Paprastosios palūkanos

Paprastosios palūkanos

Pinigai

“Jis yra vertas savo druskos” yra posakis, kuris kilęs iš laikų, kai darbininkams būdavo mokama druskos gabalais. Pinigai yra bet kas, kuo priimta atsiskaityti už prekes ir paslaugas. Vampumai, sraigių kiautai, karoliukai, akmeninės plokštelės ir kiti objektai tarnavo kaip pinigai. Vystantis ekonomikai, pinigų sistema turi keistis taip, kad atitiktų naujas reikmes. Už vampumai, kuriuos kadaise kaip pinigus naudojo indėnai, šiandien nebenusipirksite nei maisto nei drabužių.
JAV pinigai yra dažnai apibrėžiami kaip valiutos (monetų ir banknotų) suma esanti cirkuliacijoje, reikalavimų depozitai (ddemand deposits), (einamosios sąskaitos (checking accounts) komerciniuose bankuose), keliautojų čekiai (travelers cheques) ir kiti einamieji depozitai (checkable deposits). Ši suma kartais dar vadinama siauru pinigų tiekimu; ji yra žymima M1. Kiekvienas M1 komponentas gali būti naudojamas kaip priemonė apsikeitimui. Kai prie siauro pinigų tiekimo pridedami tam tikri kiti depozitai, gaunamas platus pinigų tiekimas žymimas M2.
Nors ir kalbama apie bepiniginę visuomenę, faktai rodo visai ką kita. 1960 metais buvo apie 160 dolerių vienam asmeniui. 1987-aisiais šis vidurkis buvo 805 doleriai. Iliustracija 1-1 rodo, kad pinigų paasiūla didėjo bėgant metams, tam kad patenkintų augančios ekonomikos reikmes. Taip pat iliiustracijoje matome, kad čekių pinigai su savo saugumu ir patogumu sudaro beveik 3/4 pinigų pasiūlos.
Pinigų pasiūla turi žymų poveikį šalies ekonominiam gyvenimui ir jos žmonių geroveiovei. Jeigu yra nepakankamai pi

inigų, kyla depresija kartu atsinešdama ir nedarbą bei ekonominį skurdą bedarbiams bei nuo jų priklausomiems. Pernelyg daug pinigų reiškia infliaciją su pabėgusiomis kainomis ir ekonominiu skurdu tiems, kurių pajamos nesuspėja su kainomis.
Pav 1-1 Pinigų pasiūla
Šaltinis: 1989 Economic Report of The President, lentelės B-67, B-68
JAV pagrindinis instrumentas pinigų pasiūlos reguliavimui yra federalinė rezervų sistema (Fed), kuri buvo įkurta 1913 metais. Kontroliuodama paskolas ir kitas priemones Fed aprūpina valstybę elastinga pinigų pasiūla, kuri praplečiama arba sumažinama pagal žmonių poreikius. Fed bando atitaikyti besikeičiančius žmonių poreikius pinigams taip, kad palengvinbtų ekonomikos augimą, mažą ir mažėjantį nedarbo lygį, kainų stabilumą ir dolerio apgynimą tarptautinėje prekyboje ir investicijose. Kadangi šie tikslai gali nesutapti, dažnai kyla nesutarimai dėl pinigų pasiūlos ketimo dydžio ir dažnumo. Ekonomistai ginčijasi vienas su kitu. JAAV prezidentas ir federalinės rezervų sistemos tarybos pirmininkas gali nesutarti dėl monetarinės politikos. 3-iame skyriuje finansų matematika yra naudojama pinigų pasiūlos pasikeitimų analizei.
1.2 Pinigų privertimas dirbti
Pinigai jūsų kišenėje arba atsiskaitomojoje sąskaitoje yra visada paruošti mokėjimams, tačiau iš kitos pusės jie nedaug ką daro jums. Su didelėmis šiandieninėmis palūkanų normomis, pertekliniai grynieji pinigai yra pernelyg didelė prabanga.Išmintingi pinigų vadybininkai, tie kurie tvarko individualias sąskaitas ir tie, kurie turi reikalų su akcinių bendrovių lėšomis, turi bendrą tikslą: priversti neveiklius pinigus dirbti. Šitai gali bū
ūti pasiekta tampant skolintoju arba savininku. Skolintojai skiria lėšas, kad jos būtų grąžinamos su palūkanomis. Savininkai perka nuosavybę tikėdamiesi, kad akcinė bendrovė bus sėkminga ir gaus pelną. Bet kuriuo atveju dokumentai, vadinami pinigų rinkos instrumentais, būna išleidžiami tam, kad aprašytų investiciją.
Kiekvienas turėtų žinoti, kaip pinigų rinkos instrumentų nuosavybė yra perduodama. Nešėjo (bearer) instumentai yra mokami turėtojui. Jie yra mokami bet kam, kas turi šiuos popierius. Dėl padidėjusių nešėjo instrumentų vagysčių, kai kurios institucijos reikalauja nuosavybės įrodymo prieš pirkdamos nešėjo vertybinį popierių. Net jeigu vagis turi parduoti nešėjo vertybinių popierių grobį su didele nuolaida, tikrasis šių popierių savininkas patiria visišką nuostolį, todėl nešėjo vertybiniai popieriai turi būti saugomi taip pat atidžiai kaip ir grynieji pinigai.
Pav. 1-2 Ilgalaikių paskolų palūkanų normos
Šaltinis: 1989 Economic Report of the President, Lentelė B-71
Kiti laisvai keičiami (negotiable) instrumentai su fraze “mokėti pagal tokio ir tokio pareikalavimą” gali būti perduodami pasirašant kitoje dokumento pusėje. Laisvai keičiamas popierius turėtų būti labai saugomas, nes jo pakeitimas nauju gali būti brangus ir užimąs daug laiko.
Yra dvi rinkos, kuriose finansiniai instrumentai yra parduodami. Naujai išleisti vertybiniai popierai pirmiausia parduodami pirminėje rinkoje (primary market). Paprastai, naujas leidimas (issue) yra pasirašomas investuojančio bankininko (investment banker), kuris perka visą leidimą ir suformuoja sindikatą, kad padėtų parduoti leidimą na
aujiems savininkams.
Jau parduoti vertybiniai popieriai yra perparduodami kitiems investitoriams antrinėse (secondary or trading) rinkose. Antrinės rinkos sudarytos iš organizuotų biržų tam tikrose vietose, tokiose kaip New York ir Amerikos vertybinių popierių biržos.ir prekybos per-prekystalį. Prekyba per-prekystalį nėra organizuota biržose. Ji yra dažniausiai vykdoma įvairių dilerių, kurie bendrauja tarpusavyje telefonu, teletaipu, faksu arba elektroniu būdu.
Finansiniai popieriai gali būti laisvai keičiami, tačiau neatinkanti rinkos (not marketable). Kad būtų atitinkantis rinką, vertybinis popierius turi būti greitai parduodamas su prienamais sandėrio kaštais. Neatitinkantys rinkos vertybiniai popieriai yra nelikvidūs.
1.4 Mūsų kreditais užpildyta ekonomika
Dauguma asmenų ar šeimų gali nusipirkti namą vien dėl to, kad gali naudoti kitų žmonių pinigus. Verslai priklauso nuo pasiskoolintų pinigų tiek kasdienėms operacijoms tiek ilgalaikiam plėtimuisi. Valstybė visuose lygiuose taip pat skolinasi daug. JAV per 2 savo egzistavimo šimtmečius visada buvo skolose. Pats mažiausias taškas buvo 1836 metais 38000$, mažiau nei centas vienam žmogui. 1988 federalinės vyriausybės skola buvo apie 2.6 trilijono $, arba 10 564$ vienam žmogui. Nėra abejonės, kad federalinė vyriausybė kartu su daugybe valstijų, miestų ir akcinių bendrovių visuomet bus skolose. Tačiau dėl skolos jaudintis neverta tol, kol ji yra pasiskolinusiojo resursuose ir reikmėse. Kai žmogus pasiskolina pinigų, sukuriama skola, tačiau tuo pačiu sukuriamas ir turtas.
Išmintingai naudojamas kreditas gali padėti tiek skolintojui, tiek paskolos gavėjui. Žmogus turintis perteklinių pi
inigų galėtų paslėpti juos čiužinyje. Pinigai visada bus prienami mokėjimams, tačiau neaugs. Kitu atveju, jei kam nors kitam būtų leista naudotis pinigais, tai skolintojas turėtų malonumą stebėti, kaip auga jo paskolinti pinigai. paskolos gavėjas, nors ir mokėdamas už pinigų naudojimą, taip pat gali gauti naudos.
1.5 Kredito kaina
Kaina mokama už pinigų naudojimą yra palūkanų norma. Jei palūkanų norma yra 10 % per metus, tai skolintojas gauna 10 centų nuo kiekvieno paskolinto dolerio per metus.
Pav. 1-3 Trumpalaikių paskolų palūkanų normos
Šaltinis: 1989 Economic Report of the President, Lentelė B-71
Palūkanų normos labai skiriasi. Bet kurioje šalyje, bet kuriuo laiku yra platus palūkanų normų spektras. Mažiausios palūkanos mokamos už beveik nerizikingus valstybinius vertybinius popierius. Federalinė vyriausybė leidžia 4 tipų vertybinius popierius: lakštus (bills), skolos sertifikatus (certificates of indebtedness), notos (notes), obligacijas (bonds). Paskolos lakštai paprastai būna 3-12 mėn. trukmės, sertifikatai būna 1 metų trukmės, notos 1-7 metų, o obligacijos daugiau nei 5metų trukmės. Žemiausia komercinė palūkanų norma yra pirminė palūkanų norma (prime rate) (~8,22% 1988), kurią bankai taiko didžiausiems ir patikimiausiems verslo klientams. Pirminė palūkanų norma yra norma kuria yra paremtos visos kitos palūkanų normos. Pirminės palūkanų normos pasikeitimai duoda gerą vaizdą apie tai, kaip pasikeitė palūkanų normos ir visiems kitiems. Norintys pasiskolinti ir turintys mažas bei abejotinas pajamas turi mokėti nuo 10 iki 42% ar net daugiau palūkanų iš legalių skolintojų. Nelegaliai skolintojai kartais prašo net 500% ar daugiau už savo paskolas. Laikotarpiais, kai pinigų pasiskolinti yra lengva, visos palūkanų normos yra linkusios sumažėti. Laikotarpiais, kai pinigų pasiskolinti pasidaro sunkiau, jos kyla. Pav. 1-2 ir 1-3 iš Economic Report of the President, rodo palūkanų normų skirtumus tarp įvairių aukštos kokybės arba mažos rizikos paskolų instrumentų. Paprastai trumpalaikių paskolų trukmė būna neilgesnė nei metai, o ilgalaikės paskolos būna metų ar daugiau.
Kreditų prieinamumas ir jų kaina daro įtaką ne tik asmenims ir verslams, bet ir visai ekonomikai.Palūkanų normos turėtų būti pakankamai nedidelės, kad verslai norėtų skolintis ir investuoti šias lėšas būdais, kurie didintų darbo vietų skaičių augančiai darbo jėgai. Tačiau jei žemos palūkanų normos leidžia paklausai viršyti pasiūlą, greitai auganti skainų lygis gali reikšti žemesnį gyvenimo lygį daugeliui. Monetariniai pareigūnai stengiasi išvengti ir infliacijos ir defliacijos todėl jie keičia paskolų gavimo galimybes ir palūkanų normas. Papildomai situaciją komplikuoja tarptautinių mokėjimų balansas, kuris taip pat sąlygoja monetarinių pareigūnų pastangas pakeisti palūkanų normas. Pasirinkimas gali būti tarp palūkanų normų sumažinimo vidinės ekonomikos paskatinimui ir tarp palūkanų normų padidinimo rimto mokėjimų balanso deficito išvengimui. Dėl tarptautinio pinigų mobilumo, palūkanų normos turi nemažą įtaką pinigų srautams tarp tautų. Jei palūkanų normos yra aukštos vienoje valstybėje, tai investcijos linkusios plaukti į ten, nes investitoriai ieško didesnių pajamų. Šie tarptautiniai pinigų srautai gali paveikti įtrauktų šalių kainų struktūrą ir ekonominį augimą. Tam, kad pasaulio ekonomika vystytųsi sveikai, reikia, kad visos valstybės kreiptų dėmesį į savo palūkanų normų įtaką kitoms valstybėms taip pat kaip ir savajai. Paprastai laikoma, kad trumpalaikių paskolų palūkanų normos yra svarbesnės mokėjimo balanso reikalams, o ilgalaikių paskolų – įtakoja vidines investicijas.
Nesvarbu ar valdysite namų ūkį, ar verslą, ar valstybės ekonomiką, jums rūpės kredito kaštai. Finansų matematikos uždavinių sprendimas geriausias būdas sužinoti kaip šie kaštai nustatomi. Šiame skyriuje mes aptariame paprastąsias palūkanas, metodą, paprastai naudojamą kredito kaštų nustatymui paskoloms, kurių trukmė yra metai ar mažiau. Kitas būdas suteikti kainą trumpalaikėms paskoloms yra bankų diskontas, aprašytas 2 skyriuje.
1.6 Paprastosios palūkanos (simple interest)
Pasiskolintoji pinigų suma vadinama principalu (principal). Dolerių skaičius, kurį gauna paskolos gavėjas yra dabartinė paskolos vertė. Paprastosiose palūkanose principalas ir dabartinė vertė sutampa. Paskolos laikas yra laikotarpis, kurio metu paskolos gavėjas gali naudotis paskola ar jos dalimi. Paprastosios palūkanos yra skaičiuojamos nuo viso pradinio principalo. Sudėtinės palūkanos (3 skyrius) yra skaičiuojamos nuo principalo, kuris yra didinamas kiekvieną kartą, kai palūkanos yra gaunamos.
Paprastųjų palūkanų paskolos kaina yra išreiškiama kaip palūkanų norma ir yra fiksuota principalo dalis už jo naudojimą. Paprastųjų palūkanų normos paprastai būna išreiškiamos procentais laiko vienetui. Paprastosios palūkano apibrėžiamos kaip principalo, palūkanų normos ir laiko sandaugai. Šis apibrėžimas nurodo mums paprastųjų palūkanų formulę.
I=Prt
I – palūkanos išreikštos piniginiais vienetais.
P – principalas išreikštas piniginiais vienetais.
r – palūkanų norma procentais laiko vienetui.
t – laikas vienetais, atitinkančiais palūkanų normą.

Šiame tekste dolerį mes turime omenyje kaip piniginį vienetą.
Pastebėtina, jog r ir t turi būti išreikšti atitinkamai. Tai yra, jei palūkanų norma yra metinė, tai ir laikas turi būti išreikštas metais arba jei palūkanų norma yra mėnesinė, tai laikas turi būti išreikštas mėnesiais. Praktikoje paprastųjų palūkanų sandėriai sudaromi metiniu pagrindu. Kad išvengtume pasikartojimo, šioje knygoje palūkanų normos yra metinės, nebent uždavinys teigia kitaip.
Kai palūkanų norma yra išreikšta procentais, ji turėtų būti paversta į trupmeną paprastųjų palūkanų formulėje. Jei 6 % palūkanų norma yra naudojama formulėje (1), tai r turėtų būti pakeista 0,06. Tai galima padaryti tiesiog perkeliant kablelį per du ženklus į kairę ir pašalinant % simbolį.
Maži palūkanų normų skirtumai yra dažnai išreiškiami išeities taškais (basis points). Šimtas išeities taškų sudaro 1 %. Jei du vertybiniai popieriai yra kvotuojami 6,80 % ir 6,65 %, tai tarp jų yra 15 išeities taškų skirtumas.
7. Paprastųjų palūkanų pritaikymas
Daugeliui žmonių pirmasis susidūrimas su paprastosiomis palūkanomis yra terminuoti indėliai (time deposit) banke. Terminuoti indėliai yra pinigai asmens ar firmos laikomi banke iš kurių bankas gali reikalauti išankstinio atsiėmimo rašto (advance notice of withdrawal). Yra trys terminuotų indėlių tipai: taupomosios sąskaitos (saving accounts), atvirosios sąskaitos (open accounts), indėlių sertifikatai (certificates of deposit).
Taupomosios sąskaitos kartais gali būti išankstinio atsiėmimo dalyku. Tačiau praktikoje asmenys paprastai gali atsiimti pinigus pagal pareikalavimą. Taigi šios sąskaitos yra naudingos žmonėms, kurie nori pajamų nuo lėšų, kurios yra prienamos prisireikus. Apdraustos sąskaitos yra saugi vieta pinigams laikyti. Nors grąža yra nedidelė, tačiau taupomosios sąskaitos suteikia likvidumą, saugumą ir lankstumą, leisdamos įnešti ir paimti pinigus bet kada.
Atvirosios sąskaitos paprastai moka didesnes palūkanas nei taupomosios sąskaitos dėl įnašų ir išėmimų apribojimų. Šios sąskaitos labai skiriasi laiku ir palūkanų normomis. Taupomieji sertifikatai turi minimalias sumas ir nustatytas subrendimo (maturity) datas.Investitorius, norintis atsiimti lėšas anksčiau subrendimo datos, turi pateikti raštišką prašymą atsiimti pinigus. Tokiam prašymui įvykdyti gali prisireikti nustatyto laiko tarpo.
Neįprasta atviroji sąskaita yra palūkanų nemokantis Kalėdų klubas. Klubo nariai daro periodiškus įnašus ir jų sąžiningumas pripažįstamas pagal įrašus spec. knygelėje. Artėjant laikui daryti kalėdines dovanas, klubo nariai atgauna savo įnašus be palūkanų.Geri pinigų vadybininkai Kalėdoms taupo produktyvesniais būdais. Jei jums patinka kalėdų klubas, ieškokite tokio, kuris moka palūkanas.
Indėlių sertikatai (CD) yra pinigų rinkos instrumentai su fiksuotomis sumomis, palūkanų normomis ir laiko periodais. Nelaisvai keičiami (nonnegotiatable), vartotojų tipo sertifikatai būna leidžiami 500 $ , 1000 $ , 2000 $ ir kitų apvalių sumų nominalais. Palūkanų normos paprastai būna didesnės nei taupomųjų sąskaitų. Yra šioks toks likvidumo praradimas kadangi pasikolinusi institucija neturi supirkti CD prieš jų subrendimą. Kai kuriais atvejais CD gali būti išperkamas anksčiau, tačiau prarandant palūkanas.
Pasižadėjimo nota (promissary note) yra raštiškas pasižadėjimas išmokėti pinigus. Asmuo, kuris pasižada ir kuris pasirašo notą yra vadinamas steigėju (maker). Pasižadėjimo nota gai būti mokama įvardintam asmeniui arba nešėjui (bearer).
Nota parodyta pav 1-4 yra tipinė iš šiandien naudojamų komercinių formų. Notose yra naudojamos tokios frazės:
Frazė Pavyzdys
Nominali vertė (face value) yra pinigų suma nurodyta ant notos. Ši suma paprastai nurodoma ir skaičiais ir žodžiais. $ 600,00
Data yra data, kai nota sudaroma birželio 1, 1994
Terminas – yra laikas nuo notos datos iki subrendimo laiko arba iki tam tikros datos. 60 dienų
Palūkanų norma yra procentai, pagal kuriuos turi būti skaičiuojamos palūkanos (laiko periodas susietas su palūkanų norma turi būti nurodytas) 5 % per metus.
Pinigų gavėjas (payee) asmuo, kuriam priklauso nota Jonas Jonaitis
Steigėjas (maker) yra asmuo, kuri vykdo notą ir turi pinigus. Petras Petraitis
Subrendimo data yra data, kai nota yra skolinga. Ji suskaičiuojama iš notos datos ir termino Liepos 31, 1994
Subrendimo vertė yra nominali vertė plius palūkanos, jei tokios yra. Jei palūkanos ant notos nėra nurodytos, tai ji yra nenešanti palūkanų ir subrendimo vertė yra lygi nominalei vertei. 605,00 $
Be to, kad paprastųjų palūkanų formulė naudojama palūkanų skaičiavimui, ji turi ir kitų pritaikymų. Taupymo ir paskollų asociaicijos ir kredito unijos naudoja ją, kad nustatytų dividendus akcijų sąskaitoms savo nariams. Dabartinė paprastųjų ir priveligijuotų akcijų kaina nustatoma pakeičiant šią formulę.
Pavyzdys 1
Bankas moka 8% per metus už taupomasias sąskaitas. Asmuo atidaro sąskaitą su 300 $ įnašu sausio 1 d. Kiek palūkanų žmogus gaus balandžio 1 d.?
Sprendimas
Kadangi palūkanų norma yra metinė, tai laiką mes taip pat turime išreikšti metais. Laikas yra 3 mėn., arba 3/12 metų=0,25 metų. Taip pat turime P=300 ir r=0,08. Įstatydami šias reikšmes į formulę (1) mes gauname:
I=300 x 0,08 x 0,25=6$

Pavyzdys 2
Pora perka namą ir gauna 50 000$ paskolą. Metinė palūkanų norma yra 12%. Paskolos terminas yra 30 metų, o mėnesinis mokėjimas yra 514,31. Pirmo mėnesio pabaigoje vienas sutuoktinis sako: “Brangusis, aš einu sumokėti pirmojo naujo mūsų namo mokėjimo.” Raskite pirmojo mėnesio palūkanas ir namo kiekį nupirktą pirmuoju mokėjimu.
Sprendimas
Įstatydami P=50 000, r=0,12 ir t=1/12 formulėje (1) mes gauname:
I=50 000 x 0,12 x 1/12=500$
Nors namo nuosavybė eliminuoja rentą, renta už pasiskolintus pinigus gali būti tikri nemaža. Šiuo atveju 514,31$ mokėjimas nuperka namo tik už 514,31-500,00=14,31$.
Žinoma, galima naudoti algebrinius metodus principalui, palūkanų normai ir laikui nustatyti. Kai duoti kiti trys kintamieji, jūs galite nustatyti getvirtąjį išspręsdami lygtį.

Pavyzdys 3
Palūkanos sumokėtos už 2 mėn. 500$ paskolą buvo 12,50$. Kokia buvo palūkanų norma.
Sprendimas
Kai reikia rasti palūkanų normą, paprastai ją reikia rasti vienos šimtosios procento dalies tikslumu. Mes įstatome I=12,50; P=500 ir t=2/12=1/6 į (1) formulę.
500 x r x 1/6 = 12,50
r=(6 x 12,50)/500=0,15=15%

Pavyzdys 4
Žmogus gauna 63,75 $ kas šešis mėnesius iš investicijų, kurios moka 6% palūkanų. Kiek pinigų yra investuota.
Sprendimas
Įstatydami I=63.75, r=0.06 ir t=0.5 į (1) formulę mes gauname:
P x 0.06 x 0.5 = 63.75
P=(63.75×2)/0.06=2125.00$

Pavyzdys 5
Kiek truks, kol 5000$ uždirbs 50$ esant 6% palūkanų normai?
Sprendimas
Įstatydami I=50, P=5000, r=0.06 į (1) formulę mes turime
5000 x 0.06 x t = 50
t=50/(5000 x 0.06)=1/6 metų arba 2 mėn.

Pavyzdys 6
General motors 100$ nominalios vertės 4.5% priveligijuota akcijų paketas buvo kvotuojamas (quated at) 60.
Kvotuoti 60 reiškia, kad kiekviena akcija yra parduodama po 60$. Su šia kaina kokią naudą gaus investitorius?
Sprendimas
Šiame uždavinyje yra įtrauktos 2 palūkanų normos. Doleriais akcijos grąža bus 0,045×100=4,50$. Ši suma bus sumokėta savininkui nesvarbu už kokia kaina buvo sumokėta už akcijas. Kad rastume pelno normą gaunamą pirkėjo sumokėjusio 60$ įstatome į (1) formulę ir gauname:
60 x r x 1 = 4.50
r=4.50/60=0.075=7.5%
Nors ši investicija saugi, 60$ kaina yra mažesnė už nominalią 100$ vertę, nes rinkos palūkanų normos dabar yra daug aukštesnės nei tada, kai akcijos buvo išleistos. Fiksuotos grąžos investicijos yra pakankamai jautrios rinkos palūkanų normoms.

Pavyzdys 7
Moteris pasiskolina 2000$ iš kredito unijos. Kiekvieną mėnesį ji moka 100 $ iš principalo. Taip pat ji moka 1% per mėnesį nuo dar neapmokėtos mėnesio pradžiais sumos. Rati bendras palūkanas.
Sprendimas
Pirmo mėnesio palūkanos yra
I = 2000 x 0.01 x 1 = 20.00 $
Visas pirmo mėnesio mokėjimas yra 120 $ , o nauja nesumokėta suma yra 1900 $. Antram mėnesiui palūkanos yra
I = 1900 x 0.01 x 1 = 19 $
Kadangi nesumokėta suma kiekvieną mėnesį sumažėja 100 $, tai palūkanos kiekvieną mėn. umažėja 1 $. Po 19 mokėjimų skola sumažėja iki 100 $, o paskutinis palūkanų mokėjimas yra
I = 100 x 0.01 x 1 = 1 $
Palūkanų mokėjimai yra 20 $, 19 $, 18 $, . 2 $, 1 $ ir bendros palūkanos yra šių reikšmių suma.
Pendros palūkanos = 20 + 19 + 18 + . + 2 + 1
Reikšmės šioje sumoje sudaro aritmetinę progresiją, rinkinį skaičių kurių kiekvieną galima gauti prie ankstesniojo pridėjus tam tikrą konstantą.Šiuo atveju pridedant –1 prie ankstesnio skaičiaus. Aritmetinės progresijos suma yra išreiškiama formule

Kur n yra narių skaičius, o ir yra pirmasis ir paskutinis aritmetinės progresijos narys. Šiame uždavinyje jie yra pirmasis ir paskutinysis palūkanų mokėjimas. Įstatydami gauname:

1.8 Suma

Pradinio mokėjimo ir palūkanų suma vadinama _Suma_ ir žymima simboliu S. Šis apibrėžima veda prie formulės

S=P+I=P+Prt

Prastindami gauname
S=P(1+rt) (2)

Pavyzdys
Žmogus pasiskolina 350$ 6 mėnesiams su 15% palūkanų norma. Kokią sumą jis turi grąžinti?
Sprendimas
Pakeisdami P=350, r=0.15, t=0.5 formulėje (2) mes randame, kad
S = 350 (1 + 0.15 x 0.5) = 350 (1.075) = 376.25.
Ši užduotis galėjo būti išspręsta suskaičiavus paprastąsias palūkanas ir jas pridėjus prie pradinio mokėjimo.
I = P r t=350 x 0.15 x 0.5 = 25.25
S = P + I = 350 + 26.25 = 376.25

Dauguma uždavinių finansų matematikoje gali būti išspręsti keliais būdais. Siūlome visuomet ieškoti lengviausio būdo, sumažinant klaidų tikimybę ir sumažinant triūso kiekį. Uždavinio sprendimas keliais būdais yra pageidautinas pasitikrinimui.

Kaip matoma iš paskutinio pavyzdžio dolerio vertė ateities ar praeities pinigų sumose yra skirtinga priklausomai nuo laikotarpio ir palūkanų normos. Studentai, kurie pratę mąstyti apie pinigus tik kaip apie pinigų kiekį, dabar turės įprasti kreipti dėmesį ir kitus kintamuosius. 1000$ skola grąžintina po 1 metų su 6 proc. palūkanomis gali būti laikoma 1060$ įsipareigojimu po 1 metų. Jei laikas nėra nurodomas, mes turime omenyje dabartinę pinigų vertę. Taigi jei užduotyje nurodyta automobilio kaina 2000$, tai reiškia, jog tai yra piniginė automobilio kaina (cash price).
Jei ateities suma nurodoma be palūkanų normos, tai reiškia, jog tai yra subrendusios obligacijos vertė. Taigi 3000$ po 6 mėnesių reiškia, kad po 6 mėn skolininkas turės sumokėti 3000 dolerių. Verslo pasaulyje mažiau nei po šešių mėnesių tokios obligacijos vertė bus mažesnė nei 3000$. Skirtingi pinigų kiekiai gali turėti vienodą vertę. 100$ dabar su 5 proc. palūkanomis yra lygus 105 $ po metų. Praktikoje tai reiškia, jog besiskolinantysis nori sumokėti 105$ po metų, kad 100 $ galėtų panaudoti dabar arba tai reiškia, kad skolintojas nori paskolinti 100 $ jei po metų gaus 5$ palūkanų. Skirtingų pinigų kiekių ekvivalentiškumas duoda pagrindą sudaryti verčių lygtims visoje finansų matematikoje.
Uždaviniuose palūkanų norma paskoma iš karto, tačiau praktikoje ji yra sutariama abiejų šalių ir dažniausiai būna vidutinė to meto to tipo sandėrio toje vietovėje palūkanų norma.

9. Apvalinimas
Piniginiai atsakymai finansų matematikoje yra apvalinami iki reikšmių, kurios gali būti išmokėtos naudojant standartines monetas ir banknotus. Šioje knygoje atsakymai yra apvalinami iki artimiausio cento (nebent nurodyta kitaip). Gautos reikšmės besibaigiančios puse cento ar daugiau yra apvalinamos į didesnę pusę.
Žiūrėkite lentelę 1-1. Pastebėtina, kad paskutinis atvejis 0.6749 yra apvalinamas žemyn iki 0.67. Kadangi apvaliname iki artimiausio cento, būtų klaidinga pirmu žingsniu suapvalinti nuo 45.6749 iki 45.675, o antruoju suapvalinti iki 45.68. Vėliau nagrinėsime keletą apvvalinimo išimčių, tačiau dabar pateiksime porą iš jų. ipotekų ir kitų pastovių įnašų skolintojai apavalina į didesnę pusę bet kokią cento dalį. Taigi mėnesinis 85.142 $ mokėjimas bus suapvalintas iki 85.15 $. Jei cento dalis būtų nubraukiama, tai per daugelį mokėjimų susidarytų nemažas skirtuas, kuris būtų kompensuojamas didesniu paskutiniuoju mokėjimu, taip pat kai cento dalys apvalinamos į didesnę busę, tai kompensuojama mažesniu paskutiniuoju mokėjimu. Kai kurie skolintojai kartais suapvalina iki artimiausių dešimties centų. Taigi 112.125 $ bus apvalinama iki 112.20 $. Tačiau čia nėra neteisybės, nes paskutinis mokėjimas būna mažesnis.
Lentelė 1-1 Pinigų reikšmės suapvalinamos iki artimiausio cento
Suskaičiuota reikšmė Suapvalinta reikšmė
45.789 $ 45.79 $
45.789 $ 45.44 $
45.375 $ 45.38 $
45.4650 $ 45.47 $
45.6749 $ 45.67 $

Kai duomenys yra apytiksliai, apvalinimas neturėtų būti tikslesnis nei jį leidžia duomenys. Tarkime, kad akcijos vertė per metus pakilo maždaug 10 %. Su tiek daug netikrumų apimančių akcijų rinką, apavalinti iki artimiausio cento būtų kvaila. Tikslingiausia būtų suapvalinti iki artimiausio dolerio ir tada nurodyti šią reikšmę tik kaip spėjimą.
Kitas praktiškas klausimas yra, kiek skaitmenų po kablelio reiktų naudoti, kai trupmeninė dalis yra nebaigtinė. Jei mes norime rasti sumą už 1 mėnesio taikant 4 % palūkanas kai turime 4800 $ įstatydami į formulę (2) gauname

Antrasis daugiklis turi būti kažkur baigtas. Jei turite kalkiuliatorių, tai patartina naudoti 8 ar daugiau skaitmenų po kablelio, o atsakymą suapvalinti. Šitai nelabai tinka studentams, kurie neturi kalkuliatorių Taigi sprendžiant uždavinius popieriaus ir pieštuko metodu geriausia daugiklius apvalinti iki tike ženklų po kablelio, kiek skaitmenų įskaitant centus yra pinigų sumoje. Taigi 4800.00 turi šešis skaitmenis, taigi mes gauname
S = 4800.00 x 1.003333 = 4815.9984 = 4816 $
Studentas besinaudojantis kalkuliatoriumi turėtų leisti kalkuliatoriui dirbti iki jo galimybių ribos. Šiame uždavinyje pirmu žingsniu reiktų padalinti 0.04 iš 12, leidžiant kalkuliatoriui rodyti visus skaitmenis po kablelio.Tada pridėti vienetą prie rezultato ir padauginti atsakymą iš 4800 ir tada suapvalinti. Naudojantis šiuo algoritmu mes gausime tiksliausią atsakymą įmanomą su tuo kalkuliatoriumi. Naudojant kalkuliatorių tarpiniai rezultatai neturėtų būti apvalinami.
Pinigų vertės yra apvalinamos iki artimiausio cento atsakymuose ir tarpiniuose rezultatuose. Šioje knygoje procentinia atsakymai yra apvalinami iki artimiausios dešimtosios procento dalies.
Spręsdami uždavinius turėtumėte visuomet ieškoti lengviausio sprendimo būdo tam, kad išvengtumėte klaidų ir sutaupytumėte laiko. Skaičiuojant paprastųjų palūkanų sumą dažnai yra patogiau suskaičiuoti palūkanas ir tik po to jas pridėti prie principalo.

10. Laiko diagramos
Visi finansiniai sprendimai turi imti domėn tai, kad pinigai turi laiko vertę. 100 dolerių šiandien yra verti daugiau nei 100 dolerių po metų todėl, kad 100 dolerių šiandien gali būti investuoti, kad duotų 100 dolerių ir palūkanas po metų.
Pav. 1-5

Pavyzdys 1
Metinė dividendų norma santaupų ir paskolų asociacijoje yra 5.5 %.Dividendai yra kredituojami į asmens sąskaitą birželio 30 ir gruodžio 31 d. Pinigai padėti į banką iki 10-os mėnesio dienos uždirba dividendus už visą mėnesį. Jei pinigai yra įnešami po 10 dienos, tai palūkanas jie pradeda uždirbti tik kitą mėnesį. Asmuo atidaro sąskaitą Sausio 7 dieną su 400 $. Vasario 25 d. 300 $ yra pridedama ir birželio 10 d. 240 $ yra pridedama dar. Kokia suma yra sąskaitoje birželio 30 dieną?
Sprendimas
Šiame uždavinyje kaip ir visose praktinėse užduotyse sprendimas turi būti gautas remiantis taisyklėmis valdančiomis sandėrį. Nors santaupų ir paskolų asociacija moka dividendus, o ne palūkanas, skaičiavimai atliekami naudojantis paprastųjų palūkanų formule. Pradiniams 400 $ mes leidžiame 6 mėn. dividendus, nors tikras laikas yra šiek tiek mažesnis. 300 $ gauna 4 mėn. dividendus, nors asociacijoje jie yra keletu dienų ilgiau.
Įnašų patalpinimas laiko diagramoje (pav. 1-6) padeda mums surasti kiek laiko kiekvienas įnašas uždirba dividendus.

Naudodami formulę (1) mes suskaičiuojame dividendus kiekvienai sumai.
400 x 0.055 x 1/2 = 11.00 $
300 x 0.055 x 1/3 = 5.50 $
300 x 0.055 x 1/12 = 1.10 $
60. $
Susumuodami visus įnašus ir dividendus gauname, kad birželio pabaigoje sąskaitoje yra 957.60 $.
Pav.1-6

Pavyzdys 2
Įprastas mokestis už keliautojų čekius yra 1 $ už 100 $. Keliautojų čekių pardavėjas reklamavo neįprastą pasiūlymą tik per gegužę – “.. tiesiog dabar galite sutaupyti iki 48 $ vasaros atostogoms (žiūrėkite pateiktą schemą) dėl šio pažymėtino pasiūlymo”;
Keliautojų čekių suma Įprastas mokestis Gegužės mokestis Jūs sutaupote
$ 300 $ 3.00 $ 2.00 $ 1.00
500 5.00 2.00 3.00
1000 10.00 2.00 8.00
2500 25.00 2.00 23.00
5000 50.00 2.00 48.00
Reklamoje buvo tęsiama: “Daug išmintingų žmonių naudojasi mūsų Neįprastu Pasiūlymu ir perka . Keliautojų čekius gegužės mėnesį .. tada laiko juos iki atostogų arba iki tada, kai jiems reikia grynųjų pinigų. Kodėl nepasekus šiuo išmintingu taku?” Nors šis pasiūloymas yra išmintingas greitai išvyksiantiems žmonėms, jis nėra toks labai išmintingas tiems, kurių atostogos bus tik po kelių mėnesių.
Vietoj to, kad gegužės 1 d. pirktų 1000 $ vertų keliautojų čekių spalio mėnesio kelionei, asmuo padeda 1002 $ į santaupų ir paskolų asociaciją mokančią 5 % palūkanų ir išmokamas kas tris mėnesius (Kovo 31, Birželio 30, Rugsėjo 30 ir Gruodžio 31 d.). Spalio pirmą pinigai buvo atsiimti ir panaudoti 1000 $ vertės keliautojų čekių įsigijimui. Kiek šis asmuo išlošė?
Sprendimas
Dividendai už gegužę ir birželį lygūs

Dabar balanse yra 1010.35 $, kuris gauna dividendus rugsėjo 30 d.

Balansas spalio 1 d. = 1010.35+12.63 = 1022.98 $
Keliautojų čekių kaina = 1000 + 10.00 = 1010.00 $
Sutaupyta 12.98 $

Reklamuojamas planas yra išmintingas keliautojų čekių leidėjui, kuris turi pinigų be palūkanų tol, kol čekiai yra nenaudojami.
Pavyzdys 3
Tautinis žurnalas remia konkursą, kurio pagrindinis prizas yra 1000 $ kiekvieną mėnesį visam gyvenimui. Kiekvieną mėnesį žurnalas įneš 1000 $ į vietinį banką, pasirinktą laimėtojo. Kad šis konkursas būtų patrauklesnis, žurnalas išleidžia knygutę, kurioje rodoma kaip sąskaita auga, jei bankas moka 5 % per metus su palūkanomis išmokamomis kovo 31, birželio 30, rugsėjo 30 ir gruodžio 31. Tai reiškia, kad palūkanos kiekvieną kartą prisumuojamos prie esamos sumos kas tris mėnesius. Pirmieji 3 įrašai uš reklaminės banko knygelės yra parodyti lentelėje. Suskaičiuokite palūkanas ir sumą 1992 gruodžio 31 d. naudojant 5 % palūkanų normą.
Data Įnašas Palūkanos Balansas
1992 10 01 1000.00 $ 1000.00 $
1992 11 01 1000.00 $ 2000.00 $
1992 12 01 1000.00 $ 3000.00 $
Sprendimas
Pirmasis mokėjimas uždirba palūkanas už 3 mėnesius, antrasis už 2, o trečiasis už 1. Įstatydami į formulę (1) gauname

Bendros palūkanos 25.00 $

Bendra suma 1992 12 31 yra 3025.00 $. Kai mokėjimai yra vienodo dydžio ekvivalentus būdas gauti paprastąsias palūkanas yra laikyti, kad vienas 1000 $ depozitas uždirbo 6 mėnesių palūkanas:

Uždavinys 1a
1. Raskite paprastąsias palūkanas ir sumą nuo 750 $ 2 mėnesiams esant 7 % palūkanų normai.
(8.75 $, 758.75 $)
2. Raskite paprastąsias palūkanas ir sumą nuo 1225 $ 3 mėn. esant palūkanų normai 8 %
3. Konkurso knygelė iš 3 pavyzdžio rodo tokius įrašus už pirmuosius 6 mėn.
Data Įnašas Palūkanos Balansas
1992.10.01 1000.00 1000.00
1992.11.01 1000.00 2000.00
1992.12.01 1000.00 3000.00
1992.12.31 25.00 3025.00
1993.01.01 1000.00 4025.00
1993.02.01 1000.00 5025.00
1993.03.01 1000.00 6025.00
1993.03.31
Raskite palūkanas ir balansą 1993 kovo 31 d.
(62.81 $, 6087.81 $)
4. Raskite balansą 1993 birželio 30 d. sąskaitai iš prieš tai buvusios užduoties.
5. Moteris pasiskolina 30 000 $ namui nusipirkti. Palūkanų norma yra 12 %, o mėnesinis mokėjimas 308.59 $. Kiek iš pirmojo mokėjimo sudaro principalą ir kiek palūkanas?
(palūkanos 300.00 $, principalas 8.59 $)
6. 40 000 $ namo paskola turi būti grąžinta 505.78 $ mėnesiniais mokėjimais esant palūkanų normai 15 %. Kiek pirmojo mokėjimo sudaro principalą ir kiek palūkanas?
7. Santaupų ir paskolų asociacija reklamuoja 7.5 % palūkanų normą. Įnašai iki 10 dienos neša palūkanas nuo to mėnesio pirmos dienos. Įnašai po 10 mėnesio dienos, neša palūkanas nuo sekančio mėnesio pirmos dienos. Dividendai mokami birželio 30 ir gruodžio 31 d. Asmuo birželio 30 d. sąskaitoje turėjo 2045 $. ir įnešė 1120 $ rugsėjo 7 d. Kiek pinigų sąskaitoje bus gruodžio 31 d.?
(3269.69 $)
8. Asmuo turi sąskaitą 7 uždavinyje aprašytoje santaupų ir paskolų asociaicijoje. Gruodžio 31 d. jo sąskaitoje buvo 1600 $. Vasario 8 d. jis įnešė dar 400 $ ir balandžio 25 d. dar 600 $. Raskite paskutinį įrašą knygelėje po to, kai birželio 30 d. buvo priskaičiuoti dividendai.
9. Darbininkas pasiskolino 150 $ 2 mėnesiams ir sumokėjo 9 $ palūkanų. Raskite metinę palūkanų normą.
(36 %)
10. Mechanikas pasiskolino 125 $ iš licenzijuotos paskolų firmos, o po mėnesio grąžino 128.75 $. Kokios buvo metinės palūkanos?
11. Jei asmuo investuoja 3000 $ su 10 %, kiek laiko užtruks kol jis gaus 75.00 $ palūkanų?
(3 mėn.)
12. Kiek užtruks uždirbti 24.50 $ iš 8400 esant 7.5 % palūkanų normai?
12. Kiek užtruks 625$ $ uždirbti 25 $ esant 9.6 % palūkanų normai?
(5 mėn.)
14. Kiek užtruks 9600 $ uždirbti 864 $ palūkanų esanta palūkanų normai 8 %.
15. Kokia yra suma, jei 3 600 000 $ buvo pasiskolinta mėnesiui su 9.75 % palūkanų norma
(3 629 250 $)
16. Kokia yra suma, jei 14 400 000 $ pasiskolinta 2 mėn su 8.75 % palūkanų norma?
17. Asmuo pasiskolina 95 $. Po 6 mėn. jis grąžina skolą – principalą ir palūkanas – viso 100 $. Kokia buvo palūkanų norma?
(10.53 %)
18. Asmuo paskolino 50 $ vienam mėnesiui, kad būtų gražinta 55 $. Kokia buvo metinė palūkanų norma?
19. Padavėja kuriai buvo striuka su pinigais užstatė savo laikrodį ir deimantinį žiedą už 55.00 $. Mėnesio pabaigoje ji atsiėmė juos sumokėdama 59.40 $. Kokia buvo metinė palūkanų norma?
20. Asmuo pralošė 150 $. Jis grąžino skolą po mėnesio su 15 $ palūkanomis. Raskit palūkanų normą.
21. Mokytoja pasiskolino 200 $ iš kreditų unijos, kuriai ji priklausė. 8 mn iš eilės kiekvieną mėnesį ji mokėjo po 25 $ nuo principalo ir taip pat 1 % mėnesinių palūkanų nuo mėnesio pradžioj neapmokėto balanso. Pirmasis palūkanų mokėjimas buvo 1 % nuo 200 $, antrasis – 1 % nuo 175 $ ir taip iki tol kol visa skola buvo grąžinta.Kokios buvo bendros palūkanos?
(9.00 $)
22. Asmuo pasiskolino 800 $ iš kredito unijos, kuri ima 1 % per mėnesį nuo neapmokėtos sumos. Aštuonis mėnesius iš eilės asmuo grąžino po 100 $ principalo ir palūkanas. Raskite bendras palūkanas.
1.11 Tikslios ir įprastos palūkanos
(exact and ordinary)

Kai laikas yra nurodytas dienomis, o palūkanų norma yra metinė, dienas reikia paversti į trupmeninius metu norint įstatyti į paprastųjų palūkanų formulę. Palūkanos suskaičiuotos naudojant daliklį 360 yra vadinamos įprastomis palūkanomis, o naudojant daliklį 365 arba 366 tiksliomis palūkanomis.
Duotajai palūkanų normai, daliklis 360 sąlygoja tai, kad besiskolinantis turi mokėti didesnes palūkanas nei tuo atveju, jei daliklis būtų 365 ar 366. Atskiroms paskoloms šis skirtumas gali būti nedidelis, tačiau kai daug besiskolinančių moka po truputį daugiau, bendras skirtumas gali būti pakankamai didelis. Padidintas pelnas daro 360 dienų metus populiariais tarp skolintojų.
Pavyzdys
Nustatykite įprastas ir tikslias palūkanas 60 dienų 300 $ paskolai su 15% palūkanų norma.
Sprendimas
Įstatydami P=300 ir r=0.15 į formulę (1) mes gauname

Įprastos palūkanos = 300 x 0.15 x 60/360 = 7.50$
Tikslios palūkanos = 300 x 0.15 x 60/365 = 7.40$

Pastebėtina, kad įprastosios palūkanos yra didesnės nei tikslios palūkanos ir yra lengviau skaičiuojamos kai skaičiavimai atliekami be skaičiuotuvo.

1.12 Tikslus ir apytikslis laikas
Yra du būdai nustatyti dienų skaičiui tarp dviejų datų. Labiau įprastas metodas – tikslus metodas, kuris įskaičiuoja visas dienas išskyrus pirmąją. Paprastas būdas nustatyti tikslų dienų skaičių, yra žvilgterėti į lentelę Nr. 1 knygos pabaigoje, kurioje yra surašyti metų dienų eilės numeriai. Kitas būdas yra sudėti visas mėnesių dienas per paskolos laikotarpį neįskaitant pirmosios dienos. Apytikslis metodas yra paremtas tuo, kad visi pilni mėnesiai yra sudaryti iš 30 dienų. Prie šio skaičiaus yra pridedamas tikslus dienų skaičius likęs paskolos termine.
Pavyzdys
Raskite tikslų ir apytikslį laiką tarp kovo 5 ir rugsėjo 28 d.
Sprendimas
Iš Lentelės Nr. 1 randame, kad rugsėjo 28 yra 271 metų diena, o kovo 5 yra 64 diena. Taigi tikslus laikas yra 271 – 64 = 207 dienos. Jei kalendorinių dienų lentelės po ranka nėra, mes galime nustatyti dienas taip:
Mėnesis Dienos
kovas 26 (31-5)
balandis 30
gegužė 31
birželis 30
liepa 31
rugpjūtis 31
rugsėjis 28
Viso 207 dienos.

Kad gautume apytikslį laiką, mes suskaičiuojame mėnesių skaičių tarp kovo 5 ir rugsėjo 5. Tada mes nustatome, kad 6 x 30 = 180 dienų. Prie šio rezultato pridedame 23 dienas nuo rugsėjo 5 iki rugsėjo 28 ir gauname iš viso 203 dienas.
1.13 Komercinė praktika
Kadangi mes turime tikslias ir įprastąsias palūkanas bei tikslų ir apytikslį laiką, yra 4 būdai suskaičiuoti paprastosioms palūkanoms:
1. Įprastosios palūkanos ir tikslus laikas (bankininkų taisyklė).
2. Tikslios palūkanos ir tikslus laikas.
3. Įprastos palūkanos ir apytikslis laikas.
4. Tikslios palūkanos ir apytikslis laikas.
Skaičiuojant paprastąsias palūkanas, kaip ir visoje finansų matematikoje, abi pusės turi suprasti, kurie metodai yra naudojami. Šioje knygoje, kai laikas yra nurodytas dienomis, mes naudosime įprastas palūkanas ir tikslų laiką, nebent bus nurodyta naudoti kitą metodą. Šis metodas yra vadinamas bankininkų taisykle ir yra įprastas komercinėje praktikoje. Kai įsipareigojimas turi nustatytą laiką, reikia nustatyti mokėjimo datą. Jei laikas nurodytas dienomis, tai mokėjimo diena yra tiksliai nurodytas dienų skaičius po paskolos dienos. Jei laikas nurodytas mėnesiais, tai mokėjimo diena yra ta pati mėnesio diena, kaip ir paskolos pradžios diena, nebent paskolos pradžios data yra didesnė už paskutinę pabaigos mėnesio dieną. Kai taip nutinka, mes imame paskutinę mėnesio dieną kaip subrendimo (maturity) dieną.
Pavyzdžiui
Paskolos data Paskolos laikotarpis Subrendimo data
92 06 15 60 dienų 92 08 14
92 06 15 2 mėn. 92 08 15
92 12 10 4 mėn. 93 04 10
92 12 10 120 dienų 93 04 09
91 12 10 120 dienų 92 04 08 (1992 yra keliamieji metai)
92 12 28,29,30,31 2 mėn. 93 02 28
91 12 29,30,31 2mėn. 92 02 29
Pavyzdys 1
1993 lapkričio 15, moteris pasiskolino 500 $ su 15 % palūkjanų norma. Skola grąžinta 1994 vasario 20. Raskite paprastąsias palūkanas naudodami 4 metodus.
Sprendimas
Iš pradžių randame tikslų ir apytikslį laiką
Tikslus laikas
Iš lentelės Nr.1 lapkričio 15 yra 319 diena.
Vasario 20 yra 51 diena.
1993 metais yra 365 – 319 = 46 dienos
1994 metais yra 51 diena
Bendras laikas 97 dienos
Apytikslis laikas
Nuo lapkričio 15 d. iki vasario 15 d. yra 3 mėn.
3 x 30 = 90 dienų.
Nuo vasario 15 iki 20 yra 5 dienos.
Bendras laikas 95 dienos.
Įprastosios palūkanos ir tikslus laikas (bankininkų taisyklė).
I = 500 x 0.15 x 97/360 = 20.21$
Tikslios palūkanos ir tikslus laikas.
I = 500 x 0.15 x 97/365 = 19.93$
Įprastos palūkanos ir apytikslis laikas.
I = 500 x 0.15 x 95/360 = 19.79$
Tikslios palūkanos ir apytikslis laikas.
I = 500 x 0.15 x 95/365 = 19.52$
Kad paskatintų greitą prekių apmokėjimą daug prekybininkų siūlo nuolaidas už apmokėjimus anksčiau galutinės apmokėjimo dienos. Dažnai šie terminai rašomi trumpa forma: 2/10, n/30. Pirmoji dalis (2/10) reiškia, kad jei mokėjimas yra atliekamas per 10 dienų nuo sąskaitos išrašymo dienos, mokėjimo suma gali būti sumažinta 2%. Antroji dalis (n/30) reiškia, kad nurodyta suma turi būti sumokėta po 10 dienos, bet ne vėliau kaip 30 dieną. Po 30 dienų papildomas paslaugų mokestis bus priskaičiuotas. Pirkėjas kuris naudojasi apmokėjimo nuolaidomis iš tikro paskolina pardavėjui pinigus ir gauna apmokėjimo nuolaidą vietoj palūkanų. Palūkanų normos gaunamos tokiu būdu yra tokios didelės, kad verslo praktikoje yra protinga naudotis apmokėjimo nuolaidomis.
Pavyzdys 2
Prekybininkas gauna 2000 $ sąskaitą su terminais 2/10, n/30. Jei prekybininkas sumoka 10-ą dieną, kokia palūkanų norma yra uždirbama.
Sprendimas
Prekybininkas 10-ą dieną sumoka 1960 $ (2000 $ – 2 %) arba 2000 $ 30-ą dieną. Taigi galima manyti, jog nuolaida mums duoda 40 $ palūkanų už 20 vėlesnių dienų nuo 1960 $ principalo.

Taip pat yra kitos praktiko, kurios veikia tikrąją palūkanų normą. Kartais bankai reikalauja, kad verslai skolindamiesi pinigus kaip kompensuojantį balansą (compensating balance) bankę laikytų pinigus. Taigi besiskolinantis 1000 $ paskolą su 20 % kompensuojančiu balansu turės banke laikyti 200 $ (20 % nuo 1000 $) reikalavimo sąskaitoje (demand account). Jei besiskolinantysis laiko mažiau nei 200 $, tai dalis skolos yra perkeliama į sąskaitą, kad kompensuotų skirtumą. Mokėdamas palūkanas nuo 1000 $, besiskolinantysis disponuos mažiau nei 1000 $. Tikroji palūkanų norma bus didesnė nei nurodyti 13 %. Šis skirtumas priklausys nuo kompensuojančio balanso ir sumos, kurią besiskolinantysis ten laikytų bet kokiu atveju.
Pavyzdys 3
Besiskolinantysis gauna 100 000 $ paskolą su 13 % palūkanų norma banke. Bankas reikalauja, kad būtų laikomas 20 % kompensuojantis balansas. Jei šis balansas yra visas dydis, kuriuo padidės reikalavimo sąskaita, negu besiskolinantysis paprastai turėtų, kokia bus tikroji palūkanų norma?
Sprendimas
Faktas, kad kompensuojantis 20 % balansas yra naudojamasreiškia, kad paskolos gavėjas gali naudoti tik 80 000 $ (atėmus 20 % iš 100 000 $). Metinės palūkanos skaičiuojamos nuo visų 100000$ yra

Tačiau besiskolinantysis kali naudoti tik 80000 $, todėl tikroji palūkanų norma yra:

Pavyzdys 4
Jei besiskolinantysis iš pavyzdžio 3 reiakalvimo įnašo balanse laiko 5000 $, kaip tai paveiks tikrąją palūkanų normą?
Sprendimas
Besiskolinantysis vis tiek moka 13000 $ palūkanų per metus, ir išima 15000 $ iš paskolos, kad gautų 20000 $ kompensuojantį balansą. Vadinasi besiskolinantysis moka 13000 $ už 85000 $ naudojimą. Per metus tikroji palūkanų norma yra
Pavyzdys 5
Namų ir komercinių pastatų statytojai dažnai gauna statybų paskolas. Statytbų paskolos nėra suteikiamos vienu ypu, tačiauyra suteikiamos palaipsniui vykstant statybai. Paskola gali būti grąžinta vienu kartu netrukus po statybos pabaigimo.
Gyvenamojo namo statytojas gavo 800000 $ paskolą su metine 15 % palūkanų norma. Pinigai buvo suteikti tokia tvarka:
1994 03 01 300000 $
1994 06 01 200000 $
1994 10 01 200000 $
1994 12 01 100000 $
Pastatas buvo pabaigtas 1995 vasarį, o skola grąžinta 1995 kovo 1 dieną. Raskite sumą naudodami įprastąsias palūkanas ir apytikslį laiką.
Sprendimas
Palūkanos kiekvienai paskolos daliai yra

Viso 83750 $
Pakolos suma = 800000 + 83750 = 883750 $
Uždavinys 1b
1. Raskite įprastas ir tiksliąsias palūkanas nuo 750 $ 100 dienų laikotarpiui su 6 %.
(12.50 $; 12.33 $)
2. Raskite įprastąsias ir tiksliąsias palūkanas nuo 6080.50 $ 60 dienų su 12.5 %.
3. Raskite įprastąsias ir tiksliąsias palūkanas 1200 $ 45 d. su 16 %.
(24.00 $; 23,67 $)
4. Jei P=9800 $ ir r = 15 %, raskite įprastąsias ir tiksliąsias palūkanas 120 d. paskolai.
5. Naudokite tikslų laiką bei raskite įprastąsias ir tikslias palūkanas nuo 300 $ su 18 % nuo gegužės 5 iki tų pačių metų rugsėjo 12.
(19.50 $; 19.23 $)
6. Naudokite tikslų laiką bei raskite įprastąsias ir tiksliąsias palūkanas nuo 500 $ periodui nuo 1990 lapkričio 30 iki 1991 kovo 15, naudodami 7.5 % palūkanų normą.
7. Išspręskite 5 uždavinį naudodami apytisklį laiką.
(19.05 $; 18.79 $)
8. Išspręskite 6 uždavinį naudodami apytisklį laiką.
9-14 uždaviniuose naudokite bankininkų taisyklę.
9. Kokia suma turi būti grąžinta 1992 lapkričio 21 jei 7000 $ pasiskolinta su 16 % 1992 lapkričio 1?
(7062,22 $)
10. Asmuo pasiskolina 7760 $ 1992 12 15 ir grąžina skolą 1993 03 03 su 15 % palūkanų norma. Raskite grąžintą sumą.
11. 500 $ skola turi būti grąžinta 1995 01 10 su 14 % palūkanų norma. Jei paskola buvo paimta 1994 06 15, kiek turi būti grąžinta?
(540,64 $)
12. 1991 05 04 asmuo pasiskolina 1850 $ ir pažada grąžinti po 120 d. su 12 % palūkanų norma. Jei paskola negrąžinama laiku, tai mokėti 10 % už nesumokėtą sumą po paskolos grąžinimo termino. Nustatytkite kiek šis žmogus turi grąžinti 1991 12 15.
13. Asmuo pasiskolina 3050 $ 1995 12 15 su 13 %. Kokia suma turi būti grąžinta 1996 04 08?
(3176.66 $)
14. Kokią suma turi būti grąžinta 1988 kovo 10, jei 5000 $ buvo pasiskolinti 1987 11 11 su 11 %.
15. Gruodžio 31 asmuo turi 3000 $ sąskaitoje santaupų ir paskolų asociacijoje. Šie pinigai uždirba dividendus su 5.5 % jei paliekami iki kitos palūkanų datos, kuri yra birželio 30. Pinigai išimti iki birželio 30 neuždirba jokių palūkanų. Gegužės 1 dieną asmeniui reikia 1000 $. Vietoj to, kad išimtų pinigus iš sąskaitos, jis paima taupomosios knygelės paskolą (passbook loan) naudodamas taupomąją knygelę kaip vertybinį popierių. Ši paskola turi būti grąžinta birželio 30 iš sąskaitos, kai gaunamos palūkanos. Jei taupomosios knygelės paskola suteikiama su 6 % palūkanomis, tai kiek šitai sutaupė pinigų asmeniui birželio 30 dienai. Santaupų ir paskolų asociacija naudoja bankininkų taisyklę palūkanų skaičiavimui.
16. Raskite 15 uždavinio sprendimą jei paskola yra 1500 $ ir paimama kovo 31 d.
17. Prekybininkas gauna 4000 $ sąskaitą su terminais 2/10, n/60. Jei mokėjimas atliekamas 10 dieną, kiek palūkanų yra uždirbama.
(14.7 %)
18. Yra 5000 $ sąskaita su terminais 3/10, n/45. Kokia palūkanų norma yra uždirbama, jei mokėjimas atliekamas 10 dieną?

Leave a Comment