PRIEDAIPratimų atlikimo pavyzdžiai
Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai2. _ (p × r) É s
4. šešios: p ×_p, _r, _p, p, p, r.
Teiginių logikos formulės reikšmės nustatymas
p q r _ (p Ś q) × r1.2.3.4.5.6.7.8. 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 01 0 11 0 0
(2) (1) (3)
Teiginių logikos formulių rūšys p q _ (p Ś q) × (q Ś p) × _p1.2.3.4. 1100 1010 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 00 1 0 1 0 11 0 0 0 0 11.
(4) (2) (5) (3) (6) (1)Formulės tiesos lentelėje (6) vien eilutės “klaidinga”, taigi formulė _(p Ś q) × (q Ś p) × _p yra netinkama.
2. transpozicijos dėsnio formulė tokia: (p É q) ŗ (_q É _p)Taikom nuoseklios substitucijos taisyklę transpozicijos dėsnio formulės kintamajam q (q keičiame į q Ś r):p É (q Ś r) ŗ (_(q Ś r) É _p) Gavome, kad p É (q Ś r) ir _(q Ś r) É _p yra ekvivalentai.3. Pagal ekvivalencijos pakeitimo implikacija taisyklę iš validžios formulės p ŗ _ _p gauname validžią formulę p É _ _p
Loginiai formulių santykiai1. ar formulė p Ś _q seka iš šių formulių: iš formulės (q É p) × _p
p q (q É p) × _p p Ś _q1.2.3.4. 1100 1010 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1
(2) (3) (1) (2) (1)Sudarytoje tiesos matricoje nėra tokios eilutės, kurioje formulė (q É p) × _p turi teiginio reikšmę “teisinga”, o formulė p Ś _q – reikšmę “klaidinga”, taigi formulė p Ś _q yra formulės (q É p) × _p pasekmė.
2. Nustatykite, ar kuri nors iš formulių porų yra prieštaravimo santykyje? p ŗ q ir p × _qp É q ir p × _q p q p ŗ q p É q p × _q1.2.3.4. 1100 1010 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
(1) (1) (2) (1) Formulių pora p ŗ q ir p × _q nėra prieštaravimo santykyje, nes formulė p ŗ q ir formulė p × _q suderinama pagal reikšmę “klaidinga” (eilutė nr.3). Ar kita formulių pora yra prieštaravimo santykyje, ar ne, nustatykite patys.
4. Nustatykite santykius tarp formulių (_p É q) É r ir q p q r (_p É q) É r1.2.3.4.5.6.7.8. 11110000 11001100 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1
(1) (2) (3)Formulės (_p É q) É r ir q suderinamos pagal reikšmę “teisinga” (eilutės nr.1 ir nr.5), pagal reikšmę“klaidinga” (eilutė nr.4), formulės nėra viena kitos pasekmė (tai parodančių eilučių yra daug, pavyzdžiu paimsime po vieną: pvz., eilutė nr.2 rodo, kad (_p É q) É r nėra q pasekmė, o eilutė nr.3 rodo, kad q nėra (_p É q) É r pasekmė.
Aptariamos formulės yra logiškai nepriklausomos (nes suderinamos tiek pagal reikšmę “teisinga”, tiek pagal reikšmę “klaidinga”, bet jos nėra viena kitos pasekmė).Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas1. Pakeiskite formulėje ((p É q) × p) É q skliausteliuose esantį implikacijos operatorių disjunkcijos operatoriumi.
Implikacijos ir disjunkcijos ekvivalencija tokia:(p É q) ŗ (_ p Ś q)Taikom ekvivalentų substitucijos taisyklę formulės ((p É q) × p) É q subformulei p É q ir gauname:((_ p Ś q) × p) É qPagal ekvivalentų substitucijos taisyklę gautoji formulė yra formulės ((p É q) × p) É q ekvivalentas.
Teiginių logika ir samprotavimas1. 1. (p Ś _q) Ś (q É s) Pr2. _ (q É s) Pr3. p Ś _q DS 1, 2
1. p É _r Pr2. _ (p Ś q) Pr3. _ (p Ś q)×(p É _r) Conj 2, 1 2. 1. (_ r É q) É _ q Pr2. _ _q Pr / _ (_ r É q)3. _ (_ r É q) MT 1, 2
1. p Ś q Ś _ r Pr2. _ (p Ś q) Pr / _ r3. _ r DS 1, 2 Asociacijos dėsnio3. 1. p É (p Ś _r) Pr 2. _ p Pr / p Ś _r Išvada netaisyklinga. Pažeidžia Modus Ponens taisyklę.4. 1. _ q É p Pr2. (p É r) × _ q Pr / r3. _ q Simp 24. p MP 1, 35. p É r Simp 2 6. r MP 5, 4 QED5. 1. _ (p Ś q) É r Pr2. _ p Pr3. _ q Pr / r4. _ r AP5. _ _ (p Ś q) MT 4, 16. p Ś q DN 57. q DS 6, 28. q × _ q Conj 7, 39. r Ider 4 – 8 QED 6. Pirmas būdas1. p Ś (q Ś _r) Pr skliaustus sudėti leidžia asociacijos dėsnis 2. _p Pr 3. r Pr / q 4. _q AP 5. q Ś _r DS 1, 4 6. _r DS 5, 4 7. r × _r Conj 3, 6 8. q Ider 4 –7 QED Antras būdas1. p Ś (q Ś _r) Pr skliaustus sudėti leidžia asociacijos dėsnis 2. _p Pr 3. r Pr / q 4. q Ś _r DS 1, 4 5. _ _r DN 3 6. q DS 4, 6 QED7. 1. (_p Ś q) É r Pr 2. _ p Pr / _ r Sudarome tiesos matricą:
p q r (_p Ś q) É r _p _r1.2.3.4.5.6.7.8. 11110000 11001100 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
(1) (2) (3) (1) (1) Esama kombinacijos, kai samprotavimo premisos (_p Ś q) É r ir _p teisingos, o išvada _r klaidinga (matricos eilutės nr.5 ir nr.7), taigi samprotavimas nėra svarus.
8. 1. _ q É p Pr 2. (p É _r) × _ q Pr / r ^r, Tp, ^q, 9. 1. (p É q) × p Pr 2. _ q Pr / q Ś r 3. p É q Simp 1 4. _ p MT 3, 2 5. p Simp 1 6. p × _ p Conj 5, 4 QEDTeiginių logika ir natūralioji kalba1.“Kokia dabar mėnesio diena?” yra ne tiesioginis, o klausiamasis sakinys. Jis nėra teiginys.“Argi įmanoma taip sunkiai dirbti?” nėra tiesioginis sakinys, tačiau jis reiškia retorinį klausimą, kurio intonacija atitinka neigimo operatorių. “Argi įmanoma taip sunkiai dirbti?” yra teiginys.“Kvadratas yra apskritas” yra tiesioginis sakinys. Jis yra teiginys. 2.1. Nepranešimas apie tikrai žinomą rengiamą ar padarytą nusikaltimą užtraukia baudžiamąją atsakomybę tik baudžiamojo įstatymo specialiai numatytais atvejais – a.2. Nepranešimas apie tikrai žinomą rengiamą nusikaltimą užtraukia baudžiamąją atsakomybę tik baudžiamojo įstatymo specialiai numatytais atvejais – a1. Nepranešimas apie tikrai žinomą padarytą nusikaltimą užtraukia baudžiamąją atsakomybę tik baudžiamojo įstatymo specialiai numatytais atvejais – a2. Gauta schema (a1Ś a2).3. Sakinio formulė p Ś q.
1. Draudžiama versti duoti parodymus prieš save, savo šeimos narius ar artimus giminaičius – a.2. Draudžiama versti duoti parodymus prieš save – a1. Draudžiama versti duoti parodymus prieš savo šeimos narius – a2. Draudžiama versti duoti parodymus prieš artimus giminaičius – a3. Gauta schema (a1Ś a2Ś a3).3. Sakinio formulė p Ś q Ś r
1. Apylinkės teismas, gavęs iš kito teismo bylą, teismingą apygardos teismui, perduoda ją (bylą) apygardos teismui – a.2. Apylinkės teismas perduoda ją (bylą) apygardos teismui – a1.(Apylinkės teismas) gauna iš kito teismo bylą, teismingą apygardos teismui, – a2. Gauta poschemė (a1 × a2).3. a1 ir a2 atitinkantys teiginiai yra elementarūs. a1 ir a2 poschemėmis nebekeisime.4. Sakinio schema, pakeitus a gauta poscheme, yra: (a1 × a2)5. Sakinio formulė yra: p × q .3.1. Ieškininės senaties termino pasibaigimas iki ieškinio pareiškimo yra pagrindas ieškiniui atmesti – a.
Jeigu teismas, trečiųjų teismas (arbitražas) pripažįsta, kad ieškininės senaties terminas praleistas dėl svarbios priežasties, pažeistoji teisė turi būti ginama – b. Gauta schema:(a × b)2. a yra elementarus teiginys. Jo raidės poscheme nebekeisime.3. Teismas, trečiųjų teismas (arbitražas) pripažįsta, kad ieškininės senaties terminas praleistas dėl svarbios priežasties – b1. Pažeistoji teisė turi būti ginama – b2. Gauta poschemė yra: (b1 É b2).4. Įstatymo straipsnio schema, pakeitus raidę b gauta poscheme, yra: (a ×(b1 É b2))5. b2 atitinkantis teiginys yra elementarus, b2 poscheme nebekeisime.6. b1: Teismas pripažįsta, kad ieškininės senaties terminas praleistas dėl svarbios priežasties – b11. Trečiųjų teismas (arbitražas) pripažįsta, kad ieškininės senaties terminas praleistas dėl svarbios priežasties – b12. Kablelis tarp “teismas” ir “trečiųjų teismas” atitinka konjunkciją. Gauta poschemė yra: (b11 × b12).7. Teksto schema, pakeitus raides gautomis poschemėmis, yra: (a ×((b11 × b12) É b2))).8. Visi schemos raides atitinkantys teiginiai yra elementarūs (“kad ieškininės senaties terminas praleistas dėl svarbios priežasties” yra sudėtinio prijungiamojo sakinio dėmuo, kuris nėra savarankiškas tiesioginis sakinys), taigi schemos raidžių poschemėmis nebekeisime.9. Įstatymo straipsnio formulė yra: p ×((q × r) É s)).4. Formalizuokite samprotavimus. Formalizavę dedukcijos metodu įrodykite, kad išvedimas yra validus:1. Ir saulė šviečia, ir vaivorykštė danguje matoma. Jeigu danguje matoma vaivorykštė, tai netoliese lyja, arba mes susidūrėme su keistu atmosferos reiškiniu. Tačiau mes su keistu atmosferos reiškiniu nesusidūrėme, nes vakarų pusėje horizonte matyti gausūs, tamsūs debesys. Vadinasi, netoliese lyja.2. Ir saulė šviečia , ir vaivorykštė danguje matoma – a. Saulė šviečia – a1. Vaivorykštė danguje matoma – a2.Jeigu danguje matoma vaivorykštė, tai netoliese lyja, arba mes susidūrėme su keistu atmosferos reiškiniu – b.
Jeigu danguje matoma vaivorykštė, tai netoliese lyja – b1.Danguje matoma vaivorykštė – b11.Netoliese lyja – b12.
Mes susidūrėme su keistu atmosferos reiškiniu b2.
Tačiau mes su keistu atmosferos reiškiniu nesusidūrėme, nes vakarų pusėje horizonte matyti gausūs, tamsūs debesys – g.
Mes su keistu atmosferos reiškiniu nesusidūrėme – g1.Mes su keistu atmosferos reiškiniu nesusidūrėme – _g12.
Vakarų pusėje horizonte matyti gausūs tamsūs debesys – g2.
Netoliese lyja – d.3. a b g d4. (a1×a2) (b1Ś b2) (g1 × g2) d5. (a1×a2) ((b11 Éb12) Śb2) (_g12× g2) d
8. p × q (q É r) Ś s _s × t r9. Formalizuotas samprotavimas: 1. p × q Pr 2. (q É r) Ś s Pr 3. _s × t Pr / r
Dedukcija: 4. _s Simp 3 5. q É r DS 2,4 6. q Simp 1 7. r MP 5,6 QED
Lotyniškoji ir graikiškoji abėcėlės
Logikoje dažnai naudojamos lotyniškos ir graikiškos raidės, todėl studijuojant logiką pravartu turėti tiek lotyniškąją, tiek graikiškąją abėcėles.
Senąją lotyniškąją abėcėlę sudaro 21 raidė. Vėlesniais laikais prie senosios abėcėlės buvo pridėtos raidės “y”, “z”, “j” ir “u”. Pateikiame papildytąją lotyniškąją abėcėlę, kurią sudaro 25 raidės:
A a – a B b – bė C c – cė D d – dė E e – ėF f – ef G g – gė H h – ha I i – i J j – jotK k – ka L l – el M m – em N n – en O o – oP p – pė Q q – kū R r – er S s – es T t – tėU u – ū V v – vė X x – iks Y y – igrek Z z – zė
Graikiškąją abėcėlę sudaro 24 raidės:
A a – alfa B b – beta G g – gama D d – delta
E e – epsilon Z z – dzeta H h- eta Q q – teta I i – jota K k – kapa L l – lambda M m – miN n – ni X x – ksi O o – omikron P p – pi R r – ro S s, V- sigma T t – tau U u – ipsilon F f – fi C c – chi Y y – psi W w – omegaLogikos terminų aiškinamasis žodynas
Lietuviška logikos terminija dar nėra nusistovėjusi, o logikos teorijos lietuviškoje literatūroje dažnai dėstomos panašiais, tačiau skirtingą reikšmę turinčiais žodžiais. Siekdami suteikti apibrėžtumą šios knygos turiniui, pateikiame tekste vartojamų logikos terminų aiškinamąjį žodyną. Žodyne taip pat išskleidžiame kai kurių terminų, kurie tekste buvo pavartoti be detalesnio paaiškinimo, turinį.Knygoje vartojame logikos terminus, artimus angliškajai simbolinės logikos tradicijai. Šių terminų angliškų atitikmenų žinojimas turėtų palengvinti logikos literatūros anglų kalba studijavimą, todėl žodyne prie terminų nurodome jų atitikmenis anglų kalboje.
adicija (lot. additio, angl. addition) – liet. pridėjimas;teiginio išvedimas iš vienos premisos pagal taisyklę “iš teiginio gaunama to teiginio disjunkcija su bet kokiu kitu teiginiu”: 1. p 2. p Ś q Add 1 santrumpa “Add” teiginių logikoje žymima adicijos taisyklė.
aksioma (gr. axioma, angl. axiom) – savaime suprantama tiesa, įrodymų nereikalingas teiginys;teiginių logikoje – žinomai validi neįrodinėjama taisyklinga formulė.
analogija (gr. analogia, angl. analogy) – liet. atitikimas < gr. analogia;išvados gavimas iš premisų pagal schemą: 1. X ir Y yra panašūs savybėmis B, C, D 2. X turi savybę A. 3. Vadinasi, Y turi savybę A.objektų panašumas pagal tam tikrus požymius yra tik tikėtina sąlyga, kad tie objektai bus panašūs ir pagal kitus požymius, todėl pagal analogiją gautos išvados teisingumas irgi tėra tikėtinas;dėl išvados pagal analogiją tikėtinumo analogija tėra pagalbinis argumentacijos metodas, dažniausiai naudojamas hipotezėms ir versijoms kelti;
esama būdų, kaip padidinti analogijos įtikimumą, tačiau šie būdai nėra pagrįsti išsprendžiama (žr. išsprendžiamumas) logikos sistema.antecedentas (lot. antecedens, angl. antecedent) – liet. pirmiau einantis;pirmiau einantis implikacijos dėmuo.
antitezė (gr. antithesis) – liet. priešprieša;teiginys, prieštaraujantis tezei.
argumentacija (lot. argumentatio, angl. argumentation) – liet. įrodymų pateikimas;teiginių, vadinamų tezėmis, bei teorijų pagrindimas argumentais ir įtikinimas argumentacijoje naudojamų samprotavimų svarumu (žr. svarus samprotavimas); tiesioginė argumentacija – argumentacija, kurios demonstracijoje nenaudojamos sąlyginio ir netiesioginio įrodymo taisyklės.netiesioginė argumentacija – argumentacija, kuria grindžiama ne pati tezė, o prieštaraujantis jai teiginys – antitezė, ir tik kai įsitikinama, kad antitezė nėra teisingas teiginys, daroma išvada, kad pradinė tezė yra teisinga.
argumentas (lot. argumentum, angl. argument) < lot. argumentum, – liet. pagrindas, nepriklausomas kintamasis dydis; 1. argumentacijoje argumentas yra tezės išvedimo iš argumentacijoje naudojamų samprotavimų premisų pagrindas, kuriuo remiantis įrodinėjamas tezės teisingumas.2. angliškoje logikos litertūroje “argument” reiškia samprotavimą.
atsitiktinė formulė (angl. contingent formula) – formulė, kurios reikšmę lemia formulės propozicinių kintamųjų interpretacija; atsitiktinę formulę atitinkantis teiginys yra sprendimą apie daiktą ar reiškinį reiškiantis sakinys; atsitiktinė formulė kartais tinka kitų formulių validumui įrodyti, o kartais netinka;
Boole’o konstanta (angl. Boolean constant) – kontanta