Aritmetiniai ir loginiai kompiuterių veikimo pagrindai

Aritmetiniai ir loginiai kompiuterių veikimo pagrindai

(Referatas)

Klaipėda

2004

Aritmetiniai kompiuterio veikimo pagrindai

Šiuolaikiniai kompiuteriai turi pakankamai išvystytas komandų sistemas, jungiančias dešimtis ir šimtus mašininių operacijų. Tačiau, bet kokios operacijos vykdymas remiasi paprasčiausių mikrooperacijų, tokių kaip sudėtis ir postūmis, panaudojimu. Tai leidžia turėti vieningą aritmetinį –

loginį įrenginį, skirtą atlikti įvairiausias informacijos apdorojimo operacijas. Dviejų dvejetainių skaičių A ir B sudėties taisyklės parodytos lenteleje;

|Dvejetainių A ir B reikšmės |Sumos Si |Perkėla į kitą|

| |skiltis |skiltį Pi |

| ai |bi |Pi-1 | | |

|0 |0 |0 |0 |0 |

|0 |0 |1 |1 |0 |

|0 |1 |0 |1 |0 |

|0 |1 |1 |0 |1 |

|1 |0 |0 |1 |0 |

|1 |0 |1 |0 |1 |

|1 |1 |0 |0 |1 |

|1 |1 |1 |1 |1 |

Skaičių kodai

Tokias lenteles galima sudaryti ir kitoms aritmetinėms ar loginėms operacijoms. Tačiau būtent sudėties operacija yra visų kitų veiksmų atlikimo pagrindas.

Skaičiaus ženklui rezervuojama viena skiltis. Ženklas „+“ koduojamas nuliu ir ženklas „-“ – vienetu.

Tačiau veiksmai su tokiais tiesioginiais kodais nėra patogūs, nes reikia atskirai vertinti ženklų skilčių reikšmes, nuo kurių priklausytų ir pats operacijos algoritmas (pvz., sudėtis ir

Atimtis

Todėl kompiuteriuose visos operacijos atliekamos su skaičiais, išreikštais mašininiais kodais. Jie leidžia ženklų kodus apdoroti taip pat kaip ir skaičių skiltis ir atimties operaciją pakeisti sudėtimi. Tam naudojami: tiesioginis kodas (tk), atvirkščiasis kodas (ak) ir papildomas kodas (pk).

Loginiai kompiuterio veikimo pagrindai

Loginės schemos

Loginiu reiškiniu galima matenatiškai išreikšti loginius veiksmus. Norint šiuos veiksmus materializuoti reikia tą reiškinį užrašyti loginių schemų ženklais. Loginė schema apibrėžia kokius rezultatus turi pateikti automatas gavęs pradinius duomenis (argumentus). Loginė schema sudaroma iš tarpusavy sujungtų elementų, atliekančių logines operacijas (neigimą, konjunkciją, disjunkciją).

Neigimas (inverteris), konjunkcija (sutapimo elementas), disjunkcija (surinkimo elementas). Pvz.: Balsavimo schema. Tarkime, kad balsuoja „už“ (1) arba „prieš“ (0). Balsuoja trys žmonės – a, b, c. Schema pagal balsavimo duomenis turi pateikti rezultatą: „pasiūlymas priimtas balsų dauguma“ (1) arba „pasiūlymas atmestas“ (0). Rezultatas lygus 1, kai balsuoja bent du iš trijų žmonių.

Pvz.: Reikia sukonstruoti schemą, atliekančią šitokią loginę funkciją: funkcija panaši į disjunkciją, bet jos rezultatas lygus 1 tik tuo atveju, kai bet kurio vieno argumento reikšmė lygi 1.

Tai reikia gauti argumento disjunkciją, o po to, naudojant konjunkciją ir neigimo argumentus, atmesti tą atvejį, kai abu argumentai yra vienetai: paverčiame logine schema, atliekančią veiksmą „a arba b‘, bet ne abu kartu. Pvz.: Dvejetainis sumatorius. Pateikta dvejetainės sudėties lentelė. Kai abu argumentai lygūs vienetui, dvejetainės sumos rezultatui aprašyti nepakanka vieno skaitmens. Tenka panaudoti perkėlimą įaukštesnę skiltį. Taigi sudėčiai aprašyti reikia dviejų loginių reiškinių. Pakeiskime rezultato dvejetainius skaitmenis loginiais kintamaisiais: s – žymėsime sumą, p – perkėlimą.

Procesorius – kompiuterio dalis, atliekanti logines ir aritmetines operacijas. Procesorių sudaro tūkstančiai loginių elementų. Dvejetainės daugybos lentelė sutampa su konjunkcijos lentele. Todėl vienos dvejetainės skilties daugybai realizuoti pakanka vieno sutapimo (konjunkcijos)

elemento. Kitas aritmetines operacijas (atimtį, dalybą) galima pakeisti sudėtimi ir daugyba, o jas galima išreikšti loginemis operacijomis.

Loginėmis operacijomis galima išreikšti visas aritmetines operacijas.

Kompiuteris atlieka veiksmus su skaičiais, turinčiais daug skilčių, todėl jame yra daug schemų, skirtų veiksmams su viena skiltimi.

Logikos dėsniai

Loginius reiškinius, kaip ir aritmetinius, galima pertvarkyti: bendrą dauginamąjį iškelti už skliaustų, sutraukti panašiuosius narius ir t.t.

Pertvarkant gaunami ekvivalentūs loginiai reiškiniai. Teoriškai visi ekvivalentūs reiškiniai lygiaverčiai, o praktiškai patogesni tie, kurie trumpesni, vaizdingesni. Norint iš vieno reiškinio gauti kitą, jam ekvivalentų, reikia žinoti logikos dėsnius:

Distributyvumo dėsnis: (p^q) v (p^r)=p^(q v r) (p v q)^(p v r)=p v (q^r)

Dualumo dėsnis: iš bet kurio logikos dėsnio galima išvesti jam dualų dėsnį, visas operacijas ir visas konstantas pakeitus priešingomis (konjunkciją į disjunkciją ir atvirkščiai, nulį į vienetą, ir atvirkščiai).

Jei reikia, pakeičiamas skliaustų išdėstymas, kad išliktų operacijų atlikimo tvarka.

Demorgano dėsnis: norint patikrinti ar spėjama tapatybė yra dėsnis, reikia sudaryti abiejų tos tapatybės pusių teisingumo lemteles. Jei lentelės sutampa, vadinasi toks dėsnis iš tikrųjų yra.

Kompiuterių veikimą galime nagrinėti techniniu bei programiniu aspektais.

Techninis kompiuterio veikimas remiasi „trimis banginiais“:

– dvejetaine abėcėle;

Logikos algebra

– elektroninemis schemomis.

Kaip jau įsitikinome, visa kompiuteriuose apdorojama informacija išreikšta dviem simboliais – 0 ir 1.

Su dviem priešingybėmis sisiduriama ir logikoje – moksle apie mąstymo dėsnius ir jo formas. Logikos tikslas – nustatyti, ar nagrinėjami samprotavimai, įrodymai, išvados yra teisingi ar klaidingi. Taigi, galima sakyti, kad logika operuoja dviem simboliais: teisingas ir klaidingas.

Elementari samprotavimų dalis, apie kurią galima pasakyti, kad ji yra teisinga arba klaidinga, logikoje vadinama teiginiu. Kiekvienas teiginys turi vieną iš dviejų loginių reikšmių: teisingas arba klaidingas.

Logikos algebra

Logikos abėcėlę, apibūdinančią teiginių teisingumą, sudaro du simboliai (loginės reikšmės). Jie žymimi įvairiai:

|teisingas |klaidingas |

|true |false |

|T |F |

|1 |0 |

Logikos algebra – tai logikos mokslo šaka, nagrinėjanti operacijas su loginemis reikšmėmis bei tų operacijų savybes. Logikos algebra dar vadinama

Būlio algebra. Ją sukūrė anglų mokslininkas Džoržas Būlis (George Boole)

devyniolikto šimtmečio viduryje.

Loginės operacijos

Loginės reikšmės 0 ir 1 yra pastovūs dydžiai arba loginės konstantos. Be šių konstantų dar vartojami loginiai kintamieji dydžiai arba dar trumpiau –

loginiai kintamieji. Juos žymėsime raidėmis, pvz., a, b, x.

Loginiai kintamieji gali įgyti logines reikšmes 0 ir 1. skaičiavimo technikos schemos atlieka veiksmus, atitinkančius logikos algebros operacijas. Vadinasi, logikos algebra natūraliai aprašo skaičiavimo technikos elementų veikimą.

Norint suvokti elementarius veiksmus, kuriuos atlieka kompiuteris, pravartu detaliau susipažinti su logikos algebra. Programuojant taip pat neapsieinama be logikos algebros operacijų.

Logikos algebroje svarbiausios operacijos yra šios:

Loginis neigimas (inversija) – (

Loginė sudėtis (disjunkcija) – (

Loginė sandauga (konjunkcija) – (

Loginė sudėtis

Gyvojoje kalboje teiginiai dažnai jungiami jungtuku “arba”. Pvz.:

Šiandien snigs arba lis. Šis teiginys bus teisingas tada, kai du pagrindiniai teiginiai bus teisingi – šiandien ir lis, ir snigs; arba, kai vienas iš teiginių yra teisingas. O klaidingas bus vienu atveju, jei šiandien nei lis, nei snigs. Taigi, sudėtini teiginį, gautą sujungus du kitus teiginius jungtuku “arba”, laikome teisingu, kai bent vienas arba du jį sudarantys teiginiai yra teisingi. Logikoje teiginių, sujungiamų jungtuku “arba” operacija vadinama disjunkcija (žymima ženklu V).

Disjunkcijos operacijos rezultatą galima pavaizduoti lentele, arba žymėti

“X+Y”. Technikoje, programavime “X or Y” disjunkcija dar vadinama logine sudėtimi ir vietoj “atlikti disjunkcija” sakoma “logiškai sudėti”.

Disjunkcijos lentelė sutampa su skaičių 0 ir 1 aritmetinės sudėties lentele, tačiau aritmetikoje 1+1=2, o logikoje 1v1=1. Gyvojoje kalboje disjunkcija gali būti išreiškiama taip pat kableliu, dalelytėmis „gal…, gal“.

Pvz.: Gal šiandien lis, gal snigs.

Disjunkcijos savybės:

1. Sukeitus vietomis disjunkcijos argumentus rezultatas nesikeičia. Tai komutatyvumo dėsnis: X v Y = Y v X

2. Disjunkcijos operacijos atliekamos bet kuria tvarka. Tai asociatyvumo dėsnis: X v (Y v Z) = (X v Y) v Z

3. Kiekvienas teiginys gali būti arba teisingas, arba klaidingas.

Trečios galimybės nėra. Tai negalimo trečiojo dėsnis: X v X = 1

Disjunkcijos operaciją atliekantis loginis elementas vadinamas surinkimo elementu.

Loginis neigimas

Gyvojoje kalboje yra daug priešingos reikšmės žodžių porų: šviesa –

tamsa, geras – blogas ir t.t. Priešingos reikšmės žodį galima sudaryti prie esamo žodžio pridėjus priešdėlį “ne”. Pvz.: plonas – neplonas = storas, daug – nedaug = mažai. Taigi, žodis “ne” reiškia neigimą. Loginis neigimas reiškiamas taip pat ir žodžiais “nėra”, “netiesa”, “klaidinga”. Logikos algebroje neigimas žymimas brūkšneliu virš teiginio. Neigimas žymimas ir kitaip: X’ technikoje, ^X matematikoje, not X programavime. Neigimo operacija logines reikšmes keičia priešingomis, t.y.:Neigima atliekantis loginis elementas inverteriu. Paneigtą loginę reikšmę arba invertuotą signalą (jau paneigtą) dar kartą paneigus (invertavus), gaunama pradinė (neinvertuota) reikšmė arba pradinis signalas.. dvigubas neigimas –

lygiavertis teigimui. O šis teiginys vadinamas dvigubo neigimo dėsniu (žymimas X = X ir -(-A) = A ).

Loginiai reiškiniai

Loginės operacijos argumentas gali būti ne tik teiginio reikšmė (konstanta, kintamasis), bet ir kitos loginės operacijos rezultatas.

1.Pvz: konjunkcijos neigimas a^b

2.Pvz.: dviejų konjunkcijų a^b ir c^d disjunkcija a^b v c^d

3.Pvz.: dviejų disjunkcijų a v b ir c v d konjunkcija (a v b)^(c v d)

Skliaustai šiame pavyzdy nurodo operacijų atlikimo tvarką. Jei skliaustų nebūtų, reikėtų atlikti ne dviejų, bet trijų narių disjunkciją: a v (b^c) v d. Loginį reiškinį sudaro loginės konstantos (0 ir 1), loginiai kintamieji, loginių operacijų ženklai ir lenktiniai skliaustai.

Remiantis loginėmis operacijomis ir reiškinių sudarymo taisyklėmis, galima simboliškai užrašyti įvairius šnekamojoje ir matematinėje kalboje vartojamus teiginius. Pvz.: Aš turiu pinigų tiek,galiu nusipirkti arba kostiumą, arba batus ir dviratį. Teiginius pažymėkime raidėmis : galiu nusipirkti kostiumą – k, batus – b, dviratį – d. Tai pirkinį atitiks toks reiškinys k^(b v d) v k^(b v d). Pvz.: Pirksiu dviejų arba trijų kambarių butą, bet tik ne pirmame aukšte. Dviejų kambarių butą – a, trijų kambarių butą – b, pirmas aukštas – c. Šią sąlygą atitiks toks reiškinys: (a v b)^c.

Loginis reiškinys gali būti ir loginė konstanta, ir loginis kintamasis.

Tai yra paprasčiausi reiškiniai. Lentelė, kurioje išvardijami visi galimi loginių argumentų reiškmių deriniai ir nurodomos operacijos arba reiškinio reikšmės, vadinama teisingumo lentele.

Pvz.: trijų loginių argumentų konjunkcijos lentelė – iš teisingumo lentelės galima gauti loginį reiškinį kiekvienai teisingumo lentelės eilutei, kurios rezultatas lygus vienetui, rašomas loginis reiškinys – visų kintamųjų konjunkcija.

Tie kintamieji, kurių reikšmės pažymėtos vienetais, reiškiny rašomi be neigimo ženklo, o tie, kurių reikšmės pažymėtos nuliu – su neigimo ženklu, visi gauti reiškiniai (konjunkcijos) sujungiami disjunkcijų ženklais. Pvz.: iš duotos lentelės gauname : a^b^c tai bus : a ^ b v a ^ b v a ^ b. Kartais dviejų loginių reiškinių teisingumo lentelės sutampa. Tokie reiškiniai vadinami ekvivalenčiais. Loginiuose uždaviniuose reiškinį galima pakeisti jam ekvivalenčiu reiškiniu. Teisingumo lentelės vienodos, vadinasi jie ekvivalentūs.

Loginė sandauga

Kelis teiginius galima sujungti į vieną naują teiginį. Gyvoje kalboje tam dažnai panaudojamas jungtukas „ir”. Pvz.: „ryte buvau mokykloje”, „šiandien perskaičiau knygą”. Sujungę į vieną gausime: „ryte buvau mokykloje ir šiandien perskaičiau knygą”. Naujas sudėtinis teiginys bus teisingas tik tada, kai teisingi abu jį sudarantys teiginiai. Visais kitais atvejais jis klaidingas. Logikoje teiginių sujungimo jungtuku „ir” operacija vadinama konjunkcija ir žymima ^. Jei ankstesnius teiginius pažymėsime X ir Y, tai naująjį teiginį užrašysime taip: X^Y. Konjunkcija žymima ir kitaip: X & Y

matematikoje, X Y skaičiavimo technikoje, X and Y programavime.

Konjunkcijos operacijos rezultatą, išvardydami visus galimus argumentus, galime pavaizduoti lentele.Pažvelgę į konjunkcijos apibrėžimo lentelę pamatome, kad ji sutampa su skaičių 0 ir 1 daugybos lentele. Todėl konjunkcija dar vadinama logine daugyba ir vietoj „atlikti konjunkciją” sa-

koma „logiškai sudauginti”.Gyvojoje kalboje loginė daugyba gali būti išreikšta kableliu, žodžiu „kuris” ir t.t. Pvz.: Prie stalo sėdo žmogus, kuris skaitė knygą.

Loginės daugybos savybės :

1. Sukeitus vietomis argumentus, rezultatas nesikeičia. Tai komutatyvumo dėsnis: X^Y=Y^X

2. Konjunkcijos operacijos atliekamos bet kuria tvarka. Tai asociatyvumo dėsnis: X^(Y^Z)=(

3. Tas pats teiginys negali būti ir teisingas, ir klaidingas. Tai prieštaravimo dėsnis: X^X=0 Konjunkciją atliekantis loginis elementas vadinamas sutapimo elementu.

Aritmetika

Sudėtis

Aritmetiniai veiksmai su dvejetainiais skaičiais labai paprasti ir atliekami analogiškai veiksmams su dešimtainiais skaičiais. Kiekvienam aritmetiniam veiksmui sudarysime taisykles ir veiksmų lenteles.

Mokyklos suole išmokome, kad sudedant du skaičius, turinčius po vieną skaičiaus vertę (vieną skaitmenį), gauname kitą skaičių (sumą). Suma gali turėti vieną skaičiaus vertę (vieną skaitmenį) arba dvi skaičiaus vertes (du skaitmenis). Pavyzdžiui, jei sudėsime 5 ir 2, tai gausime 7 (5+2=7). Ši suma, turi vieną skaičiaus vertę. Bet jeigu sudėsime 5 ir 6, tai gausime 11

(5+6=11). Pastaroji suma turi dvi skaičiaus vertes (du skaitmenis).

Kitaip tariant, dviejų dešimtainių skaičių suma bus didesnė už didžiausią jos dėmenį viena pozicija, arba turės tiek pat pozicijų.

Šia savybe pasižymi ir dvejetainiai skaičiai. Būtent ja naudojantis ir sudedami dvejetainiai skaičiai:

|+|0|[pic]A – pirmas dėmuo | |

| |0|[pic]B – antras dėmuo | |

| |0|[pic]S – suma (A+B) | |

| | |(kai pirmas ir antras dėmuo lygūs | |

| | |0, gausime 0) | |

|+|0|[pic]A – pirmas dėmuo | |

| |1|[pic]B – antras dėmuo | |

| |1|[pic]S – suma (A+B) | |

| | |(kai vienas iš dėmenų lygus 1, gausime 1) | |

|+|1|[pic]A – pirmas dėmuo | |

| |0|[pic]B – antras dėmuo | |

| |1|[pic]S – suma (A+B) | |

| | |(kai vienas iš dėmenų lygus 1, | |

| | |gausime 1) | |

|+|1|[pic]A – pirmas| | |

| | |dėmuo | | |

| |1|[pic]B – antras| | |

| | |dėmuo | | |

| |1|[pic]S – suma | | |

| |0|(A+B) | | |

(kai abu dėmenys lygus 1, gausime 102. Vadinasi sudedant dėmenis lygius

1, gausime sumą didesnę viena pozicija)

Vadinasi, sudedant du skaičius, nesvarbu kokioje sistemoje, gauta suma gali būti per vieną poziciją didesnė už dėmenis. Vyriausios skilties dydis priklauso nuo jaunesnių. Štai kaip įtakoja dešimtainių dėmenų jauniausios skiltys, sumos vyriausią skiltį:

|+|1|[pic]A – pirmas| |Sudėdami 16 ir 7, 0-ėje sumos pozicijoje |

| |6|dėmuo | |gauname lyg ir trylika, bet paliekame 3 ir |

| | | | |”laikome 1 mintyje”. 1-oje pozicijoje |

| | | | |gauname 1 ir pridedame dar 1, kuris buvo |

| | | | |mintyje, taip gaudami 1-oje pozicijoje 2. |

| | | | |Tai vadinama pernešimu iš jaunesnės |

| | | | |skilties į vyresnę. Šiuo atveju perteklių |

| | | | |jaunesnėje skiltyje, vienetą, pernešėmė į |

| | | | |vyresnę skiltį, kur gavome du. |

| |7|[pic]B – antras| | |

| | |dėmuo | | |

| |2|[pic]S – suma | | |

| |3|(A+B) | | |

Sudėties išraiškos A+B=S (suma) galimų kombinacijų (būvių) lentelė:

[pic]

Pernešimui (P) atvaizduoti naudojama sekanti lentelė:

[pic]

Šią lentelę jau atvaizdavome įprastinėmis sudėties išraiškomis.

Naudojant sudėties lentelę vienam skaičiui galima sudėti bet kokio ilgio du dvejetainius skaičius. Pavyzdžiui suma S=011000112 + 010111112 gaunama sekančiai:

Lentelė 1 – dviejų dvejetainių skaičių sudėtis (vieno baito).

Lentelė 2 – dviejų dvejetainių skaičių sudėtis.

Atimtis

Atimties operacija skiriasi nuo sudėties tik tiek, kad čia yra pernešimas iš vyresnės skilties į jaunesnę (taip vadinamas pasiskolinimas iš vyresnės skilties). Atimties operacijos A-B=S būvio lentelė sekanti:

|[pic] |

(čia P1 – pernešimas (pasiskolinimas) iš vyresnės skilties į jaunesnią.)

Dvejetainių skaičių atimties operacijos pavyzdys sekantis:

Dvejetainių skaičių dalyba

Dalyba – atvirkščia procedūra daugybai. Čia atėmimo operacija vykdoma tol, kol dalinamasis nepasidarys mažesnis už daliklį. Pavyzdžiui padalinsime

1510 iš 510. Šie skaičiai dvejetainiame pavidale: 1510=11112 ir 510=1012.

Užrašysime dalybos veiksmus įprastoje formoje, papildant dalinamąjį nuliniu baitu dešinėje pusėje (toks papildomas baitas gaunamas dauginant du skaičius). Tada

|[pic] |

Pradžioje dalybos daliklis perstumiamas taip, kad jo pats kairinis vientukas atsidurtų po kairiniu dalinamojo vienetuku. Pati dalybos procedūra yra ciklinė. Perstumtas daliklis atimamas iš dalinamojo. Pagal skirtumo rezultato ženklą:

• – rezultato skiltyje rašome 0, jei skirtumas neigiamas;

• – rezultato skiltyje rašome 1, jei skirtumas teigiamas;

• – daliklis yra pastumiamas dešinėn per vieną skiltį.

Daliklis stumiamas tol, kol daliklio jauniausia skiltis atsiduria jauniausios skilties pozicijoje.

Dvejetainių skaičių požymiai

Atlikus aritmetinę operaciją su dvejetainiais skaičiais, gauname rezultatą, kuris gali būti:

• lygus nuliui;

• teigiamas arba neigiamas;

• neteisingas, nes atsirado pernešimas į ženklo skiltį ir rezultatas netelpa į išskirtą skaičiui skilčių skaičių.

Visi mikroprocesoriai išduoda aritmetinės operacijos rezultato požymius, kurie gali būti naudojami programos valdymui. Šie požymiai turi sutartinius žymėjimus.

|ZERO |skaičius lygus nuliui |

|Z = 0, |jei skaičius nelygus nuliui |

|Z = 1 |jei skaičius lygus nuliui (natūrinis skaičius lygus nuliui, jei |

| |visose skaičiaus skiltyse ir ženklo skiltyje yra 0). |

|NEGATIVE |skaičius neigiamas |

|N = 0, |jei skaičius teigiamas, didesnis arba lygus nuliui |

|N = 1 |jei skaičius neigiamas (natūrinis ar realus skaičius bus |

| |neigiamas, jei jo ženklo skiltyje bus 1). |

|OVERFLOW |aritmetinis perpildymas |

|V = 0, |jei perpildymo nėra |

|V = 1 |jei perpildymas yra (atliekant aritmetinę operaciją atsirado |

| |vienetas ženklo skiltyje ar kairiau ženklo skilties) |

|CARRY |pernešimas |

|C = 0, |jei pernešimo nėra; |

|C = 1 |jei buvo pernešimas (pastūmus skaičiaus skiltis dešinėn, |

| |vyriausioje skiltyje buvęs 1 tapo išstumtas ir jo reikšmė |

| |priskiriama C). |

Daugybos ar dalybos operacijose naudojant skaičiaus skilčių pastūmimą kairėn ar dešinėn, taip pat dirbant su dvigubo ar keturgubo ilgio skaičiais, yra naudojamas dar vienas požymis – pernešimas iš vyriausios skilties

Naudota literatura:

1. Dalė Dzemydienė, Ramutė Naujikienė „Inmformacinės sistemos. Dokumentų struktūros ir valdymas“

2. A. Balčytienė, G. Leonavičius, J.stankevičius, E.Valavičius, A.

Žilinskas „Informatika 1“

3. G. Dzemyda, V. Šaltenis, A. Žilinskas „Informatika 2“