Turinys
Turinys 2Įvadas 3Kopijavimo aparatas 3Matomas atspindys 3Tikslaus atspindžio (atvaizdo) negalimumas 8Santrauka 13Literatūra 14ĮvadasModeliavimas yra efektyvus mokslinio tyrimo ir prognozavimo metodas. Plačiąja prasme modelis yra tam tikro objekto, proceso arba reiškinio analogas, išlaikantis mus dominančias originalo savybes ir charakteristikas, galintis tam tikromis sąlygomis pakeisti originalą. Tam pačiam objektui (procesui, reiškiniui) gali būti sukurta labai daug modelių. Pasirinkto modelio tipas priklauso nuo tikslo – kam kuriamas šis modelis, ir nuo to, kokiais metodais (būdais) pateikiama informacija apie modelio prototipą. Svarbu parinkti tokį modelį, kuris leistų suprasti modeliuojamo objekto esmines savybes, jo struktūrą, raidos dėsningumus ir sąveiką su aplinka.Modeliavimas, kaip pažinimo įrankis, turi nemažai privalumų. Jis gali būti vienintelis tyrimo būdas, jei objektas yra nepasiekiamas erdvėje ar laike (pasinaudojant faktais ir taikant hipotezių bei analogijų metodą, galima sukurti tolimos praeities įvykių modelį), arba retai stebimas gamtoje ir yra trumpalaikis. Be to, bandymai su modeliais yra daug ekonomiškesni ir techniškai paprastesni, lyginant su bandymais, atliekamais su originalais. Modeliuojant galima kartoti eksperimentus, keisti jų sąlygas tyrinėtojo nuožiūra, kas ne visada yra įmanoma atliekant eksperimentus su originalu.Kopijavimo aparatasMatomas atspindys1. piešinys vaizduoja elektrinio vaizdo susidarymą.Būtų šiek tiek patogiau dirbti su funkcija u = -V, nei su elektriniu V potencialu. Mes taip pat pakeičiame paviršiaus skylės tankumo žymėjimą, įvardindami jį - vietoj (o –0 vietoj 0, kai laikas t = 0). Tuomet 0 yra teigiamas.Kad būtų paprasčiau, kraštutinius (ribinius) lygius įvardinsime, kaip 0 ir 0. Dėmesį sutelksime į vieną “ląstelę”, kaip parodyta 7.1. piešinyje. Visa tai yra išreikšta nelygybe –a < x < a. Taip pat darome prielaidą, kad elektrinis vaizdas yra ryškus, t.y., kai = 0 intervale - x , aprėpiančiame tamsiąją dokumento dalį, o = 0 intervaluose –a < x < - ir < x < a, aprėpiančiuose šviesiąją dokumento dalį. Tuo tarpu, kai yra tik viena funkcija, kiekviena individuali funkcija apytiksliai atitinka tamsųjį ar šviesųjį dokumento plotą.
Dabar, toliau tęsdami, apibūdinsime elektrinio vaizdo virtimą matomu atspindžiu. Tai pavyksta padaryti naudojant teigiamo krūvio cheminę medžiagą, vadinamą toneriu (ji panaši į sausą rašalą).1 piešinys
Pirmiausia, toneris yra pernešamas ant neštuvėlių paviršiaus. Neštuvėliai – tai geležiniai šratai, kurių spindulys yra 1/200 colio. Toliau tonerio milteliai, esantys ant šratų paviršiaus, yra veikiami magnetinės jėgos. Vėliau tonerio neštuvėliai pergrupuoja tonerį į grandines arba į siūlinius atsišakojimus, kurie lengvai liečiasi prie foto laidininko būgno, išleidžiančio cheminę medžiagą mažomis dozėmis. Žr., 2. piešinį.
2. piešinys
3. piešinys
Tuo metu, kai foto laidininkas su įkrautu paviršiumi patenka į ryškinimo zoną, t.y. į zoną, kurioje yra nusėdęs toneris, yra sukuriami matomi tamsūs atspindžiai. Taip pat kopijuojama informacija ant įkrauto paviršiaus yra dalinai padengiama toneriu. Kopijuojamai formai išlindus iš ryškinimo zonos, ji tampa “visiškai išryškinta” – įgauna tamsių atspindžių pavidalą.Dabar norėtume sutelkti dėmesį į mažiausią kopijuojamos medžiagos elementą – ląstelę/taškelį ir apibūdinti visą jo išryškinimo procesą. Tam taikome kvazistatinį metodą. Ryškiau nuspalvinta 3. piešinio sritis iliustruoja dabartinį tonerio atvaizdą. Kitoje stadijoje pridedamas dar vienas sluoksnis (šviesiau nuspalvinta piešinio sritis).Prisiminkime, kad po to, kai matomą atspindį visiškai išryškiname, popieriaus paviršius yra padengiamas toneriu, būtent tai ir sustiprina matomą atspindį bei perkelia jį ant popieriaus. Tuomet popierius yra perleidžiamas per detonatorių, kuris laikinai atspindį (vaizdą) “priklijuoja”/pritvirtina ant popieriaus. Paskutinė proceso užduotis yra fotolaidininko būgno išvalymas ir paruošimas naujo proceso pradžiai.Tam kad matematiškai apibūdintume visą matomo modelio atspindžio išryškinimo procesą, turėsime apskaičiuoti elektrinį lauką, pridėti tonerio proporcijas prie lauko jėgos sluoksnyje, esančiame šalia kito sluoksnio, ir vis tęsti sąveikos procesą. Dar viena lygybė visame procese (įskaitant ir mažiausiąjį elementą – ląstelę/taškelį) yra tokia:
(7.1)kur yra tonerio tankumas ( konstanta), ten elektros grandinės padėtis tonerio ribotumo atžvilgiu yra:
(7.2)
kur yra elektros grandinės normalė, nurodanti oro [cirkuliacijos] kryptį, ten k yra kito tonerio elektros laidumas. Sekantį sluoksnį galime apibrėžti ar nustatyti žemiau užrašyta taisykle:
jei , elektros srovės nuotėkis,
jei , elektros srovės įtekis. (7.3) Jei , elektros srovės grandinės nepašaliname tol, kol jėgos impulsas nenurodo pritraukti tonerį arba atsisakyti jo. Tai reiškia, kad galutinė elektros grandinės pozicija yra apibrėžta šia formule:
(7.4)
Jei nustatysime u = -V, ir ląstelės/dalelės kraštuose nustatysime elektros kaitą , tai sumažinsime problemą.
Raskite kreivę Γ: y = f(x) (- x ) ir funkciją u(x, y), abu simetriški x ašyje. Štai taip:
f(x) > 0, jei - < x < , f()=0 (7.5)
ir, jei D = (x, y…); - < x < , 0 < y < f(x),
, R = -a < x < a, -h < y < b.
Tuomet
, D aplinkoje (7.6)
, aplinkoje (7.7)
(7.8)
kur 0 yra teigiama konstanta,
u yra riboje (7.9)u yra tolygiai diferencijuojamas į
u(x, b) = M, -a < x < a, u(x, -h) = 0, -a < x < a, (7.10) u(a, y) = 0, -h < y < b,
ir galiausiai :
ant , (7.11)
kur n yra normalus kylančio į viršų atžvilgiu.
Įsidėmėkite, kad (7.8) yra tiesiog (6.6) su V, pakeistu u, pervardinsime į – , o lengvinančią prielaidą, kad konstanta 0 intervale – < x < , o kitur 0.Jei yra duotas, veiksmas (7.6) – (7.10) yra tik tarpinis R veiksmas. Žinoma, su sąlyga, kad transmisijos (perdavimo) padėtis segmente gali būti įvardinta:
= { ( x, 0); - < x < };
u yra lygybės sprendinys.
į R, (7.12)
kur yra D charakteringoji funkcija.
Kaip ten bebūtų, iš anksčiau nėra žinomas; jį privalome surasti kartu su u. Tokiu būdu patenkinsime (7.11) sąlygą. 7.4 brėžinys trumpai atvaizduoja geometrinę užduotį.
Šis uždavinys yra daugelio kitų uždavinių pavyzdys, kurių dalis ribų (ribotumų) nėra žinoma ir turi būti išsiaiškinta kartu su u sprendimu, įskaitant ir kažkurią diferencinę lygybę su daliniu sąlygų apribojimu.4 piešinys
Tokią užduotį vadiname užduotimi be apribojimų; nežinomoji apribojimo dalis yra vadinama begaline.Yra du tonerio užduoties be apribojimų sprendimo būdai. Pirmasis yra su D = -a < x < a, 0 < y < b, o antrasis D = 0. Kiekvieną jų žymime simboliais U1 ir U0. Šie sprendimai yra susiję su matomais visiškai tamsiais arba visiškai šviesiais atvaizdais, todėl negali būti daiktiški (apčiuopiami), išskyrus išimtinius atvejus. Tikro kopijavimo aparato viršuje aprašytos įvairios konstantos paprastai yra užduodamos tokios vertės:
, , ,
, ,
ir tuomet , .
Kadangi taip pat M ~ 50V, M < *h (pvz., 50 < 182 x 20).Sekančioje užduotyje tarkime, kad ε = a, pvz., elektrinis atvaizdas yra sudarytas vien tik iš tamsių taškelių.
Užduotis 7.1.1 Jei ε = a, suraskite aiškų ir tikslų sprendimą U1, U0. (Tarkime, jie priklauso tik nuo y).
Užduotis 7.1.2 Tarkime ε = a. Jei M > δ*h, tai tokiu atveju nėra f-jos u(y) sprendimo tonerio užduočiai su netuščia begaline riba. Jei M < δ*h , tuomet tonerio su netuščia begaline riba sprendimas yra įmanomas. Duota, – δ*h – M < ½ b2. Kas nutinka, kai δ*h – M ½ b2?Tikslaus atspindžio (atvaizdo) negalimumasJei D praeitame skyrelyje buvo stačiakampis
{-δ < x < δ, 0 < y < γ}, (7.13) kur δ = ε , tai galime tarti, kad matomas atspindys mums duoda tikslų elektrinio atvaizdo atspindį. Remiantis toliau sekančia teorema, taip įvykti negali.
TEOREMA 7.2.1 D negali įgyti (7.13) formos nei su vienu 0 < δ< a.Šios teoremos įrodymui mums reikės faktų apie harmoninį funkcionavimą. Pirmasis faktas yra susijęs su ypatinga ir specifiška “Dirichlet problema”.
TEOREMA 7.2.2. Tarkime Ω yra diskas arba stačiakampis su dΩ ribotumu. Tuomet nenutrūkstanti duota funkcija f(x,y) yra apibrėžta kaip dΩ, kur specifinė nenutrūkstanti funkcija u(x, y) tokioje srityje , kuri yra tokia C2(Ω) taip kaip
uxx + uyy = 0 srityje Ω
ir u = f srityje dΩ. Ypatingoji dalis seka iš maksimaliojo principo. Įrodymą praleidžiame.Teorema aprėpia daug daugiau, nei pagrindinį Ω. Pavyzdžiui, Ω galėtų būti bet kokia apibrėžta sritis, apimanti lengvų išlenkimų baigtinį skaičių (C1), išskyrus “kampų” baigtinį skaičių.Kokiomis sąlygomis “Dirichlet problemos” sprendimas galėtų būti ištęstas į didesnę sritį už dΩ ribų? Kadangi f gali būti sutartinė tolydi funkcija, vadinasi galima pasirinkti ją tolygiai išgaubtą (tarkime C2). Tuomet pasidaro aišku, kad pagrindinis u sprendinys negali užeiti už dΩ sprendinio (C2) Laplaso lygybės ribų. Tačiau esant tam tikroms aplinkybėms, tokie erdviniai “išsikišimai” galimi, o tai – labai naudingas faktas. Tai, kas seka po kliūties, pažymėsime ribas, pvz., ribai.
TEOREMA 7.2.3. (Švarco atspindėjimo principas). Tarkime R+ yra stačiakampis
{a < x < b, 0 < y < c}
o R_ yra “jo” veidrodinis atspindys (žr. Pieš. 7.5)
{a < x < b, -c < y < 0}.
Jei u(x,y) tenkina uxx + uyy = 0, į R+ ir yra besitęsianti , kai u = 0 ant . Tuomet u, kaip harmoninga funkcija, gali būti pratęsta į . Šiuo atveju naudosime šią formulę:
u(x, y) = -u(x, -y).
5 piešinys
Įrodymas. Šį tolygų prailginimą, tenkinantį Laplaso lygybę, nesudėtinga pastebėti ir suprasti R_ srityje. Tai, kas nėra aišku, vyksta l srityje. O kad išsiaiškintume, nuspręskime, kokias ribas nustatysime u dydžiui, kai jis yra apribotas “viršutinėje” ir “šoninėje” R+ srities dalyje (pvz., neįskaitome taškų, esančių {a < x < b, y = 0} srityje. Padidinkime šias ribas iki didžiojo stačiakampio R srities B, – y nelyginės funkcijos – ribų. Toks veiksmas įtakos besitęsiančią f funkciją B srityje. Dabar išspręskime Dirichlet užduotį R srityje, kurią riboja f duomenys, o sprendinį pavadinkime U(x, y). Galime parodyti, kad U privalo būti y nelyginė funkcija. Kad taptų aišku, išnagrinėkime žemiau esančias funkcijas:
v (x, y) = U (x, y) + U (x, y).
v yra tolygus R srityje, besitęsiantis srityje, o B srityje, tiksliau R srities ribose, jis priartėja prie nulio. Dėl Dirichlet užduoties savitumo (arba maksimalaus principo) v 0 R srityje. Toliau seka, kad U yra nelyginis y ašyje. Tuomet gauname, kad U priartėja prie nulio ant l linijos, o U turi tokias pat ribas, kaip ir u srityje. Tokiu būdu, kaip teoremoje pasakyta, U tolygiai prailgina u, kai šis yra nelyginė funkcija.Iš viršuje pateikto įrodymo gauname toliau sekančius rezultatus.
TEOREMA 7.2.4. Tarkime, kad darome tokią pat prielaidą, kaip ir 7.2.3. Atmeskime tik tai, kad u = 0 l srityje ir tarkime, kad vienapusių ribų l srityje nelieka. Tuomet u, kaip ir tolygi funkcija ribai R, gali būti pratęsta naudojant šią formulę:
u(x, y) = u(x, -y).
Yra žinoma, jei tolygi funkcija u srityje D artėja prie nulio apibrėžimo srityje, tuomet u 0 srityje D. Šį faktą vadiname ypatingąja tęstinumo savybe. Todėl galime padaryti išvadą, kad tolygūs 7.2.3. ir 7.24. teoremų pratęsimai yra išskirtiniai.Remiantis 7.2.3. ir 7.2.4. teoremomis, galime padaryti išvadas apie toliau pateiktus rezultus.
TEOREMA 7.2.5. u 0 srityje R+, jei u yra tolygus srityje R+ ir jį nuo u viršausriboja iš vienos pusės, o du/…dy artėja prie nulio l srityje.Iš tikrųjų, 7.2.3. ir 7.2.4. teoremomis įrodėme, kad abu, tiek netolygūs (nelyginiai),tiek ir tolygūs (lyginiai), u tęsiniai į R_ sritį yra tolygūs. Todėl pusė jų sumos, kuri lygi nuliui R_ srityje, yra tolygus u prailginimas R_ srityje. Taigi, žemiau užrašyta funkcija yra tolygi R_ srityje.
srityse
F-ja U(x, y) yra tolygi R srityje.Iš ypatingos tęstinumo savybės išplaukia, kad u 0 srityje R+.
Išvada 7.2.1. Jei dvi funkcijos u1 ir u2 yra tolygios R+ srityje ir besitęsiančios srityje, o vienpusės ribos sutampa, tai u1 u2 srityje R+. Pvz.,
, ,
7.2.1 teoremos įrodymas. Kad įrodymas būtų aiškesnis, tarkime, kad k 1. Jei D yra7.13 formos, tai situacija atrodo taip, kaip 6 piešinyje.
6 piešinys
Mes pavaizdavome D sritį (jį pažymėjome C raide) stačiakampio dešinėje, netoliese jos viršutinės ribos, pažymėtos A raide, o A sritį, pažymėdami ją B raide, pavaizdavome taip pat stačiakampio dešinėje, žr. 7 piešinyje. B taip pat gali būti prieinamas, jei C sritį pavaizduosime netoli jos viršutinės ribos. Mes taip pat pertvarkysime koordinacinę sistemą taip, kad ji būtų A, B, C, D taškų susikirtimo centre.
7 piešinys
Tokiu būdu B, A, D ir C atitinkamai išsidėsto pirmame, antrame, trečiame ir ketvirtame kvadrate. D srityje iš u atimdami , gauname tolygią funkciją srityje D, kurios išvestinės x priartėja prie nulio ant D srities dešiniosios ribos. Būtent todėl D būdinga ypatingas tolygus pratęsimas C srityje, kaip duota:
, , ,Šio pratęsimo ribos dešinėje ir x ribos turi sutapti su u ribomis , kai x = 0. Iš čia išplaukia, kad viršutinis pratęsimas turi sutapti su pradine funkcija u srityje C. Visa tai išplaukia iš išvados.Tokia pat procedūra yra taikoma ir tolygų pratęsimą D srityje į A sritį, kai duota :
, , ,
ir tai u sutampa su tikruoju u srityje .Dabar galime pakartoti šią veiksmą dviem būdais. Norėdami gauti tolygų pratęsimą į B sritį, kaip duota
, , , (7.14)
mes galime perkelti pirmoje formulėje nurodytą funkciją iš C srities į B sritį netoli y ašies, kai y = 0. Taip pat galime perkelti antroje formulėje nurodytą funkciją iš A srities į B sritį netoli x ašies, kai x = 0 tam, kad gautume dar vieną tolygų pratęsimą į B sritį, kaip duota
, , . (7.15)
Remiantis tuo pačiu įrodymu, skirtu pirmajam pratęsimui, galime teigti, kad kiekvienas padarytas pratęsimas turi sutapti su pradine u funkcija B srityje. Visgi, turint omenyje, kad du pratęsimai į B sritį skiriasi, susiduriame su prieštaringomis išvadomis.
7.2.1 užduotis. Ar 7.2.1 teoremos įrodymas yra susijęs su atveju, kur D yra trapecija?
Išnagrinėkime momentą, prieš toneriui patenkant į ryškinimo zoną. Taigi
srityje ,
u tenkina (7.8) bei (7.10) ribotumo sąlygą. Mes galime parodyti, kad jei M < *h, o h < b, tai
jei . (7.16)
jei (7.17)
Pasak (7.3) dalies paaiškinimų, (7.16) nelygybė reiškia “elektros srovės nuotėkį”, t.y., tonerio sluoksnis susikaups ant y ašies, kai y = 0, nes . Intervalai, nurodantys tonerio sankaupų kiekį (dažnumą), yra apibrėžti dydžiu.Šis kiekis, remiantis (7.17), didėja neribotai (iki absoliutaus dydžio), nes x padidėja nuo 0 iki . Dėl šios priežasties galime tikėtis, kad per trumpą laiką nebaigtas ryškintis vaizdas bus matomas tokios formos, kuri pavaizduota 8 piešinyje.
8. piešinys
Prie kraštų , kai x = , tamsus vaizdas yra aiškesnis, nei kraštuose. Tiesą sakant, kserografijoje tai yra gerai žinomas reiškinys. Jį vadiname kokybiškų kraštų efektu.
7.2.2. uždavinys. (7.16) išreikškite matematiškai.
7.2.3. uždavinys. Tarkime, kad D yra apskritimo, kurio taškai ( , 0) ir (0, l) ant x ašies, dalis. Gaukite sprendinį iš (7.6) rezultato atėmę (7.10) rezultatą, kai D yra su mažu l. T…aip papt suraskite du/dn ženklą srityje. Patikrinkite, ar visose srityse.SantraukaŠioje dalyje sukaupsime dėmesį į procesą, kurio metu ekerinis atspindys (vaizdas) tampa matomu vaizdu. Apibudinę mechaninį procesą, aptarėme matematinį modelį, kurio pagrindą iliustruoja terminas “užduotis be apribojimų”. Pvz., užduotis, skirta srities, kurioje yra toneris, atradimui. Buvo išaiškinta, kad idealioje situacijoje, kai elektrinis atspindys yra stačiakampio formos, tam tikras matomo vaizdo iškraipymas yra neišvengiamas, pvz., matomas vaizdas negali būti stačiakampio formos. Atspindėjimo principas ir kitos harmoningo funkcionavimo sąlygos yra priemonės, naudojamos rezultatui gauti. Pratimai nagrinėjo kitas “be apribojimo” sąlygas.Literatūra
1. A.Friedman, W.Littman. Industrial mathematics.2. A.Bogdanavičius. Panašumo teorijos ir modeliavimo pagrindai