Integralai

1.Pirmykstės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo savokos. Neapibrėžtinio integralo savybės

1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija atkarpoje [a;b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose x teisinga lygybė

arba
Analogiškai apibrėžiama funkcijos f(x) pirmykštė funkcija begaliniame bei atvirame intervale (a;b).
Teorema. Jei F1(x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f(x) pirmykštės funkcijos atkarpoje [a;b], tai jos viena nuo kitos skiriasi konstanta C, t.y.

.
Remiantis pirmykstės funkcijos apibrežimu, visuose atkarpos [a;b] taškuose x teisingos lygybes:

Iš šių lygybių gauname, kad

, ,

.
Toliau pasiremsime anksciau įrodytu teiginiu: jeigu funkcijos išvestinė kuuriame nors intervale lygi nuliui, tai funkcija shiame intervale yra pastovi.
Vadinasi,

, .
Išvada. Kai F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų atkarpoje [a;b], tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė funkcija šioje atkarpoje išreiškiama suma F(x)+C, čia C=const.
2 apibrežimas. Aibė visų duotossios funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C, čia C=const., vadinama funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima simboliu .
Funkcija f(x) vadinama pointegraline funkcija, sandauga f(x)dx — pointegraliniu reiškiniu, ženklas — integralo ženklu, x — integravimo kintamuoju.
Vadinasi,

, C=const, kai .
Veiksmas, kuriuo surandama duotosios funkcijos pirmykštė funkcija, vadinamas integravimu. Jo rezultatas — pirmykščių funkcijų begalinė aibė. Tuo šis veiksmas skiriasi nuo jam atvirkštinio diferencijavimo veiksmo, nes funkcijos išvestinė apskaičiuojama vienareikšmiškai.
Geometriškai neapibėžtinis integralas nusako šeimą (aibę) kreivių y=F(x)+C, kurių kiekviena gaunama lygiagrečiai pastumiant funkcijos y=f(x) grafiką Oy ašies kryptimi į viršų, kai C>0, ar į

apačią, kai C<0
Paweiksliukas
Bendruoju atveju, ne kiekviena funkcija f(x), apibrėžta atkarpoje [a;b], turi pirmykštę funkciją. Tolydžiųjų atkarpoje [a;b] funkcijų pirmykštė funkcija (kartu ir neapibrėžtinis integralas) egzistuoja visada. Šį teiginį kol kas laikysime teisingu be įrodymo ir toliau kalbėsime tik apie tolydžiųjų funkcijų integravimą.
Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukia šie teiginiai:
1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, t.y.

, nes

.
2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas yra lygus pointegraliniam reiškiniui, t.y.

.
3. Bet kurios funkcijos F(x) diferencialo neapibrėžtinis integralas lygus tai funkcijai, sudėtai su konstanta, t.y.

, nes

.
SAVYBĖS
1 teorema. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą:

, kai . (1)
Diferencijuojant abi (1) lygybės puses, remiantis teiginiu, kad neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, gausime:

,

.
Žinome, kad turinčios vienodas išvestines funkcijos ir skiriasi tik konstanta, todėl priklauso tai pačiai funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų aibei. Tokia prasme reikia suprasti (1) lygybę.
2 teorema. Dviejų ar didesnio baaigtinio skaiciaus funkcijų algebrinės sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralų algebrinei sumai:

;

.
Įrodymas analogiškas pirmos teoremos įrodymui.
Iš šių dviejų teoremų išplaukia, kad

.
3 teorema (apie integravimo formulių invariantiškumą). Jeigu ir — funkcija turinti tolydžią išvestinę, tai

.
Kadangi , tai arba . Imkime sudėtinę funkciją . Žinome, jog pirmosios eilės diferencialui būdinga formos invariantiškumo savybė, todėl

.
Tuomet .
Vadinasi, pagrindinių integralų formules visada yra teisingos, ar integravimo kintamasis yra nepriklausomas, ar bet kuri diferencijuojama to kintamojo funkcija. Ši savybė vadinama integravimo formulių invariantiškumo savybe.
Remdamiesi 3 teorema, neapibrėžtinių integralų lentelę galėsime už
žrašyti funkcijai :

. (1)

ir t.t. čia .
Integravimas, naudojantis pagrindinėmis neapibrėžtinio integralo savybėmis ir pagrindinėmis formulės, vadinamas tiesioginiu integravimu. Kad galėtume taikyti integravimo formulių invariantiškumo savybę, pointegralinį reiškinį reikia pertvarkyti taip, kad integruojant galėtume taikyti kurią nors integravimo formulę.
Pavyzdziui, jei F(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė funkcija, tai

, nes

, .
Vadinasi, visada galima dx pakeisti d(x+a), taip pat dx pakeisti , nes , , , , .

2. Funkcijos y = f(x) integralinės (Rymano)sumos atkarpoje [a;b] apibrėžimas. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas. Apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė.
Sakykime, kad atkarpoje [a;b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija y = f(x).
1 apibrėžimas. Figūra, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų x = a ir x = b, iš viršaus funkcijos
y = f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija.

Apskaičiuosime šios trapecijos plotą. Atkarpą [a;b] taškais a = x0 < x1 < . < xi-1 < xi < . < xn = b, bet kaip padalykime į n dalių. Kiekvienoje dalyje bet kur pasirinkime po tašką ci ir suraskime funkcijos reikšmes šiuose taškuose f(ci). Kiekvieną atkarpą [xi-1; xi] laikydami kraštine, nubrėžkime stačiakampius, kurių pagrindai lygūs Δxi = xi – xi-1, o auk6tin4s lygios f(ci) (i = ). Gausime laiptuotą figūrą. Apskaičiuosime jos plotą. Kiekvieno stačiakampio plotas lygus f(ci)Δxi, todėl visos laiptuotos figūros plotas σ lygus tokių dėmenų sumai. Taigi σ = f(ci)Δxi. Aišku, kad laiptuotos figūros plotas bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos plotui, juo bus mažesnės atkarpos [xi-1; xi]. Pažymėkime ma

axΔxi raide λ, 1 ≤ 1 ≤ n. Tikslią kreivės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos σ ribą, kai λ→0 (tuomet n neapibrėžtai didėja). Vadinasi,
S = lim (λ→0) σ = lim (λ→0) f(ci) Δxi.
Aprašytą procedūrą pritaikykime bet kokiai tolydžiai funkcijai y = f(x), apibrėžtai atkarpoje [a;b]:
1) sudarykime suma f(ci) Δxi, kuri vadinama integraline suma;
2) apskaičiuokime šios sumos ribą, kai λ→0:
lim (λ→0) f(ci) Δxi.
2 apibrėžimas. Baigtinė integralinės sumos riba, kai λ→0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skaidymo būdo bei nuo taškų ci parinkimo, vadinama funkcijos f(x) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b].
Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu . Taigi = lim (λ→0) f(ci) Δxi. (2)
Skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais. (2) formulė rodo, kaip galima formaliai integralinės sumos ribą pakeisti apibrėžtiniu integralu:
1) ribos ir sumos ženklas keičiamas simboliu ,
2) funkcijos reikšmė tarpiniame taške f(ci) keičiama f(x), o dydis Δxi – diferencialu dx.
Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją vadiname integruojama atkarpoje [a;b]. Tolydi atkarpoje [a;b] funkcija yra integruojama.
Kreivinės trapecijos plotas S = . Tai ir yra integralo geometrinė prasmė.

3. Apibrėžtinio integralo savybės
Sakykime , kad f(x) ir g(x) – integruojamos atkarpoje [a;b] funkcijos. Tuomet teisingi šie teiginiai:
1. = ; čia ir – bet kokie realieji skaičiai.
Įrodymas: Pritaikę apibrėžimą gauname: = = = .
2. = 0
Įrodymas: Ši savybė išplaukia iš apibrėžtinio integralo apibrėžimo, nes integravimo atkarpos ilgis a – a = 0 ir integralin4 suma taip pat lygi nuliui.
3. Kai a < b, tai = .
Įrodymas: Ši formulė apibendrina integralo sąvoką tuo at

tveju, kai atkarpoje [a;b] (a 0 atkarpoje [a;b], tai
Įrodymas: Kadangi bet kuriame atkarpos [a;b] taške ir ,tai . Tuomet ir . Perėję prie ribos, kai , gauname reikiamą lygybę.
6. Jei atkarpoje [a;b], tai .
Įrodymas: Iš lygybės išplaukia . Tuomet, remiantis 5 ir 1 savybėmis, , t.y. .
7. Apibrėžtinio integralo įvertinimas. Tarkime, kad m = , M = . Tada .
Įrodymas: Kadangi ir , tai . Apskaičiuosime sumą = = . dabar aišku, kad, perėję prie ribos nelygybėse, teoremą įrodome.
8. Vidutinės reikšmės teorema. Kadangi ši savybė dažnai naudojama, tai ją suformuluosime kaip teoremą.
Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja tos atkarpos taškas c, kuriame = .
Įrodymas: Kadangi funkcija tolydi atkarpoje [a;b], tai ji šioje atkarpoje įgyja savo mažiausią ir didžiausią reikšmes m ir M, todėl . Tuomet teisingos nelygybės. Padaliję jas iš b – a > 0, gausime . Kadangi dydis yra tarp funkcijos f(x) mažiausios ir didžiausios reikšmių m ir M, tai šis dydis, remiantis teorema apie tolydžios atkarpoje funkcijos tarpinę reikšmę, yra funkcijos f(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pavyzdžiui, kuriame nors taške c (a < c < b). Todėl = ; iš čia = .
Reikšmę f(c) vadinama vidutine funkcijos f(x) reikšme atkarpoje [a;b].

4. Apibrėžtinis integralas su kintamu viršutiniu rėžiu ir jo išvestinė
Jei funkcija f(x) integruojama atkarpoje [a;b], tai ji bus integruojama atkarpoje [a;x], . Nagrinėsime integralą , kuris, kai f(x) > 0 geometriškai reikštų kreivinės trapecijos aAXx turinčios kintamą kraštinę xX, plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas irgi bus kintamas ir priklausys nuo x. Todėl = .
Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], = , tai = šios atkarpos taškuose.
Įrodymas: Kintamajam x suteikiame pokytį ir apskaičiuojame pokytį : = = = = . Integralui taikome vidutinės reikšmės teoremą: = = = ; čia . Tuomet = = . Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu: = = . Kadangi , kai , tai dėl f(x) tolydumo: = = f(x). Taigi = f(x). Iš to išplaukia svarbi išvada: kiekviena tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją =
5.Niutono ir Leibnico formulė
Išvesime formulę, kuri apibrėžtinį integralą susieja su pointegralinės funkcijos pirmykšte funkcija.
Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b] ir F(x) – kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai = .
Įrodymas: Remiantis integralo su kintamu viršutiniu rėžiu teorema, galime teigti, kad tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią . Kadangi pagal sąlygą F(x) irgi yra funkcijos f(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik konstanta, todėl = . Įrašę į šią lygybę x = a, gauname: = , . Taigi = . Įrašę į šią formulę x = b, turime = , = . Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą įprasta žymėti .
6.. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimasStačiakampės koordinatės:

Tarkime, kad stačiakampėse koordinatėse duota kreivė, kurios lygtis . Rasime šios kreivės lanko AB ilgį. Pirmiausia apibrėšime, ką vadiname kreivės lanko ilgiu. Tuo tikslu lanką AB bet kaip taškais padalykime į n dalių. Sakykime, kad šių abscisės yra . Per gautus taškus išveskime stygas . Stygos ilgį pažymėkime . Tuomet laužtės, įbrėžtos į lanką AB, ilgis bus lygus . Pažymėkime .
Apibrėžimas: Kreivės lanko AB ilgiu L vadinama riba, prie kurios artėja įbrėžtos į tą kreivę ilgis, kai .
Taigi .
Dabar tarkime, kad funkcija f(x) ir jos išvestinė atkarpoje [a;b] tolydžios. Pažymėkime: . Pagal Pitagoro teoremą . Skirtumui pritaikome Lagranžo teoremą. Tuomet . Todėl ir . Vadinasi, . Kadangi f‘(x) tolydi atkarpoje [a;b[, tai irgi tolydi, todėl egzistuoja parašytos integralinės sumos riba, kuri lygi apibrėžtiniam integralui: ; čia . Dydis ds vadinamas kreivės lanko ilgio diferencialu.

7. Išveskite formulę kreivės lankui apskaičiuoti, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis.

y’x =y’t/x’t ,dx =x’tdt
Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Tarkime, kad kreives lygtys yra tokios: x = x (t), y = y(t),t priklauso [t1; t2 ]; čia x (t) ir y (t) tolydžios atkarpoje [t1;t2] funkcijos, turinčios tolydžias išvestines.Tuomet

Ir (sqrt(1+y,2))dx=(sqrt(x,2t+y’2t))dt. Vadinasi, jeigu x (t1)=a, x(t2)=b, tai
L=a ]b(sqrt(1+ y’2)) dx=t1 ]t2 (sqrt(x’t2 +y’t2)) dt.
8. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimas Polinėse koordinatėse:

Tarkime, kad kreivės lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra , . Šią lygtį galima pakeisti parametrinėmis lygtimis, naudojant ryšio tarp stačiakampių ir polinių koordinačių formules . Tuomet, įrašę į šias lygtis vietoje dydį , gauname ; čia parametras vaidina parametro t vaidmenį. Tuomet . Randame: , todėl ir ; čia
9. Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo rėžiais(apibrėžimai, konvergavimo požymiai).
Integralo konvergavimo tyrimas.Absoliutus ir reliatyvus netiesioginių integralų
konvergavimas.
Apibrėžimas: Integralo riba, kai vadinama funkcijos f(x) netiesioginiu integralu intervale ir žymima taip: = . Jei ši riba baigtinė, tai sakome kad netiesioginis integralas konverguoja. Priešingu atveju, kai minėtoji riba yra begalinė arba neegzistuoja, sakome, kad netiesioginis integralas diverguoja.
Teorema: Jeigu su visomis reikšmėmis tiesingos nelygybės ir jeigu integralas konverguoja, tai konverguoja ir integralas , be to, .
Teorema: Jeigu su visomis reikšmėmis teisingos nelygybės ir jeigu integralas diverguoja, tai diverguoja ir integralas .
Teorema: Jeigu integralas konverguoja, tai konverguoja ir integralas .
Apibrėžimas: Jeigu, konverguojant integralui , konverguoja ir integralas , tai integralas vadinamas absoliučiai konverguojančiu.Tiriant integralo konvergavimą, iš anksto nėra žinoma, su kokia funkcija reikia palyginti pointegralinę funkciją. Labai dažnai palyginimui naudojama laipsnine funkcija y = .

Tarkime, kad

Jei taigi integralas konverguoja
Jei todėl integralas diverguoja

Kai

Vadinasi , integralas konverguoja, kai ir diverguoja, kai

10. Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžai ir konvergavimo požymiai

1. teorema: tarkime, kad funkcijos f(x) ir g(x) atkarpos [a,b] taške x=a turi begalinį trūkį. Jeigu su visais teisinga nelygybė , tai konvertuojant integralui

konvertuos ir
2. teorema: Tarkime, kad funkcijos f(x) ir g(x) atkarpos [a,b] taške x=a turi begalinį trūkį. Jeigu su visais teisinga nelygybė , tai diverguojant integralui

diverguoja ir
3. teorema(ribinis palyginimo požymis): tarkime, kad intervale (a,b] taške x=a turinčios begalinį trūkį. Jeigu egzistuoja begalinė riba:

, tai integralai ir abu kartu konvertuoja arba abu kartu diverguoja.

Taikant palyginimo požymius dažniausiai yra taikomos laipsninės funkcijos y(x)=

konvertuoja, kai ir diverguoja, kai ir diverguoja, kai

kai funkcija f(x) turi trūkį taške x=b, tai šios f-jos integralas yra lyginamas su laipsninės funkcijos g(x)=

11. Funkcijos z=f(x;y) dvimatės integralinės sumos sudarymas ir apibrėžimas. Dvilypio integralo apibrėžimas ir savybės. Dvilypio integralo apskaiciavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Apibendrinsime apibrėžtonio integralo sąvoką ir apibrėšime 2 kintamųjų funkcijos f(x,y) integralą erdves R2 baigtinėje srityje D.
Priminsime, jog kreivė L, kurios parametrinės lygtys yra x=x(t), y=y(t), vadinama glodžiąja, kai x ir y išvestinėsyra tolydžios ir abi kartu nera lygios 0, t.y.:
Jeigu tolydžioji krivė L yra nusakyta lygtymi y=f(x) , tai . Kreivė L vadinama dalimis glodžiąją, kai ja galima suskaidyti į baigtinį skaičių glodžiųjų dalių.
Nagrinėsime uždarą apibrėžtą sritį D, kurios kontūrą sudaro baigtinis skaičius
glodžiųjų kreivių. Sakysime, kad tokios srities D taškuose apibrėžta tolydi
funkcija f(x;y). Sritį D dalimis glodžiais lankais bet kaip padalinkie i n dalių
D1 , D2, D3,., Dn . pažymėję ∆ Si (i=1,n) i-tosios srities Di plotą, o di jos diametrą(skersmenį) t.y. didžiausia atstumą tarp srities Di taškų.
Kiekvienoje srityje Di bet kaip pasirenkame po tašką Mi (), apskaičiuokime funkcijos reikšmę f(Mi ) ir sudarykime sumą

, kuri vadinama dviejų kintamųjų funkcijos f(x;y) Rymano dvimate integraline suam srityje D.
Pažymėję ir apskaičiuojame integralines sumos ribą kai λ arteja prie 0, o tada dalinių sričių Di skaičius neapibrėžtai didėja.
Apibrėžimas. Rymano integralinės sumos σn baigtinė riba, kai , nepriklausomai nuo srities D suskaidymo dalinis į dalines sritis Di būdo bei taškų Mi (ζi;ηi) priklausančių Di pasirinkimo, vadinama funkcijos f(x;y) dvilypiu integralu srityje D ir žymima ir sakoma kad funkcija f(x,y) yra integruojama Rymano prasme srityje D. Taigi,
Dabar nurodysime sąlygas,kurioms esant egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, o tuo pačiu ir funkcijos f(x,y) dvilypis integralas. Aišku kad funkcija f(x,y) turi buti apibrėžta, nes priešingu atveju itegralinėsuma baigtinės ribos neuri. Taigi, funkcijos f(x,y) apibrėžtumas yra būtina jos integruojamumo Rymano prasme sąlyga.
Apibrežimas: Funkcija f(x,y) vadinama dalimis tolydžiaja uždaroje srityje Dm jei ji šioje srityje apibrėžta, o visi trūkio taškai šioje srytyje sudaro glodžias kreives y=φ(x) ir x=ψ(y), kurių skaičius yra baigtinis.
Teorema ( Pakankama integruojamumo sąlyga). Tolydžioji (dalimis tolydi) uždaroje apibrėžtoje srityjeD funkcija f(x,y) yra integruoja Rymano prasme šioje srityje. Integralo reikšmė nepasikeis, laisvai keičiant funkcijos f(x,y) reikšmes jos trūkių taškuose, jei itk funkcija išlieka apibrėžta.

Tarkime kad funkcijos f(x,y) ir g(x,y) integruojamos srityje D, išvardinsime svarbesnias integralų sąvybes:
1. (Tiesiškumas) kokie bužebūtų realieji skaičiai α ir β, visada teisinga lygybė:

2.(Adityvumas). Kai sritis D yra 2 sričių D2 ir D2 , neturinčių bendrų vidinių taskų sąjunga, tai

3. Jei f(x,y)

4. Jei f(x,y)

5. (Integralo modulio įvertinimas)

6.(dvilypio integralo įvertinimas) Pažymėkime S- srities D plotas. Tada

7. (Vidutinės reikšmes teorema) Sakykime, kad funkcija f(x,y), tolydi uždaroje apibrėžtoje srityje D. Tada egzistuoja toks taškas P(ζi;ηi) , kad
Skaičius vadinamas funkcijos f(x,y) vidutine reikšme srityje D.
Dvilypiu integralu skaičiavimas pakeičiamas pakartotinių (vienalyčių) integralų skaičiavimu. Pagal srities D nustatymo būdus išskirsime 3 atvejus.
1. Sakykime kad integravimo sritis , cia φ1 (x)ir φ2 (x) yra tolydžios funkcijos. Ir φ1 (x) φ2 (x), Dar sakysime kad bet kokia tiese, lygegreti ašiai Oy ir einanti per srities D vidinį tašką, kerta srities sieną tiktai tiktai 2 taškuose M1 ir M2 . Tokią sritį vadinsime taisyklingą ašies Oy atžvilgiu. Tarkime kad f(x,y) integruojama srityje D, t.y. egzistuoja dvilypis integralas , jei su bet kuria fiksuota kintamojo x reikšme iš intervalo [a;b] funkcija f(x,y) yra integruojama atkarpoje [φ1 (x), φ2 (x)] kintamojo y atžvilgiu, t.y. jeigu egzistuoja apibrėžtinis integralas , tai teisinga formulė . Dešnėje lygybės pusėje esantis integralas vadinamas kartotiniu integralu. Ji reikai suprasti taip: tarus, kad kintamasis x yra fiksuotas( pastovus) , iš pradžių apskaičiuojamas vidinis integralas , poto gauta kintamojo x funkcija S(x) integruojama atkarpoje [a,b]
2. Jeigu sritis D taisyklinga ašies Ox atžvilgiu, t.y. , tai analogiškai galime užrašyti Čia pirmiausia apskaičiuojamas apibrėžtinis integralas , tarus, kad kintamojo y reikšmė yra pastovi, poto gaunamas rezultatas integruojamas atkarpoje [c,d]
3. Atskiru atveju, kai integravimo sritis D yra stačiakampis turime , taigi, kai integravimo rėžiai kartotiniame integrale yra pastovūs, tai pakeisti integravimo tvarka labai lengva.

12.Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje
Tai atvejais, kai integravimo sritį D riboja apskritimų lankai, tiesės, einančios per koordinačių pradžią, kreivės, kurių polinės lygtys yra nesudėtingos, dvilypį integralą patogiau integruoti polinėje koordinačių sistemoje. Išreikškime dvilypį integralą kartotiniais integralais polinėje koordinačių sistemoje. Kai polius sutampa su stačiakampės koordinačių sistemos pradžia, o polinė ašis su Ox teigiamąja pusaše, ryšys tarp taško M(x,y) Dekarto ir polinių koordinačių išreiškiama lygtimis:

čia – taško M polinis spindulys , – polinis kampas . Tegul f(x,y) – tolydžioji funkcija, apibrėžta uždaroje aprėžtoje srityje D. Sritį D koordinatinių linijų ir tinklu, t.y. koncentriniais apskritimais ir iš poliaus išeinančiais spinduliais padalykime į n elementarių dalių. Spinduliai ir ir dviejų apskritimų ir lankai apriboja kreivinį keturkampį abcd. Jo kraštinės ab ilgis lygus ir lanko ad ilgis lygus . Šio keturkampio plotas . Parinkę i – toje srityje tašką – kreivinio keturkampio viršūnę, iš dvilypio integralo apibrėžimo, gauname:
, čia , – i-tosios srities skersmuo. Reiškinys vadinamas ploto diferencialu (elementu) polinėje koordinačių sistemoje. Toliau dvilypį integralą išreikšime kartotiniais integralais . sakykime, kad sritis D yra taisyklinga atžvilgiu. Tarkime, kad sritį D apriboja dvi kreivės ACB ir AEB ir spinduliai OA ir OB, kurie su poline ašimi sudaro kampus ir . Tegul kreivių ACB ir AEB lygtys yra ir . Tuomet: .

13. Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžiams ir jo savybės

Baigtine integraline suma σn riba, kai χ → 0n nepriklausanti nuo lanko AB padalijimo i dalinius lankus būdo bei taškų Mi parinkimo, vadinama funkcijos f(x,y) pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L.

1. Jei f1(x,y) ir f2(x,y) – tolydžios funkcijos, apibrėžtos kreivės L taškuose, o c1 ir c2 – bet kokie realieji skaičiai, tai

2. Jei integravimo kreivė L susideda iš baigtinio skaičiaus glodžiųjų lankų Li, i = 1,k tai

3. Pirmojo tipo kreivinio integralo skaitinė reikšmė nepriklauso nuo krypties, kuri gali būti
suteikta keliui AB:

4. Jei f(x,y) ≡ 1, (x,y) L, tai
l – kreivės lanko L ilgis

5. Integralo modulio įvertis

6. Jei f1(x,y) ≤ f2 (x,y) (x,y) L, tai

7. Vidutinės reikšmės teorema. Jei funkcija f(x,y) tolydi kreivės lanko L taškuose, tai egzistuoja toks taškas M(ξ,η) L, kad

14. Kreivės lanko masės apskaičiavimas
Tarkime, kad erdvinės kreivės L taškuose apibrėžta tolydžioji f-ja , kuri išreiškia materialiosios kreivės L masės pasiskirstymo tankį. Apskaičiuosime tos materialiosios kreivės L masę m. Kreivę L suskaidome į n dalinių lankų, kurių ilgius pažymime . Kiekviename daliniame lanke laisvai pasirenkame po tašką . Tarkime, kad masės tankis daliniame lanke yra pastovus ir lygus . Tuomet i-tojo lanko masė , o visos kreivės masė: . Tikslią masės reikšmę gausime, perėję prie ribos, kai :

15.Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas. Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas (išvesti formules, trys atvejai).

Tarkime, kad f-ja f(x,y) yra apibrėžta glodžios kreivės L lanko AB taškuose. Lanką AB padaliname į n dalinių lankų , kurių ilgis . Kiekviename daliniame lanke laisvai pasirenkame po tašką . Sudarome integralinę sumą: . Baigtinė integralinės sumos riba, kai , nepriklausanti nuo lanko AB padalinimo į dalinius lankus ir taškų pasirinkimo, vadinama pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L ir žymima arba .
Teorema: Jei kreivė L yra tolydi, o f-ja f(x,y) yra tolydi šios kreivės taškuose, tai egzistuoja f-jos f(x,y) pirmojo tipo kreivinis integralas.
Apskaičiavimas:

Tarkime, kad plokštumoje x0y yra duota glodi kreivė L, kurios lygtis y=g(x), , be to f(x,y) yra tolydi kreivės L taškuose. Tada kreivės taško koordinatės (x, g(x)) ir bus teisinga lygybė , kai . Pasinaudoję formule , gauname , perėję prie ribos, kai , pirmojo tipo kreivinį integralą išreiškiame apibrėžtiniu integralu: . Jeigu kreivė L duota parametrine lygtimi , , , tai pirmojo tipo kreivinis integralas išreiškiamas taip: . Kai glodi kreivė L duota polinėse koordinatėse lygtimi , , pirmojo tipo kreivinis integralas lygus: .

16.Antrojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas. Antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas
Kreivę vadiname orientuota, kai nurodyta, kuris iš dviejų taškų yra pradžia, ir kuris – galo taškas. Kai kreivė yra uždara, susitarta, kad teigiamoji kreivės apėjimo

kryptis bus ta, kuria taškas judėdamas kreive, kairėje pusėje turi kreivės ribojamą sritį. Tarkime, kad turime glodžią orientuotą kreivę , kurios taškuose yra apibrėžtos dvi tolydžios f-jos P(x,y) ir Q(x,y). Taškais kreivę padaliname į n dalių: . Tarkime, kad dalinio lanko ilgis lygus . Pažymime: ; . Kiekviename daliniame lanke laisvai pasirenkame po tašką . Sudarome integralinę sumą: . Apibrėžimas: Baigtinė integralinės sumos riba, kai , nepriklausanti nuo orientuotos kreivės L padalinimo į dalis būdo ir taškų pasirinkimo, yra vadinama antrojo tipo kreiviniu integrali kreive ir žymima .
Kai , tai gauname kreivinį integralą . Kai , gauname toki kreivinį integralą . Apibrėždami pirmojo tipo kreivinį integralą f-jos reikšmę taške dauginame iš dalinio lanko ilgio . Kadangi dalinio lanko ilgis nepriklauso nuo orientuotos kreivės krypties, tai lanko krypties pakeitimas neturi jokios įtakos pirmojo tipo kreivinio integralo reikšmei. Apibrėždami pirmojo tipo kreivinį integralą, f-jos reikšmę taške dauginame iš dalinio lanko projekcijų ir . Kai pakeičiame kreivės kryptį, tuo pačiu pakeičiame ir dalinio lanko projekcijų ženklus. Todėl .

Apskaičiavimas: Nagrinėsime integralą . Tarkime, kad kreivės L lanko AB parametrinės lygtys yra , . Lanko pradžia pradžios tašką A

atitinka parametro t reikšmė , lanko galo tašką B atitinka . Be to, tegul f-jos x(t), y(t) ir jų išvestinės , yra tolydžios atkarpoje , o f-ja P(x,y) yra tolydi kreivės L taškuose. Sudarome integralinę sumą, kuri atitinka nagrinėjamą integralą: . Pritaikę Lagranžo teoremą, gauname ; . Tašką pasirenkame taip, kad galiotų lygybės: , . Tada gauname . Pastaroji suma (dešinėje lygybės pusėje) yra tolydžios f-jos integralinė suma. Todėl, priėję prie ribos, kai , gauname . Jei yra tolydžios atkarpoje , f-jos P(x,y) ir Q(x,y) yra tolydžios kreivės L taškuose, tai . Kai tiesė L yra išreikšta lygtimi , o judėjimą iš taško A į tašką B atitinka x kitimas nuo a iki b, tai .

17.Kintamos jėgos darbo apskaičiavimas
Tarkime, kad materialusis taškas juda kreive L, veikiamas kintamos jėgos – . Apskaičiuosime šios jėgos atliktą darbą. Kreivės
lanką L padaliname į n dalinių lankų . Kiekviename lanke pasirenkame po tašką . Tarkime, kad kiekviename daliniame lanke jėga yra pastovi ir lygi , o materialusis taškas juda ne lanku , bet atkarpa . Tada materialaus taško poslinkis bus lygus . Kadangi darbas yra lygus jėgos ir poslinkio vektorių skaliarinei sandaugai, tai jėgos atliktas darbas bus apytiksliai lygus: , perėję prie ribos, kai , gauname:

18.Išvesti Gryno formulę
Tarkime, kad sritis D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra taisyklingoji.
Teorema: Tarkime, kad srityje D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra apibrėžtos tolydžios f-jos P(x,y), Q(x,y), turinčios tolydžias dalines išvestines , , tada ir kreivė L yra apeinama teigiamąja kryptimi.
Įrodymas: Tarkime, kad duota sritis D. Apskaičiuojame dvilypį integralą pakeisdami jį kartotiniu.

=

. Pirmasis integralas yra gaunamas iš kreivinio integralo , kai integruojame kreivę l, kurios lygtis yra . Kadangi yra lanko AEB lygtis, tai . Analogiškai gauname, kad antrasis integralas lygus . Iš šių lygybių gauname . Lankai AEB ir BCA sudaro kontūrą L, todėl kreivinių integralų suma lygi kreiviniam integralui kontūru L. Lankais AEB ir BCA yra judama neigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi. Integravimo kryptį pakeitę teigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi, gausime .
19.Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomo nuo integravimo kelio sąlygos (įrodyti dvi teoremas: 1 teorema apie integralą uždaruoju kontūru; 2 teorema apie dalinių išvestinių lygybę).
1 teorema: Antrojo tipo kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio tada ir tik tada, kai integralas bet kokiu uždaru kontūru L, esančiu srityje D, yra lygus nuliui.
Įrodymas: Tarkime, kad kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o priklausom tik nuo lanko pradžios ir galo taškų A ir B. Tada .

Iš pastarosios lygybės gauname, kad . Iš čia gauname, kad . Kadangi lankai ACB ir BEA sudaro uždarą kontūrą L, tai . Dabar tarkime, kad kreivinis integralas bet kokiu uždaro kontūru L yra lygus 0, t.y. . Tarkime, kad kontūrą L sudaro lankai ACB ir BEA. Tada . Iš čia gauname, kad integralas . Gauname, kad , o tai reiškia, kad integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.
2 teorema: Tarkime, kad funkcijos P(x,y), Q(x,y) ir jų dalines išvestinės ir yra tolydžios vienajungėje srityje D. Integralas bet kuriuo uždaruoju kontūru L, esančiu srityje D, lygus 0 tada ir tik tada, kai visuose srities D taškuose teisinga lygybė .
Įrodymas: tarkime, kad integralas bet kuriuo uždaruoju kontūru L, ribojančiu sritį D* yra lygus 0. tada taikydami Gryno formulę gauname: . Įrodysime, kad , su visais x ir y iš srities D. Šią lygybę įrodysime prieštaravimo metodu. Tarkime, kad bent viename srities D taške M. Apibrėžtumo dėlei tarkime, kad . Kadangi dalinės išvestinės yra lygios, tai ši lygybė yra teisinga ne tik taške M, bet ir tam tikroje to taško M aplinkoje . Tarkime, kad aplinką apriboja uždara kreivė . Tada iš dvilypio integralo savybių gauname: . Pastaroji nelygybė prieštarauja prielaidai, kad integralas bet kuriuo uždaru kontūru , ribojančiu sritį lygus 0. t.y. gavome prieštaravimą tam kad . Darome prielaidą, jog bent viename taške M yra neteisinga vadinasi, visuose srities D taškuose.

20.Pirmos eilės diferencialinių lygčių bendrosios sąvokos. Koši uždavinys. Sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremos formuluotė
Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, kuri turi nepriklausomą kintamąjį x, ieškomą f-ją y bei jos dalines išvestines , . . Jei ieškoma f-ja y yra vieno kintamojo x f-ja, tai lygtis vadinama paprastąja.
Apibrėžimas: Diferencialinės lygties eilė yra vadinama aukščiausios eilės išvestinės, įeinančios į lygtį, eilė.
Apibrėžimas: Diferencialinės lygties sprendiniu arba integralu vadinama f-ja , tenkinanti šią lygtį. Kiekvieną lygties sprendinį atitinka tam tikra kreivė, kuri vadinama integraline kreive.
Pirmos eilės diferencialinė lygtis apibrėžiama taip: . Tokia lygtis turi be galo daug sprendinių. Iš sprendinių aibės norėdami išskirti kurį nors vieną pareikalausime, kad jį atitinkanti integralinė kreivė eitų per tašką , .t.y., kad būtų tenkinama sąlyga: . Ši sąlyga vadinama pradine sąlyga.
Apibrėžimas: diferencialinės lygties bendruoju sprendiniu vadinama f-ja , priklausanti nuo konstantos C ir tenkinanti šias sąlygas: 1. su bet kokia C reikšme ji tenkina diferencialinę lygtį; 2. kad ir kokia būtų pradinė sąlyga , visada egzistuoja tokia konstantos C reikšmė , su kuria f-ja tenkina tą pradinę sąlygą. Kartais bendrasis sprendinys yra apibrėžiamas tokiu pavidalu . Toks sprendinys yra vadinamas bendruoju diferencialinės lygties integralu.
Apibrėžimas: Atskiruoju lygties sprendiniu yra vadinamas sprendinys, kuris gaunamas iš bendrojo sprendinio fiksuojant konstantos C reikšmę .
Apibrėžimas: Lygties sprendinys , kurio negalima gauti iš bendrojo sprendinio nė su viena konstantos C reikšme, yra vadinamas ypatinguoju sprendiniu.
Apibrėžimas: Uždavinys, reikalaujantis rasti lygties sprendinį, vadinamas Koši uždaviniu.
Teorema (Koši uždavinio sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema): tarkime, kad f-ja ir jos išvestinė yra tolydžios srityje D, kuriai priklauso taškas . Tuomet egzistuoja taško aplinka, kurioje egzistuoja vienintelis lygties sprendinys , tenkinantis pradines sąlygas . Geometriškai tai reiškia, kad yra vienintelė f-ja , kurios grafikas eina per tašką . Kai teoremos sąlygos yra neišpildytos, per tašką gali eiti ne viena, o kelios integralinės kreivės.

21.Pirmos eilės diferencialinės lygtys su atskirais kintamaisiais ir jų sprendimas

arba yra vadinama lygtimi su atskirais kintamaisiais. Padalinę abi lygties puses iš gauname lygtį su atskirais kintamaisiais: . Šios lygties bendrasis integralas (bendrasis sprendinys) yra . Dalindami abi puses iš reiškinio laikome, kad jis yra nelygus 0. Jei yra lygčių , realieji sprendiniai, tai taip pat bus diferencialinės lygties sprendiniais. Jei šie sprendiniai negaunami iš bendrojo sprendinio tai juos užrašome papildomai.

22.Homogeninės diferencialinės lygtys ir jų sprendimas
Apibrėžimas: Lygtis yra vadinama homogenine jeigu , .
Tarkime, kad lygtis yra homogeninė. Pažymėję gauname, kad . Pažymėję gausime , . Atsižvelgę į šiuos pažymėjimus iš homogeninės lygties gausime lygtį su atskirais kintamaisiais . . Tarę, kad atskiriame kintamuosius ir integruojame abi lygties puses. . Jei , tai įrašę u išraišką gauname homogeninės lygties bendrąjį sprendinį

23.Pirmos eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys ir jų sprendimas. Bernulio lygtis
Apibrėžimas: Pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi (1) yra tolydžios tam tikrame intervale.
Kintamojo keitimo (Bernulio) metodas
Lygtis sprendžiama naudojant keitinį , ura f-jos turinčios tolydžias išvestines. Įrašę y išraišką į pirmą lygtį gauname . F-ja u parenkame taip, kad . Pastaroji lygtis yra su atskirais kintamaisiais ir ją išsprendę gauname ; ; ; . Įrašę f-jos u išraišką į pirmąją lygtį gauname ; . Suintegravę abi lygybės puses gauname . Įrašę f-jų u ir v išraiškas gauname pirmosios lygties bendrąjį sprendinį
Bernulio lygtis:
Apibrėžimas: Bernulio diferencialine lygtimi vadiname lygtį .
Kai gauname pirmos eilės tiesinę lygtį. Kai gauname lygtį su atskirais kintamaisiais.
Abi lygties puses daliname iš : . Įvedę naują kintamąjį gauname ; ; ; . Šią Bernulio lygtį suvedame į pirmos eilės tiesinę lygtį, todėl Bernulio lygtį galime spręsti naudodami keitinį . Kai taip pat yra Bernulio lygties sprendinys.
24.Antros eilės tiesinės diferencialinių lygčių bendrosios sąvokos. Sprendinių tiesines priklausomybės ir nepriklausomybės apibrėžimai. Vronskio determinantas. Įrodyti teoremas apie sprendinių tiesinę priklausomybę, panaudojant Vronskio determinantą
Apibrėžimas: n-tosios eilės diferencialine lygtimi vadiname lygtį

. N-tosios eilės lygties bendrasis sprendinys priklauso nuo n konstantų ir turi tokią išraišką . – n kartų diferencijuojama f-ja. Suformuluosime Koši uždavinį: ieškomas lygties sprendinys y tenkinantis pradines sąlygas , , ,.
Vronskio determinantas: Tarkime, kad f-jos , yra diferencijuojamos intervale (a,b). Determinantas yra vadinamas Vronskio determinantu.
Sprendinių tiesinės nepriklausomybės teoremos:
1 Teorema: Jei , yra tiesiškai priklausomos intervale (a,b), tai ,
Įrodymas: kadangi , tiesiškai priklausomos , tai , iš čia gauname
2 Teorema: Jei lygties (1) atskirieji sprendiniai , yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b), tai .
Įrodymas: Tarkime, kad , yra pirmos lygties sprendiniai tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Teoremą įrodysime prieštaravimo metodu. Tarsime, kad bent viename intervalo (a,b) taške . Sudarome lygčių sistemą . Šios sistemos determinantas yra lygus Vronskio determinantui taške , t.y. jis lygus nuliui. Tai reiškia, kad egzistuoja sprendinys , ir bent vienas iš skaičių , yra nelygus nuliui. Sudarome pirmosios lygties atskirąjį sprendinį . Šis sprendinys tenkina pradines sąlygas ir . . Akivaizdu, kad f-ja , tenkina pirmąją lygtį ir tas pačias pradines sąlygas ir . Tačiau pirmoji lygtis gali turėti tik vieną sprendinį, tenkinantį duotąsias sąlygas, todėl atskirieji sprendiniai ir sutampa. . Kadangi bent vienas iš skaičių , yra nelygus nuliui, tai iš pastarosios lygybės išplaukia, kad ir yra tiesiškai priklausomi. Gavome prieštaravimą teoremos sąlygai, kad ir yra tiesiškai nepriklausomi, todėl padaryta prielaida taške yra neteisinga. Vadinasi kiekviename taške .
3 Teorema: Jei Vronskio determinantas sudarytas iš (1) lygties atskirųjų sprendinių , yra nelygus nuliui bent viename intervalo (a,b) taške , tai jis nelygus nuliui kiekviename to intervalo taške.
Įrodymas: Kadangi taške , tai ir yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Taip yra todėl, kad jeigu jie būtų tiesiškai priklausomi, tai intervale (a,b) ir taške . Tai prieštarautų teoremos sąlygai. Kadangi ir yra tiesiškai nepriklausomi, tai iš antros teoremos gauname, kad su visais iš intervalo (a,b).
4 Teorema: (1) lygties atskirieji sprendiniai , yra tiesiškai nepriklausomi tada ir tik tada, kai intervale (a,b).
Įrodymas:
Būtinumas: Iš antros teoremos išplaukia, kad jei , yra tiesiškai nepriklausomi, tai intervale (a,b).
Pakankamumas: Tarkime, kad intervale (a,b). Jei , būtų tiesiškai priklausomi, tai . Kadangi tai prieštarauja padarytai prielaidai tai , – tiesiškai nepriklausomi.
5 Teorema: Tarkime, kad ir sudaro (1) lygties fundamentaliųjų sprendinių sistemą. Tada ir yra tiesiškai nepriklausomi.
Įrodymas: Teoremos teiginys išplaukia iš to, kad ir sprendinių fundamentalumas ir tiesinis nepriklausomumas yra apibrėžiami ta pačia sąlyga .

25.Teorema apie antros eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio struktūrą formuluotė ir įrodymas.
Teorema: jei , sudaro lygties (2) fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai lygties bendrasis sprendinys yra lygus: ; – konstantos.
Įrodymas: iš pradžių įrodysime, kad tenkina (2) lygtį. Kadangi ir yra atskirieji antrosios eilės sprendiniai, tai ; . Atsižvelgę į šias lygybes bei įrašę y išraišką į (2) lygtį gauname
Įrodysime, kad y tenkina (2) lygtį. Tarkime, kad duotos pradinės sąlygos . Atsižvelgę į pradines sąlygas ir bendrojo sprendinio y išraišką gauname lygčių sistemą . Šią sistemą sprendžiame nežinomųjų ir atžvilgiu. Šios sistemos koeficientų determinantas yra lygus Vronskio determinantui taške iš intervalo (a,b). Kadangi ir sudaro fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai šis determinantas nelygus nuliui. Tai reiškia, kad lygčių sistema turi vienintelį sprendinį ir . Įrašę šias konstantų reikšmes į bendrąjį sprendinį gauname atskirąjį sprendinį , tenkinantį duotąsias pradines sąlygas. O tai reiškia, kad yra bendrasis (2) lygties sprendinys.

26.Teorema apie antros eilės tiesinės nehomogeninės lygties bendrojo sprendinio struktūrą formuluotė ir įrodymas.
Nagrinėsime lygtį (1), – tolydžios tam tikrame intervale (a,b) f-jos.
1 teorema: (1) lygties bendrasis sprendinys lygus (1)-ąją lygtį atitinkančios homogeninės lygties bendrojo sprendinio ir (1)-os lygties atskirojo sprendinio sumai, t.y. . Atsižvelgę į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą . Lygčių sistemos determinantas , nes ir yra tiesiškai nepriklausomi homogeninės lygties sprendiniai. Todėl sistema turi vienintelį sprendinį ir . F-ja tenkina duotąsias pradines sąlygas. Vadinasi
Įrodymas: Iš pradžių įrodome, kad tenkina (1) lygtį. Įrašę y išraišką į (1) lygtį, gauname: . Tarkime, kad duota pradinė sąlyga: ir . Homogeninės lygties bendrą sprendinį pažymime taip: . Tada yra bendrasis (1) lygties sprendinys.

27.Antros eilės tiesinių nehomogeninių lygčių sprendimas konstantų variavimo metodu (Lagranžo metodas)

(1). Šios lygties bendrasis sprendinys yra . – (1)-ą lygtį atitinkančios homogeninės lygties bendrasis sprendinys, Y – atskirasis (1)-os lygties sprendinys. Tarkime, kad , tada tariame, kad . Rasime f-jas ir . Tariame, kad .
F-jas ir parenkame, taip kad . Tada ; .
F-jos y ir jos išvestinių išraiškas statome į (1) lygtį: .
Suintegravę kairėje pusėje esantį reiškinį, gausime: .
Kadangi ir yra homogeninės lygties sprendiniai, gauname: . Atsižvelgę į pastarąją lygybę ir anksčiau padarytą prielaida, gauname lygčių sistemą. Šią sistemą sprendžiame nežinomųjų ir atžvilgiu. Šios sistemos determinantas , sudarytas iš tiesiškai nepriklausomų homogeninės lygties sprendinių , yra nelygus 0, todėl sistema turi vienintelį sprendinį , . Iš čia gauname, kad , . Tai reiškia, kad , o (1)-os lygties bendrasis sprendinys:

28.Antros eilės tiesinių homogeninių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas (trys atvejai su įrodymais)
Nagrinėsime lygtį: (1). Norėdami rasti šios lygties bendrąjį sprendinį, turime rasti du tiesiškai nepriklausomus lygties sprendinius ir . Tada šios lygties bendrasis sprendinys lygus: . Tarkine, kad (1)-os lygties atskirasis sprendinys turi tokią išraišką: , – const. Tada , , įrašome y ir jo išvestinių išraiškas į (1) lygtį. Gauname: . Iškeliame . Kadangi , tai f-ja bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai galios lygybė: . Pastaroji lygtis yra vadinama (1) lygties charakteringąja lygtimi. Charakteringosios lygties šaknis pažymėkime ir ir nagrinėkime 3 atvejus:
1. yra realios skirtingos šaknys. Šiuo atveju gauname du atskiruosius sprendinius , . Kadangi , todėl ir yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys perrašomas taip: .
2. . Šiuo atveju gauname tik vieną atskirąjį sprendinį . Tiesiškai nepriklausomą atskirąjį sprendinį ieškome taikydami formulę . Gauname . Kadangi , tai pagal Vieto teoremą . Gauname . Kadangi tai ir yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys lygus: .
3. Tarkime, kad charakteringosios lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai, tai yra . Tada (1) lygties atskirieji sprendiniai tokie: ir . Taikydami formulę gauname ir . Kadangi kompleksinės f-jos ir yra (1) lygties sprendiniai, tai šių f-jų realiosios ir menamosios dalys taip pat yra (1) lygties sprendiniai. Tai gauname du tiesiškai nepriklausomus (1) lygties sprendinius ; . Todėl (1) lygties bendrasis sprendinys lygus:

Leave a Comment