PRIEDAIPratimų atlikimo pavyzdžiai
Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai2. _ (p × r) É s
4. šešios: p ×_p, _r, _p, p, p, r.
Teiginių logikos formulės reikšmės nustatymas
p q r _ (p Ś q) × r1.2.3.4.5.6.7.8. 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 01 0 11 0 0
(2) (1) (3)
Teiginių logikos formulių rūšys p q _ (p Ś q) × (q Ś p) × _p1.2.3.4. 1100 1010 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 00 1 0 1 0 11 0 0 0 0 11.
(4) (2) (5) (3) (6) (1)Formulės tiesos lentelėje (6) vien eilutės “klaidinga”, taigi formulė _(p Ś q) × (q Ś p) × _p yra netinkama.
2. transpozicijos dėsnio formulė tokia: (p É q) ŗ (_q É _p)Taikom nuoseklios substitucijos taisyklę transpozicijos dėsnio formulės kintamajam q (q keičiame į q Ś r):p É (q Ś r) ŗ (_(q Ś r) É _p) Gavome, kad p É (q Ś r) ir _(q Ś r) É _p yra ekvivalentai.3. Pagal ekvivalencijos pakeitimo implikacija taisyklę iš validžios formulės p ŗ _ _p gauname validžią formulę p É _ _p
Loginiai formulių santykiai1. ar formulė p Ś _q seka iš šių formulių: iš formulės (q É p) × _p
p q (q É p) × _p p Ś _q1.2.3.4. 1100 1010 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1
(2) (3) (1) (2) (1)Sudarytoje tiesos matricoje nėra tokios eilutės, kurioje formulė (q É p) × _p turi teiginio reikšmę “teisinga”, o formulė p Ś _q – reikšmę “klaidinga”, taigi formulė p Ś _q yra formulės (q É p) × _p pasekmė.
2. Nustatykite, ar kuri nors iš formulių porų yra prieštaravimo santykyje? p ŗ q ir p × _qp É q ir p × _q p q p ŗ q p É q p × _q1.2.3.4. 1100 1010 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
(1) (1) (2) (1) Formulių pora p ŗ q ir p × _q nėra prieštaravimo santykyje, nes formulė p ŗ q ir formulė p × _q suderinama pagal reikšmę “klaidinga” (eilutė nr.3). Ar kita formulių pora yra prieštaravimo santykyje, ar ne, nustatykite patys.
4. Nustatykite santykius tarp formulių (_p É q) É r ir q p q r (_p É q) É r1.2.3.4.5.6.7.8. 11110000 11001100 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1
(1) (2) (3)Formulės (_p É q) É r ir q suderinamos pagal reikšmę “teisinga” (eilutės nr.1 ir nr.5), pagal reikšmę“klaidinga” (eilutė nr.4), formulės nėra viena kitos pasekmė (tai parodančių eilučių yra daug, pavyzdžiu paimsime po vieną: pvz., eilutė nr.2 rodo, kad (_p É q) É r nėra q pasekmė, o eilutė nr.3 rodo, kad q nėra (_p É q) É r pasekmė.
Aptariamos formulės yra logiškai nepriklausomos (nes suderinamos tiek pagal reikšmę “teisinga”, tiek pagal reikšmę “klaidinga”, bet jos nėra viena kitos pasekmė).Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas1. Pakeiskite formulėje ((p É q) × p) É q skliausteliuose esantį implikacijos operatorių disjunkcijos operatoriumi.
Implikacijos ir disjunkcijos ekvivalencija tokia:(p É q) ŗ (_ p Ś q)Taikom ekvivalentų substitucijos taisyklę formulės ((p É q) × p) É q subformulei p É q ir gauname:((_ p Ś q) × p) É qPagal ekvivalentų substitucijos taisyklę gautoji formulė yra formulės ((p É q) × p) É q ekvivalentas.
Teiginių logika ir samprotavimas1. 1. (p Ś _q) Ś (q É s) Pr2. _ (q É s) Pr3. p Ś _q DS 1, 2
1. p É _r Pr2. _ (p Ś q) Pr3. _ (p Ś q)×(p É _r) Conj 2, 1 2. 1. (_ r É q) É _ q Pr2. _ _q Pr / _ (_ r É q)3. _ (_ r É q) MT 1, 2
1. p Ś q Ś _ r Pr2. _ (p Ś q) Pr / _ r3. _ r DS 1, 2 Asociacijos dėsnio3. 1. p É (p Ś _r) Pr 2. _ p Pr / p Ś _r Išvada netaisyklinga. Pažeidžia Modus Ponens taisyklę.4. 1. _ q É p Pr2. (p É r) × _ q Pr / r3. _ q Simp 24. p MP 1, 35. p É r Simp 2 6. r MP 5, 4 QED5. 1. _ (p Ś q) É r Pr2. _ p Pr3. _ q Pr / r4. _ r AP5. _ _ (p Ś q) MT 4, 16. p Ś q DN 57. q DS 6, 28. q × _ q Conj 7, 39. r Ider 4 – 8 QED 6. Pirmas būdas1. p Ś (q Ś _r) Pr skliaustus sudėti leidžia asociacijos dėsnis 2. _p Pr 3. r Pr / q 4. _q AP 5. q Ś _r DS 1, 4 6. _r DS 5, 4 7. r × _r Conj 3, 6 8. q Ider 4 –7 QED Antras būdas1. p Ś (q Ś _r) Pr skliaustus sudėti leidžia asociacijos dėsnis 2. _p Pr 3. r Pr / q 4. q Ś _r DS 1, 4 5. _ _r DN 3 6. q DS 4, 6 QED7. 1. (_p Ś q) É r Pr 2. _ p Pr / _ r Sudarome tiesos matricą:
p q r (_p Ś q) É r _p _r1.2.3.4.5.6.7.8. 11110000 11001100 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
(1) (2) (3) (1) (1) Esama kombinacijos, kai samprotavimo premisos (_p Ś q) É r ir _p teisingos, o išvada _r klaidinga (matricos eilutės nr.