5. Laboratorinio darbo Nr.5 ataskaitaDiskretinė matematika
Skirtuminės lygtys
Darbo tikslas:Patyrinėti skirtuminių lygčių elgesį (sprendinius) ir pastoviuosius taškus.
Darbo užduotis:Išspręsti kurį nors iš (1)-(4) trumpiausio kelio paieškos uždavinių. Apskaičiuoti pasirinktojo algoritmo vykdymo laiką.
Užduoties sprendimo rezultatai ir pastebėjimai:1. Pasirinkime pirmos eilės tiesinę homogeninę lygtį(amy(t+m)+am-1y(t+m-1)+am-2y(t+m-2)+…+a0y(t)=0, kai m=1 ), tokią, kad jos charakteringoji lygtis turėtų teigiamą absoliučiu dydžiu mažesnę už vienetą šaknį. Reiškia, šiam homogeniniam lygčiui 10*yn+1+5*yn=0 atitiks koks charakteringas lygtys:10*q+5=0, jos šaknys yra:q=-2,y(1)n=(-2)n – atskiriamasis sprendinys,yn=c1*(-2)n- bendrasis sprendinys.Analigiškai homogeniniam lygčiui 5*yn+1-10*yn=0 atitiks charakteringas lygtys 5*q-10=0,q=2;y(1)n=2n – atskiriamasis sprendinys,yn=c1*2n – bendrasis sprendinys.Prisiminkime, kad bendrasis sprendinys atstovauja visą sprendinių (kreivių šeimą), o atskirasis sprendinys – atskirą kreivę. Ir kadangi mes turim tik tais vieną atskirąjį sprendimą, tai mūsų atskirą kreivę bus tiese. Kadangi tiesinė skirtuminė lygtis turi tik vieną pastovųjį tašką, tai taškas, kuriame yn+2=yn+1=yn=…y Apskaičiuosim taip:10*y+5*y=0 5*y-10*y=015*y=0 -5*y=0y=0 y=0Tiesinei homogeninei lygčiai pastovusis taškas visada lygus nuliui. Šio atveju pastovus taškas yra asimptotiškai nestabilus. Išsprendus šį uždavinį kompiuteriu gauname tokia grafika: . 2. Pasirinkite antros eilės tiesinę homogeninę lygtį(amy(t+m)+am-1y(t+m-1)+am-2y(t+m-2)+…+a0y(t)=0, kai m=2 ), tokią, kad charakteringosios lygties šaknys būtų kompleksinės jungtinės, absoliučiu dydžiu mažesnės už vienetą ir turėtų teigiamą realiąją dalį. Reiškia, šiam homogeniniam lygčiui 3*yn+2-2*yn+1+2*yn=0 atitiks koks charakteringas lygtys:3*q*q-2*q+2=0 jos šaknys yra:
q1=1/3+(i√5)/3,q2=1/3-(i√5)/3;yn= c1*(1/3+(i√5)/3)n +c2*(1/3-(i√5)/3)n – bendrasis sprendinys. Toliou mums reikia išspręsti šį lygtį, papildus jį tokia sąlyga: c1 + c2 =0, gauname:c1 = -3/(4i*√5)c2 = 3/(4i*√5) o iš čia:yn= -3/(4i*√5)*(1/3+(i√5)/3)n + 3/(4i*√5)*(1/3-(i√5)/3)nIšsprendus lygtį kompiuteriu gavome tokia sprendinių grafika:
Tokios skirtuminės lygties sprendinys teoriškai turėtų būti funkcija, kuri artėja link tam tikro taško svyruodama. Išsprendus ši lygti kompiuterių mes tai patvirtiname.3. Pasirinkite trečios eilės tiesinę skirtuminę lygtį, yn+3+2*yn+1-1.1*yn+1-1.1331*yn=0 kuri turėtų vieną realiąją šaknį, kaip (1) užduoties dalyje ir porą kompleksinių jungtinių šaknų, kaip (2) užduoties dalyje. Ši lygtį išsprendus kompiuteriu ir nusibraižus sprendinių grafika gavom:
4. Pridėkime kokią nors pastovią funkciją lygties dešiniojoje pusėje:yn+2+yn+1-1.1*yn =8apskaičiuokite lygties pastovųjį tašką:y+y-1.1y=8y=80/31, – pastovus taškas.Paskui išsprendus lygtį kompiuteriu, gavom tokį sprendinįs:
Pradines sąlygas visas pateikite lygias pastoviajam taškui ir vėl išspręskite lygtį kompiuteriu. Pakomentuokite gautąjį sprendinį.5. Pastovią dedamąją dešinėje pusėje pakeiskime į kintančią, t.y. pridėkite prie pastovios dedamosios vienetuką, kai argumentas t=25, du, kai t=50 ir tris, kai t=70. 6. Apskaičiuokime netiesinės skirtuminės lygties y(t+1)=ay(t)(1-y(t)), a?[0,4] pastoviuosius taškus.