ALGEBRA
DALUMO POŽYMIAI
Sumos dalumo teorema. Jeigu kiekvienas dėmuo dalijasi iš to paties skaičiaus, tai ir suma dalijasi iš to paties skaičiaus.Sandaugos dalumo teorema. Jeigu bent vienas sandaugos dauginamasis dalijasi iš kurio nors skaičiaus, tai ir sandauga dalijasi iš to skaičiaus.
Natūralusis skaičius dalijasi iš:
[2], kai jo paskutinis skaitmuo dalijasi iš 2.[3], kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3.[4], kai iš 4 dalijasi dviženklis skaičius, sudarytas iš paskutiniųjų dviejų skaičių skaitmenų arba kai du jo paskutiniai skaitmenys nuliai.[5[, kai jo paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5.[6], kai jis dalijasi iš 2 ir iš 3.[8], kai trys jo paskutinai skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 8.[9], kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.[10], kai jo paskutinis skaitmuo yra 0.[11], kai skaitmenų, esančių nelyginėse vietose, suma arba lygi sumai skaitmenų, esančių lyginėse vietose, arba skiriasi nuo jos skaičiumi, kuris dalijasi iš 11.Pavyzdžiui, skaičius 103785 dalijasi iš 11, nes skaitmenų, užimančių nelygines vietas, suma 1+3+8=12 lygi sumai skaitmenų, užimančių lygines vietas 0+7+5=12; skaičius 8172538 dalijas iš 11, nes sumos 8+7+5+8=28 ir 1+2+3=6 skiriasi viena nuo kitos 22 vienetais (28-6=22), o skaičius 22 dalijasi iš 11.[15], kai jis dalijasi iš 3 ir 5.[25], kai du paskutiniai jo skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 25, t.y. kada skaičius baigiasi skaitmenimis 00, 25, 50 arba 75.[30], kai jis dalijasi iš 2, 3 ir 5.[100], kai du paskutinieji jo skaitmenys yra nuliai.[1000], kai trys paskutiniai jo skaitmenys yra nuliai.
1. 1. a+b=b+a (sudėties perstatomumo dėsnis).2. 2. a+(b+c)=(a+b)+c (sudėties jungiamumo dėsnis).3. 3. a*b=b*a (daugybos perstatomumo dėsnis).4. 4. a*(b+c)=a*b+a*b (skirstomumo dėsnis).
APYTIKSLIAI SKAIČIAVIMAI
1. 1. =x-a, x-tiksli dydžio reikšmė, a-apytikslė dydžio reikšmė.2. 2. absoliutinė paklaida.3. 3. -absoliutinės paklaidos rėžis.4. 4. santykinė paklaida.5. 5. santykinės paklaidos rėžis.
6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9.APYTIKSLIO SKAIČIAVIMO FORMULĖS
1. 1. 2. 2. 3. 3. k-sveikasis skaičius.4. 4. 5. 5. 6. 6.
TRUKMENOS.PROPORCIJOS
1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. Iš proporcijos seka
VIDURKIAI
Sakykime, a ir b – bet kokie teigiamieji realieji skaičiai. Šių skaičių aritmetiniu vidurkiu vadinamas skaičius , geometriniu vidurkiu – skaičius , harmoniniu vidurkiu – skaičius , o kvadratiniu vidurkiu – skaičius .Panašiai apibrėžiami vidurkiai ir atvejui, kai skaičių yra n>2.Jei – bet kokie teigiamieji realieji skaičiai ir – šių skaičių aritmetinis vidurkis, – geometrinis vidurkis, – harmoninis vidurkis, – kvadratinis vidurkis.
TEIGIAMOJO SVEIKOJO SKAIČIAUS STANDARTINĖ IŠRAIŠKA
Kiekvieną teigiamąjį skaičių a galima išreikšti standartine išraiškaa=a1*10n;čia 1a110; n – sveikasis, vadinamas skaičiaus a eile.Pavyzdžiui, 125000=1,25*105; 0,0034=3,4*10-3.REALIOJO SKAIČIAUS MODULIS IR JO SAVYBĖS
(modulio apibrėžimas).Pavyzdžiui, , nes 2-<0.Modulių savybės:1. . 2. . 3. . 4. . 5. 6. 7. . 8. . 9. . 10. .
ATSTUMO TARP KOORDINAČIŲ TIESĖS TAŠKŲ RADIMO FORMULĖ
Atstumas tarp dviejų koordinačių tiesės taškų A(a) ir B(b) apskaičiuojamas pagal formulę:AB=a – bčia a – taško A koordinatė, b – taško B koordinatė.
LAIPSNIAI
; a1=a (laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimas), , (laipsnio su neigiamuoju sveikuoju rodikliu apibrėžimas),a0=1, kai a a0=1, kai a0(laipsnio su nuliniu rodikliu apibrėžimas), , kai a>0 (laipsnio su teigiamuoju trupmeniniu rodikliu apibrėžimas), , kai a>0 (laipsnio su neigiamuoju trupmeniniu rodikliu apibrėžimas),Įsidėmėkite:1) 1) laipsnis didesnis už nulį su bet kokia trupmenos reikšme.2) 2) Laipsnis neturi prasmės, kai a0.
Laipsnio su realiuoju rodikliu savybės:
1. , 2. , 3.(am)n=am*n, 4.(ab)n=anbn, 5. .
ARITMETINĖ ŠAKNIS IR JOS SAVYBĖS
Jei a0, tai užrašas reiškia, kad 1) x0; 2) xn=a (aritmetinės šaknies apibrėžimas).
Aritmetinių šaknų savybės:
1. 1. ; 2. ; 3. , kai k=1,2,3,…(kN),aR;4. 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;8. 8. ; 9. .
LOGARITMAI
Užrašas logab=x reiškia, kad ax=b; čia a>0, a1 (logaritmo apibrėžimas).
lgb – tai trumpiau užrašytas log10b (dešimtainis logaritmas)lg10n=n ir lg10-n=– nlnb – tai trumpiau užrašytas logeb, kur e=2,7183… (natūralusis logaritmas).Logaritmų savybės:
1.alogab=b (pagrindinė logaritmų tapatybė).2.logaa=1. 3. loga1=0. 4. a) jei a>1 ir b> 1, tai logab>0, b) jei a>1, o b<1, tai logab<0, c) jei a<1, o b>1, tai logab <0, d) jei a<1 ir b<1, tai logab>0. 5. a) jei a>1 ir , tai logab1>logab2 b) jei 00, tai kvadratinė lygtis turi dvi skirtingas šaknis, x1 ir x2, kurios skaičiuojamos remiantis formule
2) Kai D=0, lygtis turi dvi lygias šaknis x1=x2, kurias randame remiantis formule .3) 3) Kai D<0, kvadratinė lygtis realiųjų šaknų neturi.Jei koeficientas b yra lyginis skaičius, t.y. b=2k, tai kvadratinės lygties šaknis patogu skaičiuoti pagal formulę .Vieto teorema. Kvadratinės lygties ax2+bx+c=0 šaknų x1 ir x2 suma lygi , o sandauga lygi ;
Redukuotosios kvadratinės lygties x2+px+q=0 atveju Vieto teorema užrašoma taip:
Vieto teoremai atvirkštinė teorema. Jeigu skaičiai m ir n yra tokie, kad m+n=-p, o m*n=q, tai m ir n – kvadratinės lygties x2+px+q=0 šaknys.Lygtis x2=a turi dvi šaknis: .
BIKVADRATINĖS LYGTYS
Bikvadratinė lygtis ax4+bx2+c=0, a 0 keitinio x2=y pagalba suvedama į kvadratinę lygtį ax2+bx+c=0.Bikvadratinės lygties šaknis galima iš karto skaičiuoti pagal formules ; , .
DETERMINANTAS
KRAMERIO TAISYKLĖS
ARITMETINĖ PROGRESIJA
an)an+1= an+d1. 1. an= a1+(n-1)d.2. 2. a2-a1=…=an-an-1=d.3. 3. .4. 4. .5. 5. .GEOMETRINĖ PROGRESIJA
(bn)bn+1= bn*q (q1. 1. .2. 2. bn=b1*qn-1.3. 3. .4. 4. .5. 5. Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulė: .