Teorinė mechanika

Teorine mechanika
Mechanika yra mokslas nagrinėjantis kūnu judėjimą ir pusiausvyra. Priklausomai nuo kūno būvio mechanika skirstoma i duju, skysto ir kieto kūno mecanika. Savo ruožto kieto kūno mechanika skirstoma i standaus ir deformuoto. Standus yra kūnas, kuris veikiamas jegu nesideformuoja. Paprasčiausias kūnas yra materialus taškas. Tai toks kūnas kurio matmenų galime nepaisyti, o visos jėgos lyginamos viename taške. T.M. yra mechanikos dalis, formuojanti bendrus mechanikos dėsnius ir jais remiantis nagrinėjami materialiu tašku, ju sistemų, bei standžių kūnu judėjimai ir pusiausvyra. Ji skkirstoma I statika, kinematika ir dinamika.
Statika
Ji nagrinėja jegu ir kūnu pusiausvyra. Pgr. Statikos sąvoka yra jėga. Tai dviejų kūnu tarpusavio sąveikos matas. Ji yra vektorinis dydis, apibudinamas veikimo tašku bei kryptimi. Fegos didumas matuojamas niutonais.
Jėgos veikimo taškas gali būti tiek taškas A tiek B. jos krypti nusako 0);
AT/Aa=PT; dT/T=f*da; lnTl/T2=efd;
Tl=T2*efd
Riedėjimo trintis
Pridėjus nedidele jėga P ratas nepradės riedėte, nes ratas į pavirsiu remiasi ne vienu tašku, o tam tikru plotu, del to normaline reakcija nutolsta nuo centro atstumu 5, vadinamu riedėjimo trintie koeficientu. Deel to G su N sudaro pora, kuri priešinasi rato riedėjimui.Pusiausvyros atveju, kai P pasiekia kritine reikšme. Pkr*r=N*5; Pkr= N*5/r.Trinties jėga Ftr=Nf. Tegul P viršijus kritini trinties jėgos dydi, kaip žinome kūnas slystu, tačiau is paskutiniu 2 lygybių matome, kad 8/r«f ir

r visada ratas pirmiau pradės riedėti nei slysti.
Jėgos projekcijos ašyse
Px=Pcosoc; Py=PcosP; Pz=Pcosy;
P=V(Px2+Py2+pz2);
Jėga P isskaidome I komponentus: Px, Py, Pz.
Px=i*Px; Py=j*Py; Pz=k*Pz;
P= i*Px+j*Py+k*Pz;
Šios lygybes abi puses skaliariskai padaukinkime atitinkamai is asiu ortu.
i*i=l; j*j=l; k*k=l; i*j=0;
P*I=Px; P*j=Py; P*k=Pz;
Gavome, gad jėgos projekcija asije yra lygi jėgos ir ašies orto skaliarinei sandaugai.
Erdvines susikertančiu j egu pusiausvyros sąlygos
Panagrinėkime erdvine susikertančiu j egu sistema: Pl,P2,.Pn.Vektoriskai sdeje visas jėgas, gausime ju atstojamąja:
IP=R. Šios ly gybes abi puses skaliariskai padauginkime atitinkamai is i, j, k. Remdamies (1) lygybe gausime:
Rx= SP; P*I=Px;
Ry= įPy; .(2) P*j=Py; . (1)
Rz= ZPz; P*k=Pz;
Atsyojamosios dydi rasime is lygybes:
R=V(RX2+Ry2+Rz2);
O kripti is:
cosa=Rx/R; cos(3=Ry/R; cosy= Rz/R;
Jei erdvine kūnu sistema pusiausvyra, tada atstojamoji R, o kartu ir jos projekcijos lygios nuliui. Tada is antros lygybes
gausime susikertančiu jegu sistemos pusiausvyros sąlyga:
[ŽPx=0; !Py=0; ĮPz=0;
Jėgos momento vektorius
Jėgos P padėti taško O atžvilgiu nusako padėties vektorius r. Plokštumoje jėga kuna suka apie asi statmena plokštumai.
Erdvėje jėga kuna gali pasukti apie bet kuria asi. Raskime jėgos P momentą apie taska O. (jėga kuna suks apie asi OC )
Mo(P)=P*D.(a); Mo(P)=P*r*simp; OD=r*sincp; P*r*sin(p=(rxP).(b);
Vektorių r ir P vekt. Sandauga ira vektorius, kuris bus nukreiptas asimiOC.Sulyginę (a) ir (b) lygybes gausime, gad
Mo(P)= I rxP |
Todėl si momentą galime pavaizduoti vektoriomi nukreiptu tiese AC.
Taigijegos momentą erdvėje patogu zimeti vektoriumi kuris yra st
tatmenas jėgos ir padėties vektoriaus plokštumai ir
nukreiptas taip. kad žiūrint is jo galo , norint r sutapatinti su P, r reikėtų sukti kampu mazesmiu uz 180 laisniu prieš
laikrodžio rodykles krypti.
Poros momento vektorius
Erdvėje poros momentą patogu zimeti vektoriumi kuris yra statmenas poros plokštumai ir nukreiptas taip, gad žiūrint is jo smaigalio pora suktu prieš laikrodžio rokles krypti. Kadangi poros momentas nukreiptas nuo taško, kuriame jes randasi, ji galima kilnoti. Todėl jis vadinamas laisvuoju vektoriumi.
Erdvines poru sistemos pusiausvyrų sąlygos
Panagrinėkime erdvine poru sistemakuriu momentai Ml, M2.Mn. Juos pavaizduokime vektoriais ir kaip laisvuos
sukeikime I koordinačių pradžia O. Gavome susikertančiu vektorių sistema, kurius atstojamąjį vektriu rasime
projektuodami visus vektorius I x, y, z ašis:
Mx=ZMix; My=ZMiy; Mz=ZMiz;
Atstojamojo vektoriaus diduma rasime is lygybes:
M=V(Mx2+My2+Mz2), o jo krypti:
cosa=Mx/M; cosP=My/M; cosy=Mz/M;
jeigu poru sistema pusiuasvyra tai atstojamosios poros momentas lygus nuliui. Tada is (3) lygybes gausime erdvines
poru sistemos pusiausvyros sąlygas:
ZMx=0; ZMy=0; lMz=0;
Jegu momentai asiu atžvilgiu
Norint rasti jegu momentą iskaidykime i komponentus Px, Py, Pz. Kaip matome is brėžinio Py kūno apie Y asi nesuks, o stums išilgai. Momentus apie Y asi sudarys tik Px ir Pz komponentai. Ieškodami jėgos P momento apie Y asi galimeieskoti momento apie C taska. Taigi raskime jėgos P mamentus apie ašis remdamiesi Varinjono teorema. Jėgoms Px, Py, Pz ir ju at
tstojamajai
Mx(P)=y*Pz-z*Py; My(P)=z*Px-x*Pz; Mz(P)=x*Py-y*Px..(4)
Gavome jėgos P momentu apie visas lygtis.
Išreiškus r ir P projekcijomis gauname:
r=i*x+j*y+k*z; P=i*Px+j*Py+k*Pz;
Irode šiuos reiškinius I momentuo lygtis vietoj i ir P sudaugindami gausime :
Mo(P)=r*P=i*(y*Pz-z*Py)+j(z*Px-x*Pz)+k(x*Py-y*Px);
Šios lygties abi puses sakaliariskai padauginę atitinkamai is asiu ortu :
i*Mo(P)=y*Pz-z*Py; j*Mo(P)=z*Px-x*Pz; k*Mo(P)=x*Py-y*Px.(5)
Erdvines bet kaip išdėstytu jegu sistemų redukcija
Panagrinėkime erdvine bet kaip išdėstyta jegu sistema. Remdamiesi Kulono teorema sukeikime visas jėgas i
redukavimo centrą O, pridedami poras, kuriu momentus pavaizduokime vektoriais ir juos, kaip laisvuosius taip pat
sukeikime i redukavimo centrą. Susikertančiu jegu sistema ekvivalenti atstojamajai, kuria surandame projektuodami
visas jėgas i X,Y,Z ašis.
Rx=zRx; Ry=zRy; Rz=zRz
Atstojamosios diduma randame is lygybes:
R=V(Rx2+Ry2+Rz2) o krypti is lygybes:
coscc=Rx/R; cosp=Ry/R; COSY=RZ/R;
Poru sistema ekvivalenti porai, kurios momentą taip pat randame visus vektorių momentus projektuodami i x.y,z ašis:
Mx=Mxi; My=Myi; Mz=Mzi;
Momentu diduma randame is lygybes:
Mo=V(Mx2+My2+Mz2), o krypti:
cosa=Mx/M; cosP=My/M; cosy=Mz/M;
Tuo būdu bet kaip išdėstyta jegu sistema mes pakeitėme jėga ir momentu O, kurie atitinkamai vadinami, bet kaip
išdėstytos jegu sistemos sumine jėga ir suminiu momentu. Galimi sekantys redkcijos atvejai:
1) R^O Mo=0 – sistema ekvivalenti atstojamajai einančiai per redukavimo centrą.
2) R=0 MOT^O – sistema ekvivalenti porai, kurius momentas Mo.
3) R^O Mo^O -sie vektoriai vienas kitam statmeni, sistema ekvivalenti atstojamajai, perkeltai nuo redukavimo centro atstumu d=Mo/R.
4) R*0 Mo*0 -sie vektoriai vienas kitam nestatmeni. Sistema atstojamosios neturės (tokia sistema vadinama dinaminiu sraigtu)
5) R=0 Mo=0 Sistema pusiausvyra. Ta
ada ir Mo ir R projekcijos yra lygios nuliui. Tokiu būdu gausime bet kaip isdestetos jegu sistemos pusiausvyros sąlygas:
!Px=0; XPy=0; lPz=0; !Rx=0; SRy=0; IR=O;
Svorio centras
Panagrinėkime lygiagrečias jėgas Pl||P2||R pasukus šias jėgas tam tikru kampu apie ju veikimo taškus, tuo pačiu kampu pasisuks ir atstojamuji R . Irodikime,kad ju veikmo taškas C nuo persisukimo kampo nepriklauso. Psinaudokime Varinjono teorema jėgomis PI ir P2 ir ju atstojamajai R momento centru pasirinkdami taska C. Pl*ACsinP-P2*CBsinP=0; P1*AC=P2*CB;
Is siu 2 lygybių galime nustatyti taško C padėti. Kaip matome ji nepriklausys pasisukimo kampo. Sis taškas C vadinamas lygegreciu jegu centru. Raskime sio centro koordinates:
Turime lygiagretes jėgas is kuriu P pavaizduojame is atstojamųjų R. Taško C koordinatėms nustatyti pasinaudosime
Varinjono teorema.
R*Xc=SPx; -R*Yc=-XPy; R*Yc=lPy;
Kad rastumeme C koordinates visas jėgas psukime 90 laipsniu kampu.
R*Zc=z*Pz; Xc=ZPx/R; Yc=ZPy/R; Zc=lPz/R;
Betkuris kūnas sudarytas is detaliu kuriu svoriai nkreipti žemyn
Tada is lygybes galima rasti svorio centro koordinates:
Xc=IGi*X/G; Yc=ZGiy/G; Zc=lGiz/G;
Gi-atskiru detaliu svoris, o G viso kūno svoris
Taško kinematika
Kinematika, tai teorinės mechanikos dalis, nagrinėjanti geometrines kūnų judėjimo savybes, neįvertinant kūnų masės ebi juos veikiančių jėgų. Pačioje pradžioje nagrinėjamas paprasčiausio kūno judėjimas, tai kūno arba taško padėties kitimas, laiko bėgyje. Linija, kurią rėžia judėdamas taškas, vadinama trajektorija. Kinematiškai nagrinėti taško judėjimą reiškia žinoti bet kuriuo laiko momentu kur randasi taškas, t.y. turėti funkcines priklausomybes.
Taško judėjimo dėsnis
Taško judėjimas apibrėžiamas 3 būdais:
a) Natūraliu
b) Koordinatiniu
c) Vektoriniu
a) Tegul taškas C iš taško O juda trajektorija AB. Taško judėjimas apirėžiamas natūraliu būdu, kai žinoma taško trajektorijos lygtis, kuri erdvėje išreiškiama pavidalu: f ( x, y, z) = 0 (1), o plokštumoje y=y(x) (2). Taip pat reikia žinoti taško judėjimo trajektorijoje lygtį, t.y. taško nueitą kelią S=S(t) (3). Lygtys ( 1) ir (3) erdvėje ir (2) ir (3) plokštumoje išreiškia taško judėjimo dėsnį natūraliu būdu.
b) Taškui C judant trajektorija AB keičiasi jo koordinatės x, y, z. Taško padėtis bus apibrėžta koordinatiniu ūdu, jeigu bus žinoma x=x(t), y=y(t), z=z(t) (4). Taigi lygybės (4) ir yra taško judėjimo dėsnis, išreikštas koordinatiniu būdu jam jodant erdvėje. Jei taškas juda plokštumoje, judėjimui apibrėžti užtenka pirmų 2 lygčių. Jei taškas juda tiese, tai ta tiese nukreipus X ašį, judėjimui apibrėžti užteks 1 lygties.
c) Taškui C judant trajektorija AB keičiasi jo padėties vektoriaus r dydis ir kryptis. Taško padėtis bus apibrėžta vektoriniu būdu, jeigu bus žinoma jo pridėties vektorius kaip laiko f-ja:
Taško greitis
Taško greičio skaičiavimas, kai judėjimas išreikštas vektoriniu būdu ( greičio vektorius ).
Per laiko tarpą At taškui iš C į C Į jo padėties vektorius pasikeitė dydžiu Ar.Vvid=Ar/At
Kadangi At teigiamas skaliarinis dydis, tai Vvid ir Ar kryptys sutaps. Taško greitis laiko momentu t yra riba, prie kurios
artėja Vvid, kai At artėja į 0. V=lim Ar/At; V= dr/dt
At—O
Taigi V yra padėties vektoriaus išvestinė. Taškui Cl artėjant prie C riboje styga CC1 sutampa su liestine kreivei taške C. Taigi greičio vektorius nukreiptas liestine.
a)Kai išreikšta natūraliu būdu. Taškui Cl artėjant prie C, styga CC1 skiriasi nuo lanko uCCl ir rioje jos sutampa. Taigi riboje |dr|=ds (6). Tuo būdu pasinaudoję (6) formule ir paėmę greičio modulį galime parašyti: V= ds/dt (7). Taigi greičio didumas lygus kelio išvestinei ir jis nukreiptas liestinės kryptimi.
b)Koordinatiniu būdu. Padėties vektorių r išreikškime per koordinates: r=ix+jy+kz. Pasinaudoję (6) f-le raskime padėties vektoriaus r išvestinę, t.y. greičio vektorių. v=ix’+jy’+kz’. Greičio vektorių išreikškime projekcijomis: v=ivx+jvy+kvz. Sulyginsime paskutiniąsias 2 lygybes ir gausime: v,=x vy=y’, vz=z’ (8). Skaičių didumą rasime iš
lygybės: v = ‘Vvx2+vy2+vz2 , o kryptį cosa=vx/v, cosP=vy/v, cosy=vz/v, kur kampai a, P, y – tarp greičio vektoriaus ir ašių.
Taško pagreitis
a)Pagreičio vektorius ( pagreičio skaičiavimas, kai judėjimas – išreikštas vektoriniu būdu ).
Tegu taškas C juda trajektorija AB. Padėtyje C jo greitis v. Per laiko tarpą At pereis į padėtį C1, jo greitis vi. Perkelkime vi į tašką C1 ir išskaidykime į pradinį greitį v ir greičio prieaugį Av. Vidutinis pagreitis avjd=Av/At, kadangi At – teigiamas skaliarinis dydis, tai avid, kai At artėja į 0. V=lim Av/At a = dv/dt = r” (9)
Pagreičio vektorius yra greičio vektoriaus išvestinė ara padėties vektoriaus antroji išvesitiė.
b) Koordinatinis būdas. Išreikškime greičio vektorių projekcijomis v=ivx+jvy+kvz.. Pasinaudoję (9) f-le raskime
pagreičio vektoriaus išvestinę t.y. pagreitį: a= ivx’+jvy’+kvz Pagreičio vektorių išreikškime projekcijomis:
a=iax+jay+kaz. Sulyginę 2 paskutiniąsias lygybes galime parašyti, kad ax=vx’=x”, ay=vy’=y”, az=vz’=z”. Pagreičio
didumą rasime iš lygybės: a=A/ax2+ay2+az2, o kryptį cosa=ax/a, cosp= ay/a, cosy= az/a, kur kampai a, P, y – tarp
pagreičio vektoriaus ir ašių.
c)Normalinis ir tangentinis pagreičiai(naturalus būdas).
Pagreitį galima skaidyti ne tik į dekardo koordinačių ašis x, y, z, bet ir į natūralias ašis: tangentinę, normalią ir binormalią. Tangentinė – sutampa su liestine kreivei duotajam taškui. Normalė eina link kreivės kreivumo centro. Binormalė – joms abiems statmena. Natūralios ašys – statmenos viena kitai, todėl jų ašių ortus jungia lygybė f=t x n. Taško judėjimo kreivės kreivumo spindulys lygus 8, jo kreivumo centras O yra normalėje. Natūralios ašys juda kartu su tašku ir kiekvienai padėčiai braižomos iš naujo. Kreivumo spindulys visą laiką kinta taškui judant, bet kreivumo centras išlieka normalėje. Išskaidykime pagreitį į natūralines ašis: a=ta,+nan+fnf. Taškui judant pagreitis visą laiką išlieka tangentės ir normalės plokštumoje. Todėl jo projekcija įbinormalę visada lygi 0. Tuo būdu: a=ta,+nan. at -tangentinis pagreitis: at=dv/dt (11).
Tangentinis pagreitis charakterizuoja greičio didumo kitimą ir nukreiptas liestine kaip ir greitis, o jei judesys letejantis – priešingai.
a„=v7p. Jis charakterizuoja greičio vektoriaus kitimą. Visada teigiamas ir nukreiptas į kreivumo centrą. Pagretis skaičiuojamas: :
Atskiri taško judėjimo atvejai:
1. Taškas juda tiese pastoviu greičiu: a=at=an=0.
2. Taškas juda tiese kintamu greičiu: a=at ^=0.
3. Taškas juda kreive pastoviu greičiu: a =a„ at=0.
4. Taškas juda kreive kintamu greičiu: a=Vat2+a„2.
Tolygus ir tolygiai kintamas taško judėjimas
tolygus judėjimas, kai taško greitis yra pastovus. Jeigu pastovi ir greičio kryptis-judėjimas tolygus tieseeigis. Tolygaus judėjimo lygtis: S = So+ Vt; V=const. Jeigu pastovus tangentinis pagreitis-judėjimas tolygiai kintamas: S = So + Vt + (at2) / 2; a, = const.
Kūno slinkimas
Kūnui sukant visi jo taškai turi vienodus greičius ir pagreičius ir brezia vienodas trajektorijas. Todėl sukančio kūno uždaviniu sprendimas suvedamas i vienojo taško judėjimo nagrinėjimą. T.y. taikomos taško judėjimo formulas.
Kūno sukimasis
Kūno sukimasis, tai toks judėjimas, kai per kuna išvestos tam tikros tieses tašku greičiai lygus nuliui. Ji vadinama sukimosi asimi. Kiti taškai brezia apskrytimus, kuriu plokštumos statmenos šiai ašiai. Besisukančio kūno padėtis bus apibrėžta, jei bus žinomas kampas kaip laiko funkcija. Kūno sukimosi dėsnis: (p = (p (t)
Kampinis greitis ir pagreitis t
Tai pagrindines besisukančio kūno charakteristikos. Kampinis greitis charakterizuoja kampo kitimą laike: wvjd = Acp
/At (rad/s). Kampinis greitis laiko momentu t yra riba, prie kurios artėja wvilj, kai At—»0
wvuj = lim^t^o A(p / At. Kampinis pagreitis charakterizuoja kampinio greičio kitimą laike:
Evld = Aw / At (rad/s2). Kampinis pagreitis laiko momentu t yra riba prie kurios artėja Evjd, kai At-H): E = limA,_>0
Brėžinyje per kuna isveskime 3-ia plokstoma Z a nutolusia nuo 2-os plokštumos. P = cp + a paieškokime šios lygybes
nariu 1-os ir 2-os išvestiniu. P’= cp’, nes a’= O , kadangi Za = const. P”= (p”.
Kampu I-a ir 2-a išvestines reiškia atitinkamai kampini pagreiti ir kampini pagreiti, kuriais sukasi 2-oje ir 3-oje
plokštumoje esantys taškai. Kadangi lygybes yra vienodos, galime sakyti, kad visi kūno taškai sukasi tais pačiais
kampiniais greičiais ir pagreičiais. Juos galime pavaizduoti vektoriais, kurie bus nukreipti asimi, kuria kūnas sukasi. Ju
kryptys sutaps jei sukimasis greitėjantis ir bus priešingi jei sukimasis letejantis.
Tolygus ir tolygiai kintamas sukimasis
Tolygiu vadinamas sukimasis, kai w = const. Tolygaus sukimosi lygtis: cp = epo + wt. kūnui sukantis tolygiai dažnai technikoje kampinis greitis išreiškiamas ne (rad/s), o apsisukimais per minute (n). w = (27rn) / 60 = (7in) / 30 w (rad/s) , n (aps / min). Tolygiai kintamo sukimosi atveju E = const. cp = (p0 + wot + (Et2) / 2 (tolygiai kintamo sukimosi lygtis)
Besisukančio kūno taškai ir pagreičiai
Tegu kūnui pasisukus kampu dcp taškas Ai nueina kelia dS = uA|A2. Taško A greitis: V = dS /dt, žinome kad dS =
Rdcp , tada gauname V = d (Rdcp) / dt = Rdcp / dt = Rw
a, = dV / dt = d (Rw) / dt = Rdw / dt = RE
an = V2 / R = RV / R = RW2
Gavome, kad tašku greičiai ir pagreičiai yra tiesiog proporcingi atstumui iki tieses. Is brėžinio matome, kad R = r sinP
. įsistatė R į greičio ir tangentinio pagreičio formule gauname: V = r sinP w ; a, = r sinP E. Dešiniosios lygybių puses
atitinkamai reiškia r ir w bei r ir E vektorių sandaugų modulius. Taigi V ir a, vektoriai bus lygus: V = rXw ; a, = rXw ;
w=cp’ ;E = w’;V = Rw ; a„ = Rw2 ; a, = RE
A„ = w Rw = wV = w sin 90° V ; dešinioji puse reiškia vektorių w ir V vektorines sandaugos moduli.
Sudėtinis taško judėjimas.
Tai toks judėjimas, kai taškas judėdamas judamos sistemos atžvilgiu, kartu su ja juda nejudamos sistemos atžvilgiu.
Taško judėjimas judamos sistemos atžvilgiu vadinamas reliatyviu, o nejudamos sistemos atžvilgiu, jam nejudant
judamos sistemos atžvilgiu, vadinamas keliamuoju. Taško judėjimas nejudamos sistemos atžvilgiu vadinamas
absoliučiu.
Taško, judančio judamos sistemos atžvilgiu greitis vadinamas reliatyviu. Taško judėjimo kartu sujudama sistema
greitis nejudamos sistemos atžvilgiu jam nejudant judamos sistemos atžvilgiu vadinamas keliamuoju. Absoliutus taško
greitis sudėtiniame j udėj ime yra lygus reliatyvaus ir keliamo greičio vektorinei sumai: Va = Vr + Vk; aa = ar + ak + a^
(koriolio)
aa = a/1 + ar’ + akn + ak’ + a.
Visus greičius ir pagreičius randame naudodami taško judėjimo bei kūno slinkimo formules: eų = 2wkx Vr; ac = 2wkVr
sinoc.
8c- O , kai 1) wk = O ; 2) Vr= O ; 3) wk || Vr.
ac krypti nustatome Vr projektuodami i plokštuma, statmena w ir sia projekcija sukame 90 kampu w sukimosi kryptimi.
Kūno plokščiai lygiagretus (plokščias judėjimas)
Tai toks judėjimas kai visi kūno taškai juda lygiagrečiai tam tikrai nejudamai plokštumai. Todėl kūno plokščiam judėjimui apibrėžti pakanka apibrėžti vienojo pjūvio lygiagretaus duotai plokštumai judėjimą.
Pjūvio judėjimas bus apibrėžtas jei jeigu bus apibrėžta pjūvio atkarpos padėtis kuri išreiškiama vieno atkarpos taško vadinamo poliumi kordinatemis xa ir ya ir kampas cp . xa = x (t); ya = y (t); cp =cp (t); (1). Pirma lygybe išreiškia kūno plokščio judėjimo dėsni. Kūno plokščia judėjimą galime išskaidyti i jo slinkimą kartu su laisvai pasirinktu tašku poliumi ir sukimąsi apie poliu.

Tegu kūnas plokščiai judėdamas pereina is 2-os i 3-ia padėti. Isskaidykime si judėjimą i slinkimą kartu poliumi A pereinant is 1-os i 2-a padėti ir pasisukimą apie poliu pereinant is 1 i 3 padėti. Kūno (poliaus) slinkimą apibrėš 1-os lygybes pirmos dvi lygtys, o jo sukimąsi pirmos lygybes trečia lygtis. Pagrindines plokščio judėjimo charakteristikos yra poliaus greitis ir pagreitis, kurie apskaičiuojami is 1-os lygybes 1-os ir 2-os lygciu ir kūno kampinis greitis ir pagreitis apskaičiuojami is pirmos lygybes 3-ios lygties.
Kūno plokščioj o judėjimo tašku greičiai ir pagreičiai
a)tasku greičiu ir pagreičiu skaičiavimas poliaus metodu. Kadangi plokščia judėjimą galima išskaidyti i slinkimą ir sukimąsi, tai i ji galime ziureti kaip i atskira sudėtinio judėjimo atveji. Kūno tašku slinkimą kartu su poliumi galima laikyti keliamuoju judėjimu. Kūno tašku sukimąsi apie poliu reliatyviu.
Raskime plokščiai judančio grandies AB taško B greiti. Poliumi pasirenkame taska A , kurio greiti Va žinome. Taigi taško greitis bus vektorine suma keliamojo greičio t.y. poliaus greičio ir taško b greičio atžvilgiu poliaus VBA (reliatyvus). VB = VA + VBA (2). Analogiškai taško B pagreitis aB = aA + aBA = aAn + aAT + aBAn + aBAT ; a^ = O
b) Tašku greičiu skaičiavimas greičiu projekcijų teoremos metodu, (tas pats brėžinys) Pasinaudodami 2 lygybe projektuojame VA ir VB i tiese AB. Gavome, kad VA ir VB projekcijos lygios: VA cosa = VB sinP .
c) Tašku greičiu skaičiavimas momentinio greičiu centro metodu. Kūno plokščia judėjimą t.y. jo slinkimą ir sukimąsi mes galime pakeisti grynu sukimusi apie tam tikra taska, vadinama momentiniu greičiu centru P. Sio taško greitis VP = O, o kiti taškai bres apskrytimus apie si taska.
Momentinis greičiu centras randamas vedant statmenis dviems greičiams. Ju susikirtimo taškas ir yra momentinis greičiu centras P. Kad rasti bet kurio taško greiti reikia žinoti kūno AB kampini greiti w, kuriuo visi sio kūno taškai suksis apie taska P. Tam reikia turėti vieno kurio nors kūno taško greiti. Momentinis greičiu centras kiekvienam kūnui ieškomas atskirai ir randamas tik tai kūno padėčiai kuri duota. Kūnui pasisukus i kita padėti momentinis greičiu centras ieškomas is naujo. Uždaviniu sprendimas
1) Surandamas momentinis greičiu centras
2) Randamas kūno kampinis greitis w. Žinoma taško greiti daliname is jo atstumo iki momentinio greičiu centro.
3) Bet kurio taško greitis randamas kampini greiti w dauginant is atstumu nuo ieškomu tašku iki momentinio greičiu centro. v=Rw
Atskiri momentinio sreicio ir centro radimo atvejai
1) Jeigu du greičiai lygiagretus ir statmeni jai jungiančiai tiesei, tai momentinis greičiu centras yra taska, kuriame
kertasi grandies AB linija ir tiese išvesta per greičiu viršūnes.
2) Jeigu du greičiai yra lygiagretus ir nestatmeni jai jungiančiai tiesei, tai momentinio greičiu centro nebus wAB = O, gaunamas momentinis slinkimas ir VA = VB .
Taško dinamika, aksiomos:
1.(Inercijos dėsnis)Jeigu materialaus taško neveikia jokia jėga, jis yra rimtyje arba juda tiesiaeigiai tolygiai. Kūno savybė išlaikyti esamą būvį, vadinama inertiškumu. Kūno taško judėjimas, kai jo neveikia jokia jėga, vadinamas inerciniu judėjimu. 2.(11 Niutono dėsnis) pagreitis, kuriuo juda kūnas yra tiesiog proporcingas jėgai ir nukreiptas jos kryptimi. 3.(Lygegretainio taisyklė) dviejų taškų veikiančių jėgų poveikį galime pakeisti poveikiu vienos jėgos nukreiptos iš tų dviejų jėgų sudaryto lygiagretainio įstrižainė. 4.(Akcios reakcijos dėsnis) du kūnai veikia vienas kitą lygaus dydžio, bet priešingų krypčių jėgomis.
Taško judėjimo diferencialinės lygtys
(l)lygybę (II N.D.) išreikštine diferencialine formule mr”=P(2), a=r”. (2) lygybė ir yra taško padidėjimo diferencialinė lygtis. Šią vektorinę lygybę atitinka 3 skaliarinės lygybės: projektuojant (2) lygybę į dekajto koordinačių ašis gauname mx”=Px(3)my”=Py(3)mz”=Pz<3), kur x”=ax, y”=ay, z’^a^ (3) lygybė išreiškia taško judėjimo diferencialines lygtis dekarto koordinačių ašyse. (2) lygybę projaktuojant į natūralias ašis gauname: ms”=P,J, mv2/p=Pn; 0=Pb (4) kur s”=at; v2/p=an; 0=Pt. (4) lygybė išreiškia taško judėjimo diferencialines lygtis natūraliose ašyse. 7
Pirmas ir antras dinamikos uždaviniai:
I Dinamikos uždavinys sprendžiamas, kai žinomas taško judėjimo dėsnis, o ieškoma taškų veikianti jėga. Pvz: žinant taško masę bei jo judėjimo dėsnį koordinačių ašyse t.y. x=x(t); y=y(t); z=z(t) paieškome x, y, z antrų išvestinių masę, bei šias išvestines įsistačius į (3) lygybę gauname Px; Py; Pz; P=W(Px2+Py2+Pz2).
II Dinamikos uždavinys spendžiamas, kai žinoma tašką veikianti jėga, o ieškomas taško judėjimo dėsnis. T.y pagrindinis dinamikos uždavinys. Sprendžiant II uždavinį žinoma kūnmasė,,bei jį veikiančios jėgos. Suprojektavus šias jėgas pvz į dekarto koordinačių ašis ir šias projekcijas bei masę įsistačius į (3) lygybę, suintegravus gautas lygybes (2 kartus) gautume taško judėjimo dėsnį, prieš tai iš pradinių sąlygų apskaičiavus konstantas. Pradinės sąlygos t.y.xO, yO, zO; bei pradinis greitis (xo’,yo’,zo’).
D’Alambero principas Jis įrodomas pasinaudojant 2 aksioma. ma=P, P(-ma)=0, O=-ma, (^-inercijos jėga. Inercijos jėga lygi masės ir pagreičio sandaugai, ir nukreipta priešingai pagreičiui. P+t2+n2), 0>,=matg, n=ma„.
Taško judėjimo kiekio teorema
Taško judėjimo kiekio pokytis per tam tikrą laikotarpį yra lygus tašką veikiančios jėgos impului per tą patį laikotarpį.
Ši teorema įrodoma pasirement diferiancialine lygtimi (II N.D.) užrašant jį pavidalu mdv/dt=, suintegravus abi puses
gauname
mv-tnvo= (nuo 0 iki t)Pdt – taško judėjimo dėsnis, mv- judėjimo kiekis, o S= (O-t)Pdt yra jėgos impulses. (1)
vektorių lygybę atitinka 3 skalerinės lygybės: l)mvx-mvOx=int(O-t)Pxdt,’
2) mvy-mv0y=int(o-t)Pydt,
3)mvz-mvoz=in(0-t)Pzdt. Šią teoremą patogu naudoti sprendžiant uždavinius, kai nagrinėjamas ryšys tarp greičio, jėgos ir laiko. Jeigu jėgos didumas ir kryptis pastovus tai A= Pcoscps. Jeigu išreikšim projekcijom, o taško padėtį koordinatėm, tai A=(integralas)Pxdx+Pydy+Pzdz. Trinties jėgos darbas A=-Ftrs, svorio jėgos darbas A=±hG h-aukštis, tamprumo jėgos darbas A=hJ2(xl2-x22), k-standumo koef. xlir x2- pradinė ir galinė deformacijos. Iš to matome, kad darbą atlieka ne visa jėga, o jos komponentas į liestinę. Darbas yra teigiamas, jei kampas tarp jėgos ir liestinės smailus ir neigiamas, jei bukas. Pajėgumas per tam tikrą laiką atlikti darbą vadinamas galingumu N=dA/dt. Jei vietoj dA įsistatysim A=(integr)Pdt, tai gausim N=Pdr/dt, W=Pcoscpv, kaip žinom v=Rco, taigi N=Pcos(pRco, N=Mco.

Leave a Comment