Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai

7. Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai Kvantinės statistikos samprata. Pagal klasikinę statistinę fiziką, bet kokią materialiąją dalelę, pavyzdžiui elektroną, galima atskirti ( atpažinti ) nuo visų kitų tokių pačių dalelių. Kvantinė statistika remiasi tapačių dalelių neatskiriamumo principu. Jį reikėtų suprasti taip: jeigu kvantinė sistema, pavyzdžiui, sudaryta iš daugybės elektronų, kurių masės, krūviai, sukiniai, kvantiniai skaičiai vienodi, jokiais eksperimentais jų negalima atskirti vieno nuo kito. Klasikinė statistinė fizika teigia, kad juos galima atskirti pagal jų padėtį erdvėje ir impulsus. Ši statistika, dar vadinama Maksvelio ir Bolcmano statistika, taikoma vadinamosioms neišsigimusioms dujoms. Kvantinėje mechanikoje mikrodalelės trajektorija iš viso neturi prasmės ( tai išplaukia iš Heizenbergo nelygybės ), jos būsena aprašoma bangine funkcija, iš kurios galima apskaičiuoti tik tikimybę dalelę surasti vieno ar kito erdvės taško aplinkoje. Kvantinė statistika taikoma išsigimusioms kvantmechaninių dalelių dujoms. Dėl tokių dalelių prigimties skirtingumo taikomos dvi kvantinės statistikos: fermionams – Fermio ir Dirako, bozonams – Bozės ir Einšteino.

7.1. Neišsigimusios ir išsigimusios dujos

Kai nagrinėjama vienarūšių ( tapatingųjų ) mikrodalelių, kurių skaičius N >> 1, sistema, tokia sistema dažnai vadinama dujomis ( elektroninėmis, neutroninėmis ir pan. ). Pagal savo elgseną “kolektyve” visos mikrodalelės skirstomos į dvi grupes. Dalelėms, kurių sukinio kvantinis skaičius s yra pusinis, ( s =1/2; 3/2…), galioja Paulio draudimo principas – vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ir daugiau dalelių, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi, šios dalelės – elektronai, protonai, neutronai ir kt. – yra “individualistės”. Joms galioja kvantinė Fermio ir Dirako statistika, todėl jos dar vadinamos fermionais. Dalelės, kurių sukinio kvantinis skaičius s =0;1;2…), elgiasi kitaip nei fermionai: kiekvienoje kvantinėje būsenoje šių dalelių gali būti bet kiek. Taigi, jos yra “kolektyviškos”,joms galioja Bozės ir Einšteino statistika, o pačios vadinamos bozonais. Tai fotonai, fononai, mezonai ir kt. Mikrodalelių fermioniškumas ar bozoniškumas išryškėja tada, kai dalelės pretenduoja į tą pačią būseną. Sakykime, tapatingųjų dalelių skaičius N, o joms skirta G skirtingų būsenų. Dalelių susitikimo vienoje būsenoje tikimybę apibūdina santykis N/G. Jei G>>N, tuomet N/G<<1 ( * ), ir susitikimo vienoje būsenoje tikimybė nykstamai maža. Tokios dujos, kurioms galioja minėta nelygybė, vadinamos neišsigimusiomis, o pati nelygybė – neišsigimimo sąlyga. Klasikinių dalelių energijos yra nekvantuotos, todėl jų galimų būsenų G( ( . Tokių dalelių dujoms visada tenkinama minėtoji nelygybė, jos visada neišsigimusios. Mikrodalelių parametrai gali kisti diskretiškai, todėl jų būsenų skaičius gali būti baigtinis, o santykis N/G ( 1. Tokiu atveju tapatingųjų dalelių susitikimo vienoje būsenoje tikimybė didelė, tokios dalelių sistemos vadinamos išsigimusiomis.

7.2. Pasiskirstymo funkcija

Pasiskirstymo funkcija išreiškia dalelių pasiskirstymą pagal būsenas, pavyzdžiui, energijas W. Pasiskirstymo funkcija f(W) parodo vidutinį dalelių skaičių būsenoje W. Fermionams ji dar parodo būsenos užpildymo tikimybę ir tenkina nelygybę 0( f(W) (1. Pavyzdžiui, f(W) =1/2 reiškia , kad pusę laiko ši būsena yra užimta fermiono, o kitą pusę – ne. Labai mažame energijų intervale W – W+dW galimų būsenų skaičius dG(W)(dW. Įrašę nuo W priklausantį proporcingumo koeficientą g(W), gauname: [pic],arba [pic]. Dydį g(W) vadiname būsenų tankiu. Jis lygus būsenų skaičiui, tenkančiam vienetiniam energijų intervalui. Sistemos dalelių skaičius dN, turintis energijas intervale W –W+dW,apskaičiuojamas taip: [pic] Dydis dN dar vadinamas pilnąja statistinio pasiskirstymo funkcija. Taigi, norint rasti dN, būtina žinoti būsenų tankį ir pasiskirstymo funkciją. 7.3. Fazinė erdvė

Fizikinių objektų visuma vadinama fizikine makroskopine sistema. Sakysime, ją sudaro N dalelių. Sistemos būsenai aprašyti mikroskopiniais parametrais reikės 6 N kintamųjų, kadangi kiekvienos dalelės būsena nusakoma trimis erdvinėmis koordinatėmis x, y, z ir trimis judesio kiekio projekcijomis px, py, pz. Visų dalelių koordinatės ir judesio kiekiai sudarys 6 N-matę fazinę erdvę. Šios erdvės koordinačių ašių skaičius būtų lygus 6 N. Kiekvienos dalelės mikrobūseną atitiks taškas x, y, z, px, py, pz – fazinis taškas. Taigi, N nesąveikaujančių tapatingųjų dalelių būsena nusakoma N fazinių taškų rinkiniu. Padalinkime fazinę erdvę į mažus 6N- mačius elementus, kurių kiekvieno tūris [pic] [pic], ( a ) čia[pic] – realios erdvės tūrio elementas, [pic] – impulsų erdvės elementas. Klasikinės dalelės erdvinės koordinatės ir impulso projekcijos gali kisti tolydžiai, t. y. tūris [pic] gali būti nykstamai mažas. Laisvųjų dalelių ( jų neveikia jėgų laukas, todėl jų potencinė energija lygi nuliui ) būsenai aprašyti patogu ir pakanka naudotis trimate impulsų erdve [pic] ( b ) čia V – dalelių sistemos tūris. Kvantinės dalelės pasižymi banginėmis savybėmis. Kadangi joms taikomas neapibrėžtumo principas, jų fazinė erdvė į tūrio elementus dalijama kiek kitaip. Kvantinės dalelės būsenos x, y, z, px, py, pz negalima atskirti nuo būsenos x+dx, +dy, z+dz, px+dpx, py+dpy, pz+dpz, jeigu sandauga [pic] mažesnė už h3 ( h – Planko konstanta ). Ši sandauga yra fazinės erdvės tūrio elementas. Taigi, fazinės erdvės elementarusis tūris [pic] [pic] (c ) aprašo vieną kvantinės dalelės būseną ir jis vadinamas fazinės erdvės elementariuoju narveliu. Laisvųjų bei klasikinių mikrodalelių [pic], todėl jų impulsų erdvės elementarusis narvelis [pic] ( d ).

Būsenų tankis. Apskaičiuokime energijų W – W+dW intervalolaisvosios mikrodalelės kvantinių būsenų skaičių. Dalelės energiją irimpulsą sieja lygybė [pic], todėl [pic] ( 1 ) Remdamiesi ( 1 ), impulsų erdvėje brėžiame spindulių p ir p+dpkoncentrinius sferinius paviršius. Jų ribojamo sferinio sluoksnio tūris [pic], ( 2 )Šiame tūryje telpančių skirtingų kvantinių būsenų ( elementariųjų narvelių)skaičius [pic], ( 3 )Kvantinės dalelės būsenų tankis, atsižvelgus į tai, kad [pic] [pic] ( 4 )Iš ( 1 ) ir ( 4 ) galimą būsenų skaičių išreiškiame energija [pic] , ( 5 )o būsenų tankį [pic] ( 6 ) Reikia įsidėmėti, kad elektronų būsenų tankis yra dvigubai didesnis, neskiekvienas elementarusis narvelis atitinka dvi elektrono būsenas,besiskiriančias erdvine sukinio orientacija [pic] ( 7 ). Idealiųjų dujų neišsigimimo kriterijus. ( 5 ) suintegravę rėžiuose nuo 0iki W, gautume būsenų skaičių šiame intervale [pic] ( 8 )Idealiųjų dujų molekulės energija [pic], todėl [pic][pic]. Šią išraiškąįrašę į (*), gauname tokią neišsigimimo sąlygos išraišką [pic] [pic] ( 9 ) Pavyzdžiui azoto dujos normaliomis sąlygomis yra neišsigimę ( kairiojinelygybės pusė joms ≈ 10-6 ). Vadinasi, joms gerai turi tikti Maksvelio irBolcmano statistika. Apskaičiavę kairiąją nelygybės pusę elektroninėmsdujoms metale, pamatytume, kad jos neišsigimę bus tik tada, kai temperatūraviršys 105 K. Taigi, visais realiais metalo egzistavimo atvejaiselektroninės dujos yra išsigimę, ir joms reikia taikyti Fermio ir Dirakostatistiką. Iš tos pačios nelygybės seka, kad neišsigimusią būseną galima pasiektikeliant dujų temperatūrą T ir mažinant jų koncentraciją [pic]. Silpnailegiruotuose puslaidininkiuose laisvųjų elektronų koncentracija paprastaineviršija 1022 m-3, todėl netgi kambario temperatūroje tokiepuslaidininkiai nėra išsigimę ir jų laisviesiems elektronams galima taikytiklasikinę Maksvelio ir Bolcmano statistiką.

7.4. Bozės ir Einšteino bei Fermio ir Dirako skirstiniai

Vienu iš pagrindinių kvantinės statistikos, kaip, beje, ir klasikinės statistikos objektų yra idealiosios dujos. Taip yra todėl, kad daugeliu atvejų realią dalelių sistemą galima nagrinėti kaip idealiąsias dujas. Kvantinė mechanika visas mikrodaleles skirsto į dvi grupes: 1) bozonus, t.y. daleles, aprašomas simetrinėmis banginėmis funkcijomis; 2) fermionus, t.y. daleles, aprašomas antisimetrinėmis banginėmis funkcijomis. Fermionams galioja Paulio draudimo principas: viename fazinės erdvės elemente negali būti daugiau kaip vienas fermionas. Bozonų gali būti daug. Idealiosios dujos iš bozonų – Bozė – dujos – aprašomos Bozės ir Einšteino skirstiniu. Bozonų pasiskirstymas pagal energijas išplaukia iš vadinamojo didžiojo kanoninio Gibso pasiskirstymo teigiant, kad tapačių bozonų skaičius nagrinėjamoje kvantinėje būsenoje gali būti bet koks: [pic] ( 10 )

Ši formulė vadinama Bozės ir Einšteino skirstiniu. Ji nusako vidutinį bozonų skaičių i – tojoje būsenoje, kurios energija Wi, k – Bolcmano konstanta, T – termodinaminė temperatūra, ( – cheminis potencialas. Pastarasis proporcingas sistemos vidinės energijos pokyčiui į sistemą papildomai įvedus vieną dalelę. Idealiosios dujos iš fermionų – fermidujos – aprašomos Fermio ir Dirako skirstiniu:

[pic]. ( 11 ) Jeigu [pic]((1, tiek Bozės ir Einšteino, tiek Fermio ir Dirako skirstiniai pavirsta klasikiniu Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu [pic], kur [pic]. Taigi, kai temperatūra aukšta, abiejų tipų “kvantinės” dujos panašios į klasikines dujas.

7.5.Elektroninės dujos. Fermio energija ir lygmuo Laidumo arba laisvieji elektronai kristale ar plazmoje vadinami elektroninėmis dujomis. Elektronų pasiskirstymui galioja Paulio principas: vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ar daugiau elektronų, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi pagal kvantinę teoriją netgi absoliutinio nulio temperatūroje negali būti užpildytas vien tik žemiausias energijos lygmuo. Paulio principas verčia elektronus “energijos laiptais” kopti aukštyn. Kadangi pagal kvantinę mechaniką elektroninės dujos yra fermionai( jų sukinio kvantinis skaičius s = 1/2 ), jų pasiskirstymas pagal energijas nusakomas Fermio ir Dirako skirstiniu. Jeigu elektroninių dujų cheminį potencialą pažymėsime (0, vidutinį elektronų skaičių energijų intervale nuo W iki W+dW išreikšime taip: [pic] Iš ( 11 ) lygybės seka, kad kai elektroninių dujų temperatūra lygi 0K, skirstinys fF(W)= 1, jeigu W < (0, ir fF(W) = 0, jeigu W > (0. Šios funkcijos grafikas pateiktas 1 pav. Matome, kad kai energija lygi cheminiam potencialui, skirstinys tampa lygiu nuliui. Tai reiškia, kad 0K temperatūroje visi energetiniai lygmenys iki lygmens, kurio energija lygi cheminiam potencialui, imtinai yra užpildyti elektronais. Visi aukštesnių energijų lygmenys yra laisvi. Taigi, cheminis potencialas (0 ir yra ta didžiausia energija, kurią gali turėti elektronas 0K temperatūroje. Ši didžiausia galima energija vadinama Fermio energija (WF = (0). Tai įvertinę, Fermio ir Dirako skirstinį užrašome taip: [pic] Aukščiausias energijos lygmuo, kurį užima elektronai 0K temperatūroje, vadinamas Fermio lygmeniu. Šis lygmuo bus tuo aukštesnis, kuo didesnis bus elektroninių dujų tankis. Taigi, elektrono išlaisvinimo iš metalo darbą reikia atskaitinėti ne nuo potencialo duobės dugno, kaip tai daro klasikinė teorija, o nuo Fermio lygmens. Pagal klasikinę teoriją 0K temperatūroje laisvojo elektrono vidutinė energija turėtų būti lygi nuliui ( [pic] ). Kvantinėje mechanikoje taip nėra. Vadinasi, žemose temperatūrose elektroninėms dujoms klasikinė fizika netinka. Dėl to tokios dujos vadinamos išsigimusiomis.. Ribą, virš kurios kvantiniai efektai nustoja vyrauti, išreiškia išsigimimo temperatūra T0. Ji surandama iš lygybės [pic]. Elektronams metale T0 ( 104K. Tai reiškia, kad elektroninės dujos kietuosiuose metaluose išsigimę visada. Aukštesnėse už 0K temperatūrose elektronai gali įgyti ir didesnes už Fermio lygmenį energijos vertes ( 2 pav.), kadangi jie turi ir šiluminės energijos, todėl tam tikros dalies elektronų suminė energija viršija Fermio lygmenį.Apskaičiavę gautume, kad jei elektronų energija lygi

Fermio lygmeniui ( W=WF ), fF(W) = 1/2. Taigi, bendriausiu atveju Fermio energija apibrėžiama taip: tai energija lygmens, kurio užpildymo tikimybė lygi 1/2.

7.6. Fononai. Metalų šiluminė talpa ( 20-tas klausimas ) Kietuosiuose kūnuose šiluminiame judėjime dalyvauja kristalą sudarantys struktūriniai elementai – atomai, molekulės, jonai, o metaluose dar ir laisvieji elektronai. Dėl to kietųjų kūnų vidinė energija bendruoju atveju susideda iš viejų dedamųjų: 1) gardelės vidinės energijos; 2) elektroninių dujų (metaluose) vidinės energijos. Trumpai paanalizuosime pirmąją dedamąją. Kietojo kūno gardelės vidinė energija lygi gardelės mazguose esančių dalelių, vadinamų osciliatoriais, svyravimo energijų sumai. Kiekvieno osciliatoriaus energija lygi jo kinetinės ir tarpusavio sąveikos potencinės energijos sumai. Cikliniu dažniu ( virpančio osciliatoriaus energijos pokytis [pic] (čia n = 1, 2, 3,… – sveikasis skaičius) yra kvantuotas. Taigi gardelės energija gali kisti tik šuoliais. Mažiausias osciliatoriaus (gardelės) energijos pokytis vadinamas energijos kvantu. Kietojo kūno dalelėsveikia viena kitą stipriomis ryšio jėgomis, todėl jų virpesių pobūdis yra sudėtingas. Kadangi dalelių tankis milžiniškas ( [pic]1028 m-3 ), jų individualų judėjimą aprašyti neįmanoma. Vietoje jo nagrinėjamas visų gardelės dalelių kolektyvinis virpejimas. Tarkime, kad absorbavus šviesos fotoną ar gavus šiluminių virpesių energijos iš kaimynų osciliatoriaus energija pakito šuoliu. Tuomet pakinta ir osciliatoriaus virpesių pobūdis – osciliatorius susižadins. Dėl dalelių sąveikos bus žadinami ir kaimyninių dalelių virpesiai – kristalu sklis tamprioji banga, vadinamoji šiluminė banga. Šiluminių bangų energija kinta diskrečiai,o minimalus energijos pokytis vadinamas fononu.Taigi, sužadintas osciliatorius savo perteklinę energiją perduoda šiluminei bangai, t.y. fononui, “sukurdamas” vieną, o kartais ir kelis fononus. Pagal de Broilį kiekvieną bangą galima pakeisti tam tikra kvazidalele (t.y. netikra dalele). Tada tampriąją bangą atitiks kvazidalelė, kuri ir vadinama fononu.Fonono energija lygi osciliatoriaus kvanto energijai: [pic] Naudojant fononų sąvoką paprasčiau tirti kietojo kūno savybes. Atomai, molekulės ar jonai yra kietojo kūno struktūriniai vienetai, o fononai atlieka judesio jame nešėjų vaidmenį, t.y. dalelių šiluminiai virpesiai pakeičiami fononų srautu. Fononų srautas vadinamas fononinėmis dujomis. Fononai, kaip ir kitos bangos, aprašomi tampriąsias bangas apibūdinančiais parametrais: a) fononų dažnis ω lygus jį sukūrusių osciliatorių virpesių dažniui. O jis priklauso nuo gretimų struktūrinių dalelių padėties, kuri yra atsitiktinė. Taigi, fononų dažnis yra įvairus, tačiau jis negali viršyti didžiausio dažnio ωm, vadinamojo Debajaus dažnio: [pic] Čia N – dalelių skaičius kristale, V – jo tūris, u – fononų fazinis greitis. b) fononų bangos ilgis [pic]yra ribotas: [pic]. Iš gardelės diskretinės struktūros išplaukia, kad joje negali susidaryti trumpesnės už [pic] bangos (a – gardelės konstanta). Fononų galima ilgiausia banga [pic] (L – kūno didžiausias tiesinis matmuo). Šiluminės talpos sąvoka. Jeigu kūnui suteikus šilumos kiekį dQ jo temperatūra pakyla dydžiu dT tai dydis [pic] vadinamas kūno šilumine talpa. Ji priklauso nuo paties kūno ir šildymo sąlygų. Jei temperatūrų pokyčiai nedideli, šiluminis plėtimasis nežymus, todėl izobarinė šiluminė talpa Cp ir izochorinė CV beveik lygios. Jū skirtumas kambario temperatūroje neviršija 5%. Jei šiluminio plėtimosi nepaisoma (dV = 0), tai i6 pirmojo termodinamikos d4sniogauname, kad kirtojo k8no 6ilumin4 talpa [pic] Čia dU – kūno vidinės energijos pokytis. Gardelės šiluminė talpa. Iš fononinio modelio išplaukia, kad kristalo gardelės vidinė energija lygi fononinių dujų energijai, t.y. visų kristalo fononų energijų sumai. Ji išreiškiama specialiosiomis funkcijomis, tačiau žemų arba aukštų temperatūrų srityse ją galima nusakyti elementariosiomis funkcijomis. 1 atvejis. Žemose temperatūrose (T< nuo temperatūros nepriklauso ir apytiksliai lygus gardelės konstantai a (≈ 10-10 m). P.Drudė gavo

tokią metalų savitojo laidumo išraišką: [pic] Čia n – laisvųjų elektronų koncentracija, m – elektrono masė. Elektronų šiluminio judėjimo vidutinis greitis ~[pic], todėl savitasis laidumas [pic] ~ [pic], o savitoji varža [pic]~ [pic]. Eksperimentai rodo, kad [pic] ~ T. Šį teorijos ir eksperimento neatitikimą bandė ištaisyti H.A.Lorencas 1905 m. Jis elektronų dreifo greičiui skaičiuoti taikė Maksvelio skirstinį, tačiau gavo lygiai tokią pačią dydžio [pic] priklausomybę nuo temperatūros. Toliau metalų elektrinio laidumo teoriją tobulino vokiečių fizikas A.Zomerfeldas (1928 m.). Jo teorijoje metalo laisvieji elektronai laikomi kvantinėmis dujomis, o gardelė – fononinėmis dujomis. Pagal laidumo kvantinę teoriją elektriniame laidume dalyvauja tik arti Fermio WF lygmens esantys elektronai. Sukūrus išorinį elektrinį lauką, tik jie gali dreifuoti kristale, pakildami į aukštesnius laisvus energijos lygmenis. Šie elektronai sudaro nedidelę laisvųjų elektronų dalį. Todėl Zomerfeldo teorijoje vidutinis laisvasis lėkis ir vidutinis dreifo greitis nusako Fermio energijos elektronus: [pic] čia n – laidumo elektronų koncentracija, – elektronų, kurių energija lygi Fermio energijai, vidutinis laisvojo lėkio ilgis, – tokių elektronų vidutinis šiluminis greitis. Metaluose jis siekia apie 106 m/s ir nuo temperatūros beveik nepriklauso. Elektronų vidutinį laisvąjį lėkį Zomerfeldo teorija sieja su elektronų ir fononų susidūrimais. Pastarųjų tikimybė tiesiog proporcinga fononų tankiui nf, todėl dydis ~ 1/nf. Kai metalo temperatūra daug didesnė už Debajaus temperatūrą TD, tuomet fononų tankis ~ T . Tuomet elektronų vidutinis laisvasis kelias < lF > ~1/T, vadinas, laidumas [pic] ~ 1/T (arba savitoji varža [pic] ~ T). Taigi, dydžių [pic] ir [pic] priklausomybės nuo temperatūros atitinka bandymų rezultatus. Žemose temperatūrose (T << TD) fononų tankis nf ~ T3 bei kuriami ilgųjų bangų fononai. Jų impulsai yra maži, todėl elektronų sklaida bus nežymi. Dėlšių dviejų reiškinių elektronų vidutinis laisvasis lėkis proporcingas T-5, o savitoji varža [pic] ~T5. Taigi, dėl Fermio elektronų fononinės sklaidos 0K temperatūroje metalų savitoji varža [pic] Taip ir būtų idealiame, neturinčiame defektų kristale. Taigi, tik pritaikius elektronų sklaidai fononinį aiškinimą, pavyko aprašyti metalų savitosios varžos priklausomybę nuo temperatūros. Superlaidumas. Kai kurių metalų savitoji varža žemiau vadinamosios krizinės temperatūros Tk pasidaro neišmatuojamai maža ([pic]<10-21Ω.m). Šis 1911 m. Gyvsidabryje aptiktas reiškinys vadinamas superlaidumu. Žemiausią krizinę temperatūrą turi iridis (1,40K), aukščiausią niobis (9,22K). Superlaidumo teoriją 1957 m. Sukūrė JAV fizikai Dž.Bardinas, L.Kuperis ir Dž.Šriferis. Ji vadinama BKŠ teorija. Superlaidumą ši teorija aiškina taip. Metalo viduje judantis elektronas poliarizuoja kristalinę gardelę, t.y. šiek tiek pritraukia teigiamuosius jonus. Taip susidaro teigiamojo krūvio kvazidalelė – poliaronas. Pagal BKŠ poliaronas gali pritraukti kitą elektroną, t.y. sudaryti vadinamąją Kuperio porą. Pagal kvantinę mechaniką porą gali sudaryti tik tie elektronai kurių sukiniai yra priešingų krypčių, o partneris porai gali būti nutolęs iki 10-6 m. Kuperio poros sukinys lygus 0, t.y. šis darinys yra bozonas. Dėl to porų energija gali būti vienoda, o jos gali užimti tą patį energijos lygmenį. Tokią Kuperio porų visumą vadina Bozės kondensatu. Sukūrus metale elektrinį lauką, ne atskiros poros, o jų visuma dalyvauja krūvio pernešimo procese. Porų visuma jau negali prarasti energiją mažomis porcijomis, todėl metalų laidumas pasidaro labai didelis, o savitoji varža – nykstamai maža. Elektronų traukos sąveika poroje yra silpna. Norint ją suardyti, porai reikia suteikti dydžio Wg energiją, kuri vadinama Kuperio poros energetiniu plyšiu. Jo vertė yra 10-4 ÷ 10-2 eV . Energetinio plyšio plotis priklauso nuo temperatūros: jai didėjant, plotis mažėja. Kai temperatūra pasidaro lygi arba didesnė už krizinę, energetinis plyšys
išnyksta, t.y. dėl kristalo gardelės virpesių Kuperio poros suyra. Metalas iš superlaidininko tampa paprastu laidininku. Jeigu grynųjų metalų superlaidumas pasiekiamas artimose absoliutiniam nuliui temperatūrose, tai metalų oksidų krizinė temperatūra ( perėjimo į superlaidžią būseną ) yra gerokai aukštesnė. 1988 m. pagaminta keramika ( Tl, Ca, Ba, Cu oksidų mišinys ), kurios krizinė temperatūra lygi 125 K. Šių medžiagų superlaidumo teorija dar nesukurta, tačiau manoma, kad ir juose srovę perneša Kuperio poros.

7.8. Kristalai. Atomų energijos lygmenų skilimas susidarant kristalui. Energijos juostos ( 22-as klausimas )

Išsprendę Šrėdingerio lygtį, galėtume surasti kristalo galimų energijų vertes. Tačiau, kadangi kristalą sudaro daugybė atomų, išspręsti Šrėdingerio lygtį nėra paprasta. Žymiai paprasčiau Šrėdingerio lygtis sprendžiama elektronui, judančiam išoriniame elektriniame lauke, t.y. atomų branduolių ir visų kitų elektronų sukurtame periodiškai kintančiame lauke. Įsivaizduokime kristalo susidarymą iš atskirų atomų. Kol atomai izoliuoti, t.y. toli vienas nuo kito, jų energetiniai lygmenys sutampa. Mažėjant atstumui tarp atomų, dėl jų tarpusavio sąveikos, atskirų atomų energetiniai lygmenys pasislenka, išsiskaido ir išplinta į juostas, sudarydami taip vadinamą juostinį energetinį spektrą. Atstumai tarp gretimų suskilusių lygmenų priklauso nuo sąveikos stiprumo, t.y. nuo atstumo tarp atomų. Nusistovėjus tam tikram atstumui tarp atomų, kristalo energijos lygmenys susigrupuoja į juostas (1 pav.). Kiekvieną energijos juostą nusako kvantiniai skaičiai n ir l. Juostos plotis priklauso nuo atstumo tarp atomų. Energijos lygmenų skaičius juostoje lygus [pic] , nes atomų skaičius kristale N = ( 1022 ÷1023 ) cm-3. Dėl to atstumai tarp gretimų energijos lygmenų yra 10-22 ÷ 10-23 eV eilės, taigi, praktiškai energijos lygmenys susilieja. Tokių energijų juosta vadinama leistine. Energijų intervalai, skiriantys vieną leistinę juostą nuo kitos, vadinami draustinėmis juostomis. Draustinėse juostose elektronų būti negali. Tiek draustinių, tiek leistinių juostų plotis nuo kristalo matmenų nepriklauso. Kuo silpnesnis valentinių elektronų ryšys su atomų branduoliais, tuo platesnės leistinės juostos.

7.9.Metalai, puslaidininkiai ir dielektrikai juostinės teorijos požiūriu ( 23-as klausimas )

Atskirų atomų energijos lygmenys elektronais užpildomi remiantis Paulio ir energijos minimumo principu. Jeigu, pvz., kažkoks atomo lygmuo pilnai užpildytas elektronais, tai ir iš jo susidariusi juosta taip pat bus pilnai užpildyta. Iš neužpildytų lygmenų susidaro neužpildytos, iš dalinai užpildytų – dalinai užpildytos juostos. Bendruoju atveju išskiriama valentinė juosta, kuri yra sudaryta iš atskirų atomų vidinių elektronų sluoksnių energijos lygmenų. Ji elektronais užpildyta pilnai. Kita juosta, sudaryta iš išorinių elektronų energijos lygmenų, yra arba dalinai užpildyta, arba laisva. Tai vadinamoji laidumo juosta. Kristalų elektrinis laidumas priklauso nuo valentinės juostos užpildymoelektronais ir juostų išsidėstymo (2 pav.). Elektrinio lauko veikiamas,elektronas laisvojo lėkio nuotolyje įgyja 10-4 ÷ 10-8 eV energiją, taigigali pereiti į tos pačios juostos aukštesnės energijos lygmenį, aišku,jeigu jis neužpildytas. Tokios energijos pereiti į kitą energijų juostąnepakanka. Taigi, medžiaga, kurios valentinė juosta užpildyta nepilnai, yralaidininkas ( Au, Ag, Cu…) (a). Kietasis kūnas bus laidininkas ir tuomet,kai valentinė ir laidumo juostos persidengs ( Mg, Ca, Zn…) (b). Galimas irtoks atvejis, kai vietoje dalinai užpildytų dviejų juostų susidaro vienavisiškai užpildyta valentinė ir viena visiškai laisva laidumo juosta, o jasskiria draustinė juosta (c). Priklausomai nuo pastarosios pločio medžiagosskirstomos į puslaidininkius ir dielektrikus. Jeigu kristalo draustinėsjuostos plotis yra keleto elektronvoltų eilės ( 1 eV=1,6 . 10-19J ),šiluminio judėjimo energijos nepakanka elektronams peršokti iš valentinės įlaidumo juostą. Toks kristalas yra dielektrikas visame realių temperatūrųdiapazone. Jeigu draustinės juostos plotis [pic], tai jau kambariotemperatūroje laidumo juostos elektronų koncentracija nėra labai maža,tokia medžiaga vadinama puslaidininkiu.

7.10. Puslaidininkiai. Savasis puslaidininkių laidumas ( 24-tas klausimas ) Puslaidininkiai – tai medžiagos, kurių valentinė juosta 0K temperatūroje pilnai užpildyta ir nuo laidumo juostos atskirta gana siaura ([pic]) draustine juosta. Puslaidininkiais tokios medžiagos vadinamos dėl to, kad pagal laidumą jos yra tarp laidininkų ( metalų ) ir dielektrikų. Puslaidininkiai yra kai kurie IV, V ir VI grupių elementai –Si, Ge, As, Se, Te ir jų cheminiai junginiai. Skiriamas savasis ir priemaišinis puslaidininkių laidumas. Savuoju laidumu pasižymi chemiškai gryni puslaidininkiai – Si, Ge, InSb, GaAs…). 0K temperatūroje gryni puslaidininkiai yra dielektrikai. Keliant temperatūrą, kai kurie elektronai iš viršutinių valentinės juostos lygmenų gali peršokti į apatinius laidumo juostos lygmenis (3 pav.). Sukūrus puslaidininkyje elektrinį lauką, šie elektronai ima judėti prieš lauko kryptį, sukurdami elektros srovę. Elektronui iš valentinės peršokus į laidumo juostą, valentinėje juostoje lieka vakansija, t.y. vadinamoji “skylutė”. Jeigu puslaidininkyje sukurtas elektrinis laukas, skylutės vietą gali užimti elektronas iš gretimo energijos lygmens, o jo buvusioje vietoje atsiras skylutė. Taigi, skylutės slenka elektrinio lauko kryptimi, elektronai – prieš. Dėl to grynuosiuose puslaidininkiuose stebimas skylinis ir elektroninis laidumas. Elektronų koncentracija laidumo juostoje ir skylučių valentinėje yra lygios: [pic] Srovės tankis lygus elektronų ir skylių srovių sumai: [pic]: [pic] čia un ir up – elektronų ir skylių judriai, [pic] – puslaidininkinės medžiagos savitasis laidumas, [pic]- elektrinio lauko puslaidininkyje stipris. Grynuosiuose puslaidininkiuose Fermio lygmuo yra draustinės juostos viduryje (3 pav ). Energija, reikalinga elektronui perkelti iš valentinės juostos viršaus į laidumo juostos dugną ( aktyvacijos energija ) yra lygi draustinės juostos pločiui [pic]. Laidumo juostoje atsiradus elektronui, valentinėje juostoje buvusioje elektrono vietoje atsiranda skylutė. Kadangi taip sukuriama krūvininkų pora, vienam krūvininkui sukurti reikalinga dvigubai mažesnė energija. Taigi, Fermio lygmuo ir yra ta energija, nuo kurios vyksta elektronų ir skylučių sužadinimas. Kadangi grynųjų puslaidininkių draustinės juostos plotis [pic], Fermio ir Dirako skirstinys laidumo juostoje virsta Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu ( įvertinome, kad [pic]): [pic](*). Kadangi, kaip elektronų koncentracija laidumo juostoje, taip ir skylučių valentinėje proporcingi f(W), puslaidininkinės medžiagos savitasis laidumas gali būti išreikštas taip: [pic], čia γo – konkretų puslaidininkį charakterizuojanti konstanta. Didėjant temperatūrai, puslaidininkių laidumas auga ( metalų – priešingai ), nes didėja elektronų koncentracija laidumo juostoje. Vienas iš plačiausiai naudojamų puslaidininkių yra silicis. Tai IV grupės elementas. Jo išoriniame sluoksnyje yra keturi elektronai, kovalentinėmis jungtimis susiję su kaimyniniais atomais (4 pav.). Absoliutinio nulio temperatūroje grynas silicis yra dielektrikas, kadangi visi valentiniai elektronai sudaro chemines jungtis. Keliant temperatūrą, kai kurios jungtys nutrūksta ir dalis elektronų tampa laisvais, o jų vietose atsiranda skylutės. Kai puslaidininkyje elektrinio lauko nėra, tiek laisvieji elektronai, tiek skylutės juda chaotiškai, kai elektrinis laukas yra, elektronai juda prieš, skylutės elektrinio lauko kryptimi. Puslaidininkio tūryje greta krūvininkų generacijos vyksta ir rekombinacija – iš laidumo juostos elektronai, atidavę dalį energijos gardelei ar išspinduliavę energijos kvantus, sugrįžta į valentinę juostą. Dėl to kiekvieną temperatūrą atitinka tam tikra elektronų ir skylučių koncentracija, išreiškiama (*) lygybe.

7.11. Priemaišinis puslaidininkių laidumas ( 25-tas klausimas ) Priemaišinis laidumas realizuojamas dalį kristalinės gardelės mazguose esančių atomų pakeitus didesnio arba mažesnio valentingumo kitų elementų atomais. 5 pav. pavaizduota kristalinė gardelė silicio, legiruoto penkiavalenčiu fosforu. Keturiais valentiniais elektronais fosforas sudaro kovalentines jungtis su kaimyniniais silicio atomais, penktasis elektronas lieka nepanaudotas. Normaliose temperatūrose jo šiluminio judėjimo energijos pakanka atskilti nuo atomo ir tapti laisvu. Skirtingai nuo savojo puslaidininkių laidumo nagrinėjamuoju atveju kovalentinė jungtis nenutrūksta ir skylutė neatsiranda. Nors netekęs elektrono priemaišos atomas turi nesukompensuotą teigiamąjį krūvį, bet šis krūvis susijęs su atomu ir kristale judėti negali. Žinoma, priemaišos

atomas gali pasigauti prie jo priartėjusį elektroną, bet dėl gardelės šiluminių svyravimų elektronas tuojau pat išsilaisvins. Taigi puslaidininkyje, legiruotame didesnio valentingumo priemaišomis yra tik vieno tipo judrieji krūvininkai – elektronai. Sakoma, kad tokio puslaidininkio laidumas yra elektroninis arba n-tipo, o tokį laidumą sukuriančios priemaišos – donorinės. Panagrinėkime laidumą, kai legiruojančios priemaišos valentingumas yra mažesnis. 6 pav. pavaizduota kristalinė gardelė silicio, legiruoto trivalenčiu boru. Trijų valentinių boro elektronų nepakanka jungtims su kaimyniniais silicio atomais sudaryti. Dėl to viena jungtis lieka neužpildyta ir bet kuriuo metu į ją gali patekti elektronas iš kaimyninės jungties. Elektronui užpildžius jungtį, jo buvusioje vietoje atsiranda skylutė, kurios padėtis vėlgi gali kisti, t.y. skylutė gali judėti kristalo tūryje. Priemaišos atomas, prisijungęs papildomą elektroną, turi nesukompensuotą neigiamąjį krūvį, tačiau pastarasis surištas su atomu ir srovės pernešime nedalyvauja. Taigi puslaidininkyje, legiruotame mažesnio valentingumo priemaišomis, taip pat yra tik vieno tipo judrieji krūvininkai – skylutės. Toks laidumas vadinamas skyliniu, pats puslaidininkis – p-tipo, o tokį laidumą sąlygojančios priemaišos – akceptorinėmis. Tiek donorinės, tiek akceptorinės priemaišos iškreipia gardelės elektrinį lauką, dėl ko kristalo draustinėje juostoje atsiranda priemaišiniai lygmenys. Fermio lygmuo n-tipo puslaidininkiuose yra viršutinėje draustinės juostos pusėje, p-tipo puslaidininkiuose – apatinėje draustinės juostos pusėje (7 pav.). Kylant temperatūrai, Fermio lygmuo abiejų tipų puslaidininkiuose pasislenka link draustinės juostos vidurio. Jeigu donoriniai lygmenys išsidėstę arti valentinės juostos viršaus ( o tai būna tada,kai penktasis valentinis elektronas stipriai susijęs su savo atomu ), tokių priemaišų įtaka puslaidininkio laidumui nežymi. Visai kitaip yra tada, kai donoriniai lygmenys arčiau laidumo juostos dugno (7a pav.). Šiuo atveju iš donorinio lygmens pereiti į laidumo juostą elektronui reikia žymiai mažiau energijos. Tokios energijos elektronas turi įprastose temperatūrose. Akceptorinės priemaišos ženklią įtaką laidumui daro tuomet, kuomet jų lygmenys yra netoli valentinės juostos viršaus (7b pav.). Iš valentinės juostos į akceptorinį lygmenį perėjus elektronui, valentinėje juostoje atsiranda skylutė. Keliant puslaidininkio temperatūrą, priemaišinių krūvininkų koncentracija greitai pasiekia soties vertę. tai reiškia, kad atsilaisvina praktiškai visi donoriniai lygmenys arba elektronais užsipildo visi akceptoriniai lygmenys ( p-tipo puslaidininkiuose ). Be to, kylant temperatūrai, vis labiau reiškiasi ir savasis laidumas, sąlygojamas elektronų šuolių iš valentinės į laidumo juostą.Žemų temperatūrų srityje vyrauja priemaišinis laidumas. 7.12. p-n sandūra Sakysime, sudaromas geras p ir n tipų puslaidininkių kontaktas. Pažymėsime, kad joks mechaninis sujungimas gero kontakto neužtikrina. Gerą kontaktą, pvz., galima gauti į n-tipo silicį įlydžius indį, kuris siliciui yra akceptorinė priemaiša. Trumpai aptarkime pn sandūroje vykstančius fizikinius procesus. Sakykime, n-tipo puslaidininkio išlaisvinimo darbas An, Fermio lygmuo WFn, p-tipo – atitinkamai Ap ir WFp (8 pav.). Elektronai iš n-tipo puslaidininkio difunduos į p-tipo puslaidininkį ( nes ten jų koncentracija maža ), skylutės – iš p į n. Elektronai p-tipo puslaidininkyje rekombinuoja su skylutėmis. Taip susidaro storio d2 nuskurdintas sluoksnis. n-tipo puslaidininkyje analogiškai susidaro nuskurdintas elektronais d1 storio sluoksnis. Tiek vienas, tiek antras nuskurdintieji sluoksniai įsielektrina ( a pav.). Susidaręs kontaktinis elektrinis laukas sustabdo tolimesnę laisvųjų krūvininkų difuziją, nusistovi dinaminė pusiausvyra, susilygina Fermio lygmenys. Kontaktinis elektrinis laukas išlenkia energetines juostas ( c pav.). Išlinkus juostoms, susikuria potencialo barjerai ( kaip elektronams, taip ir skylutėms ). Barjero aukštis [pic] priklauso nuo pradinio Fermio lygmenų n ir p puslaidininkiuose skirtumo. Nuskurdinto sluoksnio storis d siekia (10-6 – 10-7 ) m, kontaktinis potencialų skirtumas – dešimtąsias volto dalis. Tokį potencialų skirtumą krūvininkai galėtų įveikti tik esant kelių tūkstančių laipsnių temperatūroms,
įprastose temperatūrose toks kontaktas yra užtvarinis. Nuskurdinto sluoksnio storį galima reguliuoti išoriniu elektriniu lauku ( išorine įtampa ). Jeigu išorinio lauko kryptis sutampa su kontaktinio lauko kryptimi, atstojamojo lauko veikiami, tiek elektronai n- tipo puslaidininkyje, tiek skylutės p-tipo puslaidininkyje judės tolyn nuo kontakto ir nuskurdinto sluoksnio storis padidės (9 a pav.). Šiuo atveju sakoma, kad p-n sandūra į elektros grandinę įjungta nelaidžiąja ( atbuline ) kryptimi, nes elektros srovė sandūra praktiškai neteka ( paaiškinti, kas vis dėlto teka ). Jeigu išorinio lauko kryptis priešinga kontaktinio lauko krypčiai (9 b pav.), atstojamojo lauko veikiami tiek elektronai n-tipo puslaidininkyje, tiek skylutės p-tipo puslaidininkyje juda link kontakto. Dėl to nuskurdinto sluoksnio storis ir varža labai sumažėja. Taigi, šiuo atveju p-n sandūra elektros srovė teka, sandūra įjungta laidžiąja ( tiesiogine ) kryptimi. p-n sandūros voltamperinė charakteristika pavaizduota 10 pav. Kadangi tiesiogine kryptimi įjungtos sandūros nuskurdinto sluoksnio storis ir varža priklauso nuo įtampos, tokį jungimą atitinkanti voltamperinės charakteristikos dalis ( dešinioji ) yra netiesinė. Kadangi p-n sandūros varžos tiesiogine ir atbuline kryptimis labai skiriasi, tokia sandūra naudojama kintamajai srovei išlyginti (11 pav.). p-n sandūra yra dviejų elektrodų vakuuminės lempos – diodo – analogas. Dėl to puslaidininkiniai prietaisai, kurių pagrindas p-n sandūra taip pat vadinami diodais ( pakalbėti apie privalumus, trūkumus, skirtumus ).

[pic] [pic]

———————–1/2

1

[pic]

T>0K

W

fF(W)

fF(W)

W

[pic]

[pic]

1

1pav.

2p

3s

2s

1s

W

c)

Wl

ΔWg

Wv

W

b)

a)

2 pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

Wl

W

Wv

WF

3 pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

4 pav.

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

5 pav.

+P

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

6 pav.

-B

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

WF

7a pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

WF

7b pav.

Wl

ΔWg

Wv

W

8 pav.

c)

d2

d1

l.j.

v.j.

ΔWg

WFn

WFp

eUk

Ap

An

b)

v.j.

WFp

WFn

ΔWg

l.j

W0

[pic]

a)

––

++

p

n

9 pav.

I

b)

+

[pic]

[pic]

––

++

p

n

a)

+

[pic]

[pic]

––

++

p

n

10 pav.

I

U