Diferencialines lygtys (1) u’v+v’u+p(x)uv=f(x)…(5) ar- F-ija F(x,y,y’)=0…(1) vadin pa- ba u arba v iskeliam pries skliaus-prasta dif lygtimi y’=f(x,y)…(2) tus: uv’+u(v’+p(x)v)=f(x)…(6).F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0…(3)-n eiles Is (6): v’+p(x)v=0…(7); u’v=paprasta dif lygtimi. f(x)…(8).Is (7) v’=-p(x)vY(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1))…(4). dv/dx=-p(x)v ; dv/v=-p(x)dx ;Dif lygties eile nusako auksciau- v=c1e- p(x)dx…(9).(9)(8):sios isvestines eile,o laipsni- u’ c1e- p(x)dx=f(x) ;(du/dx)c1=auksciausios eiles isvestines f(x)e- p(x)dx ; du=1/c1 f(x)e- p(x)dxdxlaipsnis.y=y(x) ,x(a,b) ir ten- u=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2…(10).kintu (1)arba(3)lygti ir butu is- (9) ir (10)(3): y=uv=sprendziama C atzvilgiu. =[1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2] c1e- p(x)dx=(x,y,C)=0.Bendras sprendinys =e- p(x)dxf(x)e- p(x)dxdx+c2 c1e- p(x)dxreiskia integraliniu f-iju seima. Tiesiniu dif. lygciu sprendimas F(x,y,y’,y”)=0 (x,y,C1,C2)=0. Lagranzo metoduDif lygtis,i kuria ieina keli nepri- Duota y’+p(x)y=f(x)…(1).Suda-klausomi kintamieji vadin dali- rom jai atitinkama homogeninenem isvestinem. lygti y’+p(x)y=0…(2)Kosi uzdavinys formuluojamas, dy/dx=-p(x)y ; dy/y=-p(x)dx ;kai tenkina sal.:yx=x0=y0. ln y=-p(x)dx+lnC ; ln y/C=Pirmiausia randam bendra spren- dini,o po to i ji istatom pradines sal. ir randam pastovuji C. Apytikslis dif.lygciu sprendimasizoklinu buduy’=f(x,y)…(1).y’=tg=k,k=const
f(x,y)=CDif.lygtys su atskiriamais kinta-maisiais 1)P(y)dy=Q(x)dx…(1)dy/dx=Q(x)/P(y) P(y)dy=Q(x)dxy=(x,C).2)P1(y)Q1(x)dy+P2(y)Q2(x)dx=0P1(y)dy/P2(y)+Q2(x)dx/Q1(x)=0yx=x0=y0.Randame C0 y=(x,C0)Baigus spresti lygti reikia patikrin-ti ar Q1(x)=0 ir P2(y)=0 tenkina pradine sal..Jei tenkina,tai yra pa-vieniai sprendiniai.3) y’=f(ax+by+C). Pazymimax+by+C=u u=u(x) y’=f(u).Homogenines dif lygtys ir ju sprendimas1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1)P(x,y) ir Q(x,y)-to paties laipsniohomogenine f-ija.P(tx,ty)=tnP(x,y)..(2).P(tx,ty)=P(x,y). y’=f(x,y)y’=f(1,y/x)=(y/x)…(3) .(y=ux;u=u(x);y’=u’x+u;u=y/x.).2)Gali buti,kaddif lygtis yra homogenine x-so atzvilgiux’=(x/y); x=uy x’=u’y+u u=(y).3)y’=f((a1x+b1y+C1)/(a2x+b2y+C2))Pazymim x=x1+mdx=dx1 y=y1+ndy=dy1y’=dy/dx=dy1/dx1 x,y,y’(1)dy1/dx1=f1((a1(x1+m)+b1(y1+n)+C1)/(a2(x1+m)+b2(y1+n)+C2))==f1((a1x1+b1y1+a1m+b1n+C1)/(a2x1+b2y1+a2m+b2n+C2)) .m ir n paren-kam taip,kad a1m+b1n+C1=0 ira2m+b2n+C2=0…(2).a) a1 b1 a2 b2 0,tada (2) tures vieninte-li sprendini ir rasim m ir n reiks-mes.Istate gausim:x1=x-m iry1=y-n…(2a).dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1)/(a2x1+b2y1))=f1((a1+b1(y1/x1))/(a2+b2(y1/x1)))==(y1/x1)…(3).Pazymeje y1/u1=u;y1=ux1;u=u(x1);y1’=u’x1+u statomi (3).Gausim lygti,kurioje atsiskirskintamieji.Suintegrave vietoje u ra-som u=y1/x1,po to istatom i (2a).b)a1/a2=b1/b2c1/c2,tada gausim taip: a1/a2=b1/b2=ka1=a2k ,b1==b2k .dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1((a2kx1+b2ky1++c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1((k(a2x1++b2y1)+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=((kz++c1)/(z+c2));z=a2x1+b2y1 .Toliaurasim z’,atsiskirs kintamieji.c)a1/a2=b1/b2=c1/c2 .Tada a1/a2==b1/b2=c1/c2=ka1=a2k ;b1=b2k ;c1=c2k .dy1/dx1=f((a1x1+b1y1+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1(k) ;dy1=f(k)dx1;y1=f(k)dx1 .Pirmos eiles tiesines dif. lygtysy’+p(x)y=f(x)…(1) x’+q(y)x=(y)ay’+p(x)by=f(x)/a .p(x) ir f(x)-api-br.,tolyd. x[a;b].Jei f(x=0),taiy’+p(x)y=0…(2)-tiesine homoge-nine.Jei f(x)0 ,tai y’+p(x)y=f(x)-tiesine nehomogenine.Bernulio metodas Duota:y’+p(x)y=f(x)…(1).Bendras sprendinys y=uv…(3),cia u=u(x) irv=v(x);y’=u’v+v’u…(4).(3)ir(4)=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x); y=Ce-p(x)dx…(3)-homogenines lyg-ties bendras sprendinys.y=C(x) e-p(x)dx…(4). y’=C’(x) e-p(x)dx+C(x) e-p(x)dx(-p(x))…(5).(4)ir(5)statom i (1): C’(x) e-p(x)dx--C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx==f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)
C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C…(6).(6)(4)y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir (Jei =1,gautume lygti su atskiria-mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-==f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’==z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-(z’/1-)+p(x)z=f(x).Dif. lygtys su pilnais diferencial.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1).PirQ-Dif. f-ijos iki n eiles srityje D:axb ir cyd. Jei turime u==u(x,y),tai du=(u/x)dx+(u/y)dy…(2).Jei P(x,y)/x=u/x…(3) ir Q(x,y)/y=y…(4).d(u(x,y))=0 u(x,y)=0 . Q/x==P/y .Sprendimas : is(3) u/x== P(x,y)/x ; u=P(x,y)dx+(y)…(5). y=(P(x,y)dx)y’+y’(y).Ran-dam (y).Vietoj y statom (4).Antros eiles tiesines nehomog. dif.lygtys.Bendro sprendinio strukturay”+a1y’+a2y=f(x)…(1),x(a,b)y”+a1y’+a2y=0…(2).Jei (2)lygtiesbendras sprend.y0=C1y1+C2y2 ,tai(1) lygties bendr.spren.y=y0+y ;y-(1) dif.lygties betkoks atskiras sprend.Irodymas:y’=y0’+y’…(4)y”=y0”+y”…(5).(3),(4)ir(5)(1):y0”+y”+a1(y0’+y’)+a2(y0+y)=f(x);[y0”+a1y0’+a2y0]+[y”+a1y’+a2y]==f(x),pirmus skliaustus prisilygi-nam 0.L(y)=y(n)+a1y(n-1)+..+a0y ;L(y)=f(x)…(1). y=y0+y ;y0L(y)==0 ir yL(y)=f(x).Atskiras spren-dinys L(y)=f(x).1)Duota: y(n)+a1y(n-1)+..+any=0 ;L(y)=0. y”+py’+qy=0…(1) p,qRbendras sprend..Tegul 1ir2-sk.,kurie ispildo sal.(y’-1y)’-2(y’--1))e(2-1)xd(2-1)x ;y= e1x(C//(2-1)e(2-1)x+C) ;C/(2-1)=C2;y=C2e2x+C1e1x…(7);(y’-1y)’--2(y’-1y)=0…(2).Is(2):y”-1y’--2y’+12y=0 ;y”-(1+2)y’++12y=0; 1+2=-p ; 12=q ;2+p1+q=0…(8).2)y”+py+qy=0 ; 2+p+q=0 ; 1==2= ; R.Is(6):y=exCe0dx ;y= exCdx ;y= ex(Cx+C1).TegulC=C2 ,y= ex(C1+C2x)…(9).3)y”+py’+qy=0 ; 2+p+q=0 ;1,2=i…(10).Eulerio formule:eix=cosx+isinx…(12). e-ix=cosx-isinx (12)(11)y=(A1+iA2)ex(cosx+isinx)++(1+i2) ex(cosx-isinx)= ex{A1cosx+iA2cosx+iA1sinx++i2A2sinx+1cosx+i2cosx--i1sinx-i22sinx}= ex{[A1++1)cosx+(2-A2)sinx]+i[(A2++2)cosx+(A1-1)sinx]}…(13).(A2+2)cosx+(A1-1)sinx=0.Kai x=0,tai A2+2=0 ;A2=-2…(14)Kai x=/2 ,tai A1-1=0 ;A1=1…(15).(14)ir(15)(13): y= ex(2A1cosx+22sinx).Jei 2A1=C1 ,22=C2 ,tai y=ex(C1cosx+C2sinx)..Antros eiles tiesines nehom.dif.lygtys su pastoviais koeficientaisDuota:y”+py’+qy=f(x)…(1)p,qR=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x); y=Ce-p(x)dx…(3)-homogenines lyg-ties bendras sprendinys.y=C(x) e-p(x)dx…(4). y’=C’(x) e-p(x)dx+C(x) e-p(x)dx(-p(x))…(5).(4)ir(5)statom i (1): C’(x) e-p(x)dx--C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx==f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C…(6).(6)(4)y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir (Jei =1,gautume lygti su atskiria-mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-==f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’==z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-(z’/1-)+p(x)z=f(x).Dif. lygtys su pilnais diferencial.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1).PirQ-Dif. f-ijos iki n eiles srityje D:axb ir cyd. Jei turime u==u(x,y),tai du=(u/x)dx+(u/y)dy…(2).Jei P(x,y)/x=u/x…(3) ir Q(x,y)/y=y…(4).d(u(x,y))=0 u(x,y)=0 . Q/x==P/y .Sprendimas : is(3) u/x== P(x,y)/x ; u=P(x,y)dx+(y)…(5). y=(P(x,y)dx)y’+y’(y).Ran-dam (y).Vietoj y statom (4).Antros eiles tiesines nehomog. dif.lygtys.Bendro sprendinio strukturay”+a1y’+a2y=f(x)…(1),x(a,b)y”+a1y’+a2y=0…(2).Jei (2)lygtiesbendras sprend.y0=C1y1+C2y2 ,tai(1) lygties bendr.spren.y=y0+y ;y-(1) dif.lygties betkoks atskiras sprend.Irodymas:y’=y0’+y’…(4)y”=y0”+y”…(5).(3),(4)ir(5)(1):y0”+y”+a1(y0’+y’)+a2(y0+y)=f(x);[y0”+a1y0’+a2y0]+[y”+a1y’+a2y]==f(x),pirmus skliaustus prisilygi-nam 0.L(y)=y(n)+a1y(n-1)+..+a0y ;L(y)=f(x)…(1). y=y0+y ;y0L(y)==0 ir yL(y)=f(x).Atskiras spren-dinys L(y)=f(x).1)Duota: y(n)+a1y(n-1)+..+any=0 ;L(y)=0. y”+py’+qy=0…(1) p,qRbendras sprend..Tegul 1ir2-sk.,kurie ispildo sal.(y’-1y)’-2(y’--1y)=0…(2).Pazymim: y’-1y==z…(3); z=z(x).(3)(2):z’-2z=0…(4).Is (4) dz/dx=2z ; dz/z=2dx;ln|z|=2x+lnC ;ln|z/C|=2x ;z/C==e2x; z=C e2x…(5).(5)(3):y’-1y=C e2x / e2x; (y’-1y)e-1x== C e2xe-1x;(ye-1x)’=Ce(2-1); (ye-1x)=Ce(2-1)xdxy=e1x Ce(2-1)xdx…(6).Is (6):y= e1x(C(1/(2--1))e(2-1)xd(2-1)x ;y= e1x(C//(2-1)e(2-1)x+C) ;C/(2-1)=C2;y=C2e2x+C1e1x…(7);(y’-1y)’--2(y’-1y)=0…(2).Is(2):y”-1y’--2y’+12y=0 ;y”-(1+2)y’++12y=0; 1+2=-p ; 12=q ;2+p1+q=0…(8).2)y”+py+qy=0 ; 2+p+q=0 ; 1==2= ; R.Is(6):y=exCe0dx ;y= exCdx ;y= ex(Cx+C1).TegulC=C2 ,y= ex(C1+C2x)…(9).3)y”+py’+qy=0 ; 2+p+q=0 ;1,2=i…(10).Eulerio formule:eix=cosx+isinx…(12). e-ix=cosx-isinx (12)(11)y=(A1+iA2)ex(cosx+isinx)++(1+i2) ex(cosx-isinx)= ex{A1cosx+iA2cosx+iA1sinx++i2A2sinx+1cosx+i2cosx--i1sinx-i22sinx}= ex{[A1++1)cosx+(2-A2)sinx]+i[(A2++2)cosx+(A1-1)sinx]}…(13).(A2+2)cosx+(A1-1)sinx=0.Kai x=0,tai A2+2=0 ;A2=-2…(14)Kai x=/2 ,tai A1-1=0 ;A1=1…(15).(14)ir(15)(13): y= ex(2A1cosx+22sinx).Jei 2A1=C1 ,22=C2 ,tai y=ex(C1cosx+C2sinx)..Antros eiles tiesines nehom.dif.lygtys su pastoviais koeficientaisDuota:y”+py’+qy=f(x)…(1)p,qRy”+py’+qy=0…(2).y=y+y ,y-(2)bendras spr.;y-(1)bendras spr.x2+pq=0…(2a).Tegul 12Ry=C1e1x+C2e2x=C1y1+C2y2 ;y1=e1x , y2=e2x ;y1/y2=consty=?.Tegul f(x)=ex(Pmcosx+Qnsinx)…(4)PmirQn-“m”ir”n”ei-les daugikliai.1)Jei i-nera (2a) saknys i1ir i2 ; y== ex(Pmcosx+ Qnsinx)…(5)2)Jei i-yra charakteringa lygties(2a)saknis “k”-k,tai y== exxk(Pmcosx+ Qnsinx)…(6)Jei f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x)y=y+y1+y2+…+yn.Antros eiles tiesiniu nehomogen.dif.lygciu sprendimas konstantuvarijavimo metodu(Lagranzo)y+P1(x)y’+P2(x)y=f(x)…(1)P1(x),P2(x),f(x)-x(a,b).L[y]=y”+P1(x)y’+ P2(x)y ;L[y]==f(x)…(1)dif.lygtis ;L[y]=0…(2)y1iry2 yra atskiri(2)sprendiniai,kaiy1/y2const. y”+P1(x)y’+P2(x)y=0…(2). Bendras spr.yra:y=C1y1++C2y2…(3).y=C1(x)y1+C2(x)y2…(4) ((1)lygties spr.)C1(x)y1+C2(x)y2+ f(x) ; y= C1(x)y1++C2(x)y2-isvestine pagal Lagranzarandama tartum C1irC2butu pasto-vus.(4) lygti diferencijuojam y’==C1’(x)y1+C2’(x)y2+C1(x)y1’++C2(x)y2’…(5).Pagal Lagranzaprielaida: C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=0…(6).(6)(5):y’=C1(x)y1+C2(x)y2…(7). (7)diferencijuojam y”==C1’(x)y1’+C2’(x)y2’+C1(x)y1”++ C2(x)y2”…(8).(4),(7),(8)(1):C1’(x)y1’+C2’(x)y2’+C1(x)y1”++C2(x)y2”+ P1(x)[C1(x)y1’+ +C2(x)y2’]+P2(x)[C1(x)y1+C2(x)y2]==f(x) ; C1(x)[y1”+P1(x)y1’+P2(x)y1]++C2(x)[y2”+ P1(x)y2’+P2(x)y2]++C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=f(x)y1iry2yra L[y]=0C1’(x)y1+C2’(x)y2=0…(9)C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=f(x)…(10)Dif.lygciu sistemosDif.lygciu sist-tai lygciu visuma,kai i kiekviena is ju ieina nepriklau-somas kintamasis,ieskomos f-ijosir tu f-iju isvestine.f1(x,y,z,dy/dx,dz/dx)=0…(1)f2(x,y,z,dy/dx,dz/dx)=0y=y(x)=?,z=z(x)=?…(2)1(x,C1,C2)=02(x,C1,C2)=0 y|x=x0=y0 ;z|x=x0=z0 .Rasim C10 irC20,t.y.(C1irC2).Normaline dif.lygciu sist.,kurkairej pusej nezinomu f-iju pirmoseiles isvestines,o desinej nepriklau-somas kintamasis ir nezinomos f-ijos. Pvz y1,y2,…,yn-nezinomieji,nepri-klausomas kintamasis-xdy1/dx=f(x,y1,y2,…,yn)dy2/dx=f(x,y1,y2,…,yn)dyn/dx=f(x,y1,y2,…,yn) . Kiekvie-na lygciu sist,kuria galima isspres-ti nezinomu f-iju pirmos isvestinesatzvilgiu,taip pat vadin. normalinelygciu sist.Kiekviena n eiles dif.lygti,ivede pazymejimus,galima uzrasyti kaip normaline lyg.sist.pvz y”’=f(x,y,y’,y”) ;y’=y1y”=(y’)’=y1’=y2 y’=y1 y1’=y2y2’= f(x,y,y1,y2).Galioja ir at-virkstinis teiginys.Duota:dx/dt=y…(1)dy/dt=z…(2)dz/dt=x-y-z…(3).(1) diferencij.d2x/dt2=dy/dt…(4).(2)(4): d2x/dt2==z…(5).(5)diferencij.:d3x/dt3=dz/dt…(6).(3)(6):d3x/dt3=x-y+z…(7).(1),(5)(7):d3x/dt3=x-dx/dt+ d2x/dt2x’”+x”+x’-x=0-trecios eiles homo-genine su pastoviais koeficientais3-2–1=0 ;2(+1)+(-1)=0 ;(-1)(2+1)=0 ; (-1)=0 , =1(2+1)=0 ; 2,3=i ; 2,3=ix=C1e1t+et(C2cost+C3si ti i(8),(9)ir(10).RastumeC1,C2,C3irpo to konkreciasC10,C20,C30ista-tytume i(8),(9)ir(10).Kanonine dif.lygciu sist-tai to-kia sist,kuri yra isspresta nezino-mos f-ijos auksciausios isvestinesatzvilgiu.pvz d2x/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)d2y/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)d2z/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)Kiekviena kanonine dif.lygciu sist.galima ivedus naujus kintamuo-sius pervesti i normaline ir sprestikaip normaline.Tegul dx/dt=u ,dy/dt=v , dz/dt=w .d2x/dt2=du/dt ,d2y/dt2=dv/dt , d2z/dt2=dw/dt .(viena sistema):dx/dt=u , dy/dt=v,dz/dt=w, du/dt=1(t,x,y,z,u,v,w),dv/dt=2(t,x,y,z,u,v,w), dw/dt==3(t,x,y,z,u,v,w).Galima kanonine dif.l.sist spresti kaip nor-maline ir neivedus nauju kintamujuAukstesniuju eiliu dif.lygtys.Pa-grindines savokos.F(x,y,y’,y”,…y(n))=0…(1). y(n)==f(x,y,y’,y”,…y(n-1))…(2).y-dife-rencij. x(a,b).y=y(x)-tenkinanti(1)y=f(x,C1,C2,…,Cn)…(3).Bendras spr.reiskia integraliniu kreiviu sei-ma y”=f(x,y,y’)y=(x,C1,C2)D: y|x=x0=y0…(4), y’|x=x0=y0’…(5).y=(x,C10,C20).Anyros eiles lygties sprendinysreiskia integraline kreive,einan-cia per taska M0ir turincia zinomakrypti.Tarkime duota dif.l.(2)ir pradines sal: y|x=x0=y0, y’|x=x0=y0’,…, y(n-1)|x=x0=y0(n-1)…(6),tada tokialygtis turi vieninteli spr.,jei f(x,y,y’,y”,…,y(n-1))yra tolydi tasko (x0,y0,y0’,…,y0(n-1))aplinkoje m to-lydzios dalines isvestines:f/y ; f/y’ ; f/y” ; /y(n-1)x0(a,b) ,y=(x0,C10,C20,…,Cn0)…(7).( x0,C10,C20,…,Cn0)=0…(8)Aukstesniu eiliu atskiri atvejaiD:F(x,y,y’,y”,…y(n))=0…(1).1)D:isspresta dif. lygtisy(n)=f(x),f-diferencij iki(n-1)eilesintervale x(a,b). y(n-1)=f(x)dx+C1y(n-2)=[f(x)dx+C1]dx+C2==[f(x)]dx+C1x+C22) F(x,y’,y”,…y(n-1))=0 ;F(x,y(k),y(k-1),…,y(n-2),y(n-1))=0.Pa-Zymim y(k)=z,z=z(x) ; y(k-1)=z’ ;y(k-z)=z”… . (x,z,z’,z”,…zn-z)Issprendziam z atzvilgiu ir grazi-nam kintamuosius.3) F(y,y’,y”,…y(n))=0.Pazymimy’=P ,P=P(y) ,y”=(dP/dy)(dy/dx)==(dP/dy)P ;y”’=d[(dP/dy)P]/dy**dy/dx=[(d2P/dy2)P+(dP/dy)(dP/dy)]**P=[(d2P/dy2)P+(dP/dy)2]P.Issprende grazinam kintamuosius.Aukstesniu eiliu homog.dif.lyg-tys.Bendro spr.strukturaD:y(n)+a1y(n-1)+a2 y(n-2)+…+ a0y==f(x)…(1).n eiles dif.lygtis tiesinenehomogenine,jei f-ja y ir jos visosisvestines iki n eiles pirmame laipsnyje.a1, a2,…, a0 tolydziosf-jos intervale x(a,b).a1=a1(x),a2=a2(x),a0=a0(x)diferencijuojam.Jei f(x)=0 ,y(n)+a1y(n-1)+…+a0y=0-tiesine homogenine…(2).L[y]==y(n)+a1y(n-1)+a2 y(n-2)+…+ a0y ;L[y]=f(x)-tiesine nehomogenine.L[y]=0-tiesine homogenine.y”+a1y’+y=0…(3).Teorema:Jei y1=y1(x)ir y2=y2(x)yra (3)sprend,tai ir y1=C1y1(x)ir y2=C2y2(x) yra(3)lygties sprendiniai.Ir.Tegul(3)lyg.spr.yra y=y1+y2;tada y=C1y1++C2y2 irgi spr.Reikia rasti y’=C1**y1’+C2y2’ ;y”= C1y1”+C2y2”stato-me i (3):C1y1”+C2y2”+a1[C1y1’++C2y2’]+C1y1+C2y2=0 ;C1(y1”++y1+a1y1’)+C2(y2”+y2+a2y2’)=0 ,kadangi y1iry2 yra spr.-irodyta.y1=y1(x)ir y2=y2(x)yra (3)sprend,kai jos yra tiesiskai nepriklausom.,t.y. y1/y2=k ,nes y1=ky2 ; y=C1y1++C2y2=Cky2+Cy2= y2(Ck+C)=y2C1y=C1y1+C2y2+…+ Cnyn ;y1,y2,..,yn-tiesiskai nepriklausomi. |y1 y2 …yn |W=|y1’ y2’ … yn’|0 |y1(n-1)y2(n-1)…yn(n-1)|nt)x= C1et+C2cost+C3sint…(8).Is(8)ir(1):y=dx/dt=C1et-C2cost+C3sint…(9).Is(2)ir(9):z=dy/dt= C1et-C2cost+C3sint…(10).Jei butu duo-tos pradines sal.,tai jas reiktu staty-iyi=0,kai i=0,i=1,n-tiesiskai nepriklausomas.Jei iyi=0,kai bentvienas i0 i=1,n ,t.y.tiesiskaipriklausomas.