Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai

7. Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai
Kvantinės statistikos samprata. Pagal klasikinę statistinę fiziką, bet
kokią materialiąją dalelę, pavyzdžiui elektroną, galima atskirti (
atpažinti ) nuo visų kitų tokių pačių dalelių. Kvantinė statistika
remiasi tapačių dalelių neatskiriamumo principu. Jį reikėtų suprasti
taip: jeigu kvantinė sistema, pavyzdžiui, sudaryta iš daugybės elektronų,
kurių masės, krūviai, sukiniai, kvantiniai skaičiai vienodi, jokiais
eksperimentais jų negalima atskirti vieno nuo kito. Klasikinė statistinė
fizika teigia, kad juos galima atskirti pagal jų padėtį erdvėje ir
impulsus. Ši statistika, dar vadinama Maksvelio ir Bolcmano statistika,
taikoma vadinamosioms neišsigimusioms dujoms. Kvantinėje mechanikoje
mikrodalelės trajektorija iš viso neturi prasmės ( tai išplaukia iš
Heizenbergo nelygybės ), jos būsena aprašoma bangine funkcija, iš kurios
galima apskaičiuoti tik tikimybę dalelę surasti vieno ar kito erdvės
taško aplinkoje. Kvantinė statistika taikoma išsigimusioms
kvantmechaninių dalelių dujoms. Dėl tokių dalelių prigimties skirtingumo
taikomos dvi kvantinės statistikos: fermionams – Fermio ir Dirako,
bozonams – Bozės ir Einšteino.

7.1. Neišsigimusios ir išsigimusios dujos

Kai nagrinėjama vienarūšių ( tapatingųjų ) mikrodalelių, kurių skaičius N
>> 1, sistema, tokia sistema dažnai vadinama dujomis ( elektroninėmis,
neutroninėmis ir pan. ). Pagal savo elgseną “kolektyve” visos
mikrodalelės skirstomos į dvi grupes. Dalelėms, kurių sukinio kvantinis
skaičius s yra pusinis, ( s =1/2; 3/2…), galioja Paulio draudimo
principas – vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ir daugiau
dalelių, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi, šios
dalelės – elektronai, protonai, neutronai ir kt. – yra “individualistės”.
Joms galioja kvantinė Fermio ir Dirako statistika, todėl jos dar
vadinamos fermionais.
Dalelės, kurių sukinio kvantinis skaičius s =0;1;2…), elgiasi kitaip
nei fermionai: kiekvienoje kvantinėje būsenoje šių dalelių gali būti bet
kiek. Taigi, jos yra “kolektyviškos”,joms galioja Bozės ir Einšteino
statistika, o pačios vadinamos bozonais. Tai fotonai, fononai, mezonai ir
kt.
Mikrodalelių fermioniškumas ar bozoniškumas išryškėja tada, kai dalelės
pretenduoja į tą pačią būseną. Sakykime, tapatingųjų dalelių skaičius N,
o joms skirta G skirtingų būsenų. Dalelių susitikimo vienoje būsenoje
tikimybę apibūdina santykis N/G. Jei G>>N, tuomet N/G<<1 ( * ), ir
susitikimo vienoje būsenoje tikimybė nykstamai maža. Tokios dujos,
kurioms galioja minėta nelygybė, vadinamos neišsigimusiomis, o pati
nelygybė – neišsigimimo sąlyga. Klasikinių dalelių energijos yra
nekvantuotos, todėl jų galimų būsenų G( ( . Tokių dalelių dujoms visada
tenkinama minėtoji nelygybė, jos visada neišsigimusios.
Mikrodalelių parametrai gali kisti diskretiškai, todėl jų būsenų
skaičius gali būti baigtinis, o santykis N/G ( 1. Tokiu atveju
tapatingųjų dalelių susitikimo vienoje būsenoje tikimybė didelė, tokios
dalelių sistemos vadinamos išsigimusiomis.

7.2. Pasiskirstymo funkcija

Pasiskirstymo funkcija išreiškia dalelių pasiskirstymą pagal būsenas,
pavyzdžiui, energijas W. Pasiskirstymo funkcija f(W) parodo vidutinį
dalelių skaičių būsenoje W. Fermionams ji dar parodo būsenos užpildymo
tikimybę ir tenkina nelygybę 0( f(W) (1. Pavyzdžiui, f(W) =1/2 reiškia ,
kad pusę laiko ši būsena yra užimta fermiono, o kitą pusę – ne. Labai
mažame energijų intervale W – W+dW galimų būsenų skaičius dG(W)(dW. Įrašę
nuo W priklausantį proporcingumo koeficientą g(W), gauname:
[pic],arba [pic].
Dydį g(W) vadiname būsenų tankiu. Jis lygus būsenų skaičiui,
tenkančiam vienetiniam energijų intervalui. Sistemos dalelių skaičius dN,
turintis energijas intervale W –W+dW,apskaičiuojamas taip:
[pic]
Dydis dN dar vadinamas pilnąja statistinio pasiskirstymo funkcija. Taigi,
norint rasti dN, būtina žinoti būsenų tankį ir pasiskirstymo funkciją.
7.3. Fazinė erdvė
Fizikinių objektų visuma vadinama fizikine makroskopine sistema.
Sakysime, ją sudaro N dalelių. Sistemos būsenai aprašyti mikroskopiniais
parametrais reikės 6 N kintamųjų, kadangi kiekvienos dalelės būsena
nusakoma trimis erdvinėmis koordinatėmis x, y, z ir trimis judesio kiekio
projekcijomis px, py, pz. Visų dalelių koordinatės ir judesio kiekiai
sudarys 6 N-matę fazinę erdvę. Šios erdvės koordinačių ašių skaičius būtų
lygus 6 N. Kiekvienos dalelės mikrobūseną atitiks taškas x, y, z, px, py,
pz – fazinis taškas. Taigi, N nesąveikaujančių tapatingųjų dalelių būsena
nusakoma N fazinių taškų rinkiniu. Padalinkime fazinę erdvę į mažus 6N-
mačius elementus, kurių kiekvieno tūris [pic]
[pic], ( a )
čia[pic] – realios erdvės tūrio elementas, [pic] – impulsų erdvės
elementas. Klasikinės dalelės erdvinės koordinatės ir impulso projekcijos
gali kisti tolydžiai, t. y. tūris [pic] gali būti nykstamai mažas.
Laisvųjų dalelių ( jų neveikia jėgų laukas, todėl jų potencinė energija
lygi nuliui ) būsenai aprašyti patogu ir pakanka naudotis trimate impulsų
erdve
[pic] ( b )
čia V – dalelių sistemos tūris.
Kvantinės dalelės pasižymi banginėmis savybėmis. Kadangi joms taikomas
neapibrėžtumo principas, jų fazinė erdvė į tūrio elementus dalijama kiek
kitaip. Kvantinės dalelės būsenos x, y, z, px, py, pz negalima atskirti
nuo būsenos x+dx, +dy, z+dz, px+dpx, py+dpy, pz+dpz, jeigu sandauga [pic]
mažesnė už h3 ( h – Planko konstanta ). Ši sandauga yra fazinės erdvės
tūrio elementas. Taigi, fazinės erdvės elementarusis tūris
[pic] [pic] (c )
aprašo vieną kvantinės dalelės būseną ir jis vadinamas fazinės erdvės
elementariuoju narveliu. Laisvųjų bei klasikinių mikrodalelių [pic],
todėl jų impulsų erdvės elementarusis narvelis
[pic] ( d ).

Būsenų tankis. Apskaičiuokime energijų W – W+dW intervalo
laisvosios mikrodalelės kvantinių būsenų skaičių. Dalelės energiją ir
impulsą sieja lygybė
[pic], todėl [pic] ( 1 )
Remdamiesi ( 1 ), impulsų erdvėje brėžiame spindulių p ir p+dp
koncentrinius sferinius paviršius. Jų ribojamo sferinio sluoksnio tūris
[pic], ( 2 )
Šiame tūryje telpančių skirtingų kvantinių būsenų ( elementariųjų narvelių
)skaičius
[pic], ( 3 )
Kvantinės dalelės būsenų tankis, atsižvelgus į tai, kad [pic]
[pic] ( 4 )
Iš ( 1 ) ir ( 4 ) galimą būsenų skaičių išreiškiame energija
[pic] , ( 5 )
o būsenų tankį
[pic] ( 6 )
Reikia įsidėmėti, kad elektronų būsenų tankis yra dvigubai didesnis, nes
kiekvienas elementarusis narvelis atitinka dvi elektrono būsenas,
besiskiriančias erdvine sukinio orientacija
[pic] ( 7 ).
Idealiųjų dujų neišsigimimo kriterijus. ( 5 ) suintegravę rėžiuose nuo 0
iki W, gautume būsenų skaičių šiame intervale
[pic] ( 8 )
Idealiųjų dujų molekulės energija [pic], todėl [pic][pic]. Šią išraišką
įrašę į (*), gauname tokią neišsigimimo sąlygos išraišką
[pic]
[pic] ( 9 )
Pavyzdžiui azoto dujos normaliomis sąlygomis yra neišsigimę ( kairioji
nelygybės pusė joms ≈ 10-6 ). Vadinasi, joms gerai turi tikti Maksvelio ir
Bolcmano statistika. Apskaičiavę kairiąją nelygybės pusę elektroninėms
dujoms metale, pamatytume, kad jos neišsigimę bus tik tada, kai temperatūra
viršys 105 K. Taigi, visais realiais metalo egzistavimo atvejais
elektroninės dujos yra išsigimę, ir joms reikia taikyti Fermio ir Dirako
statistiką.
Iš tos pačios nelygybės seka, kad neišsigimusią būseną galima pasiekti
keliant dujų temperatūrą T ir mažinant jų koncentraciją [pic]. Silpnai
legiruotuose puslaidininkiuose laisvųjų elektronų koncentracija paprastai
neviršija 1022 m-3, todėl netgi kambario temperatūroje tokie
puslaidininkiai nėra išsigimę ir jų laisviesiems elektronams galima taikyti
klasikinę Maksvelio ir Bolcmano statistiką.

7.4. Bozės ir Einšteino bei Fermio ir Dirako skirstiniai
Vienu iš pagrindinių kvantinės statistikos, kaip, beje, ir klasikinės
statistikos objektų yra idealiosios dujos. Taip yra todėl, kad daugeliu
atvejų realią dalelių sistemą galima nagrinėti kaip idealiąsias dujas.
Kvantinė mechanika visas mikrodaleles skirsto į dvi grupes: 1)
bozonus, t.y. daleles, aprašomas simetrinėmis banginėmis funkcijomis; 2)
fermionus, t.y. daleles, aprašomas antisimetrinėmis banginėmis
funkcijomis. Fermionams galioja Paulio draudimo principas: viename
fazinės erdvės elemente negali būti daugiau kaip vienas fermionas. Bozonų
gali būti daug.
Idealiosios dujos iš bozonų – Bozė – dujos – aprašomos Bozės ir
Einšteino skirstiniu. Bozonų pasiskirstymas pagal energijas išplaukia iš
vadinamojo didžiojo kanoninio Gibso pasiskirstymo teigiant, kad tapačių
bozonų skaičius nagrinėjamoje kvantinėje būsenoje gali būti bet koks:
[pic] ( 10 )

Ši formulė vadinama Bozės ir Einšteino skirstiniu. Ji nusako vidutinį
bozonų skaičių i – tojoje būsenoje, kurios energija Wi, k – Bolcmano
konstanta, T – termodinaminė temperatūra, ( – cheminis potencialas.
Pastarasis proporcingas sistemos vidinės energijos pokyčiui į sistemą
papildomai įvedus vieną dalelę.
Idealiosios dujos iš fermionų – fermidujos – aprašomos Fermio ir
Dirako skirstiniu:

[pic]. ( 11 )
Jeigu [pic]((1, tiek Bozės ir Einšteino, tiek Fermio ir Dirako
skirstiniai pavirsta klasikiniu Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu
[pic], kur [pic].
Taigi, kai temperatūra aukšta, abiejų tipų “kvantinės” dujos panašios
į klasikines dujas.

7.5.Elektroninės dujos. Fermio energija ir lygmuo
Laidumo arba laisvieji elektronai kristale ar plazmoje vadinami
elektroninėmis dujomis. Elektronų pasiskirstymui galioja Paulio
principas: vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ar daugiau
elektronų, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi pagal
kvantinę teoriją netgi absoliutinio nulio temperatūroje negali būti
užpildytas vien tik žemiausias energijos lygmuo. Paulio principas verčia
elektronus “energijos laiptais” kopti aukštyn.
Kadangi pagal kvantinę mechaniką elektroninės dujos yra fermionai( jų
sukinio kvantinis skaičius s = 1/2 ), jų pasiskirstymas pagal energijas
nusakomas Fermio ir Dirako skirstiniu. Jeigu elektroninių dujų cheminį
potencialą pažymėsime (0, vidutinį elektronų skaičių energijų intervale
nuo W iki W+dW išreikšime taip:
[pic]
Iš ( 11 ) lygybės seka, kad kai elektroninių dujų temperatūra lygi 0K,
skirstinys fF(W)= 1, jeigu W < (0, ir fF(W) = 0, jeigu W > (0. Šios
funkcijos grafikas pateiktas 1 pav. Matome, kad kai energija lygi
cheminiam potencialui, skirstinys tampa lygiu nuliui. Tai reiškia, kad 0K
temperatūroje visi energetiniai lygmenys iki lygmens, kurio energija lygi
cheminiam potencialui, imtinai yra užpildyti elektronais. Visi aukštesnių
energijų lygmenys yra laisvi. Taigi, cheminis potencialas (0 ir yra ta
didžiausia energija, kurią gali turėti elektronas 0K temperatūroje. Ši
didžiausia galima energija vadinama Fermio energija (WF = (0). Tai
įvertinę, Fermio ir Dirako skirstinį užrašome taip:
[pic]
Aukščiausias energijos lygmuo, kurį užima elektronai 0K temperatūroje,
vadinamas Fermio lygmeniu. Šis lygmuo bus tuo aukštesnis, kuo didesnis
bus elektroninių dujų tankis. Taigi, elektrono išlaisvinimo iš metalo
darbą reikia atskaitinėti ne nuo potencialo duobės dugno, kaip tai daro
klasikinė teorija, o nuo Fermio lygmens.
Pagal klasikinę teoriją 0K temperatūroje laisvojo elektrono vidutinė
energija turėtų būti lygi nuliui ( [pic] ). Kvantinėje mechanikoje taip
nėra. Vadinasi, žemose temperatūrose elektroninėms dujoms klasikinė
fizika netinka. Dėl to tokios dujos vadinamos išsigimusiomis.. Ribą, virš
kurios kvantiniai efektai nustoja vyrauti, išreiškia išsigimimo
temperatūra T0. Ji surandama iš lygybės [pic]. Elektronams metale T0 (
104K. Tai reiškia, kad elektroninės dujos kietuosiuose metaluose išsigimę
visada.
Aukštesnėse už 0K temperatūrose elektronai gali įgyti ir didesnes už
Fermio lygmenį energijos vertes ( 2 pav.), kadangi jie turi ir šiluminės
energijos, todėl tam tikros dalies elektronų suminė energija viršija
Fermio lygmenį.Apskaičiavę gautume, kad jei elektronų energija lygi
Fermio lygmeniui ( W=WF ), fF(W) = 1/2. Taigi, bendriausiu atveju Fermio
energija apibrėžiama taip: tai energija lygmens, kurio užpildymo tikimybė
lygi 1/2.

7.6. Fononai. Metalų šiluminė talpa ( 20-tas klausimas )
Kietuosiuose kūnuose šiluminiame judėjime dalyvauja kristalą
sudarantys struktūriniai elementai – atomai, molekulės, jonai, o
metaluose dar ir laisvieji elektronai. Dėl to kietųjų kūnų vidinė
energija bendruoju atveju susideda iš viejų dedamųjų: 1) gardelės
vidinės energijos; 2) elektroninių dujų (metaluose) vidinės energijos.
Trumpai paanalizuosime pirmąją dedamąją.
Kietojo kūno gardelės vidinė energija lygi gardelės mazguose esančių
dalelių, vadinamų osciliatoriais, svyravimo energijų sumai. Kiekvieno
osciliatoriaus energija lygi jo kinetinės ir tarpusavio sąveikos
potencinės energijos sumai. Cikliniu dažniu ( virpančio osciliatoriaus
energijos pokytis [pic] (čia n = 1, 2, 3,… – sveikasis skaičius) yra
kvantuotas. Taigi gardelės energija gali kisti tik šuoliais. Mažiausias
osciliatoriaus (gardelės) energijos pokytis vadinamas energijos kvantu.
Kietojo kūno dalelėsveikia viena kitą stipriomis ryšio jėgomis, todėl
jų virpesių pobūdis yra sudėtingas. Kadangi dalelių tankis milžiniškas (
[pic]1028 m-3 ), jų individualų judėjimą aprašyti neįmanoma. Vietoje jo
nagrinėjamas visų gardelės dalelių kolektyvinis virpejimas. Tarkime, kad
absorbavus šviesos fotoną ar gavus šiluminių virpesių energijos iš
kaimynų
osciliatoriaus energija pakito šuoliu. Tuomet pakinta ir osciliatoriaus
virpesių pobūdis – osciliatorius susižadins. Dėl dalelių sąveikos bus
žadinami ir kaimyninių dalelių virpesiai – kristalu sklis tamprioji
banga, vadinamoji šiluminė banga. Šiluminių bangų energija kinta
diskrečiai,o minimalus energijos pokytis vadinamas fononu.Taigi,
sužadintas osciliatorius savo perteklinę energiją perduoda šiluminei
bangai, t.y. fononui, “sukurdamas” vieną, o kartais ir kelis fononus.
Pagal de Broilį kiekvieną bangą galima pakeisti tam tikra kvazidalele
(t.y. netikra dalele). Tada tampriąją bangą atitiks kvazidalelė, kuri ir
vadinama fononu.Fonono energija lygi osciliatoriaus kvanto energijai:
[pic]
Naudojant fononų sąvoką paprasčiau tirti kietojo kūno savybes. Atomai,
molekulės ar jonai yra kietojo kūno struktūriniai vienetai, o fononai
atlieka judesio jame nešėjų vaidmenį, t.y. dalelių šiluminiai virpesiai
pakeičiami fononų srautu. Fononų srautas vadinamas fononinėmis dujomis.
Fononai, kaip ir kitos bangos, aprašomi tampriąsias bangas
apibūdinančiais parametrais:
a) fononų dažnis ω lygus jį sukūrusių osciliatorių virpesių dažniui. O
jis priklauso nuo gretimų struktūrinių dalelių padėties, kuri yra
atsitiktinė. Taigi, fononų dažnis yra įvairus, tačiau jis negali
viršyti didžiausio dažnio ωm, vadinamojo Debajaus dažnio:
[pic]
Čia N – dalelių skaičius kristale, V – jo tūris, u – fononų fazinis
greitis.
b) fononų bangos ilgis [pic]yra ribotas: [pic]. Iš gardelės diskretinės
struktūros išplaukia, kad joje negali susidaryti trumpesnės už [pic]
bangos (a – gardelės konstanta). Fononų galima ilgiausia banga [pic] (L –
kūno didžiausias tiesinis matmuo).
Šiluminės talpos sąvoka. Jeigu kūnui suteikus šilumos kiekį dQ jo
temperatūra pakyla dydžiu dT tai dydis [pic] vadinamas kūno šilumine
talpa. Ji priklauso nuo paties kūno ir šildymo sąlygų. Jei temperatūrų
pokyčiai nedideli, šiluminis plėtimasis nežymus, todėl izobarinė šiluminė
talpa Cp ir izochorinė CV beveik lygios. Jū skirtumas kambario
temperatūroje neviršija 5%. Jei šiluminio plėtimosi nepaisoma (dV = 0),
tai i6 pirmojo termodinamikos d4sniogauname, kad kirtojo k8no 6ilumin4
talpa
[pic]
Čia dU – kūno vidinės energijos pokytis.
Gardelės šiluminė talpa. Iš fononinio modelio išplaukia, kad kristalo
gardelės vidinė energija lygi fononinių dujų energijai, t.y. visų
kristalo fononų energijų sumai. Ji išreiškiama specialiosiomis
funkcijomis, tačiau žemų arba aukštų temperatūrų srityse ją galima
nusakyti elementariosiomis funkcijomis.
1 atvejis. Žemose temperatūrose (T< nuo temperatūros nepriklauso
ir apytiksliai lygus gardelės konstantai a (≈ 10-10 m). P.Drudė gavo
tokią metalų savitojo laidumo išraišką:
[pic]
Čia n – laisvųjų elektronų koncentracija, m – elektrono masė. Elektronų
šiluminio judėjimo vidutinis greitis ~[pic], todėl savitasis laidumas
[pic] ~ [pic], o savitoji varža [pic]~ [pic]. Eksperimentai rodo, kad
[pic] ~ T.
Šį teorijos ir eksperimento neatitikimą bandė ištaisyti H.A.Lorencas
1905 m. Jis elektronų dreifo greičiui skaičiuoti taikė Maksvelio
skirstinį, tačiau gavo lygiai tokią pačią dydžio [pic] priklausomybę nuo
temperatūros.
Toliau metalų elektrinio laidumo teoriją tobulino vokiečių fizikas
A.Zomerfeldas (1928 m.). Jo teorijoje metalo laisvieji elektronai laikomi
kvantinėmis dujomis, o gardelė – fononinėmis dujomis. Pagal laidumo
kvantinę teoriją elektriniame laidume dalyvauja tik arti Fermio WF
lygmens esantys elektronai. Sukūrus išorinį elektrinį lauką, tik jie gali
dreifuoti kristale, pakildami į aukštesnius laisvus energijos lygmenis.
Šie elektronai sudaro nedidelę laisvųjų elektronų dalį. Todėl Zomerfeldo
teorijoje vidutinis laisvasis lėkis ir vidutinis dreifo greitis nusako
Fermio energijos elektronus:
[pic]
čia n – laidumo elektronų koncentracija, – elektronų, kurių energija
lygi Fermio energijai, vidutinis laisvojo lėkio ilgis, – tokių
elektronų vidutinis šiluminis greitis. Metaluose jis siekia apie 106 m/s
ir nuo temperatūros beveik nepriklauso.
Elektronų vidutinį laisvąjį lėkį Zomerfeldo teorija sieja su elektronų
ir fononų susidūrimais. Pastarųjų tikimybė tiesiog proporcinga fononų
tankiui nf, todėl dydis ~ 1/nf. Kai metalo temperatūra daug didesnė
už Debajaus temperatūrą TD, tuomet fononų tankis ~ T . Tuomet elektronų
vidutinis laisvasis kelias < lF > ~1/T, vadinas, laidumas [pic] ~ 1/T
(arba savitoji varža [pic] ~ T). Taigi, dydžių [pic] ir [pic]
priklausomybės nuo temperatūros atitinka bandymų rezultatus.
Žemose temperatūrose (T << TD) fononų tankis nf ~ T3 bei kuriami
ilgųjų bangų fononai. Jų impulsai yra maži, todėl elektronų sklaida bus
nežymi. Dėlšių dviejų reiškinių elektronų vidutinis laisvasis lėkis
proporcingas T-5, o savitoji varža [pic] ~T5. Taigi, dėl Fermio elektronų
fononinės sklaidos 0K temperatūroje metalų savitoji varža [pic] Taip ir
būtų idealiame, neturinčiame defektų kristale. Taigi, tik pritaikius
elektronų sklaidai fononinį aiškinimą, pavyko aprašyti metalų savitosios
varžos priklausomybę nuo temperatūros.
Superlaidumas. Kai kurių metalų savitoji varža žemiau vadinamosios
krizinės temperatūros Tk pasidaro neišmatuojamai maža ([pic]<10-21Ω.m).
Šis 1911 m. Gyvsidabryje aptiktas reiškinys vadinamas superlaidumu.
Žemiausią krizinę temperatūrą turi iridis (1,40K), aukščiausią niobis
(9,22K).
Superlaidumo teoriją 1957 m. Sukūrė JAV fizikai Dž.Bardinas, L.Kuperis
ir Dž.Šriferis. Ji vadinama BKŠ teorija. Superlaidumą ši teorija aiškina
taip. Metalo viduje judantis elektronas poliarizuoja kristalinę gardelę,
t.y. šiek tiek pritraukia teigiamuosius jonus. Taip susidaro teigiamojo
krūvio kvazidalelė – poliaronas. Pagal BKŠ poliaronas gali pritraukti
kitą elektroną, t.y. sudaryti vadinamąją Kuperio porą. Pagal kvantinę
mechaniką porą gali sudaryti tik tie elektronai kurių sukiniai yra
priešingų krypčių, o partneris porai gali būti nutolęs iki 10-6 m.
Kuperio poros sukinys lygus 0, t.y. šis darinys yra bozonas. Dėl to
porų energija gali būti vienoda, o jos gali užimti tą patį energijos
lygmenį. Tokią Kuperio porų visumą vadina Bozės kondensatu. Sukūrus
metale elektrinį lauką, ne atskiros poros, o jų visuma dalyvauja krūvio
pernešimo procese. Porų visuma jau negali prarasti energiją mažomis
porcijomis, todėl metalų laidumas pasidaro labai didelis, o savitoji
varža – nykstamai maža.
Elektronų traukos sąveika poroje yra silpna. Norint ją suardyti, porai
reikia suteikti dydžio Wg energiją, kuri vadinama Kuperio poros
energetiniu plyšiu. Jo vertė yra 10-4 ÷ 10-2 eV . Energetinio plyšio
plotis priklauso nuo temperatūros: jai didėjant, plotis mažėja. Kai
temperatūra pasidaro lygi arba didesnė už krizinę, energetinis plyšys
išnyksta, t.y. dėl kristalo gardelės virpesių Kuperio poros suyra.
Metalas iš superlaidininko tampa paprastu laidininku.
Jeigu grynųjų metalų superlaidumas pasiekiamas artimose absoliutiniam
nuliui temperatūrose, tai metalų oksidų krizinė temperatūra ( perėjimo į
superlaidžią būseną ) yra gerokai aukštesnė. 1988 m. pagaminta keramika (
Tl, Ca, Ba, Cu oksidų mišinys ), kurios krizinė temperatūra lygi 125 K.
Šių medžiagų superlaidumo teorija dar nesukurta, tačiau manoma, kad ir
juose srovę perneša Kuperio poros.

7.8. Kristalai. Atomų energijos lygmenų skilimas susidarant kristalui.
Energijos juostos ( 22-as klausimas )

Išsprendę Šrėdingerio lygtį, galėtume surasti kristalo galimų energijų
vertes. Tačiau, kadangi kristalą sudaro daugybė atomų, išspręsti
Šrėdingerio lygtį nėra paprasta. Žymiai paprasčiau Šrėdingerio lygtis
sprendžiama elektronui, judančiam išoriniame elektriniame lauke, t.y.
atomų branduolių ir visų kitų elektronų sukurtame periodiškai kintančiame
lauke.
Įsivaizduokime kristalo susidarymą iš atskirų atomų. Kol atomai
izoliuoti, t.y. toli vienas nuo kito, jų energetiniai lygmenys sutampa.
Mažėjant atstumui tarp atomų, dėl jų tarpusavio sąveikos, atskirų atomų
energetiniai lygmenys pasislenka, išsiskaido ir išplinta į juostas,
sudarydami taip vadinamą juostinį energetinį spektrą. Atstumai tarp
gretimų suskilusių lygmenų priklauso nuo sąveikos stiprumo, t.y. nuo
atstumo tarp atomų. Nusistovėjus tam tikram atstumui tarp atomų, kristalo
energijos lygmenys susigrupuoja į juostas (1 pav.). Kiekvieną energijos
juostą nusako kvantiniai skaičiai n ir l. Juostos plotis priklauso nuo
atstumo tarp atomų. Energijos lygmenų skaičius juostoje lygus [pic] , nes
atomų skaičius kristale N = ( 1022 ÷1023 ) cm-3. Dėl to atstumai tarp
gretimų energijos lygmenų yra 10-22 ÷ 10-23 eV eilės, taigi, praktiškai
energijos lygmenys susilieja. Tokių energijų juosta vadinama leistine.
Energijų intervalai, skiriantys vieną leistinę juostą nuo kitos, vadinami
draustinėmis juostomis. Draustinėse juostose elektronų būti negali. Tiek
draustinių, tiek leistinių juostų plotis nuo kristalo matmenų
nepriklauso. Kuo silpnesnis valentinių elektronų ryšys su atomų
branduoliais, tuo platesnės leistinės juostos.

7.9.Metalai, puslaidininkiai ir dielektrikai juostinės teorijos požiūriu
( 23-as klausimas )

Atskirų atomų energijos lygmenys elektronais užpildomi remiantis
Paulio ir energijos minimumo principu. Jeigu, pvz., kažkoks atomo lygmuo
pilnai užpildytas elektronais, tai ir iš jo susidariusi juosta taip pat
bus pilnai užpildyta. Iš neužpildytų lygmenų susidaro neužpildytos, iš
dalinai užpildytų – dalinai užpildytos juostos. Bendruoju atveju
išskiriama valentinė juosta, kuri yra sudaryta iš atskirų atomų vidinių
elektronų sluoksnių energijos lygmenų. Ji elektronais užpildyta pilnai.
Kita juosta, sudaryta iš išorinių elektronų energijos lygmenų, yra arba
dalinai užpildyta, arba laisva. Tai vadinamoji laidumo juosta.
Kristalų elektrinis laidumas priklauso nuo valentinės juostos užpildymo
elektronais ir juostų išsidėstymo (2 pav.). Elektrinio lauko veikiamas,
elektronas laisvojo lėkio nuotolyje įgyja 10-4 ÷ 10-8 eV energiją, taigi
gali pereiti į tos pačios juostos aukštesnės energijos lygmenį, aišku,
jeigu jis neužpildytas. Tokios energijos pereiti į kitą energijų juostą
nepakanka. Taigi, medžiaga, kurios valentinė juosta užpildyta nepilnai, yra
laidininkas ( Au, Ag, Cu…) (a). Kietasis kūnas bus laidininkas ir tuomet,
kai valentinė ir laidumo juostos persidengs ( Mg, Ca, Zn…) (b). Galimas ir
toks atvejis, kai vietoje dalinai užpildytų dviejų juostų susidaro viena
visiškai užpildyta valentinė ir viena visiškai laisva laidumo juosta, o jas
skiria draustinė juosta (c). Priklausomai nuo pastarosios pločio medžiagos
skirstomos į puslaidininkius ir dielektrikus. Jeigu kristalo draustinės
juostos plotis yra keleto elektronvoltų eilės ( 1 eV=1,6 . 10-19J ),
šiluminio judėjimo energijos nepakanka elektronams peršokti iš valentinės į
laidumo juostą. Toks kristalas yra dielektrikas visame realių temperatūrų
diapazone. Jeigu draustinės juostos plotis [pic], tai jau kambario
temperatūroje laidumo juostos elektronų koncentracija nėra labai maža,
tokia medžiaga vadinama puslaidininkiu.

7.10. Puslaidininkiai. Savasis puslaidininkių laidumas ( 24-tas klausimas
)
Puslaidininkiai – tai medžiagos, kurių valentinė juosta 0K
temperatūroje pilnai užpildyta ir nuo laidumo juostos atskirta gana
siaura ([pic]) draustine juosta. Puslaidininkiais tokios medžiagos
vadinamos dėl to, kad pagal laidumą jos yra tarp laidininkų ( metalų ) ir
dielektrikų. Puslaidininkiai yra kai kurie IV, V ir VI grupių elementai
–Si, Ge, As, Se, Te ir jų cheminiai junginiai. Skiriamas savasis ir
priemaišinis puslaidininkių laidumas. Savuoju laidumu pasižymi chemiškai
gryni puslaidininkiai – Si, Ge, InSb, GaAs…). 0K temperatūroje gryni
puslaidininkiai yra dielektrikai. Keliant temperatūrą, kai kurie
elektronai iš viršutinių valentinės juostos lygmenų gali peršokti į
apatinius laidumo juostos lygmenis (3 pav.). Sukūrus puslaidininkyje
elektrinį lauką, šie elektronai ima judėti prieš lauko kryptį, sukurdami
elektros srovę. Elektronui iš valentinės peršokus į laidumo juostą,
valentinėje juostoje lieka vakansija, t.y. vadinamoji “skylutė”. Jeigu
puslaidininkyje sukurtas elektrinis laukas, skylutės vietą gali užimti
elektronas iš gretimo energijos lygmens, o jo buvusioje vietoje atsiras
skylutė. Taigi, skylutės slenka elektrinio lauko kryptimi, elektronai –
prieš. Dėl to grynuosiuose puslaidininkiuose stebimas skylinis ir
elektroninis laidumas. Elektronų koncentracija laidumo juostoje ir
skylučių valentinėje yra lygios:
[pic]
Srovės tankis lygus elektronų ir skylių srovių sumai: [pic]:
[pic]
čia un ir up – elektronų ir skylių judriai, [pic] – puslaidininkinės
medžiagos savitasis laidumas, [pic]- elektrinio lauko puslaidininkyje
stipris.
Grynuosiuose puslaidininkiuose Fermio lygmuo yra draustinės juostos
viduryje (3 pav ). Energija, reikalinga elektronui perkelti iš valentinės
juostos viršaus į laidumo juostos dugną ( aktyvacijos energija ) yra lygi
draustinės juostos pločiui [pic]. Laidumo juostoje atsiradus elektronui,
valentinėje juostoje buvusioje elektrono vietoje atsiranda skylutė.
Kadangi taip sukuriama krūvininkų pora, vienam krūvininkui sukurti
reikalinga dvigubai mažesnė energija. Taigi, Fermio lygmuo ir yra ta
energija, nuo kurios vyksta elektronų ir skylučių sužadinimas. Kadangi
grynųjų puslaidininkių draustinės juostos plotis [pic], Fermio ir Dirako
skirstinys laidumo juostoje virsta Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu (
įvertinome, kad [pic]):
[pic](*).
Kadangi, kaip elektronų koncentracija laidumo juostoje, taip ir skylučių
valentinėje proporcingi f(W), puslaidininkinės medžiagos savitasis
laidumas gali būti išreikštas taip:
[pic],
čia γo – konkretų puslaidininkį charakterizuojanti konstanta.
Didėjant temperatūrai, puslaidininkių laidumas auga ( metalų –
priešingai ), nes didėja elektronų koncentracija laidumo juostoje.
Vienas iš plačiausiai naudojamų puslaidininkių yra silicis. Tai IV
grupės elementas. Jo išoriniame sluoksnyje yra keturi elektronai,
kovalentinėmis jungtimis susiję su kaimyniniais atomais (4 pav.).
Absoliutinio nulio temperatūroje grynas silicis yra dielektrikas, kadangi
visi valentiniai elektronai sudaro chemines jungtis. Keliant temperatūrą,
kai kurios jungtys nutrūksta ir dalis elektronų tampa laisvais, o jų
vietose atsiranda skylutės. Kai puslaidininkyje elektrinio lauko nėra,
tiek laisvieji elektronai, tiek skylutės juda chaotiškai, kai elektrinis
laukas yra, elektronai juda prieš, skylutės elektrinio lauko kryptimi.
Puslaidininkio tūryje greta krūvininkų generacijos vyksta ir
rekombinacija – iš laidumo juostos elektronai, atidavę dalį energijos
gardelei ar išspinduliavę energijos kvantus, sugrįžta į valentinę juostą.
Dėl to kiekvieną temperatūrą atitinka tam tikra elektronų ir skylučių
koncentracija, išreiškiama (*) lygybe.

7.11. Priemaišinis puslaidininkių laidumas ( 25-tas klausimas )
Priemaišinis laidumas realizuojamas dalį kristalinės gardelės mazguose
esančių atomų pakeitus didesnio arba mažesnio valentingumo kitų elementų
atomais. 5 pav. pavaizduota kristalinė gardelė silicio, legiruoto
penkiavalenčiu fosforu. Keturiais valentiniais elektronais fosforas
sudaro kovalentines jungtis su kaimyniniais silicio atomais, penktasis
elektronas lieka nepanaudotas. Normaliose temperatūrose jo šiluminio
judėjimo energijos pakanka atskilti nuo atomo ir tapti laisvu.
Skirtingai nuo savojo puslaidininkių laidumo nagrinėjamuoju atveju
kovalentinė jungtis nenutrūksta ir skylutė neatsiranda. Nors netekęs
elektrono priemaišos atomas turi nesukompensuotą teigiamąjį krūvį, bet
šis krūvis susijęs su atomu ir kristale judėti negali. Žinoma, priemaišos
atomas gali pasigauti prie jo priartėjusį elektroną, bet dėl gardelės
šiluminių svyravimų elektronas tuojau pat išsilaisvins. Taigi
puslaidininkyje, legiruotame didesnio valentingumo priemaišomis yra tik
vieno tipo judrieji krūvininkai – elektronai. Sakoma, kad tokio
puslaidininkio laidumas yra elektroninis arba n-tipo, o tokį laidumą
sukuriančios priemaišos – donorinės.
Panagrinėkime laidumą, kai legiruojančios priemaišos valentingumas yra
mažesnis. 6 pav. pavaizduota kristalinė gardelė silicio, legiruoto
trivalenčiu boru. Trijų valentinių boro elektronų nepakanka jungtims su
kaimyniniais silicio atomais sudaryti. Dėl to viena jungtis lieka
neužpildyta ir bet kuriuo metu į ją gali patekti elektronas iš kaimyninės
jungties. Elektronui užpildžius jungtį, jo buvusioje vietoje atsiranda
skylutė, kurios padėtis vėlgi gali kisti, t.y. skylutė gali judėti
kristalo tūryje. Priemaišos atomas, prisijungęs papildomą elektroną, turi
nesukompensuotą neigiamąjį krūvį, tačiau pastarasis surištas su atomu ir
srovės pernešime nedalyvauja. Taigi puslaidininkyje, legiruotame mažesnio
valentingumo priemaišomis, taip pat yra tik vieno tipo judrieji
krūvininkai – skylutės. Toks laidumas vadinamas skyliniu, pats
puslaidininkis – p-tipo, o tokį laidumą sąlygojančios priemaišos –
akceptorinėmis.
Tiek donorinės, tiek akceptorinės priemaišos iškreipia gardelės
elektrinį lauką, dėl ko kristalo draustinėje juostoje atsiranda
priemaišiniai lygmenys. Fermio lygmuo n-tipo puslaidininkiuose yra
viršutinėje draustinės juostos pusėje, p-tipo puslaidininkiuose –
apatinėje draustinės juostos pusėje (7 pav.). Kylant temperatūrai, Fermio
lygmuo abiejų tipų puslaidininkiuose pasislenka link draustinės juostos
vidurio.
Jeigu donoriniai lygmenys išsidėstę arti valentinės juostos viršaus (
o tai būna tada,kai penktasis valentinis elektronas stipriai susijęs su
savo atomu ), tokių priemaišų įtaka puslaidininkio laidumui nežymi. Visai
kitaip yra tada, kai donoriniai lygmenys arčiau laidumo juostos dugno (7a
pav.). Šiuo atveju iš donorinio lygmens pereiti į laidumo juostą
elektronui reikia žymiai mažiau energijos. Tokios energijos elektronas
turi įprastose temperatūrose.
Akceptorinės priemaišos ženklią įtaką laidumui daro tuomet, kuomet jų
lygmenys yra netoli valentinės juostos viršaus (7b pav.). Iš valentinės
juostos į akceptorinį lygmenį perėjus elektronui, valentinėje juostoje
atsiranda skylutė.
Keliant puslaidininkio temperatūrą, priemaišinių krūvininkų
koncentracija greitai pasiekia soties vertę. tai reiškia, kad
atsilaisvina praktiškai visi donoriniai lygmenys arba elektronais
užsipildo visi akceptoriniai lygmenys ( p-tipo puslaidininkiuose ). Be
to, kylant temperatūrai, vis labiau reiškiasi ir savasis laidumas,
sąlygojamas elektronų šuolių iš valentinės į laidumo juostą.Žemų
temperatūrų srityje vyrauja priemaišinis laidumas.
7.12. p-n sandūra
Sakysime, sudaromas geras p ir n tipų puslaidininkių kontaktas.
Pažymėsime, kad joks mechaninis sujungimas gero kontakto neužtikrina.
Gerą kontaktą, pvz., galima gauti į n-tipo silicį įlydžius indį, kuris
siliciui yra akceptorinė priemaiša. Trumpai aptarkime pn sandūroje
vykstančius fizikinius procesus. Sakykime, n-tipo puslaidininkio
išlaisvinimo darbas An, Fermio lygmuo WFn, p-tipo – atitinkamai Ap ir WFp
(8 pav.). Elektronai iš n-tipo puslaidininkio difunduos į p-tipo
puslaidininkį ( nes ten jų koncentracija maža ), skylutės – iš p į n.
Elektronai p-tipo puslaidininkyje rekombinuoja su skylutėmis. Taip
susidaro storio d2 nuskurdintas sluoksnis. n-tipo puslaidininkyje
analogiškai susidaro nuskurdintas elektronais d1 storio sluoksnis. Tiek
vienas, tiek antras nuskurdintieji sluoksniai įsielektrina ( a pav.).
Susidaręs kontaktinis elektrinis laukas sustabdo tolimesnę laisvųjų
krūvininkų difuziją, nusistovi dinaminė pusiausvyra, susilygina Fermio
lygmenys. Kontaktinis elektrinis laukas išlenkia energetines juostas ( c
pav.). Išlinkus juostoms, susikuria potencialo barjerai ( kaip
elektronams, taip ir skylutėms ). Barjero aukštis [pic] priklauso nuo
pradinio Fermio lygmenų n ir p puslaidininkiuose skirtumo. Nuskurdinto
sluoksnio storis d siekia (10-6 – 10-7 ) m, kontaktinis potencialų
skirtumas – dešimtąsias volto dalis. Tokį potencialų skirtumą krūvininkai
galėtų įveikti tik esant kelių tūkstančių laipsnių temperatūroms,
įprastose temperatūrose toks kontaktas yra užtvarinis.
Nuskurdinto sluoksnio storį galima reguliuoti išoriniu elektriniu
lauku ( išorine įtampa ). Jeigu išorinio lauko kryptis sutampa su
kontaktinio lauko kryptimi, atstojamojo lauko veikiami, tiek elektronai n-
tipo puslaidininkyje, tiek skylutės p-tipo puslaidininkyje judės tolyn
nuo kontakto ir nuskurdinto sluoksnio storis padidės (9 a pav.). Šiuo
atveju sakoma, kad p-n sandūra į elektros grandinę įjungta nelaidžiąja (
atbuline ) kryptimi, nes elektros srovė sandūra praktiškai neteka (
paaiškinti, kas vis dėlto teka ). Jeigu išorinio lauko kryptis priešinga
kontaktinio lauko krypčiai (9 b pav.), atstojamojo lauko veikiami tiek
elektronai n-tipo puslaidininkyje, tiek skylutės p-tipo puslaidininkyje
juda link kontakto. Dėl to nuskurdinto sluoksnio storis ir varža labai
sumažėja. Taigi, šiuo atveju p-n sandūra elektros srovė teka, sandūra
įjungta laidžiąja ( tiesiogine ) kryptimi. p-n sandūros voltamperinė
charakteristika pavaizduota 10 pav. Kadangi tiesiogine kryptimi įjungtos
sandūros nuskurdinto sluoksnio storis ir varža priklauso nuo įtampos,
tokį jungimą atitinkanti voltamperinės charakteristikos dalis ( dešinioji
) yra netiesinė.
Kadangi p-n sandūros varžos tiesiogine ir atbuline kryptimis labai
skiriasi, tokia sandūra naudojama kintamajai srovei išlyginti (11 pav.).
p-n sandūra yra dviejų elektrodų vakuuminės lempos – diodo – analogas.
Dėl to puslaidininkiniai prietaisai, kurių pagrindas p-n sandūra taip pat
vadinami diodais ( pakalbėti apie privalumus, trūkumus, skirtumus ).

[pic]
[pic]

———————–
1/2

1

[pic]

T>0K

W

fF(W)

fF(W)

W

[pic]

[pic]

1

1pav.

2p

3s

2s

1s

W

c)

Wl

ΔWg

Wv

W

b)

a)

2 pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

Wl

W

Wv

WF

3 pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

4 pav.

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

5 pav.

+P

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

6 pav.

-B

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

WF

7a pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

WF

7b pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

8 pav.

c)

d2

d1

l.j.

v.j.

ΔWg

WFn

WFp

eUk

Ap

An

b)

v.j.

WFp

WFn

ΔWg

l.j

W0

[pic]

a)


+
+

p

n

9 pav.

I

b)

+

[pic]

[pic]


+
+

p

n

a)

+

[pic]

[pic]


+
+

p

n

10 pav.

I

U