Pirmieji skaičiai ir jų sistemos

Senovės Egiptas mums asocijuojasi ne tik su piramidėmis, sfinksais, bet ir su hieroglifais, ilgą laiką vadintais „šventaisiais rašmenimis“. Hieroglifuose dar jaučiamas stiprus piktografijos poveikis. Todėl nenuostabu, kad jie šiandien jau niekur, išskyrus Kiniją ir Japoniją, nevartojami. Hieroglifais senovės Egipte buvo žymimi ir skaičiai. Tam tikslui buvo naudojami septyni hieroglifai, kuriais galima buvo išreikšti skaičius nuo 1 iki 10 milijonų (senovės egiptiečių skaičiavimo sistema, kaip ir mūsų, buvo dešimtainė). Gali kilti klausimas, kaip senovės egiptiečiai galėjo išversti su tokiu mažu ženklų kiekiu skaičiams žyymėti. Pasirodo, jų skaičiavimo sistema buvo adityvinė, t.y. bet koks skaičius buvo užrašomas paprastesnių skaičių suma. Todėl čia ir nebūdavo hieroglifų, kurie reikštų skaičius 5 ar 7. Skaičius „penki“ buvo žymimas penkių vienetų suma. Tikriausiai todėl ir visa Egiptiečių matematika buvo adityvinė, – joje visur buvo daugyba pakeista sudėtimi. Negeriau ir su trumpenomis, – nebuvo ženklo sudėtinėms trupmenoms žymėti. Visos jų pripažystamos trupmenos buvo su vienetu skaitiklyje, likusios būdavo gaunamos susumuojant minėtąsias. Todėl egiptiečių matematika buvo gana paini. Norėdamas išmokti veiksmų su trupmenomis, senovės Eggiptiečių mokinys turėjo sugaisti tiek laiko, per kiek šiuo metu yra išmokstamas visas vidurinės mokyklos kursas.

Piktografija nulėmė ir skaičių žymėjimą:
1 – vienas pagaliukas.
10 – galvijų pančiai.
100 – suvyniota virvė.
1,000 – lotosas.
10,000 – pirštas.
100,000 – buožgalvis arba varlė.
1,000,000 dievo figūra iškeltomis į viršų rankomis.

Senovės egiptiečių skaičių skaitymas ir rašymas labai paprasti; didesnis skaičius visada ra

ašomas prieš mažesnį, jie rašomi keliomis eilutėmis.

Dar Senovės Egipte d skersmens skritulio plotas buvo išreiškiamas taip:
(d – d/9)(d – d/9)

Egiptiečių uždavinys iš Ahmeso papiruso:

„Tarkime, kad tau liepiama 10 saikų miežių padalyti 10 žmonių. Skirtumas tarp kiekvieno žmogaus ir jo kaimyno lygus 1/8 saiko.“
Šiam ir kitiems analogiškiems uždaviniams spręsti egiptiečiai, matyt, taikė taisyklę, kurią dabartine simbolika užrašytume taip:

a = S/n – (n-1) d/2.

Ji ekvivalenti šiai formulei S = a+b/2 * n

Kaip atsirado ta taisyklė, neišaiškinta : ji tikriausiai gauta empiriškai.

Teiginį, kad trapecijos vidurinė linija lygi jos pagrindų sumos pusei, jau žinojo senovės egiptiečiai. Jis randamas Ahmeso papiruse ir Aukštutiniame Egipte ant Edfo šventyklos sienų esančiose inskripcijose (II a. p. m. e.)

Prieš 4000 metų senovės egiptiečiai stačiakampio, trikampio ir trapecijos plotams matuoti taikė beveik tuos pačius metodus kaip ir mes: trikampio pagrindą daalijo pusiau ir daugino iš aukštinės; trapecijos lygiagrečių kraštinių sumą dalijo pusiau ir daugino iš aukštinės. Skaičiuodami keturkampio, kurio aukštinės a, b, c, d, plotą S, vartojo formulę S = a+c/2 * b+d/2, t.y. daugino priešingų kraštinių sumos puses. Ši formulė tinka tik stačiakampiui. Ja remiantis, galima apytiksliai apskaičiuoti plotus keturkampių, kurių kampai beveik statūs.
Norėdami apskaičiuoti lygiašonio trikampio ABC plotą S, kai AB = AC, egiptiečiai taikė apytiksliai formulę: S = BC*AB/2.
Šiuo atveju gaunama paklaida yra tuo mažesnė, kuo mažesnis trikampio kraštinės AB ir au

ukštinės AD skirtumas, t.y. kuo viršūnė B (ir C) yra arčiau aukštinės, nubrėžtos iš viršūnės A pagrindo D. Štai kodėl apytikslė formulė tinka tik trikampiams, kurių kampas prie viršūnės palyginti mažas.

Trupmenos

Senovės egiptiečiai naudojo trupmenas su vardikliu vienas pvz. 1/4, 1/7, 1/15. Kitokių trupmenų jie neturėjo. Išimtis – 2/3. Kitas trupmenas užrašydavo sudėtimi pvz. 4/7 = 1/2 + 1/14.
Rašydami trupmenas senovės egiptiečiai prieš vardiklį parašydavo raidės “r” hieroglifą, kuris reiškia “dalis” :

Sudėtis

Sudėtis paremta dešimties vienodų simbolių pavertimu į dešimt kartų didesnio skaičiaus simbolį:

.

Atimtis

Atimtis iš esmės buvo reikiamo simbolių skaičiaus pašalinimas. Tai sunkiau kai simbolių reikia nutrinti daugiau, nei jų parašyta.

Pavyzdys: 63 – 38

Iš 6 dešimčių galima atimti 3 dešimtis, bet tik 3 vienetus. Dar lieka 5 vienetai.

Reikia viena dešimtį paversti į dešimt vienetų ir iš jų atimti
likusius penkis vienetus
t.y. 1 dešimtis – 5 vienetai = 10 vienetų – 5 vienetai= 5 vienetai.

Daugyba

Daugyba iš dviejų (dvigubinimas)

Dauginant skaičių iš dviejų tereikia padvigubinti visus jo simbolius ir jeigu reikia paversti juos į kitus:

1342 x 2 = 2684

Daugyba iš 10

Senovės egiptiečių daugyba iš dešimties tai tiesiog kiekvieno simbolio pavertimas į dešimt kartų už jį didesnį simbolį:
236 x 10=
6 vienetai tampa 6 dešimtimis
3 dešimtys tampa 3 šimtais
2 šimtai tampa 2 tūkstančiais
=2 tūkstančiai, 3 šimtai ir 6 šešios dešimtys (šešiasdešimt)
=2360

Senovės egiptiečiai du skaičius sudaugindavo naudodami laipsnišką dvigubinimą. Mėlynas rėmelis rodo, kaip jie skaičiuodavo, o pilkas kartu su lygtimi, paaiškina metodą.

Kaip senovės egiptiečiai parinko hieroglifus pagrindiniams skaičiams

Vienetui, dešimčiai, šimtui ir

r t.t.,- pažymėti? Nemanykite, kad jie dėl to labai suko galvas. Įsivaizduokime žmogų, kuriam reikia surasti vieneto ženklą. Jis prisimins, pavyzdžiui, posakį „vienas kaip pirštas“ ir jau žinos, kaip išreikšti vienetą. Apskirtai, visa pirmykščio žmogaus kalba ir susidėjo iš tokių palyginimų. Nežinodamas žodžio „tvirtas“, pirmykštis žmogus jį pakeisdavo posakiu „kaip akmuo“. Tai visai natūralus sąvokų plėtros etapas,- abstrakčiai sąvokai charakterizuoti paimama viena, konkreti jos reikšmė. Mat kalbotyroje yra kaip ir dėsnis, jog iš konkretesnės reikšmės atsiranda abstraktesnė. Todėl nesuklysiu pasakęs, kad pirmykščio žmogaus kalba priminė poeto metaforas. Ir net vėliau jis jų neatsisakė. Veiksmams su nedideliais skaičiais atlikinėti jam galbūt poetinių palyginimų ir neprireikdavo. Tačiau norėdamas apibūdinti didelius skaičius, kaip, pavyzdžiui, tūkstantis, dešimt tūkstančių ir pan., be palyginimų neišsiversdavo. Štai pavasarį daugybė lotoso žiedų padengia vandenį. Tad kodėl „tūkstančio“ negalima palyginti su šia lotoso žiedų aibe. Iš pradžių kaip neapibrėžto skaičiaus senasis sintaksinis ženklas jis reiškė ne ką kitą, kaip „labai daug“. Kaip neprisiminsi čia pagalbinių etaloninių aibių, kurios buvo naudojamos skaičiams apibūdinti. Šiuo atveju pagalbine etalonine aibe apibrėžiamas didelis skaičius,- taigi šio skaičiaus ženklu tampa tos aibės simbolis. Analogiškai atsirado ir kitų didelių skaičių simboliai. Antai Nilo upės dumblynuose knibžda nesuskaičiuojama gausybė buožgalvių. Tegul „šimtas tūkstančių“ ir atitinka buožgalvį (j
juk buožgalvių yra nepalyginamai daugiau negu lotoso žiedų). Panašiai buvo sugalvotas ir „milijono“ simbolis. Nerasdami aplink save jį atitinkančios aibės, senovės egiptiečiai milijoną įsivaizdavo kaip tokią kiekybę, prieš kurią paprastas mirtingasis, apstulbintas jos didybės, klaupėsi ir iš nuostabos kėlė aukštyn rankas.
Ilgainiui senovės egiptiečių raštas supaprastėjo, vietoj hieroglifų įsigalėjo hieratinis, o vėliau ir dar paprastesnis – demotinis raštas. Hieroglifai liko įamžinti tik šventyklų sienose. Štai kodėl senovės graikai, negalėdami perprasti jų reikšmės, pavadino juos „šventaisiais rašmenimis“ (gr. Hieros – šventas, glyphe – raižinys). Senovės Egipte, kaip ir kitur, pamažu įsigali fonetinis raštas. Mat kažkoks nežinomas genijus pastebėjo, kad žodžiui užrašyti atskiras ženklas nebūtinas. Galima atitinkamais simboliais pažymėti arba atskirus skaitmenis (kaip tai daroma Japonijoje), arba atskirus garsus. Šis paprastesnis ir kur kas patogesnis raštas paplito beveik visame pasaulyje (išimtis yra gal tik Kinija). Kaip tik tada ir imta skaičius ir skaitvardžius žymėti skirtingai. Žvelgdamas į skaičių reiškiantį senovės egiptiečių hieroglifą, neatskirsi, ar tai skaičius, ar skaitvardis. Tuo tarpu mes skaitvardį rašome į prastomis abėcėlės raidėmis, o skaičių (t.y. visą sąvoką) – tam tikru simboliu. Kitaip sakant, mūsų dabartiniai skaitmenys (kaip ir kitados vartotų skaičiavimo sistemų skaičių ženklai) iš esmės yra ne kas kita, kaip hieroglifai.

Babiloniečių skaičiavimo sistema

Anot žymaus senovės Babilono matematikos tyrinėtojo O. Nuigebauerio, pozicinė skaičiavimo sistemos išaradimas, beajejo, buvo vienas iš labiausiai vaisingų išradimų žmonijos istorijoje. Babiloniečių sistema galutinai susiformavo trečiosios Uro dinastijos metais (taip vadinami valdovai, padarė Uro miestą savo sostine XXI a. pr. m. e.). Ji buvo artima dabar mūsų naudojamai pozicinei skaičiavimo sistemai, kur skaitmens vieta (pozicija) skaičiuje nusako jo eile, pavyzdžiui, 13 ≠ 31, nes 13 = 1*101+3*100. Kitaip, negu senovės Egiptiečių, čia buvo naudojama šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema, kartu prie jos pridedant žymiai senesnę dešimtainę sistemą. Pagrindine šios sistemos ypatybė – skaičiai mažesni už 60, būdavo užrašomi adityviai su dešimtainiu pagrindu. Skaičiai, didesni už 60, buvo pateikiami pozicinėje sistemoje, kurios pagrindas 60. Toks adityvinis – pozicinis skaičiaus išreiškimas, be Mesopotamijos tautų, niekieno nebuvo vartotas. Yra dar vienas bruožas, skiriantis šią sistemą nuo senovės Egiptiečių, – skaičiui užrašyti buvo vartojamas tik vienas simbolis, kurio padėtis bei atitinkamos šių simbolių kombinacijos ir nusakydavo skaičiaus reikšmę. Visi skaičiai nuo 1 iki 9 buvo žymimi vertikaliu danteliu. Skaičius 10 jau būdavo užrašomas horizontaliu danteliu. Paskui visi skaičiai iki 59 būdavo užrašomi horizantalių ir vertikalių dantelių pagalba. Skaičius 60 vėl būdavo žymimas horizantaliu danteliu.

Todėl paveiksliuke, dešnėje pažymėtas skaičius galėjo reikšti 83, nes 60+23 = 83. Rašome „galėjo“, nes šis užrašas gali būti perskaitytas ir taip 1+23*60-1 = 1 23/60. Toks dvireikšmiškumas paaiškinamas tuo, kad senovės babiloniečiai bent jau iki Va. pr. m. e. nevartojo nulio. Užrašant skaičių, nulio vietoje dažniausiai buvo paliekamas tarpas. Tačiau ir tai nepadėdavo atskirti sveikų skaičių nuo trupmenų. Tokiu atveju skaičiau reikšmę turėjo patikslinti kontekstas.

Arabiškų skaičių atsiradimo istorija

Šiandieninis dažnai vartojamas arabiškas vieneto simbolis dažniausiai rašomas kaip vertikalus brūkšnelis, kurio viršuje kairėje yra mažas vertikalus arba 45 laipsniais į apačią palinkęs serifas (vadinamos mažos užkardėlės raidžių kai kurių linijų galuose. Kartais simbolio apačioje piešiamas trumpas vertikalus brūkšnelis, atsikišęs į abi puses. Brahmanai indai vienetą rašė kaip horizontalią liniją; (Kinijoje dar ir dabar taip piešiamas vieneto hieroglifas). Guptai vienetą šiek tiek išlenkdavo į viršų, o nagariai pridėdavo kairiajame gale mažą skrituliuką. Gudžaračių ir pendžabų raštuose ženklas būdavo pasukamas 90 laipsnių į dešinę ir taip jis supanašėjo į mūsišką vienetą. Nepaliai taip pat ženklą raršydavo vertikaliai, bet rutuliuką dar labiau sumažindavo. Po kiek laiko skrituliukas pavirto į mažą vertikalų brūkšnelį. Retkarčiais apačioje užbrėžiamas brūkšnelis greičiausiai susiformavo iš labai panašaus romėniško vieneto skaičiaus I.

Šiandieninis dažnai vartojamas arabiškas dvejeto simbolis išsirutuliojo iš Brahmanų Indų vartoto dvejeto simbolio: dviejų horizontalių linijų. Taip pat toks simbolis dar ir dabar yra vartojamas moderniojoje kinų hieroglifų sistemoje. Guptai tas dvi linijas pasuko 45 laipsnių kampu, o kartai viršutinę liniją sulenkdavo ir taip, kad dešinysis jos kraštas atsisukdavo stačiai į apatinę liniją. Nagariai dėl patogesnio rašymo abi linijas sujungė. Gubar arabai apatinę liniją padarė visiškai vertikalia ir ženklas tapo panašus į klaustuką be taško. Vėliau apatinė linija buvo atstatyta į pradinę horizontalią padėtį, taip simboliui supanašėjant į dabartinį dvejetą.

Trejeto rašybos raida.

Ketverto rašybos raida.

Penketo rašybos raida.

Šešeto rašybos raida.

Septyneto rašybos raida.

Aštuoneto rašybos raida.

Devyneto rašybos raida.

Nulio raida
Sanskrito kalba nulis – Çunya reiškia tuštumą, o vaizduojamas buvo mažu skrituliuku. Indų kalboje nulis buvo vadinamas sunja („tuščia“). Arabai išvertė žodžiu syfr, turinčiu tą pačią reikšmę. Leonardas Fibonatis, supažindinęs europiečius su naujaisiais skaitmenimis, nulį pavadino zephirum. Vėliau italų kalba jis virto zephiro, o prancūziškai zero. XII amžiuje atsirado pavadinimas cifra. Dabar šio žodžio reikšmė – „skaitmuo“, o ne „nulis“. Žodis nulis yra kilęs iš lotynų kalbos žodžio nullus (non ullus), reiškiančio „niekas“.
Nulis kaip skaičius, į skaičių eilę įtrauktas palyginti vėlai, tik paplitus pozicinei skaičiavimo sistemai, kurioje skaičiaus vertė priklauso nuo skaičių rašymo pozicijos, t. y. nuo to, kokią vietą užima: paskutinę, priešpaskutinę ir pan. (pvz., 1, 10, 100). Dešimt skaičių suteikė galimybę atsirasti dešimtainei skaičiavimo sistemai – vienam iš svarbiausių žmonijos atradimų. Ji suteikia galimybę visus pasaulio skaičius pavaizduoti naudojant tik dešimt skaitmenų. Arabiškoje skaičiavimo sistemoje, kilusioje iš Indijos, skaičiuoti pradedama nuo 1, o nulis yra paskutinio dešimtainės sistemos skaičiaus 10 galutinis simbolis.
Jau nuo seno ginčijamasi, ar nulis yra skaičius. Jis skaičių simbolikoje laikytas nebuvimo ir bevertiškumo simboliu. Ir dabar, norint ką nors sumenkinti, sakoma, kad tai teverta nulio. Lotynų, graikų ir hebrajų skaitmenų sistemose nulio nebuvo. Nors mažai tėra išlikę autentiškų senovės indų užrašų, bet tikrai neabejotina, kad dabartinės pozicinės skaičiavimo sistemos tėvynė yra Indija. Pirmieji skaičiai, užrašyti pozicine sistema, buvo žymimi Brahmos skaitmenimis. Indai sukūrė nulį, kaip matematinį simbolį ir pirmieji ėmė atlikinėti aritmetinius veiksmus su nuliu. XII a. indų mokslininkas Bhaskara samprotavo kaip šiuolaikinis matematikas: dalybos iš nulio rezultatas nesikeis, kad ir kiek prie jo pridėtume ar atimtume, kitaip tariant, jis yra be galo didelis.
Yra nuomonių, kad nulis atsirado indų ir kinų kultūrų sandūroje. Ši versija remiasi tuo, kad dabartinės Kampučijos ir Indonezijos teritorijose rasti apie 685 metų užrašai, kuriuose nulis žymimas apskritimu, gaubiančiu tašką.
Senovės babiloniečių nulis egzistavo III amžiuje pr. m. e. ir buvo vaizduojamas kaip dviguba palinkusi gegnė. Tačiau nulis nebuvo rašomas skaičiaus gale ir neprilygo kitiems skaitmenims. Vėliau skaičių nulį išrado majų astronomai ir vaizdavo jį kaip gulsčią ovalą.
Europoje „absoliutus“ nulis, kuris tapo ne tik skaitmuo, bet ir skaičius, galintis veiksme atlikti vaidmenį, galutinai pripažintas XVI a. prancūzų matematiko A. Žiraro dėka. Matematikoje tuo metu atsirado neigiami skaičiai. Kadangi skaičių +1 ir -1 suma irgi turėjo būti skaičius, tad nuliui teko suteikti skaičiaus teises. Pertvarkius nulio statusą, 0 tampa tokiu pat kiekiu kaip bet kuris kitas skaičius. Į klausimą „Kiek yra?“ negatyvus atsakymas „Nieko nėra“ pasikeitė į pozityvų – „Yra nulis“. Kai kurie mokslininkai dar XVII amžiuje įrodinėjo, kad nulis nėra skaičius, bet jis jau buvo įsitvirtinęs.
Iki šiol kyla diskusijos, kuo prasideda naujasis dešimtmetis – nuliu ar vienetu. 625 metais vienuolis Dionisijus Mažasis nustatė mūsų eros pradžią ir metus imta skaičiuoti nuo 1-ųjų metų, o vėliau, kai pradėta skaičiuoti metus ir prieš mūsų erą, niekas neįterpė nulinių metų.

1 – Brachmos skaičiai iki 9; 2 – senovės indų; 3 – naujesni indų skaičiai; 4 – rytų arabų skaičiai, kurie vis dar tvarkomi; 5 – viduramžių vakarinių arabų; 6 – Xa. pab. lotyniškame rakraštyje rasti arabiški skaitmenys; 7 – XIIa. skaitmenys kartu du nuliu jau; 8 – XVa. rankraščiuose rasti arabiški skaitmenys; 9 – XVa. spausdinti skaitmenys; 10 – standartiniai skaitmenys spaudai spausdinti; 11 – skaitmenys, vartojami pašto indeksui žymėti.
LITERATŪRA

1. Belickis M. Užmirštas šumerų pasaulis. Vilnius, 1972.
2. Oates J. Babilonas. Vilnius, 2004.
3. Baltrūnas A. Šimtas matematikos mįslių. Vilnius, 1983.
4. http://lt.wikipedia.org/wiki/2_(skai%C4%8Dius)
5. http://lt.wikipedia.org/wiki/Skai%C4%8Dius
6. http://lt.wikipedia.org/wiki/0_%28skai%C4%8Dius%29

Leave a Comment