Kinematika

TAŠKO KINEMATIKA

Pagrindinės kinematikos sąvokos:
Laikas skaičiuojamas nuo pradinio momento, parenkamo pagal uždavinio pobūdį. Pradinis momentas – judėjimo pradžios momentas. Laiko momentas t – nuo pradinio momento praėjusių sekundžių skaičius. Dviejų laiko momentų skirtumas – laikotarpis.
Trajektorija – kreivė, kurią erdvėje brėžia judantis taškas. Jei trajektorija tiesė – taško judėjimas tiesiaeigis, jei kreivė – kreivaeigis.

Atstumas – ilgis, atskaitomas išilgai trajektorijos nuo laisvai pasirinkto taško O iki judančio taško A. Dviejų atstumų skirtumas – poslinkis.

Taško judėjimo dėsnis
Taško judėjimo dėsnis nusakomas :
1)Natūralusis taško judėjimo nusakymo būdas – kai žinoma taško trajektorija. Jos taaškai tenkina lygčių sistemą , tai tam tikrų paviršių lygtys. Trajektorija – paviršių susikirtimo linija. Taško padėtis trajektorijoje nusakoma atstumu nuo atskaitos pradžios taško. Atstumas s yra laiko f-ja s=s(t) – judėjimo išilgai trajektorijos dėsnis.
2) Koordinatinis taško judėjimo nusakymo būdas – taško judėjimas nusakomas koordinatėmis x, y z. Bet kuriuo laiko momentu x=x(t), y=y(t), z=z(t) – tai koordinatinio pavidalo taško judėjimo dėsnis. Šios lygtys dar išreiškia trajektorijos lygtį parametrine forma, kur parametras – laiko momentas t. Pašalinus t gaunamos trajektorijos lygtys.
Natūralaus judėjimo apibrėžimo keitimas koordinatiniu:
Kreivės laanko ilgis , jei kreivė išreikšta parametrine forma , čia .
3) Vektorinis taško judėjimo nusakymo būdas – judančio taško padėtis nusakoma padėties vektoriumi r, nubrėžtu iš koordinačių pradžios taško O į reikiamą tašką. Vektorius r=r(t) – laiko momento t f-ja vadinama vektoriniu taško judėjimo dėsniu. Koordinatinį ta

aško judėjimo apibrėžimą galima pakeisti vektoriniu: r=xi+yj+zk, čia x,y,z- taško koordinatės, i, j, k – koordinačių ašių ortai.

Taško greitis
Greitis – dydis nusakantis taško padėties kitimą laikui bėgant.
Greičio skaičiavimas, kai judėjimas apibrėžtas vektoriniu būdu: laiko momentu t padėties vektorius r, o momentu t+Δt vektorius r1=r+Δr, čia Δr padėties vektoriaus pokytis. Vidutinis taško greitis . Laiko momentu t . Ši riba yra f-jos r(t) išvestinė laiko t atžvilgiu, vadinasi
Greičio skaičiavimas, kai taško judėjimas apibrėžtas natūraliuoju būdu: kai Δt→0 . taškas sutampa ir ribinėje padėtyje styga sutampa su trajektorijos liestine, taigi taško greitis nukreiptas liestine judėjimo kryptimi. Padėties vektoriaus ir trajektorijos lanko diferencialų dr ir dt moduliai yra lygus :|dr|=|ds|. Tada greičio modulis

padauginę ir padaliję iš ds gausime: . dr/ds modulis lygus vienetui nes drr ir ds vienodo didumo. Kadangi vektorius dr/ds yra trajektorijos liestinėje, tai jis yra liestinės ortas τ. Vadinasi dydis

Greičio skaičiavimas, kai taško judėjimas apibrėžtas koordinatiniu būdu: išreiškus taško padėtį vektoriumi r=xi+yj+zk ir apskaičiavus išvestinę t atžvilgiu, gausime: . Greičio vektorių išskaidžiusį komponentes : . Matome, kad taško greičio projekcijos koordinačių ašyse yra lygios jo koordinačių išvestinėms laiko atžvilgiu: . Žinant greičio projekcijas:
Tarkim α,βirγ – kampai tarp greičio vektoriaus ir koordinačių ašių. Jų kosinusai
Žinoma, kad – naudojama patikrinimui ar teisingai apskaičiuoti kampai α,βirγ.

Taško pagreitis ir jo

o projekcijos Dekarto koordinačių sistemoje
Pagreitis – dydis nusakantis greičio kitimą laikui bėgant. Laiko momentu t judantis taškas yra trajektorijos taške C, momentu t1=t+Δt – taške C1. Momentu t greitis v, momentu t1 greitis v1. Δv= v1-v. . Kai Δt→0

, vadinasi ir . Taigi taško pagreitis yra pirmoji greičio išvestinė arba antroji padėties vektoriaus išvestinė laiko atžvilgiu.
Galima parašyti: . Išskaidžius pagal koordinačių ašis į komponentus ir sulyginus gauname: .
Taško pagreičio projekcija kurioje nors ašyje lygi greičio projekcijos toje ašyje išvestinei arba judančio taško koordinatės antrajai išvestinei laiko atžvilgiu. Žinant pagreičio projekcijas: ir kampus tarp koordinačių ašių bei pagreičio vektoriaus a:

Natūraliosios ašys. Normalinis ir tangentinis pagreičiai.
Natūraliosios ašys juda ir sukasi kartu su tašku. Jų ortai: τ – liestinės, n – normalės, b – binormalės. Juos sieja lygybė b= τ ×n. Taško pagreitis yra plokštumoje statmenoje binormalei, todėl taško pagreičio projekcija binormalėje lygi nuliui ir taško pagreitis turi tik du komponentus:
Tangentinis – rodo kaip kinta greičio didumas (modulis);
Normalinis – rodo kaip kinta greičio kryptis.
Tangentinio pagreičio didumas lygus pirmosios greičio išvestinės (arba antrosios atstumo išvestinės) laiko atžvilgiu didumui, o normalinio – greičio kvadratui padalintam iš trajektorijos kreivumo spindulio (ρ) :

Tolygus ir tolygiai kintamas taško judėjimas.
Tolygus taško judėjimas – taškas juda pastoviu greičiu. Gali būti tiesiaeigis (judėjimo kreivė tiesė , pastovus greitis ir jo kryptis) ir kreivaeigis ( judėjimo tr

rajektorija kreivė, greičio kryptis nepastovi).
Tolygiai kintamu vadinamas toks taško judėjimas, kai jo tangentinio pagreičio didumas visą laiką pastovus: suintegravus :v=aTt+C1 ir C1=v0 ir v=v0+aΤt

KŪNO SLINKIMAS IR SUKIMASIS

Kūno sukimosi dėsnis. Kampinis greitis ir kampinis pagreitis.
Slenkamuoju vadinamas toks kūno judėjimas, kai tiesės atkarpa, jungianti bet kuriuos du kūno taškus, per visą judėjimo laiką išlieka pati sau lygiagreti. Slenkančio kūno taškų trajektorijos, greičiai ir pagreičiai yra vienodi.
Standaus kūno sukimasis – kai judančiame kūne yra bent du taškai, kurių greičiai lygūs nuliui.
Kūno sukimosi apie ašį dėsniu vadinama tolydi ir vienareikšmė laiko momento t funkcija φ=φ(t), čia φ – posūkio kampas. Kampinis greitis ω yra posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu, o .
Kampinis pagreitis yra pirmoji kampinio greičio arba antroji posūkio kampo išvestinė laiko atžvilgiu:
Jei kampinio greičio ir kampinio pagreičio ženklai vienodi, sukimasis yra greitėjantis, jei priešingi – lėtėjantis.

Tolygus ir tolygiai kintamas sukimasis.
Tolygiu vadinamas kūno sukimasis pastoviu kampiniu greičiu: suintegravus: φ=ωt+C ir φ=φ0+ωt. Vietoj kampinio greičio dažnai vartojamas kūno sukimosi dažnis ( sūkių per minute skaičius n). Sąryšis tarp n ir ω:

.
Tolygiai kintamu vadinamas kūno sukimasis pastoviu kampiniu pagreičiu: sprendinys ω=C1+εt kai t=0, C1=ω0 ir ω=ω0+εt. Esant tolygiai kintamam sukimuisi, per vienodus laikotarpius kūno kampinis greitis pasikeičia vienodu dydžiu. kadangi , tai dφ=ω0dt+εtdt. Suintegravus: φ=C2+ω0t+εt2/2. Tarę, kad pradiniu momentu kū

ūno posūkio kampas lygus φ0. Tada φ0=C2 ir φ=φ0+ω0t+εt2/2.

Besisukančio kūno taškų linijiniai greičiai ir pagreičiai
Besisukančio kūno bet kurio taško greičio didumas lygus kampinio greičio ir to taško sukimosi spindulio R sandaugai: v=ωR, nes . Bet kurio kūno taško greičio vektorius v=ω×r. Greičio vektoriaus kryptis tokia, kad žiūrint iš jo galo į pradžią, pirmą dauginamą vektorių, norint jį sutapdinti su antruoju, reikėtų pasukti prieš laikrodžio rodyklę kampu, mažesniu už 180°.
Tangentinis pagreitis: . Žinant, kad vektorių ω ir ε kryptis vienodos galima parašyti: . Jei kryptys priešingos, tai kūnas sukasi lėtėdamas.
Normalinis pagreitis ( visada nukreiptas į sukimosi centrą ): . Vektoriai ω ir v statmeni, todėl jų vektorinės sandaugos modulis: .
Visas taško pagreitis lygus tangentinio ir normalinio pagreičių geometrinei sumai: a=ε×r+ω×v. Kitaip taško pagreitį galima rasti: . Kampas tarp greičio v ir pagreičio a: .
Bet kurio kūno taško greičio ir pagreičio didumai tiesiai proporcingi taško atstumui iki sukimosi ašies. Besisukančio kūno taškų greičiai ir pagreičiai statmeni sukimosi ašiai.

SUDĖTINIS TAŠKO JUDĖJIMAS

Reliatyvusis, keliamasis ir absoliutusis judėjimas.
Absoliučiuoju vadinamas taško judėjimas nejudančios koordinačių sistemos atžvilgiu. Reliatyviuoju vadinamas taško judėjimas judančios sistemos atžvilgiu. Keliamuoju vadinamas judančios koordinačių sistemos ir visų su ja nekintamai susijusių taškų judėjimas. Jeigu taškas juda atžvilgiu koordinačių sistemos, kuri juda kitos nejudančios koordinačių sistemos atžvilgiu, tai toks judėjimas vadinamas sudėtiniu.

Greičių sudėties teorema.
Taško, kurio judėjimas sudėtinis, absoliutus greitis lygus keliamojo ir reliatyviojo greičių geometrinei sumai: .

Koriolio teorema.
Absoliutus taško pagreitis yra lygus keliamojo, reliatyviojo ir Koriolio pagreičių geometrinei sumai: . Koriolio pagreitis: . Šio vektoriaus kryptis nustatoma pagal vektorinės sandaugos taisykles.

PLOKŠČIASIS KŪNO JUDĖJIMAS

Kūno plokščiojo judėjimo dėsnis.
Plokščiuoju vadinamas toks kūno judėjimas, kai judančio kūno bet kurio taško atstumas nuo tam tikros nejudamos plokštumos visą laiką pastovus. Taip judančio kūno taškų trajektorijos yra plokščios kreivės. Plokščiasis kūno judėjimas yra slinkimas ir sukimasis kartu. Apibrėžiamas trimis lygtimis: , čia x0 ir y0 – poliaus koordinatės. Norint nustatyti kurio nors taško judėjimo dėsnį, imama kartu su kūnu judanti koordinačių sistema ir jos judėjimas nagrinėjamas kitos (nejudančios ) koordinačių sistemos atžvilgiu, judančios figūros taško koordinates x1, y1 nejudančioje ir x,y judančioje sistemose sieja lygybės: . Šios formulės ir yra taško plokščiojo judėjimo dėsnis. Eliminavus laiką gaunama trajektorijos lygtis.

Plokščiai judančio kūno greičiai ir pagreičiai. Greičių projekcijų teorema.
Plokščiasis judėjimas gali būti išskaidytas į slinkimąsi ir sukimąsi apie tam tikrą ašį, todėl jį galima laikyti sudėtiniu judėjimu. Taško judėjimą, kūnui slenkant, laikome keliamuoju, o judėjimą, kūnui sukantis, – reliatyviuoju.slenkamajame judėjime visų kūno taškų greičiai vienodi, todėl bet kurio taško keliamasis greitis lygus poliaus greičiui, o reliatyvusis – sukimosi apie polių greičiui, pvz: . Pagreitis paskaičiuojamas analogiškai: . Čia pagreitį aAB galima išskaidyti į: .
Greičių projekcijų teorema: dviejų figūros taškų greičių projekcijos tiesėję, jungiančioje tuos taškus, yra lygios.
ĮR. Kai taškas A sukasi apie B, atkarpa AB yra sukimosi spindulys. Kadangi besisukančio taško greitis yra statmenas sukimosi spinduliui, tai vAB statmenas atkarpai AB ir jo projekcija ašyje Ax lygi nuliui. Vektoriaus vA projekcija ašyje Ax lygi jo komponentų vB ir vAB projekcijų sumai. Taigi, vA ir vB projekcijos ašyje Ax yra lygios.

Momentinis greičių centras ir jo panaudojimas.
Kiekvienu laiko momentu judančioje plokštumoje yra taškas, kurio greitis lygus nuliui. Šis taškas vadinamas greičių centru. Jis randasi tiesėje, statmenoje figūros taško greičiui. Dviejų figūros taškų, kurių greičių kryptis yra žinomos, momentinis greičių centras randasi tiesių, statmenų greičiams, sankirtos taške. Šį metodą galima naudoti sukimosi kampiniam greičiui paskaičiuoti.

Plokščiai judančio kūno taškų pagreičiai. Pagreičių centras.
Pagreičių centras – figūros plokštumos taškas, kurio pagreitis nagrinėjamu momentu lygus nuliui. Norint jį rasti, reikia žinoti taško pagreičio kryptį, figūros kampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε. Iš formulės randamas atstumas iki pagreičių centro R. Pagal formulę randamas kampas, kuris atidedamas kampinio pagreičio kryptimi. Bet kurio figūros taško pagreitis lygus jo sukimosi drauge su figūra apie tos figūros pagreičių centrą pagreičiui.
Dar figūros taškų pagreičiai proporcingi jų atstumams nuo pagreičių centro: .

SUDĖTINIS KŪNO JUDĖJIMAS

Slenkamųjų judėjimų sudėtis.
Sudėję du slenkamuosius judėjimus, kurių greičiai v1 ir v2, gausime slenkamąjį judėjimą, kurio greitis v=v1+v2. Visų kūno taškų absoliučiojo judėjimo greitis yra vienodas. Tokia savybe pasižymi tiktai slenkamasis judėjimas.

Sukimosi judėjimų sudėtis.
Norint ištirti suminį judėjimą, kai abiejų judėjimų sukimosi ašys susikerta, reikia sukimosi ašyse atidėti atkarpas, kurių ilgiai atitinka kampinių greičių didumus. Gaunamo lygiagretainio viršūnės judėjimas sudėtinis. Suminis judėjimas yra sukimasis apie momentinę ašį, einančią per taškus O ir gauto lygiagretainio viršūnę. Suminio sukimosi kampinis greitis lygus sudedamų sukimosi judėjimų kampinių greičių geometrinei sumai.
Kai kūnas sukasi ta pačia kryptimi apie dvi lygiagrečias, tai gaunamas judėjimas yra sukimasis kampiniu greičiu, kurio didumas:
Kai kūnas iš karto sukasi apie dvi lygiagrečias ašis vienodo didumo, bet priešingos krypties kampiniais greičiais, šių sukimosi judėjimų suma yra slinkimasis. Kūnas slenka statmenai plokštumai, kurioje yra sukimosi ašys. Slinkimo greitis v lygus sukimo poros (ω1 ir -ω2 ) momentui. Kryptis nusakoma pagal vektorinės sandaugos taisyklę.

Slinkimo ir sukimosi judėjimų sudėtis.
1. sukimosi judėjimo ir slinkimo greičiu, statmenu sukimosi ašiai, sudėtis: gaunamas sukimasis apie lygiagrečią ašį. Esant tam tikram atstumui , absoliutus taško B greitis lygus nuliui. Šiuo atveju, sukimusi apie ašis kampiniai greičiai yra vienodi.
2. sukimosi judėjimo ir slinkimo greičiu, lygiagrečiu su sukimosi ašimi, sudėtis: toks judėjimas vadinamas sraigtiniu, ašis vadinama sraigto ašimi. Jei vektoriai v ir ω yra vienodos krypties, turime dešininį sraigtą ir atvirkščiai. Santykis v/ω=p vadinamas sraigto parametru. Atstumas h=2πp vadinamas sraigto žingsniu. Taško absoliutus greitis: , čia u – reliatyvusis taško greitis, r – taško atstumas nuo sukimosi ašies. Absoliučiojo greičio kryptis nusakoma: .
3. slinkimo ir sukimosi apie bet kurios krypties ašį sudėtis: norint sudėti slinkimą greičiu v ir sukimąsi greičiu ω, greitį v skaidome į komponentus v1 =vcosα ir v2=vsinα . Sudėjus v2 su ω gaunamas sukimasis apie lygiagrečią ašį kampiniu greičiu ω. Atstumas tarp ašių: Sudėjus sukimąsi apie lygiagrečią ašį su slinkimu išilgai pagrindinės ašies, gaunamas sraigtinis judėjimas. Sraigto parametras: .

Leave a Comment