Diferencialines lygtys (1) u’v+v’u+p(x)uv=f(x)…(5) ar-
F-ija F(x,y,y’)=0…(1) vadin pa- ba u arba v iskeliam pries skliaus-
prasta dif lygtimi y’=f(x,y)…(2) tus: uv’+u(v’+p(x)v)=f(x)…(6).
F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0…(3)-n eiles Is (6): v’+p(x)v=0…(7); u’v=
paprasta dif lygtimi. f(x)…(8).Is (7) v’=-p(x)v
Y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1))…(4). dv/dx=-p(x)v ; dv/v=-p(x)dx ;
Dif lygties eile nusako auksciau- v=c1e- p(x)dx…(9).(9)(8):
sios isvestines eile,o laipsni- u’ c1e- p(x)dx=f(x) ;(du/dx)c1=
auksciausios eiles isvestines f(x)e- p(x)dx ; du=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx
laipsnis.y=y(x) ,x(a,b) ir ten- u=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2…(10).
kintu (1)arba(3)lygti ir butu is- (9) ir (10)(3): y=uv=
sprendziama C atzvilgiu. =[1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2] c1e- p(x)dx=
(x,y,C)=0.Bendras sprendinys =e- p(x)dxf(x)e- p(x)dxdx+c2 c1e- p(x)dx
reiskia integraliniu f-iju seima. Tiesiniu dif. lygciu sprendimas
F(x,y,y’,y”)=0 (x,y,C1,C2)=0. Lagranzo metodu
Dif lygtis,i kuria ieina keli nepri- Duota y’+p(x)y=f(x)…(1).Suda-
klausomi kintamieji vadin dali- rom jai atitinkama homogenine
nem isvestinem. lygti y’+p(x)y=0…(2)
Kosi uzdavinys formuluojamas, dy/dx=-p(x)y ; dy/y=-p(x)dx ;
kai tenkina sal.:yx=x0=y0. ln y=-p(x)dx+lnC ; ln y/C=
Pirmiausia randam bendra spren- dini,o po to i ji istatom pradines sal. ir randam pastovuji C.
Apytikslis dif.lygciu sprendimas
izoklinu budu
y’=f(x,y)…(1).y’=tg=k,
k=const
f(x,y)=C
Dif.lygtys su atskiriamais kinta-
maisiais 1)P(y)dy=Q(x)dx…(1)
dy/dx=Q(x)/P(y) P(y)dy=Q(x)dx
y=(x,C).
2)P1(y)Q1(x)dy+P2(y)Q2(x)dx=0
P1(y)dy/P2(y)+Q2(x)dx/Q1(x)=0
yx=x0=y0.Randame C0 y=(x,C0)
Baigus spresti lygti reikia patikrin-
ti ar Q1(x)=0 ir P2(y)=0 tenkina
pradine sal..Jei tenkina,tai yra pa-
vieniai sprendiniai.
3) y’=f(ax+by+C). Pazymim
ax+by+C=u u=u(x) y’=f(u).
Homogenines dif lygtys ir ju
sprendimas
1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1)
P(x,y) ir Q(x,y)-to paties laipsnio
homogenine f-ija.P(tx,ty)=tnP(x,y)
..(2).P(tx,ty)=P(x,y). y’=f(x,y)
y’=f(1,y/x)=(y/x)…(3) .(y=ux;
u=u(x);y’=u’x+u;u=y/x.).
2)Gali buti,kaddif lygtis yra homogenine x-so atzvilgiu
x’=(x/y); x=uy x’=u’y+u u=(y).
3)y’=f((a1x+b1y+C1)/(a2x+b2y+C2))
Pazymim x=x1+mdx=dx1
y=y1+ndy=dy1
y’=dy/dx=dy1/dx1 x,y,y’(1)
dy1/dx1=f1((a1(x1+m)+b1(y1+n)+C1)/
(a2(x1+m)+b2(y1+n)+C2))=
=f1((a1x1+b1y1+a1m+b1n+C1)/(a2x1+
b2y1+a2m+b2n+C2)) .m ir n paren-
kam taip,kad a1m+b1n+C1=0 ir
a2m+b2n+C2=0…(2).
a) a1 b1
a2 b2 0,tada (2) tures vieninte-
li sprendini ir rasim m ir n reiks-
mes.Istate gausim:x1=x-m ir
y1=y-n…(2a).
dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1)/(a2x1+b2y1))=f1((a1+b1(y1/x1))/(a2+b2(y1/x1)))=
=(y1/x1)…(3).Pazymeje y1/u1=u;
y1=ux1;u=u(x1);y1’=u’x1+u statom
i (3).Gausim lygti,kurioje atsiskirs
kintamieji.Suintegrave vietoje u ra-
som u=y1/x1,po to istatom i (2a).
b)a1/a2=b1/b2c1/c2,tada gausim taip: a1/a2=b1/b2=ka1=a2k ,b1=
=b2k .dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1+c1)/
(a2x1+b2y1+c2))=f1((a2kx1+b2ky1+
+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1((k(a2x1+
+b2y1)+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=((kz+
+c1)/(z+c2));z=a2x1+b2y1 .Toliau
rasim z’,atsiskirs kintamieji.
c)a1/a2=b1/b2=c1/c2 .Tada a1/a2=
=b1/b2=c1/c2=ka1=a2k ;b1=b2k ;
c1=c2k .dy1/dx1=f((a1x1+b1y1+c1)/
(a2x1+b2y1+c2))=f1(k) ;dy1=f(k)dx1;
y1=f(k)dx1 .
Pirmos eiles tiesines dif. lygtys
y’+p(x)y=f(x)…(1) x’+q(y)x=(y)
ay’+p(x)by=f(x)/a .p(x) ir f(x)-api-
br.,tolyd. x[a;b].Jei f(x=0),tai
y’+p(x)y=0…(2)-tiesine homoge-
nine.Jei f(x)0 ,tai y’+p(x)y=f(x)-
tiesine nehomogenine.
Bernulio metodas Duota:y’+p(x)y=f(x)…(1).Bendras
sprendinys y=uv…(3),cia u=u(x) ir
v=v(x);y’=u’v+v’u…(4).(3)ir(4)
=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x);
y=Ce-p(x)dx…(3)-homogenines lyg-
ties bendras sprendinys.
y=C(x) e-p(x)dx…(4). y’=C’(x) e-p(x)dx
+C(x) e-p(x)dx(-p(x))…(5).(4)ir(5)
statom i (1): C’(x) e-p(x)dx-
-C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx=
=f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)
C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C…(6).(6)
(4)
y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.
Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.
lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir
(Jei =1,gautume lygti su atskiria-
mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=
y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).
p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)
y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0
pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-=
=f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’=
=z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-
(z’/1-)+p(x)z=f(x).
Dif. lygtys su pilnais diferencial.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1).PirQ-
Dif. f-ijos iki n eiles srityje D:
axb ir cyd. Jei turime u=
=u(x,y),tai du=(u/x)dx+(u/y)
dy…(2).Jei P(x,y)/x=u/x…
(3) ir Q(x,y)/y=y…(4).
d(u(x,y))=0 u(x,y)=0 . Q/x=
=P/y .Sprendimas : is(3) u/x=
= P(x,y)/x ; u=P(x,y)dx+(y)…
(5). y=(P(x,y)dx)y’+y’(y).Ran-
dam (y).Vietoj y statom (4).
Antros eiles tiesines nehomog. dif.lygtys.Bendro sprendinio
struktura
y”+a1y’+a2y=f(x)…(1),x(a,b)
y”+a1y’+a2y=0…(2).Jei (2)lygties
bendras sprend.y0=C1y1+C2y2 ,tai
(1) lygties bendr.spren.y=y0+y ;
y-(1) dif.lygties betkoks atskiras
sprend.Irodymas:y’=y0’+y’…(4)
y”=y0”+y”…(5).(3),(4)ir(5)(1):
y0”+y”+a1(y0’+y’)+a2(y0+y)=f(x);
[y0”+a1y0’+a2y0]+[y”+a1y’+a2y]=
=f(x),pirmus skliaustus prisilygi-
nam 0.L(y)=y(n)+a1y(n-1)+..+a0y ;
L(y)=f(x)…(1). y=y0+y ;y0L(y)=
=0 ir yL(y)=f(x).Atskiras spren-
dinys L(y)=f(x).
1)Duota: y(n)+a1y(n-1)+..+any=0 ;
L(y)=0. y”+py’+qy=0…(1) p,qR
bendras sprend..Tegul 1ir2-sk.,
kurie ispildo sal.(y’-1y)’-2(y’-
-1))e(2-1)xd(2-1)x ;y= e1x(C/
/(2-1)e(2-1)x+C) ;C/(2-1)=C2;
y=C2e2x+C1e1x…(7);(y’-1y)’-
-2(y’-1y)=0…(2).Is(2):y”-1y’-
-2y’+12y=0 ;y”-(1+2)y’+
+12y=0; 1+2=-p ; 12=q ;
2+p1+q=0…(8).
2)y”+py+qy=0 ; 2+p+q=0 ; 1=
=2= ; R.Is(6):y=exCe0dx ;
y= exCdx ;y= ex(Cx+C1).Tegul
C=C2 ,y= ex(C1+C2x)…(9).
3)y”+py’+qy=0 ; 2+p+q=0 ;
1,2=i…(10).
Eulerio formule:
eix=cosx+isinx…(12).
e-ix=cosx-isinx (12)(11)
y=(A1+iA2)ex(cosx+isinx)+
+(1+i2) ex(cosx-isinx)= ex{
A1cosx+iA2cosx+iA1sinx+
+i2A2sinx+1cosx+i2cosx-
-i1sinx-i22sinx}= ex{[A1+
+1)cosx+(2-A2)sinx]+i[(A2+
+2)cosx+(A1-1)sinx]}…(13).
(A2+2)cosx+(A1-1)sinx=0.
Kai x=0,tai A2+2=0 ;A2=-2…(14)
Kai x=/2 ,tai A1-1=0 ;A1=1…
(15).(14)ir(15)(13): y= ex(2A1
cosx+22sinx).Jei 2A1=C1 ,
22=C2 ,tai y=ex(C1cosx+C2sinx)..
Antros eiles tiesines nehom.dif.
lygtys su pastoviais koeficientais
Duota:y”+py’+qy=f(x)…(1)p,qR
=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x);
y=Ce-p(x)dx…(3)-homogenines lyg-
ties bendras sprendinys.
y=C(x) e-p(x)dx…(4). y’=C’(x) e-p(x)dx
+C(x) e-p(x)dx(-p(x))…(5).(4)ir(5)
statom i (1): C’(x) e-p(x)dx-
-C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx=
=f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)
C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C…(6).(6)(4)
y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.
Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.
lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir
(Jei =1,gautume lygti su atskiria-
mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=
y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).
p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)
y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0
pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-=
=f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’=
=z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-
(z’/1-)+p(x)z=f(x).
Dif. lygtys su pilnais diferencial.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1).PirQ-
Dif. f-ijos iki n eiles srityje D:
axb ir cyd. Jei turime u=
=u(x,y),tai du=(u/x)dx+(u/y)
dy…(2).Jei P(x,y)/x=u/x…
(3) ir Q(x,y)/y=y…(4).
d(u(x,y))=0 u(x,y)=0 . Q/x=
=P/y .Sprendimas : is(3) u/x=
= P(x,y)/x ; u=P(x,y)dx+(y)…
(5). y=(P(x,y)dx)y’+y’(y).Ran-
dam (y).Vietoj y statom (4).
Antros eiles tiesines nehomog. dif.lygtys.Bendro sprendinio
struktura
y”+a1y’+a2y=f(x)…(1),x(a,b)
y”+a1y’+a2y=0…(2).Jei (2)lygties
bendras sprend.y0=C1y1+C2y2 ,tai
(1) lygties bendr.spren.y=y0+y ;
y-(1) dif.lygties betkoks atskiras
sprend.Irodymas:y’=y0’+y’…(4)
y”=y0”+y”…(5).(3),(4)ir(5)(1):
y0”+y”+a1(y0’+y’)+a2(y0+y)=f(x);
[y0”+a1y0’+a2y0]+[y”+a1y’+a2y]=
=f(x),pirmus skliaustus prisilygi-
nam 0.L(y)=y(n)+a1y(n-1)+..+a0y ;
L(y)=f(x)…(1). y=y0+y ;y0L(y)=
=0 ir yL(y)=f(x).Atskiras spren-
dinys L(y)=f(x).
1)Duota: y(n)+a1y(n-1)+..+any=0 ;
L(y)=0. y”+py’+qy=0…(1) p,qR
bendras sprend..Tegul 1ir2-sk.,
kurie ispildo sal.(y’-1y)’-2(y’-
-1y)=0…(2).Pazymim: y’-1y=
=z…(3); z=z(x).(3)(2):z’-2z=0
…(4).Is (4) dz/dx=2z ; dz/z=2dx;
ln|z|=2x+lnC ;ln|z/C|=2x ;z/C=
=e2x; z=C e2x…(5).(5)(3):
y’-1y=C e2x / e2x; (y’-1y)e-1x=
= C e2xe-1x;(ye-1x)’=Ce(2-1);
(ye-1x)=Ce(2-1)xdxy=e1x Ce(2-1)xdx…(6).Is (6):y= e1x(C(1/(2-
-1))e(2-1)xd(2-1)x ;y= e1x(C/
/(2-1)e(2-1)x+C) ;C/(2-1)=C2;
y=C2e2x+C1e1x…(7);(y’-1y)’-
-2(y’-1y)=0…(2).Is(2):y”-1y’-
-2y’+12y=0 ;y”-(1+2)y’+
+12y=0; 1+2=-p ; 12=q ;
2+p1+q=0…(8).
2)y”+py+qy=0 ; 2+p+q=0 ; 1=
=2= ; R.Is(6):y=exCe0dx ;
y= exCdx ;y= ex(Cx+C1).Tegul
C=C2 ,y= ex(C1+C2x)…(9).
3)y”+py’+qy=0 ; 2+p+q=0 ;
1,2=i…(10).
Eulerio formule:
eix=cosx+isinx…(12).
e-ix=cosx-isinx (12)(11)
y=(A1+iA2)ex(cosx+isinx)+
+(1+i2) ex(cosx-isinx)= ex{
A1cosx+iA2cosx+iA1sinx+
+i2A2sinx+1cosx+i2cosx-
-i1sinx-i22sinx}= ex{[A1+
+1)cosx+(2-A2)sinx]+i[(A2+
+2)cosx+(A1-1)sinx]}…(13).
(A2+2)cosx+(A1-1)sinx=0.
Kai x=0,tai A2+2=0 ;A2=-2…(14)
Kai x=/2 ,tai A1-1=0 ;A1=1…
(15).(14)ir(15)(13): y= ex(2A1
cosx+22sinx).Jei 2A1=C1 ,
22=C2 ,tai y=ex(C1cosx+C2sinx)..
Antros eiles tiesines nehom.dif.
lygtys su pastoviais koeficientais
Duota:y”+py’+qy=f(x)…(1)p,qR
y”+py’+qy=0…(2).y=y+y ,y-(2)
bendras spr.;y-(1)bendras spr.
x2+pq=0…(2a).Tegul 12R
y=C1e1x+C2e2x=C1y1+C2y2 ;
y1=e1x , y2=e2x ;y1/y2=const
y=?.Tegul f(x)=ex(Pmcosx+
Qnsinx)…(4)PmirQn-“m”ir”n”ei-
les daugikliai.
1)Jei i-nera (2a) saknys
i1ir i2 ; y=
= ex(Pmcosx+ Qnsinx)…(5)
2)Jei i-yra charakteringa
lygties(2a)saknis “k”-k,tai y=
= exxk(Pmcosx+ Qnsinx)…(6)
Jei f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x)
y=y+y1+y2+…+yn.
Antros eiles tiesiniu nehomogen.
dif.lygciu sprendimas konstantu
varijavimo metodu(Lagranzo)
y+P1(x)y’+P2(x)y=f(x)…(1)
P1(x),P2(x),f(x)-x(a,b).
L[y]=y”+P1(x)y’+ P2(x)y ;L[y]=
=f(x)…(1)dif.lygtis ;L[y]=0…(2)
y1iry2 yra atskiri(2)sprendiniai,kai
y1/y2const. y”+P1(x)y’+P2(x)y=0
…(2). Bendras spr.yra:y=C1y1+
+C2y2…(3).y=C1(x)y1+C2(x)y2…
(4) ((1)lygties spr.)
C1(x)y1+C2(x)y2+ f(x) ; y= C1(x)y1+
+C2(x)y2-isvestine pagal Lagranza
randama tartum C1irC2butu pasto-
vus.(4) lygti diferencijuojam y’=
=C1’(x)y1+C2’(x)y2+C1(x)y1’+
+C2(x)y2’…(5).Pagal Lagranza
prielaida: C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=0…
(6).(6)(5):y’=C1(x)y1+C2(x)y2…
(7). (7)diferencijuojam y”=
=C1’(x)y1’+C2’(x)y2’+C1(x)y1”+
+ C2(x)y2”…(8).(4),(7),(8)(1):
C1’(x)y1’+C2’(x)y2’+C1(x)y1”+
+C2(x)y2”+ P1(x)[C1(x)y1’+ +C2(x)y2’]+P2(x)[C1(x)y1+C2(x)y2]=
=f(x) ; C1(x)[y1”+P1(x)y1’+P2(x)y1]+
+C2(x)[y2”+ P1(x)y2’+P2(x)y2]+
+C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=f(x)
y1iry2yra L[y]=0
C1’(x)y1+C2’(x)y2=0…(9)
C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=f(x)…(10)
Dif.lygciu sistemos
Dif.lygciu sist-tai lygciu visuma,
kai i kiekviena is ju ieina nepriklau-
somas kintamasis,ieskomos f-ijos
ir tu f-iju isvestine.
f1(x,y,z,dy/dx,dz/dx)=0…(1)
f2(x,y,z,dy/dx,dz/dx)=0
y=y(x)=?,z=z(x)=?…(2)
1(x,C1,C2)=0
2(x,C1,C2)=0 y|x=x0=y0 ;
z|x=x0=z0 .Rasim C10 irC20,t.y.(C1ir
C2).Normaline dif.lygciu sist.,kur
kairej pusej nezinomu f-iju pirmos
eiles isvestines,o desinej nepriklau-
somas kintamasis ir nezinomos f-ijos.
Pvz y1,y2,…,yn-nezinomieji,nepri-
klausomas kintamasis-x
dy1/dx=f(x,y1,y2,…,yn)
dy2/dx=f(x,y1,y2,…,yn)
dyn/dx=f(x,y1,y2,…,yn) . Kiekvie-
na lygciu sist,kuria galima isspres-
ti nezinomu f-iju pirmos isvestines
atzvilgiu,taip pat vadin. normaline
lygciu sist.Kiekviena n eiles dif.
lygti,ivede pazymejimus,galima
uzrasyti kaip normaline lyg.sist.
pvz y”’=f(x,y,y’,y”) ;y’=y1
y”=(y’)’=y1’=y2
y’=y1
y1’=y2
y2’= f(x,y,y1,y2).Galioja ir at-
virkstinis teiginys.Duota:
dx/dt=y…(1)
dy/dt=z…(2)
dz/dt=x-y-z…(3).(1) diferencij.
d2x/dt2=dy/dt…(4).(2)(4): d2x/dt2=
=z…(5).(5)diferencij.:d3x/dt3=dz/dt
…(6).(3)(6):d3x/dt3=x-y+z…(7).
(1),(5)(7):d3x/dt3=x-dx/dt+ d2x/dt2
x’”+x”+x’-x=0-trecios eiles homo-
genine su pastoviais koeficientais
3-2–1=0 ;2(+1)+(-1)=0 ;
(-1)(2+1)=0 ; (-1)=0 , =1
(2+1)=0 ; 2,3=i ; 2,3=i
x=C1e1t+et(C2cost+C3si ti i(8),(9)ir(10).RastumeC1,C2,C3ir
po to konkreciasC10,C20,C30ista-
tytume i(8),(9)ir(10).
Kanonine dif.lygciu sist-tai to-
kia sist,kuri yra isspresta nezino-mos f-ijos auksciausios isvestines
atzvilgiu.pvz
d2x/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)
d2y/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)
d2z/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)
Kiekviena kanonine dif.lygciu sist.
galima ivedus naujus kintamuo-
sius pervesti i normaline ir spresti
kaip normaline.Tegul dx/dt=u ,
dy/dt=v , dz/dt=w .d2x/dt2=du/dt ,
d2y/dt2=dv/dt , d2z/dt2=dw/dt .
(viena sistema):dx/dt=u , dy/dt=v,
dz/dt=w, du/dt=1(t,x,y,z,u,v,w),
dv/dt=2(t,x,y,z,u,v,w), dw/dt=
=3(t,x,y,z,u,v,w).Galima kanonine dif.l.sist spresti kaip nor-
maline ir neivedus nauju kintamuju
Aukstesniuju eiliu dif.lygtys.Pa-
grindines savokos.
F(x,y,y’,y”,…y(n))=0…(1). y(n)=
=f(x,y,y’,y”,…y(n-1))…(2).y-dife-
rencij. x(a,b).y=y(x)-tenkinanti(1)
y=f(x,C1,C2,…,Cn)…(3).Bendras spr.reiskia integraliniu kreiviu sei-
ma y”=f(x,y,y’)
y=(x,C1,C2)
D: y|x=x0=y0…(4),
y’|x=x0=y0’…(5).y=(x,C10,C20).
Anyros eiles lygties sprendinys
reiskia integraline kreive,einan-
cia per taska M0ir turincia zinoma
krypti.Tarkime duota dif.l.(2)ir pradines sal: y|x=x0=y0, y’|x=x0=y0’,
…, y(n-1)|x=x0=y0(n-1)…(6),tada tokia
lygtis turi vieninteli spr.,jei f(x,y,
y’,y”,…,y(n-1))yra tolydi tasko
(x0,y0,y0’,…,y0(n-1))aplinkoje m to-
lydzios dalines isvestines:
f/y ; f/y’ ; f/y” ; /y(n-1)
x0(a,b) ,y=(x0,C10,C20,…,Cn0)
…(7).( x0,C10,C20,…,Cn0)=0…(8)
Aukstesniu eiliu atskiri atvejai
D:F(x,y,y’,y”,…y(n))=0…(1).
1)D:isspresta dif. lygtis
y(n)=f(x),f-diferencij iki(n-1)eiles
intervale x(a,b). y(n-1)=f(x)dx+C1
y(n-2)=[f(x)dx+C1]dx+C2=
=[f(x)]dx+C1x+C2
2) F(x,y’,y”,…y(n-1))=0 ;
F(x,y(k),y(k-1),…,y(n-2),y(n-1))=0.Pa-
Zymim y(k)=z,z=z(x) ; y(k-1)=z’ ;
y(k-z)=z”… . (x,z,z’,z”,…zn-z)
Issprendziam z atzvilgiu ir grazi-
nam kintamuosius.
3) F(y,y’,y”,…y(n))=0.Pazymim
y’=P ,P=P(y) ,y”=(dP/dy)(dy/dx)=
=(dP/dy)P ;y”’=d[(dP/dy)P]/dy*
*dy/dx=[(d2P/dy2)P+(dP/dy)(dP/dy)]*
*P=[(d2P/dy2)P+(dP/dy)2]P.
Issprende grazinam kintamuosius.
Aukstesniu eiliu homog.dif.lyg-
tys.Bendro spr.struktura
D:y(n)+a1y(n-1)+a2 y(n-2)+…+ a0y=
=f(x)…(1).n eiles dif.lygtis tiesine
nehomogenine,jei f-ja y ir jos visos
isvestines iki n eiles pirmame
laipsnyje.a1, a2,…, a0 tolydzios
f-jos intervale x(a,b).a1=a1(x),
a2=a2(x),a0=a0(x)diferencijuojam.
Jei f(x)=0 ,y(n)+a1y(n-1)+…+a0y=0-
tiesine homogenine…(2).L[y]=
=y(n)+a1y(n-1)+a2 y(n-2)+…+ a0y ;
L[y]=f(x)-tiesine nehomogenine.
L[y]=0-tiesine homogenine.
y”+a1y’+y=0…(3).Teorema:Jei
y1=y1(x)ir y2=y2(x)yra (3)sprend,
tai ir y1=C1y1(x)ir y2=C2y2(x) yra
(3)lygties sprendiniai.Ir.Tegul(3)
lyg.spr.yra y=y1+y2;tada y=C1y1+
+C2y2 irgi spr.Reikia rasti y’=C1*
*y1’+C2y2’ ;y”= C1y1”+C2y2”stato-
me i (3):C1y1”+C2y2”+a1[C1y1’+
+C2y2’]+C1y1+C2y2=0 ;C1(y1”+
+y1+a1y1’)+C2(y2”+y2+a2y2’)=0 ,
kadangi y1iry2 yra spr.-irodyta.
y1=y1(x)ir y2=y2(x)yra (3)sprend,
kai jos yra tiesiskai nepriklausom.,
t.y. y1/y2=k ,nes y1=ky2 ; y=C1y1+
+C2y2=Cky2+Cy2= y2(Ck+C)=y2C1
y=C1y1+C2y2+…+ Cnyn ;y1,y2,..,yn-
tiesiskai nepriklausomi.
|y1 y2 …yn |
W=|y1’ y2’ … yn’|0
|y1(n-1)y2(n-1)…yn(n-1)|
nt)
x= C1et+C2cost+C3sint…(8).Is(8)
ir(1):y=dx/dt=C1et-C2cost+C3sint
…(9).Is(2)ir(9):z=dy/dt= C1et-C2cost+C3sint…(10).Jei butu duo-
tos pradines sal.,tai jas reiktu staty-
iyi=0,kai i=0,i=1,n-tiesiskai
nepriklausomas.Jei iyi=0,kai bentvienas i0 i=1,n ,t.y.tiesiskai
priklausomas.