Tačiau teksto formulės supaprastinimo leistinumą reikėtų logiškai pagrįsti: nepagrįstas supaprastinimas mažintų mūsų tiriamojo darbo patikimumą.

Formulių, kurias sudaro didelis skaičius kintamųjų, pagrįstumo tiesa rūšiai nustatyti matricų metodas nėra patogus: formulių pagrįstumo tiesa rūšį patogiau nustatyti suteikiant formulei taip vadinamą normaliąją formą.

Normaliąją formą turi tokia formulė, kurioje yra tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija. Taigi normaliosios formos formulei suteikimas yra formulės transformacijos procedūra. Kaip ir transformacijos procedūroms, kurias aptarėme poskyriuose “Teiginių logikos formulė ir tiesos vertė” bei “Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas” normaliosios formos suteikimui naudojami teiginių logikos dėsniai bei formulių transformacijos taisyklės.

Normaliosios formos suteikimui naudojami šie dėsniai:

1. ~ ~p p

2. ~ (p q) (~ p ~ q)

3. ~ (p q) (~ p ~q)

4. ~ (p q)  ( p ~ q)

5. (p q) (~ p q)

6. (p q)(p q) (q p)

7. ((p qr)) ((p q)r)

8. ((p qr)) ((p q)r)

9. (p q) (q p)

10. (p q)(q  p)

11. ((p qr))(p q)(p r))

12. ((p qr))(p q)(p r))

Taip pat naudojamasi transformacijos taisyklėmis, pateiktomis poskyryje “Teiginių logikos formulių rūšys”.

Normalioji formulės forma yra dvejopa: konjunkcinė arba disjunkcinė.

Formulės normaliąja konjunkcine forma vadinama formulei ekvivalentiška formulė, kuri yra disjunkcija susietų formulės kintamųjų konjunkcija.

Pavyzdžiui formulės ~p  (q  r) normalioji konjunkcinė forma yra (~p q)(~p r)). Ši normalioji forma gaunama 12-tame dėsnyje ((p qr))(p q)(p r)) pagal nuoseklios substitucijos taisyklę kintamąjį p pakeitus į ~p: gautos formulės kairysis ekvivalentas atitinka pavyzdžio formulę, o dešinysis – pavyzdžio formulės normaliąją konjunkcinę formą.

Formulės normaliąja disjunkcine forma vadinama formulei ekvivalentiška formulė, kuri yra konjunkcija susietų formulės kintamųjų disjunkcija. Pavyzdžiui formulės p~ p ~ r) normalioji disjunkcinė forma yra formulė (p~ p) (p ~ r). Ji gaunama 11-tame dėsnyje ((p qr))(p q)(p r)) pagal nuoseklios substitucijos taisyklę kintamąjį q pakeitus į ~ p, o kintamąjį r – į ~ r.

Jeigu formulei pavyksta suteikti tokią normaliąją konjunkcinę formą, kurios visuose konjunktuose yra koks nors kintamasis ir to kintamojo neigimas, tai formulė yra validi.

Jeigu formulei pavyksta suteikti tokią normaliąją disjunkcinę formą, kurios visuose disjunktuose yra kuris nors formulės kintamasis ir to kintamojo neigimas, tai formulė yra netinkama.

Jei formulei nepavyksta suteikti normaliosios formos, kurios visose skliaustais apskliaustose subformulėse yra koks nors formulės kintamasis ir jo neigimas, tai formulė yra atsitiktinė.

Suteikdami teksto formulei normaliąją formą pagal aptartą procedūrą, galime nustatyti teksto pagrįstumo tiesa rūšį: ar tekstas yra logikos dėsnis ir neteikia sprendinių apie daiktus, ar jis yra beprasmybė (netinkamas), ar jis yra informatyvus ir pagrįstas nuo logikos nepriklausančiomis konkrečiomis teiginių reikšmėmis.

Normaliosios formos suteikimo sudėtingesnėms formulėms procedūra iš pirmo žvilgsnio nėra lengva: jai įsisavinti reikia pratybų. Tačiau išmokus šią procedūrą taikyti, įgyjami naudingi tekstų informacinės analizės pradmenys.

Pabaiga

Poskyryje “Teiginių logika ir kalba” pateikėme pavyzdžių, kurie, manytume, parodo teiginių logikos ryšį su samprotavimo praktika. Šiuo poskyriu baigiame pažintį su teiginių logika.

Praktinė logika aptariama kitame knygos skyriuje.

Loginių klasių santykiai:

1) Tapatybės, lygiareikšmiškumo A B

2) Nuošalė A B

3) Persikirtimas A B

4) Subordinacija A B

5) Koordinacija A B C

6) Rūšies, giminės B A C

Veiksmai su loginėmis klasėmis:

1) Neigimas (A) A neA

2) Sudėtis (AuB) A B

3) Daugyba (A B) A B

4) Atimtis (A-B) A B

5) Apibendrinimas A B

6) Susiaurinimas A B

Sąvokų skirstymo rūšys:

1) Dichotominis (požymio buvimas arba ne)

2) Skirstymas pagal požymio kitimą

Klasių skirstymo taisyklės:

1) Tolygumo taisyklė (padaromos 2klaidos:nepilnas skirstymas arba su bereikalingais nariais)

2) Skirstyti reikia vienu pagrindu

3) Skirstymo nariai turi būti nuošalės santykyje

4) Skirstymas turi būti nenutrūkstamas, klasifikaciją sudaro poklasiai ir t.t.

Apibrėžimų rūšys:

1) Apibrėžimas gimine ir rūšiniu skirtumu

2) Ostensinis (toks daiktas yra knyga)

3) Nominalinis (terminu.,vadinama, žodis.reiškia)

4) Deskripcinis(tas x,kuris turi predikatą y)

5) Operacinis

6) Realinis

7) Genetinis

8) Indukcinis

Apibrėžimo gimine ir rūšiniu skirtumu taisyklės:

1) Pakeičiamumo (apibrėžiamoji ir apibrėž. dalys lygiareikšmiškos)

2) Vienareikšmiškumo

3) Rato klaidos taisyklė

4) Apibrėžimas turi būti aiškus,tikslus,griežtas (apibrėžiančioji dalis negali būti neigiama)

Taisyklės kategoriniam silogizmui:

1) Kategoriniam silogizme turi būti tik Trys terminai.

2) Vidurinysis terminas turi būti suskirstytas bent vienoje premisoje (atpažint pagal konvertavimą. SaP – suskirstytas S, P-nesusk.; SiP,SoP- S,P-nesuskirstyti; apimti visus objektus ir A B- nuošalė)

3) Terminas, kuris nėra suskirstytas premisoje, nėra suskirstytas ir išvadoje.

4) Iš teigiamų premisų negalima daryti neigiamos išvados.

5) Iš neigiamų premisų išvada nedaroma.

6) Iš dalinių premisų išvada nedaroma.

7) Jei viena iš premisų yra dalinis sprendinys, tai ir išvada yra dalinis sprendinys.

8) Jei viena iš premisų yra neigiamas sprendinys,tai ir išvada yra neigiama.

Sprendinių rūšys:

1) Universalūs teigiami. Visi S yra P. (SaP)

2) Universalūs neigiami. Nė vienas S nėra P. (SeP)

3) Daliniai teigiami. Kai kurie, bent vienas S yra P. (SiP)

4) Daliniai neigiami. Kai kurie S nėra P. (SoP)

Sprendinių rūšių santykiai:

1) Kontradikcija, prieštaravimas (SiP-SeP;SaP-SoP)

2) Kontravija, priešingumas (SaP-SeP)

3) Subkontrariškumas (SiP-SoP)

4) Subordinacija (SaP-SiP, SeP-SoP)

KONVERSIJA

SaP – PiS

SeP – PeS

SiP – PiS

SoP – nevalidi

OBVERSIJA

SaP – Se-neP

SeP – Sa-neP

SiP – So-neP

SoP – Si-neP

KONTRAPOZICIJA

SaP – ne-PeS

SeP – ne-PiS

SoP – ne-PiS

SiP – nevalidi

KATEGORINIS SILOGIZMAS

I.Figūra M P

S M

Modai:

1) Aaa (BARBARA)

2) Eae (CELARENT)

3) Aii (DARII)

4) Eio (FERIO)

II.Figūra P M

S M

Modai:

1) Aoo (BAROCO)

2) Eae (CESARE)

3) Aee (CAMESTRES)

4) Eio (FESTINO)

III.Figūra M P

M S

Modai:

1) Oao (BOCARDO)

2) Iai (DISAMIS)

3) Aii (DATIS)

4) Eio (FERISON)

5) Aai (DARAPTI)

6) Eao (FELAPTON)

IV.Figūra M P

S M

Modai:

1) Iai (DIMARIS)

2) Aee (CAMENES)

3) Eio (FRECISON)

4) Aai (BRAMANTIP)

5) Eao (FESAPO)

Operatoriai:

1. Neigimas (p- netiesa,kad p)

2. Konjunkcija (p q – TKKK) ir

3. Disjunkcija (pq – TTTK) arba

4. Materialioji implikacija (p q – TKTT)

p- antecedentas,q- konsekventas; jei.;tai

5. Ekvivalencija (pq – TKKT) jei ir tik jei,tai.

6. Replikacija (p, jei q – TTKT)

7. Griežtoji disjunkcija (arba p, arba q – KTTK)

8. Šeferio štrichas (p, nebent q – KTTT)

9. .(nei p,nei q – KKKT)

Formulių rūšys:

Validžios, atsitiktinės, netinkamos.

Formulių santykiai:

1) Prieštaravimas – nesuderinami nei pagal T, nei K

2) Prieštaringumas – nesuderinami T, suderinami K

3) Subkontrariškumas – nesuderinami K, suderinami T

4) Loginis lygiareikšmiškumas – a ir b sekmenys viens kito

5) Subordinacija – a yra b sekmuo,o b – nėra a

6) Loginė nepriklausomybė – suderinami T ir K, nėra vienas kito sekmuo

NATŪRALIOSIOS DEDUKCIJOS TAISYKLĖS(TIESIOGINIS ĮRODYMAS):

1. DVIGUBAS NEIGIMAS (DN)

1) p

2) P DN 1 arba

1) P

2) P DN1

2. SIMPLIFIKACIJA ( Simp)

1) p q

2) P Simp 1 arba

1) p q

2) q Simp 1

3. ADICIJA (Add)

1) p

2) pq Add 1 arba

1) q

2) pq Add1

4. Konjunkcija (Conj)

1) p

2) q

3) pq Conj 1,2 arba

1) 

2) 

3)   Conj 2,1

5. MODUS PONENS (MP)

1) p q

2) p

3) q MP 1,2

6. MODUS TOLLENS (MT)

1) p  q

2) q

3) p MT 1,2

7. DISJUNKCINIS SILOGIZMAS (DS)

1) pq

2) p

3) q DS 1,2 arba

1) pq

2) q

3) p DS 1,2

8. HIPOTEZINIS SILOGIZMAS (HS)

1) pq

2) qr

3) p r HS 1,2

9. PAPRASTA KONNSTRUKTYVIOJI DILEMA (SCD)

1) pr

2) qr

3) pq

4) r SCD 1,2,3

10. SUDĖTINGA KONSTRUKTYVIOJI DILEMA (CD)

1) pr

2) q s

3) pq

4) rs CD 1,2,3

11. PAPRASTA DESTRUKTYVIOJI DILEMA (SDD)

1) rp

2) r q

3) pq

4) r SDD 1,2,3

12. SUDĖTINGA DESTRUKTYVIOJI DILEMA (DD)

1) r p

2) s q

3) pq

4) rs DD 1,2,3

13. SĄLYGINIO ĮRODYMO TAISYKLĖ

(Cder)

/.: p q

1) pq

2) p /.:q

3) P DN 2

4) q DS 1,3

5) p q Cder 2-4

14. NETIESIOGINIO ĮRODYMO TAISYKLĖ (Ider)

1) pq

2) p q /.: q

3) q AP

4) p DS 1,3

5) p MT 2,3

6) pp Conj 5,6

7) q Ider 3-6

ARGUMENTACIJA- tai teiginio teisingumo pagrindimas kitais teiginiais.

ĮRODYMAS- tai teiginio (teorijos) teisingumo nustatymas remiantis logikos taisyklėmis ir kitais teiginiais(teorijomis), kurių teisingumas jau žinomas.

Argumentacija gali būti skirtinga:

1. argumentuojamas teiginys logiškai susijęs su nurodytais teig.

2. išvardyti teig. Patvirtina tą teig.,arba nei viena,nei kita.

Teisinis įrodinėjimas yra ypatingas argumentacijos stvejis, kai derinami faktiniai duomenys ir loginiai įrodymai.

Įrodymas visada monologas, objektyvumas svarbu. Argumentacija yra dialogas, subjektyvus.

Argumentacijos rūšys:

1. Demonstratyvi arg. (loginis įrodymas)

2. Nedemonstratyvi

a) indukcinė arg. (nededukcinė) (argumentuojamas teig.bus tikėtinai T)

b) dedukcinė nuomonės arg. (iki galo neįrodyti tvirtinimai)

c) nededukcinė nuomonės arg. (loginio ryšio forma- nededukcinis samprotavimas)

Argumentacijos struktūra:

Pagrindas——– Tezė

Demonstracija

Tezė – tai teig.,kurio teisingumą pagrindžiame.

Pagrindas,arba argumentas,yra ta argumentacijos dalis,kuri pagrindžia tezę.

Demonstracija,arba argumentacijos būdas,yra tezės pagrindimo būdas. Jei “Bm”-tezė,”A1,A2.”_teiginiai, naudojami šioje argumentacijoje, ženklas”/.:” žymi loginę tezės ir jos prielaidų ryšio formą, o “B1,B2.”-išvestiniai teig,tai arg. Struktūra yra tokia:

1. A1 Pr

2. A2 Pr

..

n. An Pr /.: Bm

n+1 B1

n+2 B2

.

n+m Bm QED

Argumentacijos rūšys pagal arg.tikslą:

1. tiesiog arg. (norima pagrįsti tezės T)

2. paneigimas (siekiama pagrįsti tezės K)

Loginės klaidos-tai tokie protavimo ypatumai,kurie leidžia daryti nepagrįstą ar neteisingą išvadą,nors visos prielaidos yra teisingos.

Paralogizmas-loginė klaida, kurią žmogus padaro netyčia.

Sofizmas- tyčia padaryta loginė klaida,kurios tikslas-pateikti K teig. kaip T ir sutrikdyti oponentą.

Paradoksas-argumentacija, kuri įrodo teig. T ir jo K.

Tezės taisyklės:

1.tezė turi būti logiškai apibrėžta, aiški ir tiksliai suformuluota.

2. ji turi būti tapati sau viso argumentacijos proceso metu.

Šias taisykles pažeidus padaroma klaida- tezės pakeitimas (tezės praradimas arba dalinis tezės pakeitimas)

Pagrindo taisyklės:

1.Argumentuojama tik T teig. Pažeidus padaromos klaidos: klaidinga arba neįrodyta prielaida.

2. Kiekvienos prielaidos teisingumas turi būti įrodytas atskirai,t.y. atskirai nuo tezės.

Pažeidus padaroma rato klaida.

3. Argumentuojamos tezės prielaidų sekmenys negali prieštarauti vienas kitam.

4.Prielaidų tezei pagrįsti turi pakakti.Klaidos: skubota išvada arba perdaug plati arg.

5.Argumentai turi būti relevantiški.

Demonstracijos taisyklės:

Argumentacijos būdas yuri būti logiškas,t.y. tezė turi būti išvesta laikantis logikos dėsnių ir taisyklių.

Kiekvienos argumentacijos tikslas- pagrįsti tezę,t.y. ji turi būti veiksminga.

Logiškai K arg. Gali įtikinti ir įtikins klausytojus, jei;

1) nurodomas neteisingas tezės pagrindas,bet klausytojai to nė neįtaria.

2) auditorijai atrodo,jog tezė ir pagr. Susiję,nors jie ir nėra susiję.

Visa analizės procedūra atliekama tokia tvarka:

1. Konkreti arg. Išskleidžiama,tada nustatoma tezė ir jos prielaidos.

Sudaromas argumentų medis.

2. Įvertinamas pagrindo relevantiškumas, priimtinumas ir pakankamumas.

Formalioji klaida-tai logiškai nepagrįstos formos argumentas.

Tai teiginių logikos ir silogistikos klaidos.

Neformalios klaidos-tai klaidų rūšis, kuriai esant arg, turinys ir jos K tarpusavyje susiję. Tai dviprasmiškumo arba neaiškumo klaidos; nerelevantiški argumentai; faktų ignoravimas.

ARGUMENTACIJA

Kasdien prisiklausome įvairiausių teiginių ir mums svarbu žinoti, kurie iš jų yra teisingi, nes pastebime, kad vieni teiginiai akivaizdžiai prieštarauja kitiems. Nelengva nuspręsti, kas teisinga ir kuo tikėti. Todėl dažnai žmonės galvoja, kad visai neįmanoma nustatyti, kuris teiginys yra tikrai teisingas, arba, kad šis uždavinys skirtas protingesniems už juos pačius.

Kartais, bet ne visada, tikrai neįmanoma nustatyti ar teiginys teisingas ar ne. Vis dėlto, kai kuriuos teiginius mes laikome labiau įtikinamais nei kitus. Kaip gi nuspręsti, ar priežastys teigti kažkokio teiginio teisingumą yra pakankamai rimtos? Yra metodų, kurie gali mums padėti šioje situacijoje, taigi juos ir aptarkime.

Argumentacija ir įrodymas

Teiginį pripažįstame teisingu tik tuomet, kai jis yra pakankamai pagrįstas.

Tik kai kurių teiginių teisingumą laikome savaime suprantamu dalyku (“dalis yra mažiau už visumą”) arba galime patikrinti empiriškai (stebėdamas aš matau, kad “pėstysis eina per gatvę”; jaučiu, kad “cukrus yra saldus”; girdžiu, kad “kažkur loja šuo”; o atliktas eksperimentas patvirtina, kad “įtariamasis negalėjo per 10 min. patekti iš taško A į tašką B”). Kitiems teiginiams taikoma jų teisingumo pagrindimo procedūra – argumentacija – kuri įtikina teiginio teisingumu, nors pačios tiesos vertės ji nesukuria.

Įtikinimo tikslas – pakeisti žmogaus požiūrį, nuomonę ar elgesį, nenaudojant jokios prievartos. Įtikinimas yra toks poveikis žmogui, kuris neapriboja jo laisvos valios, neatima galimybės elgtis savo nuožiūra ir vertinti siūlomus sprendimus, bei jų pagrindimą. Tačiau nereikėtų įtikinimą sieti vien tik su psichologiniais (oratoriniais, stilistiniais ir kt.) veiksniais, nes visuomet svarbiausias jo elementas yra racionalus–loginis poveikis žmogaus protui, o ne jausmams ir emocijoms.

Lietuvių kalboje žodis “argumentacija” reiškia – “argumentų pateikimas, įrodymas”, t.y. žodžiai “argumentacija” ir “įrodymas” aiškinami vienas kitu. Tačiau ne visi logikai tam pritaria: šiuolaikinės argumentacijos teorijos kūrėjai pabrėžia argumentacijos savitumą – ji nėra įrodymų teorija ar mokslo metodologija, bet veikla, vykstanti konkrečiame socialiniame kontekste, o jos tikslas ne tiek pačios žinios, kiek įtikinimas tam tikrų teiginių priimtinumu. Argumentacijos prigimtį ir metodus analizuoja Argumentacijos teorija, pradėjusi formuotis dar antikos laikais, o šiuolaikinė “naujoji teorija” vystosi logikos, lingvistikos, psichologijos, sociologijos, filosofijos, retorikos ir eristikos sankirtoje.

Kuo skiriasi loginis įrodymas ir argumentacija?

Argumentacija (lot. argumentatio) – tai teiginio teisingumo pagrindimas kitais teiginiais. Panagrinėkime du pavyzdžius:

1. Advokatas apibendrina savo ginamojoje kalboje suformuluotus ir pagrįstus teiginius: “Kaltinimo pateiktų įrodymų ir medžiagos analizė rodo, kad pilietis T.T. kaltinamas nepagrįstai. Todėl prašyčiau jį išteisinti” .

Argumentuojamasis teiginys – “pilietis T.T. turi būti išteisintas”. Jo pagrindimas – “jei asmuo kaltinamas nepagrįstai, tai teismas jį išteisina” ir teiginys “kaltinimo pateiktų įrodymų ir medžiagos analizė rodo, kad piliečio T.T. kaltinimas nepagrįstas”. Pagrindo ir išvados loginio ryšio forma – deduktyvus samprotavimas.

2. Stendalis rašė, kad Meilė panaši į drugio ligą – ji gimsta ir miršta be jokio žmogaus įsikišimo.

Teiginio “Meilė panaši į drugio ligą ” pagrindas yra mintis, kad “Meilė, kaip ir liga, prasideda savaime ir baigiasi taip pat, nepriklausomai nuo žmogaus noro”, o jų loginio ryšio forma – negriežta analogija.

Taigi, argumentacija gali būti skirtinga: arba argumentuojamasis teiginys logiškai susijęs su nurodytais teiginiais (pirmasis pavyzdys), arba išvardintieji teiginiai tik patvirtina tą teiginį, arba – nei viena, nei kita. Todėl argumentuojamojo teiginio ir jį pagrindžiančių teiginių santykio analizė yra svarbi net ir tuo atveju, kai mes neabejojame paties pagrindžiamojo teiginio teisingumu. Jei išvados teisingumas yra būtinas prielaidų teisingumo sekmuo, kai prielaidos yra akivaizdžiai teisingi arba įrodyti teiginiai, tai tokia argumentacija vadinama demonstratyvia arba loginiu įrodymu**.

Taigi, Įrodymas* – tai teiginio (ar teorijos) teisingumo nustatymas, remiantis logikos taisyklėmis ir kitais teiginiais (ar teorijomis), kurių teisingumas jau žinomas. Natūralioje kalboje įrodymas reiškiamas tarpusavyje susijusiais sakiniais ir jo tikslas – nepaneigiamai įtvirtinti tezės teisingumą.

Būtent įrodymai padeda išvengti klaidų pažinime, o hipotezes ar kitas mokslines prielaidas paverčia mokslinėmis tiesomis. Pavyzdžiui, matematikoje yra įrodomas kiekvienas naujas teiginys, o biologija ne tik tiria, bet ir įrodinėja gyvybės evoliuciją, molekulinius procesus ląstelėje. Kita vertus, loginiai įrodymai naudojami ne tik mokslinėje veikloje, bet ir kasdieninėje praktikoje: pavyzdžiui, nusikaltimo tyrimas taip pat yra sudėtingas pažinimo procesas.

Teiginio teisingumo įrodymas ir įtikinimas teiginio teisingumu susiję

tarpusavyje, nors nėra visai tapatūs: juk įtikinti galima ne tik remiantis mokslo duomenimis, bet ir pasinaudojus oponentų neišmanymu ar iškalbos menu, apeliuojant į klausytojų jausmus ar prietarus. Kita vertus, nesuprastas įrodymas negali įtikinti oponento ar klausytojo, nors ir nepraranda savo pažintinės

O kaip atskirti argumentaciją nuo paprasčiausio įtikinėjimo? Įtikinėjimas dažniausia yra vienpusiškas, o argumentacijai būdingas ne tik išsamumas ir tikslumas, bet ir šaltinių patikrinamumas, perdėjimų vengimas.

________________________________________________________________

* terminas “įrodymas” Lietuvos Respublikos Baudžiamojo proceso kodekse apibrėžiamas kitaip nei logikos vadovėliuose: “įrodymai baudžiamojoje byloje yra bet kokie faktiniai duomenys, kuriais remdamiesi kvotos organas, tardytojas ir teismas įstatymo nustatyta tvarka konstatuoja pavojingos visuomenei veikos buvimą arba nebuvimą, šią veiką padariusio asmens kaltumą ir kitas aplinkybes, turinčias reikšmės bylai teisingai išspręsti”(74 str.). Šie duomenys nustatomi liudytojų, nukentėjusiojo, įtariamojo ir kaltinamojo parodymais, patikrinimo aktais, telefoninių pokalbių klausymosi protokolais ir garso įrašais, techninių priemonių panaudojimo atliekant operatyvinius veiksmus protokolais ir fotografijomis, kino juostomis, vaizdo ir garso įrašais, specialisto išvada, revizijos aktu, ekspertizės aktu, daiktiniais įrodymais, tardymo bei teismo veiksmų protokolais ir kitokiais dokumentais. vertės.

Ilgai mokslinės argumentacijos idealu (pavyzdžiu) buvo įrodymas. Todėl visa, kas neatitiko šio idealo, laikyta arba ginčytinu, arba nepriimtinu dalyku. Nors įrodymas ir įtikina, ir paaiškina, bet jo pritaikymo sfera yra gana ribota dėl daugelio žmogaus pažintinės ir praktinės veiklos ypatumų. Paaiškėjo, kad šis idealas yra nepasiekiamas: ne tik eksperimentiniuose moksluose ar priimant praktinius sprendimus, bet net ir tiksliausiame moksle neįmanoma visko įrodyti. Todėl matematikoje reikalingi neįrodomi elementarūs teiginiai (aksiomos), kurių dėka išvengiama begalinio regreso: juk jei įrodinėtume vienus teiginius kitais, kuriuos taip pat reikia įrodinėti – įrodymo procesas nesibaigtų niekada.

Vadinasi, įrodymas yra ypatingas, idealizuotas argumentacijos tipas ir tik išimtiniai argumentacijos pavyzdžiai gali būti pavadinti įrodymu. Kita vertus logika analizuoja ne įrodinėjimą aplamai, o įrodinėjimą tam tikros teorijos ar sistemos ribose.

Tiek įrodinėjant, tiek ir argumentuojant siekiama to paties tikslo – pagrįsti vieno ar kito teiginio teisingumą, bet įrodyme svarbiausia – jo objektyvumas, dėl kurio jis yra vertingas ne tik mums ir dabar, bet visiems žmonėms ir po daugelio amžių. Todėl įrodymas formuluojamas kaip uždara, nedviprasmiška sistema, kurioje iš anksto pašalintos interpretacijos galimybės.

O argumentacija yra subjektyvi, nes jai svarbu įtikinti teiginio teisingumu, o tam būtinas atviras ar spėjamas auditorijos (oponento, susirinkimo dalyvių ar visų žmonių, kurie pakankamai kompetentingi svarstyti tam tikrą klausimą) pritarimas teiginiams, esantiems argumentuojamo teiginio prielaidomis. Argumentaciją nulemia ne tik argumentatoriaus patirtis (štai kodėl ji individuali: ją sukuria konkretus autorius, parinkdamas tinkamus argumentus savo teiginiui pagrįsti), bet ir auditorijos specifika. Kaip tik todėl argumentacija niekada nebūna beasmenė, mechaniška ir neįveikiama, o tik stipresnė ar silpnesnė.

Įrodymas nuo argumentacijos skiriasi ne tik savo demonstracija, bet ir forma: jei įrodymas visada yra monologas (vienas įrodinėja, o kitas arba kiti klauso), tai argumentacija yra dialogas (kuris gali būti net ir vidinis), sąlygojamas skirtingų nuomonių, požiūrių aptariamuoju klausimu sankirtos ir įgaunantis ginčo, diskusijos ar polemikos pavidalą. Todėl šiuolaikinėje argumentacijos teorijoje argumentacijos modeliu vieningai yra pasirenkamas teisinis ginčo modelis, kuriame priešingos pusės stengiasi kuo stipriau paveikti teisėjus, bet savo pareiškimus turi pagrįsti faktais, liudininkų parodymais, ekspertizių duomenimis, daiktiniais įrodymais ir kt.

Be abejonės, demonstratyvi argumentacija yra pats įtikinamiausias teiginio, požiūrio ar nuomonės pagrindimas, nes logikos taisyklė (t.y. teiginio ir jo pagrindo ryšio forma) garantuoja tezės teisingumą, jeigu naudojami argumentai yra teisingi ir įrodyti. Tuo tarpu nedemonstratyvios argumentacijos rezultatas visada bus tik tikėtinas – t.y. teiginys dalinai pagrįstas arba jo teisingumo vertė neapibrėžta. Tačiau be šio tipo argumentacijos neįmanoma apsieiti socialiniuose ir humanitariniuose tyrinėjimuose bei darant praktinius sprendimus daugelyje svarbiausių gyvenimo sričių. Ir teisinėje praktikoje naudojamos abi argumentacijos rūšys (ir įrodymas, ir nedemonstratyvi argumentacija), nes kiekvienu konkrečiu atveju, kai ieškome tiesos arba praktinio sprendimo, ginče ar diskusijoje, argumentai ne tik nėra visuomet vienareikšmiai ir patikimi, bet gali pasikeisti dialogo metu. Todėl derėtų žinoti ir nedemonstratyvios argumentacijos rūšis:

1. Nededukcinė argumentacija – naudojami tik teisingi teiginiai, bet loginio ryšio forma – nededukcinis samprotavimas. Šiuo atveju argumentuojamas teiginys tebus tikėtinai teisingas.

2. Dedukcinė nuomonės argumentacija (čia “Nuomone” vadiname teiginius, kurių tiesos vertė nėra apibrėžta) – jei argumentacijoje naudojami ne jau įrodyti, o tik tikėtini (bent vienas) teiginiai (t.y. nuomonės), nors loginio ryšio forma – logiškai pagrįstas dedukcinis samprotavimas. Tokios argumentacijos rezultatas irgi tebus tik tikėtinas dėl argumentų tiesos vertės neapibrėžtumo.

3. Nededukcinė nuomonės argumentacija – joje ir teiginiai nėra pakankamai įrodyti, ir loginio ryšio forma – nededukcinis samprotavimas. Todėl argumentuojamojo teiginio teisingumą yra sudėtingiau įvertinti.

Teisminis įrodinėjimas yra ypatingas argumentacijos atvejis, kuriame derinami faktiniai duomenys ir loginiai įrodymai. Dar daugiau – argumentacija yra svarbiausia teisininkų veikla.

Teisminio įrodinėjimo specifiką nulemia teisinės prezumpcijos (t.y. fakto pripažinimas teisėtai patikimu, kol neįrodyta kitaip). Pavyzdžiui, nekaltumo prezumpcija, pagal kurią asmuo laikomas nekaltu, kol jo kaltumas nebus įrodytas įstatymo nustatyta tvarka ir pripažintas įsiteisėjusiu teismo nuosprendžiu. Tai reiškia, kad asmens kaltumas tiesiogiai siejamas su kaltės įrodymu, bet kaltinamasis neprivalo įrodinėti savo nekaltumo, o bet kuri abejonė dėl kaltinamojo kaltumo ar konkrečių bylos aplinkybių turi būti aiškinama kaltinamojo naudai, nes neįrodyta kaltė teisine prasme yra prilyginama įrodytam nekaltumui.

Teisminio proceso normos aiškiai atskiria ginče dalyvaujančias puses, tiksliai nurodo kokie daiktiniai įrodymai, liudijimai leistini teisminiame procese, kaip reikia apklausinėti liudytojus ir kt. Toks teisminio nagrinėjimo sugriežtinimas leidžia veiksmingiau ieškoti objektyvios tiesos, paversdama teisminį ginčą kaltinimo ir gynybos dialogu.

Klausimai pakartojimui

1. Ar kiekvienas ginčas yra argumentacija?

2. Koks yra argumentacijos tikslas?

3. Kuo skiriasi įrodymas ir argumentacija?

4. Kodėl loginių prieštaravimų neturi būti nei įrodyme, nei argumentacijoje?

5. Kuo skiriasi faktas ir nuomonė?

6. Kur naudojama nedemonstratyvi argumentacija?

Pratimai

Nustatykite, ar nors vienas pavyzdys yra argumentacija:

1. “Mano mašina nevažiuoja, nes kažkas atsitiko varikliui”.

2. “Matyt, kažkas nutiko mano mašinos varikliui, nes jis neužsiveda”.

3. “Betgi tėvai dažniausiai arba visai nesistengia, kad vaikai būtų gerai auklėjami, arba stengiasi ne taip kaip reikėtų: vieni perdėtu pataikavimu leidžia stiprėti jų aistroms, tingumui ir nerūpestingumui, kiti nesaikingu griežtumu ir mušimu kenkia sugebėjimams, atbaido nuo gerų mokslų ir būtinų darbų”(K. Narbutas).

Argumentacijos struktūra

Logikos mokslas analizuoja argumentacijos prigimtį ir jos ribas, struktūrą ir metodus, svarbiausias taisykles ir galimas klaidas, argumentacijos ypatumus skirtingose pažinimo ir veiklos srityse (nuo gamtos mokslų iki filosofijos, ideologijos ir propagandos), bei argumentacijos stiliaus pakitimus, keičiantis istorinėms epochoms, kultūroms ir mąstymo stiliui.

Kiekviena argumentacija susideda iš argumentuojamojo teiginio (tezės), jos pagrindo bei demonstracijos (argumentacijos būdo) ir, struktūros požiūriu, yra argumentuojamo teiginio sekimo iš nurodytų prielaidų demonstracija:

PAGRINDAS TEZĖ

DEMONSTRACIJA

Tezė (gr. thesis) – tai teiginys, kurio teisingumą pagrindžiame. Tezė yra svarbiausias viso argumentacijos proceso elementas: ji – centras visų pastangų galutinis tikslas. Teze gali tapti bet kuris teiginys (jei tik jo tiesos vertė nėra akivaizdi) arba teiginių sistema (teorija).

Pavyzdžiui, medicininiame tyrime teze gali būti konkreti ligos diagnozė, geometrijoje – teorema, o baudžiamojoje byloje – teiginiai apie nusikaltimo įvykį (nusikaltimo padarymo laikas, vieta, būdas ir kitos aplinkybės), teiginiai apie kaltinamojo kaltumą nusikaltimo padaryme, teiginiai apie aplinkybes, turinčias įtakos kaltinamojo atsakomybės laipsniui ir pobūdžiui, teiginiai apie nusikaltimu padarytos žalos pobūdį ir dydį.

Pagrindas arba argumentas (lot. argumentum – įrodymo pagrindas). Apie dvejopą termino “argumentas” vartojimą angliškoje teiginių logikos literatūroje jau rašyta šio vadovėlio poskyryje “Teiginių logika ir samprotavimas”. Argumentacijos teorijoje terminas “argumentas” vartojamas trečia reikšme: pagrindas arba argumentas yra ta argumentacijos dalis, kuri pagrindžia tezę.

Tezės pagrindu gali būti tiek teiginys apie faktą, tiek dedukcinis ar nededukcinis samprotavimas.

Konkrečios tezės pagrindu gali būti įvairūs teiginiai:

1. teiginiai apie faktus, kurie teikia žinių apie atskirus įvykius ar reiškinius (pavyzdžiui, medicinoje – tai paciento tyrimų rezultatai);

2. mokslinių tyrimų ir praktinės veiklos patirties apibendrinimai (pavyzdžiui, nustatytas kiekvieno žmogaus pirštų atspaudų individualumas arba nukleino rūgščių išsidėstymo genetinėje medžiagoje unikalumas);

3. terminų apibrėžimai, teisės normos;

4. aksiomos – teiginiai, laikomi teisingais be įrodymo, nes yra bendri ir akivaizdūs (pavyzdžiui, teiginys “vienas ir tas pats žmogus, vienu ir tuo pačiu laiko momentu negali būti skirtingose vietose”);

5. mokslo nustatyti dėsniai (fizikos, chemijos, biologijos ir kt.) ar įrodytos teoremos.

Kartais tezės teisingumas pagrindžiamas viena premisa, bet sudėtingesniais atvejais būtina nurodyti kelias.

Teisminiame tyrime ypatingai reikšmingi yra faktai, nes konkretus nusikaltimas tiriamas ir išaiškinamas remiantis išlikusiais specifiniais pėdsakais. Tačiau teiginius apie faktus reikia skirti nuo informacijos apie faktus šaltinių – iš kelių nepriklausomų informacijos šaltinių gauta informacija gali būti objektyviau įvertinta. O tai tikrai svarbu teisminiame tyrime.

Ypatingas informacijos apie faktus šaltinis yra mokslinių tyrimų ir praktinės veiklos patirties apibendrinimai. Teisme gali būti naudojami tik patikimi mokslinių tyrimų ir praktinės veiklos patirties apibendrinimai: atsiradus naujai teorijai, būtina jos panaudojimo sąlyga – įtikinti teismą, kad šia teorija pagrįsta informacija tikrai yra verta dėmesio.

Demonstracija arba argumentacijos būdas (lot. demonstratio – rodymas) yra tezės pagrindimo būdas. Jeigu “Bm” – tezė (teiginys, kurį norima pagrįsti), A1, A2, . An “ – teiginiai naudojami šioje argumentacijoje, ženklas “” žymi loginę tezės ir jos prielaidų ryšio formą, o B1, B2, . Bm – išvestiniai teiginiai, tai argumentacijos struktūra yra:

1. A1 Pr

2. A2 Pr

....

n. An Pr  Bm

n+1 B1

n+2 B2

.....

n+m Bm QED

Nors kiekvienas mokslas skelbia savo tezes ir naudoja savo argumentus, bet visuose juose yra taikomi logikos aprašyti tezės pagrindimo būdai. Todėl logika ypač daug dėmesio skiria argumentacijos būdui. Jei tezė yra argumento premisų loginis sekmuo, tai tezės teisingumą nulemia ne tik premisų teisingumas, bet ir tezės (arba argumento išvados) išvedimo validumas.

Kuo skiriasi argumentacija (ir įrodymas) nuo argumento (t.y. samprotavimo)? Jei tezė yra argumento išvada, tai argumentacija yra tarsi priešinga argumentui: jei argumento išvada atsiranda tik jo pabaigoje, tai argumentacija jau prasideda teze – svarbiausiuoju teiginiu, kurį reikia pagrįsti. Toks tezės pagrindimas gali įgauti dedukcijos, indukcijos, analogijos ar kt. formą, kurių kiekviena gali būti taikoma atskirai arba skirtingos derinamos tarpusavyje.

Kuo ypatingas jų taikymas įrodyme?

Dedukcinis sekmens santykio įrodymas (taikomas argumentacijoje) įgauna bendros taisyklės ir atskiro atvejo susiejimo formą. Dažniausiai tezė argumentuojama nuosekliai parodant, kad:

a) kiekviena premisa yra teisingas teiginys;

b) tezė logiškai seka iš tam tikrų premisų (pagrindo).

Pirmasis punktas (a) skiria tezės įrodymą nuo dedukcinio išvedimo validumo įrodymo, aprašyto “Moderniosios teiginių logikos” skyriuje, kur ir premisų formuluoti nereikia – premisos yra duotos, ir jų teisingumo vertė nėra svarbi. O vienas sudėtingiausių momentų dedukcinės argumentacijos (įrodymo) procese – tai tinkamų premisų parinkimas bei jų sąsajų su teze nustatymas.

Svarbiausias dedukcinės argumentacijos ypatumas – tai, kad jei pateiktos premisos yra teisingi teiginiai, tai tezė, išvesta iš jų pagal logikos taisykles, negali būti klaidinga. Tezės teisingumas – būtinas premisų teisingumo ir išvedimo validumo sekmuo.

Taigi, galime teigti, kad kiekviena dedukcinė argumentacija yra dedukcinis tezės išvedimo įrodymas, bet ne kiekvienas toks įrodymas yra argumentacija. Todėl negalima painioti išvedimo validumo įrodymo ir dedukcinės argumentacijos: išvedimo įrodymui (net ir dedukciniam) premisų tiesos vertė nerūpi, o argumentacijos premisos (kai jos yra teiginiai apie faktus) klaidingos būti negali.

Indukcinis išvedimas (kai jis naudojamas argumentacijoje) – tai loginis ryšys tarp premisų, kuriomis pateikiama informacija apie tam tikros rūšies atskirus atvejus (faktus), prie tezės, apibendrinančios šiuos ir kitus panašius atvejus. Indukcinis argumentavimo būdas naudojamas tuomet, kai akcentuojami faktiniai duomenys, o jo validumą lemia vienarūšių objektų ar reiškinių savybių pasikartojamumas. Bet tai kas būdinga atskiriems objektams ne visada yra būdinga visiems tos grupės objektams, todėl ir išvados teisingumas dažniausiai tik tikėtinas. Žinoma, jei demonstracijai panaudota pilnoji indukcija, tai tezės (indukcijos išvados) teisingumas yra neišvengiamas. Bet jei nepilnoji indukcija – tuomet tezės (išvada) teisingumo pagrindimui reikės papildomos informacijos, nes visų patikimų faktinių duomenų dar neturima. Nepilnąja indukcija tezės įrodymas (kitaip nei argumentacija) pasibaigti negali. Todėl tezės įrodyme nepilnoji indukcija yra tik argumento dalis.

Analogijos forma naudojama lyginant atskirus įvykius ir reiškinius: tai loginis ryšys tarp konkretaus reiškinio savybių teigimo, pagrįstas faktais, liečiančiais kitą konkretų reiškinį. Net jei lyginamieji reiškiniai bus panašūs savo esminiais požymiais ir neturės esminių skirtumų – išvados teisingumas visada tik tikėtinas, todėl analogija tezės įrodyme yra tik argumento (pagrindo) dalis. Bet svarbiausia analogijos funkcija – supaprastinti sudėtingus klausimus.

Kartais pabrėžiama, kad analogija tezės neįrodo, tačiau pažinime analogijos vaidmuo nepaprastai svarbus: ir moksliniame tyrime, ir praktinėje veikloje ji yra sėkmingai taikoma keliant hipotezes ir versijas. Analogijos reikšmė dar padidėja derinant ją su kitais argumentacijos būdais. Teisminiame tyrime analogija taikoma labai plačiai – atliekant daktiloskopines, trasologines ir kt. teismines ekspertizes.

Klausimai pakartojimui

1. Kiek argumentų reikia tezei pagrįsti?

2. Kodėl nuomonė nėra argumentas teisme?

3. Kuo skiriasi tezės įrodymas ir išvedimo patikimumo įrodymas?

Pratimai

1. Kokia demonstracijos rūšis panaudota šioje argumentacijoje: “Mūsų kaimynas tikras girtuoklis – Jūs tik pažvelkite į jo nosį!”.

2. Nustatykite tezę ir jos argumentus: “telefono pokalbiai ir konsultacijos nuosprendžio priėmimo metu yra esminis proceso pažeidimas, nes pažeistas pasitarimo slaptumas ir nuosprendis pagrįstas įrodymais, neištirtais teisiamajame posėdyje”.

Įrodymas, paneigimas ir kritika

Tiriamojo objekto pobūdis, mokslo ar praktikos rūšies specifika, turimų žinių apimtis ir kt. veiksniai lemia – vieno ar kelių skirtingų rūšių įrodymų prireiks konkrečiame pažinimo procese. Todėl reikėtų žinoti pagrindines jų rūšis.

Pagal tikslą argumentacija skirstomi į tiesiog argumentaciją (jei norime pagrįsti tezės teisingumą) ir paneigimą (jei siekiame pagrįsti tezės klaidingumą).

Pagal argumentacijos būdą argumentacija skirstoma į tiesioginę ir netiesioginę.

Tiesiogine vadinama tokia argumentacija, kurios demonstracijoje naudojama pilnoji indukcija arba dedukcija (išskyrus sąlyginį ir netiesioginį įrodymą: skaitykite šio vadovėlio poskyrį “Teiginių logika ir protavimas”). Jeigu konkrečios premisos yra teisingos, tai, laikydamiesi taisyklių, gausime teisingą tezę.

Teisminėje praktikoje ši argumentacijos rūšis gali būti taikoma tuomet, kai remiamasi rašytiniais dokumentais, įvykio liudininkų parodymais ir kt.

Netiesioginė argumentacija naudojama tuomet, kai dėl kokių nors priežasčių tiesioginė argumentacija yra neįmanoma arba netikslinga. Svarbiausias šio argumentacijos būdo bruožas – tai, kad grindžiama ne pati tezė, o prieštaraujantis jai teiginys – antitezė ir tik kai įsitikinama, kad antitezė nėra teisingas teiginys, daroma išvada, kad pradinė tezė yra teisinga. Taigi, netiesiogine vadinama ta argumentacija, kurioje tezės tiesos vertė pagrindžiama naudojant prieštaraujančią tezei prielaidą (antitezę).

Galimi du netiesioginės argumentacijos būdai: (1) argumentacija “nuo priešingojo” arba (2) visų klaidingų atvejų paneigimas.

Argumentacija “nuo priešingojo” – tai tezės teisingumo pagrindimas, nustatant prieštaraujančio tezei teiginio tiesos vertę. Jis atliekamas nuosekliai:

1) argumentuojamai tezei (T) suformuluojama antitezė (~T), t.y. daroma prielaida, kad antitezė yra teisingas teiginys:

1. ~T T

2) laikantis prielaidos, kad mūsų suformuluota antitezė yra teisingas teiginys, iš jos išvedami loginiai sekmenys (dažniausiai keli): “~T  S1”, “~T S2”

1. ~T T

2. ~T S1

3. ~T S2

3) loginiai antitezės sekmenys yra gretinami su teiginiais, kurių teisingumu neabejojama (nes tai įrodyti faktai ar mokslo teiginiai). Jei randame bent vieną prieštaravimą tarp antitezės sekmenų ir neabejotinai teisingų teiginių (tarkim, “~S2” yra įrodytas faktas), tai anksčiau įrodytieji argumentai laikomi teisingais, o mūsų suformuluotos prielaidos (antitezės) sekmenys įvertinami kaip klaidingi:

1. ~T T

2. ~T S1

3. ~T S2

4. ~S2

5. S2 MP 3,1

6. S2  ~S2 Conj 5,4

4) tik nustatę mūsų prielaidos klaidingumą, galime teigti, kad tezė yra teisinga:

1. ~T T

2. ~T S1

3. ~T S2

4. ~S2

5. S2 MP 3,1

6. S2 ~S2 Conj 5,4

7. T Ider 1–6 QED

Taikant šį argumentacijos būdą, labai svarbu nepamiršti, kad netiesioginė argumentacija nebus validi, kai antitezė (daromoji prielaida) suformuluojama neteisingai: pavyzdžiui, jei antitezė yra priešinga, o ne prieštaraujanti tezei, tai visa argumentacija bus niekinė, nes tokiu atveju klaidingais gali būti abudu teiginiai.

Pavyzdžiui, formuluodami antitezę tokiai tezei: “Visi Taupomojo banko apiplėšimo dalyviai buvo ginkluoti”, gausime jos neigimą – “Netiesa, kad visi Taupomojo banko apiplėšimo dalyviai buvo ginkluoti” arba galima panaudoti dalinį neigiamą teiginį -“Kai kurie Taupomojo banko apiplėšimo dalyviai nebuvo ginkluoti”. Teiginys “Nė vienas Taupomojo banko apiplėšimo dalyvis nebuvo ginkluotas” nebūtų antitezė šiai tezei.

Jeigu pagrindžiamoji tezė yra sudėtinis teiginys, tai jos antitezė turi būti viso sudėtinio teiginio neigimas: tezės “Profesorius X. buvo nužudytas arba tai savižudybė” antiteze būtų teiginys “Netiesa, kad profesorius X. buvo nužudytas arba tai savižudybė” arba ekvivalentiškas antitezei teiginys “Profesorius X. nebuvo nužudytas ir tai nėra savižudybė”, gaunamas iš antitezės pagal De Morgano dėsnį “(p q) (p q)”, pateiktą skyriaus “Teiginių logika” poskyryje “Teiginių logika ir protavimas”.

Visų klaidingų atvejų paneigimas. Tai tezės teisingumo pagrindimas, nustatant klaidingumą visų kitų tezių, suformuluotų apie tiriamąjį objektą. Ši argumentacija naudojama tuomet, kai vieną ir tą patį dalyką galima paaiškinti daugeliu būdų. Tačiau tokia argumentacija validi tik tuomet, kai yra suformuluotos tikrai visos galimos tezės. Priešingu atveju galima apmaudi klaida – liks nenagrinėta būtent ta tezė, kuri vienintelė yra teisinga. Arba gali paaiškėti, kad likusioji tezė yra proto klaida ( logiškai klaidingas teiginys).

Visos suformuluotos tezės analizuojamos kaip disjunkcijų grandinės narys: “T1 v T2 v T3 v . v Tn”. Kiekvienos tezės klaidingumas turi būti pagrindžiamas atskirai, pasirinkus tokį argumentacijos būdą, kuris yra tinkamiausias tos tezės klaidingumui pagrįsti.

Tezė, kurios klaidingumą pavyksta įrodyti, yra išmetama iš grandinės pagal disjunkcinio silogizmo taisyklę, pateiktą skyriaus “Teiginių logika” poskyryje “Teiginių logika ir protavimas”. Išmetus iš tezių grandinės visas klaidingas tezes, belieka vienintelė, kuri ir pripažįstama teisinga. T.y.:

a) TH1  TH2  TH3  .  THn

b) nustatome, kad TH2, TH3, . THn yra klaidingi teiginiai.

c) vadinasi, teisingas yra vienintelis likęs teiginys: TH1.

Prie tezės ženklo “T” raidelė “H” žymima todėl, kad visų klaidingų atvejų paneigimas dažniausiai yra taikomas įrodant vienos iš daugelio hipotezių apie tą patį reiškinį teisingumą.

Aptarkime visų klaidingų atvejų paneigimo taikymo fragmentą. Pavyzdžiui, analizuojant gaisro maisto prekių sandėlyje priežastis, suformuluojamos kelios tezės (versijos): “Šio gaisro priežastis yra tyčinis padegimas (A1), žaibas (A2) arba neatsargus elgesys su ugnimi (A3)”. Atlikę tyrimą, nustatėme, kad “~A1, ~A2”. Pagrindžiame išvadą.

Formalizuotas pagrindimas atrodytų taip:

1. A1  A2  A3

2. ~A1

3. ~A2   A3

4. A2 v A3 DS 1,2

5. A3 DS 4,3 QED

Nusikaltimų tyrimuose šis netiesioginės demonstracijos variantas taikomas tikrinant versijas. Tačiau teisiniu požiūriu netiesioginė argumentacija nėra pakankama asmens kaltei įrodyti, todėl visuomet reikalaujama dar ir papildomo versijos pagrindimo faktais – pavyzdžiui, nusikaltimo įvykio atkūrimo ir kt. Toks reikalavimas logiškai pagrįstas, nes tikrai nėra lengva suformuluoti visas galimas įvykio versijas. Visuomet lieka galimybė praleisti vieną ar kelias versijas. Jei teisinga versija liko nesuformuluota, tai tarp nagrinėjamųjų nėra nė vienos teisingos. Bet klaidos galimybė yra pašalinama, kai vienintelė likusi versija pagrindžiama dar ir tiesioginiu būdu.

Paneigimas ir kritika

Sprendžiant problemas ar svarstant teorinius klausimus, skirtingos ar net priešingos nuomonės yra neišvengiamos, todėl svarbu mokėti paneigti ar kritikuoti oponento teiginius ir sugebėti įrodyti pokalbio dalyviams, kad aptariamasis pasiūlymas nėra pagrįstas, arba, kad proponento tezė yra klaidinga.

Teiginio teisingumo pagrindimas ir paneigimas yra tarpusavyje susiję: jei pagrindžiame teiginį, tai tuo pačiu paneigiame jam prieštaraujantį teiginį, o jei paneigiame teiginį – pagrindžiame jam prieštaraujantį.

Tačiau paneigimas turi ir savo specifinių ypatybių: jei galima pagrįsti teiginio teisingumą, įrodant jo pagrindo teisingumą, tai nepaneigsite teiginio teisingumo vien tik sukeldami abejones jo pagrindu, nes net jei argumentai tikrai yra klaidingi, tai tezė vis tiek gali būti teisinga. Taigi, kritikuodami argumentus, nepaneigsime pačios tezės, tegalime tik priversti oponentą ieškoti jai kito pagrindimo.

Terminas “kritika” turi dvi reikšmes:

1. kritika – tai priešinga argumentacijai veikla, kurios tikslas yra priversti klausytojus suabejoti svarstomąja teze, nors ir ne visuomet galima įrodyti tezės klaidingumą ar nepagrįstumą. Šia reikšme terminą mes ir vartosime.

2. kritika – tai žmogaus kūrybinės veiklos tyrimo metodas, plačiai paplitęs žmogaus kūrybinę veiklą tyrinėjančiuose moksluose: filosofijos istorijoje, dailėtyroje, muzikologijoje, literatūros moksle ir kt. Šios kritikos tikslas – aptarti kūrybinės veiklos produktų vertę, atskleisti jų privalumus ir trūkumus, bei išryškinti tas kūrybinės veiklos produktų autoriaus idėjas, kurios yra pagrindas tolimesnei žmonių kūrybinei veiklai. Yra kritinio žmogaus kūrybinės veiklos tyrimo metodai, bet jų aptarimui reikia gilesnių logikos žinių. Todėl plačiau kritikos antrąja reikšme mes šiame vadovėlyje neaptarsime.

Tačiau kritika visada turi būti konstruktyvi. Tai reiškia:

1. kritikuojant yra geriau išlikti solidarumo su kritikuojamuoju pozicijoje (juk sieja tikslas), bet nevaidinti vienintelio tiesos žinovo;

2. kritikuodami aiškinatės savo santykius ne su autoriumi, kūriniu, politiku ar valdininku, bet su jų darbo objektu ir rezultatu;

3. kritikuojama tik dėl to, kas padaryta ar pasakyta, bet ne už tai, ko nepadaryta;

4. negalima liesti moralinių aspektų, jei moraliniai dalykai nėra svarstymo objektas;

5. suprasti klaidų priežastis ir pasiūlyti naujus sprendimo būdus.

Paneigimu (arba loginiu paneigimu) vadinamas tezės klaidingumo arba nepagrįstumo nustatymas loginėmis priemonėmis ir kitais teiginiais. Kadangi paneigimo tikslas – sugriauti ankstesniąją argumentaciją, kurios struktūra yra trinarė, todėl galimi keli paneigimo būdai, kuriuos galima taikyti kiekvieną atskirai arba visus kartu:

1. tezės paneigimas (tiesioginis ir netiesioginis);

2. naudoto pagrindo kritika;

3. demonstracijos kritika.

Tezės paneigimas gali būti tiesioginis ir netiesioginis. Jis atliekamas keliais būdais:

(1) tiesioginis paneigimas faktais – tai pats sėkmingiausias paneigimo būdas. Reikia pateikti konkrečius faktus, prieštaraujančius tezei: įvykio liudytojų parodymus, statistinius duomenis, eksperimento rezultatus ar kt.

(2) netiesioginis paneigimas (dar vadinamas reductio ad absurdum) tai tezės pasekmių klaidingumo arba prieštaringumo nustatymas. Jis atliekamas nuosekliai: iš tezės išvedami sekmenys, kurie yra lyginami su turimais faktais arba jau įrodytais teiginiais. Jei aptinkamas neatitikimas arba prieštaravimas, tai tezė laikoma neteisinga arba nevalidžia.

Pavyzdžiui, kaimynai teigė, kad ponios D. žudikas yra jos vyras (K). Analizuodamas įvykio aplinkybes, tardytojas nustatė, kad, ponas D. negalėjo nužudyti savo žmonos, ponios D., nes minėtoji ponia buvo nušauta savo namuose ketvirtadienį apie 17 val. Jeigu žudikas yra jos vyras (K), tai jis tuo laiku irgi turėjo būti (buvo) namuose (B). Bet ponas D. dalyvavo viešame susirinkime kitoje miesto dalyje ir jį matė daugybė liudininkų, t.y. ponas D. tuo laiku tikrai nebuvo namuose(~B):

1. K  B

2. ~B ~K

3. ~K MT 1,2 QED

(3) netiesioginis tezės paneigimas, pagrindžiant antitezę – suformuluojamas ir įrodomas teiginys, prieštaraujantis kritikuojamai tezei (antitezė) ir tezės klaidingumas tampa akivaizdus.

Pavyzdžiui, tezė “Petras P. dalyvavo MAXIMA bazės apiplėšime” bus paneigta, jei įrodysime, kad Petras P. tuo metu kai vyko minėtas nusikaltimas, svajojo apie požeminį tunelį iš savo kameros kalėjime į laisvę.

Pagrindo kritika – tai oponento pavartotų teiginių detali analizė, įvertinimas ir kritika. Tačiau net ir nustatę, kad vienas iš argumentų (arba nors ir visi) yra klaidingi arba nepagrįsti teiginiai, kritikuojamąją tezę tegalėsite vadinti tik neįrodyta, bet ne klaidinga. Tezė gali būti teisingas teiginys, nors ir netinkamai įrodytas, nes ne visada lengva rasti tinkamą pagrindą. Pavyzdžiui, net visai nekaltas žmogus gali neturėti jokių savo nekaltumo liudininkų (išskyrus katiną ar kambarines gėles).

Demonstracijos kritika – klaidų, esančių nagrinėjamos tezės argumentavimo būde, suradimas ir įvertinimas. Pavyzdžiui, jei argumentacijoje pažeistos dedukcijos taisyklės, tai net teisinga tezė neseks iš teisingų prielaidų, kiek besakytume: “vadinasi,.”; “iš to seka, kad .” ar kita. Vien natūralios kalbos išraiškos nesukurs loginio sekimo santykio. Taigi, demonstracijos kritika irgi neišsprendžia tezės tiesos vertės klausimo galutinai.

Klausimai pakartojimui

1. Kuo skiriasi tiesioginė ir netiesioginė argumentacija?

2. Kodėl moksle naudojami netiesioginiai įrodymai?

1. Koks logikos dėsnis yra visų netiesioginių įrodymų pagrindas?

2. Kuris tezės paneigimo būdas atrodo įtikinamiausiai?

Pratimai

1. Argumentuotai paneikite šį teiginį: “Tiesioginis tezės paneigimas – vienintelis tezės paneigimo būdas”.

2. Kokį argumentacijos būdą (ir kodėl) pasirinktumėte Ouldo ir Kano dėsnio pagrindimui: “Pasitarimo efektyvumas atvirkščiai proporcingas dalyvių skaičiui ir sugaištam laikui”.

3. Jei asmuo kaltinamas (neturint įkalčių) kriminaliniu nusikaltimu, jis gali: (1) visais įmanomais argumentais įrodinėti savo nekaltumą arba (2) nepripažinti savo kaltės ir reikalauti, kad kaltinimas būtų įrodytas. Kurį kelią pasirinktumėte Jūs ir kodėl?

Įrodymo ir argumentacijos taisyklės

Teiginio įrodymas – tai parodymas, kad jo išvedimo procese nėra jokios klaidos: pradedant teiginio pagrindo (faktų ir aksiomų) neabejotinu teisingumu ir paeiliui atskleidžiant visą tezės (išvados) formavimo procesą. Tiek argumentacijos, tiek ir kritikos procese galimos įvairios klaidos, menkinančios tezės validumą. Pačios įdomiausios yra loginės klaidos. Bet nebūtų tikslu apibūdinti loginę klaidą tik kaip suklydimą samprotavime ar konkretaus teiginio teisingumo pagrindime. Loginės klaidos skiriasi nuo fakto klaidų, kurios parodo konkretaus fakto ir teiginio apie tą faktą neatitikimą. Pavyzdžiui, teiginys “Nemenčinė yra didžiausias Lietuvos miestas” – klaidingas, kadangi prieštarauja tikrovei.

Vadinasi, loginės klaidos – tai tokie protavimo ypatumai, kurių dėka gaunama nepagrįsta arba neteisinga išvada, nors visos prielaidos yra teisingos. Svarbu žinoti, kad loginės klaidos yra nepaprastai paplitę ir atrodo pakankamai įtikinančiai, ypač jei nelabai įdėmiai skaitome ar klausome kalbėtojo. Loginių klaidų pavyzdžių lengva prisirinkti laikraščiuose, reklamoje ir kt. Kita vertus, kartais tikrai nėra lengva įvertinti teiginio pagrįstumą, kuris gali būti silpnas, gana griežtas ar pakankamas.

Panagrinėkime plačiau logines klaidas. Loginės klaidos padaromos tyčia arba netyčia. Loginė klaida, kurią žmogus padaro netyčia – vadinama paralogizmu (gr. paralogismos – klaidinga išvada). Netyčinių klaidų priežastys būna įvairios: neatidumas, nepakankamos logikos žinios, menka mąstymo kultūra, skubėjimas ir kt.

Tyčia padaryta loginė klaida samprotavime, kurios tikslas pateikti klaidingą teiginį kaip teisingą ir sutrikdyti oponentą – vadinama sofizmu (gr. sophisma – prasimanymas, vingrybė). Skirtumas tarp paralogizmo ir sofizmo greičiau psichologinis (sąmoningai arba netyčia), todėl galima teigti, kad sofizmų yra ne mažiau nei netyčinių klaidų, gal ir daugiau. Pavyzdžiui, jei proponentas, pats to nepastebėdamas, pakeitė tezę – tai netyčinė klaida, bet jei, matydamas tokio pakeitimo naudą sau, pakeistąją tezę pakartoja sąmoningai, vildamasis, kad niekas to pakeitimo nepastebės – tai jau sofizmas. Sofizmais dabar yra vadinami ir tie samprotavimai, kuriuose padaryta tyčinė klaida, o žmonės darantys tokias klaidas – sofistais. Senovės Graikijoje sofistais buvo vadinami vienos filosofinės mokyklos atstovai, kurie garsėjo dar ir tuo, kad už mokestį mokė kitus meno ginčytis: kaip silpną argumentą paversti stipriu, stiprų – susilpninti ir visuomet nugalėti ginče. Tačiau sofistai pirmieji atskleidė tikrąją žodžio jėgą ir padėjo pamatus logikos mokslui, paversdami kalbą analizės objektu. Jie tai darė savotiškai – atskyrę mintį ir jos objektą, bei nesirūpindami jų atitikimu vienas kitam – sofistai visą dėmesį skiria žodžiui. Tie pirmieji kalbos ir mąstymo loginės analizės bandymai, formalus sofistų požiūris į kalbą, suformavo prielaidas vienai svarbiausių logikoje – “loginės minties formos” sąvokai.

Patį terminą “sofizmas” mes dažniausiai vertiname neigiamai, kaip sąmoningą apgaulę. Iš tiesų, pavyzdžiui, garsusis sofizmas “Ragai”- “Tu turi tai, ko nesi pametęs; ragų nepametei; vadinasi, esi raguotas” – tai būdas įtikinti žmogelį, kad jis yra ne tik raguotas, bet sparnuotas ir t.t. Kitas sofizmas irgi tarsi “įrodinėja”: “Kad matytum, akys visai nebūtinos, juk neturėdami dešinės akies mes pasaulį matome; neturėdami kairės – irgi matome; kitų akių, išskyrus kairę ir dešinę, neturime, vadinasi, akivaizdu, kad akys nėra būtinos regėjimui”.

Ypatinga sofizmų rūšis yra matematiniai sofizmai, kurių sugalvota pakankamai daug: manytume, kad kiekvienas Jūsų esate nors kartą girdėjęs kaip įrodinėjama, kad “2 • 2 = 5” arba kad “5 = 1” ir pan. Demaskuoti juos nėra sunku – tereikia nurodyti, kokią elementarią matematikos taisyklę pažeidžia argumentuotojas.

Argumentacijos požiūriu, sofizmai – tai subtili ir užmaskuota apgaulė, pagrįsta kalbos ar logikos taisyklių pažeidimu, kurią atskleisti ją pavyksta ne iš karto ir ne kiekvienam. Taigi sofizmai tėra išoriškai susiję su svarstomu klausimu, bet jie – tik tariama kliūtis, nesukelianti rimtų loginių problemų.

Tačiau reikėtų žinoti, kad šalia loginių klaidų, egzistuoja ir ypatingi protavimo atvejai – paradoksai. Paradoksais (gr. paradoxos – netikėtas) natūralioje kalboje vadinamas netikėtas, neįprastas teiginys, kuris tarsi prieštarauja sveikam protui. Tačiau logikos mokslas paradoksu vadina argumentaciją, kuri įrodo teiginio teisingumą ir jo klaidingumą.

Koks yra sofizmų ir paradoksų santykis?

Nors riba tarp sofizmų ir paradoksų nėra labai griežta ir kai kuriais atvejais tikrai sunku nuspręsti, kuriai grupei priskirtinas konkretus samprotavimas, bet kitaip nei sofizmai, paradoksai yra vertinami labai rimtai – paradoksas teorijoje rodo jos netobulumą. Kita vertus, reikia pripažinti, kad paradoksai yra labai svarbūs pažinimo proceso elementai – jie neabejotinai skatino mokslo vystymąsi, juk sakoma, kad suformuluoti problemą yra svarbiau ir sunkiau, nei ją išspręsti. Pavyzdžiui, ne tik Zenono paradoksai įtakojo matematiką ir fiziką, bet ir daugelis dabartinių mokslo teorijų atsirado ne be paradoksų įtakos: Tarskio semantika, kvantinė mechanika ir kt. Tačiau ar visada paradoksai susiję su mokslo krizėmis, o gal nevisų paradoksų gnoseologinė vertė vienoda?

Paradoksai tikrai nėra loginės klaidos, tuo labiau – mūsų nagrinėjamu aspektu. Filosofai seniai tyrinėja paradoksus, o paradoksų įvairovė tiesiog stebina: juk tarp jų yra ir tokių, kurie jau kelis tūkstantmečius erzina net profesionalius logikus. Pavyzdžiui, Eubulido suformuluotas “aš meluoju”: jei šis teiginys yra teisingas, tai jį reikia laikyti klaidingu, nes juk aš pasakau tiesą; o jei šis teiginys yra klaidingas, tai jis bus teisingas, nes tikrai sakau netiesą.

Arba nekart girdėta taisyklė -“nėra taisyklės be išimties”: juk jei ši taisyklė yra teisinga, tai ji turėtų galioti ir sau pačiai. Vadinasi, būtinai yra nors viena taisyklė, neturinti išimčių. Bet jeigu tokia “taisyklė be išimties” egzistuoja, tuomet ar galime teigti, kad mūsų aptariamoji taisyklė – teisinga.

Paradoksų istorija savo trukme nenusileidžia net filosofijos istorijai, bet XX amžiuje įvairiausių paradoksų buvo rasta gal daugiausia. Pavyzdžiui, MacTaggart’o paradoksas (suformuluotas 1908 m.) skelbia, kad laikas yra nerealus. Paradoksas atsiranda dėl skirtingų laiko suvokimo būdų: mes suvokiame laiką kaip dinaminį procesą, nes įvykiai vyksta iš praeities-per dabartį-į ateitį. Bet, kita vertus, tie patys įvykiai yra išsidėstę tam tikra tvarka, kuri išreiškiama santykiu “anksčiau (vėliau) negu.” ir šis laiko suvokimas yra vadinamas statiniu. O šios dvi koncepcijos, anot MacTaggart’o, yra nesuderinamos.

Nors paradoksų yra ir pačioje logikoje, bet tik logikos priemonės leidžia analizuoti įvairių sričių paradoksus.

Plačiausiai žinomi religiniai paradoksai (pavyzdžiui, a)“Ar gali Dievas sukurti akmenį, kurio negalėtų pakelti?”; b)“Dievo visagalybė ir blogio egzistavimas”; c) priskiriamas Tertulianui “Credo quia absurdum est”;) arba mediko-biologiniai (pavyzdžiui, a) kai ligonis pasveiksta, nors jo patologija yra nepagydoma; b) gyvybės ir mirties santykis; c) normos ir patologijos paradoksas;).

Literatūroje egzistuoja skirtingi požiūriai į paradoksus – kai kurie autoriai teigia, kad visi paradoksai yra lemtingai neišsprendžiami, bet daugelis paradoksus laiko negatyviu reiškiniu ir stengiasi juos “įveikti”(pavyzdžiui, tikslinant terminus).

Tačiau paradoksai atsiranda ne dėl padarytų tyčinių ar netyčinių loginių klaidų (nes samprotaujama taisyklingai), o dėl visai kitų priežasčių: tradicinio požiūrio į naujus praktinius ir teorinius fenomenus nepakankamumo arba dėl neteisingai įvedamos abstrakcijos (pavyzdžiui, neatskiriama objektinė kalba, kuria suformuluotas teiginys nuo metakalbos, kuri naudojama objektinei kalbai aprašyti, t.y. konkrečiuose moksluose vis dar egzistuoja neaiškiai apibrėžtos ar net prieštaringos sąvokos, principai arba pažinimo metodai).

Įvairių kalbos lygių neatskyrimas yra daugelio garsių paradoksų priežastis. Pavyzdžiui, tokio žinomo kaip “miesto meras” arba 1902 metais B.Raselo suformuluoto paradokso pagrindu atsiradusio “visų normalių katalogų katalogo”:

Šio paradokso esmė ta, kad visi katalogai yra skirstomi į dvi rūšis: 1) normalūs – tie katalogai, į kuriuos neįtraukti jie patys; ir 2) nenormalūs – t.y. tie katalogai, kurie taip pat yra įtraukti į savąjį katalogų sąrašą. Jei bibliotekininkas turi sudaryti visų normalių ir tik normalių katalogų katalogą, tai ar privalo paminėti jame ir tą, kurį pats sudarinėja? Jei jis įtrauks savąjį, tai jo sudarinėjamasis katalogas taps nenormaliu – vadinasi, negalima to daryti. Bet jei savojo neįtrauks, tai jo katalogas bus nepilnas, nes vieno katalogo jame nebus. Taigi, bibliotekininkas savojo katalogo negali nei įtraukti, nei neįtraukti į sudarinėjamąjį katalogą.

Minėtąjį paradoksą, kaip ir kitus šio tipo paradoksus, siūloma spręsti bet kuriuo būdu fiksuojant sąvokos “normalus katalogas” apimtį: pavyzdžiui, nustatant tam tikrą apribojimą (laiko ar vietos).

Vienas pačių žymiausių sofistų yra graikų filosofas Protagoras, gyvenęs V a. pr. Kr. Vienas jo gyvenimo momentas tapo garsaus paradokso “Protagoras ir Euatlas” pagrindu:

Protagoras turėjo mokinį vardu Euatlas. Pagal mokytojo ir mokinio susitarimą Euatlas turėjo sumokėti už mokslą po to, kai laimės teisme pirmąją bylą. Tačiau baigęs mokslus Euatlas teismuose nedalyvavo ir Protagorui už mokslą nemokėjo. Tada Protagoras padavė Euatlą į teismą, sakydamas: “Jei laimėsi šią bylą, tai turėsi sumokėti man pagal mūsų susitarimą. O jei pralaimėsi šią bylą, tai sumokėsi man pagal teismo sprendimą. Ar laimėsi, ar pralaimėsi bylą – vis tiek turėsi man sumokėti”. Euatlas, vertas savo mokytojo mokinys, jam atsakęs taip: “Jei laimėsiu šią bylą, man nereikės mokėti už mokslą pagal teismo sprendimą, o jei pralaimėsiu, tai nemokėsiu pagal mūsų susitarimą. Vadinasi, ar laimėsiu, ar pralaimėsiu – pinigų vis tiek nemokėsiu”.

Protagoras šį ginčą nagrinėjo savo kūrinyje “Ginčas dėl užmokesčio”(kuris vėliau dingo, kaip ir dauguma Protagoro darbų). Nuo tada jau ne vienas mąstytojas bandė išspręsti šią problemą. Vieną sprendimą pasiūlė G.Leibnicas, teigdamas, kad net painiausi atvejai gali būti išspręsti sveiko proto priemonėmis. Anot G.Leibnico, teismas turėjo atmesti Protagoro ieškinį, kaip pateiktą netinkamu laiku, bet palikti Protagorui teisę pareikalauti iš Euatlo pinigų vėliau – kai tas laimės savo pirmąjį teismo procesą.

Buvo siūlomi ir kiti šio paradokso sprendimai:

1) teismo sprendimas turi daugiau galios, nei privatus asmenų susitarimas;

2) jei kiekvienas darbas turi būti atlygintas, tai ir Protagoro – taip pat;

3) kažkiek teisūs yra abu – ir Protagoras, ir Euatlas – tačiau kiekvienas apeliuoja tik į tas aplinkybes, kurios naudingos jam pačiam. Taigi, kuri iš keturių galimybių taps realybe – sprendžia ne logika, o pats gyvenimas;

4) yra tiesiog neimanoma įvykdyti ir teismo sprendimą, ir sutartį. Pati sutartis yra prieštaringa: pagal ją Euatlas privalo mokėti ir nemokėti už mokslą tuo pačiu metu (kai kurie logikai teigia, kad jei sąvoka “pirmoji teisme laimėta byla” sutartyje būtų apibrėžta griežčiau – pavyzdžiui, kaip toks atvejis, kai Euatlas yra atsakovas byloje, tai jis turėtų sumokėti už mokslą net ir teismui savo sprendimu atleidus jį nuo mokėjimo).

Koks gi paradoksų vaidmuo logikoje?

Paradoksų buvimas parodo ne logikos mokslo silpnumą, o stiprybę. Juk neatsitiktinai paradoksai atrandami būtent intensyvaus logikos mokslo vystymosi laikotarpiais. Be to, paradoksai griauna mūsų pasitikėjimą įprastais teorinio mąstymo būdais (nors tie anksčiau atrodė natūralūs ir tokie įtikinantys), bei kritikuoja intuityvią naiviąją logiką.

Tačiau paradoksų vaidmuo moksliniame pažinime tikrai ypatingas: dažnai jie yra krizinės situacijos indikatoriai ir taip skatina naujų tiriamųjų programų atsiradimą. Kita vertus, neretai būtent paradoksai parodo konkrečios teorijos teisingumo ribas.

O kaip galėtume išvengti klaidų argumentacijoje?

Išvengti klaidų argumentacijos procese padeda specialios, teoriškai pagrįstos taisyklės, skirstomas į tris grupes: tezei, prielaidoms ir demonstracijai.

Tezės taisyklės.

Ar visada argumentaciją reikia pradėti tezės formulavimu?

Tai nebūtina daryti polemikoje, jei dalyviams jau žinomas kalbančiojo požiūris diskutuojamu klausimu, arba jeigu analizuojamas reiškinys ar konkretūs faktai, kurių įvertinimas (t.y. tezė) tampa pasisakymo užbaigimu. Kita vertus, jei kalbėti pradedama tezės formulavimu, tai tiek oponentams, tiek ir likusiems pokalbio dalyviams yra lengviau sekti bei suprasti visą oratoriaus argumentaciją. Tačiau kiekvienam diskusijos, polemikos ar ginčo dalyviui svarbu žinoti pagrindinius reikalavimus tezei, kurie leidžia tikėtis sėkmės argumentacijoje:

1. Tezė turi būti logiškai apibrėžta, aiški ir tiksliai suformuluota.

Jeigu kalba galėtume tobulai išreikšti savo mintis, o mūsų mintys visada būtų aiškios mums patiems, tai šios taisyklės mokytis gal ir nereikėtų. Ko gi reikalaujama?

1) Jei tezė nėra logiškai apibrėžta – ją sunku tiek pagrįsti, tiek ir paneigti. Todėl svarbu kad būtų aiškūs (arba apibrėžti) visi tezėje panaudoti terminai. Kai kurie žodžiai yra daugiareikšmiai, o tas pats terminas gali būti apibrėžtas skirtingai, todėl geriau žinoti kuo daugiau jo apibrėžimų.

2) Visada reikėtų patikslinti įrodymo teze einančio teiginio kiekybinę charakteristiką: ar kalbama apie vieną, kelis ar apie visus tos klasės objektus. Pavyzdžiui, neįmanoma pagrįsti teiginio “Italai labai muzikalūs” teisingumo, nes neaišku, kas būtent teigiama: ar kad visi italai, be išimties, yra muzikalūs, o gal turima omeny tik tam tikra jų grupė. Kai kurių žodžių svarba argumentuojant yra išties didelė (pavyzdžiui, “kai kurie”, “dauguma”, “dažnai” ir kt). Jei minėtas teiginys būtų suformuluotas korektiškai (“Kai kurie italai labai muzikalūs”), tai gal nebereikėtų jo įrodinėti. Dar svarbiau taikyti minėtą reikalavimą, kai teigiama, kad “Anksčiau gyvenimas buvo geresnis”, nes šiuo atveju neaišku viskas – nei kada “anksčiau”, nei kieno gyvenimas, nei ką turėtų reikšti terminas “geresnis”.

3) Konkrečioje argumentacijoje gali būti labai svarbus tezės modalumas: logiškai būtiną (t.y. proto sąlygotą) ar faktinį (kuris logikos požiūriu yra vienas iš logiškai galimų) tezės teisingumą norima pagrįsti.

4) Būtina patikslinti, ar tezė – teiginys, kuris visuomet teisingas (proto tiesa), visuomet klaidingas (nesąmonė) ar tik tikėtinas (spėjimas): pavyzdžiui, paplitęs posakis “Jei saulė leidžiasi į debesį, tai rytoj lis” yra tikėtinas teiginys, t.y. spėjimas.

5) Taip pat reikėtų patikslinti laiką, apie kurį kalbama tezėje (pavyzdžiui, ką reiškia žodeliai “artimiausiu metu” šiame kontekste ar pan.).

6) Tuo atveju, kai tezė yra sudėtinis teiginys, ji turėtų būti skaidoma į tas sudėtinio teiginio dalis, kurios parodo esminį argumentuojamo požiūrio skirtingumą nuo kitų požiūrių. Tokios dalys svarstomos ir argumentuojamos (įrodinėjamos) viena po kitos. Ši tezės taisyklė taikoma ir formuluojant antitezę netiesioginėje argumentacijoje.

7) Kito asmens suformuluotos tezės kritiką ar paneigimą geriausia pradėti tos tezės pakartojimu, o tęsti, tik gavus oponento patvirtinimą, kad jo mintis suprasta teisingai (kaip darydavo senovės filosofai); visais kitais atvejais yra būtina pateikti tikslią ir išsamią citatą. Tai sąlygoja ir pačios kritikos objektyvumą.

2. Tezė turi būti tapati sau visame argumentacijos procese.

Ši taisyklė draudžia keisti jau suformuluotą tezę argumentacijos metu, o jeigu dėl kokių nors priežasčių norima patikslinti ar pakeisti tezę, tuomet apie keitimą būtina įspėti oponentą ir klausytojus. Įrodyme tokio pakeitimo leistinumą reikia pagrįsti.

Abi tezės taisyklės, reikalaujančios loginio tikslumo, apibrėžtumo ir nekintamumo nėra sudėtingos, bet jų pažeidimus būtina iškart demaskuoti. Tai daryti bus lengva, jei žinosite, kad pažeidus minėtas taisykles padaroma klaida yra vadinama tezės pakeitimu. Ji sutinkama keliais pavidalais:

a) tezės praradimas – suformuluojama tezė, bet ji tarsi paliekama ir argumentuojamas kitas teiginys, nors ir susijęs su teze tiesiogiai arba netiesiogiai, po to pereinama prie trečiojo teiginio svarstymo ir t.t., kol galiausiai visai pamirštama pradinė tezė (ši klaida padaroma, kai nebesugrįžtama prie pradinės tezės po gal ir būtino nukrypimo);

b) dalinis tezės pakeitimas – oratorius keičia savo pradinį (pernelyg griežtą ar bendrą) teiginį, jį sušvelnindamas arba, atvirkščiai – išplečia ir sustiprina (pavyzdžiui, vietoj teiginio “Kaltinamasis nėra kaltas” argumentuojamas teiginys “Šis žmogus nesuvokė ką daro”);

Pagrindo taisyklės

Prielaidos argumentacijai turi būti parenkamos labai atidžiai, vengiant silpnų ar abejotinų. Bet reikia žinoti, kad:

1. Argumentuojama tik teisingais teiginiais.

Jei argumentuodami pažeisite šią taisyklę – klaidos neišvengsite. Greičiausiai tai bus viena iš dviejų klaidų:

a) klaidinga prielaida – kai klaidingas teiginys pateikiamas kaip tezės prielaida (t.y. teisingas teiginys). Pavyzdžiui, teiginys “Nė vienu vyru pasitikėti negalima” argumentacijoje “Antanaičiu pasitikėti negalima (tezė), nes jis yra vyras, o nė vienu vyru pasitikėti negalima”;

b) neįrodyta prielaida – t.y. argumentacijoje panaudotas teiginys, kurio teisingumas nėra nustatytas. Pavyzdžiui, teiginys “Pasaulio pabaiga jau čia pat” argumentacijoje “Nėra ko rūpintis asmenine gerove (tezė), nes pasaulio pabaiga jau čia pat (argumentas)”.

2. Kiekvienos prielaidos teisingumas turi būti įrodytas autonomiškai, t.y. nepriklausomai nuo tezės.

Tai reikalavimas dar kartą patikrinti naudojamas prielaidas, kad išvengtume rato klaidos (Circulus in demonstrando), kai argumentacijos prielaidos teisingumas pagrindžiamas argumentuojamaja teze.

Pavyzdžiui, argumentacija: “Žemė yra apvali (tezė), nes kai žiūri į tolį, matai dangaus susijungimo su žeme liniją. O, žvelgdamas į tolį, pamatai dangaus susijungimo su žeme liniją todėl, kad žemė yra apvali” (pagrindo teisingumą įrodantis teiginys, sutampa su teze). Arba -“Klasikinė muzika yra pati geriausia, nes visi geriausi kritikai taip sako. O kas yra geriausi muzikos kritikai? Tie, kurie labiausiai vertina klasikinę muziką”.

3. Argumentuojamos tezės prielaidų sekmenys negali prieštarauti vienas kitam.

Juk iš prieštaringų teiginių seka bet koks teiginys, t. y. jais galima pagrįsti ir tezę, ir jos antitezę.

Pavyzdžiui, argumentacijoje “Ponas A.A. negalėjo padaryti šio nusikaltimo (tezė), nes jis nors ir ir turi silpnybių (P), bet yra geras žmogus(Q)”. Teiginys “jis nors ir turi silpnybių, bet yra geras žmogus” pagal konjunkcijos komutacijos ekvivalenciją “(p  q)  (q  p)” lygiavertis teiginiui “nors jis ir geras žmogus, bet turi silpnybių”. Todėl šio pavyzdžio prielaida taip pat sėkmingai tiks pagrįsti ir tezės antitezei: “Ponas A.A. galėjo padaryti šį nusikaltimą (antitezė), nes jis nors ir geras žmogus, bet turi silpnybių”.

Šiuo atveju argumento klaidingumui atskleisti vien logikos nepakanka: reikia žinių apie ryšį tarp silpnybių ir gerumo. Žmogus, argumentacijoje besivadovaujantis pagrindiniais logikos dėsniais, nurodytais šio vadovėlio skyriuje “Teiginių logikos formulė ir tiesos vertė”, tokio argumento klaidingumą aptiks nesunkiai.

4. Prielaidų tezei turi pakakti.

Šios taisyklės žinojimas ir taikymas padėtų išvengti tiek skubotos išvados (a), tiek ir per daug plačios argumentacijos (b) ar kitų pažeidimų:

a) skubota išvada padaroma tada, kai ištyrus mažai konkrečių atvejų, naudojamas indukcinis pagrindimas, arba kai analogija grindžiama tik 2 ar 3 panašumais. Pavyzdžiu galėtų būti indukcinis apibendrinimas “Angelė naivi moteris, Jūratė naivi moteris, Kotryna naivi moteris, vadinasi visos moterys naivios”. Teiginiai “Angelė naivi moteris”, “Jūratė naivi moteris”, “Kotryna naivi moteris” tikrai nėra pakankamas pagrindas tezei “Visos moterys naivios”.

b) perdaug plačios argumentacijos, kai argumentacija praranda savo sistemingumą arba – dar blogiau – gali tapti prieštaringa (tada jos vertė taps niekine).

5. Argumentai turi būti relevantiški.

T.y. argumentai turi būti tiesiogiai susiję su argumentuojamąja teze. Tačiau kartais tezės pagrindimui panaudojami ir nerelevantiški argumentai. Jie būna labai įvairūs, todėl reikia mokėti juos pastebėti ir demaskuoti.

Tokio argumento pavyzdys – Apeliacija į žmogų (Argumentum ad hominem), t.y. svarstomos tezės išvedimas pakeičiamas pasakojimais apie ją suformulavusio asmens savybes ar poelgius ir siūloma tikėti arba netikėti teze, priklausomai nuo pabrėžiamų šio žmogaus savybių. (“Kodėl sakai, kad aš neturėčiau gerti šito vyno – juk pats neišsiblaivai jau dvi savaites!”).

Panašius argumentus ir kt. galimas logines klaidas nagrinėsime šio vadovėlio poskyryje “Formaliosios ir neformalios loginės klaidos”.

Demonstracijos taisyklė

Įrodymo teorijai ypatingai svarbi būtent ši taisyklė, reikalaujanti, kad: argumentacijos būdas būtų logiškas, t.y. tezė turi būti išvesta laikantis logikos dėsnių ir taisyklių.

Ši taisyklė reikalauja laikytis visų loginės teorijos suformuluotų dedukcijos taisyklių įrodyme. O kadangi argumentacijoje tezės ir prielaidų loginio ryšio patikimumo įrodymo būdas – dedukcija, indukcija ar analogija, tai jas taip pat būtina žinoti ir taikyti.

Pažeidus šią taisyklę, padaroma klaida, kuri vadinama “neseka” (non sequitur), nes tuomet netgi teisinga išvada logiškai neseka iš nurodytų prielaidų (ir tada nesvarbu, teisingos tos prielaidos ar klaidingos), todėl tezė laikoma nepagrįsta. Plačiau apie tai – kitame poskyryje.

Nedemonstratyvios argumentacijos taisyklės formuluojamos nebe taip griežtai, kaip įrodymo taisyklės. Svarbiausi skirtumai yra šie:

1. Demonstracija neribojama vien tik dedukciniu pagrindimu. Juk kai kuriose veiklos sferose (diplomatija, teisė) ypač dažnai naudojamos nuorodos į precedentus – o tai ne kas kita kaip analogijos įteisinimas.

2. Argumentacija, kurią naudoja autorius priklauso ir nuo jo gyvenimo patirties bei erudicijos. Net pats sąžiningiausias žmogus gali nežinoti naujausių mokslinių tyrimų rezultatų arba remtis abejotinais duomenimis. Todėl nedemonstratyvioje argumentacijoje yra leistina naudoti hipoteziškai teisingus teiginius kaip pagrindimą tezei, bet kartu (kaip ir įrodyme) griežtai reikalaujama:

a) fiksuoti visus naudotus pagrindimus;

b) jeigu nors viename argumentacijos etape išvedamas klaidingas teiginys – analizuoti jo prielaidas ir atsisakyti to teiginio tik radus klaidos priežastį.

3. Kiekvienos argumentacijos tikslas – tezės pagrindimas, tačiau nedemonstratyvios argumentacijos procese nereikalaujama, kad tezė nė kiek nepakistų: autorius turi teisę patikslinti tezę, suteikdamas jai adekvatesnę kalbinę išraišką ir gali iš anksto (prieš argumentaciją) galutinai neformuluoti tezės.

Klausimai pakartojimui

1. Kurias klaidas demaskuoti lengviau: logines klaidas ar fakto klaidas?

2. Kokios loginės klaidos yra sofizmo pagrindas?

3. Kas yra paradoksai moksle ir kodėl jie atsiranda?

4. Kuo skiriasi sofizmai ir paralogizmai?

5. Koks sofizmų vaidmuo logikos formavimęsi?

6. Kodėl įrodymo taisyklės griežtesnės nei nedemonstratyvios argumentacijos?

Pratimai

1. Kokia klaida slypi šiame sofizme: “Sėdintis atsistojo; kas atsistojo, tas stovi; taigi, sėdintis stovi”.

2. Ką galite pasakyti apie šio oratoriaus argumentaciją: “Jūs negalite padaryti to

3. paties, ką aš darau (tarė jis, paliesdamas savo galvą). Jei bandysite mėgdžioti mane – tai paliesite tik savo galvą, bet ne mano; o jei paliesite mano galvą – tai liesite kito asmens galvą , bet ne savąją”.

4. Ar tai svari ši argumentacija: ”Kodėl taip pyksti dėl to, kad aš gavau patį blogiausią pažymį šiame egzamine – juk kam nors vis tiek turėjo jis tekti”.

5. Raskite tezę ir prielaidas šio oratoriaus žodžiuose: “Prezidentas tampa savotišku opozicijos lyderiu, nes visos opozicijos kalbos per biudžeto svarstymą buvo aiškiai kaip iš vieno popierėlio, suderintos su Prezidentūra. Visą laiką buvo kartojama ta pati gaidelė – biudžetas esą prieštarauja įstatymams”. Ar tikrai ši argumentacija nepriekaištinga?

6. Įvertinkite studento argumentaciją: “Dėstytojau, klausinėkite mane ir toliau, aš juk tikrai visą dieną ir visą naktį skaičiau vadovėlį, tik dabar galvoje viskas susimaišė. Bet ką nors juk vis tiek galiu atsiminti.”

7. Draugai svarsto skandalingą reputaciją turinčio politiko kalbą, o Darius juos pertraukia: “Ko vargstate klausydami šio žmogaus kalbų, juk žinote, kad jis antisemitas”. Koks būtų Jūsų komentaras?

Argumentacijos analizė ir įvertinimas

Kiekvienos argumentacijos tikslas – pagrįsti tezę, t.y. ji turi būti veiksminga. Tačiau neretai logiškai klaidinga argumentacija būna nepaprastai įtikinanti, o logiškai nepriekaištinga argumentacija yra nepasitikima.

Kaip gali neįtikinti logiškai nepriekaištinga argumentacija? Tam tereikia ne tiek jau daug: argumentacija turi būti neaiški, nuobodi ir ištęsta, auditorijai nesuprantama (per daug sudėtinga) ar ją įžeidžianti, o gal auditorija yra iš anksto nusiteikusi (arba nuteikta) priešiškai ir visai nesiklauso kalbėtojo.

O logiškai klaidinga argumentacija gali įtikinti ir įtikins klausytojus:

(1) jei nurodomas neteisingas tezės pagrindas, bet klausytojai to nė neįtaria;

(2) jei auditorijai atrodo, kad tezė ir pagrindas yra deramai susiję, nors jie ir nėra susiję.

Todėl argumentacijos analizė ir įvertinimas yra tikrai sunki užduotis – šiai procedūrai nepakanka vien taisyklių žinojimo, bet reikia ir tam tikrų įgūdžių, kurie susiformuoja ne iš karto. Kadangi kiekvienoje argumentacijoje būtinai yra du ypatingai verti dėmesio momentai: (a) prielaidų ir išvados santykio loginė analizė; bei (b) racionalus įvertinimas tų duomenų, kurie pagrindžia ar patvirtina konkrečią išvadą, tai visa analizės procedūra atliekama tokia tvarka:

1. konkreti argumentacija išskleidžiama (sakiniai gali būti perfrazuojami, praleisti teiginiai suformuluojami), tada nustatoma tezė ir jos prielaidos. Sudėtingesiais atvejais konstruojamas argumentų medis, kuris parodo jų santykius;

2. patikrinama demonstracija – kaip pagrįsta tezė (dedukcijos, indukcijos ar analogijos būdu);

3. įvertinamas pagrindo relevantiškumas, priimtinumas ir pakankamumas.

Elementariame argumente tėra tik viena išvada, bet argumentacijoje gali būti daugiau premisų ir išvadų (juk argumentacija yra premisų ir išvadų grandinė).

Išnagrinėkime pavyzdį: “Kuo daugiau mokaisi, tuo daugiau išmoksti. Kuo daugiau išmoksti, tuo daugiau žinai. Kuo daugiau žinai, tuo daugiau pamiršti. Kuo daugiau pamiršti, tuo mažiau žinai. Kuo mažiau žinai, tuo mažiau išmoksti. Tai kam mokytis?”

Teiginių seka nėra sudėtinga. Pirmiausia nustatome jos struktūrą:

1. Kuo daugiau mokaisi (A), tuo daugiau išmoksti (B) – prielaida “A  B”.

2. Kuo daugiau išmoksti (B), tuo daugiau žinai (C) – prielaida “B  C”.

3. Kuo daugiau žinai (C), tuo daugiau pamiršti (D) – prielaida “C  D”.

4. Kuo daugiau pamiršti (D), tuo mažiau žinai (E) – prielaida “D  E”.

5. Kuo mažiau žinai (E), tuo mažiau išmoksti (F) – prielaida “E  F”.

6. Jei kuo daugiau mokaisi (A), tuo daugiau išmoksti (B), tai mokytis nėra ko (~G) (žodžiais neišsakyta numanoma prielaida).

7. Tai kam mokytis (~G)? – teiginys “Mokytis nėra ko (~G)” ( šio pavyzdžio argumentacijos tezė, tik išreikšta klausiamąja forma).

1. A B Pr

2. B C Pr

3. C D Pr pagrindas (argumentas)

4. D E Pr

5. E F Pr tezė (argumento išvada)

6. (A F)  ~G /~G argumentacija

7. A C HS 1,2

8. A D HS 1,3 tarpinės išvados

9. A  E HS 1,4

10. A F HS 1,5 galutinė išvada, patvirtinanti tezę

11. ~G MP 6,10

Tikrindami prielaidas, matome, kad “A  B”, “B  C”, “D  E”, “E  F”, “(A F)  ~G” yra teisingi hipoteziniai teiginiai, bet “C  D” tiesos vertė abejotina, nes nėra jokio rimto pagrindo manyti, kad kuo daugiau žmogus sužino, tuo daugiau jis ir užmiršta. Kiti argumentacijos elementai abejonių nekelia, vadinasi, abejotinos tiesos vertės teiginys “C  D” ir yra tos gana netikėtos išvados “Mokytis nėra ko” priežastis.

Taigi – labai svarbu nuspręsti, kuri premisa yra teisingas teiginys, o kuri –ne.

Todėl reikia kiekvieną įvertinti, juk visi teiginiai yra teisingi ar klaidingi, bet mes ne visada esame tikri jų tiesos verte. Todėl pasinaudokite, pavyzdžiui, šia skale:

___________________________________________________________________

1. Teisingas Esate 100% tuo tikri.

2. Tikėtinas Tikitės, kad teisingas.

3. Nežinomas Iš tikrųjų nežinote, ar teisingas.

4. Abejotinas Manote, kad klaidingas.

5. Klaidingas Net neabejojate jo klaidingumu.

_________________________________________________________________

Bet prieš nuspręsdami – įsitikinkite, ar nepraleidote kokio svarbaus, su prielaida susijusio aspekto (pavyzdžiui, įvertinote visas priežastis ir prieštaravimus).

Negalima pamiršti, kad visada geriau vengti vienašališko požiūrio į problemą, bet taip pat svarbu yra žinoti, kad sudėtingais atvejais tikroji alternatyva vienašališkumui yra daugiašališkumas.

Ir kiekvieną pagrindą galima vertinti bent jau trim aspektais: loginiu, praktiniu ir etiniu. Vadinasi, argumentas gali būti:

 logiškai silpnas, bet efektyvus;

 efektyvus, bet neetiškas;

 nekorektiškas nei loginiu, nei etiniu požiūriu, bet efektyvus tai konkrečiai auditorijai.

Ilgus amžius formalioji logika tyrinėjo įrodymus ir daug pasiekė šioje srityje, tačiau paprasti žmonės (ne filosofai) kasdien kalbasi natūralia kalba. Todėl anglų filosofas Stephen Toulmin suabejojo – ar formali logika tikrai yra vienintelis kriterijus argumentų svarumui įvertinti. Kodėl formaliosios logikos taisyklės nelabai tinka praktinių argumentų analizei ir kaip patikrinti kasdieninio protavimo teisingumą? Spręsdamas šią mįslę, jis tyrinėjo kasdieninės argumentacijos prigimtį ir suformulavo naują, originalią argumento teoriją. Dabar Stephen Toulmin yra žinomas argumentacijos teoretikas, nors jo pagrindinis veikalas The uses of argument, pirmą kartą pasirodęs 1958 metais, tikrai nebuvo palankiai sutiktas. Vėlesni jo darbai buvo reikšmingi daugeliui mokslo sričių, o kartu su Ch. Perelmano ir L.Olbrechts-Tytecos tyrimais, S.Toulmin įtakojo neformalios, taikomosios logikos (kuri pripažįsta epistemologinę retorikos reikšmę) vystymąsi.

S.Toulminas manė, kad argumento svarumą lemia ne griežtos ir su kontekstu nesusiję taisyklės, bet kriterijai, taikomi konkrečioje srityje: teisiniame ginče, gamtos mokslų tyrinėjimuose ar moraliniuose debatuose. Jis parodė, kad argumento struktūra – ne vien tik loginiai operatoriai, prielaidos ir išvada, bet yra žymiai sudėtingesnė. Tačiau ją galima detaliai išskleisti ir išmokti pritaikyti praktikoje. Tokia buvo pradžia. Ir tik 40-čia metų vėliau atsirado garsioji metafora “Argument Mapping”, kai Robert Horn savo darbe pritaikė S.Toulmino įžvalgą, kad parodytų, kaip galima orientuotis argumentuose. R.Horn metodas (pavyzdžiui, Can computers think?) leidžia kiekvienam protingam nespecialistui labai greitai suprasti, dėl ko specialistai nesutaria. Naudojant tradicinius mokymosi būdus, tai buvo sunkus darbas, reikalaujantis perskaityti kalnus knygų, užrašų, ir tik tada bandyti formuluoti klausimo esmę.

Taigi, argumentacijos teorija kaip multi-disciplinarinė teorija buvo pripažinta tik setyniasdešimtaisiais XX amžiaus metais, kai filosofijos, teisės, komunikacijos teorijos, psichologijos, kompiuterijos, lingvistikos ir kt. sričių specialistai pradėjo leisti bendrus žurnalus ir organizuoti konferencijas, kad suprastų ir tobulintų argumentaciją. Kiekviena sritis turi savo ypatumų, į kuriuos reikia atsižvelgti argumentuojant. Teisinė argumentacija taip pat ne išimtis: todėl yra nemažai darbų, skirtų būtent šios argumentacijos analizei (pavyzdžiui, R.Alexy), vykdomi projektai, numatantys naujų argumentacijos analizės ir įvertinimo būdų taikymą teisinėje argumentacijoje (D.Walton) ir t.t.

Argumentacijos teorijai reikšmingi ir F.vanEemeren, R. Grotendorst ir kt. autorių darbai, nors iki šiol vieningos paradigmos šioje srityje nėra ir vyrauja nuomonių įvairovė net tokiais svarbiais klausimais kaip pagrindinės Argumentacijos teorijos problemos ir vystymosi perspektyvos.

Kadaise Ch.Perelmanas ir L.Olbrechts-Tyteca norėjo sukurti naują argumentacijos teoriją, pagrįstą retorikos ir dialektikos principų jungimu, ir 1958 metais išleido darbą prancūzų kalba, plačiau žinomą Naujosios Retorikos vardu (išverstas į anglų kalbą tik 1969). Jų atlikti empiriniai tyrinėjimai parodė, kad formaliajai logikai (dažniausiai suprantamai kaip demonstratyvaus įrodymo teorija) reikia argumentacijos teorijos, kurioje demonstracijos idėja neturi savo buvusios reikšmės. Teisininkas ir filosofas Ch.Perelmanas esminį skirtumą tarp formalios logikos ir argumentacijos teorijos (kurią jis vadino Naujaja retorika) matė jų prielaidose: jei logikoje – tezės teisingumas yra objektyvus ir neprieštaringas, tai argumentacija negali garantuoti, kad ta tezė, kurią mes pripažinome teisinga, bus suderinama su kita teze, kurią irgi laikome teisinga. Šis nesuderinamumas reiškia ne formalų prieštaravimą, o tik tai, kad šios dvi tezės negali būti taikomos tuo pačiu metu vienai ir tai pačiai konkrečiai situacijai. Pavyzdžiui, dvi moralės taisyklės: “Meluoti negalima” ir “Kiekvienas žmogus turi gerbti savo tėvus” tampa absoliučiai nesuderinamomis, kai vienas iš tėvų verčia vaiką meluoti. (Ch.Perelman. Logic and Rhetoric.//Modern Logic,1980. pp.457-63). Tokių antinomijų yra nemažai, ypač moralėje ir teisėje. Kai tas nesuderinamumas tampa akivaizdus ir neišvengiamas, tada privalome pasirinkti ir apriboti vienos kurios taisyklės taikymą.

Ch.Perelmanas ypatingai pabrėžė auditorijos vaidmenį argumentacijos procese, nes konkreti argumentacija (mokslinėje diskusijoje ar sprendžiant verslo problemas) visada yra skiriama tam tikrai auditorijai, turinčiai savo emocijas ir savo prietarus. Vadinasi klausytojų nuomonės ir vertybės sukuria kontekstą, į kurį patenka konkrečios prielaidos. Taigi argumento svarumą lemia ne “grynos” taisyklės, o bet ir auditorijos reakcija. Todėl argumentuojantis asmuo privalo atsižvelgti ir į logiką, ir į savo auditorijos specifiką. Juk, anot Ch.Perelmano, argumentacijos tikslas yra auditorijos pritarimą konkrečioms prielaidoms paversti auditorijos pritarimu išvadai.

Kas yra auditorija? Ar tai tie realūs žmonės, kurie girdi oratoriaus kalbą ar perskaito straipsnį? Kartais-taip. Pavyzdžiui, kai profesorius rengia paskaitą savo kurso studentams, jis atsižvelgia į jų žinias ir patirtį. Tačiau ta pati argumentacija, parengta konkrečiai auditorijai, gali būti visai neefektyvi kitur, nes auditorijos yra labai skirtingos: vienos teikia pirmenybę teorinėms prielaidoms, o kitos – faktams. Dar labiau skiriasi jų vertybės. Ir kuo daugiau žmogus žino apie savo auditoriją, tuo lengviau gali apeliuoti tiek į jos protą ir racionalumą, tiek ir į jos aistras bei prietarus.

Ch.Perelmanas ir L.Olbrecht-Tyteca rašė apie“universalią auditoriją”, kurią sudaro visi žmonės, kurie yra pakankamai protingi ir kompetentingi svarstyti tam tikrą klausimą (tai gali būti visa žmonija arba tik mentalinė konstrukcija, kurią susikuria pats argumentuojantis žmogus). Anot jų, jei žmogus nori parinkti svariausius argumentus savo tezei, tai jis turėtų orientuotis į pačią griežčiausią auditoriją. Ch.Perelmanas ir L.Olbrecht-Tyteca teigė, kad “universali auditorija” pritars rimtiems argumentams ir atmes prastus, nes samprotavimų kokybė yra tiesiogiai proporcinga jiems pritariančios auditorijos kokybei. Nors ši teorija vertinama prieštaringai, bet “universalios auditorijos” vaidmuo joje nepaprastai reikšmingas: ji tampa norma ar standartu, kuris nustato argumento vertę. Kiti tyrinėtojai mini “idealią auditoriją” – kaip būdą atrinkti argumentus bet kuriai fizinei auditorijai.

Tačiau ir konkreti fizinė auditorija ne tik pasyviai išklauso argumentų, bet kritiškai juos vertina, sutinka su jais arba ne. Kodėl toks sudėtingas auditorijos vaidmuo argumentacijoje?

1. Auditorija nusprendžia ar sutikti su argumentacijos prielaidomis: galime sakyti, kad tikroji a

. . .

pq pq pq~(pq)

K K T

T K K

T K K

T T T

Turime 2 teiginius- p ir q. Parašome visus jų galimus teisingumo ir klaidingumo variantus. p irq teisingumo reikšmes išvedame remdamiesi, loginiu neigimu. Teinio pq teisingumą teisingumą pagal p ir q teisingumo reikšmes. Konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. pq yra pq neigimas. Jei pq teisingas, tai pq klaidingas, ir tt. Pas-kutiniame lentelės stulpelyje taikome lygiavertiškumo taisyklę: 2 teiginiai lygiaverčiai (abu teisingi ar klaidingi), kai jų reikšmės vienodos. Bet teiginiai pq ir pq antroje ir trečioje eilutėse nevienodi savo reikšmėmis- nelygiaverčiai. Reiškia, išraiška pq~ (pq)nėra visuomet teisingas teiginys, nėra logikos dėsnis. Jį reikia suprasti taip: liudytojas A sako netiesą arba liudytojas B sako netiesą (arba abu, jei disjukcija silpna). Visa tai užrašoma: pq~(pq) “netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne-p arba Ne-q”. Duotoji išraiška yra visuomet teisingas teiginys , logikos dėsnis.

Disjunkcijos neigimas. Teiginys “ne-tiesa, kad liudytojo A arba liudytojo B parodymai teisingi” reiškia ne tai, kad A sako netiesą arba B sako netiesą, o kad A sako netiesą ir B sako netiesą.: pq~(pq). Išraiškos 1)pq~(pq), 2) pq~(pq) vad de Morgano taisyklėmis: 1) konjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario neigimui, 2)disjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

Implikacijos neigimas: pq~(pq)- “netiesa, kad iš p seka q” lygiavertė “p ir ne-q”.

Lygiavertiškumo neigimas: p~q~[(pq)qp]. “netiesa, kad p lygiavertis q” lygiavertė išraiškai “jei iš p seka q, tai netiesa, kad iš q seka p”.

Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas, žinant paprastų teiginių teisingumo reikšmes:

Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teininių teisingumo reikšmių, tai žinant paprastų teiginių p, q, r. teisingumo reikšmes, lengvai galima nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Taikomos neigimo, konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, lygiavertiškumo taisyklės. Pvz.: Tarkime, kad teiginyje (pq)r teiginys p teisingas (t), q klaidingas (k), r klaidingas (k).Tai žinant , lengva nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Pirmiausia p,q,r pakeičiame jų teisingumo reikšmėmis. Gauname (tk)k. atliekame veiksmų, nurodytų skliaustuose- konjunkciją. Čia konjunkcija yra klaidinga. Tai ir įrodome:

kk.

t,

nes kai iš klaidingo teiginio seka klaidingas, implikacija teisinga. Tad pagal turimas teisingumo reikšmes sudėtinis teiginys (pq)r teisingas.

 Daugiareikšmės teiginių logikos samprata. Trijų reikšmių logika

Logika, kurioje kiek vienas teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas, vad dvireikšme logika.

Yra teiginių, kurie nei teisingi, nei klaidingi. Daugelis ateities įvykius išreiškiančių teiginių nėra nei teisingi, nei klaidingi tuo metu, kada jie pasakomi. Tokie teiginiai tampa teisingais ar klaidingais, kai tai, kas juose pasakoma, įvyksta ar neįvyksta tikrovėje. Bet ne visi ateities įvykius numatantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi. Jei ateities įvykį numatantis teiginys tiesiog seks mokslo dėsnio, tai jis teisingas ir jo pasakymo metu. Daug teiginių, kurie nėra nei teisingi, nei klaidingi, būna nukreipti į praeitį.

Vadinasi, spėjimus išreiškiantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi, šie teiginiai pasakymo metu yra neapibrėžti, galimi, tikėtini.

Logika, kurioje teiginiai, be teisingumo ir klaidingumo reikšmių, įgauna ir kt reikšmes (tikėtini, neapibrėžti, galimi ir pan), vadinama daugiareikšme logika. Ji negriauna dvireikšmės logikos. Tie dėsningumai, kurie buvo numatyti dvireikšmėje logikoje, išlieka ir daugiareikšmėje, nors ir ne visi. Daugiareikšmėje logikoje, be teisingumo ir klaidingumo, teiginiams priskiriamos ir kt reikšmės. Taigi, negalimo trečiojo dėsnio daugiareikšmėje logikoje tenka atsisakyti. Daugiareikšmėje logikoje atsiranda kai kurie na-uji dėsningumai, kurių dvireikšmėje logikoje nebuvo. Yra įvairių daugiareikšmės logikos sistemų, kur naudojamos 3, 4, 5 ir daugiau reikšmių.

3-jų reikšmių logika- paprasčiausia daugiareikšmės logikos sistema. Joje teiginys gali įgauti 1 iš 3-jų reikšmių- būti teisingas, klaidingas, įgauti 3-čią reikšmė (tikėtinas, neapibrėžtas ir pan)

Trečiųjų reikšmė žymime skaičiumi 3.

Loginis neigimas 3-jų reikšmių logikoje:

p p

T K

K T

3 3

Paskutinė lentelės eilutė nurodo, kad jei teiginys turi 3-ąją reikšmę, tai jo neigimas tai pat turi 3-ąją reikšmę.

Konjunkcija

p q pq

T T T

T K K

T 3 3

K T K

K K K

K 3 K

3 T 3

3 K K

3 3 3

Loginių jungčių taisyklės, galiojusios 2-reikšmėje logikoje, galioja ir daugiareikšmėje. 3-čia eil.: p teisingas, q tikėtinas, konjunkcija pq tikėtina. Ši konjunkcija negali būti klaidinga, nes ji būna klaidinga, jei nors vienas jos narys yra klaidingas, o čia nėra nei vieno klaidingo nario. 6-oje eil p klaidingas, q tikėtinas, konjunkcija pq klaidinga, nes p klaidingas. Paskutinėje eil p tikėtinas, q tikėtinas, konjunkcija pq tikėtina. Ji negali būti teisinga, nes jos abu nariai nėra teisingi ir ji negali būti klaidinga, nes jos nariai nėra klaidingi.

Disjunkcija:

p q pq

T T T

T K T

T 3 T

K T T

K K K

K 3 3

3 T T

3 K 3

3 3 3

3-jų reikšmių logikoje, kaip ir 2-jų, disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai. 3-oje eil p teisingas, q tikėtinas, disjunkcija pq teisinga, nes vienas jos narys teisingas. Analogiškai ir 7-oje eil. 6-oje eil p klaidingas, q tikėtinas, disjunkcija pq tikėtina. 8-oje eil- tas pats. 9-oje eil p tikėtinas, q tikėtinas, disjunkcija pq tikėtina. Kadangi nėra nei vieno teisingo nario, ji negali būti teisinga. Ji negali būti ir klaidinga, nes abu nariai tikėtini, bet ne klaidingi.

Implikacija:

p q pq

T T T

T K K

T 3 3

K T T

K K T

K 3 T

3 T T

3 K 3

3 3 T

3-čia eil: p teisingas, q tikėtinas implikacija pq tikėtina. Implikacija klaidinga tik tuo metu, kai iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Jei iš teisingo antecedento seka tikėtinas konsekventas, tai tai visa implikacija tikėtina. 6-a eil: p klaidingas, q tikėtinas, implikacija pq teisinga, nes iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys. 7-a eil: p tikėtinas, q klaidingas, implikacija pq tikėtina. Klaidingas konsekventas seka ne iš teisingo, bet iš tikėtino antecedento, o todėl implikacija tikėtina. 9-ta eil teigis, kad iš tikėtino p seka tikėtinas q, implikacija pq reisinga.

Lygiavertiškumas:

p q p~q

T T T

T K K

T 3 3

K T K

K K T

K 3 3

3 T 3

3 K 3

3 3 T

Kaip ir 2-reikšmėje logikoje, teiginys p~q teisingas tik kai jį sudarantys teiginiai p irq vienodi savi reikšmėmis.

3-jų reikšmių logikoje galioja negalimo ketvirtojo taisyklė. Pgal ši dėsnį, teiginys “rytoj aš dainuosiu” yra teisingas ar klaidingas, arba nei teisingas, nei klaidingas, tad ketvirtos reikšmės nėra. 3-reikšmėje logikoje negalioja antecedento teigimas, reiškiamas išraiška [(pq)p]q. dėsnis daugiareikšmėje logikoje, kaip ir 2-reikšmėje, yra visuomet teisingas teiginys (išraiška).

 Silogistika

Silogistika- pagr senosios logikos teorija, nustatanti priemones išvadoms iš prielaidų gauti. Silogizmą sudaro 3 dalys: prielaidos, išvada ir taisyklė, įgalinanti iš tam tikrų prielaidų padaryti tam tikras išvadą. Silogizmo prielaidos ir išvada yra a, e, I, o tipo sprendiniai. Silogizmo prielaidos vad premisomis. Silogizmą sudaro 2 premisos ir 1 išvada, pvz.: Kiekvienas nusikaltimas yra įstatymų pažeidimas. Apiplėšimas- nusikaltimas. Vadinasi, apiplėšimas yra įstatymų pažeidimas. Sąvokos, sudarančios silogizmo premisas, vad silogizmo terminais. Kiek-viename silogizme yra 3 terminai. Terminas, einąs išvados subjektu, vad mažuoju terminu iž žymimas S. terminas, einąs išvados predikatu, vad didžiuoju terminu ir žymimas P. maža-sis ir didysis terminai vad kraštutiniais terminais. Terminas, esąs abiejose premisose ir nesąs išvadoje vad viduriniu terminu ir žymimas M. Pavizdyje “apiplėšimas” yra S, “įstatymų pažeidimas”- P, “nusikaltimas”- M. Vidurinis terminas susieja susieja mažąjį ir didįjį terminus premisose. Atlikęs tai, vid terminas išvadoje išnyksta. Silogizmas yra dedukcinis samprotavimas, kuriame nustatomas ryšys tarp kraštutinių terminų išvadoje, remiantis jų santykiu su viduriniu terminu premisoje. Premisa, kurios udėtyje yrs didysis terminas- didžioji, kur mažasis- mažoji. Silogizme didžioji premisa gali sekti po mažoios, bet paprastai didžioji būna pirmoje vietoje. Pvz, turime premisas: Kai kurios gėlės nekvepia. & Visos gėlės- augalai. Darant išvadą, pirmiausia reikia nustatyti vidurinį terminą- tą kuris pasikartoja abiejose premisose- “gėlės”. Vadinasi, išvadoje šios sąvokos jau nebus. Išv sudarys sąvokos “augalai” ir “nekvepia”, o taip pat žodžiai, nurodantys sprendinio kiekybę ir kokybę. Gauname išv “kai kurie augalai nekvepia”.

Silogizmų taisyklės:

1 Kiekviename silogizme turi būti tik 3 terminai- mažasis, didysis, vidurinis. Kai terminų mažiau ar daugiau (terminų suketverinimas), išvados negalima gauti. Pvz, Kelmai raunami mašinomis. & Šis jaunuolis yra kelmas.- čia 4 terminai.

2 Vidurinis terminas turi būti suskirstytas bent vienoje premisoje. Pnz, Profesoriai moka kelias užsienio kalbas.& Kai kurie studentai moka kelias užsienio kalbas.

3 Terminas, nesuskirstytas premisoje, negali būti suskirstytas išvadoje. Pvz, iš teiginių “Visi studentai (M) laiko egzaminus (P).” Ir “Petraitis (P) – ne studentas (M)” neseka “Petraitis (S) nelaiko egzaminų (P)”, nes “laikyti egzaminus” premisoje nesuskirstytas, o išvadoje- suskirstytas.

Premisų taisyklės:

1 Iš 2-jų dalinių premisų negalima padaryti jokios išvados.

2 Jei viena premisa dalinė, tai ir išvada dalinė. (vidurinis terminas apima tik dalį kurio nors kraštutinio termino).

3 Iš 2-jų neigiamų premisų negalima padaryti išvados (čia vidurinis terminas ne susieja, o išskyria kraštutinius terminus).

4 Jei viena premisų neigiama, tai ir išvada neigiama.

5 Jei abi premisos teigiamos, tai ne-galima padaryti neigiamos išvados.

Silogizmo figūros:

Silogizmo figūros- silogizmo formos, skiriamos pagal vidurinio termino padėtį premisose. Yra 4 silogizmo figūros:

1 Vidurinis terminas yra didžiosios premisos subjektas ir mažosios predikatas.

2 Vidurinis terminas yra abiejų premisų predikatas.

3 Vidurinis terminas yra abiejų premisų subjektas.

4 Vidurinis terminas yra didžiosios premisos predikatas ir mažosios subjektas.

Figūrų schemos:

Išvados visur yra S-P formos.

Silogizmo figūrų modusai- tai silogizmo figūrų atvejai, besiskiriantys premisų ir išvados kiekybe ir kokybe. Priklausomai nuo to, kokie iš sprendinių (a,e,i,o) sudaro premisas, skiriami silogizmo modusai. Moduso pir-moji raidė žymi didžiąją premisą, antroji- mažąją, trečioji- išvadą. Modusų yra 64, bet 45 iš jų neatitinka silogizmo taisyklių, taigi lieka tik 19 taisyklingų modusų. Norint nustatyti, kuria silogizmo figūrai priklauso modusas, reikia žinoti kiekvienos figūros taisykles.

Pirmosios figūros:

1 Didžioji premisa bendras (teig ar neig) sprendinys.

2 Mažoji premisa teigiamas (bendras ar dalinis) sprendinys.

Pagal šias taisykles, 1-jai figūrai priklauso 4 modusai: aaa, eae, aii, eio.

Antrosios figūros:

1 Didžioji premisa bendra.

2 Viena iš premisų neigiama.

Pagal šias taisykles 2-jai figūrai priklauso šie 4 modusai: eae, aee, eio, aoo.

Trečiosios figūros:

1 Mažoji premisa teigiama.

2 Išvada- dalinis sprendinys.

Nustatoma, kad 3-ai figūrai priklauso šie madusai: aai, iai, aii, eao, oao, eio.

Ketvirtosios figūros:

1 Jei didžioji premisa teigiama, tai mažoji premisa bendra.

2 Jei viena premisų neigiama, tai didžioji bendra.

4-os figūros modusai: aai, aee, iai, eao, eio.

Kiek vienam modusui viduramžių schilastai davė pavadinimus:

aaa- barbara, eae- celarent,

eae- cesare, aee- camestres,

aai- darapti, iai- disamis,

aai- bramantip, aee- camenes,

aii- datisi, iai- damaris,

aii- darii, eio- festino,

eao- felapton, eao- fesapo,

eio- ferio, aoo- baroco,

oao- bocardo, eio- fresison,

eio- ferison.

Šiuolaikinės formaliosios logikos po-žiūriu, silogistika yra gana ribota samprotavimų teorija. Silogistikos schemos aprašo gana nedidelę samprotavimų dalį, be to netobula pati pati aprašymo technika. O šiuolaikinė formali logika neturi panašių trūkumų. Šiuolaikinės logikos požiūriu galima aiškinti dvejopai- klasių teorijos ir savybių teorijos požiūrių.

 Įrodymo struktūra. Įrodymų klasifikacijos

Įrodymas- tai kurio nors teiginio teisingumo nustatymas, remiantis kitais teiginiais, kurių teisingumas jau žinomas. Moksle įrodomi ne tik atskiri teiginiai, bet ir ištisos teorijos. Kiek-vieną įrodymą sudaro 3 dalys: a) įrodymo tezė (ar įrodymo išvada), b) įrodymo argumentai (ar įrodymo pa-grindas, prielaidos), c) įrodymo būdas (ar įrodymo demonstravimas).

Tėzė yra tas teiginys, kurį reikia įrodyti. Argumevtai – tie teiginiai, kuriais remiantis įrodoma tėzė. Įrodymo būdas- logonis tezės išvedimo iš argumentų procesas. Kiekvieno įrodymo loginė struktūra yra tokia, kad iš argumentų loginiu būdu samprotavimu išvedama tezė: argumentai  tėzė.

Logika formuluoja tam tikrus reikalavimus tėzei ir argumentams, kurių reikia lakytis, kad įrodymas būtų logiškas. Bet daugiausia logika tiria įrodymo būdus.

Pvz.: Jonaitis nesveikas. Tai rodo pa-kilusi temperatūra. Jei jis būtų sveikas, jo temperatūra svyruotų apie 36,5. Jo temperatūra yra 38,5. Be to jis blogai jaučiasi. Jei jis būtų sveikas, jis negalėtų taip jaustis.

Šio įrodymo tezė- teiginys “Jonaitis nesveikas”. Argumentas- visa kiti teiginiai. Įrodymo būdas- tai loginė struktūra, pagal kurią samprotaujama, ją surandame, ją formalizuodami: Jei Jonaitis būtų sveikas(p), tai jo temperatūra svyruotų apie 36,5 (q). jei Jonaitis sveikas (p), jis negalėtų blogai jaustis (r).

Jonaičio temperatūra 38,5 (q). Jonaitis blogai jaučiasi (r).

Vadinasi, Jonaitis nesveikas (p).

Šios tezės įrodymo būdo loginė struktūra:

(pq)(pr)

q  r._______

Vadinasi, p.

Šio įrodymo būdo struktūra yra logikos dėsnis [(pq) q] p. Įrodymo būdo sudėtingumą apsprendžia tezės pobūdis. Sudėtingose mokslo teorijose vartojami sudėtingi įrodomo būdai. Nesudėtingai tezei įrodyti pakanka nesudėtingo įrodymo būdo.

Įrodymas remiasi pakankamo pagrindo principu: teiginys laikomas teisingu tada, kai jis įrodytas ta prasme, kad pateiktas pakankamas to teiginio teisingumo pagrindas. Teiginio pakankamas pagrindas yra visuma teisingų teiginių, iš kurių grindžiamasis teiginys seka pagal logikos dėsnius. Pa-kankamą kurio nors teiginio pagrindą sudaro būtini argumentai ir pakankami argumentai. Kartais būna taip, kad teiginys grindžiamas būtinais, bet nepakankamais argumentais, tda jis nėra įrodytas. Kai teiginys grindžiamas būtinais ir pakankamais argumentais, tai jie yra pakankamas teiginio teisingumo pagrindas. Bet kartais teiginys gali būti grindžiamas nebūtinais, bet pakankamais argumentais, kurie yra pakankamas teiginio teisingumo pa-grindas. Pakankamo pagrindo principas tinka tik dedukciniams samprotavimams ir netinka nededukciniams- kai iš teisingų prielaidų seka tikėtina išvada. Šis principas reikalauja pa-grįsti teiginius, neleidžia daryti bet kokių išvadų, reikalauja aklai netikėti, protingai patvirtinti teiginius.

Įrodymai skirstomi į rūšis pagal įrodymo tikslą ir pagal įrodymo būdą.

Pagal įrodymo tikslą jie būna dvejopi. Jei nustatomas tezės teisingumas, tai toks įrodymas vad tiesiog įrodymu, o jei nustatomas jos klaidingumas, tai toks įrodymas vad paneigimu.

1 Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti reikšmingi argumentai. Argumentus paneigiant, įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turime teisę pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, jais galima bet ką įrodyti. Turime reikalauti, kad būtų pateikti teisingi argumentai, o jei įrodantis asmuo to negali padaryti, tai tu-rime teisę jo tezės nelaikyti teisinga. Gali būti ir taip, kad kas nors pasako teisingą tezę, bet nemoka jos įrodyti ir pateikia klaidingus argumentus. Argumentai ir tezė susieti imoplikacijios ryšiu. Jei antecedentas klaidingas, tai dar nereiškia, kad teisingoje implikacijoje konsekventas klaidingas. Teisingas teiginys kartais seka iš klaidingo teiginio.

2 Įrodymo būdo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būdą, nustatoma, kad iš pateiktų argumentų tezė logiškai neseka, o seka ne nagrinėjamoji, o kuri nors kita. Įrodymo būdo paneigimas yra pats silpniausias paneigimas.

3 Išvedamų iš tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės pa-neigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys, išvestas iš tezės klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. Iš teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. Šį pa-neigimą užrašome [(pq) q] p. paneigimu remiasi kritika ir savikritika. Tačiau kritika turi būti konstruktyvi- įrodžius kieno nors teiginių klaidingumą, dar reikia įrodyti jiems priešingų teiginių teisingumą.

Pagal įrodymo būdą įrodymai skirstomi į tiesioginius ir netiesioginius.

Tiesioginis įrodymas yra tada, kai tezė išvedama iš pateiktų argumentų. Jei argumentai teisingi, tai iš jų pagal logikos dėsnius išvesta tezė taip pat teisinga.

Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas , įrodant tezei prieštaraujančių teiginių klaidingumą. Netiesioginio įrodymo variantai:

1 Visų klaidingų atvejų paneigimas- pirmiausia nurodomi visi galimi atvejai- visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra žinoma, kad viena iš tezių teisinga, bet nežinoma, kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, išskyrus vieną. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(pq) q]p.

2 Įrodymas “nuo priešingojo”. Šis netiesioginio įrodymo variantas reiškiamas teiginių logikos dėsniu p[(pq)  (qp)].

 Pagrindinių teiginių logikos dėsniai – ekvivalentiškumai.

1. Tapatybės dėsnis. Bet kuri mintis, samprotavimo procese, turi būti ta pati sau pačiai. A~A.

2. Prieštaravimo dėsnis. Neįmanoma, kad du prieštaraujantys teiginiai būtų teisingi.

Du nesuderinti teiginiai negali būti vienu metu teisingi a*a

3. negalimo trečio dėsnis. Kiekvienas teiginys yra arba teisingas arba klaidingas, trečios galimybės nėra.

a v a

4. Pakankamo pagrindo dėsnis. Kiekviena teisinga mintis turi būti pakankamai pagrįsta a*b→c.

5. Demorgano taisyklės:

a*b~(a V b) p V q~(p * q).

norint patikrinti demorgano taisykles, ar jos ištikrųjų ekvivalentiškos, reikia sudaryti teisingumo lenteles kiekvienai atskirai, jei galinis rezultatas bus ekvivalentiškas vienos teisingumo lentelės kitai, vadinasi šios funkcijos ekvivalentiškos

 Loginės klasės skirstymas ir klasifikacija. Klasių skirstymo (klasifikacijos) taisyklės.

Klasės skirstymas yra klasės padalijimas į poklasius, remiantis tam tikru pagrindu.

Kiekvieną skirstymą sudaro:

1. skirstomoji klasė

2. skirstymo nariai – tai poklasiai, gauti skirstant duotąją klasę.

3. Skirstymo pagrindas – tai požymis kuriuo remiantis skirstoma klasė.

Klasės skirstymas nėra visumos skaidymas į dalis. Norint išvengti šios supainiojimo reikia skirstomąją klasę ir gautus žodžius susieti su žodžiu “kiekvienas”. Yra dvi skirstymų rūšys:

1. skirstymas pagal požymio kitimą. Jis užrašomas taip: A≡( B1UB2UB3.). Pvz kėsinimas į piliečių asmeninę nuosavybę skirstomi į vagystę ir apiplėšimą, taip skirstoma pagal kėsinimosi būdo kitimą.

2. Skirstymas pagal požymio būvimą ar nebuvimą. Arba dichotominis skirstymas. Skirstant klasę šiuo skirstymu, ji skiriama į du poklasius. Vieno poklasio elementai turi tokį požymį, kurio neturi antro poklasio elementai Pvz sakinius galima skirstyti į tiesioginius ir netiesioginius, klausiamuosius ir neklausiamuosius. A≡(BUB).

Skirstant klases reikia laikytis šių taisyklių:

1. Skirstymas turi būti tolygus. Tarp skirstymo narių ir skirstomosios klasės turi būti lygiareikšmiškumo santykis, pažeidus šią taisyklę daromos dvi klaidos:

a. skirstymas su bereikalingais nariais. Pvz skirstant knygas į romanus, neromanus ir vadovėlius.

b. Nepilnas skirstymas. Pvz skirstant knygas į vadovėlius ir romanus.

2. Skirstyti reikia vienu pagrindu.

3. Skirstymo nariai turi vienas kitą šalinti. Tarp gautų poklasių turi būti nuošalės santykis, atskiras elementas gali priklausyti tik vienam poklasiui. Pvz skirstant knygas į įdomias ir neįdomias ir į brangias ir nebrangias, tada kiekviena knyga patenka į du poklasius, o to neturi būti.

4. Skirstymas turi būti nenutrūkstamas. Klase reikia skirstyti į artimiausius ją sudarančius poklasius.

Atskiras klasių skirstymo atvejis yra klasifikacija.

Klasifikacija yra toks skirstymas, kuriame objektai suskirstomi į klases taip, kad kiekviena klasė kitų klasių atžvilgiu užima pastovia apibrėžtą vietą, o jos tikslas susisteminti žinias.

Kiekviena klasifikacija yra skirstymas, bet ne kiekvienas skirstymas yra klasifikacija. Jai tinka visos klasių skirstymo taisyklės. Skiriamos kelios klasifikacijų rūšys:

1. Pagalbinė klasifikacija sudaroma, siekiant lengviausiai surasti objektus kitų objektų tarpe. Pavardžių suskirstymas pagal abėcėlę žiniaraštyje, bet tai nesako, kad pirmas numeris mokysis geriausiai, studento vieta žiniaraštyje – neesminis studento požymis.

2. Natūralioji klasifikacija – tai objektų suskirstymas į klases, remiantis jų esminiais požymiais. Pvz gyvūnų klasifikacija zoologijoje.

3. Informatikoje naudojamos abėcėlinė ( abėcėlinis knygų katalogas) ir

4. dešimtainė(objektai skirstomi į 10 klasių, kurių kiekviena skirstoma į ne daugiau kaip 10 poklasių) klasifikacija .

5. linijinė klasifikacija – klasifikuojamų objektų išdėstymas hierarchine tvarka.

6. Dalykinė klasifikacija – medžiagos išdėstymas pagal tiriamųjų objektų pobūdį.

Klasifikacija – svarbi mokslinio tyrimo priemonė padedanti susisteminti žinias, tokiu būdu tas žinias lengviau įsiminti.

 Išsprendžiamumo problema teiginių logikoje. Pagr teiginių logikos dėsniai – išvedimo taisyklės.

Visos loginės išraiškos skirstomos į tris grupes: 1. Visuomet teisingos išraiškos. 2. Visuomet klaidingos išraiškos. 3. Kartais teisingos (atitinkamai – kartais klaidingos) išraiškos. Išsprendžiamumo problemos esmė yra ta, kad, pavartojus apibrėžtą loginių veiksmų skaičių, galima nustatyti, ar nagrinėjamoji išraiška yra visuomet teisinga.

Išsprendžiamumo problemos sprendimas matricų metodu.

Išsprendžiamumo problemos sprendimas suteikiant loginėms išraiškoms normaliąją formą. Normaliąją formą išraiška turės tik tada, kai joje bus tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija.

Pagrindiniai teiginių logikos dėsniai:

1)Dvigubo neigimo dėsnis

p (dvig.paneigtas)  p

2)Prieštaravimo dėsnis:

pp

3)Negalimo trečiojo dėsnis:

pp

4)Iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys:

p(pq)

5)De Morgano taisyklės:

pq(pq)

pq(pq).

 Loginė klasė ir jos struktūra. Loginės klasės sąvokos. Sąvokų sudarymas.

Teiginiai gali būti nagrinėjami įvairiais požiūriais. Pvz “kiekviena silkė yra žuvis”, galima nagrinėti savybių teorijos požiūriu, galima tirti, kokie objektai sudaro silkių ir žuvų visumą, kiek tų objektų yra ir kokie jų tarpusavio santykiai. Taigi požymius galima nagrinėti kaip objektų klases, ir tai bus nagrinėjama loginių klasių teorijos požiūriu.

Loginė klasė – visuma objektų, turinčių bendrus požymius. Pvz studentai, dėstytojai, mokiniai ir t.t sudaro loginę klasę “žmonės”, nes jie visi turi bendrus požymius. Logikos požiūriu pasaulis atrodo kaip loginių klasių visuma.

Objektai, sudarantys loginę klasę, vadinami loginės klasės elementais, bet logines klases sudaro netik elementai, bet ir tų elementų deriniai, tie elementų deriniai vadinami poklasiais.

Ta pati klasė gali būti ir klase ir poklasiu, tai priklauso su kokia klase ją lyginame.

Jei parašyta x є A vadinasi elementas x priklauso klasei A, jei parašyta A ( B , tai vadinasi, kad klasė A įskiriama į klasę B.

Pagal elementų skaičių klasės būna trjopos:

1.Klasės, kurias sudaro daug elementų. Jeigu klasę sudaro daugiau nei du elementai, tai toji klasė priskiriama klasėms, kurias sudaro daug elementų, šiai kategorijai priskiriamos ir neapibrėžtos klasės.

2.Klasės, kurias sudaro vienas elementas, šios klasės gramatiškai gali būti formuluojamos ir daugiskaitoje.

Pvz “ asmenys, skridę pirmuoju lėktuvu.

3.Klasės kurios neturi nei vieno elemento, dar jos vadinamos nulinėmis arba tuščiosiomis klasėmis. Pvz “amžinasis variklis”, “stįebuklai”, “Dievas” ir t.t. Tokios klasė logikoje žymimos 0. Nulinę klasę galima būtų apibrėžti kaip klasę, kurios kiekvienas elementas įskiriams ir neįskiriamas į tą klasę A: V x (x є A • x є A). Visiška priešingybė nuliniai klasei yra universalioji klasė, ją sudaro visi objektai tos srities, kurią turime galvoje, spresdami vienokius ar kitokius klausimus. Kai operuojame kokia nors klase, ji visuomet mąstoma tam tikroje objektų srityje, arba universaliojoje klasėje. Ji žymima 1.

Loginę klasę galima nagrinėti ir kitu požiūriu, tai turinio požiūriu, aiškinant klasę sudarančių objektų požymius. Tokiu atveju vietoj termino klasė vartojamas terminas sąvoka.

Sąvoka yra mąstymo forma, išreiškianti esminius ir bendruosius objektų požymius.

Esminiais objekto požymiais vadinama tokia grupė požymių, kurių kiekvienas skyrium objektui būtinas, o visi kartu yra pakankami, kad jų dėka tam tikrą objektą būtų galima atskirti nuo jam gretimų objektų. Neesminiai objekto požymiais laikomi tokie požymiai, kuriuos objektas gali turėti arba neturėti, tačiau jų neturėdamas, objektas nenustoja būti tuo, kuo jis yra.

Tarp esminių ir neesminių objekto požymių nėra griežtos ribos, kadangi tiriant vienu požiūriu tie patys požymiai gali būti esminiai, o kitu neesminiai.

Bendrieji požymiai būdingi visiems tam tikros klasės objektams.

Esminiai ir bendrieji požymiai ir sudaro sąvokos turinį. Sąvokų struktūra išreškiama predikatų logikos priemonėmis.

F(x) – struktūra sąvokų, išreiškiančių savybes;

R(x,y) – struktūra sąvokų išreiškiančių santykius.

Kai sąvokos, išreiškiančios savybes ir santykius, priskiriamos objektams kaip predikatai, tada ir sudaromi teisingi arba klaidingi teiginiai. Sąvokos dalyvauja, sudarant teiginius, kuriuos nuolat tikriname, vertiname teisingumo požiūriu.

Sąvokos sudaromos abstrakcijos procese. Abstrakcijos procesas – tai atsyjimas mintyse nuo objektų kai kurių požymių ir kartu mus dominančių požymių išskyrimas.

Skiriamos kelios abstrakicijų rūšys:

1.Tapatybės abstrakcija yra atsijimas nuo objektų nepanašių, besiskiriančių požymių ir kartu vienodų, tapačių požymių išskyrimas. Pvz daug žmonių yra, kurie greitai nudirba darbus, o kiti lėtai. Išskyrus šį požymį, sudaroma sąvoka “greitadarbiai”.

2.Izoliuojanti abstrakcija – tai požymio atskyrimas nuo objekto ir kitų to objekto požymių. Matydami tekant upei, sudarome sąvoką tekėjimas.

3.Idealizacija – jos dėka mąstyme sukuriami objektai, kurių negalima sukurti patyrimu. Geometrija vaizduoja tobulas figuras, nors tokių nebūna tikrovėje.Šie objektai kuriami taip:

a. Ryšium su tuo tam tikros tiriamo objekto savybės taip pat tolydžiai krinta.

b. Tarę, kad sąlygų poveikis tiriamajam objektui lygus nuliui, sukuriame mąstyme tam tikrą idealizuotą objektą.

Mokslinis pažinimas be idealizacijos neįmanomas.

 Santykiai tarp loginių klasių(sąvokų).

Tarp loginių klasių gali būti šie santukiai:

1. Lygiareikšmiškumo santykis yra tada, kai dvi klasės turi tuos pačius elementus. Pvz tarp klasės garsiakalbai ir prietaisai garsą skleisti yra lygiareikšmiškumo santykis, nes abi klases sudaro tie patys elementai. Grafiškai šie santykiai atvaizduojami skritulinėmis schemomis. Lygiareikšmiškumo santykis užrašomas taip: A≡B, tai reiškia: A(B •B(A. Skaitome klasė A įskiriama į klasę B ir atvirkščiai.

2. Subordinacijos santykis – jis yra tada, kai viena klasė sudaro dalį kitos klasės. Brėžinys rodo, kad klasė A įskiriama į klasę B. Pvz studentai įskiriami į klasę žmonės ir t.t

3. Perkirtimo santykis yra tada, kai vienos klasės dalis sudaro kitos klasės dalį. Brėžinys rodo, kad dalis A klasės elementų yra ir B klasės elementai ir atvirkščiai. Užbrūkšniuota dalis yra tie elementai, kurie bendri abiejoms klasėms. Pvz studentų ir verslininkų, nes dalis studentų verslininkai, o dalis

verslininkų yra studentai.

4. Nuošalės santykis yra tada, kai dvi klasės neturi jokių bendrų elementų.

Tokios yra keturios santykių tarp klasių rušys, iš kurių susidaro įvairūs santykiai tarp trijų ir daugiau klasių.

Santykis tarp Inteligento, mokytojo ir verslininko galima būtų pavaizduoti taip:

Toks santykis vadinamas koordinacijos santykiu.

Tačiau skritulinėmis schemomis yra nepatogu atvaizduoti 4 ar daugiau

klasių santykius, tokius santykius galima atvaizduoti daugiakampių pagalba.

 Sąvokos apibrėžimo samprata. Apibrėžimo struktūra. Pagrindinės apibrėžimų rūšys.

Sąvokos turinį atskleidžia loginis veiksmas, vadinamas sąvokos apibrėžimu. Dar kitaip sąvokos apibrėžimas vadinamas definicija.

Apibrėžimas yra loginis veiksmas, kuriuo:

1. nustatomi kriterijai tiriamajam objektui atskirti nuo kitų objektų, nurodant jo specifiką.

2. Nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmė.

Kitaip apibrėžimą galima aiškinti kaip veiksmą, glaustai išreiškianti sąvokų turinį, bet dažniausiai apibrėžimas suprantamas taip:

Apibrėžimas yra veiksmas, taip atskleidžiantis esminius objekto požymius, kad apibrėžiamasis objektas atskiriamas nuo gretimų objektų. Tokia apibrėžimo samprata kelia du tikslus:

1. Atskleisti esminius apibrėžiamojo objekto požymius.

2. Apibrėžiamąjį objektą atskirti nuo visų gretimų objektų.

Esminius objekto požymius reikia nurodyti ne bet kaip, bet taip, kad juos nurodę, apibrėžiamąjį objektą išskirtume nuo visų gretimų objektų.

Apibrėžimą sudaro trys dalys;

1. Apibrėžiamoji išraiška – tai sąvoka, kuri apibrėžiama.

2. Apibrėžiančioji išraiška – sąvokos, kuriomis apibrėžiama.

3. Jungiančioji išraiška – ji sudaro ryšį tarp apibrėžiamosios ir apibrėžiančiosios sąvokų, ji reiškiama žodeliais “yra, reiškia, vadinama, tas pat, kas”

Pvz:

Apibrėžiamoji išraiška jungiančioji išraiška apibrėžiančioji išraiška

Loginė klasė yra visuma objektų, turinčių bendrus požymius

Mokiniu vadinamas vidurinės mokyklos moksleivis

Apibrėžimų rūšys:

1. Apibrėžimas gimine ir rūšiniu skirtumu. Giminė – klasė, o rūšis – poklasis. Pvz norime apibrėžti logika , logika yra mokslas, atrodytu, kad viskas gerai, nes logika – poklasis, o mokslas –klasė, bet mokslų yra daug, todėl šis apibrėžimas nepilnas, reikia logika išskirti iš kitų mokslų. Logika tiria samprotavimo būdą – tai yra jos poklasinis skirtumas. Vadinasi logika yra mokslas apie samprotavimo būdą.

2. Ostensinis apibrėžimas (ostendere – parodymas) yra žodžio reikšmės nustatymas, betarpiškai nurodant objektą, kurį žodis žymi. Šiuo apibrėžimu tenka naudotis mokantis svetimų kalbų, paprasčiausiai parodomas tas objektas apie kurį kalbama.

3. Operacinis apibrėžimas, nurodo veiksmus, kuriuos objektas atitinka, jį sudaro trys dalys:

Q1. Patikrinamoji operacija;

Q2. Patikrinamosios operacijos rezultatas.

Q3. Apibrėžiamoji sąvoka.

Sudaroma formulė Q1(x)→[Q3(x)~Q2(x)], ji skaitoma taip: jei objektui x įvykdoma patikrinamoji

operacija, tai objektas x yra tas ir tas, jei ri tik jei yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas

Pvz jei įdėjus į arbatą dedamas šaukštelis su milteliais, tai tie milteliai yra cukrus, jei ir tik jei arbata

pasidaro saldi. Kartais reikia naudoti silpnesnę operacinio apibrėžimo formulę:

Q1(x)→[Q3(x) →Q2(x)] skaitomas taip: jei objektui x įvykdoma patikrinamoji

operacija, tai jis yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas, objektas x yra tas ir tas.Pvz

jei daiktą priartinus prie geležinių daiktų, tai jei tas daiktas pritrauks tuos geležinius daiktus, tai tas

daiktas yra magnetas.

4. Genetinis apibrėžimas, jame objekto specifika nustatoma nurodant, kaip objektas atsiranda arba yra sukuriamas.

5. Indukcinis apibrėžimas – įgalina iš kai kurių pradinių teorijos objektų, pritaikius jiems tam tikras taisykles sudaryti naujus teorijos objektus, jie skirstomi į dvi dalis:

a. vadinamieji tiesioginiai punktai – jais nustatoma tam tikra objektų sritis, nurodant, pagal kokias taisykles iš pradinių objektų sudaromi nauji objektai.

b. Netiesioginiais punktais nurodoma, kad jokių kitų objektų, išskyrus apibrėžiamus tiesioginiais punktais nėra.

6. Deskripcinis apibrėžimas įgalina apibrėžti individualius daiktus, pavartojant jotą – operatorių (tas x). jo pavidalas. ΓxQ(x). Tas x, kuris turi predikatą Q. Vilnius yra tas miestas, kuris yra Lietuvos sostinė.

Visi apibrėžimai dar skirstomi į:

1. Nominalinius, šiuo apibrėžimu nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmė, jo struktūra tokia terminu...vadinama... arba žodis... reiškia... arba ženklas.. žymi.. Ir pan.

2. Realinius, šie apibrėžimai atskleidžia ne vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmę, bet paties apibrėžiamojo objekto specifinius požymius. Visus realinius apibrėžimus galima paversti nominaliniais. Realinį apibrėžimą Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys pavertę nominaliniu gausime Terminu logikos dėsnis vadinamas visuomet teisingas teiginys. Nominalinius apibrėžimus galime paversti į realinius lygiai taip pat.

 Sąvokų apibrėžimo taisyklės

Kad apibrėžimai būtų logiški ir teisingi reikia laikytis šių taisyklių:

1. Pakeičiamumo taisyklė: apibrėžiamąją ir apibrėžiančiąją išraiškas galima pakeisti viena kita. Nesilaikant šios taisyklės galima padaryti dvi klaidas.

a. Per platus apibrėžimas. Pvz studentai yra žmonės, besimokantis mokymo įstaigoje. Toks apibrėžimas per platus, nes ir moksleiviai mokosi mokslo įstaigoje.

b. Per siauras apibrėžimas. Pvz studentas yra žmogus besimokantis universitete, per siauras nes studentas gali mokytis akademijoj ar aukštesniojoj mokykloj.

2. Vienareikšmiškumo taisyklė: vienos teorijos ribose kiekvieną apibrėžiantįjį turi atitikti tik vienas apibrėžiamasis. Sudarytu apibrėžimu galime apibrėžti tik vieną objektą. Iš kelių teisingų apibrėžimų pasirenkamas vienas, kurį patogiausia vartoti.

3. Apibrėžime neturi būti rato. Ratas apibrėžime loginė klaida, ji pasireiškia dvejopai:

a. Apibrėžiamoji ir apibrėžiančioji sąvokos yra tos pačios. Pvz tinginys – žmogus, kuris tingi.

b. Kai objektas apibrėžiamas sąvoka, kuri pati tampa aiški tik apibrėžiamosios sąvokos dėka. A apibrėžiama B, o B apibrėžiama A.

4. Apibrėžimas turi būti griežtas, aiškus ir tikslus. Apibrėžime sąvokas reikia vartoti tikslia reikšme, neleisti palyginimai ir t.t. Pvz senatvė yra gyvenimo saulėlydis, tai yra neapibrėžimai, o tik vaizdingi palyginimai.

21. Veiksmai su loginėmis klasėmis: klasių atimtis, apibendrinimas, susiaurinimas.

Klasių atimtimi vadinamas veiksmas, kuriuo iš vienos klasės išskiriami elementai, sudarantys kitą klasę.

Pvz. Iš klasės studentai iš skyrę studentus baigusius daugiau nei du kursus, gauname klasę studentai baigę mažiau nei du kursus. Grafiškai atrodys taip: klasė studentai – A baigę daugiau nei du kursus- B. Tarp šių

Klasių yra perkirtimo santykis. Užbrūkšniuota brėžinio dalis yra dviejų

Klasių veiksmo rezultatas: klasė studentų nebaigusių dviejų kursų. Atimtis

Užrašoma A-B. Klasių atimties rezultatas yra klasė tokių elementų, kurių

Kiekvienas priklauso klasei A ir nė vienas nepriklauso klasei B.

Klasės apibendrinimas – tai veiksmas, kuriuo išplečiama klasės apimtis.

Pvz klasę logikos vadovėliai galima apibendrinti įskyrus į vadovėlių klasę, o vadovėlių klasę

apibendrinti įskiriant juos į knygų klasę. Apibendrinimas negali būti

beribis, jo riba plačiausios apimties klasė, jos vadinamos kategorijomis.

Kategorijos – abstrakčiausios sąvokos.

Klasės susiaurinimas – atvirkščias klasės apibendrinimui veiksmas, kuriuo

sumažinama klasės apimtis. Susiaurinimo riba – klasės elementas

 Veiksmai su loginėmis klasėmis: klasės neigimas, klasių sudėtis ir daugyba.

Klasės neigimu vadinamas veiksmas, kuriuo iš klasės A gaunama klasė ne-A. Ji žymima A. Pvz klasės studenrai neigimas yra klasė nestudentai. Grafiškai klasės neigimas vaizduojamas taip:

Skritulys žymi klasę A, o užbrukšniuotas paviršius klasę ne-A.

Visas stačiakampio plotas – tai universalioji klasė. Sudėję klasę ir jos

Neigimą gaunama universali klasė. A+ A=1, skaičius 1 žymi universalią klasę. Klasės neigimas kartais dar vadinamas klasės papildymu. Dvigubas klasės neigimas lygiavertis pradinei klasei.

Dviejų klasių sudėtimi vadinamas veiksmas, kuriuo gaunama nauja klasė, ir šią naują klasę sudaro visi abiejų pradinių klasių elementai. Sudėtis žymima simboliu U. Klasių sudėtis atitinka teiginių logikos jungtį “arba”. Galima užrašyti taip: (A U B) ~ Vx(xє A V xє B).

Klasių daugyba yra bendrų elementų suradimas dauginamose klasėse.

Pvz klasė geri studentai sudaroma sudauginus klases studentai ir geri žmonės.

Sudauginus nuošalės santykyje esančias klases, gaunama nulinė klasė, nes tos klasės neturi bendrų elementų. Dauginti galima ne tik dvi bet ir daugiau klasių. Klasių daugyba žymima ženklu ∩, klasių daugyba atitinka jungtį “ir”. Klasių daugyba užrašoma pagal formulę: (A∩B) ~ Vx(xє A * xє B). Grafiškai galime pavaizduoti taip:

 Bendra predikatų logikos samprata. Savybių ir santykių teorija. Kvantoriai.

Yra tokių samprotavimų, kurių išvadų negalime pagrįsti teiginių logikos priemonėmis. Pvz, Jonas myli Vanda. Vand myli Petrą. Vadinasi Jonas myli Petrą. Šio samprotavimo loginį korektiškumą galima pagrįsti, tiriant prielaidų ir išvadų struktūrą.

Teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma, o Predikatų logika yra logikos teorija, nagrinėjanti vidinę teiginio struktūrą.

Teiginį sudaro objektas ir požymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas. Teiginio objektas kartais vadinamas subjektu, o požymiai – predikatais.

Skiriami tokie požymiai: savybės, santykiai ir pavadinimai.

Savybė yra toks požymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui.

Santykis yra toks požymis, kurį galima priskirti mažiausiai dviem objektams.

Savybės – vienviečiai predikatai, nes jas galima priskirti vienam objektui.

Santykiai – daugiaviečiai predikatai, nes juos galima priskirti mažiausiai dviem objektams.

Predikatų logika nagrinėja savybes ir santykius. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi dalis – savybių teorija ir santykių teoriją.

Propozicinė funkcija – tai funkcija, nustatanti atitikimą tarp tam tikros srities objektų, kurie yra jos argumento reikšmės, ir teisingumo bei klaidingumo išvadose.

Išraiškose

X yr studentas

X yra mokslas

X yra aukštoji mokykla

Kintamasis x vadinamas šių funkcijų argumentu. Propozicinės funkcijos virtimas teisingu arba klaidingu teiginiu priklauso, nuo to, kokiam objektui požymis priskiriamas , priklauso nuo argumento x reikšmių.

Antras būdas propozicinei funkcijai paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais (quantum-kiek).

Kvantorius teiginį apibūdina kiekybiškai, jis nurodo kokiam objektų skaičiui požymis priskiriamas arba nepriskiriamas. Kvantoriniai žodžiai gali būti: “visi, kiekvienas, bet kuris, nė vienas, kai kurie, keli, keliolika, vienintelis, yra, egzistuoja, daug, be galo daug”., jiems priklauso ir visi kiekiniai skaitvardžiai. Yra du pagrindiniai kvantoriai:

1. egzistavimo kvantorius, jis žymimas Эx, jis skaitomas yra toks (tokie) x. Egzistavimo kvantorius prieš propozicinė funkciją, taip ji virsta teiginiu. Pvz yra toks x , kuris yra studentas, arba, yra toks x, kuris yra mokslas., galima šiuos teiginius skaityti ir daugiskaitoje. Egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus skaičius objektų turi tą požymį, jis tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turįs tokį požymį, bet jų gali būti ir daugiau

2. Bendrumo kvantorius, juo tvirtinama, kad požymį turi kiekvienas nagrinėjamos klasės objektas, jis žymimas simboliu Vx ir skaitomas kiekvienas x. Pvz kiekvienas x, jei x dėstytojas, tai x inteligentas. Propozicines funkcijas susiejus su egzistavimo ar bendrumo kvantoriais galima gauti klaidingus teiginius.

Yra ir daugiau kvantorių. Apribojantys kvantoriai jie užrašomi taip: VxP(x) F(x) arba ЭxP(x) F(x)ir skaitomi taip: kiekvienas x turi predikatą F, jei jis turi predikatą P; yra toks x, kad kai x turi predikatą F, jis turi ir predikatą P.

Skaitinis kvantorius, jis nurodo, kad yra tikslus skaičius n tokių x kurie turi predikatą F: Эxn F(x).

Begalybės kvantorius teigia, kad yra begalinis skaičius tokių x, kurie turi predikatą f: Эx∞F(x).

Kvantoriai atlieka loginį operatorių vaidmenį. Operatoriumi logikoje vadinamas simbolis arba kombinacija simbolių, kurie, pavartoti kokioje nors loginėje formoje, sukuria naują formą. Konjunkcija, disjunkcija ir kitos teiginių logikos jungtys, kvantoriai – tai visi loginiai operatoriai.

 Dedukcinis metodas.

Dedukcija yra išvadų gavimas iš prielaidų pagal logikos dėsnius. Dedukciniuose samprotavimuose iš teisingų prielaidų visuomet turime gauti teisingą išvadą.

Teorija, kurioje taikomas dedukcinis metodas, vadinama dedukcine teorija.

Dedukcinė teorija – tai sąvokų ir teiginių sistema, turinti šiuos požymius:

1. visi dedukcinės teorijos teiginiai teisingi.

2. dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo, o iš jų pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti dedukcinės teorijos teiginiai.

3. Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius sąvokų neapibrėžiama, ir šiomis neapibrėžiamomis sąvokomis apibrėžiamos visos kitos dedukcinės teorijos sąvokos.

Dedukcinis metodas kitaip dar vadinamas aksiominiu, dėl to, kad pradiniai teorijos teiginiai, kurie laikomi teisingais be įrodymo, vadinami aksiomomis. Teiginiai iš aksiomų išvedami pagal iš anksto nustatytas taisykles. Deduktyviai kuriant kokią nors mokslo teoriją, remiamasi:

1. Konkrečia tos mokslo teorijos medžiaga.

2. Logika, nes iš tos teorijos aksiomų teiginiai išvedami pagal logikos dėsnius.

Sudarant kokią nors mokslo discipliną dedukciniu metodu, kai kurie tos disciplinos teiginiai laikomi aksiomomis ir iš aksiomų, pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti jos teiginiai.

Kiekvieną dedukcinės sistemos teoremą galima išvesti iš bet kurios tos sistemos aksiomų grupės.

Dedukcinė teorija nagrinėjama dviem požiūriais:

1. Sintaksiniu, reiškia, kad kalba formalizuojama, ji nagrinėjama kaip sistema formalių teiginių susietų tarpusavyje pagal tam tikras formalias taisykles. Šiuo požiūriu dedukcinė teorija suprantama kaip visuma kurios nors kalbos ženklų ir išraiškų, kurie nagrinėjami tik kaip grafiniai ženklai, sutvarkyti pagal bendras kalbos sudarymo ir loginio išvedimo taisykles. Pvz teiginių logika, sudaryta deduktyviai.

2. Semantiniu, išaiškina, kokius objektus ji reiškia, kokiai objektų sričiai ji taikoma. Visos teoremos, įrodytos, remiantis kuria nors aksiomų sistema, yra teisingos kiekvienoje tos sistemos interpretacijoje.

Dedukcinei teorijai keliami trys pagrindiniai reikalavimai:

1. aksiomų nepriklausomumas

2. Neprieštaringumas. iš aksiomų turi būti negalima išvesti kokio nors teiginio ir to teiginio neigimo.

3. Pilnumas. Kiekvieną joje suformuluotą teiginį galima įrodyti arba paneigti.

Teorija deduktyviai sudaroma tada, kai ji jau pakankamai ištirta, išvystyta.

 Įrodymų klaidos (formalios neformalios). Pralogizmai. Sofizmai. Paralogizmas yra loginė klaidda, padaroma netyčia, neapgalvotai arba iš anksto apgalvotai, tačiau neturint tikslo ką nors apgauti. Kartais netyčia padaroma loginių klaidų. Priežastis- nepakankama loginė mąstymo kultūra. Sudėtinguose samprotavimuose kartais galima apsirikti. Kartais loginė klaida padaroma iš anksto apgalvotai ir siūloma tą klaidą surasti. Tai yra paralogizmas. Sofizmas yra sąmoningai sudarytas klaidingas samprotavimas, kuris pateikiamas kaip teisingas. Sofizmai būdavo sudaromi nevienareikšmiškai vartojant sąvokas, teiginius. Pvz.,: Tai ko jūs nepametėt, turite. Jūs nepametėt ragų. Vadinasi, turite ragus. Sąvoka “nepametėt vartojama netiksliai. Negalima pamesti tai, ko neturėjome. Sofizmų meistrai buvo jėzuitai. Sofizmai skirstomi į individualius ir socialinius. Individualūs- atskiras asmuo siekia apgauti, suklaidinti kitą asmenį. Socialiniai – siekiama suklaidinti grupę, klasę, visuomenę

 Įrodymo taisyklės(tezei, argumentams, įrodymo būdui). Įrodymo tezės taisyklė: tezė turi būti tiksliai apibrėžta ir išlikti ta pati įrodymo procese.Reikalavimas, kad tezė įrodymo procese turi išlikti ta pati, reiškia, kad įrodomos tezės negalima pakeisti kita teze. Tezės pakeitimo klaida pasireiškia įvairiai: 1. Įrodoma ne pasakytoji tezė, bet visai kita. Iš pateiktų argumentų seka kita tezė, o ne ta , kuri įrodinėjama. 2. Įrodymo “į žmogų” panaudojimas. Šiuo atveju apeliuojama į tezę pateikusio žmogaus savybes. nurodoma, kad pvz:, jis rimtas mokslininkas, jo darbai plačiai žinomi, vadinasi, reikia jo iškelta teze tikėti. Arba priešingai. Tokie įrodymai logikoje neleistini. Logika tepripažįsta vieną įrodymą – “į tiesą”, t.y. pačios tezės tyrimą nepriklausomai nuo ją pateikusio žmogaus savybių. Įrodymo “į žmogų’ klaida yra ir tada, kai įrodoma ne iš esmės, bet remiantis citatomis iš mokslo autoritetų veikalų. Šiuo atveju sakoma klaida “į autoritetą”.citatos, kad ir iš žymaus mokslininko veikalo, tezės neįrodo. Mokslininkais reikia remtis su saiku, protingai, logiškai. 3. Tezė gali būti pakeista vadinamuoju įrodymu “į publiką”. Šiuo atveju tezė įrodinėjama ne pagal logikos reikalavimus, bet, loginį argumentavimą pakeitus emociniu argumentavimu, daromas poveikis žmogaus jausmams, siekiant sukelti simpatiją, pritarimą vienam dalykui ir nepritarimą kitam. Apeliuojama ne į protą, bet į jausmus. Argumentų taisyklės. 1. Argum gali būti teisingi ir pakankamas pagrindas tezei. Reikalavimas kad argum būtų teisingi, yra visai aiškus.klaidingais argumentais galima įrodyti bet kurią tezę. Klaidingų argumentų pateikimas vad pagrindine klaida. Argum turi pakakti nustatant tezės teisingumą. 2. Argum teisingumas turi būti įrodytas nepriklausomai nuo tezės. Nesilaikant šios taisyklės, gaunama rato klaida: tezė įrodoma tam tikrais argumentais, o argumentų teisingumas įrodomas remiantis ta pačia teze. Įrodymo būdas turi būti logiškas, t.y. tezė iš argumentų turi būti išvedama, laikantis logikos reikalavimų.

 Netiesioginio įrodymo būdai. (Tezės) paneigimo būdai. Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas, įrodant tezei prieštaraujančių teiginių klaidingumą. Kai įrodoma, kad tezei prieštaraujantis teiginys klaidingas, tai iš to seka, kad įrodomoji tezė teisinga. Yra 2 netiesioginio įrodymo būdai: 1) Visų klaidingų atvejų paneigimas. Šiame netiesioginiame įrodyme pirmiausia nurodomi visi negalimi atvejai – visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra žinoma, kad viena iš tezių teisinga,, tačiau nežinoma kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, išskyrus tą vieną, ir ta likusi nepaneigta tezė turi būti teisinga. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(pq)•q]p. Šis netiesioginis įrodymas teisingas tada, kai nurodomos visos galimos tezės ir paneigiamos visos klaidingos tezės. 2) Įrodymas“nuo priešingojo”. Šis netiesioginio įrodymo variantas reiškiamas teiginių logikos dėsniu: p[(pq)•(qp)].Tezės teisingumas įrodomas taip. Tariama, kad ji klaidinga ir teisinga jai prieštaraujanti tezė p. Paskui iš tezės p išvedamas sekmuo q. Toliau įrodoma, kad q klaidingas. Tada turi būti klaidinga ir tezė p, o pp teisinga. Tezės paneigimo būdai: 1) Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti pateikiami argumentai. Argumentus pateikiant, įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turim teisę pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, tai jais galima bet ką irodyti. Būtina, kad pateikti argumentai būtų teisingi, priešingu atveju galime tezės nepriimti ir nelaikyti jos teisinga. Tezė ir argumen- tas susieti implikacijos ryšiais. Teisingas teiginys kartais seka iš klaidingo teiginio. 2) Įrodymo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būdą, nustatoma, kad iš pateiktų argumentų tezė logiškai neseka. Nurodoma, kad iš pateiktų argumentų seka ne nagrinėja- moji, o kuri nors kita tezė. Įrodymo būdo paneigimas yra silpniausias paneigimas. Asmuo gali pasakyti teisingą tezę, tik nemokėti jos įrodyti, nesurasti argumentų arba nemokėti argumentų sutvarkyti taip, kad iš jų logiškai sektų tezė.3) Išvedamų iš tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės paneigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys (sekmuo), išvestas iš tezės, klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. Iš teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. Tezė – p, sekmuo – q. pq. q – kllaidingas, vadinasi p klaidingas. Paneigimu remiasi kritika ir savikritika.

Join the Conversation

×
×