Kieto kūno fizika

Kristalinės gardelės teorija

Kietųjų kūnų klasifikacija.

Kietieji kūnai dažniausiai klasifikuojami į kristalinius ir amorfinius. Tokį skirstymą sąlygoja lydymosi ir kristalizacijos ypatumai, įvairių fizinių savybių priklausomybė nuo krypties.
Kristaliniai kūnai turi griežtai apibrėžtą lydymosi temperatūrą. Tai reiškia, kad ryšių tarp dalelių nutraukimas vyksta griežtai apibrėžtame šiluminiame režime, ir temperatūra nekinta tol, kol visas kietasis kūnas neišsilydys. Amorfiniai kūnai šildomi minkštėja palaipsniui plačiame temperatūrų intervale. Ryšio energija tarp dalelių skirtinga, todėl amorfiniai kūnai neturi apibrėžtos lydymosi temperatūros.
Kristaliniams kūnams būdinga savybė – anizotropija,-įvairių mechaninių, fizinių, šiluminių savybių priklausomybė nuuo kristalografinių krypčių. Amorfiniai kūnai yra izotropiniai. Kristalų anizotropija apibūdinama vidinės struktūros ypatumais.
Kristaliniais vadiname tokius kūnus, kuriuos sudarantys atomai arba molekulės erdvėje išsidėstę tam tikra tvarka, dažnai vadinama tolimąja tvarka. Kristaliniai kūnai skirstomi į monokristalinius ir polikristalinius. Polikristalinius kūnus sudaro daugybė susijungusių, netaisyklingai orientuotų monokristalėlių.
Amorfiniais vadiname tokius kūnus, kurių atomai ir molekulės išsidėsčiusios netvarkingai, nors ir pastebimas tam tikras tvarkingas išsidėstymas, dažnai vadinamas artimąja tvarka.

Kristalinė gardelė.

Manyta, kad kristalą galima gauti kartotinai
dėstant tam tikrą struktūrinį elementą, kurį galima

palyginti su plyta. Krristalui augant, tokių struktūrinių

elementų prisijungimas vyksta taip, kad visa kristalo

forma lieka nepakitusi, o jis pats tik didėja. Dabar

žinome, kad tomis “plytomis” (struktūriniais elementais) yra atomai arba jų grupės. Vadinasi, kristalai yra sudaryti iš atomų arba jų grupių, periodiškai išsidėsčiusių erdvėje ir

r sudarančių taip vadinamą kristalinę gardelę.

Tobulą kristalą dabar įsivaizduojame kaip kūną sudarytą iš pasikartojančių erdvėje (dažnai begalinėje) tapačių struktūrinių elementų.

Taigi, kristalui būdingas erdvinis periodiškumas. Erdvinis periodiškumas nusakomas transliacijos simetrija. Todėl tobuląjį kristalą gausime pasirinkę tam tikrus 3 vektorius , , ir transliuodami jais atitinkamus struktūrinius elementus. Šiuos vektorius turime pasirinkti taip, kad stebėdami gardelės tašką, nusakomą padėties vektoriumi , neatskirtume nuo gardelės taško, nusakomo padėties vektoriumi ’, jeigu

’ = + n1 + n2 + n3 , (1)
čia n1, n2, n3 – bet kokie sveiki skaičiai; a1,a2,a3-koordinatės tam tikromis kryptimis.

Kiekvienam struktūriniam elementui priskiriame tašką, dažnai vadinamą mazgu. Visuma taškų, kurių išsidėstymas vienoje vietoje visiškai nesiskiria nuo išsidėstymo kitoje vietoje, sudarys tobuląją kristalinę gardelę.

Elementarioji kristalinė gardelė.

Vektoriai , , vadinami pagrindiniais transliacijos vektoriais arba gardelės periodu. Pasirinkta kryptimi jie yra trumpiausi transliacijos vektoriai, bet jų paasirinkimas neapibrėžtas, t.y. absoliutinius didumus ir kryptis galime pasirinkti laisvai. Vektorius , , pasirenkame taip, kad jie būtų nukreipti pagal dešiniosios koordinačių sistemos teigiamas x, y, z ašis.
Gretasienis, kurio kraštinės yra , , ,vadinamas elementariąja gardele. Kadangi vektorių , , pasirinkimas neapibrėžtas, tai ir elementariosios gardelės forma bei dydis gali būti įvairūs. Elementariosios gardelės tūris randamas pagal sąryšį:
V0 = [ ] . (2)

Pasirinkus atitinkamą elementariąją gardelę ir atlikus transliaciją vektoriumi , galime gauti visą tobuląją kristalinę gardelę. Vektorius vadinamas trimatės gardelės transliacijos periodu ir yra apibrėžiamas taip:

= n1 + n2 +
+ n3 . (3)

Kristalinės gardelės transliacijos vektorius suriša bet kuriuos du gardelės mazgus.

Paprastoji arba primityvioji kristalinė gardelė (narvelis).

Jeigu gardelės mazgai yra tik elementariosios gardelės viršūnėse, tai tokia gardelė vadinama paprastąja arba primityviąja gardele. Elementariosios gardelės tūris yra mažiausias. Vadinasi, primityvioji arba paprastoji gardelė yra mažiausio tūrio elementarioji gardelė. Kiekvienai paprastajai gardelei tenka vienas mazgas, nors kiekvienoje gretasienio viršūnėje yra toks mazgas. Taip yra todėl, kad šis mazgas priklauso 8 kaimyninėms gardelėms.

Vadinasi, paprastojoje gardelėje yra tik vienas mazgas. Visi tobulosios gardelės mazgai yra ekvivalentiški ir atliekant transliaciją bet kuris gardelės mazgas gali būti sutapatintas su visais kitais mazgais.

Kristalinė struktūra.

Kiekvienam kristalinės gardelės mazgui priskiriame atomą arba jų grupę. Tą grupę vadiname baze. Tokiu būdu realų kristalą mintyse suskaldome į grupes, kurių vienoda sudėtis, išsidėstymas, simetrija ir kurių centrai kristalinėje gardelėje sutapatinami su mazgais.

Daugelio kristalų bazę sudaro vienas atomas.

Centruotos ir necentruotos kristalinės gardelės.

Elementariosios gardelės centravimo požiūriu skirstomos į: paprastąsias (necentruotas), centruoto paviršiaus, centruoto tūrio ir centruotų pagrindų.

1. Paprastoji (necentruota) gardelė – tai gardelė, kurios mazgai yra atitinkamų geometrinių figūrų kampuose. Dažnai žymimos P. Paprastajai gardelei tenka vienas mazgas.

2. Centruoto paviršiaus gardelė – tai gardelė, kurios mazgai yra atitinkamų geometrinių figūrų kampuose bei išorinių sienelių viduryje.Tokiai elementariajai gardelei tenka ne vienas, o daugiau mazgų. Ji žymima raide F.

3. Centruoto tūrio gardelė – tai ga

ardelė, kurios mazgai yra atitinkamų geometrinių figūrų kampuose bei vienas mazgas gardelės centre. Tokios rūšies elementariajai gardelei tenka 2 mazgai. Centruoto tūrio elementarioji gardelė žymima I.

4. Centruotų pagrindų gardelė – tai gardelė, kurios mazgai yra geometrinių figūrų kampuose bei pagrindų centruose. Šios rūšies elementariosios gardelės žymimos C.
Elementariajai gardelei priklausančių struktūrinių elementų skaičius nustatomas pagal tokią formulę:
Z = NP/8 + NF/2 + NI ,
čia NP – struktūrinių elementų skaičius geometrinės figūros kampuose,

NF – paviršiuose,

NI – tūryje.

Elementariųjų gardelių klasifikacija

Elementariųjų gardelių pavidalas priklauso nuo vektorių , , modulių ir kampų tarp jų 12, 13, ir 23 .
Dažnai tos figūros sutampa su paprastosiomis gardelėmis. Pareikalavus, kad erdvinė gardelė turėtų bent vieną taškinės grupės simetrijos elementą, elementariųjų gardelių skaičius ribojamas. 1848 m. Bravė (A. Bravais) įrodė, kad gali būti 14 skirtingų simetrijos požymių, t.y. 14 skirtingų erdvinių simetrijos grupių. Ši klasifikacija nėra vienareikšmė ir vienintelė, tačiau ji atitinka praktinius kristalografijos poreikius ir dabar yra visuotinai priimtina. Priklausomai nuo gardelės tipo, kristalai skirstomi į 7 kristalografines sistemas, kurios dar vadinamos singonijomis. Tokie gretasieniai gali turėti ne tik po vieną struktūrinį elementą, bet jie gali būti centruotais ir nesutapti su primityviosiomis gardelėmis. Tokių gardelių gali būti dar 7.
Tokiu būdu turėsime 7 singonijas ir 14 elementariųjų gardelių.
Visose Bravės gardelėse galima sudaryti paprastąsias gardeles. Dažnai literatūroje Bravės gretasienis vadinamas elementariąja gardele. Kristalo gardelėje visuomet galima sukonstruoti paprastąją gardelę.

Kristalų simetrija
Kristalinės gardelės ir

r kristalinės struktūros charakterizuojamos simetrija. Kokią nors simetriją sudaro tam tikri elementai: plokštumos, atkarpos, taškai ir kt. Šie elementai atitinka tam tikroms operacijoms, kurias atlikus nagrinėjamas objektas palieka invariantiniu.
Simetrija yra ypatingai svarbi ir lemia daugelį kristalo savybių. Mes jau minėjome, kad kristalams būdinga transliacijos simetrija (periodiškumas). Visas simetrijos operacijas galima sugrupuoti į simetrijos grupes. Simetrijos grupės, į kurias įeina tik sukimas, atspindys, inversija ir šių operacijų deriniai, bet neįeina slinkimas, vadinamos taškinėmis simetrijos grupėmis.
Konkrečiau panagrinėsime taškinės simetrijos grupės operacijas.
1. Sukimas – kai kristalinę gardelę sukant tam tikru kampu apie pasirinktą ašį, ji lieka invariantinė, t.y. būsenos prieš sukant ir pasukus simetrijos požiūriu atskirti negalime.
Išskiriamos sukimo ašys, apie kurias sukama. Tarkim, pasukus kristalą apie tam tikrą ašį kampu , jis vėl grįžta į pradinę padėtį. Tokia ašis yra simetrijos elementas ir vadinama n-osios eilės simetrijos ašimi.
Sukimo ašys dažniausiai būna 2, 3, 4, 6 eilės.
Sukimo operacijos simetrijos elementas žymimas Cn , čia n – parodo eilę.

C1 , t.y. , kai gardelė pasukta 360o lieka invariantine,
C2 – 180o,
C3 – 120o,
C4 – 90o,
C6 – 60o.

C – bet kokiu kampu; C simetrijos elementą turi ritinys.

2. Veidrodinis atspindys – kai kurios nors plokštumos atžvilgiu elementariosios gardelės mazgų veidrodinis atspindys palieka gardelę invariantine.
Veidrodinis atspindys žymimas . Veidrodinis atspindys atžvilgiu plokštumos, statmenos atitinkamos eilės sukimosi ašiai, žymimas n, o atspindys atžvilgiu plokštumos, kurioje yra minima ašis, žymima d.

3. Inversija – kai kiekvienas elementariosios gardelės mazgas nusakytas padėties vektoriumi , yra neatskiriamas nuo mazgo, nusakyto padėties vektoriumi – . Tai yra gardelės mazgus, nusakomus , pervedus į padėtis – , elementarioji gardelė lieka invariantinė. Šis simetrijos elementas vadinamas simetrijos centru.
4. Sudėtingi posūkiai – tai posūkiai plius inversija; posūkiai plius veidrodinis atspindys ir kt.
Kristalų klasifikacija pagal cheminio ryšio tipą
Cheminis ryšys ir jo energija. Kristalą sudaro tarpusavyje sąveikaujančios dalelės: atomai, jonai, molekulės. Šių dalelių suardymo energija žymiai didesnė už tarpusavio traukos energiją. O dalelių tarpusavio traukos energija yra didesnė už dalelių vidutinę šiluminio judėjimo energiją – kitaip kristalas išsilydytų arba net sublimuotų.
Ypač svarbus labiausiai nutolusių nuo branduolio valentinių elektronų ir branduolių su likusiais elektronais pasiskirstymas. Todėl, nagrinėjant vienos ar kitos rūšies kristalus, tenka išsiaiškinti šį persiskirstymą kristaliniuose kūnuose ir jo įtaką šių kūnų pavidalui bei fizinėms savybėms.
Sąveika tarp atomų didžiąja dalimi yra elektroninės prigimties. Norint elektrostatinėmis jėgomis tarp valentinių elektronų ir atomo likučių sudaryti kietąjį kūną, reikia, kad būtų išpildytos šios sąlygos:
1) Teigiami atomų likučiai turi būti taip nutolę vienas nuo kito, kad tarp jų būtų kuo mažesnės kuloninės stūmos jėgos.
2) Valentiniai elektronai irgi dėl kuloninių jėgų turi judėti taip, kad tarp jų būtų kuo mažesnės stūmos jėgos.
3) Tuo tarpu valentiniai elektronai ir teigiami atomo jonai turi būti išsidėstę kuo arčiau, kad tarp jų būtų maksimalios traukos jėgos.
Esant šioms sąlygoms, sistemos potencinė energija gali mažėti, bet taip, kad kinetinės sistemos energija didėtų kuo mažiau.

Kristale sudarę stabilų ryšį tarp atomų, mes pastebime, kad pilna kristalo energija Ekr (potencinė Ep + kinetinė EK) yra mažesnė už pilną atskirų atomų Eat energiją
Ekr < Eat.
Šių energijų skirtumas duoda taip vadinamąją cheminio ryšio arba tiesiog ryšio energiją Eryš.

Eat – Ekr = Eryš.

Patogu įvesti ryšio energiją vienam atomui:

. (1)
Kristaliniai kūnai pagal būvius skirstomi į kietuosius, skystuosius ir dujinius.
Kietieji kristaliniai kūnai pagal vyraujančius ryšius kristaluose skirstomi į :

joninius, kovalentinius, molekulinius (inertinių dujų), metalinius, vandenilinius.

Tarp kristalo struktūrinių dalelių vienu metu veikia traukos ir stūmos jėgos.

Prisiminkime paprasčiausią dviejų atomų atvejį. Nesąveikaujančių atomų potencinę energiją laikome lygia 0, tuomet dėl traukos ji yra neigiama, o dėl stūmos – teigiama.
U = 0, kai R = , t.y. atomai neveikia vienas kito.
Pilna kristalo potencinė energija yra dviejų dedamųjų suma: teigiamos Ust stūmos ir neigiamos Utr traukos. Didesniuose atstumuose, t.y. nesąveikaujančių atomų potencinė energija lygi nuliui.

Joniniai kristalai.

Joninio ryšio atveju traukos jėgos yra kuloninės elektrostatinės jėgos tarp skirtingo ženklo jonų. Toks ryšys dar vadinamas heteropoliniu. Kai elementų elektrinių neigiamumų skirtumas didelis, elementas, kurio elektrinis neigiamumas didesnis, prisitraukia ne tik savo, bet ir gretimo atomo išorinius elektronus. Todėl jis virsta neigiamuoju jonu, o metalo atomas, praradęs išorinius elektronus, virsta teigiamuoju jonu.
Susidarant tokiai molekulei, pavyzdžiui NaC, vienintelis Na valentinis elektronas pereina į C atomą, kuriam kaip tik trūksta vieno elektrono, kad užpildyti 3p grupę.

(Prisiminkime, kad ZNa = 11 = 2+8+1; ZCl = 17 = 2+8+7;
elektronų konfigūracija: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 ir t.t.)
Tokiu būdu susidaro du jonai Na+ ir C- , kurie traukia vienas kitą. Toks elektronų perėjimas vyksta todėl, kad jis energetiniu požiūriu yra naudingas, nes bendra molekulės energija tarp Na+ ir C- jonų yra mažesnė negu neutralių Na ir C atomų.

Dideliuose atstumuose jonų sąveiką galima nagrinėti kaip taškinių krūvių sąveiką ir laikyti, kad traukos energija proporcinga .

Kai R maži turi atsirasti stūmos jėgos. Jas sąlygoja, kad elektroniniai sluoksniai persikloja ir kad vienodo krūvio branduoliai stumia vienas kitą. Daugeliu atveju galima teigti, kad stūmos jėga atvirkščiai proporcinga atstumui tarp atomų kažkokiame laipsnyje m, t.y. Ust ; čia a ir m – koeficientai, charakterizuojantys stūmos jėgas.
Pilną sąveikos energiją galime išreikšti:
U = ;
čia b – koeficientas, apibūdinantis traukos jėgas.
Kai m>1 turime 2 kreivę. Joninius kristalus dažniausiai sudaro metalai ir halogenai. Metalai greitai jonizuojasi, nes jų valentiniai elektronai silpnai sąveikauja su branduoliu. Todėl gauname teigiamus jonus. Metalų valentiniai elektronai sąveikauja su halogenais. Jei halogenams trūksta tiek pat elektronų iki pilno sluoksnio užpildymo, jie prisitraukia juos, tapdami neigiamais jonais.

Stūmos jėgos, palyginus su traukos jėgomis, yra daug mažesnės.
Joniniuose kristaluose laisvų krūvio nešėjų nėra, nes išorinių elektronų sluoksniai yra pilnai užpildyti, o tokių atomų visi elektronai pakankamai stipriai sąveikauja su branduoliu. Todėl joniniai kristalai turėtų būti geri izoliatoriai. Tačiau didinat temperatūrą, jonai kristale pradeda difunduoti, todėl pastebimas joninis laidumas.

Kovalentiniai kristalai.

Kovalentiniai kristalai dar vadinami atominiais kristalais, kadangi tokių kristalų gardelės mazguose yra neutralūs atomai. Ryšio jėgos tarp atomų taip pat elektrinės. Jas paaiškina tik kvantinė mechanika. Kovalentinio ryšio esmė ta, kad valentiniai elektronai, kurie turėtų būti sferiškai pasiskirstę aplink kiekvieną atomą, tampa bendri abiem kaimyniniams atomams. Todėl srityse, kuriose yra atomų branduoliai, yra teigiamas perteklinis krūvis, o neigiamas perteklinis krūvis yra pasiskirstęs tiesėje, jungiančioje tuos atomus.

Cheminis ryšys, kai jungdamiesi atomai sudaro vieną bendrą elektronų porą, skriejančią apie abu branduolius, vadinamas kovalentiniu.

Kovalentinio ryšio energija – tai energija, kuri suvartojama molekulę suardant du izoliuotus atomus. Ji dar vadinama disociacijos energija.

Klasikiniu kovalentinio ryšio pavyzdžiu yra vandenilio molekulė.

H2 +Eryšio 2H; čia Eryšio 4,46 eV, arba 435 kJ/mol.

Klasikiniu atveju U(R) visada teigiama ir didėja, mažėjant R. Tuo būdu, visuomet turime dviejų vandenilio atomų atostūmį. Todėl klasikiniu požiūriu H2 molekulės egzistavimas nepaaiškinamas.

Visiškai kitokį rezultatą gauname kvantinėje mechanikoje. Dėl elektronų savitų ypatumų vidutinė kuloninė sąveikos energija gali būti ir neigiama. Ją galima įsivaizduoti, kaip dviejų narių sumą, iš kurių vienas yra klasikinio pobūdžio ( ir visuomet teigiamas), kitas turi skirtingus ženklus ir skirtingą dydį, priklausomai nuo elektronų sukinių orientacijos. Tą kitą narį vadiname pamainine energija.

Kaip rodo skaičiavimai, jei elektrono sukiniai yra lygiagretūs, t.y mažėjant atstumui tarp H atomų sistemos energija didėja.

Šiuo atveju neigiamas krūvis lokalizuotas prie kiekvieno iš branduolių. Sąveikos energija visuomet teigiama, du H atomai tokioje būsenoje stumiami. Molekulė negalima.
Jei sukiniai antilygiagretūs, tai U(r) yra 2 kreivės pavidalo. U(R) turi minimumą, kuris paaiškina, kad galima stabili molekulė H2.
Kovalentiniai kristalai turėtų būti geri izoliatoriai, nes kiekvienas valentinis elektronas sudaro ryšį, todėl negali judėti po visą kristalą. Iš tikrųjų, daugelis labai grynų kovalentinių kristalų yra izoliatoriai. Tačiau tokie kristalai, kaip Ge, Si ir kt., yra puslaidininkiai, nes turi tam tikrą priemaišų kiekį. Kovalentiniai kristalai yra diamagnetikai, nes sukiniai orientuoti priešingai.
Kovalentiniame ryšyje dalyvauja elektronų poros. Tai reiškia, kad ryšyje tarp dviejų atomų, dalyvauja po vieną elektroną nuo kiekvieno atomo. Šiame ryšyje dalyvauja tik valentiniai elektronai, t. y. mažiausiai surišti su atomais elektronai.
Kadangi kiekvienas elektronas gali sudaryti ryšį tik su vienu atomu, tai ryšių skaičius, kuriuose gali dalyvauti kiekvienas atomas, nusakomas atomo valentingumu.
Molekuliniai (inertinių dujų) kristalai.
Molekuliniuose kristaluose gardelės mazguose yra molekulės arba neutralūs atomai. Tarp tų atomų, esančių atstumu R vienas nuo kito, atsiranda silpna fliuktuacinė – dipolinė trauka.
Nagrinėjant realiųjų dujų nukrypimą nuo tobulųjų, buvo pastebėta, kad tarp neutralių atomų, net kai visai nėra kovalentinių jėgų, atsiranda traukos jėgos, kurios labai greitai mažėja, didėjant R. Šių, taip vadinamų Van-der-Valso jėgų (dispersinių jėgų) kilmė yra taip pat kvantmechaninė.
Van-der-Valso jėgos tipiniuose puslaidininkiuose sudaro nykstamai mažą dalį palyginus su kitomis cheminio ryšio jėgomis (0,1 eV vienai molekulei).
Šiuo atveju potencinė energija lygi:

,
čia C – sąveiką charakterizuojantis koeficientas
Molekuliniai kristalai turi žemą lydymosi temperatūrą ir didelį spūdumą. Tai apsprendžia silpnas ryšys (Van-der-Valso jėgos).
Vandeniliniai kristalai.
Vandenilinis ryšys šiek tiek stipresnis už Van-der-Valso. Kristalų ryšio energija su vandeniliniu ryšiu 0,5 eV vienai molekulei. Tačiau šis ryšys visa eile silpnesnis už kovalentinį ryšį.
Vandenilinį ryšį apibūdina tai, kad vandenilio elektronas sudaro ryšį su vienu atomu, o likęs protonas su kitu atomu. Kai vandenilis chemiškai susijungia su elementu, kurio elektrinis neigiamumas labai didelis, jis praranda elektronus ir tampa beveik pliku branduoliu, įgydamas unikalių savybių: jį traukia kitų atomų elektroniniai apvalkalai. Dėl to vandenilio atomas būna surištas su dviem atomais.
Metališkieji kristalai.
Apie 80% cheminių elementų yra metalai. Metalų atomai išoriniame elektronų lygmenyje turi 1–2 elektronus ir daug tuščių orbitalių. Juose joniniai ryšiai nesusidaro, nes visi atomai yra vienodi. Kovalentiniai ryšiai taip pat nesusidaro, nes metalų atomai turi per mažai elektronų, kuriems susiporavus įgytų inertinių dujų apvalkalą. Metališkąjį ryšį apibūdina tai, kad valentiniai elektronai tampa laisvi ir bendri visiems atomams. Tokiu būdu, teigiami jonai (atomai be valentinių elektronų) yra tarsi panardinti į vienalytes “elektronines” dujas. Paprasčiausiu atveju, jonai nagrinėjami kaip taškiniai krūviai, lokalizuoti gardelės mazguose, o laidumo elektronai – kaip pastovus vienalytis neigiamo krūvio fonas. Elektronines dujas sudarantys išoriniai elektronai gali laisvai judėti elektriniame lauke, todėl jie vadinami laisvaisiais elektronais. Sąveika tarp teigiamų jonų ir laidumo elektronų sudaro metališkąjį ryšį.
Metališkasis ryšys – tai visiškai delokalizuotas ir todėl praradęs orientaciją kovalentinis ryšys.
Elektriniame lauke išorinių elektronų judėjimas nuo vieno atomo prie kito (tokiam perėjimui reikia tik 10-19 eV energijos) pasidaro kryptingas, ir elektronai perneša srovę.
Kadangi delokalizuotas metališkasis ryšys neturi apibrėžtos orientacijos, daugumos metalų kristalinės gardelės susidaro pagal glaudžiausio rutuliukų supakavimo principą, taip susidaro kubinė centruoto tūrio ar centruotų pagrindų arba heksagoninė gardelė.
Metališkojo ryšio sąveikos energija yra daug mažesnė už joninio arba kovalentinio ryšio sąveikos energiją. Metaluose laisvų elektronų koncentracija yra labai didelė. Todėl metalai yra geri elektros srovės laidininkai. Metaluose valentiniai elektronai vadinami laidumo elektronais.

Priklausomai nuo kristalo struktūros ir cheminio ryšio tipo sąveikos jėgos tarp atomų gali būti skirtingos. Ryšio stiprumas apibūdinamas energija, kurios reikia norint kristalą suardyti į atskirus atomus. Ši energija vadinama ryšio energija.
Didžiausią ryšio energiją turi kovalentiniai ir joniniai kristalai. Ryšio energija apibūdina pagrindines fizines kristalų savybes: lydymosi temperatūrą, mechaninį kristalų atsparumą, kietumą ir t.t.
Skystieji kristalai.
Skystuosius kristalus galėtume vadinti anizotropiniu skysčiu, nes, visų pirma, tai skystis, pasižymintis anizotropinėmis savybėmis. Tai tarpinė fazė tarp kietojo kristalo ir izotropinio skysčio.
Sąveika tarp skystojo kristalo molekulių didžiąja dalimi nusakoma Van-der-Valso jėgomis.
Skystieji kristalai pagal jų gavimo būdus skirstomi į termotropinius ir liotropinius.
Termotropiniai skystieji kristalai gaunami iš izotropinio skysčio, mažinant temperatūrą arba iš kietojo kristalo didinant temperatūrą. Termotropiniai kristalai pagal savo struktūrą skirstomi į nematinius ir cholesterinius arba smegtinius.

Liotropiniai skystieji kristalai gaunami tirpinant kietąjį kristalą tirpiklyje.
Manoma, kad gyvojo organizmo kai kurios dalys yra artimos liotropiniams skystiesiems kristalams.
Dujiniai kristalai .

Tai anizotropinės dujos. Nors būvis yra dujinis, bet molekulės išsidėsčiusios tam tikra tvarka, kuri sąlygoja dujų anizotropines savybes. Dujiniai kristalai dar labai mažai ištirti.
Kristalų defektai
Tobulųjų kristalų, kurių visi atomai būtų su minimalia energija, praktiškai neegzistuoja. Nukrypimai nuo tobulosios gardelės vadinami defektais. Jie gali būti laikinieji ir pastovūs.
Laikinieji defektai atsiranda, kai kristalą paveikiame mechaniškai, šiluminiais ir elektromagnetiniais svyravimais ir t.t.
Pastovūs netobulumai – tai
• taškiniai defektai – tarpmazginiai atomai, vakansijos, priemaišos atomai;
• linijiniai defektai – kraštinės ir sraigtinės dislokacijos;
• plokštuminiai (dvimačiai) defektai – išoriniai, nes kristalas yra baigtinio didumo, ir vidiniai – tai kristalo sričių, pasuktų viena kitos atžvilgiu, ribos, kristalitų ribos;
• tūriniai (trimačiai) defektai arba makroskopiniai netobulumai – uždaros ir atviros poros, įtrūkimai, kiaurymės, kitos medžiagos intarpai.
Struktūriniai netobulumai gali žymiai pakeisti daugelį kristalų fizinių savybių.
Taškiniai defektai.
Tai gardelės šiluminiai svyravimai, kurie egzistuoja kristaluose esant bet kokioms temperatūroms. Esant bet kokioms temperatūroms gardelėje visuomet atsiras atomai, kurių energija žymiai didesnė už vidutinę gardelės energiją. Tokie atomai gali palikti savo mazgus ir pereiti į tarpmazgį. Atsiranda iškart du defektai: vakansija ir tarpmazginis atomas. Judėdamas tarpmazgiais atomas gali nueiti toli nuo savo buvusių kaimynų ir praktiškai su jais nebesąveikauti.

Tokie taškiniai defektai, kai yra vakansija ir šalia tarpmazginis atomas vadinami Frenkelio defektais.

Dalis atomų, palikusių savo vietas, gali pereiti į kristalo paviršių, sudarant naują atomų sluoksnį. Likusios kristale vakansijos vadinamos Šotki defektais.

Pačios vakansijos ir tarpmazginiai atomai pakeičia šalia šių defektų esančių atomų energetinę padėtį.

Galimi radiaciniai taškiniai defektai. Jie atsiranda apšaudant kristalą didelės energijos dalelių srautu. Nutraukus švitinimą, radiaciniai defektai rekombinuoja. Todėl jie vadinami nepusiausvyraisiais defektais.
Priemaišiniai defektai.
Ypač žymiai puslaidininkių savybes keičia priemaišiniai defektai. Priemaišiniai atomai apsprendžia puslaidininkių laidumo tipą ir dydį, daro įtaką krūvio nešėjų judrumui ir gyvavimo trukmei. Priemaišos atomai gali būti išsidėstę gardelės mazguose ir gali būti tarpmazgiuose.
Jei priemaišos atomas pakeičia kristalo pagrindinį atomą gardelės mazge, jis vadinamas pakeitimo priemaiša.
Jei priemaišos atomas yra gardelės tarpmazgyje – jis vadinamas įterptine priemaiša.
Kurią iš šių vietų (gardelės mazguose ar tarpmazgiuose) užims priemaišos atomas, t.y bus pakeitimo ar įterptinė priemaiša, priklauso nuo dviejų faktorių: geometrinio ir elektrocheminio.
Elektrocheminis faktorius. Priemaišos atomai užima kristalo atomo vietą gardelėje, jeigu tie atomai yra elektrochemiškai panašūs. Elektrocheminio faktoriaus kiekybiniu matu gali būti priemaišos ir kristalo atomų elektroneigiamumų X skirtumas. Elektroneigiamumas charakterizuoja atomo gebėjimą pritraukti valentinius elektronus.
Esant dideliam X skirtumui, kovalentinis ryšio pobūdis silpnėja, įgydamas joninio ryšio savybių.
Pažiūrėkime, kaip keičiasi elektronų energetinis spektras kristale, atsiradus pakeitimo priemaišos atomams Si gardelėje.
Šioje gardelėje kiekvienas Si atomas sudaro kovalentinius ryšius su keturiais gretimais Si atomais. Kovalentinio ryšio atveju gretimų atomų valentiniai elektronai sudaro elektronų porą. Tokioje gardelėje vieną atomą pakeitus penkiavalenčiu atomu, keturi priemaišos valentiniai elektronai sudarys kovalentinius ryšius Si atomais, o penktajam elektronui nebeliks vietos užpildytoje valentinėje juostoje. Todėl šis elektronas bus arba draustinėje arba laidumo juostoje. Kad jis patektų į laidumo juostą, priemaišos atomą reikia jonizuoti, o tam reikia jonizacijos energijos Ed. Tuo būdu, priemaišos penkiavalenčių atomų elektronų lygmenys yra draustinėje juostoje arti laidumo juostos dugno. Tai donoriniai lygmenys.
Jei pakeitimo priemaiša yra trivalentis atomas, tai stabiliam ryšiui su gretimais 4 Si atomais sudaryti trūksta vieno elektrono. Šį elektroną priemaišos atomas gali užgrobti iš valentinės juostos, kurioje atsiras skylė. III-valentės priemaišos atveju gauname, kad energetiniai lygmenys yra arti valentinės juostos viršutinio krašto ir vadinami akceptoriniais lygmenimis.
Tokiu būdu, pakeitimo priemaišos atomai puslaidininkio draustinėje juostoje sudaro lokalizuotus lygmenis, kurie didesnio valentingumo, lyginant su gardelės atomais, atveju yra donorinio, o mažesnio valentingumo atveju – akceptorinio pobūdžio.
Dislokacijos.
Mechaniškai arba termiškai apdorojant kristalą atsiranda dislokacijos – dėsningi poslinkiai.
Dislokacijos daro įtaką kristalų augimui, mechaninių įtempimų atsiradimui. Be to dislokacijos būna rekombinacijos bei generacijos centrai, o išsklaidyti elektronai didina varžą, vadinasi daro įtaką elektriniam laidumui.
Išskiriamos kraštinės ir sraigtinės dislokacijos.
Kraštinės dislokacijos atsiranda kristalą veikiant šlyties deformacija. Dėl šlyties atominiame sluoksnyje, esančiame šlyties plokštumoje, būna vienu atomu daugiau negu sluoksnyje, esančiame po šlyties plokštuma.
Tuo būdu viršutinėje kristalo dalyje atsiranda papildoma atomų plokštuma, kurios riba ir yra dislokacija. Dislokacija žymima .

Sraigtinė dislokacija atsiranda esant slydimui, kuris vyksta lygiagrečiai dislokacijos linijai. Čia nėra papildomos atomų eilės: prie sukimo ašies atomų eilės “pakeičia kaimynus” – priartėja prie eilių, esančių vienu sluoksniu žemiau.

Kristalų struktūrinės analizės metodai
Plokštumų nusakymas kristale
Nuo puslaidininkinių plokštelių kristalografinės orientacijos priklauso tokie technologiniai parametrai, kaip ėsdinimo, difuzijos ir oksidavimo greitis, oksido sluoksnio struktūra ir ypatybės. Šie parametrai apsprendžia p-n sandūros savybes ir geometriją. Siekiant gauti plokšteles su norima orientacija, būtina prieš pjaustant kristalą nustatyti pagrindinių kristalografinių plokštumų padėtį.
Plokštumos orientacija apibūdinama dydžiais, atvirkščiais atkarpoms, kurias ta plokštuma atkerta kristalografinėse ašyse. Šie dydžiai vadinami Milerio indeksais, kurie žymimi (h k ).
Taigi Milerio indeksai nusako plokštumų orientaciją erdvėje ir jų kryptis.
Pavyzdžiui, jei kurioje nors kristalografinių ašių sistemoje trijų atomų koordinatės yra (4, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2), tai nurodyta plokštuma charakterizuojama skaičiais 4, 1, 2. Šios plokštumos Milerio indeksai nusakomi taip:
1. Užrašome taškų, kuriuose duotoji plokštuma kerta pagrindines koordinačių ašis, koordinates gardelės konstantų kartotiniais skaičiais, t.y.
m1a1, m2a2, m3a3, čia m1 = 4, m2 = 1, m3 = 2.
2. Užrašome m1, m2, m3 atvirkštines vertes taip, kad būtų mažiausi kartotiniai sveiki skaičiai, ir pažymime jas (h k l):
h : k : l = 1/m1 : 1/m2 : 1/m3.
Duotąjai plokštumai atvirkštiniai skaičiai bus 1/4, 1, 1/2. Gauname, kad šios plokštumos Milerio indeksai bus (1 4 2).

Jei plokštuma kerta ašis neigiamų verčių srityje, tai tie indeksai bus neigiami ir žymimi ( ).
Plokštuma esanti lygiagreti kuriai nors ašiai atkerta m = atkarpą, todėl Milerio indeksas lygus 0 ( ).
Milerio indeksai žymi padėtį ne vienos kurios nors konkrečios plokštumos, bet visos šeimos lygiagrečių atominių plokštumų, kurios išsidėsčiusios viename tarpatominiame atstume.
Žinant plokštumos Milerio indeksus galima apskaičiuoti atstumą d tarp gretimų kristalogarfinių plokštumų. Kubinei gardelei:

, čia a – kubinės gardelės konstanta.
Plokštumos sanglaudos koeficientas f(hkl) lygus atomų, kaip kietų rutuliukų, priklausančių tai plokštumai skaičiaus santykiui su tos plokštumos plotu:

f(hkl) = Z(hkl)/S(hkl).
Puslaidininkių fizinės savybės apsprendžiamos ir kitu parametru – sanglaudos laipsniu. Elementariosios gardelės sanglaudos laipsnis f lygus atomų, kaip kietų rutuliukų, esančių elementariojoje gardelėje užimamo tūrio santykis su tos elementariosios gardelės tūriu:

,
čia Z – elementariajai gardelei priklausančių atomų skaičius;

r0 – atomo spindulys, lygus pusei atstumo tarp artimiausių atomų;

V0 – elementariosios gardelės tūris.

Brego dėsnis

Tiriant kristalinę gardelę, naudojama įvairių bangų (rentgeno, elektronų, neutronų) difrakcija. Šio reiškinio esmė trumpai tokia.

Krintantis atitinkamų bangų srautas sąveikauja su gardele ir difraguoja. Kampas, kuriuo atsilenkia šis srautas po difrakcijos, sąlygojamas kristalinės gardelės struktūra ir krintančios bangos ilgiu. Krintantis srautas dalinai atsispindi nuo įvairių atomų plokštumų. Bet difraguojantys srautai pastebimi tik tuo atveju, kai srautai, atsisipindėję nuo lygiagrečių plokštumų, pastebimai interferuoja.

bangos ilgio srautas, krentantis kampu į dvi lygiagrečias atomų plokštumas nutolusias viena nuo kitos atstumu d, atsispindi nuo jų.

Eigos skirtumas tarp srauto, atsispindėjusio nuo I-os ir II-os plokštumų bus lygus:

= 2 d sin.

Atsisipindėjęs srautas bus maksimalus, kai
k = 2n,
čia k = 2/ – banginis skaičius.
Ši lygybė gaunama užsiklojant dviems bangoms, kurių banginis vektorius k ir kurių eigos skirtumas:

,
Iš čia seka taip vadinamas Brego dėsnis:
2 d sin = n ,

čia n- sveikas bangos ilgių skaičius.

Brego atspindys stebimas tik bangos ilgiams 2d .
Tai seka iš Brego dėsnio.

Difrakcija paremti eksperimentiniai kristalų struktūrinės analizės metodai
Pagal Brego dėsnį, pakankamo intensyvumo atspindžiui būtini tam tikri apribojimai kampams ir bangos ilgiams . Todėl ir bangos ilgio Rentgeno spinduliai, krintantys į kristalą bet kokiu kampu, nedifraguos. Tam reikės parinkti atitinkamus ar . Dažniausiai imamas tam tikras ir parenkamas apibrėžtas , kuris sąlygos difrakciją. Kristalų struktūrinėje analizėje plačiausiai naudojami trys pagrindiniai Rentgeno struktūrinės analizės metodai, kurie gali turėti ir tam tikras modifikacijas. Šie trys metodai yra vadinami: 1) Lavės; 2) kristalo sukimo ir 3) miltelių.Rentgenogramų linijų išplitimas apibūdina koherentinės sklaidos sritis, gardelės mikroįtempimus. Šiais metodais gaunama informacija apie kristalinių kūnų struktūrą bei jos pažeidimus.
Lavės metodas.

Mokslininkas Lauje tam tikros sitemos pagalba pirmasis atliko eksperimentą. Lauje metode naudojamas tolydinis rentgeno spindulių srautas. Fotoimtuvas, dažniausiai fotoplokštelė, užfiksuoja difrakcinį vaizdą.

Difrakcinis vaizdas gaunamas įvairaus didumo, ryškumo ir išdėstymo dėmių pavidale. Gautos laujegramos dešifruojamos pagal dėmių padėtį ir intensyvumą.
Nustatoma: 1) kristalų simetrija, elementariosios gardelės konstanta ir tipas; 2) atomų skaičius elementariojoje gardelėje, jų koordinatės. Po to modeliuojamas kristalas.
Kristalo sukimo metodas.
Foto juostelė patalpinama cilindro viduje. Krentantis monochromatinių rentgeno spindulių srautas į besisukantį monokristalą visą laiką atsispindi nuo tam tikrų atomų plokštumų. Kai pasiekiamas toks kampas , kad galioja Brego dėsnis, gauname interferencinį vaizdą.

Miltelių metodas.
Monochromatinių rentgeno spindulių srautas krenta į pavyzdį, kuris pagamintas iš supresuotų miltelių. Srautas, krentantis kampu į daugelį kristalėlių, po atsispindėjimo interferuos tik nuo tam tikros orientacijos kristalėlių.
Kietųjų kūnų šiluminės savybės
Šiluminis judėjimas kietuosiuose kūnuose

Skirtingų agregatinių būsenų medžiagos dalelių šiluminio judėjimo pobūdis yra skirtingas. Kietuosiuose kūnuose atomai svyruoja apie pusiausvyros padėtį. Pusiausvyros padėtį apibūdina traukos ir stūmos jėgų pusiausvyra. Ši pusiausvyra nusako dalelių minimalią energiją, t.y apibūdina dalelių jungčių tvirtumą ir vadinama jungties energija.

Visi kristalo atomai surišti tarpusavyje tampriomis sąveikos jėgomis. Bet kurio atomo padėties pasikeitimas pakeičia atitinkamai kitų atomų padėtis.

Jei atomą išvesime iš pusiausvyros padėties, tai jis pradės svyruoti su didesne amplitude negu kiti atomai. Veikiant tamprioms jėgoms tas svyruojamasis judėjimas persiduoda kaimyniniams atomams, ir palaipsniui visos kristalo dalelės svyruos nauja amplitude. Dalelių svyravimai plinta visomis kryptimis ir, priklausomai nuo kūno tamprumo savybių ir jo matmenų, yra skirtingų bangos ilgių ir fazių.

Trumpiausias svyravimų bangos ilgis lygus dvigubam atstumui tarp atomų (min=2a), o ilgiausias – dvigubam kristalo ilgiui (max=2).

Šios bangos, sklisdamos kristalu, pasiekia jo kraštą atsispindi nuo jo ir grįžtant susideda su sklindančia banga, taip sudarydamos stovinčią bangą.

Šių bangų susidarymo mechanizmas analogiškas akustinių svyravimų mechanizmui, todėl jos vadinamos akustinėmis. Šiliminių svyravimų sklidimo greitis lygus garso greičiui. Akustiniai svyravimai stebimi gardelėse, kurių elementariajai gardelei priklauso tik vienas atomas.

Sudėtinguose kristaluose, kurių elementariajai gardelei priklauso daugiau atomų, galimi ir optiniai svyravimai. Tokie svyravimai atsiranda dėl to, kad yra skirtingi tarpatominiai atstumai arba kad skirtingos gardelę sudarančių atomų masės.

Žemose temperatūrose yra sužadinami tik ilgabangiai akustiniai svyravimai; esant aukštesnėms temperatūroms atsiranda visi akustiniai svyravimai. Optiniai svyravimai galimi tik aukštose temperatūrose.

Kiekvieno šiluminio svyravimo energija yra kvantuota. Bangos energija gali kisti tik proporcingai h dydžiui. Iš analogijos su fotonu, h šiluminio svyravimo energijos kvantas buvo pavadintas fononu. Fononas – kvazidalelė, kuri, sklisdama kristalu, perneša energiją (šilumą). Kaip ir fotonas, jis taip pat turi savo kvaziimpulsą. Fononui sklisti būtina aplinka. Todėl vakuume šiluma nesklinda. Fonono energija, kaip ir fotono, lygi E= h, čia – atomo, esančio kristalo mazge, svyravimų dažnis. Fononų energija ir jų skaičius apibūdinamas kristalo temperatūra. Kai T=0, fononų nėra.
Kietųjų kūnų savitoji (molinė) šiluma
Prisimename, kad kiekvienas tobulųjų dujų atomas turi tris laisvės laipsnius (i=3), ir jo vidutinė kinetinė energija lygi :Ea= .
Vienas molis tokių dujų turi energijos, kuri lygi

,
čia NA – Avogadro skaičius; R – universalioji dujų konstanta.
Tobulųjų dujų molinė šiluma, esant pastoviam tūriui išreiškiama formule:

,
t. y. 1 mol medžiagos pilnutinės energijos pokytis, pakitus temperatūrai vienu laipsniu.
Dažniausiai naudojama savitoji šiluma, t. y. 1 kg medžiagos savitoji šiluma, kuri gaunama arba .
Tobulųjų dujų molinė šiluma

.
Jei be kinetinės energijos kūnas turi ir kitokios energijos, tai jo molinė šiluma CV bus didesnė. Tai stebime dujose, sudarytose iš molekulių, kurios be slenkamojo judėjimo energijos turi ir sukamojo bei svyruojamojo judėjimo energijos.
Bandymai rodo, kad esant pakankami didelėms temperatūroms, visų kietųjų kūnų molinė šiluma lygi

.
Ši išraiška žinoma, kaip Diulongo ir Pti dėsnis, kuris tinka daugeliui medžiagų netgi kambario temperatūroje.
Kiekvienas kietojo kūno atomas turi 6 laisvės laipsnius, t.y. be kinetinės energijos ( ), turi dar tiek pat potencinės energijos ( ), nes atomai kietajame kūne yra ne laisvi, o pastoviose pusiausvyros padėtyse ir atlieka paprastus harmoninius svyravimus apie pusiausvyros padėtis.
Todėl pilna tokio atomo energija lygi:

, ( ; i=6,);
arba vieno molio: .
Gauname, kad kietųjų kūnų molinė šiluma lygi

.
Bangos energija gali kisti tik proporcingai h dydžiui. Juo aukštesnė kristalo temperatūra, juo daugiau ir įvairesnių dažnių (104 – 1013)Hz fononų “laksto” tuo pačiu metu po kristalą. Esant aukštoms temperatūroms bangų energijų diskretiškumas jau neturi jokios reikšmės ir tuomet sąryšis teisingas. Visai kitokius rezultatus gauname esant žemoms temperatūroms. Eksperimentiškai nustatyta, kad mažėjant temperatūrai kietojo kūno molinė šiluma mažėja.
Debajaus teorijos matematiniai skaičiavimai duoda tokią kietojo kūno molinės šilumos formulę:

.

Šioje išraiškoje įskaityta pilna fononų energija kaip temperatūros funkcija. Parametras vadinamas charakteringąja Debajaus temperatūra. Jis skirtingas skirtingiems kietiesiems kūnams. apskaičiuojamas iš sąlygos hmax k. Iš čia

hmax/k .

Debajaus temperatūra kiekvienam kūnui apibūdina sritį, kur energijos kvantavimas jau daro įtaką.

Kintamasis x .

Panagrinėkime kietojo kūno molinės šilumos priklausomybę nuo temperatūros.

.
Žemose temperatūrose, t.y. kai T << , integralo viršutinė riba bus labai didelė, x . Tada integralas bus kažkoks skaičius.
Pavyzdžiui, jei /T = x > 24, = 44/15 = 26.

Tokiais atvejais CV T3 .

Ši apytikslė priklausomybė žinoma kaip T3 Debajaus dėsnis. Žemose temperatūrose šis dėsnis eksperimentiškai patvirtinamas labai gerai.
Aukštose temperatūrose, t.y. kai T >> , ir h/kT << 1, x 0 .
Tada ex 1 + x ir .
Tokiu atveju kietojo kūno šiluminė talpa CV = 3R .

Gavome mums jau žinomą Diulongo ir Pti dėsnį.
Šiluminis plėtimasis
Visi kietieji kūnai šildomi plečiasi. Daugelio kietųjų kūnų santykinis plėtimasis pakitus temperatūrai vienu laipsniu yra 10-5 K-1 eilės.

Linijinis šiluminio plėtimosi koeficientas išreiškiamas taip:

.
L – kietųjų kūnų ilgis. Tūrinis plėtimosi koeficientas:

.
Anizotropinių kristalų linijinio plėtimosi koeficientas yra skirtingas skirtingomis kryptimis. Todėl plėsdamasis kristalas keičia savo formą. Tam tikra fizikinė tiesė, t.y. linija kristale, susieta su tam tikromis kietojo kūno dalelėmis, kristalo šiluminio plėtimosi metu neišlieka tiesi. Tačiau kiekviename kristale yra tokios kryptys, išilgai kurių fizikinė tiesė išlieka tiesi ir šiluminio plėtimosi metu. Tos kryptys vadinamos kristalografinėmis ašimis. Šiluminio plėtimosi koeficientų reikšmės išilgai kristalografinių ašių vadinamos vyriausiomis. Bendruoju atveju kristalai turi tris ašis ir tris skirtingus šiluminio plėtimosi koeficientus 1, 2, 3. Kai kurių singonijų kristaluose šios kryptys yra tarpusavyje statmenos.
Įsivaizduokime išpjautą iš kristalo gretasienį su viena kitai statmenomis ašimis ir 0 oC temperatūroje briaunų ilgiais, lygiais L01, L02, L03. Šio gretasienio tūris
V0 = L01 L02 L03 .

Gretasienį pašildžius iki temperatūros t, briaunos įgaus reikšmes:

L1 = L01(1 + 1t), L2 = L02(1 + 2t), L3 = L03(1 + 3t).

Naujasis gretasienio tūris bus lygus:
V = V0(1 + 1t) (1 + 2t) (1 + 3t).

Sudauginę ir atmetę visus narius, turinčius dydžių 1, 2, 3 sandaugas, apytikriai gausime:
V = V0[1 + (1 + 2 + 3)t].

Iš kitos pusės, teigėme, kad
V = V0(1 + t).
Sulyginę dvi paskutiniąsias formules, gauname:

= 1 + 2 + 3.

Tuo būdu, kristalo tūrinio plėtimosi koeficientas apytikriai lygus jo vyriausių plėtimosi koeficientų sumai. Izotropiniam kūnui 1 = 2 = 3 = ir gauname, kad

= 3.
Anizotropinių kristalų linijinio plėtimosi koeficientas priklauso ir nuo temperatūros.
Teoriškai įrodoma, kad linijinis šiluminio plėtimosi koeficientas yra proporcingas kietojo kūno molinei šilumai CV. Tai akivaizdu, kadangi CV yra dalelių svyravimų energijos priklausomybės nuo temperatūros matas. Kita vertus, svyravimo energijos padidėjimas padidina tarpatominius atstumus. Tokiu būdu, galima teigti, kad aukštose temperatūrose, t.y. esant T>, – beveik pastovus dydis, bet žemose temperatūrose, kai T< , greitai mažėja.
Kietųjų kūnų šiluminio plėtimosi koeficiento ir molinės šilumos santykis yra pastovus dydis kiekvienam kūnui ir nepriklauso nuo temperatūros, t.y.

T.

Neigiamas šiluminis plėtimosi koeficientas reiškia, kad šios ašies kryptimi kristalas traukiasi.
Šiluminis laidumas
Šiluminio laidumo koeficientas t skaitine verte lygus šilumos kiekiui, praėjusiam per vienetinį plotą per laiko vienetą, pakitus temperatūrai ilgio vienete vienu laipsniu.

. [t] = J/(msK).

Šiluma visuose kietuosiuose kūnuose perduodama gardelės svyravimais. Metaluose šilumos pernešime dalyvauja ir laidumo elektronai. Elektronų įtaka metalų šiluminiam laidumui, grubiai įvertinus, dviem eilėm didesnė negu gardelės atomų (fononų). Todėl metalas yra žymiai geresni šilumos laidininkai negu nemetalai.

Šiluminės energijos perdavimas gardelės svyravimais vyksta gana paprastai. Jei atomas svyruoja apie savo pusiausvyros padėtį amplitude, kuri apibūdinama temperatūra T, tai jis periodine jėga veikia savo kaimyninius atomus ir padidina jų svyravimų amplitudes, jei pradžioje jos buvo mažesnės, atitinkančios žemesnes temperatūras.

Jei kietojo kūno galai yra skirtingose temperatūrose, tai kūne atsiranda šilumos srautas. Kiekvienas atomas svyruoja mažesne amplitude negu jo kaimynas iš šiltesnio galo ir gauna energijos.

Kaip ir analizuojant šiluminę talpą, procesą reikia nagrinėti, įvedant fononus. Naudojantis fononų įvaizdžiu galima teigti, kad šiluminis judėjimas kietajame kūne apibūdinamas kaip tik jais. Kai temperatūra lygi nuliui (T=0), fononų nėra, ir šiluma neperduodama; o kai T didėja, fononų sakaičius auga, bet ne tiesiškai. Žemose temperatūrose šiluminis laidumas proporcingas temperatūrų kubui, kaip ir kūno molinė šiluma (T3); aukštose – atvirkščiai proporcingas temperatūrai (t f T-1), nes molinė šiluma nepriklauso nuo temperatūros. Šilumos pernešimas vyksta susiduriant fononams su gardelės atomais. Fononai energiją perneša kaip nuo karštų kūnų link šaltesnių. Fononams būdingas mažas laisvojo kelio ilgis. Kuo didesnis tas ilgis, tuo didesnis ir šiluminis laidumas.

Kietųjų kūnų juostinė teorija
Šredingerio lygtis kristalui ir jos sprendimas
Šredingerio lygtis – aprašo kristalo atomų branduolių ir elektronų stacionarias būsenas. Ji nėra išvedama, o yra nusakoma postuluojant. Jei branduolių koordinates pažymėsime , o elektronų , tai kristalo banginę funkciją, priklausančią nuo visų dalelių koordinačių, užrašome:

.

Kristalo dalelių stacionarios būsenos aprašomos Šredingerio lygtimi:

,
čia E – sistemos pilnutinė energija, – visos sistemos hamiltonianas.
Tokios sistemos Hamiltono operatorių galima užrašyti :

.

– Hamiltono operatorius, jungiantis savyje visų rūšių energijas:

1) Elektronų kinetinė energija

,
čia m – elektrono masė,

– i-ojo elektrono Laplaso operatorius.
2) Branduolių kinetinė energija

,
čia M – branduolio masė,

, – -ojo branduolio Laplaso operatorius.
3) Elektronų sąveikos potencinė energija

,
0= 8,8510 -12 F/m .
4) Branduolių sąveikos potencinė energija

.
5) Elektronų ir branduolių potencinė sąveikos energija

.

Įrašę šias reikšmes, gausime stacionarią Šredingerio lygtį kristalui. Tenka ieškoti artutinių Šredingerio lygties kristalui sprendimo būdų.

Adiabatinis artutinumas (Borno ir Openheimerio).

Visą sistemą suskirstysime į lengvas daleles – elektronus ir sunkias – branduolius. Kadangi branduolių masės daug didesnės už elektronų M>mel , tai pagal impulso tvermės dėsnį elektronų judėjimo greičiai bus daug didesni už branduolių judėjimo greičius ve>>v. Jei branduoliai pasislenka, tai elektroniniai debesėliai momentaliai seka paskui branduolius. Todėl pirmuoju artutinumu galima:

1) nagrinėti elektronų judėjimą nejudamų branduolių lauke;
2) nagrinėjant branduolių judėjimą, reikės įskaityti ne momentines elektronų padėtis, bet jų erdvinį pasiskirstymą.
Toks artutinumas vadinamas adiabatiniu arba Borno ir Openheimerio artutinumu.

Banginė dalelių funkcija gali būti užrašoma, kaip sandauga:

– branduolio banginė funkcija, e – elektrono banginė funkcija.
Tada ir .
Adiabatiniu artutinumu Šredingerio lygtis suskyla į dvi paprastesnes lygtis branduoliams ir elektronams.
Mes nagrinėsime lygtį tik elektronams, laikydami, kad branduoliai yra rimtyje. Jos pavidalas bus:

.
Valentinis artutinumas.

Darome taip vadinamą valentinį priartėjimą. Šio artutinumo esmė ta, kad visi nevalentiniai elektronai kartu su branduoliu sudaro lyg atskirą sistemą, su kuria sąveikauja valentiniai elektronai. Todėl Šredingerio lygtis užrašoma tik valentiniams elektronams, kurie juda nejudamų branduolių ir nevalentinių elektronų lauke.
Vienelektroninis artutinumas.
Labiausiai paplitęs daugiaelektroninio uždavinio sprendimo metodas yra taip vadinamas Chartri – Foko metodas, kuriuo daugiaelktroninis uždavinys suvedamas į vienelktroninį. Tarpelektroninė sąveika, kuri nusakoma veikimu tarp elektronų atskirose porose, pakeičiama į vieno elektrono sąveika su lauku, kurį sukūrė visi likę elektronai. Toks elektronų sukurtas laukas vadinamas suderintiniu lauku. Vieno elektrono judėjimas priklauso nuo visų likusių elketronų judėjimo, bet, kadangi jis pats daro įtaką jų judėjimui, tai visų elektronų judėjimas yra suderintinis.

Visą tarpelektroninės sąveikos potencinę energiją galime nusakyti

.

Analogiškai i-ojo elektrono sąveiką su visais branduoliais, kuri buvo suprantama kaip sąveika su kiekvienu branduoliu atskirai, galima nagrinėti, kaip sąveiką su lauku, kurį sukūrė visi branduoliai taške .

Šią sąveiką nusakysime potencinės ensrgijos operatoriumi

,
čia – i-ojo elektrono potencinė energija visų branduolių lauke.
Dabar Šredingerio lygtį elektronams galime užrašyti :

e ir E – elektronų banginė funkcija ir energija.
Jei šią lygtį užrašysime

,

tai vienam i-ajam elektronui hamiltonianas bus:

.

Apibendrinant galima pasakyti, kad daugiaelktroninio uždavinį užrašėme per sumą vienelektroninių hamiltonianų, kurie nusakomi vieno elektrono padėties vektoriumi.

Toks hamiltoniano užrašymas per sumą leidžia daugiaelektroninio uždavinio banginę funkciją užrašyti kaip vienelektroninių banginių funkcijų sandaugą:

.
Visa tai galime suprasti taip, kad elektronai juda lyg nesąveikaudami, o jų energiją galime užrašyti kaip atskirų elektronų energijų sumą: .
Taip gavome vienelektroninę Šredingerio lygtį:

.
Patogu įvesti potencinės energijos operatorių

.
Tokiu būdu vienelektroninę Šredingerio lygtį galėsime pateikti taip:

.
Stipriojo ryšio artutinumas

Skaičiuojant elektroninių dujų būsenas, t. y. elektronų enrgijų vertes, naudojami du ribiniai atvejai – stipriojo (Vei >> Tei) ir silpnojo ryšio artutinumai (Vei << Tei).
Elektronų energijų juostinį pobūdį parodysime stipriojo ryšio artutinumu. Tarkime, kad sudarant kristalinio kūno atomų linijinę grandinę, visi elektronai lieka atitinkamų izoliuotų atomų ribose, t.y. elektronai yra “savų” atomų potencinėse duobėse.
Jei izoliuoto atomo barjeras yra begalinio storio, tai tiesinės atomų grandinės barjero storis yra mažo dydžio ir jis gali būti skaidrus elektronų tuneliavimui, kadangi atomų sąveika mažina potencialinio barjero plotį ir aukštį.

Kronigo – Peni modelyje potencinės energijos pradžią sutapatiname su duobės dugnu.
Jei elektronų greitis lygus v, tai judant elektronams duobėje išilgai atomų grandinės per laiko vienetą įvyksta v/a priartėjimų prie barjero.
Tada elektronų perėjimų iš duoto atomo į kaimyninį dažnis gali būti apibrėžtas taip:

,
čia – barjero skaidrumas.
Elekronų buvimo savame atome laikas yra atvirkščiai proporcingas , t.y. . Tarkime, jei
tai gauname, kad

= 10 -27 s-1 arba 10 27 s.
Dydis b=30 Å – atitinka dujinį būvį.
Tuo būdu, elektronai turi būti atome be galo ilgai, ir tuneliavimas yra neįmanomas.
Pakeitus tik b reikšmę, t.y b=10-10 m, gauname 10 15 s-1 arba 10 -15 s.
Reiškia, elektronų buvimo fiksuotame atome trukmė sudaro nykstamas sekundės dalis. Būtent tokios sąlygos yra būdingos linijinei atomų grandinei kristale.

Neapibrėžtumo ryšys (dx dpx h) energijai ir laikui apibrėžiamas taip:
dEdt h ,
t.y. elektronui esant tam tikroje būsenoje dt laiką, pati būsena pagal energiją yra apibūdinama ne didesniu kaip dE tikslumu.
Prisiminę linijinės atomų grandinės elektrono buvimo fiksuotame atome trukmę dt 10-15 s, spektrinės linijos išplitimą gausime

.
Tokiu būdu, įskaitant stipriojo ryšio artutinumą ir elektronų tuneliavimą nuo vieno atomo prie kito, darome išvadą, kad elektronų buvimo trukmė fiksuotame atome yra labai maža. Tai atitinka leidžiamų energetinių juostų susidarymą.
Mažiausias ir didžiausias dE reikšmes turi išoriniai elektronai. Tokiu būdu išoriniai elektronai būna priklausomi ne vienam atomui, o tampa kolektyviniais.

Vidiniai elektronai turi didesnes ir mažesnes dE reikšmes. Nesužadinti išoriniai elektronai sudaro valentinę juostą, aukščiau kurios yra laidumo juosta.
Juostinės teorijos stipriojo ryšio artutinumo pagrindu aprašomos kietojo kūno atomų kvazisurištų elektronų būsenos, įskaitant jų tarpatominio tuneliavimo galimybę.
Elektroninis tuneliavimas pakeičia energetinę būseną: išoriniams elektronams buvimo trukmė fiksuotame atome pasirodo nykstamai maža, kas atitinka plačios energetinės juostos susidarymą vietoj izoliuotų atomų diskretinių energetinių lygmenų; gilesniems elektronams taip pat yra energetinės juostos, nors ir siauresnės lyginant su valentine juosta.
Juostinės teorijos silpnojo ryšio artutinumas aprašo kvazilaisvų elektronų, kuriuos veikia periodinis laukas, būsenas. Kuo mažesnis atstumas d, tuo didesnis yra lygmenų “išplitimas”. Kristalo energijos spektrą apibūdina lygmenų išplitimas, atitinkantis tam kristalui būdingą atstumą tarp atomų d0.
Kvantinių būsenų tankis

Vadinasi, norint nustatyti puslaidininkio krūvininkų koncentraciją, reikia žinoti faktinį būsenų, užimtų elektronais arba skylėmis, skaičių.
Apskaičiuokime dZ – minimalių fazinių narvelių skaičių tam tikrame šešiamatės erdvės tūryje dxdydzdpxdpydpz :

arba

.
Toliau skaičiavimuose naudosime vienetinį trimatės erdvės tūrį, t.y. laikysime, kad turime vienetinį metalo ar puslaidininkio tūrį. Todėl apibrėšime elementarių fazinių narvelių skaičių dz esančių vienetiniame tūryje:

.
Rasime dydį dz impulsų erdvės rutuliniame sluoksnyje, apribotame sferomis, kurių spinduliai yra p ir (p+dp) (kaip parodyta paveikslėlyje).
Tokio sluoksnio tūris

. ( . )
Be to

;
Ek = E, t.y. dalelės kinetinė energija lygi pilnai energijai, kadangi laisvos dalelės potencinė energija lygi nuliui.
Randame dp:

, .
Tuomet .
Apibrėžkime elementarių fazinių narvelių skaičių tenkančių vienetiniam energijų intervalui, t. y. rasime būsenų tankį:

.
Matome, kad būsenų tankis N yra pusiaukvadratinė E funkcija.
Fiksuotam energijų intervalui apibrėžus sandaugą
NdE = dz,
matome, kad augant energijai didėja ir elementarių fazinių narvelių skaičius.
Fermi – Dirako pasiskirstymo funkcija
Norint nustatyti dalelių, turinčių energiją intervale dE, skaičių be kvantinių būsenų tankio N(E), reikia žinoti tikimybę, kad ši būsena su energija E bus užimta dalele, t.y. reikia žinoti dalelių pasiskirstymo funkciją f(E).
Kvantinėje statistikoje pateikiama tokia sistemos pusiausvyros būsenos išraiška: .
E – pilna enegija, apibūdinanti elektrono būseną; F- Fermi energija.
Dydis f0(E,T) apibūdina tikimybę, kad E energijos būsena yra užimta elektrono.
Tai Fermi – Dirako pasiskirstymo funkcija, galiojanti dalelėms, kurios paklūsta Pauli draudimo principui.

Tikimybė elektronui užimti E energijos būseną priklauso nuo energijos E ir nuo temperatūros T. Be to, tikimybė priklauso nuo Fermi energijos F.

Fermi energijos F fizikinė prasmė – tai maksimali energija, kurią turi elektronai metale absoliutinio nulio temperatūroje (T=0 K). Be to Fermi lygmuo atskiria užimtas energetines būsenas nuo laisvų.
Jei T= 0 K visos būsenos, kurių energijos E < F, yra užimtos, o kurių E > F – laisvos, neužimtos elektronais. Būseną E = F galima laikyti užimta su tikimybe 0,5.
Jei T0 ,

, kai E=F.
Tą teigėme, kai T=0, t.y. .
Kai E << F, ;
kai E >> F, .

Funkcija f0(E,T) smarkiai kinta srityje, kur E F, kelių kT energijų intervale. Tegu E = F + kT,
čia – kintamasis dydis;

.
Tada .
Energijų intervalas, kai funkcija f0 smarkiai kinta, priklauso nuo temperatūros T. Kylant temperatūrai šis intervalas platėja.
Esant didelėms vertėms funkciją f0 galime užrašyti taip:

arba

.
Tai klasikinė Bolcmano pasiskirstymo funkcija.
Pažymėsime, kad elektroninės dujos, kurių savybės aprašomos Fermi – Dirako funkcija vadinamos išsigimusiomis arba kvantinėmis.
Kai Fermi – Dirako funkcija pereina į Bolcmano pasiskirstymo funkciją, tuomet elektroninės dujos tampa klasikinėmis arba neišsigimusiomis.
Tai įmanoma tuo atveju, kai leistinų energetinių būsenų skaičius daug didesnis už elektronų skaičių: kvantmechaniniai draudimai “užsitušuoja” ir galima naudoti Maksvelo-Bolcmano statistiką. Jei elektronų skaičius sulyginama su energetinių būsenų skaičiumi, reikia naudoti Fermi statistiką.

Elektroninių dujų koncentracija
Vadinasi, galima nustatyti laisvų elektronų, kurių energijos nuo E iki (E+dE), skaičių dn0.

arba

.
Daugiklis 2 atsiranda dėl Pauli draudimo principo.

.
Iš čia laisvų elektronų skaičius energijų intervale dE:

.

Norint gauti laisvų išsigimusių elektroninių dujų koncentraciją reikia suintegruoti dn0 išraišką.
Kai T=0, gauname

;

.
Matome, kad dydį F0 (Fermi energiją 0 K temperatūroje) apibūdina elektronų koncentracija.
Jei tarsime, kad n0 1028 m-3, tai F 5eV. Vidutinė išsigimusių elektroninių dujų energija 0 K temperatūroje apskaičiavus gaunama 3F/5.
Vadinasi, esant T=0 išsigimę elektronai gali turėti skirtingas energijas nuo 0 iki F, kai tuo tarpu klasikinėse dujose, esant T=0 , E=0 (šiluminis judėjimas nutrūksta ir dalelių energija lygi nuliui).
Kai T0, apskaičiuosime neišsigimusių elektroninių dujų koncentraciją:

.
Įvedame kintamųjų pakeitimą:

ir , tada

.

Kadangi ,

tai .

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
Laisvų laidumo elektronų generacija, t.y. elektronų perėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš donorinių lygmenų, taip ir iš valentinės juostos.

Generacijos procesas visuomet lydimas atvirkštinio proceso – rekombinacijos, kada elektronai gražinami į donorinius lygmenis arba į valentinę juostą.

Jei generacija vyksta tik dėl šiluminio atomų judėjimo termodinaminės pusiausvyros sąlygomis, tai gauname pusiausvyrąją laisvų elektronų koncentraciją n0. (n0 – kai temperatūra pastovi ir yra dinaminė pusiausvyra tarp generacijos ir rekombinacijos). Laisvų skylučių generacija, t.y. elektronų perėjimas iš valentinės juostos į akceptorinius lygmenis arba į laidumo juostą, taip pat lydima rekombinacijos. Termodinaminės pusiausvyros sąlygomis gauname pusiausvyrąją laisvų skylučių koncentraciją p0. Be laisvų elektronų ir skylučių stebimi nejudrūs (įtvirtinti) elektronai ir skylutės lygmenyse, esančiuose draustinėje juostoje.
Jeigu ND – donorų koncentracija, ND+ – jonizuotų donorų koncentracija, tai
nD = ND – ND+ = ND – pD ,
čia nD – elektronų koncetracija donoriniuose lygmenyse,

pD = ND+ – teigiamų skylučių koncetracija donoriniuose lygmenyse.
Jeigu Na – akceptorių koncetracija, Na- – jonizuotų akceptorių koncetracija, tai
pa = Na – Na- = Na – na ,
čia pa – skylučių koncetracija akceptoriniuose lygmenyse,

na = Na- – elektronų koncetracija akceptoriniuose lygmenyse.
Puslaidininkio su vieno tipo donorais ir vieno tipo akceptoriais elektrinio neutarlumo sąlyga:
e(p0 + pD) – e (n0 + na) =0 arba
p0 + pD = n0 + na .
Tokią pat elektroneutralumo sąlygą taikome ir nepusiausvyrosioms laisvųjų krūvininkų koncetracijoms, kai

n = n0 + n ;

p = p0 + p ;
čia n ir p – papildomos koncetracijos, atsirandančios dėl įvairių priežasčių.
Paprastai teigaima, kad akimirksniu nusistovi pusiausvyra, t.y.

n = p,
ir tuomet elektroneutralumo sąlyga: p + pD = n + na .

Elektronų ir skylučių pasiskirstymas juostose ir
diskretiniuose lygmenyse
Laivųjų elektronų ir skylučių pusiausvyrinės koncetracijos puslaidininkiuose ir dielektrikuose aprašomos Fermi – Dirako funkcija, kaip ir laisvųjų elektroninių dujų metaluose. Fermi lygmens padėtis nusakoma puslaidininkio tipu.

Elektronų pasiskirstymas metaluose pagal Fermi statistiką, kai T = 0 K
Elektronų pasiskirstymas metaluose pagal Fermi statistiką, kai T > 0 K

Elektronų pasiskirstymas puslaidininkiuose ir dielektrikuose, kai T = 0 K

Elektronų pasiskirstymas puslaidininkiuose ir dielektrikuose, kai T > 0 K
Fermi – Dirako pasiskirstymo funkciją elektronams užrašome:

.

Skylutėms fFp galime užrašyti kaip skirtumą (1 – fFn):

.

Dydis fFp yra tikimybė, kad E energijos lygmuo yra užpildytas skylute.
F – Fermi lygmuo, kuriame fFn = fFp = 0,5.

Panagrinėkime elektronų ir skylučių pasiskirstymo funkcijas donorinėse ir akceptorinėse energetinėse būsenose.

Donoriniai arba akceptoriniai lygmenys gali būti užimti tik vienu elektronu arba skylute. Jei tarkim kad ED arba EA būsenoje yra dar vienas elektronas, tai dėl didelės elektrostatinės sąveikos patys dydžiai ED ir EA pasikeičia, t. y. vienąkart ir dukart jonizuotos priemaišos energetiniai lygmenys skiriasi vienas nuo kito.

Draudimas priemaišiniuose ED ir EA lygmenyse būti dviems ir daugiau elektronų turi atsispindėti elektronų pasiskirstymo funkcijoje.

Gibso metodas duoda tokias elektronų pasiskirstymo funkcijas donoriniuose ir akceptoriniuose lygmenyse:
elektronų pasiskirstymas ED ir EA lygmenyse.

; .
Skylutėms pasiskirstymo funkcijas ED ir EA lygmenyse galime gauti, jei i 1- fnD , t.y.

; .
Elektronų ir skylučių koncentracijos priemaišiniuose lygmenyse:

; ;

; .
Fermi lygmuo ir krūvininkų koncentracija neišsigimusiame
grynajame puslaidininkyje
Grynajame puslaidininkyje priemaišų nėra, t. y. NA = ND = 0. Šiuo atveju neutralumo lygtis u˛rašoma taip: ni = pi .
Ši formulė rodo, kad kiekvieną valentinės juostos elektroną sužadinant perkėlus į laidumo juostą, valentinėje juostoje atsiranda skylė, o laisvųjų elektronų ir skylių tankiai yra lygūs. Paprastai šie tankiai žymimi indeksu i vietoje 0.
Neišsigimimo kriterijus:
elektronams EC – F>>kT ;
skylutėms F – EV >> kT.

Neišsigimusių elektroninių dujų pusiausvyroji koncentracija:

,
NC – būsenų tankis laidumo juostoje.
Neišsigimusių skylučių pusiausvyra koncentracija:

.
Nv – būsenų tankis valentinėje juostoje.
Šias formules gauname suintegravę ( ).
Kadangi grynajame puslaidininkyje ni = pi,

.
Abi lygybės puses padaliję iš gauname:

.
Vadinasi,

.

Tada

Kai T = 0, gauname

Ši formulė rodo, kad absoliutinio nulio temperatūroje grynojo puslaidininkio Fermio lygmuo F yra draustinės energijos juostos viduryje. Ji tinka ir kai T 0 , jei NV NC.
Elektronų tankį grynajame puslaidininkyje apskaičiuojame Fermio lygmens išraišką įrašę į pusiausvyrosios elektronų koncentracijos išraišką:

;

Laisvųjų krūvininkų tankio priklausomybę nuo temperatūros ni(T) nulemia eksponentinis narys. Sandauga (NcNv)1/2 priklauso nuo temperatūros tik T3/2. Eksperimentiškai nustatę ni(T) ir išmatuotą ln(ni) pavaizdavę kaip 1/T funkciją, turėtume gauti tiesę. ,
čia – dydis, kuris mažai keičiasi nuo temperatūros.
Vadinasi, n ni yra tiesinė priklausomybė nuo 1/T.

;

Vadinasi, eksperimentiškai iš grafiko nustatę tg, apskaičiuojame draustinės juostos plotį E.
Kartu būtina prisiminti, kad draustinės juostos plotis gali priklausyti nuo temperatūros. Pirmuoju artutinumu šį kitimą galima laikyti tiesiniu:
E(T) E0 – T;
čia E0 – draustinės energijų juostos plotis absoliutinio nulio temperatūroje,

d(E)/dT – temperatūrinis E koeficientas.
Todėl, norint apskaičiuoti draustinės juostos plotį aukštesnėje temperatūroje, reikia naudotis šia formule.

Leave a Comment