TURINYSKORELIACINĖ REGRESINĖ ANALIZĖ 3Tyrimo tikslai 3Koreliacinės analizės y su kiekvienu x1, …, xn atlikimas 3x1, x2, …, xm atrinkimas regresiniai analizei atlikti 5Porinė regresinė analizė 5Daugianarė koreliacinė regresinė analizė 9Gautų rezultatų aprašymas 14Tyrimo rezultatų taikymo pavyzdžiai 15PROGNOZĖ SLENKANČIO VIDURKIO IR EKSPONENTINIO IŠLYGINIMO METODAIS, VIDUTINIŲ KAVDRATINIŲ PAKLAIDŲ APSKAIČIAVIMAS 15Slenkančio vidurkio metodas 15Eksponentinio išlyginimo metodas 20GAMYBOS PLANAVIMO UŽDAVINYS 24Gamybos uždavinio sudarymas ir išsprendimas grafiškai bei Excel pagalba 24Dualusis uždavinys 27Išteklių „šešėlinės“ kainos ir gautų rezultatų aprašymas 29TRANSPORTO UŽDAVINYS 29PRIEDAS NR.1 35PRIEDAS NR.2 35PRIEDAS NR.3 36LITERATŪROS ŠALTINIAI 37Tyrimo tikslaiEkonominių procesų tyrimuose koreliacinė analizė leidžia nustatyti, ar egzistuoja ryšys tarp nagrinėjamų veiksnių, išreikštų kiekybiniais rodikliais. Esant koreliaciniam ryšiui, nepriklausomojo kintamojo (X) kitimas veikia tik priklausomo kintamojo (Y) vidutines reikšmes. Regresinė analizė padeda išaiškinti stochastinės priklausomybė formą. Daugianarės koreliacinės regresinės pagalba įvertinsiu Y priklausomybę nuo nepriklausomų kintamųjų.Norėdama atlikti koreliacinę analizę, pasirenku Y, X1, X2, X3, X4, X5 ir X6.Koreliacinės analizės y su kiekvienu x1, …, xn atlikimasAtlikdama koreliacinę analizę, skaičiavimams naudosiu vidurkį, kvadratinį nuokrypį ir dispersiją:Vidurkis – tai visų stebėtų skaitinių duomenų suma, padalinta iš duomenų skaičiaus. Jis apskaičiuojamas pagal formulę: , čia n – stebėtinų skaitinių duomenų suma. Taip pat vidurkį galima apskaičiuoti naudojantis MS EXCEL funkcija AVERAGE.Dispersija – tai išsibarstymo apie vidurkį matas. Ji apskaičiuojama pagal formulę arba naudojantis MS EXCEL funkcija VAR.Vidutinis kvadratinis nuokrypis – tai kvadratinė šaknis iš dispersijos. Jis parodo, kiek vidutiniškai požymio reikšmės yra nutolusios nuo vidurkio. Jis apskaičiuojamas pagal formulę arba naudojantis EXCEL funkcija STDEV.Lentelė 1. Duomenys su kuriais atliksiu analizę. Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 999 2 300 1100 800 900 856 3021 7 501 1628 2000 2300 4895 359 1 682 482 344 359 238 763 3 2684 763 1000 741 1758 856 2 1009 550 231 257 626 2868 8 547 1577 3865 851 6095 2269 7 476 1502 9685 245 5298 9756 10 283 3941 10229 589 1427 5873 13 686 2708 6527 825 876 2369 8 4020 1367 3333 255 5235 1000 3 512 600 3333 301 1701 6000 15 1000 2852 7000 600 1200 5692 16 577 2711 6987 456 800 8875 17 280 5231 9875 444 1464 666 2 1000 400 700 600 1520 985 2 999 587 689 456 1258 645 3 76 717 896 569 1133 163 1 886 502 346 125 244 887 4 2613 841 896 359 1574 5796 15 899 3248 6985 2859 931 158 1 678 510 344 125 237 558 2 7893 652 764 658 1258 7792 17 270 6224 1011 861 1550 654 3 480 702 859 125 1259 219 1 876 533 420 354 373 975 3 147 711 1587 456 1758 452 2 987 685 569 125 1675 100 1 850 150 250 130 1652Suma 70750 169 32211 43474 81525 16925 48891
Vidurkis 2526,786 6,035714 1150,393 1552,643 2911,607 604,4643 1746,107Dispersija 8464785 31,44312 2476146 2366144 11073692 375085,9 2532538Kvadratinis nuokrypis 2909,43 5,607417 1573,577 1538,228 3327,716 612,4426 1591,395Koreliacija atsako į klausimą, ar yra ryšys tarp požymių, kokia jo kryptis ir stiprumas. Koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas naudojantis MS EXCEL funkcija CORREL arba pagal formulę:
Koreliacijos koeficientas r gali įgyti reikšmes nuo –1 iki +1. Jei rx,y>0, tai egzistuoja teigiamas koreliacinis ryšys ir reiškia, kad didėjant X, didėja ir Y. Kai rx,y<0, egzistuoja neigiamas koreliacinis ryšys ir X didėjant, Y mažėja. Kai , egzistuoja tiesinė funkcinė priklausomybė ir visų stebėjimų reikšmės sutampa su tiesės linija.Pagal atliktus skaičiavimus, pateiktus žemiau, matau, kad tarp Y ir X1, X3, X4, X5, X6 ryšys yra teigiamas ir varijuoja nuo silpno iki stipraus, nes r>0. O ryšys tarp Y ir X2 ryšys yra neigiamas ir gan silpnas.Lentelė 2. Koreliacija
0,91455107 -0,2266 0,94326456 0,794379311 0,34337 0,061264
Koreliacijos koeficiento r reikšmingumui įvertinti yra naudojamas Stjudento kriterijus tkr (lentelinis arba MS EXCEL funkcijos TINV pagalba, pasirenkant reikšmingumo lygmenį α = 0,05 ir k – laisvės laipsnį, k = n – 2.), kuris lyginamas su stebimąja kriterijaus reikšme. Stebimąją kriterijaus reikšmę apskaičiuoju pagal formulę:
Jei tst ≥ tkr, tai darome išvadą, kad koreliacijos koeficientas reikšmingas ir stochastinis ryšys tarp x ir y (stochastinis ryšys pasireiškia kaip priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių taip, jog vieno dydžio pokytis veikia kito dydžio pasiskirstymą) egzistuoja. Jei tstx1, x2, …, xm atrinkimas regresiniai analizei atliktiApskaičiavusi koreliacijos koeficientą ir stebimąsias reikšmes galiu atrinkti reikšmingiausius X porinei regresinei analizei atlikti. Reikšmingiausi X: X1, X3 ir X4. Nes šiais atvejais tst ≥ tkr.Porinė regresinė analizėPorinės regresinės analizės tikslas – nustatyti ryšio tarp dviejų veiksnių formą ir analitinę išraišką: ieškant kuri kreivė geriausiai aprašo statistinių taškų visumą; tikrinant šios kreivės adekvatumą realiai padėčiai (kiek gerai atspindi realybę).
Norėdama rasti kreivę, geriausiai aprašančią statistinių taškų visumą, skaičiuoju koeficientus a1 ir a0:Šiam tikslui atlikti naudoju mažiausių kvadratų metodą arba MS EXCEL funkcijas SLOPE, INTERCEPT.Lentelė 4. Koeficientai a0 ir a1 apskaičiuoti pagal formules ir MS EXCEL pagalba
-337,27205 -243,29503 504,5934INTERCEPT -337,27205 -243,29503 504,5934
474,51845 1,78411 0,69453SLOPE 474,51845 1,78411 0,69453
Apskaičiavusi koeficientus a1 ir a0, galiu užrašyti regresijos lygtį pagal regresijos lygties pavidalą :
Norėdama įvertinti gautų analitinių išraiškų adekvatumą realiai padėčiai (Fišerio kriterijus, kur , (FINV – dispersijos santykių kritinė reikšmė; porinėje regresinėje analizėje k=1)) lyginu su kiekvienam reikšmingam veiksniui x apskaičiuotais F, kuriuos surandu pagal formulę: . – regresijos dispersija (atspindi rezultatinio rodiklio visuminę visų veiksnių įtaką): , k- veiksnių skaičius k=1 – likutinė dispersija (atspindi rezultatinio požymio variaciją, priklausančią nuo visų likusių veiksnių išskyrus x):
Jei , tai regresijos lygtis yra adekvati realiai padėčiai ir galima taikyti planavimus be skaičiavimus.Jei , tai regresijos lygtis nėra adekvati realiai padėčiai.Taigi į gautąsias lygtis įsistatau reikšmingų X1, X3 ir X4 reikšmes ir apskaičiuoju :Lentelė 5.
1. 611,764 1719,105 1060,5932. 2984,354 2661,057 1894,5933. 137,246 616,593 743,6734. 1086,282 1117,897 1199,5935. 611,764 737,905 665,1386. 3458,872 2570,073 3190,7687. 2984,354 2436,273 7235,6688. 4407,908 6787,449 7613,7489. 5831,462 4587,777 5040,85810. 3458,872 2195,433 2821,02811. 1086,282 827,105 2821,02812. 6780,498 4844,673 5369,59313. 7255,016 4593,129 5360,55814. 7729,534 9088,809 7367,71815. 611,764 470,305 991,09316. 611,764 803,913 983,44817. 1086,282 1035,833 1127,31318. 137,246 652,273 745,06319. 1560,8 1257,049 1127,31320. 6780,498 5551,137 5359,16821. 137,246 666,545 743,67322. 611,764 919,873 1035,57323. 7729,534 10860,321 1207,23824. 1086,282 1009,073 1101,59825. 137,246 707,577 796,49326. 1086,282 1025,129 1607,55827. 611,764 978,745 900,04828. 137,246 24,305 678,343
Lentelė 6. Apskaičiuota regresijos dispersija (pagal formules pateiktas ankščiau)
191159023,5 203326845,1 144419540,5
Lentelė 7. Apskaičiuota likutinė dispersija (pagal formules pateiktas ankščiau)
1438069,74 969153,8389 3243306,774
Lentelė 8. Apskaičiuotas Fišerio santykis (pagal formules, pateiktas ankščiau) ir Fišerio kriterijus (su MS EXCEL funkcija FINV)
132,92751
209,79832
44,52849
4,2252
Apskaičiavusi gaunu, kad ir palyginusi su F matau, kad F > Fkr. Tuo remiantis, galiu daryti išvadą, kad šių kintamųjų regresijos kreivės atitinka adekvačią realią padėtį, o tai reiškia, jog toliau galiu jas taikyti planavime ir prognozavime.
Dabar nubraižau Y ir X1, Y ir X3, Y ir X4 priklausomybes. Naudodamasi MS EXCEL komanda ADD TREDLINE, nubraižau regresijos kreives, kurios yra naudojamos prognozėms.Daugianarė koreliacinė regresinė analizėKai nagrinėjame priklausomo veiksnio Y ryšį su keliais nepriklausomais veiksniais X1, X2, …, Xn, tai susiduriame su daugianare koreliacine ir regresine analize. Daugianarės koreliacijos atveju ryšiui tarp kintamųjų atspindėti naudojamas bendras daugianarės koreliacijos koeficientas. Daugianarės koreliacijos koeficientas leidžia įvertinti vieno iš veiksnių (Y) ryšį su visais kitais (X1, X2, …, Xn) kaip visuma.
Tiesinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:Eksponentinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:
Mano darbe tiesinė regresijos lygtis yra tokia: , o eksponentinė regresijos lygtis atrodo taip: .Norėdama rasti kreivių koeficientus a0, a1, a2, a3 ir b0, b1, b2, b3, naudoju MS EXCEL funkcijas LINEST (tiesinei regresijai) ir LOGEST (eksponentinei regresijai). Gaunu šias lentelės:
Lentelė 9. LINEST0,270995639 1,3367333 21,5711595 -467,9138940,060138936 0,20513327 65,0574184 192,6557190,950884389 683,902209 #N/A #N/A154,8810017 24 #N/A #N/A217323863,2 11225333,6 #N/A #N/A
Lentelė 10. 9 lentelės langelių reikšmėsa3 a2 a1 a0
F
Lentelė 11. LOGEST1,000097389 1,00012242 1,14437081 337,9357965,07025E-05 0,00017295 0,05484925 0,162426090,827291392 0,57659106 #N/A #N/A38,32079479 24 #N/A #N/A38,22007776 7,97897392 #N/A #N/A
Lentelė 12. 11 lentelės langelių reikšmėsb3 b2 b1 b0
F
Tiesinė regresijos lygtis:
Eksponentinė regresijos lygtis:
Iš pirmos lentelės eilutės randu regresijos lygties koeficientus. Antroje lentelės eilutėje yra šių koeficientų vidutiniai standartiniai nuokrypiai. Pirmos lentelės stulpelio trečioje eilutėje yra determinacijos koeficientas D. Pirmo lentelės stulpelio ketvirtoje eilutėje – dispersijos santykis F. Paskutinėje lentelės eilutėje pateikiamos kvadratų sumos, kurių reikia skaičiuojant regresijos bei likutines dispersijas (pirmame stulpelyje yra regresijos dispersijos kvadratų suma, o antrame likutinės dispersijos kvadratų suma). Virš likutinės dispersijos kvadratų sumos (2st, 4eil.) yra šios dispersijos laisvės laipsnis. Kritinę statistikos F reikšmę randu funkcijos FINV pagalba, kurios reikia lyginant dispersijos santykį.Norėdama įvertinti gautos analitinės išraiškos adekvatumą realiai padėčiai, turiu palyginti lentelinį Fišerio santykį su statistiniu. Jei statistinis santykis didesnis už lentelinį, tai regresijos lygtis yra adekvati realiai padėčiai.Fišerio santykis: Norėdama jį apskaičiuoti, turiu rasti regresijos ir likutinę dispersijas tiesinei regresijai ir eksponentinei regresijai. Apskaičiuoju dispersijas pagal formules: = , k – reikšmingų veiksnių skaičius k=3
Tiesinės regresijos regresinė dispersija 72441287,51, o likutinė dispersija 467722,23.Eksponentinės regresijos regresinė dispersija 130462608,49, o likutinė dispersija 3856612,94.
Tiesinės regresijos dispersijų santykis F=154,88, o eksponentinės – F=33,83.Surandu kritinę reikšmę 3,00879. Ir tiesinės ir eksponentinės regresijos dispersijų santykis F yra didesnis už kritinę reikšmę Fkr, todėl galima teigti, kad abi regresijos lygtys yra adekvačios realiai padėčiai.Apskaičiuoju koreliacijos koeficientus R pagal formulę:Gaunu: tiesinės regresijos R=0,99677, o eksponentinės regresijos R=0,98511.Šis koreliacijos koeficientas parodo ryšio stiprumą tarp Y veiksnio ir visų X veiksnių kartu.Determinacijos koeficientas D=R2 (jis yra 9 ir 11 lentelių pirmo stulpelio trečioje eilutėje) parodo, kokią priklausomojo kintamojo kitimo dalį nulemia nepriklausomų kintamųjų kitimas, o (100-D) – kiti neįvertinti veiksniai. Determinacijos koeficientas gali priimti 0 ≤ R² ≤ 1 reikšmes. Kuo arčiau R2 yra arčiau 1, tuo pasirinktas modelis geriau aprašo duomenis.
Tai reiškia, kad tiesinė daugianarės regresijos lygtis paaiškina 95,09% Y išsibarstymą apie vidurkį, o eksponentinė regresijos lygtis – 82,73%. Taigi tiesinė daugianarės regresijos lygtis geriau paaiškin…a Y išsibarstymą apie vidurkį.
MS EXCEL funkcijų TREND (tiesinė) ir GROWTH (eksponentinė) pagalba galiu prognozuoti, kaip pasikeis Y, pakeitus tris jį labiausiai įtakojančius veiksnius: X1, X3 ir X4. Lentelė 13. Duomenys su kuriais atlikau tyrimą Y X1 X3 X4 999 2 1100 800 3021 7 1628 2000 359 1 482 344 763 3 763 1000 856 2 550 231 2868 8 1577 3865 2269 7 1502 9685 9756 10 3941 10229 5873 13 2708 6527 2369 8 1367 3333 1000 3 600 3333 6000 15 2852 7000 5692 16 2711 6987 8875 17 5231 9875 666 2 400 700 985 2 587 689 645 3 717 896 163 1 502 346 887 4 841 896 5796 15 3248 6985 158 1 510 344 558 2 652 764 7792 17 6224 1011 654 3 702 859 219 1 533 420 975 3 711 1587 452 2 685 569 100 1 150 250Suma 70750 169 43474 81525Vidurkis 2526,786 6,035714 1552,643 2911,607Kvadratinis nuokrypis 2909,43 5,607417 1538,228 3327,716Dispersija 8464785 31,44312 2366144 11073692
Lentelė 14. Nauji duomenys (pakeisti X1, X3 ir X4)Y X1 X3 X4999 52 1150 8503021 57 1678 2050359 51 532 394763 53 813 1050856 52 600 2812868 58 1627 39152269 57 1552 97359756 60 3991 102795873 63 2798 65772369 58 1417 33831000 53 650 33836000 65 2902 70505692 66 2761 70378875 67 5281 9925666 52 450 750985 52 637 739645 53 767 946163 51 552 396887 54 891 9465796 65 3298 7035158 51 560 394558 52 702 8147792 67 6274 1061654 53 752 909219 51 583 470975 53 761 1637452 52 735 619100 51 200 300
Pagal naujuosius X (pateiktus 14 lentelėje) atlieku skaičiavimus MS EXCEL funkcijų TREND ir GROWTH pagalba. Naujus X pasirinkau 50 didesnius.Lentelė 15. Duomenys apskaičiuoti MS EXCEL TREND ir MS EXCEL GROWTH pagalbaTREND GROWTH2421,376 469237,7483560,222 1104203,0841450,130 363651,7942046,667 525415,1121531,976 415038,5214019,026 1505850,3935474,395 2298137,9478946,822 4894948,0426413,587 4420329,2703594,143 1393533,7612461,012 646409,5936723,931 6139343,3516553,500 6896725,26610726,274 14233888,4131458,563 426530,0641705,551 435939,1351956,994 517200,0361477,406 364614,1982144,320 600921,1667249,212 6434872,9851487,558 364900,3601812,764 442642,8489651,545 6779918,8061926,916 514394,4151538,899 368647,5422136,231 552795,3581804,032 436074,396980,861 345987,256
Su MS EXCEL funkcija TREND apskaičiuoju tiesinę priklausomybę, o su funkcija GROWTH – eksponentinę.Šių MS EXCEL funkcijų pagalba galiu apskaičiuoti funkcijos reikšmes pagal lygtį. Taigi galiu iškart surasti naujiesiems X ir nereikia skaičiuoti iš tiesinės ar eksponentinės lygties. Taigi atlikus šiuos skaičiavimus galima pastebėti, kad padidėjus X1, X3 ir X4, Y taip pat padidėja.Gautų rezultatų aprašymas
Koreliacinė regresinė analizė parodė, kad iš pateiktų visų šešių veiksnių, Y labiausiai priklauso nuo X1, X3 ir X4. Skaičiuojant porinę regresinę analizę, nustačiau tokias šių kintamųjų tiesines regresines lygtis, adekvačias realiai padėčiai, kurias galima taikyti planavime ir prognozavime:Atlikus daugianarę regresinę analizę, nustačiau, kad tiesinė daugianarės regresijos lygtis paaiškina 95,09% Y išsibarstymą apie vidurkį, o eksponentinė regresijos lygtis – 82,73%. Taigi tiesinė daugianarės regresijos lygtis geriau paaiškina Y išsibarstymą apie vidurkį.Skaičiuojant daugianarę regresinę analizę, gavau, kad eksponentinės regresijos koreliacijos santykis (0,9967) geriau atspindi ryšio stiprumą tarp Y veiksnio ir visų X veiksnių kartu, nes jis yra didesnis už tiesinės regresijos koreliacijos santykį (0,9354).Tyrimo rezultatų taikymo pavyzdžiaiKoreliacinė regresinė analizė yra naudojama sudėtingiems ekonominiams ir fiziniams reiškiniams tirti. Pavyzdžiui, įmonės koreliacinės regresijos pagalba gali nustatyti ar egzistuoja ryšys tarp produkcijos pardavimų ir išlaidų reklamai. Daugianarė koreliacinė ir regresinė analizė padeda įvertinti kiek vienas rodiklis priklauso nuo kitų, pavyzdžiui, kiek pardavimų apimtys priklauso nuo išlaidų reklamai, išlaidų transportui ir elektros energijos sunaudojimo.PROGNOZĖ SLENKANČIO VIDURKIO IR EKSPONENTINIO IŠLYGINIMO METODAIS, VIDUTINIŲ KAVDRATINIŲ PAKLAIDŲ APSKAIČIAVIMASSlenkančio vidurkio metodasSlenkančio vidurkio metodo esmė yra laiko eilutės paskutiniųjų n reikšmių vidurkio skaičiavimas. Šis vidurkis ir yra naudojamas kaip prognozė naujam eiliniam laikotarpiui. Slenkantysis vidurkis skaičiuojamas taip:
Šiuo metodu skaičiuojant vidurkis keičiasi, slenka, kai tik tampa žinomos naujų stebėjimų reikšmės. paklaida = faktas – prognozė (paklaida parodo prognozės teisingumą)Vidutinė kvadratinė paklaida (MSE) – tai dažniausiai naudojamas prognozavimo tikslumo matas.
čia, Ft – prognozė; Yt – eilutės reikšmė;Norėdama prognozuoti slenkančio vidurkio pagalba pirmiausia turiu pasirinkti duomenų kiekį, kuriuos imsiu vidurkio skaičiavimui. Aš skaičiuosiu prognozę kas 3, kas 4 ir kas 5 reikšmes slenkančio vidurkio metodo pagrindu (kai n=3, n=4 ir n=5 ).
Slenkančio vidurkio metodo prognozė, kai n=3Lentelė 16. Prognozė, kai n=3Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė (n=3) Paklaida Paklaidos kvadratas1 999 2 3021 3 359 4 763 1459,67 -696,67 485344,445 856 1381 -525,00 275625,006 2868 659,33 2208,67 4878208,447 2269 1495,67 773,33 598044,448 9756 1997,67 7758,33 60191736,119 5873 4964,33 908,67 825675,1110 2369 5966 -3597,00 12938409,0011 1000 5999,33 -4999,33 24993333,7812 6000 3080,67 2919,33 8522507,1113 5692 3123 2569,00 6599761,0014 8875 4230,67 4644,33 21569832,1115 666 6855,67 -6189,67 38311973,4416 985 5077,67 -4092,67 16749920,4417 645 3508,67 -2863,67 8200586,7818 163 765,33 -602,33 362805,4419 887 597,67 289,33 83713,7820 5796 565 5231,00 27363361,0021 158 2282 -2124,00 4511376,0022 558 2280,33 -1722,33 2966432,1123 7792 2170,67 5621,33 31599388,4424 654 2836 -2182,00 4761124,0025 219 3001,33 -2782,33 7741378,7826 975 2888,33 -1913,33 3660844,4427 452 616 -164,00 26896,0028 100 548,67 -448,67 201301,7829 509 Suma -1979,67 288419579,00
Vidutinė kvadratinė paklaida
Slenkančio vidurkio metodo prognozė, kai n=4Lentelė 17. Prognozė, kai n=4Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė (n=3) Paklaida Paklaidos kvadratas1 999 2 3021 3 359 4 763 5 856 1285,5 -429,50 184470,256 2868 1249,75 1618,25 2618733,067 2269 1211,5 1057,50 1118306,258 9756 1689 8067,00 65076489,009 5873 3937,25 1935,75 3747128,0610 2369 5191,5 -2822,50 7966506,2511 1000 5066,75 -4066,75 16538455,5612 6000 4749,5 1250,50 1563750,2513 5692 3810,5 1881,50 3540042,2514 8875 3765,25 5109,75 26109545,0615 666 5391,75 -4725,75 22332713,0616 985 5308,25 -4323,25 18690490,5617 645 4054,5 -3409,50 11624690,2518 163 2792,75 -2629,75 6915585,0619 887 614,75 272,25 74120,0620 5796 670 5126,00 26275876,0021 158 1872,75 -1714,75 2940367,5622 558 1751 -1193,00 1423249,0023 7792 1849,75 5942,25 35310335,0624 654 3576 -2922,00 8538084,0025 219 2290,5 -2071,50 4291112,2526 975 2305,75 -1330,75 1770895,5627 452 2410 -1958,00 3833764,0028 100 575 -475,00 225625,0029 436,5 Suma -1811,25 272710333,44
Vidutinė kvadratinė paklaida
Slenkančio vidurkio metodo prognozė, kai n=5Lentelė 18. Prognozė, kai n=5Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė (n=3) Paklaida Paklaidos kvadratas1 999 2 3021 3 359 4 763 5 856 6 2868 1199,6 1668,40 2783558,567 2269 1573,4 695,60 483859,368 9756 1423 8333,00 69438889,009 5873 3302,4 2570,60 6607984,3610 2369 4324,4 -1955,40 3823589,1611 1000 4627 -3627,00 13155129,0012 6000 4253,4 1746,60 3050611,5613 5692 4999,6 692,40 479417,7614 8875 4186,8 4688,20 21979219,2415 666 4787,2 -4121,20 16984289,4416 985 4446,6 -3461,60 11982674,5617 645 4443,6 -3798,60 14429361,9618 163 3372,6 -3209,60 10301532,1619 887 2266,8 -1379,80 1903848,0420 5796 669,2 5126,80 26284078,2421 158 1695,2 -1537,20 2362983,8422 558 1529,8 -971,80 944395,2423 7792 1512,4 6279,60 39433376,1624 654 3038,2 -2384,20 5684409,6425 219 2991,6 -2772,60 7687310,7626 975 1876,2 -901,20 812161,4427 452 2039,6 -1587,60 2520473,7628 100 2018,4 -1918,40 3680258,5629 480 S…uma -1825,00 266813411,80
Vidutinė kvadratinė paklaida
Atlikusi prognozavimą slenkančio vidurkio metodu gavau tokias vidutines kvadratines paklaidas (MSE): kai n = 3, kai n = 4, kai n = 5, Palyginusi paklaidas matau, kad antroji paklaida (kai n = 4) yra mažesnė, todėl prognozavimas slenkančio vidurkio metodu, kai n = 4, yra tikslesnis.Eksponentinio išlyginimo metodasEksponentinis išlyginimas – tai toks prognozavimo metodas, kai prognozei naudojamas svertinis visų laiko eilutės reikšmių vidurkis. Eksponentinis modelis yra toks: arba čia, Ft+1 – laiko eilutės prognozė laikotarpiui t + 1 Yt – aktuali laiko eilutės reikšmė laikotarpiui t Ft – laiko eilutės prognozė laikotarpiui t – išlyginimo konstanta (0 < α < 1)Eksponentinio išlyginimo metodo prognozė, kai α=0,1Lentelė 19. Prognozė, kai α=0,1Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė kai α=0,1 Paklaida Paklaidos kvadratas1 999 2 3021 999,00 2022,00 4088484,003 359 1201,20 -842,20 709300,844 763 1116,98 -353,98 125301,845 856 1081,58 -225,58 50887,246 2868 1059,02 1808,98 3272394,897 2269 1239,92 1029,08 1059002,728 9756 1342,83 8413,17 70781441,609 5873 2184,15 3688,85 13607641,2510 2369 2553,03 -184,03 33867,6711 1000 2534,63 -1534,63 2355084,7712 6000 2381,17 3618,83 13095961,7713 5692 2743,05 2948,95 8696311,2914 8875 3037,94 5837,06 34071220,3215 666 3621,65 -2955,65 8735865,6716 985 3326,08 -2341,08 5480678,0817 645 3091,98 -2446,98 5987693,1518 163 2847,28 -2684,28 7205352,1119 887 2578,85 -1691,85 2862359,2220 5796 2409,67 3386,33 11467259,7021 158 2748,30 -2590,30 6709649,7822 558 2489,27 -1931,27 3729800,9223 7792 2296,14 5495,86 30204451,5724 654 2845,73 -2191,73 4803672,0425 219 2626,56 -2407,56 5796322,4526 975 2385,80 -1410,80 1990355,9527 452 2244,72 -1792,72 3213844,2128 100 2065,45 -1965,45 3862985,0629 1868,90 Suma 8699,03 253997190,11
Vidutinė kvadratinė paklaida
Eksponentinio išlyginimo metodo prognozė, kai α=0,2Lentelė 20. Prognozė, kai α=0,2Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė kai α=0,1 Paklaida Paklaidos kvadratas1 999 2 3021 999,00 2022,00 4088484,003 359 1403,40 -1044,40 1090771,364 763 1194,52 -431,52 186209,515 856 1108,22 -252,22 63612,916 2868 1057,77 1810,23 3276922,527 2269 1419,82 849,18 721109,668 9756 1589,65 8166,35 66689197,329 5873 3222,92 2650,08 7022904,5410 2369 3752,94 -1383,94 1915286,9911 1000 3476,15 -2476,15 6131324,5212 6000 2980,92 3019,08 9114838,4913 5692 3584,74 2107,26 4440558,4614 8875 4006,19 4868,81 23705316,7615 666 4979,95 -4313,95 18610177,6416 985 4117,16 -3132,16 9810433,8417 645 3490,73 -2845,73 8098173,3618 163 2921,58 -2758,58 7609781,1319 887 2369,87 -1482,87 2198893,1720 5796 2073,29 3722,71 13858545,6921 158 2817,83 -2659,83 7074720,0222 558 2285,87 -1727,87 2985526,6823 7792 1940,29 5851,71 34242461,5424 654 3110,64 -2456,64 6035057,0325 219 2619,31 -2400,31 5761479,6826 975 2139,25 -1164,25 1355470,1427 452 1906,40 -1454,40 2115271,4428 100 1615,52 -1515,52 2296794,2729 1312,41 Suma 1567,07 250499322,65
Vidutinė kvadratinė paklaida
Eksponentinio išlyginimo metodo prognozė, kai α=0,3Lentelė 21. Prognozė, kai α=0,3
Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė kai α=0,1 Paklaida Paklaidos kvadratas1 999 2 3021 999,00 2022,00 4088484,003 359 1605,60 -1246,60 1554011,564 763 1231,62 -468,62 219604,705 856 1091,03 -235,03 55240,986 2868 1020,52 1847,48 3413168,317 2269 1574,77 694,23 481959,938 9756 1783,04 7972,96 63568144,399 5873 4174,93 1698,07 2883456,4510 2369 4684,35 -2315,35 5360836,2011 1000 3989,74 -2989,74 8938566,6412 6000 3092,82 2907,18 8451692,6313 5692 3964,97 1727,03 2982617,5914 8875 4483,08 4391,92 19288943,3115 666 5800,66 -5134,66 26364706,9516 985 4260,26 -3275,26 10727329,4017 645 3277,68 -2632,68 6931015,2618 163 2487,88 -2324,88 5405055,3919 887 1790,41 -903,41 816157,3120 5796 1519,39 4276,61 18289393,3121 158 2802,37 -2644,37 6992708,4722 558 2009,06 -1451,06 2105578,2823 7792 1573,74 6218,26 38666723,0924 654 3439,22 -2785,22 7757450,0725 219 2603,65 -2384,65 5686574,4826 975 1888,26 -913,26 834039,7527 452 1614,28 -1162,28 1350895,8128 100 1265,60 -1165,60 1358614,7529 915,92 Suma -276,94 254572969,00Vidutin…ė kvadratinė paklaida
Atlikusi prognozavimą eksponentinio išlyginimo metodu gavau tokias vidutines kvadratines paklaidas (MSE): kai α = 0,01, kai α = 0,02, kai α = 0,03, Palyginusi paklaidas matau, kad antroji paklaida (kai α = 0,02) yra mažesnė, todėl prognozavimas eksponentinio išlyginimo metodu, kai α = 0,02, yra tikslesnis.Palyginusi slenkančio vidurkio mažiausią MSE paklaidą, kuri lygi 11362930,56, ir eksponentinio išlyginimo mažiausią MSE paklaidą, kuri lygi 9277752,69, galiu padaryti išvadą, kad prognozavimas eksponentinio išlyginimo metodu, kai α = 0,02 yra tiksliausias.GAMYBOS PLANAVIMO UŽDAVINYSGamybos uždavinio sudarymas ir išsprendimas grafiškai bei Excel pagalbaUždavinysUAB „Siuvykla“ siuva sukneles ir palaidines. Pardavus suknelę yra gaunamas 20 litų pelnas (už vienetą), o pardavus palaidinę – 17 litų pelnas (už vienetą). Norint pasiūti suknelę reikia: 300 cm medžiagos, 4 sagų ir 50 minučių žmogaus darbo. O norint pasiūti palaidinę reikia: 220 cm medžiagos, 6 sagų ir 70 minučių žmogaus darbo. Tačiau UAB „Siuvykla“ turi ribotas išteklių atsargas, t.y. 12375 cm medžiagos, 210 vienetų sagų ir 2800 minučių žmogaus darbo. Kiek reikia pasiūti suknelių ir palaidinių, kad įmonė gautų maksimalų pelną?Sprendimas grafiškai Suknelė (x) Palaidinė (y)Medžiaga (cm) 300 220Sagos (vnt.) 4 6Žmogaus darbas (min.) 50 70Pelnas (Lt) 20 17
Tikslo funkcija:
Apribojimai:
Norėdama nubrėžti tieses, turiu surasti taškus, per kuriuos jos eina. Todėl apribojimus pasirašau kaip lygtis ir surandu tuos taškus:(1) (2) (3)
, , , , , ,
Tikslo funkciją nubrėžiau pasitekusi gradientą. Kadangi uždavinys yra maksimumo, tikslo funkcijos tiesę reikia lygiagrečiai slinkti gradiento kryptimi iki toliausiai nutolusio taško. Taip surandu, kad optimalus sprendinys yra taške B. Šiame taške kertasi pirma ir antra tiesės, todėl:
x = 30,49y = 14,67Imu sveiką suknelių ir palaidinių vienetų skaičių ir apskaičiuoju maksimalų pelną: (Lt)
Ats.: Norint gauti maksimalų pelną (838 Lt), reikia siūti 30 vienetų suknelių ir 14 vienetų – palaidinių.Sprendimas MS EXCEL pagalbaŠį gamybos planavimo uždavinį išspręsiu naudodamasi MS EXCEL funkcija SOLVER. Į MS EXCEL darbalaukio celę įrašau tikslo funkciją be dešiniosios nelygybės pusės, žemiau vieną po kito įrašau x ir y. Dar žemiau parašau turimus apribojimus taip pat be dešiniųjų nelygybių pusių. Išsikviečiu MS EXCEL Tools Solver komandą. „Set Target Cell” langelyje parašau tikslo funkcijos celės koordinates; „Equal to” eilutėje pažymiu max; „By Changing Cells“ langelyje įrašau x ir y celių koordinates; „Subject to the Constraints“ langelyje įvedu visas apribojimų nelygybes. Tuomet „Options“ langelyje pasirenku „Assume Linear Model“ ir „Assume Non-Negative“. Ir tuomet jau spaudžiu ok solve. MS EXCEL apskaičiuotus rezultatus pateikiau prieduose.Dualusis uždavinysPradinis uždavinys
Atrenku du apribojimus iš pradinio gamybos planavimo uždavinio ir sprendžiu dualų uždavinį:
Iš čia:
Šį dualųjį uždavinį spręsiu grafiniu būdu. Norėdama nubrėžti tieses, turiu surasti taškus, per kuriuos jos eina. Todėl apribojimus pasirašau kaip lygtis ir surandu tuos taškus:
(1) (2)
, , , ,
Tikslo funkciją nubrėžiau pasitekusi gradientą. Kadangi uždavinys yra minimizavimo, tikslo funkcijos tiesę reikia lygiagrečiai slinkti prieš gradiento kryptį iki toliausiai nutolusio taško. Taip surandu, kad optimalus sprendinys yra taške B. Šiame taške kertasi pirma ir antra tiesės, todėl:
y1 = 0,055y2 = 0,07B (0,055; 0,07)Apskaičiuoju (Lt)Pagal dualumo teoriją, jei vienas planavimo uždavinys turi optimalų sprendinį, tai jį turi ir dualus uždavinys, ir optimalios funkcijų reikšmės yra lygios.Kadangi mano suformuluotame uždavinyje įmonė gamina sukneles ir palaidines, gamybos planavimo uždavinyje skaičiuodama apvalinau x ir y iki sveikojo skaičiaus (į mažesnę pusę) ir gavau tokią reikšmę: Lt. Tačiau imant nesuapvalintas reikšmes, gaunu didesnį rezultatą: , pagal šį skaičiavimą gamybos uždavinio ir dualaus uždavinio reikšmės yra labai artimos viena kitai.Išteklių „šešėlinės“ kainos ir gautų rezultatų aprašymas
Dualaus uždavinio sprendinys yra išteklių šešėlinės kainos. Šešėlinių kainų tiesiogiai nematome, tačiau tai yra viršutinė riba, kurią sutinka mokėti verslininkas už išteklius.Taško B koordinatės (0,055; 0,07) ir yra šešėlinės kainos. Tai reiškia, kad suknelės šešėlinė kaina lygi 0,055, o palaidinės šešėlinė kaina yra 0,07. Pelnas bus: (Lt)Išsprendusi gamybos planavimo uždavinį sužinojau, kiek reikia siūti suknelių ir kiek palaidinių, kad užtektų visų išteklių ir gautume maksimalų pelną. Išsprendusi dualų uždavinį sužinojau išteklių „šešėlines“ kainas, kurios parodo kaip pasikeistų tikslo funkcija, padidinus turimus išteklius vienu vienetu.TRANSPORTO UŽDAVINYS3 drabužių siuvimo įmonės (siuntimo punktai) tiekia drabužius (vienetais) į 4 drabužių parduotuves (gavimo punktus):Prekės turi būti išvežiotos į parduotuves. Prekės gali būti vežamos iš visų gamintojų į visas parduotuves. Mano tikslas yra sudaryti tokį pervežimų planą, kad bendrosios transportavimo išlaidos būtų mažiausios; visų drabužių parduotuvių (gavimo punktų) poreikiai būtų patenkinti; visų drabužių siuvėjų (siuntimo punktų) atsargos būtų išvežtos. – drabužių kiekis vežamas iš siuntimo punkto i į gavimo punktą j; – vieno drabužio vieneto pervežimo kaina (Lt); – atsargos siuntimo punktuose (vienetais); – atsargos gavimo punktuose (vienetais).Tikslo funkcija čia reiškia bendras transportavimo išlaidas:
Norėdama išspręsti transporto uždavinį naudosiu pervežimo lenteles, kurių langelių viršutiniuose dešiniuosiuose kampuose yra pažymėtos pervežimo kainos:Lentelė 22. Pervežimo lentelė B1 B2 B3 B4 aiA1 4 1 5 4 35A2 3 2 2 1 40A3 5 6 3 4 25bj 20 35 30 15 100Sudarau tikslo funkciją:
Apribojimai:
Sprendinio ieškosiu dviem metodais:1. šiaurės vakarų;2. potencialų.Pirmojo metodo esmė ta, kad lentelė yra pradedama pildyti nuo viršutiniojo kairiojo kampo. Jei siuntimo pirmasis siuntimo punktas patenkina parduotuvės poreikius, tai tas stulpelis jau yra užpildytas ir tada slenkamasi dešinėn. Jei siuntimo punkto atsargos paskirstytos, tai eilutė yra užpildyta ir slenkamasi į langelį, esantį žemiau. Taip kartojama tol, kol yra paskirstomi visi ištekliai.
Antrojo metodo esmė ta, kad skaičiuojant siuntimo bei gavimo punktų potencialus bei atliekant ciklo poslinkius yra gaunamas optimaliausias sprendinys.Šiaurės vakarų metodas:Atlieku tokius žingsnius:1 žingsnis: , , 2 žingsnis: , , 3 žingsnis: , , 4 žingsnis: , , 5 žingsnis: , , 6 žingsnis: , Lentelė 23. Pervežimų lentelė paskaičiavus šiaurės vakarų metodu B1 B2 B3 B4 aiA1 20 4 15 1 5 4 35A2 3 20 2 20 2 1 40A3 5 6 10 3 15 4 25bj 20 35 30 15 100Pervežimo kaina: (Lt)Šis sprendimo būdas užtikrina prekių paskirstymą, bet pervežimo kaštai yra dideli. Todėl, ieškodama optimalaus pervežimų varianto, uždavinį išspręsiu potencialų metodu. Kad galėčiau tai atlikti, turiu prieš tai rastai pervežimų lentelei apskaičiuotai šiaurės vakarų metodu apskaičiuoti drabužių siuvimo įmonių (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:u1 + v1 = 4 u1 = 0 v1 = 4u1 + v2 = 1 v2 = 1u2 + v2 = 2 u2 = 1 u2 + v3 = 2 v3 = 1u3 + v3 = 3 u3 = 2 u3 + v4 = 4 v4 = 2
Lentelė 24. L1 Vj 4 1 3 2 Ui B1 B2 B3 B4 ai0 A1 20 4 15 1 5 4 351 A2 3 20 2 20 2 1 402 A3 5 6 10 3 15 4 25 bj 20 35 30 15 100
Optimalus sprendinys bus tada, kai pervežimų lentelės visuose laisvuose langeliuose galios ši nelygybė:
Jei , sudarome ciklą ir skaičiuojame poslinkį, t.y. braižome laužtinę liniją nuo tuščio langelio per kitus užpildytus langelius. Ciklo viršūnėms pakaitomis priskiriame „+“ ir „–“ ženklus, pradedant nuo viršūnės tuščiame langelyje su „+“ ženklu. Iš gautų neigiamų viršūnių išrenkam mažiausią skaičių ir teigiamose viršūnėse jį pridedame, o neigiamose – atimame.Apskaičiavusi, gavau tokias reikšmes:
Kadangi , ir , tai L1 lentelėje pradedu skaičiuoti poslinkį. Šiuo atveju ciklo poslinkis pirmiausiai yra lygus 20. Po poslinkio gaunu lentelę L2.Lentelė 25. L2 Vj 4 1 3 2 Ui B1 B2 B3 B4 ai0 A1 0 4 35 1 5 4 351 A2 20 3 0 2 20 2 1 402 A3 5 6 10 3 15 4 25 bj 20 35 30 15 100
(Lt)Vėl apskaičiuoju drabužių siuvimo įmonių (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:u1 + v2 = 1 u1 = 0 v2 = 1u2 + v1 = 3 u2 = 1 v1 = 2u2 + v3 = 2 v3 = 1u3 + v3 = 3 u3 = 2 u3 + v4 = 4 v4 = 2
Lentelė 26. L3 Vj 2 1 1 2 Ui B1 B2 B3 B4 ai
0 A1 4 35 1 5 4 351 A2 20 3 2 20 2 1 402 A3 5 6 10 3 15 4 25 bj 20 35 30 15 100Vėl skaičiuoju :
Kadangi , tai L3 lentelėje skaičiuoti poslinkį. Šiuo atveju ciklo poslin…kis pirmiausiai yra lygus 15. Po poslinkio gaunu lentelę L4.Lentelė 27. L4 Vj 2 1 1 2 Ui B1 B2 B3 B4 ai0 A1 4 35 1 5 4 351 A2 20 3 2 5 2 15 1 402 A3 5 6 25 3 0 4 25 bj 20 35 30 15 100
(Lt)Vėl apskaičiuoju drabužių siuvimo įmonių (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:u1 + v2 = 1 u1 = 0 v2 = 1u2 + v1 = 3 u2 = 1 v1 = 2u2 + v3 = 2 v3 = 1u2 + v4 = 1 v4 = 0u3 + v3 = 3 u3 = 2 Lentelė 28. L5 Vj 2 1 1 0 Ui B1 B2 B3 B4 ai0 A1 4 35 1 5 4 351 A2 20 3 2 5 2 15 1 402 A3 5 6 25 3 4 25 bj 20 35 30 15 100
Vėl skaičiuoju :
Visi , todėl galiu apskaičiuoti optimalų sprendinį: (Lt) Dabar galiu apibendrinti visą uždavinį: Pirmoji drabužių siuvimo įmonė (siuntimo punktas) turi vežti: į antrą parduotuvę (gavimo punktą) – 35 vienetus gaminių;Pervežimo išlaidos bus 35 Lt ( ) Antroji drabužių siuvimo įmonė (siuntimo punktas) turi vežti: į pirmą parduotuvę (gavimo punktą) – 20 vienetų gaminių; į trečią parduotuvę (gavimo punktą) – 5 vienetus gaminių; į ketvirtą parduotuvę (gavimo punktą) – 15 vienetų gaminių;Pervežimo išlaidos bus 85 Lt ( ) Trečioji drabužių siuvimo įmonė (siuntimo punktas) turi vežti: į trečią parduotuvę (gavimo punktą) – 25 vienetus gaminių;Pervežimo išlaidos bus 75 Lt ( )Tai yra optimaliausias pervežimo planas, nes bendros pervežimo išlaidos mažiausios (195 Lt), taip pat yra išvežta visų trijų drabužių siuvimo įmonių (siuntimo punktų) produkcija bei patenkinti visų keturių parduotuvių (gavimo punktų) poreikiai.
PRIEDAS NR.1Atsakymų ataskaita
Target Cell (Max) Cell Name Original Value Final Value $B$5 pelnas 0 859,2391304
Adjustable Cells Cell Name Original Value Final Value $B$9 suknele 0 30,48913043 $B$10 palaidine 0 14,67391304
Constraints Cell Name Cell Value Formula Status Slack $B$14 medz 12375 $B$14<=$C$14 Binding 0 $B$15 sagos 210 $B$15<=$C$15 Binding 0 $B$16 zm.darbas 2551,630435 $B$16<=$C$16 Not Binding 248,3695652 $B$17 neneigiam. 30,48913043 $B$17>=$C$17 Not Binding 30,48913043 $B$18 neneigiam. 14,67391304 $B$18>=$C$18 Not Binding 14,67391304
PRIEDAS NR.2Jautrumo ataskaita
Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$9 Suknele 30,48913043 0 20 3,181818182 8,666666667 $B$10 Palaidine 14,67391304 0 17 13 2,333333333Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $B$14 Medz 12375 0,056521739 12375 3375 4675 $B$15 Sagos 210 0,760869565 210 22,85 45 $B$16 zm.darbas 2551,630435 0 2800 1E+30 248,3695652 $B$17 Neneigiam. 30,48913043 0 0 30,48913043 1E+30 $B$18 Neneigiam. 14,67391304 0 0 14,67391304 1E+30
PRIEDAS NR.3Limitų ataskaita
Target Cell Name Value $B$5 pelnas 859,2391304
Adjustable Lower Target Upper Target Cell Name Value Limit Result Limit Result $B$9 suknele 30,48913043 5,01643E-12 249,4565217 30,48913043 859,2391304 $B$10 palaidine 14,67391304 0 609,7826087 14,67391304 859,2391303LITERATŪROS ŠALTINIAI1. A.Pabedinskaitė. Kiekybiniai sprendimų metodai. I dalis. Koreliacinė regresinė analizė. Prognozavimas. Vilnius: Technika, 2005. 102 p.2. S.Kalanta. Taikomosios optimizacijos pagrindai. Tiesinių uždavinių formulavimas ir sprendimo metodai. Vilnius: Technika, 2003. 336 p.